5મી શક્તિમાં વધારો. અતાર્કિક શક્તિમાં વધારો

ઘાત એ ગુણાકાર સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત એક ક્રિયા છે; ચાલો તેને સૂત્ર સાથે રજૂ કરીએ: a1 * a2 * … * an = an.

ઉદાહરણ તરીકે, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

સામાન્ય રીતે, ઘાતનો ઉપયોગ ઘણી વખત માં થાય છે વિવિધ સૂત્રોગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં. આ ફંક્શન ચાર મુખ્ય મુદ્દાઓ કરતાં વધુ વૈજ્ઞાનિક હેતુ ધરાવે છે: સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર.

સંખ્યાને ઘાતમાં વધારવી

સંખ્યાને પાવરમાં વધારવી એ કોઈ જટિલ કામગીરી નથી. તે ગુણાકાર અને ઉમેરા વચ્ચેના સંબંધની સમાન રીતે ગુણાકાર સાથે સંબંધિત છે. રેકોર્ડ કરો - ટૂંકી નોંધસંખ્યાઓની nમી સંખ્યા "a" એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર.

ઘાતીકરણને સૌથી વધુ ધ્યાનમાં લો સરળ ઉદાહરણો, જટિલ મુદ્દાઓ પર ખસેડવું.

ઉદાહરણ તરીકે, 42. 42 = 4 * 4 = 16. ચાર ચોરસ (બીજી ઘાત સુધી) સોળ બરાબર છે. જો તમે ગુણાકાર 4 * 4 સમજી શકતા નથી, તો પછી ગુણાકાર વિશે અમારો લેખ વાંચો.

ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . પાંચ ઘન (ત્રીજી શક્તિ સુધી) એકસો પચીસ બરાબર છે.

બીજું ઉદાહરણ: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . નવ ઘન બરાબર સાતસો ઓગણત્રીસ.

ઘાતીકરણ સૂત્રો

શક્તિને યોગ્ય રીતે વધારવા માટે, તમારે નીચે આપેલા સૂત્રોને યાદ રાખવાની અને જાણવાની જરૂર છે. આમાં વધુ કુદરતી કંઈ નથી, મુખ્ય વસ્તુ એ સારને સમજવાની છે અને પછી તે ફક્ત યાદ જ નહીં, પણ સરળ પણ લાગશે.

એક સત્તા માટે એકપાત્રી વધારો

મોનોમિયલ શું છે? આ કોઈપણ જથ્થામાં સંખ્યાઓ અને ચલોનું ઉત્પાદન છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે એ એકવિધ છે. અને આ લેખ ચોક્કસ રીતે આવા મોનોમિયલ્સને સત્તામાં વધારવા વિશે છે.

ઘાતાંક માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, મોનોમિયલના ઘાતની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ નહીં હોય.

ઉદાહરણ તરીકે, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; જો તમે મોનોમિયલને પાવરમાં વધારશો, તો મોનોમિયલના દરેક ઘટકને પાવરમાં વધારવામાં આવશે.

એક ચલને વધારીને કે જેની પાસે પહેલાથી જ પાવરની શક્તિ છે, શક્તિઓનો ગુણાકાર થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

નકારાત્મક શક્તિમાં વધારો

નકારાત્મક ડિગ્રી - પારસ્પરિક સંખ્યા. પારસ્પરિક સંખ્યા શું છે? કોઈપણ સંખ્યા X નો પરસ્પર 1/X છે. તે X-1=1/X છે. આ નકારાત્મક ડિગ્રીનો સાર છે.

ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લો (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

આવું કેમ છે? ડિગ્રીમાં માઈનસ હોવાથી, અમે તેને ફક્ત છેદમાં સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ આ અભિવ્યક્તિ, અને પછી તેને ત્રીજી શક્તિમાં વધારો. સરળ છે ને?

અપૂર્ણાંક શક્તિમાં વધારો

ચાલો આ મુદ્દા પર વિચારણા શરૂ કરીએ ચોક્કસ ઉદાહરણ. 43/2. ડિગ્રી 3/2 નો અર્થ શું છે? 3 – અંશ, એટલે સંખ્યા વધારવી (થી આ કિસ્સામાં 4) પ્રતિ ઘન મીટર નંબર 2 એ છેદ છે; તે સંખ્યાના બીજા મૂળનું નિષ્કર્ષણ છે (આ કિસ્સામાં, 4).

