ક્રાયલોવ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સના ઇજેન મૂલ્યો શોધવી.

1. જો મેટ્રિક્સ આપવામાં આવે છે, તો તેનું લાક્ષણિક (સેક્યુલર) સમીકરણ ફોર્મમાં લખાયેલું છે.

. (81)

આ સમીકરણની ડાબી બાજુએ ડિગ્રીની લાક્ષણિક બહુપદી છે. આ બહુપદીના ગુણાંકની સીધી ગણતરી કરવા માટે, લાક્ષણિકતા નિર્ણાયકને જાહેર કરવું જરૂરી છે, અને મોટા માટે આમાં મોટા પ્રમાણમાં ગણતરીત્મક કાર્યનો સમાવેશ થાય છે, કારણ કે તે નિર્ણાયકના વિકર્ણ તત્વોમાં શામેલ છે.

1937 માં એકેડેમિશિયન એ.એન. ક્રાયલોવે લાક્ષણિકતા નિર્ણાયકના પરિવર્તનનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો, જેના પરિણામે તે ફક્ત એક કૉલમ (અથવા પંક્તિ) ના ઘટકોમાં પ્રવેશ કરે છે. ક્રાયલોવ રૂપાંતરણ લાક્ષણિકતાના સમીકરણના ગુણાંકની ગણતરીને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવે છે.

આ વિભાગમાં આપણે રૂપાંતરિત લાક્ષણિક સમીકરણનું બીજગણિત વ્યુત્પત્તિ આપીશું, જે ક્રાયલોવના પોતાના વ્યુત્પત્તિથી કંઈક અંશે અલગ છે.

ચાલો આ આધાર હેઠળ આપેલ મેટ્રિક્સ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત, માં આધાર અને રેખીય ઓપરેટર સાથે એક પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો મનસ્વી વેક્ટર પસંદ કરીએ અને શ્રેણીબદ્ધ વેક્ટર કંપોઝ કરીએ

આ શ્રેણીના પ્રથમ વેક્ટર્સ દો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, અને મી વેક્ટર આ વેક્ટરનું રેખીય સંયોજન છે:

શ્રેણી (82) ના તમામ આગળના વેક્ટર્સ પણ આ શ્રેણીના પ્રથમ વેક્ટર દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે. આમ, શ્રેણી (82) માં એક રેખીય છે સ્વતંત્ર વેક્ટર, અને શ્રેણીના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટરની આ મહત્તમ સંખ્યા (82) હંમેશા શ્રેણીના પ્રથમ વેક્ટર પર અનુભવી શકાય છે.

બહુપદી એ ઓપરેટરના સંદર્ભમાં વેક્ટરનો ન્યૂનતમ (રદ કરનાર) બહુપદી છે (જુઓ § 1). A. N. ક્રાયલોવની પદ્ધતિ એ વેક્ટરના ન્યૂનતમ બહુપદીને અસરકારક રીતે નક્કી કરવા માટેની પદ્ધતિ છે.

અમે બે કેસોને અલગથી ધ્યાનમાં લઈશું: નિયમિત કેસ, ક્યારે , અને ખાસ કેસ, ક્યારે.

બહુપદી એ સમગ્ર જગ્યાના લઘુત્તમ બહુપદીનો વિભાજક છે અને બદલામાં તે વિભાજક છે લાક્ષણિક બહુપદી. તેથી તે હંમેશા વિભાજક છે.

નિયમિત કિસ્સામાં, અને સમાન ડિગ્રી ધરાવે છે, અને તેમના અગ્રણી ગુણાંક સમાન હોવાથી, આ બહુપદીઓ એકરૂપ થાય છે. આમ, નિયમિત કિસ્સામાં

,

અને તેથી નિયમિત કિસ્સામાં ક્રાયલોવ પદ્ધતિ લાક્ષણિકતા બહુપદીના ગુણાંકની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિ છે.

IN ખાસ કેસ, જેમ આપણે નીચે જોઈશું, ક્રાયલોવ પદ્ધતિ નક્કી કરવાનું શક્ય બનાવતી નથી અને આ કિસ્સામાં તે માત્ર બહુપદી નક્કી કરે છે જે વિભાજક છે.

ક્રાયલોવ ટ્રાન્સફોર્મેશન રજૂ કરતી વખતે, આપણે આપેલ આધારમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા , અને વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા દર્શાવીશું.

