સંખ્યાના પૂર્ણાંક ઘાતાંકમાંથી a માં સંક્રમણ તર્કસંગત સૂચક. નીચે આપણે તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીને વ્યાખ્યાયિત કરીશું, અને અમે આને એવી રીતે કરીશું કે પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીના તમામ ગુણધર્મો સાચવવામાં આવે. આ જરૂરી છે કારણ કે પૂર્ણાંકો તર્કસંગત સંખ્યાઓનો ભાગ છે.

તે જાણીતું છે કે તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહમાં પૂર્ણાંકો અને અપૂર્ણાંકો અને દરેકનો સમાવેશ થાય છે અપૂર્ણાંક સંખ્યાહકારાત્મક અથવા નકારાત્મક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે સામાન્ય અપૂર્ણાંક. અમે પાછલા ફકરામાં પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી વ્યાખ્યાયિત કરી છે, તેથી, તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યા પૂર્ણ કરવા માટે, આપણે સંખ્યાની ડિગ્રીનો અર્થ આપવો જરૂરી છે. aઅપૂર્ણાંક સૂચક સાથે m/n, ક્યાં mપૂર્ણાંક છે, અને n- કુદરતી. ચાલો આ કરીએ.

ચાલો ફોર્મના અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીને ધ્યાનમાં લઈએ. પાવર-ટુ-પાવર મિલકત માન્ય રહેવા માટે, સમાનતા હોવી આવશ્યક છે . જો આપણે પરિણામી સમાનતાને ધ્યાનમાં લઈએ અને આપણે ડિગ્રીનું nમું મૂળ કેવી રીતે નક્કી કર્યું, તો તે સ્વીકારવું તાર્કિક છે, જો આપેલ આપેલ m, nઅને aઅભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ છે.

તે તપાસવું સરળ છે કે પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના તમામ ગુણધર્મો માન્ય છે (આ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના વિભાગ ગુણધર્મોમાં કરવામાં આવ્યું હતું).

ઉપરોક્ત તર્ક અમને નીચેના બનાવવા માટે પરવાનગી આપે છે નિષ્કર્ષ: જો ડેટા આપવામાં આવે m, nઅને aઅભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ બને છે, પછી સંખ્યાની શક્તિ aઅપૂર્ણાંક સૂચક સાથે m/nમૂળ કહેવાય છે nની મી ડિગ્રી aએક ડિગ્રી સુધી m.

આ વિધાન આપણને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યાની નજીક લાવે છે. જે બાકી છે તે શું છે તેનું વર્ણન કરવાનું છે m, nઅને aઅભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ છે. પર લાદવામાં આવેલા નિયંત્રણો પર આધાર રાખે છે m, nઅને aત્યાં બે મુખ્ય અભિગમો છે.

1. સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે પર પ્રતિબંધ લાદવો a, સ્વીકારીને a≥0હકારાત્મક માટે mઅને a>0નકારાત્મક માટે m(ક્યારેથી m≤0ડિગ્રી 0 મીવ્યાખ્યાયિત નથી). પછી આપણને મળે છે નીચેની વ્યાખ્યાઅપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી.

વ્યાખ્યા.

ધન સંખ્યાની શક્તિ aઅપૂર્ણાંક સૂચક સાથે m/n , ક્યાં m- સંપૂર્ણ, અને n- એક કુદરતી સંખ્યા, જેને મૂળ કહેવાય છે n-સંખ્યાનો મો aએક ડિગ્રી સુધી m, એટલે કે .

શૂન્યની અપૂર્ણાંક શક્તિ પણ એકમાત્ર ચેતવણી સાથે નક્કી કરવામાં આવે છે કે સૂચક હકારાત્મક હોવો જોઈએ.

વ્યાખ્યા.

અપૂર્ણાંક હકારાત્મક ઘાતાંક સાથે શૂન્યની શક્તિ m/n , ક્યાં mહકારાત્મક પૂર્ણાંક છે, અને n- કુદરતી સંખ્યા, તરીકે વ્યાખ્યાયિત .
જ્યારે ડિગ્રી નક્કી કરવામાં આવતી નથી, એટલે કે, અપૂર્ણાંક સાથે શૂન્ય સંખ્યાની ડિગ્રી નકારાત્મક સૂચકઅર્થ નથી.

એ નોંધવું જોઈએ કે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની આ વ્યાખ્યા સાથે, એક ચેતવણી છે: કેટલાક નકારાત્મક માટે aઅને કેટલાક mઅને nઅભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ છે, પરંતુ અમે શરત રજૂ કરીને આ કિસ્સાઓને છોડી દીધા છે a≥0. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રવેશો અર્થપૂર્ણ છે અથવા , અને ઉપર આપેલ વ્યાખ્યા આપણને એમ કહેવા દબાણ કરે છે કે ફોર્મના અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ અર્થ નથી, કારણ કે આધાર નકારાત્મક ન હોવો જોઈએ.

2. અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી નક્કી કરવા માટેનો બીજો અભિગમ m/nમૂળના સમ અને વિષમ ઘાતાંકને અલગથી ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. આ અભિગમ જરૂરી છે વધારાની સ્થિતિ: સંખ્યાની શક્તિ a, જેનો ઘાતાંક ઘટાડી શકાય એવો સામાન્ય અપૂર્ણાંક છે, તે સંખ્યાની શક્તિ ગણાય છે a, જેનું સૂચક અનુરૂપ છે અફર અપૂર્ણાંક(આ સ્થિતિનું મહત્વ નીચે સમજાવવામાં આવશે). એટલે કે, જો m/nઅપૂર્ણ અપૂર્ણાંક છે, પછી કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા માટે kડિગ્રી પ્રાથમિક રીતે દ્વારા બદલવામાં આવે છે.

સમ માટે nઅને હકારાત્મક mઅભિવ્યક્તિ કોઈપણ બિન-નકારાત્મક માટે અર્થપૂર્ણ છે a(નું મૂળ પણ નકારાત્મક સંખ્યાઅર્થ નથી), નકારાત્મક સાથે mસંખ્યા aહજુ પણ શૂન્યથી અલગ હોવું જોઈએ (અન્યથા શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર થશે). અને વિચિત્ર માટે nઅને હકારાત્મક mસંખ્યા aકંઈપણ હોઈ શકે છે (મૂળ વિચિત્ર ડિગ્રીકોઈપણ માટે વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક સંખ્યા), અને નકારાત્મક માટે mસંખ્યા aબિન-શૂન્ય હોવું જોઈએ (જેથી શૂન્ય દ્વારા કોઈ ભાગાકાર ન હોય).

ઉપરોક્ત તર્ક આપણને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની આ વ્યાખ્યા તરફ દોરી જાય છે.

વ્યાખ્યા.

દો m/n- અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક, m- સંપૂર્ણ, અને n- કુદરતી સંખ્યા. કોઈપણ ઘટાડી શકાય તેવા અપૂર્ણાંક માટે, ડિગ્રી દ્વારા બદલવામાં આવે છે. સંખ્યાની શક્તિ aઅપૂર્ણ અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે m/n- આ માટે છે

o કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા a, સંપૂર્ણ હકારાત્મક mઅને વિચિત્ર કુદરતી n, ઉદાહરણ તરીકે, ;

o કોઈપણ બિન-શૂન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા a, ઋણ પૂર્ણાંક mઅને વિચિત્ર nઉદાહરણ તરીકે, ;

o કોઈપણ બિન-નકારાત્મક સંખ્યા a, સંપૂર્ણ હકારાત્મક mઅને પણ n, ઉદાહરણ તરીકે, ;

o કોઈપણ હકારાત્મક a, ઋણ પૂર્ણાંક mઅને પણ nઉદાહરણ તરીકે, ;

o અન્ય કિસ્સાઓમાં, અપૂર્ણાંક સૂચક સાથેની ડિગ્રી નક્કી કરવામાં આવતી નથી, ઉદાહરણ તરીકે ડિગ્રી વ્યાખ્યાયિત નથી .અમે એન્ટ્રી સાથે કોઈ અર્થ જોડતા નથી; m/nકેવી રીતે , નકારાત્મક અપૂર્ણાંક ઘાતાંક માટે શૂન્ય સંખ્યાની શક્તિ નિર્ધારિત નથી.

આ મુદ્દાને સમાપ્ત કરવા માટે, ચાલો તે નોંધીએ અપૂર્ણાંક સૂચકડિગ્રીને દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકાય છે અથવા મિશ્ર સંખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે, . આ પ્રકારના સમીકરણોના મૂલ્યોની ગણતરી કરવા માટે, તમારે ઘાતાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકના રૂપમાં લખવાની જરૂર છે, અને પછી અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ઘાતાંકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરો. ઉપરોક્ત ઉદાહરણો માટે અમારી પાસે છે અને

પ્રવેશ સ્તર

ડિગ્રી અને તેના ગુણધર્મો. વ્યાપક માર્ગદર્શિકા (2019)

શા માટે ડિગ્રીની જરૂર છે? તમને તેમની ક્યાં જરૂર પડશે? તમારે તેમનો અભ્યાસ કરવા શા માટે સમય કાઢવો જોઈએ?

ડિગ્રીઓ વિશે બધું જાણવા માટે, તેઓ શું માટે છે, તમારા જ્ઞાનનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો રોજિંદા જીવનઆ લેખ વાંચો.

અને, અલબત્ત, ડિગ્રીનું જ્ઞાન તમને સફળતાની નજીક લાવશે OGE પસારઅથવા યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા અને તમારા સપનાની યુનિવર્સિટીમાં પ્રવેશ.

ચાલો જઈએ... (ચાલો જઈએ!)

મહત્વપૂર્ણ નોંધ! જો તમને ફોર્મ્યુલાને બદલે gobbledygook દેખાય, તો તમારી કેશ સાફ કરો. આ કરવા માટે, CTRL+F5 (Windows પર) અથવા Cmd+R (Mac પર) દબાવો.

એન્ટ્રી લેવલ

શક્તિમાં વધારો એ જ છે ગાણિતિક કામગીરીજેમ કે સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર.

હવે હું બધું સમજાવીશ માનવ ભાષાખૂબ સરળ ઉદાહરણો. સાવચેત રહો. ઉદાહરણો પ્રાથમિક છે, પરંતુ મહત્વની બાબતો સમજાવો.

ચાલો ઉમેરા સાથે પ્રારંભ કરીએ.

અહીં સમજાવવા માટે કંઈ નથી. તમે પહેલાથી જ બધું જાણો છો: અમારામાંથી આઠ છે. દરેક પાસે કોલાની બે બોટલ છે. ત્યાં કેટલા કોલા છે? તે સાચું છે - 16 બોટલ.

હવે ગુણાકાર.

કોલા સાથેનું સમાન ઉદાહરણ અલગ રીતે લખી શકાય છે: . ગણિતશાસ્ત્રીઓ ઘડાયેલું અને આળસુ લોકો છે. તેઓ પ્રથમ કેટલીક પેટર્નની નોંધ લે છે અને પછી તેમને ઝડપથી "ગણતરી" કરવાની રીત શોધે છે. અમારા કિસ્સામાં, તેઓએ નોંધ્યું કે આઠ લોકોમાંથી દરેક પાસે સમાન સંખ્યામાં કોલા બોટલો હતી અને તેઓ ગુણાકાર નામની તકનીક સાથે આવ્યા હતા. સંમત થાઓ, તે કરતાં વધુ સરળ અને ઝડપી ગણવામાં આવે છે.