પછી આપણને 43 = 2^3 = 8 નું વર્ગમૂળ મળે છે. જવાબ: 8.

તેથી, અપૂર્ણાંક ડિગ્રીનો છેદ 3 અથવા 4 અથવા અનંતની કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે, અને આ સંખ્યા ડિગ્રી નક્કી કરે છે વર્ગમૂળ, માંથી કાઢવામાં આવે છે આપેલ નંબર. અલબત્ત, છેદ શૂન્ય ન હોઈ શકે.

એક શક્તિ માટે રુટ વધારો

જો મૂળને શક્તિ સુધી ઉછેરવામાં આવે છે, સમાન રીતેરુટ પોતે, પછી જવાબ આમૂલ અભિવ્યક્તિ હશે. ઉદાહરણ તરીકે, (√x)2 = x. અને તેથી કોઈ પણ સંજોગોમાં, મૂળની ડિગ્રી અને મૂળને વધારવાની ડિગ્રી સમાન છે.

જો (√x)^4. પછી (√x)^4=x^2. ઉકેલ તપાસવા માટે, અમે અપૂર્ણાંક શક્તિ સાથે અભિવ્યક્તિને અભિવ્યક્તિમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. મૂળ ચોરસ હોવાથી, છેદ 2 છે. અને જો મૂળને ચોથી ઘાત સુધી વધારવામાં આવે, તો અંશ 4 છે. આપણને 4/2=2 મળે છે. જવાબ: x = 2.

કોઈપણ રીતે શ્રેષ્ઠ વિકલ્પફક્ત અપૂર્ણાંક શક્તિ સાથે અભિવ્યક્તિને અભિવ્યક્તિમાં રૂપાંતરિત કરો. જો અપૂર્ણાંક રદ થતો નથી, તો આ જવાબ છે, જો આપેલ સંખ્યાનું મૂળ અલગ ન હોય.

જટિલ સંખ્યાને ઘાતમાં વધારવી

જટિલ સંખ્યા શું છે? જટિલ સંખ્યા– a + b * i સૂત્ર ધરાવતી અભિવ્યક્તિ; a, b વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. i એક એવી સંખ્યા છે જેનો વર્ગ કરવામાં આવે ત્યારે -1 નંબર મળે છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

અભ્યાસક્રમ માટે સાઇન અપ કરો "માનસિક અંકગણિતને વેગ આપો, નહીં માનસિક અંકગણિત"શીખવા માટે કે કેવી રીતે ઝડપથી અને યોગ્ય રીતે સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર, વર્ગ અને મૂળ પણ લેવા. 30 દિવસમાં તમે અંકગણિત કામગીરીને સરળ બનાવવા માટે સરળ તકનીકોનો ઉપયોગ કરવાનું શીખી શકશો. દરેક પાઠમાં નવી તકનીકો, સ્પષ્ટ ઉદાહરણો અને ઉપયોગી કાર્યો શામેલ છે.

ઘાતીકરણ ઓનલાઇન

અમારા કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને, તમે સંખ્યાને પાવરમાં વધારવાની ગણતરી કરી શકો છો:

ઘાતીકરણ 7 મી ગ્રેડ

શાળાના બાળકો માત્ર સાતમા ધોરણમાં જ ઉછેર કરવાનું શરૂ કરે છે.

ઘાત એ ગુણાકાર સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત એક ક્રિયા છે; ચાલો તેને સૂત્ર સાથે રજૂ કરીએ: a1 * a2 * … * an=an.

ઉદાહરણ તરીકે, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

ઉકેલ માટે ઉદાહરણો:

ઘાતીકરણ પ્રસ્તુતિ

સાતમા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ માટે રચાયેલ શક્તિઓને વધારવા પર પ્રસ્તુતિ. પ્રસ્તુતિ કેટલાક અસ્પષ્ટ મુદ્દાઓને સ્પષ્ટ કરી શકે છે, પરંતુ આ મુદ્દાઓ કદાચ અમારા લેખને કારણે સ્પષ્ટ થશે નહીં.

બોટમ લાઇન

ગણિતને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે અમે માત્ર આઇસબર્ગની ટોચ પર જોયું - અમારા અભ્યાસક્રમ માટે સાઇન અપ કરો: માનસિક અંકગણિતને વેગ આપવો - માનસિક અંકગણિત નહીં.