2. નિયમિત કેસ: . આ કિસ્સામાં, વેક્ટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, અને સમાનતાઓ (83), (84), (85) સ્વરૂપ લે છે

વેક્ટર્સની લિલી સ્વતંત્રતા માટેની સ્થિતિ વિશ્લેષણાત્મક રીતે નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે (જુઓ પ્રકરણ III, § 1):

. (89)

વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સથી બનેલા મેટ્રિક્સને ધ્યાનમાં લો:

. (90)

નિયમિત કિસ્સામાં, આ મેટ્રિક્સનો રેન્ક બરાબર છે. આ મેટ્રિક્સની પ્રથમ પંક્તિઓ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, અને છેલ્લી, i, પંક્તિ એ અગાઉના રાશિઓનું રેખીય સંયોજન છે.

અમે મેટ્રિક્સ (90) ની પંક્તિઓ વચ્ચેની અવલંબન વેક્ટર સમાનતા (86) ને સ્કેલર સમાનતાની સમકક્ષ સિસ્ટમ સાથે બદલીને મેળવીએ છીએ.

(91)

રેખીય સમીકરણોની આ સિસ્ટમમાંથી આપણે આવશ્યક ગુણાંકને વિશિષ્ટ રીતે નક્કી કરી શકીએ છીએ અને પરિણામી મૂલ્યોને (88) માં બદલી શકીએ છીએ. (88) અને (91) માંથી આ અપવાદ સપ્રમાણ સ્વરૂપમાં કરી શકાય છે. આ કરવા માટે, અમે નીચે પ્રમાણે (88) અને (91) ફરીથી લખીએ છીએ:

અજ્ઞાત સાથેના સમીકરણોની આ સિસ્ટમમાં બિન-શૂન્ય ઉકેલ હોવાથી, આ સિસ્ટમનો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન હોવો જોઈએ:

. (92)

અહીંથી આપણે નિર્ધારિત કરીએ છીએ, અગાઉ મુખ્ય કર્ણના સંદર્ભમાં નિર્ણાયક (92) સ્થાનાંતરિત કર્યા પછી:

, (93)

જ્યાં સ્થિર પરિબળ સૂત્ર (89) દ્વારા નક્કી થાય છે અને તે શૂન્યથી અલગ છે.

ઓળખ (93) એ ક્રાયલોવ પરિવર્તન છે. ક્રાયલોવ નિર્ણાયકમાં, જે આ ઓળખની જમણી બાજુએ છે, તે ફક્ત છેલ્લા સ્તંભના ઘટકોમાં શામેલ છે; આ નિર્ણાયકના બાકીના ઘટકો પર આધાર રાખતા નથી.

ટિપ્પણી. નિયમિત કિસ્સામાં, સમગ્ર જગ્યા ચક્રીય છે (ઓપરેટરના સંદર્ભમાં). જો આપણે આધાર તરીકે વેક્ટર્સ પસંદ કરીએ, તો આ આધારમાં ઓપરેટર કુદરતી ધરાવતા મેટ્રિક્સને અનુરૂપ છે. સામાન્ય આકાર

. (94)

મુખ્ય આધારથી આધાર પર સંક્રમણ બિન-વિશિષ્ટ પરિવર્તન મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે

. (95)

3. ખાસ કેસ: . આ કિસ્સામાં, વેક્ટર્સ રેખીય રીતે નિર્ભર છે, અને તેથી

.

સમાનતા (93) શરત હેઠળ મેળવવામાં આવી હતી. પરંતુ આ સમાનતાની બંને બાજુઓ સંપૂર્ણ છે તર્કસંગત કાર્યોથી અને પરિમાણો. તેથી, "સતતતાના વિચારણાઓથી" તે અનુસરે છે કે સમાનતા (93) પણ . પરંતુ પછી ક્રાયલોવ નિર્ણાયક (93) માં, તેના વિસ્તરણ પછી, બધા ગુણાંક શૂન્ય સમાન હશે. આમ, ખાસ કિસ્સામાં, સૂત્ર (93) તુચ્છ ઓળખ બની જાય છે.

વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સથી બનેલા મેટ્રિક્સને ધ્યાનમાં લો

. (97)

આ મેટ્રિક્સમાં એક ક્રમ છે અને તેમાં પ્રથમ પંક્તિઓ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, છેલ્લી પંક્તિ એ ગુણાંક સાથેની પ્રથમ પંક્તિઓનું રેખીય સંયોજન છે. [સે.મી. (83)]. કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી આપણે આવા કોઓર્ડિનેટ્સ પસંદ કરી શકીએ છીએ જેમ કે આ વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ બનેલા નિર્ણાયક , શૂન્યથી અલગ હતું:

. (98)

(99)

સમીકરણોની આ સિસ્ટમમાંથી બહુપદીના ગુણાંક (વેક્ટરનો ન્યૂનતમ બહુપદી) અનન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. નિયમિત કેસ (ફક્ત અને દ્વારા બદલવામાં આવેલા અક્ષરો સાથે), અમે (85) અને (99) માંથી દૂર કરી શકીએ છીએ અને તેના માટે નીચેનું સૂત્ર મેળવી શકીએ છીએ:

. (100)

4. ચાલો આપણે કયા મેટ્રિસિસ માટે અને પ્રારંભિક વેક્ટરની કઈ પસંદગી સાથે અથવા, સમાન શું છે, પ્રારંભિક પરિમાણોની કઈ પસંદગી સાથે નિયમિત કેસ થાય છે તે પ્રશ્નની સ્પષ્ટતા પર ધ્યાન આપીએ.

અમે પહેલાથી જ નિયમિત કિસ્સામાં તે જોયું છે

.

લઘુત્તમ બહુપદી સાથે લાક્ષણિક બહુપદીના સંયોગનો અર્થ એ છે કે મેટ્રિક્સમાં સમાન લાક્ષણિકતા સંખ્યાવાળા બે પ્રાથમિક વિભાજકો નથી, એટલે કે, તમામ પ્રાથમિક વિભાજકો જોડી પ્રમાણે કોપ્રાઈમ છે. એવા કિસ્સામાં કે જ્યાં સાદી રચનાનું મેટ્રિક્સ હોય, આ આવશ્યકતા એ સ્થિતિની સમકક્ષ છે કે લાક્ષણિક સમીકરણમેટ્રિક્સ પાસે બહુવિધ મૂળ નથી.

બહુપદીના સંયોગનો અર્થ એ છે કે વેક્ટર તરીકે પસંદ કરેલ વેક્ટર એ સમગ્ર જગ્યા (ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને) જનરેટ કરે છે. પ્રમેય 2 § 2 મુજબ, આવા વેક્ટર હંમેશા અસ્તિત્વમાં છે.

જો શરત પૂરી ન થાય, તો પછી ભલે આપણે વેક્ટરને કેવી રીતે પસંદ કરીએ, આપણે બહુપદી મેળવીશું નહીં, કારણ કે ક્રાયલોવ પદ્ધતિ દ્વારા મેળવેલ બહુપદી એ વિભાજક છે, જે વિચારણા હેઠળના કિસ્સામાં બહુપદી સાથે સુસંગત નથી, પરંતુ તે છે. માત્ર તેના વિભાજક. વેક્ટરમાં ફેરફાર કરીને, આપણે મૂલ્ય તરીકે કોઈપણ વિભાજક મેળવી શકીએ છીએ.

અમે નીચેના પ્રમેયના સ્વરૂપમાં પ્રાપ્ત તારણો ઘડી શકીએ છીએ:

પ્રમેય 14. ક્રાયલોવ રૂપાંતરણ નિર્ણાયક (93) ના સ્વરૂપમાં મેટ્રિક્સના લાક્ષણિક બહુપદી માટે અભિવ્યક્તિ આપે છે જો અને માત્ર જો બે શરતો પૂરી થાય:

1. મેટ્રિક્સના પ્રાથમિક વિભાજકો જોડી પ્રમાણે કોપ્રાઈમ છે.

2. પ્રારંભિક પરિમાણો એ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ છે જે સમગ્ર -પરિમાણીય જગ્યા (મેટ્રિક્સને અનુરૂપ ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને) જનરેટ કરે છે.

સામાન્ય કિસ્સામાં, ક્રાયલોવ પરિવર્તન લાક્ષણિકતા બહુપદીના ચોક્કસ વિભાજક તરફ દોરી જાય છે. આ વિભાજક કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે વેક્ટર માટે ન્યૂનતમ બહુપદી છે (ક્રિલોવ ટ્રાન્સફોર્મમાં પ્રારંભિક પરિમાણો છે).