તેથી, ઝડપી, સરળ અને ભૂલો વિના ગણતરી કરવા માટે, તમારે ફક્ત યાદ રાખવાની જરૂર છે ગુણાકાર કોષ્ટક. અલબત્ત, તમે બધું ધીમી, વધુ મુશ્કેલ અને ભૂલો સાથે કરી શકો છો! પણ…

અહીં ગુણાકાર કોષ્ટક છે. પુનરાવર્તન કરો.

અને બીજું, વધુ સુંદર:

આળસુ ગણિતશાસ્ત્રીઓ પાસે ગણતરીની બીજી કઈ ચતુર યુક્તિઓ છે? જમણે - સંખ્યાને શક્તિમાં વધારવી.

સંખ્યાને ઘાતમાં વધારવી

જો તમારે કોઈ સંખ્યાને પોતાના દ્વારા પાંચ વખત ગુણાકાર કરવાની જરૂર હોય, તો ગણિતશાસ્ત્રીઓ કહે છે કે તમારે તે સંખ્યાને પાંચમી ઘાત સુધી વધારવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, . ગણિતશાસ્ત્રીઓ યાદ રાખે છે કે બેથી પાંચમી શક્તિ... અને તેઓ આવી સમસ્યાઓ તેમના માથામાં હલ કરે છે - ઝડપી, સરળ અને ભૂલો વિના.

તમારે ફક્ત એટલું જ કરવાની જરૂર છે સંખ્યાઓની શક્તિઓના કોષ્ટકમાં રંગમાં શું પ્રકાશિત થયેલ છે તે યાદ રાખો. મારો વિશ્વાસ કરો, આ તમારા જીવનને ઘણું સરળ બનાવશે.

માર્ગ દ્વારા, તેને બીજી ડિગ્રી કેમ કહેવામાં આવે છે? ચોરસસંખ્યાઓ, અને ત્રીજું - સમઘન? તેનો અર્થ શું છે? ખૂબ સારો પ્રશ્ન. હવે તમારી પાસે ચોરસ અને સમઘન બંને હશે.

વાસ્તવિક જીવન ઉદાહરણ #1

ચાલો ચોરસ અથવા સંખ્યાની બીજી ઘાતથી શરૂઆત કરીએ.

એક મીટર બાય એક મીટરના ચોરસ પૂલની કલ્પના કરો. પૂલ તમારા dacha પર છે. તે ગરમ છે અને હું ખરેખર તરવા માંગુ છું. પણ... પૂલનું કોઈ તળિયું નથી! તમારે પૂલના તળિયે ટાઇલ્સ સાથે આવરી લેવાની જરૂર છે. તમને કેટલી ટાઇલ્સની જરૂર છે? આને નિર્ધારિત કરવા માટે, તમારે પૂલના નીચેના વિસ્તારને જાણવાની જરૂર છે.

તમે તમારી આંગળી દર્શાવીને ગણતરી કરી શકો છો કે પૂલના તળિયે મીટર બાય મીટર ક્યુબ્સનો સમાવેશ થાય છે. જો તમારી પાસે એક મીટર બાય એક મીટરની ટાઇલ્સ હોય, તો તમારે ટુકડાઓની જરૂર પડશે. તે સરળ છે... પણ તમે આવી ટાઇલ્સ ક્યાં જોઈ છે? ટાઇલ મોટે ભાગે સેમી બાય સેમી હશે અને પછી તમને "તમારી આંગળીથી ગણીને" ત્રાસ આપવામાં આવશે. પછી તમારે ગુણાકાર કરવો પડશે. તેથી, પૂલના તળિયે એક બાજુ અમે ટાઇલ્સ (ટુકડાઓ) અને બીજી બાજુ, પણ, ટાઇલ્સ ફિટ કરીશું. દ્વારા ગુણાકાર કરો અને તમને ટાઇલ્સ () મળે છે.

શું તમે નોંધ્યું છે કે પૂલના તળિયાના વિસ્તારને નિર્ધારિત કરવા માટે આપણે સમાન સંખ્યાને જાતે જ ગુણાકાર કર્યો છે? તેનો અર્થ શું છે? આપણે એક જ સંખ્યાનો ગુણાકાર કરતા હોવાથી, આપણે "ઘાત" તકનીકનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. (અલબત્ત, જ્યારે તમારી પાસે માત્ર બે સંખ્યાઓ હોય, તો પણ તમારે તેમને ગુણાકાર કરવાની અથવા તેમને ઘાત સુધી વધારવાની જરૂર છે. પરંતુ જો તમારી પાસે તેમાંથી ઘણી બધી સંખ્યાઓ હોય, તો પછી તેમને ઘાતમાં વધારવી ખૂબ સરળ છે અને ગણતરીમાં પણ ઓછી ભૂલો છે. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા માટે, આ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે).
તેથી, ત્રીસથી બીજી ઘાત () હશે. અથવા આપણે કહી શકીએ કે ત્રીસ ચોરસ હશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંખ્યાની બીજી શક્તિ હંમેશા ચોરસ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. અને તેનાથી વિપરિત, જો તમે ચોરસ જુઓ છો, તો તે હંમેશા અમુક સંખ્યાની બીજી શક્તિ છે. ચોરસ એ સંખ્યાની બીજી શક્તિની છબી છે.

વાસ્તવિક જીવન ઉદાહરણ #2

અહીં તમારા માટે એક કાર્ય છે: સંખ્યાના વર્ગનો ઉપયોગ કરીને ચેસબોર્ડ પર કેટલા ચોરસ છે તેની ગણતરી કરો... કોષોની એક બાજુ અને બીજી બાજુ પણ. તેમની સંખ્યાની ગણતરી કરવા માટે, તમારે આઠને આઠ વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે અથવા... જો તમે જોયું કે ચેસબોર્ડ એ બાજુ સાથેનો ચોરસ છે, તો તમે આઠનો વર્ગ કરી શકો છો. તમને કોષો મળશે. () તો?

વાસ્તવિક જીવન ઉદાહરણ #3

હવે ઘન અથવા સંખ્યાની ત્રીજી ઘાત. એ જ પૂલ. પરંતુ હવે તમારે એ જાણવાની જરૂર છે કે આ પૂલમાં કેટલું પાણી રેડવું પડશે. તમારે વોલ્યુમની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. (વોલ્યુમ્સ અને પ્રવાહી, માર્ગ દ્વારા, માપવામાં આવે છે ઘન મીટર. અનપેક્ષિત, બરાબર?) એક પૂલ દોરો: એક મીટર અને મીટરની ઊંડાઈને માપતો તળિયું અને ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો કે એક મીટર દ્વારા એક મીટરને માપતા કેટલા ક્યુબ્સ તમારા પૂલમાં ફિટ થશે.

ફક્ત તમારી આંગળી ચીંધો અને ગણતરી કરો! એક, બે, ત્રણ, ચાર... બાવીસ, ત્રેવીસ... તમને કેટલા મળ્યા? હારી નથી? શું તમારી આંગળીથી ગણતરી કરવી મુશ્કેલ છે? બસ! ગણિતશાસ્ત્રીઓ પાસેથી એક ઉદાહરણ લો. તેઓ આળસુ છે, તેથી તેઓએ જોયું કે પૂલના જથ્થાની ગણતરી કરવા માટે, તમારે તેની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈને એકબીજાથી ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. અમારા કિસ્સામાં, પૂલનું પ્રમાણ હશે સમઘન સમાન...તે સહેલું છે ને?

હવે કલ્પના કરો કે જો તેઓ આને પણ સરળ બનાવે તો કેટલા આળસુ અને ઘડાયેલું ગણિતશાસ્ત્રીઓ હશે. અમે બધું એક ક્રિયામાં ઘટાડી દીધું. તેઓએ નોંધ્યું કે લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ સમાન છે અને તે જ સંખ્યાને પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે... આનો અર્થ શું છે? આનો અર્થ એ કે તમે ડિગ્રીનો લાભ લઈ શકો છો. તેથી, તમે એકવાર તમારી આંગળીથી જે ગણ્યું છે, તે એક ક્રિયામાં કરે છે: ત્રણ ઘન સમાન છે. તે આ રીતે લખાયેલું છે: .

જે બાકી છે તે છે ડિગ્રીનું ટેબલ યાદ રાખો. સિવાય કે, અલબત્ત, તમે ગણિતશાસ્ત્રીઓ જેટલા આળસુ અને ઘડાયેલું છો. જો તમે સખત મહેનત અને ભૂલો કરવાનું પસંદ કરો છો, તો તમે તમારી આંગળીએ ગણતરી કરવાનું ચાલુ રાખી શકો છો.

ઠીક છે, આખરે તમને ખાતરી આપવા માટે કે ડિગ્રીની શોધ છોડી દેનારા અને ચાલાક લોકો દ્વારા તેમના પોતાના ઉકેલ માટે કરવામાં આવી હતી. જીવન સમસ્યાઓ, અને તમારા માટે સમસ્યાઓ ન ઉભી કરવા માટે, અહીં જીવનના થોડા વધુ ઉદાહરણો છે.

વાસ્તવિક જીવન ઉદાહરણ #4

તમારી પાસે એક મિલિયન રુબેલ્સ છે. દરેક વર્ષની શરૂઆતમાં, તમે બનાવેલા દરેક મિલિયન માટે, તમે બીજા મિલિયન કરો છો. એટલે કે, દર મિલિયન તમારી પાસે દર વર્ષની શરૂઆતમાં ડબલ્સ છે. વર્ષોમાં તમારી પાસે કેટલા પૈસા હશે? જો તમે અત્યારે બેઠા છો અને "આંગળીથી ગણી રહ્યા છો," તો તમે ખૂબ જ મહેનતુ વ્યક્તિ છો અને... મૂર્ખ છો. પરંતુ મોટે ભાગે તમે થોડી સેકંડમાં જવાબ આપશો, કારણ કે તમે સ્માર્ટ છો! તો, પહેલા વર્ષમાં - બેને બે વડે ગુણાકાર... બીજા વર્ષે - શું થયું, વધુ બે વડે, ત્રીજા વર્ષે... રોકો! તમે નોંધ્યું છે કે સંખ્યા પોતે જ વખતથી ગુણાકાર થાય છે. તો બેથી પાંચમી ઘાત એટલે લાખો! હવે કલ્પના કરો કે તમારી પાસે સ્પર્ધા છે અને જે સૌથી ઝડપી ગણી શકે છે તેને આ લાખો મળશે... સંખ્યાઓની શક્તિઓ યાદ રાખવા યોગ્ય છે, તમને નથી લાગતું?

વાસ્તવિક જીવન ઉદાહરણ #5

તમારી પાસે એક મિલિયન છે. દર વર્ષની શરૂઆતમાં, તમે કમાતા દરેક મિલિયન માટે, તમે વધુ બે કમાઓ છો. મહાન તે નથી? દરેક મિલિયન ત્રણ ગણો છે. એક વર્ષમાં તમારી પાસે કેટલા પૈસા હશે? ચાલો ગણતરી કરીએ. પ્રથમ વર્ષ - દ્વારા ગુણાકાર કરો, પછી બીજા દ્વારા પરિણામ... તે પહેલેથી જ કંટાળાજનક છે, કારણ કે તમે પહેલેથી જ બધું સમજી ગયા છો: ત્રણનો ગુણાકાર પોતે જ વખત થાય છે. તો ચોથી ઘાત માટે તે એક મિલિયન બરાબર છે. તમારે ફક્ત યાદ રાખવું પડશે કે ત્રણથી ચોથી શક્તિ છે અથવા.