કોર્સમાંથી તમે ફક્ત સરળ અને ડઝનેક તકનીકો શીખી શકશો નહીં ઝડપી ગુણાકાર, વધુમાં, ગુણાકાર, ભાગાકાર, ટકાવારીની ગણતરી, પરંતુ તમે તેમાં પણ કામ કરશો ખાસ સોંપણીઓઅને શૈક્ષણિક રમતો! માનસિક અંકગણિતને પણ ઘણું ધ્યાન અને એકાગ્રતાની જરૂર હોય છે, જે રસપ્રદ સમસ્યાઓ ઉકેલતી વખતે સક્રિય રીતે પ્રશિક્ષિત હોય છે.

અમે શોધી કાઢ્યું કે સંખ્યાની શક્તિ ખરેખર શું છે. હવે આપણે તેને યોગ્ય રીતે કેવી રીતે ગણવું તે સમજવાની જરૂર છે, એટલે કે. સંખ્યાઓને સત્તામાં વધારો. આ સામગ્રીમાં આપણે પૂર્ણાંક, કુદરતી, અપૂર્ણાંક, તર્કસંગત અને અતાર્કિક સૂચક. બધી વ્યાખ્યાઓ ઉદાહરણો સાથે સચિત્ર કરવામાં આવશે.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ઘાતની વિભાવના

ચાલો મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ ઘડીને શરૂઆત કરીએ.

વ્યાખ્યા 1

ઘાતચોક્કસ સંખ્યાની શક્તિના મૂલ્યની ગણતરી છે.

એટલે કે, "શક્તિની કિંમતની ગણતરી કરવી" અને "શક્તિ વધારવા" શબ્દોનો અર્થ સમાન છે. તેથી, જો સમસ્યા કહે છે કે "સંખ્યા 0, 5 ને પાંચમી ઘાત સુધી વધારી દો," તો તેને "પાવર (0, 5) 5ની કિંમતની ગણતરી કરો" તરીકે સમજવું જોઈએ.

હવે અમે મૂળભૂત નિયમો રજૂ કરીએ છીએ જે આવી ગણતરીઓ કરતી વખતે અનુસરવા જોઈએ.

ચાલો યાદ કરીએ કે સંખ્યાની શક્તિ શું છે કુદરતી સૂચક. આધાર a અને ઘાતાંક n સાથેની ઘાત માટે, આ અવયવોની nમી સંખ્યાનું ઉત્પાદન હશે, જેમાંથી દરેક a ની બરાબર છે. આ આ રીતે લખી શકાય છે:

ડિગ્રીના મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે, તમારે ગુણાકારની ક્રિયા કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, ડિગ્રીના પાયાનો ગુણાકાર કરો. ઉલ્લેખિત નંબરએકવાર કુદરતી ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીનો ખ્યાલ ઝડપથી ગુણાકાર કરવાની ક્ષમતા પર આધારિત છે. ચાલો ઉદાહરણો આપીએ.

ઉદાહરણ 1

શરત: વધારો - 2 થી ઘાત 4.

ઉકેલ

ઉપરની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, અમે લખીએ છીએ: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . આગળ આપણે માત્ર કરવાની જરૂર છે ઉલ્લેખિત ક્રિયાઓઅને 16 મેળવો.

ચાલો એક વધુ જટિલ ઉદાહરણ લઈએ.

ઉદાહરણ 2

મૂલ્ય 3 2 7 2 ની ગણતરી કરો

ઉકેલ

આ એન્ટ્રી 3 2 7 · 3 2 7 તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે. અગાઉ, અમે શરતમાં ઉલ્લેખિત મિશ્ર સંખ્યાઓનો યોગ્ય રીતે ગુણાકાર કેવી રીતે કરવો તે જોયું.

ચાલો આ પગલાંઓ કરીએ અને જવાબ મેળવીએ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

જો સમસ્યા અતાર્કિક સંખ્યાઓને વધારવાની જરૂરિયાત સૂચવે છે કુદરતી ડિગ્રી, અમારે પહેલા તેમના પાયાને એક અંકમાં ગોળાકાર કરવાની જરૂર પડશે જે અમને જરૂરી ચોકસાઈનો જવાબ મેળવવાની મંજૂરી આપશે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ 3

π નો વર્ગ કરો.