5. અમે તમને બતાવીશું કે કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે શોધવી eigenvectorક્રાયલોવ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ બહુપદીનું મૂળ હોય તેવી કોઈપણ લાક્ષણિક સંખ્યા માટે.

આપણે ફોર્મમાં વેક્ટર શોધીશું

વેક્ટર સમાનતા માટે આ અભિવ્યક્તિને બદલીને

અને (101) નો ઉપયોગ કરીને આપણને મળે છે:

અહીંથી, માર્ગ દ્વારા, તે અનુસરે છે, કારણ કે (102) ના ગુણ દ્વારા સમાનતા આપશે રેખીય અવલંબનવેક્ટર્સ વચ્ચે . ભવિષ્યમાં અમે માનીએ છીએ. પછી (102) માંથી આપણે મેળવીએ છીએ:

આમાંની પ્રથમ સમાનતા આપણા માટે ક્રમિક રીતે જથ્થાઓ નક્કી કરે છે ("નવા" ધોરણે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ ); છેલ્લી સમાનતા એ અગાઉના અને સંબંધનું પરિણામ છે .

મૂળ આધારમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે, જે (101) થી અનુસરે છે:

(104)

આ મેટ્રિક્સ હેઠળ આપણે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી એક લીટી લખીએ છીએ. અમે આ સંખ્યાઓ મનસ્વી રીતે અસાઇન કરીએ છીએ (માત્ર એક મર્યાદા સાથે: આમાંની ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા શૂન્યથી અલગ છે). લીટી હેઠળ આપણે લીટી લખીએ છીએ, એટલે કે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ. આપેલ મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ દ્વારા પંક્તિનો ક્રમિક રીતે ગુણાકાર કરીને સંખ્યાઓ મેળવવામાં આવે છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, વગેરે. લીટી હેઠળ આપણે લીટી વગેરે લખીએ છીએ. દરેક સોંપેલ પંક્તિ, બીજીથી શરૂ થતી, આ મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ દ્વારા પાછલી પંક્તિનો ક્રમિક રીતે ગુણાકાર કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.

આ મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ ઉપર આપણે ચેક ટોટલ રો લખીએ છીએ

.

આ કિસ્સામાં અમારી પાસે નિયમિત કેસ છે, ત્યારથી

.

ક્રાયલોવ નિર્ણાયકનું સ્વરૂપ છે

.

આ નિર્ણાયકનું વિસ્તરણ અને દ્વારા ઘટાડીને, અમે શોધીએ છીએ:

ચાલો લાક્ષણિક સંખ્યાને અનુરૂપ મેટ્રિક્સના ઇજેનવેક્ટર દ્વારા સૂચિત કરીએ. અમે સૂત્રો (103) નો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ:

, , , .

નિયંત્રણ સમાનતા, અલબત્ત, સંતુષ્ટ છે.

અમે પરિણામી સંખ્યાઓને વેક્ટરના સ્તંભની સમાંતર ઊભી સ્તંભમાં મૂકીએ છીએ . કૉલમ દ્વારા કૉલમનો ગુણાકાર કરવાથી, અમને મૂળ આધારમાં વેક્ટરનું પ્રથમ સંકલન મળે છે; એ જ રીતે આપણે મેળવીએ છીએ. વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ (4 દ્વારા ઘટાડા પછી) શોધો. એ જ રીતે, અમે લાક્ષણિકતા નંબર માટે eigenvector ના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરીએ છીએ.

, (105)

તમારે પ્રથમ [ટોચથી] પંક્તિ પર રોકવા માટે પરિણામી મેટ્રિક્સના રેન્કનું નિરીક્ષણ કરવાની જરૂર છે, જે અગાઉના લોકોનું રેખીય સંયોજન છે. ક્રમ નક્કી કરવા માટે જાણીતા નિર્ધારકોની ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે. વધુમાં, ફોર્મ (93) અથવા (100) માં ક્રાયલોવ નિર્ણાયક પ્રાપ્ત કર્યા પછી, તેને છેલ્લા કૉલમના ઘટકોમાંથી વિસ્તૃત કરવા માટે, વ્યક્તિએ ક્રમના નિર્ણાયકોની જાણીતી સંખ્યાની ગણતરી કરવી જોઈએ [માના નિયમિત કિસ્સામાં. ઓર્ડર].