હવે તમે જાણો છો કે સંખ્યાને શક્તિમાં વધારીને તમે તમારું જીવન ઘણું સરળ બનાવશો. ચાલો તમે ડિગ્રી સાથે શું કરી શકો અને તેના વિશે તમારે શું જાણવાની જરૂર છે તેના પર એક નજર કરીએ.

શરતો અને ખ્યાલો... જેથી મૂંઝવણમાં ન આવે

તેથી, પ્રથમ, ચાલો ખ્યાલોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. તમે વિચારો છો ઘાતાંક શું છે? તે ખૂબ જ સરળ છે - તે સંખ્યા છે જે સંખ્યાની શક્તિની "ટોચ પર" છે. વૈજ્ઞાનિક નથી, પરંતુ સ્પષ્ટ અને યાદ રાખવામાં સરળ...

સારું, તે જ સમયે, શું આવી ડિગ્રીના આધારે? તેનાથી પણ સરળ - આ તે નંબર છે જે નીચે, આધાર પર સ્થિત છે.

સારા માપ માટે અહીં એક ચિત્ર છે.

વેલ માં સામાન્ય દૃશ્ય, સામાન્યીકરણ અને વધુ સારી રીતે યાદ રાખવા માટે... આધાર “ ” અને ઘાતાંક “ ” સાથેની ડિગ્રીને “ ડિગ્રી” તરીકે વાંચવામાં આવે છે અને નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે:

સંખ્યાની શક્તિ c કુદરતી સૂચક

તમે કદાચ પહેલેથી જ અનુમાન લગાવ્યું હશે: કારણ કે ઘાતાંક એ કુદરતી સંખ્યા છે. હા, પણ તે શું છે કુદરતી સંખ્યા? પ્રાથમિક! કુદરતી સંખ્યાઓ તે સંખ્યાઓ છે જેનો ઉપયોગ વસ્તુઓની યાદી કરતી વખતે ગણતરીમાં થાય છે: એક, બે, ત્રણ... જ્યારે આપણે વસ્તુઓની ગણતરી કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે એમ નથી કહેતા: “માઈનસ પાંચ,” “માઈનસ સિક્સ,” “માઈનસ સાત.” અમે એમ પણ નથી કહેતા: "એક તૃતીયાંશ", અથવા "શૂન્ય બિંદુ પાંચ". આ કુદરતી સંખ્યાઓ નથી. તમને લાગે છે કે આ કયા નંબરો છે?

"માઈનસ ફાઈવ", "માઈનસ સિક્સ", "માઈનસ સાત" જેવી સંખ્યાઓનો સંદર્ભ આપે છે સંપૂર્ણ સંખ્યાઓ.સામાન્ય રીતે, પૂર્ણાંકોમાં તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની વિરુદ્ધ સંખ્યાઓ (એટલે ​​કે, ઓછા ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે) અને સંખ્યાનો સમાવેશ થાય છે. શૂન્ય સમજવું સરળ છે - જ્યારે કંઈ ન હોય ત્યારે તે થાય છે. નકારાત્મક ("માઈનસ") સંખ્યાઓનો અર્થ શું છે? પરંતુ તેમની શોધ મુખ્યત્વે દેવા દર્શાવવા માટે કરવામાં આવી હતી: જો તમારી પાસે તમારા ફોન પર રુબેલ્સમાં સંતુલન છે, તો આનો અર્થ એ છે કે તમે ઓપરેટર રુબેલ્સના ઋણી છો.

બધા અપૂર્ણાંક પરિમેય સંખ્યાઓ છે. તેઓ કેવી રીતે ઉભા થયા, શું તમને લાગે છે? ખૂબ જ સરળ. કેટલાંક હજાર વર્ષ પહેલાં, આપણા પૂર્વજોએ શોધી કાઢ્યું હતું કે તેમની પાસે લંબાઈ, વજન, ક્ષેત્રફળ વગેરે માપવા માટે કુદરતી સંખ્યાઓ નથી. અને તેઓ સાથે આવ્યા તર્કસંગત સંખ્યાઓ... રસપ્રદ, તે નથી?

ત્યાં વધુ છે અતાર્કિક સંખ્યાઓ. આ નંબરો શું છે? ટૂંકમાં, તે અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો વર્તુળના પરિઘને તેના વ્યાસ વડે ભાગવામાં આવે, તો આપણને ir મળે છે તર્કસંગત સંખ્યા.

ફરી શરૂ કરો:

ચાલો ડિગ્રીની વિભાવનાને વ્યાખ્યાયિત કરીએ જેનો ઘાતાંક કુદરતી સંખ્યા છે (એટલે ​​​​કે, પૂર્ણાંક અને ધન).

1. પ્રથમ ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા તેના પોતાના સમાન છે:
2. સંખ્યાનો વર્ગ કરવાનો અર્થ થાય છે કે તેને જાતે જ ગુણાકાર કરવો:
3. સંખ્યાને ક્યુબ કરવાનો અર્થ થાય છે કે તેને ત્રણ વખત જાતે ગુણાકાર કરવો:

વ્યાખ્યા.સુધી નંબર વધારવો કુદરતી ડિગ્રી- મતલબ સંખ્યાને પોતાના દ્વારા ગુણ્યા:
.

ડિગ્રીના ગુણધર્મો

આ મિલકતો ક્યાંથી આવી? હું તમને હવે બતાવીશ.

ચાલો જોઈએ: તે શું છે અને ?

વ્યાખ્યા દ્વારા:

કુલ કેટલા ગુણક છે?

તે ખૂબ જ સરળ છે: અમે પરિબળોમાં ગુણક ઉમેર્યા છે, અને પરિણામ મલ્ટીપ્લાયર્સ છે.

પરંતુ વ્યાખ્યા દ્વારા, આ ઘાતાંક સાથેની સંખ્યાની શક્તિ છે, એટલે કે: , જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ: અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ઉકેલ:

ઉદાહરણ:અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ઉકેલ:આપણા નિયમમાં એ નોંધવું જરૂરી છે આવશ્યકપણેએ જ કારણો હોવા જોઈએ!
તેથી, અમે શક્તિઓને આધાર સાથે જોડીએ છીએ, પરંતુ તે એક અલગ પરિબળ રહે છે:

માત્ર શક્તિઓના ઉત્પાદન માટે!

કોઈ પણ સંજોગોમાં તમે તે લખી શકતા નથી.

2. બસ સંખ્યાની મી શક્તિ

અગાઉની મિલકતની જેમ, ચાલો ડિગ્રીની વ્યાખ્યા તરફ વળીએ:

તે તારણ આપે છે કે અભિવ્યક્તિ પોતે જ વખતથી ગુણાકાર થાય છે, એટલે કે, વ્યાખ્યા અનુસાર, આ સંખ્યાની મી શક્તિ છે:

સારમાં, આને "સૂચકને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવું" કહી શકાય. પરંતુ તમે આ સંપૂર્ણ રીતે ક્યારેય કરી શકતા નથી:

ચાલો સંક્ષિપ્ત ગુણાકારના સૂત્રો યાદ રાખીએ: આપણે કેટલી વાર લખવા માગીએ છીએ?

પરંતુ આ સાચું નથી, છેવટે.

નકારાત્મક આધાર સાથે શક્તિ

આ બિંદુ સુધી, અમે માત્ર ચર્ચા કરી છે કે ઘાતાંક શું હોવું જોઈએ.

પરંતુ આધાર શું હોવો જોઈએ?

ની સત્તાઓમાં કુદરતી સૂચકઆધાર હોઈ શકે છે કોઈપણ સંખ્યા. ખરેખર, આપણે કોઈપણ સંખ્યાને એકબીજા વડે ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ, પછી ભલે તે સકારાત્મક હોય, નકારાત્મક હોય અથવા તો હોય.

ચાલો વિચાર કરીએ કે કયા ચિહ્નો ("" અથવા "") પાસે હકારાત્મક અને નકારાત્મક સંખ્યાઓની ડિગ્રી હશે?

ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા હકારાત્મક કે નકારાત્મક છે? એ? ? પ્રથમ સાથે, બધું સ્પષ્ટ છે: ભલે આપણે એકબીજા દ્વારા કેટલી હકારાત્મક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીએ, પરિણામ હકારાત્મક હશે.

પરંતુ નકારાત્મક થોડી વધુ રસપ્રદ છે. અમને 6ઠ્ઠા ધોરણનો સરળ નિયમ યાદ છે: "માઈનસ માટે માઈનસ વત્તા આપે છે." એટલે કે, અથવા. પરંતુ જો આપણે ગુણાકાર કરીએ, તો તે કાર્ય કરે છે.

નીચેના અભિવ્યક્તિઓમાં શું ચિહ્ન હશે તે તમારા માટે નક્કી કરો:

શું તમે મેનેજ કર્યું?

અહીં જવાબો છે: પ્રથમ ચાર ઉદાહરણોમાં, હું આશા રાખું છું કે બધું સ્પષ્ટ છે? અમે ફક્ત આધાર અને ઘાતાંકને જોઈએ છીએ અને યોગ્ય નિયમ લાગુ કરીએ છીએ.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ઉદાહરણ તરીકે 5) બધું લાગે છે તેટલું ડરામણી પણ નથી: છેવટે, આધાર શું સમાન છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી - ડિગ્રી સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે પરિણામ હંમેશા હકારાત્મક રહેશે.

ઠીક છે, સિવાય કે જ્યારે આધાર શૂન્ય હોય. આધાર સમાન નથી, તે છે? દેખીતી રીતે નથી, ત્યારથી (કારણ કે).

ઉદાહરણ 6) હવે એટલું સરળ નથી!

પ્રેક્ટિસ કરવા માટે 6 ઉદાહરણો

ઉકેલનું વિશ્લેષણ 6 ઉદાહરણો

જો આપણે આઠમી શક્તિને અવગણીએ, તો આપણે અહીં શું જોશું? ચાલો 7મા ધોરણનો કાર્યક્રમ યાદ કરીએ. તો, તમને યાદ છે? આ સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટેનું સૂત્ર છે, એટલે કે વર્ગોનો તફાવત! અમને મળે છે:

ચાલો છેદને ધ્યાનથી જોઈએ. તે અંશના પરિબળોમાંના એક જેવું લાગે છે, પરંતુ શું ખોટું છે? શરતોનો ક્રમ ખોટો છે. જો તેઓ ઉલટાવી દેવામાં આવે, તો નિયમ લાગુ થઈ શકે છે.

પરંતુ આ કેવી રીતે કરવું? તે તારણ આપે છે કે તે ખૂબ જ સરળ છે: છેદની સમાન ડિગ્રી અમને અહીં મદદ કરે છે.

જાદુઈ રીતે શરતો સ્થાનો બદલી. આ "ઘટના" કોઈપણ અભિવ્યક્તિને સમાન અંશે લાગુ પડે છે: અમે કૌંસમાંના ચિહ્નોને સરળતાથી બદલી શકીએ છીએ.