ઉકેલ

પ્રથમ, ચાલો તેને સોમાં રાઉન્ડ કરીએ. પછી π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. જો π ≈ 3. 14159, પછી આપણને વધુ સચોટ પરિણામ મળે છે: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

નોંધ કરો કે અતાર્કિક સંખ્યાઓની શક્તિઓની ગણતરી કરવાની જરૂરિયાત વ્યવહારમાં પ્રમાણમાં ભાગ્યે જ ઊભી થાય છે. પછી આપણે જવાબને પાવર (ln 6) 3 તરીકે લખી શકીએ છીએ અથવા જો શક્ય હોય તો કન્વર્ટ કરી શકીએ છીએ: 5 7 = 125 5 .

અલગથી, તે સૂચવવું જોઈએ કે સંખ્યાની પ્રથમ શક્તિ શું છે. અહીં તમે ખાલી યાદ રાખી શકો છો કે પ્રથમ ઘાત પર વધારવામાં આવેલ કોઈપણ સંખ્યા પોતે જ રહેશે:

આ રેકોર્ડિંગ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે .

તે ડિગ્રીના આધારે નિર્ભર નથી.

ઉદાહરણ 4

તેથી, (− 9) 1 = − 9, અને 7 3 ને પ્રથમ ઘાતમાં વધારીને 7 3 ની બરાબર રહેશે.

સગવડ માટે, અમે ત્રણ કિસ્સાઓને અલગથી તપાસીશું: જો ઘાતાંક ધન પૂર્ણાંક છે, જો તે શૂન્ય છે અને જો તે નકારાત્મક પૂર્ણાંક છે.

પ્રથમ કિસ્સામાં, આ કુદરતી શક્તિમાં વધારો કરવા જેવું જ છે: છેવટે, સંપૂર્ણ હકારાત્મક સંખ્યાઓકુદરતી રાશિઓના સમૂહ સાથે સંબંધિત છે. આવી ડિગ્રીઓ સાથે કેવી રીતે કામ કરવું તે વિશે અમે ઉપર વાત કરી છે.

હવે ચાલો જોઈએ કે શૂન્ય પાવરને યોગ્ય રીતે કેવી રીતે વધારવું. શૂન્ય સિવાયના આધાર માટે, આ ગણતરી હંમેશા 1 આઉટપુટ કરે છે. અમે પહેલા જ સમજાવ્યું છે કે a ની 0મી શક્તિ કોઈપણ માટે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે વાસ્તવિક સંખ્યા, 0 ની બરાબર નથી, અને a 0 = 1.

ઉદાહરણ 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - વ્યાખ્યાયિત નથી.

આપણી પાસે પૂર્ણાંક નકારાત્મક ઘાતાંક સાથે માત્ર ડિગ્રીનો કેસ બાકી છે. અમે પહેલાથી જ ચર્ચા કરી છે કે આવી ડિગ્રીઓને અપૂર્ણાંક 1 a z તરીકે લખી શકાય છે, જ્યાં a એ કોઈપણ સંખ્યા છે, અને z એ પૂર્ણાંક છે. નકારાત્મક સૂચક. આપણે જોઈએ છીએ કે આ અપૂર્ણાંકનો છેદ એ સકારાત્મક પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની સામાન્ય શક્તિ સિવાય બીજું કંઈ નથી, અને આપણે તેની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે શીખ્યા છીએ. ચાલો કાર્યોના ઉદાહરણો આપીએ.

ઉદાહરણ 6

3 ને પાવર - 2 માં વધારો.

ઉકેલ

ઉપરની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, અમે લખીએ છીએ: 2 - 3 = 1 2 3

ચાલો આ અપૂર્ણાંકના છેદની ગણતરી કરીએ અને 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 મેળવો.

તો જવાબ છે: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

ઉદાહરણ 7

1.43 ને -2 પાવરમાં વધારો.

ઉકેલ

ચાલો સુધારીએ: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

આપણે છેદમાં ચોરસની ગણતરી કરીએ છીએ: 1.43·1.43. દશાંશનો આ રીતે ગુણાકાર કરી શકાય છે:

પરિણામે, અમને (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 મળ્યા. આપણે ફક્ત આ પરિણામ ફોર્મમાં લખવાનું છે સામાન્ય અપૂર્ણાંક, જેના માટે તમારે તેને 10 હજાર વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે (અપૂર્ણાંકને કન્વર્ટ કરવા માટેની સામગ્રી જુઓ).