ક્રાયલોવ નિર્ણાયકને જાહેર કરવાને બદલે, કોઈ વ્યક્તિ સીધા જ સમીકરણો (91) [અથવા (99)] ની સિસ્ટમમાંથી ગુણાંક નક્કી કરી શકે છે, આ સિસ્ટમને કેટલીક અસરકારક ઉકેલ પદ્ધતિ લાગુ કરીને, ઉદાહરણ તરીકે, નાબૂદી પદ્ધતિ. આ પદ્ધતિ સીધી મેટ્રિક્સ પર લાગુ કરી શકાય છે

અમે તત્વોને શૂન્યમાં ફેરવીએ છીએ - રૂપાંતર પછી આ મેટ્રિક્સની પ્રથમ પંક્તિનું સ્વરૂપ હશે (અને મૂળ પંક્તિ નહીં ) આ મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ માટે.

પછી આપણે ફોર્મમાં મી પંક્તિ શોધીશું

અને પહેલાની લીટીઓ બાદ કર્યા પછી આપણને મળે છે:

.

ક્રાયલોવ પદ્ધતિમાં અમારી ભલામણ કરેલ થોડો ફેરફાર (તેને નાબૂદી પદ્ધતિ સાથે જોડીને) અમને કોઈપણ નિર્ધારકોની ગણતરી કર્યા વિના અને સમીકરણોની સહાયક પ્રણાલીને ઉકેલ્યા વિના તરત જ બહુપદી મેળવવાની પરવાનગી આપે છે જે [નિયમિત કિસ્સામાં] અમને રસ છે.

1931 માં વિદ્વાન એ.એન. ક્રાયલોવ નિર્ણાયક (2) ને જાહેર કરવા માટે એક અનુકૂળ પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂકનાર સૌપ્રથમ હતા.

A.N. ક્રાયલોવની પદ્ધતિનો સાર એ નિર્ણાયક D() ને સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવાનો છે

નિર્ણાયક D() થી શૂન્યની સમાનતા જરૂરી છે અને પૂરતી સ્થિતિકરવા માટે સજાતીય સિસ્ટમરેખીય બીજગણિતીય સમીકરણો

x1, x2, ..., xn, શૂન્યથી અલગ ઉકેલ હતો.

ચાલો સિસ્ટમ (2) ને નીચે પ્રમાણે રૂપાંતરિત કરીએ. ચાલો પ્રથમ સમીકરણનો ગુણાકાર કરીએ અને x1,...,xn ને તેમના અભિવ્યક્તિઓ (2) થી x1,..., xn સાથે બદલીએ.

આ પ્રક્રિયાને (n-1) વખત પુનરાવર્તિત કરીને, આપણે સિસ્ટમ (2) થી સિસ્ટમમાં જઈશું

જેના ગુણાંક રિકરન્ટ ફોર્મ્યુલા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે

દેખીતી રીતે, સિસ્ટમ (5) ના નિર્ધારક પાસે ફોર્મ (1) હશે.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ (5) સમીકરણ D()=0 ને સંતોષતા તમામ મૂલ્યો માટે બિન-શૂન્ય ઉકેલ ધરાવે છે. આમ, D1()=0 સમીકરણ D()=0 ને સંતોષતા બધા માટે.

ચાલો તે બતાવીએ

ચાલો D() ના બધા મૂળ અલગ હોઈએ. D() ના બધા મૂળ D1() ના મૂળ હોવાથી, પછી D1() ને D() વડે વિભાજિત કરવામાં આવે છે. કારણ કે, વધુમાં, D1() અને D() ની શક્તિઓ સમાન છે, ભાગાંક સ્થિર હોવો જોઈએ. n માટે ગુણાંકની સરખામણી કરવાથી, આપણને મળે છે

જો D() બહુવિધ મૂળ ધરાવે છે, તો સમાનતા (8) સાચી રહે છે.

ચાલો હવે D1() નક્કી કરતા સહગુણાંકો બાઇક પર વિચાર કરીએ. ચાલો વેક્ટર Bi નો પરિચય bi1, bi2, …, bin સાથે કરીએ. સમાનતાઓ

બતાવો કે Bi=ABi-1, જ્યાં A એ આપેલ મેટ્રિક્સ છે. તે આના પરથી અનુસરે છે કે

Bi=A i-1B1, B1=AB0, (9)

જ્યાં B0=(1,0,…,0)

જો C0 હોય, તો સમીકરણો D1()=0 અને D()=0 સમકક્ષ છે. જો C = 0 હોય, તો આ રૂપાંતર કંઈ આપતું નથી. A.N. Krylov આ કિસ્સામાં સૂચવે છે વિશેષ સ્વાગત, નીચે ચર્ચા. ચાલો આપણે એક વેક્ટર B0 તરીકે મનસ્વી વેક્ટર B0 = (bi1,bi2,…,bin) લઈએ અને ફોર્મ્યુલા (9) નો ઉપયોગ કરીને વેક્ટર Bi મેળવવા માટે તેનો ઉપયોગ કરીએ.