પરંતુ તે યાદ રાખવું અગત્યનું છે: બધા ચિહ્નો એક જ સમયે બદલાય છે!

ચાલો ઉદાહરણ પર પાછા જઈએ:

અને ફરીથી સૂત્ર:

સમગ્રઆપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ કહીએ છીએ, તેમના વિરોધી (એટલે ​​​​કે, " " ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે) અને સંખ્યા.

હકારાત્મક પૂર્ણાંક, અને તે કુદરતીથી અલગ નથી, પછી બધું બરાબર પાછલા વિભાગની જેમ દેખાય છે.

હવે નવા કેસો જોઈએ. ચાલો સમાન સૂચક સાથે પ્રારંભ કરીએ.

શૂન્ય ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા એક સમાન છે:

હંમેશની જેમ, ચાલો આપણે આપણી જાતને પૂછીએ: આવું કેમ છે?

ચાલો આધાર સાથે અમુક ડિગ્રી ધ્યાનમાં લઈએ. ઉદાહરણ તરીકે લો અને વડે ગુણાકાર કરો:

તેથી, અમે સંખ્યાનો ગુણાકાર કર્યો, અને અમને તે જ વસ્તુ મળી - . તમારે કઈ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ જેથી કંઈપણ બદલાય નહીં? તે સાચું છે, ચાલુ. અર્થ.

આપણે મનસ્વી નંબર સાથે તે જ કરી શકીએ છીએ:

ચાલો નિયમનું પુનરાવર્તન કરીએ:

શૂન્ય ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા એક સમાન છે.

પરંતુ ઘણા નિયમોમાં અપવાદો છે. અને અહીં તે પણ છે - આ એક સંખ્યા છે (આધાર તરીકે).

એક તરફ, તે કોઈપણ ડિગ્રીની સમાન હોવી જોઈએ - ભલે તમે શૂન્યનો કેટલો પણ ગુણાકાર કરો, તમે હજી પણ શૂન્ય મેળવશો, આ સ્પષ્ટ છે. પરંતુ બીજી બાજુ, શૂન્ય શક્તિની કોઈપણ સંખ્યાની જેમ, તે સમાન હોવી જોઈએ. તો આમાં કેટલું સાચું છે? ગણિતશાસ્ત્રીઓએ સામેલ ન થવાનું નક્કી કર્યું અને શૂન્યથી શૂન્ય શક્તિ વધારવાનો ઇનકાર કર્યો. એટલે કે, હવે આપણે માત્ર શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી, પણ તેને વધારીને શૂન્ય શક્તિ સુધી પણ લઈ શકતા નથી.

ચાલો આગળ વધીએ. કુદરતી સંખ્યાઓ અને સંખ્યાઓ ઉપરાંત, પૂર્ણાંકોમાં નકારાત્મક સંખ્યાઓનો પણ સમાવેશ થાય છે. નેગેટિવ ડિગ્રી શું છે તે સમજવા માટે, ચાલો તે પ્રમાણે કરીએ છેલ્લી વખત: અમુક સામાન્ય સંખ્યાને સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો નકારાત્મક ડિગ્રી:

અહીંથી તમે જે શોધી રહ્યાં છો તે વ્યક્ત કરવું સરળ છે:

હવે ચાલો પરિણામી નિયમને મનસ્વી ડિગ્રી સુધી વિસ્તારીએ:

તેથી, ચાલો એક નિયમ બનાવીએ:

નકારાત્મક ઘાતની સંખ્યા એ સમાન સંખ્યાની પરસ્પર છે હકારાત્મક ડિગ્રી. પરંતુ તે જ સમયે આધાર શૂન્ય હોઈ શકતો નથી:(કારણ કે તમે વિભાજન કરી શકતા નથી).

ચાલો સારાંશ આપીએ:

I. કેસમાં અભિવ્યક્તિ વ્યાખ્યાયિત નથી. જો, તો.

II. શૂન્ય ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા એક સમાન છે: .

III. નંબર, નહીં શૂન્ય બરાબર, ઋણ અંશ સુધી એ સમાન સંખ્યાના સકારાત્મક અંશનું વ્યસ્ત છે: .

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેના કાર્યો:

ઠીક છે, હંમેશની જેમ, સ્વતંત્ર ઉકેલો માટે ઉદાહરણો:

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ:

હું જાણું છું, મને ખબર છે, સંખ્યાઓ ડરામણી છે, પરંતુ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પર તમારે કંઈપણ માટે તૈયાર રહેવું પડશે! આ ઉદાહરણો ઉકેલો અથવા તેમના ઉકેલોનું વિશ્લેષણ કરો જો તમે તેમને ઉકેલી શકતા નથી અને તમે પરીક્ષામાં સરળતાથી તેનો સામનો કરવાનું શીખી શકશો!

ચાલો ઘાતાંક તરીકે “યોગ્ય” સંખ્યાઓની શ્રેણીને વિસ્તૃત કરવાનું ચાલુ રાખીએ.

હવે વિચાર કરીએ તર્કસંગત સંખ્યાઓ.કઈ સંખ્યાઓને તર્કસંગત કહેવામાં આવે છે?

જવાબ: દરેક વસ્તુ જે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં અને પૂર્ણાંકો છે, અને.

તે શું છે તે સમજવા માટે "અપૂર્ણાંક ડિગ્રી", અપૂર્ણાંકને ધ્યાનમાં લો:

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને ઘાતમાં વધારીએ:

હવે ચાલો નિયમ વિશે યાદ કરીએ "ડિગ્રી થી ડિગ્રી":

પાવર મેળવવા માટે કઈ સંખ્યા વધારવાની જરૂર છે?

આ ફોર્મ્યુલેશન એ મી ડિગ્રીના મૂળની વ્યાખ્યા છે.

ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં: સંખ્યા () ની મી ઘાતનું મૂળ એ એક સંખ્યા છે જે, જ્યારે ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે, તે બરાબર છે.

એટલે કે, મી પાવરનું મૂળ એ પાવર વધારવાની વ્યસ્ત ક્રિયા છે: .

તે તારણ આપે છે કે. દેખીતી રીતે આ ખાસ કેસવિસ્તૃત કરી શકાય છે:.

હવે આપણે અંશ ઉમેરીએ છીએ: તે શું છે? પાવર-ટુ-પાવર નિયમનો ઉપયોગ કરીને જવાબ મેળવવા માટે સરળ છે:

પરંતુ આધાર કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે? છેવટે, બધી સંખ્યાઓમાંથી રુટ કાઢી શકાતો નથી.

કોઈ નહીં!

ચાલો નિયમ યાદ રાખીએ: કોઈપણ સંખ્યાને સમ ઘાત સુધી વધારીને ધન સંખ્યા છે. એટલે કે, નકારાત્મક સંખ્યાઓમાંથી પણ મૂળ કાઢવાનું અશક્ય છે!

આનો અર્થ એ છે કે આવી સંખ્યાઓને સમ છેદ સાથે અપૂર્ણાંક શક્તિ સુધી વધારી શકાતી નથી, એટલે કે, અભિવ્યક્તિનો કોઈ અર્થ નથી.

અભિવ્યક્તિ વિશે શું?

પરંતુ અહીં એક સમસ્યા ઊભી થાય છે.

સંખ્યાને અન્ય, ઘટાડી શકાય તેવા અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, અથવા.

અને તે તારણ આપે છે કે તે અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ અસ્તિત્વમાં નથી, પરંતુ આ એક જ સંખ્યાના માત્ર બે અલગ અલગ રેકોર્ડ છે.

અથવા બીજું ઉદાહરણ: એકવાર, પછી તમે તેને લખી શકો છો. પરંતુ જો આપણે સૂચકને અલગ રીતે લખીશું, તો આપણે ફરીથી મુશ્કેલીમાં આવીશું: (એટલે ​​​​કે, અમને સંપૂર્ણપણે અલગ પરિણામ મળ્યું!).

આવા વિરોધાભાસને ટાળવા માટે, અમે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે માત્ર હકારાત્મક આધાર ઘાતાંક.

તેથી જો:

• - કુદરતી સંખ્યા;
• - પૂર્ણાંક;

ઉદાહરણો:

તર્કસંગત ઘાતાંક મૂળ સાથે અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરવા માટે ખૂબ જ ઉપયોગી છે, ઉદાહરણ તરીકે:

પ્રેક્ટિસ કરવા માટે 5 ઉદાહરણો

તાલીમ માટે 5 ઉદાહરણોનું વિશ્લેષણ

સારું, હવે સૌથી મુશ્કેલ ભાગ આવે છે. હવે અમે તેને આકૃતિ કરીશું અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી.

અહીં ડિગ્રીના તમામ નિયમો અને ગુણધર્મો અપવાદ સિવાય, તર્કસંગત ઘાતાંકવાળી ડિગ્રી માટે બરાબર સમાન છે.

છેવટે, વ્યાખ્યા દ્વારા, અતાર્કિક સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાતી નથી, જ્યાં અને પૂર્ણાંકો છે (એટલે ​​​​કે, અતાર્કિક સંખ્યાઓ તર્કસંગત સંખ્યાઓ સિવાયની બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે).

પ્રાકૃતિક, પૂર્ણાંક અને તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીનો અભ્યાસ કરતી વખતે, દરેક વખતે અમે ચોક્કસ “ઇમેજ”, “સામાન્યતા” અથવા વધુ પરિચિત શબ્દોમાં વર્ણન બનાવીએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી એ સંખ્યા છે જે પોતાના દ્વારા ઘણી વખત ગુણાકાર કરવામાં આવે છે;

...શૂન્ય શક્તિની સંખ્યા- આ તે છે, જેમ કે, એક નંબર પોતે એક વાર ગુણાકાર કરે છે, એટલે કે, તેઓએ હજી સુધી તેનો ગુણાકાર કરવાનું શરૂ કર્યું નથી, જેનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા પોતે પણ હજી દેખાઈ નથી - તેથી પરિણામ ફક્ત એક ચોક્કસ "ખાલી સંખ્યા" છે , એટલે કે સંખ્યા;

...નકારાત્મક પૂર્ણાંક ડિગ્રી- એવું લાગે છે કે કેટલીક "વિપરીત પ્રક્રિયા" આવી છે, એટલે કે, સંખ્યા પોતે ગુણાકાર કરવામાં આવી ન હતી, પરંતુ વિભાજિત થઈ હતી.

માર્ગ દ્વારા, વિજ્ઞાનમાં જટિલ ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે, એટલે કે, ઘાતાંક વાસ્તવિક સંખ્યા પણ નથી.

પરંતુ શાળામાં અમે આવી મુશ્કેલીઓ વિશે વિચારતા નથી; તમને સંસ્થામાં આ નવા ખ્યાલોને સમજવાની તક મળશે.

જ્યાં અમને ખાતરી છે કે તમે જશો! (જો તમે આવા ઉદાહરણો ઉકેલતા શીખો તો :))

ઉદાહરણ તરીકે:

તમારા માટે નક્કી કરો:

ઉકેલોનું વિશ્લેષણ:

1. ચાલો પાવરને પાવર વધારવા માટેના સામાન્ય નિયમથી શરૂઆત કરીએ:

હવે સૂચક જુઓ. શું તે તમને કંઈપણ યાદ અપાવતું નથી? ચાલો વર્ગોના તફાવતના સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટેના સૂત્રને યાદ કરીએ:

આ કિસ્સામાં,

તે તારણ આપે છે કે:

જવાબ: .