જવાબ: (1, 43) - 2 = 10000 20449

એક વિશેષ કેસ માઈનસ ફર્સ્ટ પાવરમાં સંખ્યા વધારી રહ્યો છે. આ ડિગ્રીનું મૂલ્ય આધારના મૂળ મૂલ્યના પરસ્પર સમાન છે: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

ઉદાહરણ 8

ઉદાહરણ: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

સંખ્યાને અપૂર્ણાંક શક્તિમાં કેવી રીતે વધારવી

આ ઓપરેશન કરવા માટે આપણે યાદ રાખવાની જરૂર છે મૂળભૂત વ્યાખ્યાઅપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ: a m n = a m n કોઈપણ ધન a, પૂર્ણાંક m અને કુદરતી n માટે.

વ્યાખ્યા 2

આમ, અપૂર્ણાંક શક્તિની ગણતરી બે પગલામાં થવી જોઈએ: પૂર્ણાંક શક્તિમાં વધારો કરવો અને nમી શક્તિનું મૂળ શોધવું.

અમારી પાસે સમાનતા a m n = a m n છે, જે મૂળના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેતા, સામાન્ય રીતે a m n = a n m સ્વરૂપમાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વપરાય છે. આનો અર્થ એ થયો કે જો આપણે સંખ્યા a ને અપૂર્ણાંક ઘાત m/n સુધી વધારીએ, તો પહેલા આપણે a નું nમું મૂળ લઈએ, પછી આપણે પૂર્ણાંક ઘાત m સાથેની ઘાતમાં પરિણામ વધારીએ.

ચાલો એક ઉદાહરણ સાથે સમજાવીએ.

ઉદાહરણ 9

8 - 2 3 ની ગણતરી કરો.

ઉકેલ

પદ્ધતિ 1: મૂળભૂત વ્યાખ્યા મુજબ, આપણે તેને આ રીતે રજૂ કરી શકીએ છીએ: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

હવે ચાલો મૂળ હેઠળની ડિગ્રીની ગણતરી કરીએ અને પરિણામમાંથી ત્રીજું મૂળ કાઢીએ: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

પદ્ધતિ 2. મૂળભૂત સમાનતાને રૂપાંતરિત કરો: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

આ પછી, આપણે મૂળ 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 કાઢીએ છીએ અને પરિણામનો વર્ગ કરીએ છીએ: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

આપણે જોઈએ છીએ કે ઉકેલો સમાન છે. તમે ગમે તે રીતે તેનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

એવા કિસ્સાઓ છે જ્યારે ડિગ્રીમાં મિશ્ર સંખ્યા અથવા દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવવામાં આવેલ સૂચક હોય છે. ગણતરીઓની સરળતા માટે, તેને બદલવું વધુ સારું છે સામાન્ય અપૂર્ણાંકઅને ઉપર મુજબ ગણો.

ઉદાહરણ 10

44, 89 ને 2, 5 ની ઘાતમાં વધારો.

ઉકેલ

ચાલો સૂચકના મૂલ્યને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

હવે આપણે ઉપર દર્શાવેલ બધી ક્રિયાઓ ક્રમમાં કરીએ છીએ: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 13010 = 13050 13 501, 25107

જવાબ: 13 501, 25107.

જો અંશ અને છેદમાં હોય અપૂર્ણાંક સૂચકડિગ્રી વર્થ છે મોટી સંખ્યાઓ, પછી સાથે આવી શક્તિઓની ગણતરી તર્કસંગત સૂચકાંકો- પર્યાપ્ત મુશ્કેલ કામ. તે સામાન્ય રીતે કોમ્પ્યુટર ટેકનોલોજી જરૂરી છે.

ચાલો આપણે અલગથી શૂન્ય આધાર અને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ પર ધ્યાન આપીએ. 0 m n ફોર્મની અભિવ્યક્તિનો નીચેનો અર્થ આપી શકાય છે: જો m n > 0, તો 0 m n = 0 m n = 0; જો m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

સંખ્યાને અતાર્કિક શક્તિમાં કેવી રીતે વધારવી

જેની ઘાત છે તેની શક્તિની કિંમતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે અતાર્કિક સંખ્યા, ઘણી વાર થતી નથી. વ્યવહારમાં, કાર્ય સામાન્ય રીતે ગણતરી સુધી મર્યાદિત હોય છે અંદાજિત મૂલ્ય(દશાંશ સ્થાનોની ચોક્કસ સંખ્યા સુધી). આ સામાન્ય રીતે આવી ગણતરીઓની જટિલતાને લીધે કમ્પ્યુટર પર ગણતરી કરવામાં આવે છે, તેથી અમે આના પર વિગતવાર ધ્યાન આપીશું નહીં, અમે ફક્ત મુખ્ય મુદ્દાઓ સૂચવીશું.