ચાલો u=b01x1+b02x2+…+b0nxn (10)

જ્યાં x1,x2,…xn એ સિસ્ટમના ઉકેલો છે (1/). પછી, પાછલા તર્કનું પુનરાવર્તન કરીને, આપણને મળે છે:

આ સિસ્ટમને રેખીય સિસ્ટમ તરીકે ઉકેલવી સજાતીય સમીકરણો n+1 અજ્ઞાત u,x1,x2,…xn સાથે, અમે મેળવીએ છીએ કે બિન-શૂન્ય ઉકેલ શક્ય છે જો અને માત્ર જો

અગાઉના તર્કને પુનરાવર્તિત કરીએ છીએ, આપણે તે શોધીએ છીએ

જો C10 હોય, તો લાક્ષણિક બહુપદીના સહગુણાંકો pi ને ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં Di - બીજગણિત ઉમેરાઓ તત્વો n-iનિર્ણાયક D() માં.

પરંતુ ક્રાયલોવની પદ્ધતિનો સાર એ છે કે સગીરોની ગણતરી કર્યા વિના આ ગુણાંકો શોધવા.

ચાલો હેમિલ્ટન-કેલે પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ કે મેટ્રિક્સ તેના લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ છે, એટલે કે.

(A) n+p1(A)n-1+…+pn-1A+pnE=0, (14)

જ્યાં pi લાક્ષણિકતા બહુપદીના ગુણાંક છે.

સમાનતા (14) ને b0 વડે ગુણાકાર કરવાથી આપણને મળે છે:

bn+p1bn-1+p2bn-2+…+pn-1b1+pnb0=0 (15)

આ વેક્ટર સમાનતા લાક્ષણિકતા બહુપદીના ગુણાંક નક્કી કરવા માટે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ આપે છે. આ સિસ્ટમનો નિર્ણાયક C1 ની બરાબર છે. પરિણામી સિસ્ટમ કોઈપણ જાણીતી પદ્ધતિઓ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, ગૌસીયન પદ્ધતિ.

મેટ્રિક્સ A માટે હેમિલ્ટન-કેલે પ્રમેય લાગુ કરવાનું શક્ય બનશે, અને પછી અમે સિસ્ટમ મેળવીશું

сn+p1сn-1+p2сn-2+…+pn-1с1+pnc0=0 (15/)

અહીં ci=Aic0, c0

મનસ્વી શરૂઆત વેક્ટર.

ઉદાહરણ. મેટ્રિક્સ A ને ફોર્મ ધરાવવા દો:

વેક્ટર B0 તરીકે આપણે વેક્ટર B0 = (1,0,0,0) લઈએ છીએ. પછી આપણને વેક્ટર મળે છે

B1=AB0, B2=A2B0= AB1, B3=A3B0=AB2, B4=A4B0=AB3:

લાક્ષણિક બહુપદીના ગુણાંક નક્કી કરવા માટે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ આ સ્વરૂપ ધરાવે છે:

આ સિસ્ટમને હલ કર્યા પછી, આપણને મળે છે: p1=-11, p2=7, p3=72, p4=-93. તેથી, લાક્ષણિકતા બહુપદી સ્વરૂપ લેશે:

ડી()= 4 -113 + 72 +72 -93.

આપેલ ઉદાહરણમાં, C10.