2. અમે ઘાતાંકમાં અપૂર્ણાંકને ઘટાડીએ છીએ સમાન દેખાવ: કાં તો દશાંશ અથવા બંને નિયમિત. અમે મેળવીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે:

જવાબ: 16

3. કંઈ ખાસ નથી, અમે ડિગ્રીના સામાન્ય ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

એડવાન્સ્ડ લેવલ

ડિગ્રીનું નિર્ધારણ

ડિગ્રી એ ફોર્મની અભિવ્યક્તિ છે: , જ્યાં:

• — ડિગ્રી આધાર;
• - ઘાતાંક.

કુદરતી સૂચક સાથે ડિગ્રી (n = 1, 2, 3,...)

સંખ્યાને પ્રાકૃતિક શક્તિ n સુધી વધારવાનો અર્થ એ છે કે સંખ્યાને પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરવો:

પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી (0, ±1, ±2,...)

જો ઘાત છે હકારાત્મક પૂર્ણાંકસંખ્યા:

બાંધકામ શૂન્ય ડિગ્રી સુધી:

અભિવ્યક્તિ અનિશ્ચિત છે, કારણ કે, એક તરફ, કોઈપણ ડિગ્રી આ છે, અને બીજી બાજુ, મી ડિગ્રી સુધીની કોઈપણ સંખ્યા આ છે.

જો ઘાત છે નકારાત્મક પૂર્ણાંકસંખ્યા:

(કારણ કે તમે વિભાજન કરી શકતા નથી).

શૂન્ય વિશે ફરી એકવાર: અભિવ્યક્તિ કિસ્સામાં વ્યાખ્યાયિત નથી. જો, તો.

ઉદાહરણો:

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિ

• - કુદરતી સંખ્યા;
• - પૂર્ણાંક;

ઉદાહરણો:

ડિગ્રીના ગુણધર્મો

સમસ્યાઓ હલ કરવાનું સરળ બનાવવા માટે, ચાલો સમજવાનો પ્રયાસ કરીએ: આ ગુણધર્મો ક્યાંથી આવી? ચાલો તેમને સાબિત કરીએ.

ચાલો જોઈએ: શું છે અને?

વ્યાખ્યા દ્વારા:

તેથી, આ અભિવ્યક્તિની જમણી બાજુએ આપણને નીચેનું ઉત્પાદન મળે છે:

પરંતુ વ્યાખ્યા દ્વારા તે ઘાતાંક સાથે સંખ્યાની શક્તિ છે, એટલે કે:

Q.E.D.

ઉદાહરણ : અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ઉકેલ : .

ઉદાહરણ : અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ઉકેલ : આપણા નિયમમાં એ નોંધવું જરૂરી છે આવશ્યકપણેત્યાં સમાન કારણો હોવા જોઈએ. તેથી, અમે શક્તિઓને આધાર સાથે જોડીએ છીએ, પરંતુ તે એક અલગ પરિબળ રહે છે:

બીજી એક વાત મહત્વપૂર્ણ નોંધ: આ છે નિયમ - માત્ર શક્તિના ઉત્પાદન માટે!

કોઈ પણ સંજોગોમાં તમે તે લખી શકતા નથી.

અગાઉની મિલકતની જેમ, ચાલો ડિગ્રીની વ્યાખ્યા તરફ વળીએ:

ચાલો આ કાર્યને આ રીતે ફરીથી ગોઠવીએ:

તે તારણ આપે છે કે અભિવ્યક્તિ પોતે જ વખતથી ગુણાકાર થાય છે, એટલે કે, વ્યાખ્યા અનુસાર, આ સંખ્યાની મી શક્તિ છે:

સારમાં, આને "સૂચકને કૌંસમાંથી બહાર કાઢવું" કહી શકાય. પરંતુ તમે આ ક્યારેય કરી શકતા નથી: !

ચાલો સંક્ષિપ્ત ગુણાકારના સૂત્રો યાદ રાખીએ: આપણે કેટલી વાર લખવા માગીએ છીએ? પરંતુ આ સાચું નથી, છેવટે.

નકારાત્મક આધાર સાથે પાવર.

આ બિંદુ સુધી આપણે ફક્ત તે કેવું હોવું જોઈએ તેની ચર્ચા કરી છે સૂચકડિગ્રી પરંતુ આધાર શું હોવો જોઈએ? ની સત્તાઓમાં કુદરતી સૂચક આધાર હોઈ શકે છે કોઈપણ સંખ્યા .

ખરેખર, આપણે કોઈપણ સંખ્યાને એકબીજા વડે ગુણાકાર કરી શકીએ છીએ, પછી ભલે તે સકારાત્મક હોય, નકારાત્મક હોય અથવા તો હોય. ચાલો વિચાર કરીએ કે કયા ચિહ્નો ("" અથવા "") પાસે હકારાત્મક અને નકારાત્મક સંખ્યાઓની ડિગ્રી હશે?

ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા હકારાત્મક કે નકારાત્મક છે? એ? ?

પ્રથમ સાથે, બધું સ્પષ્ટ છે: ભલે આપણે એકબીજા દ્વારા કેટલી હકારાત્મક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીએ, પરિણામ હકારાત્મક હશે.

પરંતુ નકારાત્મક થોડી વધુ રસપ્રદ છે. અમને 6ઠ્ઠા ધોરણનો સરળ નિયમ યાદ છે: "માઈનસ માટે માઈનસ વત્તા આપે છે." એટલે કે, અથવા. પરંતુ જો આપણે () વડે ગુણાકાર કરીએ, તો આપણને - મળે છે.

અને તેથી જાહેરાત અનંત: દરેક અનુગામી ગુણાકાર સાથે ચિહ્ન બદલાશે. અમે નીચેની રચના કરી શકીએ છીએ સરળ નિયમો:

1. સમડિગ્રી, - નંબર હકારાત્મક.
2. ઋણ સંખ્યા સુધી વધારી વિચિત્રડિગ્રી, - નંબર નકારાત્મક.
3. કોઈપણ ડિગ્રી માટે ધન સંખ્યા એ ધન સંખ્યા છે.
4. કોઈપણ શક્તિ માટે શૂન્ય શૂન્ય બરાબર છે.

નીચેના અભિવ્યક્તિઓમાં શું ચિહ્ન હશે તે તમારા માટે નક્કી કરો:

શું તમે મેનેજ કર્યું? અહીં જવાબો છે:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

પ્રથમ ચાર ઉદાહરણોમાં, હું આશા રાખું છું કે બધું સ્પષ્ટ છે? અમે ફક્ત આધાર અને ઘાતાંકને જોઈએ છીએ અને યોગ્ય નિયમ લાગુ કરીએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે 5) બધું લાગે છે તેટલું ડરામણી પણ નથી: છેવટે, આધાર શું સમાન છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી - ડિગ્રી સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે પરિણામ હંમેશા હકારાત્મક રહેશે. ઠીક છે, સિવાય કે જ્યારે આધાર શૂન્ય હોય. આધાર સમાન નથી, તે છે? દેખીતી રીતે નથી, ત્યારથી (કારણ કે).

ઉદાહરણ 6) હવે એટલું સરળ નથી. અહીં તમારે શોધવાની જરૂર છે કે જે ઓછું છે: અથવા? જો આપણે તે યાદ રાખીએ, તો તે સ્પષ્ટ થાય છે કે, અને તેથી આધાર શૂન્ય કરતાં ઓછું. એટલે કે, અમે નિયમ 2 લાગુ કરીએ છીએ: પરિણામ નકારાત્મક હશે.

અને ફરીથી આપણે ડિગ્રીની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

બધું હંમેશની જેમ છે - અમે ડિગ્રીની વ્યાખ્યા લખીએ છીએ અને તેમને એકબીજા દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ, તેમને જોડીમાં વિભાજીત કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

તમે તેને અલગ કરો તે પહેલાં છેલ્લો નિયમ, ચાલો થોડા ઉદાહરણો ઉકેલીએ.

અભિવ્યક્તિઓની ગણતરી કરો:

ઉકેલો :

જો આપણે આઠમી શક્તિને અવગણીએ, તો આપણે અહીં શું જોશું? ચાલો 7મા ધોરણનો કાર્યક્રમ યાદ કરીએ. તો, તમને યાદ છે? આ સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટેનું સૂત્ર છે, એટલે કે વર્ગોનો તફાવત!

અમને મળે છે:

ચાલો છેદને ધ્યાનથી જોઈએ. તે અંશના પરિબળોમાંના એક જેવું લાગે છે, પરંતુ શું ખોટું છે? શરતોનો ક્રમ ખોટો છે. જો તેઓ ઉલટાવી દેવામાં આવે, તો નિયમ 3 લાગુ થઈ શકે છે પરંતુ કેવી રીતે? તે તારણ આપે છે કે તે ખૂબ જ સરળ છે: છેદની સમાન ડિગ્રી અમને અહીં મદદ કરે છે.

જો તમે તેને વડે ગુણાકાર કરો તો કંઈ બદલાતું નથી, ખરું ને? પરંતુ હવે તે આના જેવું બહાર આવ્યું છે:

જાદુઈ રીતે શરતો સ્થાનો બદલી. આ "ઘટના" કોઈપણ અભિવ્યક્તિને સમાન અંશે લાગુ પડે છે: અમે કૌંસમાંના ચિહ્નોને સરળતાથી બદલી શકીએ છીએ. પરંતુ તે યાદ રાખવું અગત્યનું છે: બધા ચિહ્નો એક જ સમયે બદલાય છે!અમને ન ગમતી માત્ર એક ગેરલાભ બદલીને તમે તેને બદલી શકતા નથી!

ચાલો ઉદાહરણ પર પાછા જઈએ:

અને ફરીથી સૂત્ર:

તો હવે છેલ્લો નિયમ:

અમે તેને કેવી રીતે સાબિત કરીશું? અલબત્ત, હંમેશની જેમ: ચાલો ડિગ્રીના ખ્યાલને વિસ્તૃત કરીએ અને તેને સરળ બનાવીએ:

સારું, હવે ચાલો કૌંસ ખોલીએ. કુલ કેટલા અક્ષરો છે? ગુણક દ્વારા વખત - આ તમને શું યાદ અપાવે છે? આ ઓપરેશનની વ્યાખ્યા કરતાં વધુ કંઈ નથી ગુણાકાર: ત્યાં માત્ર ગુણક હતા. એટલે કે, આ, વ્યાખ્યા દ્વારા, ઘાતાંક સાથેની સંખ્યાની શક્તિ છે:

ઉદાહરણ:

અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી

સરેરાશ સ્તર માટે ડિગ્રી વિશેની માહિતી ઉપરાંત, અમે અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીનું વિશ્લેષણ કરીશું. ડિગ્રીના બધા નિયમો અને ગુણધર્મો અહીં અપવાદ સિવાય, તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી માટે બરાબર સમાન છે - છેવટે, વ્યાખ્યા દ્વારા, અતાર્કિક સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાતી નથી, જ્યાં અને પૂર્ણાંકો છે (એટલે ​​​​કે , અતાર્કિક સંખ્યાઓ પરિમાણીય સંખ્યાઓ સિવાયની બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે).