જો આપણે અતાર્કિક ઘાતાંક a સાથે ઘાત a ની કિંમતની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય, તો આપણે ઘાતાંકનો દશાંશ અંદાજ લઈએ અને તેમાંથી ગણતરી કરીએ. પરિણામ અંદાજિત જવાબ હશે. દશાંશ અંદાજ જેટલો વધુ સચોટ છે, તેટલો વધુ સચોટ જવાબ. ચાલો એક ઉદાહરણ સાથે બતાવીએ:

ઉદાહરણ 11

21, 174367 ની અંદાજિત કિંમતની ગણતરી કરો....

ઉકેલ

ચાલો આપણે આપણી જાતને દશાંશ અંદાજ a n = 1, 17 સુધી મર્યાદિત કરીએ. ચાલો આ સંખ્યાનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ કરીએ: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. જો આપણે લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, આશરે a n = 1, 1743, તો જવાબ થોડો વધુ સચોટ હશે: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

સંખ્યાની શક્તિ વિશે વાતચીત ચાલુ રાખીને, શક્તિનું મૂલ્ય કેવી રીતે શોધવું તે શોધવાનું તાર્કિક છે. આ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે ઘાત. આ લેખમાં આપણે અભ્યાસ કરીશું કે ઘાતાંક કેવી રીતે કરવામાં આવે છે, જ્યારે આપણે તમામ સંભવિત ઘાતાંકને સ્પર્શ કરીશું - કુદરતી, પૂર્ણાંક, તર્કસંગત અને અતાર્કિક. અને પરંપરા અનુસાર, અમે વિવિધ શક્તિઓને સંખ્યા વધારવાના ઉદાહરણોના વિગતવાર ઉકેલો પર વિચાર કરીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

"ઘાત" નો અર્થ શું છે?

ચાલો ઘાતાંક શું કહેવાય છે તે સમજાવીને શરૂ કરીએ. અહીં સંબંધિત વ્યાખ્યા છે.

વ્યાખ્યા.

ઘાત- આ સંખ્યાની શક્તિનું મૂલ્ય શોધી રહ્યું છે.

આમ, ઘાત r સાથે સંખ્યા a ની ઘાતનું મૂલ્ય શોધવું અને સંખ્યા a ને ઘાત r સુધી વધારવી એ સમાન વસ્તુ છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કાર્ય "પાવર (0.5) 5 ની કિંમતની ગણતરી કરો" છે, તો તેને નીચે પ્રમાણે સુધારી શકાય છે: "સંખ્યા 0.5 ને પાવર 5 પર વધારવો."

હવે તમે સીધા નિયમો પર જઈ શકો છો જેના દ્વારા ઘાત કરવામાં આવે છે.

કુદરતી શક્તિ માટે સંખ્યા વધારવી

વ્યવહારમાં, પર આધારિત સમાનતા સામાન્ય રીતે ફોર્મમાં લાગુ થાય છે. એટલે કે, જ્યારે સંખ્યા a ને અપૂર્ણાંક ઘાત m/n સુધી વધારતા હોય, ત્યારે પ્રથમ a સંખ્યાનો nમો મૂળ લેવામાં આવે છે, ત્યારબાદ પરિણામી પરિણામને પૂર્ણાંક ઘાત m સુધી વધારવામાં આવે છે.

ચાલો અપૂર્ણાંક શક્તિમાં વધારો કરવાના ઉદાહરણોના ઉકેલો જોઈએ.

ઉદાહરણ.

ડિગ્રીના મૂલ્યની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.

અમે બે ઉકેલો બતાવીશું.

પ્રથમ માર્ગ. અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યા દ્વારા. અમે રુટ સાઇન હેઠળ ડિગ્રીના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ છીએ, અને પછી બહાર કાઢીએ છીએ ઘનમૂળ: .

બીજી રીત. અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની વ્યાખ્યા દ્વારા અને મૂળના ગુણધર્મોના આધારે, નીચેની સમાનતાઓ સાચી છે: . હવે આપણે રુટ કાઢીએ છીએ , અંતે, આપણે તેને પૂર્ણાંક ઘાતમાં વધારીએ છીએ .