જો C = 0 હોય, તો આવી સિસ્ટમ લાક્ષણિક સમીકરણના ગુણાંક નક્કી કરવાનું શક્ય બનાવશે નહીં. મેટ્રિક્સ A અને મેટ્રિક્સ A તેને સ્થાનાંતરિત કરે છે તે તેના લાક્ષણિક સમીકરણ D(A)=0 ને સંતોષે છે. પરંતુ તે બહાર આવી શકે છે કે n કરતાં ઓછી ડિગ્રીના બહુપદી () છે, જેના માટે સમાનતા (A)=(A)=0 પણ ધરાવે છે. આવા બહુપદીઓમાં, 1 ના અગ્રણી ગુણાંક સાથે એક બહુપદી છે, જે સૌથી નાની ડિગ્રી ધરાવે છે. આ બહુપદીને લઘુત્તમ કહેવાય છે. જો મેટ્રિક્સનો લઘુત્તમ બહુપદી લાક્ષણિક બહુપદી સાથે મેળ ખાતો નથી, તો પ્રારંભિક વેક્ટરની કોઈપણ પસંદગી માટે C = 0. આ કિસ્સામાં, AC0=0 અને વેક્ટર્સ C0, AC0, ..., Аn-1C0 રેખીય રીતે આધારિત છે.

વ્યવહારમાં, ક્રાયલોવ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે, આવી પરિસ્થિતિ ફક્ત વિશિષ્ટ સંજોગોમાં જ ઊભી થઈ શકે છે.

1.2 ક્રાયલોવ પદ્ધતિ

ક્રાયલોવની પદ્ધતિ તેની લાક્ષણિકતા બહુપદીને અદ્રશ્ય કરવા માટે ચોરસ મેટ્રિક્સ M ની મિલકત પર આધારિત છે. આ કાર્યમાં, મેટ્રિક્સ M એ તકનીકી જોડાણોના ગુણાંકનું મેટ્રિક્સ છે, જેનું સ્વરૂપ છે:

હેમિલ્ટન-કેલી પ્રમેય મુજબ, દરેક ચોરસ મેટ્રિક્સતેના લાક્ષણિક બહુપદીનું મૂળ છે અને તેથી, તેને શૂન્યમાં ફેરવે છે. ચાલો (1.2.1) લાક્ષણિક બહુપદી હોઈએ

અભિવ્યક્તિમાં λ ના મૂલ્યને M સાથે બદલીને, આપણે મેળવીએ છીએ

મનસ્વી બિન-શૂન્ય વેક્ટર Y 0 લઈને અને તેના દ્વારા અભિવ્યક્તિ (1.2.2) ની બંને બાજુનો ગુણાકાર કરવાથી, અમને મળે છે:

અથવા ફોર્મમાં

જો આ સિસ્ટમ ધરાવે છે એકમાત્ર ઉકેલ, પછી તેના મૂળ p 1, p 2 .....p n લાક્ષણિકતા બહુપદીના ગુણાંક છે (1.2.1).

જો ગુણાંક р 1 , р 2 …..р n , અને લાક્ષણિક બહુપદીના મૂળ λ 1 , λ 2 ,….λ n જાણીતા હોય, તો ક્રાયલોવ પદ્ધતિ દ્વારા અનુરૂપ વેક્ટર શોધવાનું શક્ય બને છે. નીચેનું સૂત્ર:

અહીં y (n -1), y (n -2), …. y (0) એ ક્રાયલોવ પદ્ધતિ દ્વારા ગુણાંક p 1, p 2 .....p n શોધવા માટે વપરાતા વેક્ટર છે, અને ગુણાંક q ij () હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.

q 0i = 1, q ij = λ i q i-1,i +p i (1.2.7)

નક્કી કરવા માટે eigenvaluesમેટ્રિક્સ M, પરિણામી લાક્ષણિકતા સમીકરણને હલ કરવું જરૂરી છે. મેટ્રિક્સ M માટે, આ સમીકરણ પાંચમી ડિગ્રીનું હશે;

1.3 ન્યૂટનની પદ્ધતિ (સ્પર્શક પદ્ધતિ)

ન્યૂટનની પદ્ધતિ (ટેન્જેન્ટ પદ્ધતિ તરીકે પણ ઓળખાય છે) એ પુનરાવર્તિત છે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઆપેલ કાર્યનું મૂળ (શૂન્ય) શોધવું. ઉકેલની શોધ ક્રમિક અંદાજો બાંધીને હાથ ધરવામાં આવે છે અને તે સરળ પુનરાવર્તનના સિદ્ધાંતો પર આધારિત છે. પદ્ધતિમાં ચતુર્ભુજ કન્વર્જન્સ છે. પદ્ધતિમાં સુધારો એ તાર અને સ્પર્શકોની પદ્ધતિ છે. ન્યૂટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે પણ થઈ શકે છે જેમાં બહુપરિમાણીય જગ્યાના કિસ્સામાં પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અથવા ઢાળનું શૂન્ય નક્કી કરવું જરૂરી છે.

સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ f(x) = 0 ને આંકડાકીય રીતે ઉકેલવા માટે, તેને ઘટાડવું આવશ્યક છે નીચેના ફોર્મ: x = f(x), જ્યાં f(x) એ સંકોચન મેપિંગ છે.

પદ્ધતિના શ્રેષ્ઠ સંકલન માટે, આગામી અંદાજના બિંદુએ સ્થિતિ સંતુષ્ટ થવી આવશ્યક છે. ઉકેલ આપેલ સમીકરણફોર્મમાં શોધો, પછી:

ધારી રહ્યા છીએ કે અભિગમ બિંદુ મૂળની "પર્યાપ્ત નજીક" છે, અને તે આપેલ કાર્યસતત છે, માટે અંતિમ સૂત્ર છે:

(1.3.2)

આને ધ્યાનમાં લેતા, કાર્યને અભિવ્યક્તિ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

(1.3.3)

આ ફંક્શન રુટના પડોશમાં સંકુચિત મેપિંગ કરે છે, અને શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ સંખ્યાત્મક ઉકેલસમીકરણને પુનરાવર્તિત ગણતરી પ્રક્રિયામાં ઘટાડવામાં આવે છે:

(1.3.4)

બનાચના પ્રમેય મુજબ, અંદાજનો ક્રમ સમીકરણના મૂળ તરફ વળે છે.

આકૃતિ 1.1- ગ્રાફિકલ રજૂઆતન્યુટનની પદ્ધતિ

પદ્ધતિનો મુખ્ય વિચાર નીચે મુજબ છે: અનુમાનિત મૂળની નજીક પ્રારંભિક અંદાજ નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, ત્યારબાદ અભ્યાસ હેઠળના કાર્યની સ્પર્શક અંદાજિત બિંદુ પર બનાવવામાં આવે છે, જેના માટે એબ્સીસા અક્ષ સાથે આંતરછેદ જોવા મળે છે. આ બિંદુ આગામી અંદાજ તરીકે લેવામાં આવે છે. અને તેથી જ્યાં સુધી જરૂરી ચોકસાઈ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી.

ન્યુટનની પદ્ધતિના ફાયદા:

1) જો લઘુત્તમ કાર્ય ચતુર્થાંશ છે, તો પદ્ધતિ તમને એક પગલામાં લઘુત્તમ શોધવાની મંજૂરી આપશે;

2) જો કાર્ય ઘટાડી રહ્યું છે તે ક્રાંતિની સપાટીના વર્ગનું છે, તો પદ્ધતિ પણ એક પગલામાં કન્વર્જન્સની ખાતરી કરે છે;

3) જો ફંક્શન અસમપ્રમાણ છે, તો પદ્ધતિ કન્વર્જન્સને સુનિશ્ચિત કરતી નથી અંતિમ સંખ્યાપગલાં પરંતુ ઘણા કાર્યો માટે ઘણું બધું પ્રાપ્ત થાય છે ઊંચી ઝડપપદ્ધતિના અન્ય ફેરફારોનો ઉપયોગ કરતી વખતે કરતાં કન્વર્જન્સ સૌથી ઊભો વંશ.

ક્રાયલોવ પદ્ધતિ અને ન્યુટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ પરિશિષ્ટમાં આપવામાં આવ્યો છે. પદ્ધતિઓ MathCAD અને VB.Net પર્યાવરણમાં લાગુ કરવામાં આવી હતી.

વિકાસ માટે અને સામગ્રી ખર્ચ. આમ, ડિપ્લોમા ડિઝાઇનનો ધ્યેય વિકાસ કરવાનો છે સોફ્ટવેર પેકેજવ્યક્તિગત કમ્પ્યુટર પર રડાર પરિસ્થિતિનું મોડેલિંગ કરવા માટે, તમને રડાર પરિસ્થિતિનો ઉપયોગ કરીને અનુકરણ કરવાની મંજૂરી આપે છે આપેલ પરિમાણો, ગણતરી કરેલ મોડેલ ધરાવતી આઉટપુટ ફાઇલ બનાવો, વાસ્તવિક પ્રોસેસિંગ ઉપકરણોને ચકાસવા માટે પરિણામી ફાઇલનો ઉપયોગ કરો...