પ્રાકૃતિક, પૂર્ણાંક અને તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીનો અભ્યાસ કરતી વખતે, દરેક વખતે અમે ચોક્કસ “ઇમેજ”, “સામાન્યતા” અથવા વધુ પરિચિત શબ્દોમાં વર્ણન બનાવીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી એ સંખ્યા છે જે પોતાના દ્વારા ઘણી વખત ગુણાકાર કરવામાં આવે છે; શૂન્ય ઘાતની સંખ્યા એ છે, જેમ કે તે હતી, એક સંખ્યા જે તેના પોતાના દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, એટલે કે, તેઓએ હજી સુધી તેનો ગુણાકાર કરવાનું શરૂ કર્યું નથી, જેનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા પોતે હજી દેખાઈ નથી - તેથી પરિણામ ફક્ત ચોક્કસ છે "ખાલી સંખ્યા", એટલે કે સંખ્યા; પૂર્ણાંક નકારાત્મક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી - એવું લાગે છે કે કેટલીક "વિપરીત પ્રક્રિયા" આવી છે, એટલે કે, સંખ્યા પોતે ગુણાકાર કરવામાં આવી ન હતી, પરંતુ વિભાજિત થઈ હતી.

અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની કલ્પના કરવી અત્યંત મુશ્કેલ છે (જેમ કે 4-પરિમાણીય જગ્યાની કલ્પના કરવી મુશ્કેલ છે). તે એકદમ ગાણિતિક પદાર્થ છે જે ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ડિગ્રીના ખ્યાલને સંખ્યાઓની સમગ્ર જગ્યા સુધી વિસ્તારવા માટે બનાવ્યો છે.

માર્ગ દ્વારા, વિજ્ઞાનમાં જટિલ ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે, એટલે કે, ઘાતાંક વાસ્તવિક સંખ્યા પણ નથી. પરંતુ શાળામાં અમે આવી મુશ્કેલીઓ વિશે વિચારતા નથી; તમને સંસ્થામાં આ નવા ખ્યાલોને સમજવાની તક મળશે.

તો આપણે જોઈએ તો શું કરવું અતાર્કિક સૂચકડિગ્રી? અમે તેનાથી છૂટકારો મેળવવા માટે અમારા શ્રેષ્ઠ પ્રયાસો કરી રહ્યા છીએ :)

ઉદાહરણ તરીકે:

તમારા માટે નક્કી કરો:

જવાબો:

1. ચાલો સ્ક્વેર ફોર્મ્યુલાના તફાવતને યાદ કરીએ. જવાબ:.
2. અમે અપૂર્ણાંકને સમાન સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ છીએ: કાં તો બંને દશાંશ અથવા બંને સામાન્ય. અમને મળે છે, ઉદાહરણ તરીકે: .
3. કંઈ ખાસ નથી, અમે ડિગ્રીના સામાન્ય ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

વિભાગ અને મૂળભૂત સૂત્રોનો સારાંશ

ડીગ્રીફોર્મની અભિવ્યક્તિ કહેવાય છે: , જ્યાં:

પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી

એક ડિગ્રી કે જેના ઘાતાંક કુદરતી સંખ્યા છે (એટલે ​​​​કે, પૂર્ણાંક અને ધન).

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિ

ડિગ્રી, જેનો ઘાતાંક ઋણ અને અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે.

અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી

એક ડિગ્રી જેનો ઘાતાંક અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક અથવા મૂળ છે.

ડિગ્રીના ગુણધર્મો

ડિગ્રીની વિશેષતાઓ.

• ઋણ સંખ્યા સુધી વધારી સમડિગ્રી, - નંબર હકારાત્મક.
• ઋણ સંખ્યા સુધી વધારી વિચિત્રડિગ્રી, - નંબર નકારાત્મક.
• કોઈપણ ડિગ્રી માટે ધન સંખ્યા એ ધન સંખ્યા છે.
• શૂન્ય એ કોઈપણ શક્તિ સમાન છે.
• શૂન્ય ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા સમાન છે.

હવે તમારી પાસે શબ્દ છે...

તમને લેખ કેવો લાગ્યો? નીચે કોમેન્ટમાં લખો કે તમને તે ગમ્યું કે નહીં.

ડિગ્રી પ્રોપર્ટીઝનો ઉપયોગ કરીને તમારા અનુભવ વિશે અમને કહો.

કદાચ તમારી પાસે પ્રશ્નો છે. અથવા સૂચનો.

ટિપ્પણીઓમાં લખો.

અને તમારી પરીક્ષા માટે સારા નસીબ!

આ લેખમાં આપણે શોધીશું કે તે શું છે સંખ્યાની શક્તિ. અહીં આપણે સંખ્યાની શક્તિની વ્યાખ્યા આપીશું, જ્યારે આપણે પ્રાકૃતિક ઘાતાંકથી શરૂ કરીને અને અતાર્કિક ઘાતાંક સાથે સમાપ્ત થતા તમામ સંભવિત ઘાતાંકનો વિગતવાર વિચાર કરીશું. સામગ્રીમાં તમને ઉદભવતી તમામ સૂક્ષ્મતાને આવરી લેતા ડિગ્રીના ઘણા ઉદાહરણો મળશે.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની ઘાત, સંખ્યાનો વર્ગ, સંખ્યાનો ઘન

સાથે શરૂઆત કરીએ. આગળ જોઈને, ચાલો કહીએ કે કુદરતી ઘાતાંક n સાથે સંખ્યા a ની શક્તિની વ્યાખ્યા a માટે આપવામાં આવી છે, જેને આપણે કહીશું. ડિગ્રીના આધારે, અને n, જેને આપણે કહીશું ઘાત. અમે એ પણ નોંધીએ છીએ કે પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી ઉત્પાદન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, તેથી નીચેની સામગ્રીને સમજવા માટે તમારે સંખ્યાઓના ગુણાકારની સમજ હોવી જરૂરી છે.

વ્યાખ્યા.

કુદરતી ઘાતાંક n સાથે સંખ્યાની શક્તિએ n સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે, જેનું મૂલ્ય n પરિબળના ઉત્પાદન જેટલું છે, જેમાંથી દરેક a ની બરાબર છે, એટલે કે, .
ખાસ કરીને, ઘાતાંક 1 સાથેની સંખ્યા a ની શક્તિ એ સંખ્યા પોતે છે, એટલે કે, 1 =a.

ડિગ્રી વાંચવાના નિયમો વિશે તરત જ ઉલ્લેખ કરવો યોગ્ય છે. સાર્વત્રિક પદ્ધતિએન્ટ્રી a n ને વાંચવું એ છે: “a to the power of n”. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, નીચેના વિકલ્પો પણ સ્વીકાર્ય છે: “a થી nth ઘાત” અને “a ની nth શક્તિ”. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો પાવર 8 12 લઈએ, આ છે “બારમા ઘાતની આઠ”, અથવા “આઠની બારમી ઘાત” અથવા “આઠની બારમી ઘાત”.

સંખ્યાની બીજી શક્તિ, તેમજ સંખ્યાની ત્રીજી શક્તિના પોતાના નામ છે. સંખ્યાની બીજી શક્તિ કહેવાય છે નંબરનો વર્ગ કરો, ઉદાહરણ તરીકે, 7 2 "સાત વર્ગ" અથવા "સાત નંબરનો વર્ગ" તરીકે વાંચવામાં આવે છે. સંખ્યાની ત્રીજી શક્તિ કહેવાય છે ઘન સંખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે, 5 3 ને "પાંચ ઘન" તરીકે વાંચી શકાય છે અથવા તમે "નંબર 5 નો ઘન" કહી શકો છો.

લાવવાનો સમય છે કુદરતી ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ઉદાહરણો. ચાલો ડિગ્રી 5 7 થી શરૂઆત કરીએ, અહીં 5 એ ડિગ્રીનો આધાર છે, અને 7 એ ઘાતાંક છે. ચાલો બીજું ઉદાહરણ આપીએ: 4.32 એ આધાર છે, અને કુદરતી સંખ્યા 9 એ ઘાતાંક (4.32) 9 છે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે માં છેલ્લું ઉદાહરણડિગ્રી 4.32 નો આધાર કૌંસમાં લખાયેલ છે: વિસંગતતાઓને ટાળવા માટે, અમે ડિગ્રીના તમામ પાયાને કૌંસમાં મૂકીશું જે કુદરતી સંખ્યાઓથી અલગ છે. ઉદાહરણ તરીકે, અમે કુદરતી ઘાતાંક સાથે નીચેની ડિગ્રી આપીએ છીએ , તેમના પાયા કુદરતી સંખ્યાઓ નથી, તેથી તેઓ કૌંસમાં લખેલા છે. ઠીક છે, સંપૂર્ણ સ્પષ્ટતા માટે, આ બિંદુએ આપણે ફોર્મ (−2) 3 અને −2 3 ના રેકોર્ડમાં સમાયેલ તફાવત બતાવીશું. અભિવ્યક્તિ (−2) 3 એ 3 ના કુદરતી ઘાતાંક સાથે −2 ની ઘાત છે, અને અભિવ્યક્તિ −2 3 (તે −(2 3) તરીકે લખી શકાય છે) સંખ્યાને અનુરૂપ છે, ઘાત 2 3 નું મૂલ્ય .

નોંધ કરો કે a^n ફોર્મના ઘાતાંક n સાથે સંખ્યા a ની ઘાત માટે એક સંકેત છે. વધુમાં, જો n એ બહુ-મૂલ્ય ધરાવતી કુદરતી સંખ્યા છે, તો ઘાત કૌંસમાં લેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 4^9 એ 4 9 ની શક્તિ માટે અન્ય સંકેત છે. અને અહીં “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીને ડિગ્રી લખવાના કેટલાક વધુ ઉદાહરણો છે. નીચેનામાં, આપણે મુખ્યત્વે n ફોર્મના ડિગ્રી નોટેશનનો ઉપયોગ કરીશું.

પ્રાકૃતિક ઘાતાંક સાથેની શક્તિને વધારતા વિપરિત સમસ્યાઓમાંની એક એ છે કે શક્તિનો આધાર શોધવાની સમસ્યા જાણીતું મૂલ્યડિગ્રી અને જાણીતા સૂચક. આ કાર્ય તરફ દોરી જાય છે.

તે જાણીતું છે કે તર્કસંગત સંખ્યાઓના સમૂહમાં પૂર્ણાંકો અને અપૂર્ણાંકનો સમાવેશ થાય છે, અને દરેક અપૂર્ણાંકને હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. અમે પાછલા ફકરામાં પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી વ્યાખ્યાયિત કરી છે, તેથી, તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યા પૂર્ણ કરવા માટે, આપણે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે સંખ્યા a ની શક્તિનો અર્થ આપવો જરૂરી છે, જ્યાં m એ પૂર્ણાંક છે અને n એ કુદરતી સંખ્યા છે. ચાલો આ કરીએ.