દેખીતી રીતે, અપૂર્ણાંક શક્તિમાં વધારો કરવાના પ્રાપ્ત પરિણામો એકરૂપ છે.

જવાબ:

નોંધ કરો કે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક તરીકે લખી શકાય છે દશાંશઅથવા મિશ્ર સંખ્યા, આ કિસ્સાઓમાં તે અનુરૂપ સામાન્ય અપૂર્ણાંક દ્વારા બદલવું જોઈએ, અને પછી પાવર સુધી વધવું જોઈએ.

ઉદાહરણ.

ગણતરી કરો (44.89) 2.5.

ઉકેલ.

ચાલો ઘાતાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકના રૂપમાં લખીએ (જો જરૂરી હોય તો, લેખ જુઓ): . હવે આપણે અપૂર્ણાંક શક્તિમાં વધારો કરીએ છીએ:

જવાબ:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

એવું પણ કહેવું જોઈએ કે તર્કસંગત શક્તિઓમાં સંખ્યાઓ વધારવી એ એક જગ્યાએ શ્રમ-સઘન પ્રક્રિયા છે (ખાસ કરીને જ્યારે અપૂર્ણાંક ઘાતાંકના અંશ અને છેદમાં પૂરતી મોટી સંખ્યાઓ હોય છે), જે સામાન્ય રીતે ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે. કમ્પ્યુટર ટેકનોલોજી.

આ બિંદુને સમાપ્ત કરવા માટે, ચાલો આપણે સંખ્યા શૂન્યને અપૂર્ણાંક શક્તિમાં વધારવા પર ધ્યાન આપીએ. અપૂર્ણાંક ડિગ્રીફોર્મનો શૂન્ય અમે નીચેનો અર્થ આપ્યો: જ્યારે આપણી પાસે હોય , અને શૂન્ય થી m/n પાવર વ્યાખ્યાયિત નથી. તેથી, અપૂર્ણાંકમાં શૂન્ય હકારાત્મક ડિગ્રી શૂન્ય બરાબર, ઉદાહરણ તરીકે, . અને અપૂર્ણાંક નકારાત્મક શક્તિમાં શૂન્યનો અર્થ નથી, ઉદાહરણ તરીકે, 0 -4.3 અભિવ્યક્તિઓનો અર્થ નથી.

અતાર્કિક શક્તિમાં વધારો

કેટલીકવાર અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે સંખ્યાની શક્તિનું મૂલ્ય શોધવાનું જરૂરી બને છે. તે જ સમયે, માં વ્યવહારુ હેતુઓસામાન્ય રીતે તે ચોક્કસ નિશાની સુધીની ડિગ્રીનું મૂલ્ય મેળવવા માટે પૂરતું છે. ચાલો તરત જ નોંધ લઈએ કે વ્યવહારમાં આ મૂલ્યની ગણતરી ઈલેક્ટ્રોનિક કોમ્પ્યુટરનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે, કારણ કે IR સુધી વધારીને તર્કસંગત ડિગ્રીમેન્યુઅલી જરૂરી છે મોટી માત્રામાંબોજારૂપ ગણતરીઓ. પરંતુ હજુ પણ અમે વર્ણન કરીશું સામાન્ય રૂપરેખાક્રિયાનો સાર.

અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે સંખ્યા a ની શક્તિનું અંદાજિત મૂલ્ય મેળવવા માટે, ઘાતાંકનો અમુક દશાંશ અંદાજ લેવામાં આવે છે અને ઘાતનું મૂલ્ય ગણવામાં આવે છે. આ મૂલ્ય એ અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે સંખ્યા aની શક્તિનું અંદાજિત મૂલ્ય છે. શરૂઆતમાં સંખ્યાનો દશાંશ અંદાજ જેટલો વધુ સચોટ છે, તેટલો વધુ ચોક્કસ મૂલ્યડિગ્રી અંતે પ્રાપ્ત થશે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો 2 1.174367 ની શક્તિના અંદાજિત મૂલ્યની ગણતરી કરીએ... . ચાલો અતાર્કિક ઘાતાંકનો નીચેનો દશાંશ અંદાજ લઈએ: . હવે આપણે 2 ને બુદ્ધિગમ્ય શક્તિ 1.17 પર વધારીએ છીએ (અમે અગાઉના ફકરામાં આ પ્રક્રિયાના સારનું વર્ણન કર્યું છે), આપણને 2 1.17 ≈2.250116 મળે છે. આમ, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . જો આપણે અતાર્કિક ઘાતાંકનો વધુ સચોટ દશાંશ અંદાજ લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, તો આપણે મૂળ ઘાતાંકનું વધુ સચોટ મૂલ્ય મેળવીએ છીએ: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

સંદર્ભો.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5મા ધોરણ માટે ગણિતનું પાઠ્યપુસ્તક. શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. બીજગણિત: 7મા ધોરણ માટે પાઠ્યપુસ્તક. શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. બીજગણિત: 8મા ધોરણ માટે પાઠ્યપુસ્તક. શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. બીજગણિત: 9મા ધોરણ માટે પાઠ્યપુસ્તક. શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ.
• કોલ્મોગોરોવ એ.એન., અબ્રામોવ એ.એમ., ડુડનિટ્સિન યુ.પી. અને અન્ય બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના ધોરણ 10 - 11 માટે પાઠ્યપુસ્તક.
• ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી. ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા).

કેલ્ક્યુલેટર તમને ઝડપથી ઓનલાઈન પાવર પર નંબર વધારવામાં મદદ કરે છે. ડિગ્રીનો આધાર કોઈપણ સંખ્યા (પૂર્ણાંક અને વાસ્તવિક બંને) હોઈ શકે છે. ઘાતાંક પૂર્ણાંક અથવા વાસ્તવિક પણ હોઈ શકે છે, અને હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક પણ હોઈ શકે છે. મહેરબાની કરીને યાદ રાખો કે ઋણ સંખ્યાઓ માટે, બિન-પૂર્ણાંક શક્તિ સુધી વધારવું અવ્યાખ્યાયિત છે અને તેથી જો તમે તેનો પ્રયાસ કરશો તો કેલ્ક્યુલેટર ભૂલની જાણ કરશે.

ડિગ્રી કેલ્ક્યુલેટર

સત્તામાં વધારો

ઘાત: 24601

સંખ્યાની કુદરતી શક્તિ શું છે?

સંખ્યા p એ સંખ્યાની nમી ઘાત કહેવાય છે જો p એ સંખ્યાને n વખતથી ગુણાકાર કરે છે: p = a n = a·...·a
n - કહેવાય છે ઘાત, અને નંબર a છે ડિગ્રીના આધારે.

કુદરતી શક્તિમાં સંખ્યા કેવી રીતે વધારવી?

કેવી રીતે બાંધવું તે સમજવા માટે વિવિધ નંબરોકુદરતી શક્તિઓ માટે, થોડા ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લો:

ઉદાહરણ 1. નંબર ત્રણથી ચોથા ઘાતમાં વધારો. એટલે કે, 3 4 ની ગણતરી કરવી જરૂરી છે
ઉકેલ: ઉપર જણાવ્યા મુજબ, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
જવાબ આપો: 3 4 = 81 .

ઉદાહરણ 2. પાંચની સંખ્યાને પાંચમી ઘાતમાં વધારો. એટલે કે, 5% ની ગણતરી કરવી જરૂરી છે
ઉકેલ: એ જ રીતે, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
જવાબ આપો: 5 5 = 3125 .

આમ, સંખ્યાને કુદરતી શક્તિમાં વધારવા માટે, તમારે ફક્ત તેને n વખતથી ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

સંખ્યાની નકારાત્મક શક્તિ શું છે?

આ કિસ્સામાં, નકારાત્મક શક્તિ માત્ર બિન-શૂન્ય સંખ્યાઓ માટે અસ્તિત્વમાં છે, કારણ કે અન્યથા શૂન્ય દ્વારા વિભાજન થશે.

સંખ્યાને નકારાત્મક પૂર્ણાંક ઘાતમાં કેવી રીતે વધારવી?

બિન-શૂન્ય સંખ્યાને વધારવા માટે નકારાત્મક ડિગ્રી, તમારે આ સંખ્યાના મૂલ્યની સમાન હકારાત્મક શક્તિમાં ગણતરી કરવાની અને પરિણામ દ્વારા એકને વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ 1. નંબર બે ને ઋણ ચોથી ઘાત સુધી વધારી દો. એટલે કે, તમારે 2 -4 ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે

જવાબ આપો: 2 -4 = 0.0625 .