ચાલો ફોર્મના અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીને ધ્યાનમાં લઈએ. પાવર-ટુ-પાવર મિલકત માન્ય રહેવા માટે, સમાનતા હોવી આવશ્યક છે . જો આપણે પરિણામી સમાનતાને ધ્યાનમાં લઈએ અને આપણે કેવી રીતે નક્કી કર્યું, તો તેને સ્વીકારવું તાર્કિક છે, જો એમ, n અને a આપવામાં આવે તો, અભિવ્યક્તિનો અર્થ થાય છે.

તે તપાસવું સરળ છે કે પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના તમામ ગુણધર્મો માન્ય છે (આ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના વિભાગ ગુણધર્મોમાં કરવામાં આવ્યું હતું).

ઉપરોક્ત તર્ક અમને નીચેના બનાવવા માટે પરવાનગી આપે છે નિષ્કર્ષ: જો m, n અને a આપવામાં આવે તો અભિવ્યક્તિનો અર્થ થાય છે, તો અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે a ની ઘાતને m ની ઘાત a નું nમું મૂળ કહેવાય છે.

આ વિધાન આપણને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યાની નજીક લાવે છે. માત્ર m, n અને a અભિવ્યક્તિનો અર્થ શું છે તેનું વર્ણન કરવાનું બાકી છે. m, n અને a પર મુકવામાં આવેલા પ્રતિબંધોના આધારે, ત્યાં બે મુખ્ય અભિગમો છે.

સકારાત્મક m માટે a≥0 અને નકારાત્મક m માટે a>0 લઈને a પર અવરોધ લાદવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો છે (કારણ કે m≤0 માટે m ની ડિગ્રી 0 વ્યાખ્યાયિત નથી). પછી આપણને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની નીચેની વ્યાખ્યા મળે છે.

વ્યાખ્યા.

અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે ધન સંખ્યા a ની શક્તિ, જ્યાં m એ પૂર્ણાંક છે અને n એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે, એ સંખ્યાનો nમો મૂળ કહેવાય છે a થી ઘાત m, એટલે કે, .

શૂન્યની અપૂર્ણાંક શક્તિ પણ એકમાત્ર ચેતવણી સાથે નક્કી કરવામાં આવે છે કે સૂચક હકારાત્મક હોવો જોઈએ.

વ્યાખ્યા.

અપૂર્ણાંક હકારાત્મક ઘાતાંક m/n સાથે શૂન્યની શક્તિ, જ્યાં m એ ધન પૂર્ણાંક છે અને n એ કુદરતી સંખ્યા છે, તે તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે .
જ્યારે ડિગ્રી નિર્ધારિત ન હોય, એટલે કે, અપૂર્ણાંક નકારાત્મક ઘાતાંક સાથે સંખ્યા શૂન્યની ડિગ્રીનો કોઈ અર્થ નથી.

એ નોંધવું જોઈએ કે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની આ વ્યાખ્યા સાથે, એક ચેતવણી છે: કેટલાક નકારાત્મક a અને કેટલાક m અને n માટે, અભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ છે, અને અમે a≥0 શરત રજૂ કરીને આ કિસ્સાઓને છોડી દીધા છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રવેશો અર્થપૂર્ણ છે અથવા , અને ઉપર આપેલ વ્યાખ્યા આપણને એમ કહેવા દબાણ કરે છે કે ફોર્મના અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ અર્થ નથી, કારણ કે આધાર નકારાત્મક ન હોવો જોઈએ.

અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે ડિગ્રી નક્કી કરવા માટેનો બીજો અભિગમ એ છે કે મૂળના સમ અને વિષમ ઘાતાંકને અલગથી ધ્યાનમાં લેવાનો. આ અભિગમ માટે વધારાની શરતની જરૂર છે: સંખ્યા a ની શક્તિ, જેનો ઘાતાંક છે , તે સંખ્યા a ની શક્તિ માનવામાં આવે છે, જેનો ઘાતાંક અનુરૂપ અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક છે (અમે નીચે આ સ્થિતિનું મહત્વ સમજાવીશું. ). એટલે કે, જો m/n એ અફર અપૂર્ણાંક છે, તો પછી કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા k માટે ડિગ્રી પ્રથમ દ્વારા બદલવામાં આવે છે.

સમ n અને ધન m માટે, અભિવ્યક્તિ કોઈપણ બિન-નકારાત્મક a માટે અર્થપૂર્ણ બને છે (ઋણાત્મક સંખ્યાનું સમ રુટ અર્થમાં નથી હોતું); શૂન્ય દ્વારા). અને વિષમ n અને ધન m માટે, સંખ્યા a કોઈપણ હોઈ શકે છે (કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે વિષમ ડિગ્રીનું મૂળ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે), અને ઋણ m માટે, સંખ્યા a બિન-શૂન્ય હોવી જોઈએ (જેથી કોઈ ભાગાકાર ન હોય શૂન્ય).

ઉપરોક્ત તર્ક આપણને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની આ વ્યાખ્યા તરફ દોરી જાય છે.

વ્યાખ્યા.

m/n ને અફર અપૂર્ણાંક, m પૂર્ણાંક અને n ને કુદરતી સંખ્યા થવા દો. કોઈપણ ઘટાડી શકાય તેવા અપૂર્ણાંક માટે, ડિગ્રી દ્વારા બદલવામાં આવે છે. અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક ઘાતાંક m/n સાથે સંખ્યાની શક્તિ માટે છે



ચાલો આપણે સમજાવીએ કે શા માટે ઘટાડી શકાય તેવા અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીને પહેલા અફર કરી શકાય તેવા ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી દ્વારા બદલવામાં આવે છે. જો આપણે ડિગ્રીને માત્ર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ, અને અપૂર્ણાંક m/n ની અસ્પષ્ટતા વિશે કોઈ આરક્ષણ ન કર્યું, તો પછી આપણને નીચેની જેવી પરિસ્થિતિઓનો સામનો કરવો પડશે: 6/10 = 3/5 થી, પછી સમાનતા હોવી જોઈએ , પરંતુ , એ.

"તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ઘાતાંક" વિડિઓ પાઠમાં વિઝ્યુઅલ શામેલ છે શૈક્ષણિક સામગ્રીઆ વિષય પર પાઠ શીખવવા માટે. વિડિયો પાઠમાં તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની વિભાવના, આવી ડિગ્રીના ગુણધર્મો, તેમજ ઉકેલ માટે શૈક્ષણિક સામગ્રીના ઉપયોગનું વર્ણન કરતા ઉદાહરણો વિશેની માહિતી શામેલ છે. વ્યવહારુ સમસ્યાઓ. આ વિડિયો પાઠનો હેતુ શૈક્ષણિક સામગ્રીને સ્પષ્ટ અને સ્પષ્ટ રીતે રજૂ કરવાનો, વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા તેના વિકાસ અને યાદ રાખવાની સુવિધા આપવાનો અને શીખેલા ખ્યાલોનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ હલ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવવાનો છે.

વિડિયો પાઠના મુખ્ય ફાયદાઓ દૃષ્ટિની રીતે પરિવર્તન અને ગણતરીઓ કરવાની ક્ષમતા, શીખવાની કાર્યક્ષમતામાં સુધારો કરવા માટે એનિમેશન અસરોનો ઉપયોગ કરવાની ક્ષમતા છે. અવાજ માર્ગદર્શન યોગ્ય વિકાસ કરવામાં મદદ કરે છે ગણિત ભાષણ, અને શિક્ષકના સમજૂતીને બદલવાનું પણ શક્ય બનાવે છે, તેને વ્યક્તિગત કાર્ય હાથ ધરવા માટે મુક્ત કરે છે.

વિડિયો પાઠ વિષયનો પરિચય આપીને શરૂ થાય છે. અભ્યાસને જોડવું નવો વિષયઅગાઉ અભ્યાસ કરેલ સામગ્રી સાથે, એ યાદ રાખવાનું સૂચન કરવામાં આવે છે કે n √a અન્યથા કુદરતી n અને ધન a માટે 1/n દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આ રજૂઆત n-રુટ સ્ક્રીન પર પ્રદર્શિત થાય છે. આગળ, અમે m/n અભિવ્યક્તિનો અર્થ શું છે તે ધ્યાનમાં લેવાનું સૂચન કરીએ છીએ, જેમાં a એ હકારાત્મક સંખ્યા છે અને m/n એ અપૂર્ણાંક છે. m/n = n √a m તરીકે તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની વ્યાખ્યા આપવામાં આવી છે, જે ફ્રેમમાં પ્રકાશિત થાય છે. એ નોંધ્યું છે કે n હોઈ શકે છે કુદરતી સંખ્યા, અને m એ પૂર્ણાંક છે.

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી વ્યાખ્યાયિત કર્યા પછી, તેનો અર્થ ઉદાહરણો દ્વારા પ્રગટ થાય છે: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. એક ઉદાહરણ પણ દર્શાવવામાં આવ્યું છે જેમાં ડિગ્રી દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે દશાંશ, માં રૂપાંતરિત થાય છે સામાન્ય અપૂર્ણાંકરુટ તરીકે રજૂ કરવા માટે: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 અને ઉદાહરણ સાથે નકારાત્મક મૂલ્યડિગ્રી: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

જ્યારે ડિગ્રીનો આધાર શૂન્ય હોય ત્યારે વિશિષ્ટ કેસની વિશિષ્ટતા અલગથી સૂચવવામાં આવે છે. એ નોંધ્યું છે કે આ ડિગ્રીસકારાત્મક અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે જ અર્થ થાય છે. આ કિસ્સામાં, તેનું મૂલ્ય શૂન્ય છે: 0 m/n =0.

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની બીજી વિશેષતા નોંધવામાં આવે છે - કે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ગણી શકાય નહીં. ડિગ્રીના ખોટા સંકેતના ઉદાહરણો આપવામાં આવ્યા છે: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

આગળ વિડિયો પાઠમાં આપણે તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ગુણધર્મોની ચર્ચા કરીશું. તે નોંધવામાં આવે છે કે પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીના ગુણધર્મો તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી માટે પણ માન્ય રહેશે. આ કિસ્સામાં પણ માન્ય મિલકતોની સૂચિને યાદ કરવાનો પ્રસ્તાવ છે:

1. જ્યારે સમાન આધારો સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેમના ઘાતાંકનો ઉમેરો થાય છે: a p a q =a p+q.
2. સમાન પાયા સાથેની ડિગ્રીઓનું વિભાજન આપેલ આધાર અને ઘાતાંકમાં તફાવત સાથે ડિગ્રી સુધી ઘટાડી દેવામાં આવે છે: a p:a q =a p-q.
3. જો આપણે ડિગ્રીને ચોક્કસ શક્તિ સુધી વધારીએ, તો પછી આપણે આપેલ આધાર અને ઘાતાંકના ગુણાંક સાથેની ડિગ્રી સાથે સમાપ્ત કરીએ છીએ: (a p) q =a pq.

આ તમામ ગુણધર્મો તર્કસંગત ઘાતાંક p, q અને હકારાત્મક આધાર a>0 સાથેની શક્તિઓ માટે માન્ય છે. ઉપરાંત, કૌંસ ખોલતી વખતે ડિગ્રી પરિવર્તન સાચું રહે છે:

1. (ab) p =a p b p - તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે અમુક ઘાતમાં વધારો કરવાથી બે સંખ્યાના ગુણાંકને સંખ્યાના ગુણાંકમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે, જેમાંથી પ્રત્યેકને આપેલ ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે.
2. (a/b) p =a p /b p - તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે અપૂર્ણાંકને ઘાતમાં વધારતા અપૂર્ણાંકમાં ઘટાડો થાય છે જેના અંશ અને છેદને આપેલ ઘાત સુધી વધારવામાં આવે છે.

વિડિયો ટ્યુટોરીયલ એવા ઉદાહરણોની ચર્ચા કરે છે કે જે તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે સત્તાના ગણવામાં આવતા ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરે છે. પહેલું ઉદાહરણ તમને x in વેરિયેબલ ધરાવતી એક્સપ્રેશનની કિંમત શોધવાનું કહે છે અપૂર્ણાંક શક્તિ: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). અભિવ્યક્તિની જટિલતા હોવા છતાં, શક્તિઓના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને તે એકદમ સરળ રીતે ઉકેલી શકાય છે. સમસ્યાનું નિરાકરણ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવાથી શરૂ થાય છે, જે એક શક્તિના તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે શક્તિ વધારવાના નિયમનો ઉપયોગ કરે છે, તેમજ તેની સાથે શક્તિઓનો ગુણાકાર કરે છે. સમાન આધાર. અવેજી પછી મૂલ્ય સેટ કરો x=8 સરળ અભિવ્યક્તિ x 1/3 +48 માં, મૂલ્ય મેળવવું સરળ છે - 50.

બીજા ઉદાહરણમાં, તમારે એવા અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાની જરૂર છે કે જેના અંશ અને છેદમાં તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ હોય. ડિગ્રીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે તફાવતમાંથી પરિબળ x 1/3 કાઢીએ છીએ, જે પછી અંશ અને છેદમાં ઘટાડવામાં આવે છે, અને વર્ગોના તફાવત માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અંશનું અવયવીકરણ કરવામાં આવે છે, જે સમાનતાના વધુ ઘટાડા આપે છે. અંશ અને છેદમાં પરિબળો. આવા પરિવર્તનનું પરિણામ ટૂંકા અપૂર્ણાંક x 1/4 +3 છે.

શિક્ષક દ્વારા પાઠનો નવો વિષય સમજાવવાને બદલે વિડીયો પાઠ “તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ઘાતાંક” નો ઉપયોગ કરી શકાય છે. આ માર્ગદર્શિકા પણ પૂરતી સમાવે છે સંપૂર્ણ માહિતીમાટે સ્વ-અભ્યાસવિદ્યાર્થી સામગ્રી અંતર શિક્ષણ માટે પણ ઉપયોગી થઈ શકે છે.

MBOU "સિડોર્સ્કાયા"

માધ્યમિક શાળા»

રૂપરેખા યોજનાનો વિકાસ ખુલ્લો પાઠ

વિષય પર 11મા ધોરણમાં બીજગણિતમાં:

તૈયાર અને હાથ ધરવામાં

ગણિત શિક્ષક

ઇસ્ખાકોવા ઇ.એફ.

11મા ધોરણમાં બીજગણિતના ખુલ્લા પાઠની રૂપરેખા.

વિષય : "તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી."

પાઠનો પ્રકાર : નવી સામગ્રી શીખવી

પાઠ હેતુઓ:

વિદ્યાર્થીઓને અગાઉ અભ્યાસ કરેલી સામગ્રી (પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી)ના આધારે તર્કસંગત ઘાતાંક અને તેના મૂળભૂત ગુણધર્મોવાળી ડિગ્રીની વિભાવનાનો પરિચય આપો.

કોમ્પ્યુટેશનલ કૌશલ્ય અને તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે સંખ્યાઓને રૂપાંતરિત અને તુલના કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો.

ઉપર લાવો ગાણિતિક સાક્ષરતાઅને વિદ્યાર્થીઓમાં ગાણિતિક રસ.

સાધનસામગ્રી : ટાસ્ક કાર્ડ્સ, પૂર્ણાંક સૂચક સાથે ડિગ્રી દ્વારા વિદ્યાર્થીની રજૂઆત, તર્કસંગત સૂચક, લેપટોપ, મલ્ટીમીડિયા પ્રોજેક્ટર, સ્ક્રીન સાથે ડિગ્રી દ્વારા શિક્ષકની રજૂઆત.

પાઠ પ્રગતિ:

સંસ્થાકીય ક્ષણ.

વ્યક્તિગત ટાસ્ક કાર્ડ્સનો ઉપયોગ કરીને આવરી લેવામાં આવેલા વિષયની નિપુણતા તપાસવી.

કાર્ય નંબર 1.

=2;

બી) =x + 5;

સિસ્ટમ ઉકેલો અતાર્કિક સમીકરણો: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

કાર્ય નંબર 2.

અતાર્કિક સમીકરણ ઉકેલો: = - 3;

બી) = x - 2;

અતાર્કિક સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

પાઠના વિષય અને ઉદ્દેશ્યોની વાતચીત કરો.

આપણા આજના પાઠનો વિષય છે “ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની શક્તિ».

અગાઉ અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને નવી સામગ્રીની સમજૂતી.

તમે પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીના ખ્યાલથી પહેલેથી જ પરિચિત છો. તેમને યાદ કરવામાં મને કોણ મદદ કરશે?

પ્રસ્તુતિનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન " પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રી».

કોઈપણ સંખ્યાઓ માટે a, b અને કોઈપણ પૂર્ણાંક m અને n સમાનતાઓ સાચી છે:

a m * a n =a m+n ;

a m: a n =a m-n (a ≠ 0);

(a m) n = a mn ;

(a b) n =a n * b n ;

(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0) ;

a 1 =a ;

a 0 = 1(a ≠ 0) આજે આપણે સંખ્યાની શક્તિની વિભાવનાને સામાન્ય બનાવીશું અને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક ધરાવતા સમીકરણોને અર્થ આપીશું. ચાલો પરિચય આપીએવ્યાખ્યા

તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી (પ્રસ્તુતિ "તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રી"): > પાવર ઓફ એ તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે 0 = આર m , ક્યાં n પૂર્ણાંક છે, અને n > - કુદરતી ( m .

1), નંબર પર કૉલ કર્યો = તેથી, વ્યાખ્યા દ્વારા આપણે તે મેળવીએ છીએ .

m

ચાલો કોઈ કાર્ય પૂર્ણ કરતી વખતે આ વ્યાખ્યા લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.

ઉદાહરણ નંબર 1

હું સંખ્યાના મૂળ તરીકે અભિવ્યક્તિ રજૂ કરું છું: અ) બી) .

માં)

હવે આ વ્યાખ્યાને વિપરીત રીતે લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ

હું સંખ્યાના મૂળ તરીકે અભિવ્યક્તિ રજૂ કરું છું: 2 અ) બી) 5 .

II તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે શક્તિ તરીકે અભિવ્યક્તિ વ્યક્ત કરો:

0 0 ની શક્તિ માત્ર હકારાત્મક ઘાતાંક માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.આર 0 ની શક્તિ માત્ર હકારાત્મક ઘાતાંક માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.> 0.

કોઈપણ માટે = 0 ઉપયોગ કરીને, આ વ્યાખ્યાઘરો

તમે #428 અને #429 પૂર્ણ કરશો.

ચાલો હવે બતાવીએ કે ઉપરોક્ત તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીની વ્યાખ્યા સાથે, ડિગ્રીના મૂળભૂત ગુણધર્મો સચવાય છે, જે કોઈપણ ઘાતાંક માટે સાચા હોય છે.

1 0 કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ r અને s અને કોઈપણ ધન a અને b માટે, નીચેની સમાનતાઓ ધરાવે છે: 0 ની શક્તિ માત્ર હકારાત્મક ઘાતાંક માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. . a a s =a ;

r+s: *

ઉદાહરણ

2 0 a r: a s =a r-s ; :

3 0 . (ઉદાહરણ:

a r ) s = a rs ; -2/3

4 0 . ( ઉદાહરણ: () 0 ની શક્તિ માત્ર હકારાત્મક ઘાતાંક માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. = ab 0 ની શક્તિ માત્ર હકારાત્મક ઘાતાંક માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. a 0 ની શક્તિ માત્ર હકારાત્મક ઘાતાંક માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. ; 5 0 . ( = .

b 4) 1/2 ; ( ) 1/2

ઉદાહરણ: (25 * : .

એકસાથે અનેક ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવાનું ઉદાહરણ:

અમે પેનને ડેસ્ક પર મૂકી, પીઠ સીધી કરી, અને હવે અમે આગળ પહોંચીએ છીએ, અમે બોર્ડને સ્પર્શ કરવા માંગીએ છીએ. હવે અમે તેને ઊંચું કર્યું છે અને જમણે, ડાબે, આગળ, પાછળ ઝુકાવ્યું છે. તમે મને તમારા હાથ બતાવ્યા, હવે મને બતાવો કે તમારી આંગળીઓ કેવી રીતે નૃત્ય કરી શકે છે.

સામગ્રી પર કામ

ચાલો તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે શક્તિના વધુ બે ગુણધર્મો નોંધીએ:

6 0 દો r એ તર્કસંગત સંખ્યા અને 0 છે< a < b . Тогда

ab 0 ની શક્તિ માત્ર હકારાત્મક ઘાતાંક માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. < b 0 ની શક્તિ માત્ર હકારાત્મક ઘાતાંક માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.ખાતે આર> 0,

ab 0 ની શક્તિ માત્ર હકારાત્મક ઘાતાંક માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. < b 0 ની શક્તિ માત્ર હકારાત્મક ઘાતાંક માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.ખાતે આર< 0.

7 0 . કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યાઓ માટે0 ની શક્તિ માત્ર હકારાત્મક ઘાતાંક માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.અને aઅસમાનતા થી 0 ની શક્તિ માત્ર હકારાત્મક ઘાતાંક માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.> aતે તેને અનુસરે છે

ab 0 ની શક્તિ માત્ર હકારાત્મક ઘાતાંક માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.> એ 0 ની શક્તિ માત્ર હકારાત્મક ઘાતાંક માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. a > 1 માટે,

ab 0 ની શક્તિ માત્ર હકારાત્મક ઘાતાંક માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. < а 0 ની શક્તિ માત્ર હકારાત્મક ઘાતાંક માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. 0 પર< а < 1.

ઉદાહરણ: સંખ્યાઓની સરખામણી કરો:

અને ; 2 300 અને 3 200 .

પાઠ સારાંશ:

આજે પાઠમાં આપણે પૂર્ણાંક ઘાતાંક સાથે ડિગ્રીના ગુણધર્મોને યાદ કર્યા, તર્કસંગત ઘાતાંક સાથેની ડિગ્રીની વ્યાખ્યા અને મૂળભૂત ગુણધર્મો શીખ્યા, અને આના ઉપયોગ પર વિચાર કર્યો. સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીવ્યાયામ કરતી વખતે વ્યવહારમાં. હું તમારું ધ્યાન એ હકીકત તરફ દોરવા માંગુ છું કે "તર્કસંગત ઘાતાંક સાથે ઘાતાંક" વિષય ફરજિયાત છે. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા સોંપણીઓ. તૈયારીમાં હોમવર્ક (નંબર 428 અને નંબર 429