Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengirimkan permintaan di situs, kami dapat mengumpulkannya berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda e-mail dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari lembaga pemerintah di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
Jenis-jenis ketidaksetaraan utama disajikan, termasuk ketidaksetaraan Bernoulli, Cauchy-Bunyakovsky, Minkowski, Chebyshev. Sifat-sifat ketidaksetaraan dan tindakan terhadapnya dipertimbangkan. Metode dasar untuk menyelesaikan kesenjangan diberikan.
Rumus ketidaksetaraan dasar
Rumus kesenjangan universal
Ketimpangan universal dipenuhi untuk setiap nilai besaran yang termasuk di dalamnya. Jenis utama tercantum di bawah ini kesenjangan universal.
1) | ab | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |dan |
2) |sebuah| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |sebuah| - |b| |
3)
Kesetaraan hanya terjadi jika a 1 = a 2 = ... = a n.
4)
Ketimpangan Cauchy-Bunyakovsky
Kesetaraan berlaku jika dan hanya jika α a k = β b k untuk semua k = 1, 2, ..., n dan beberapa α, β, |α| + |β| > 0 .
5)
ketidaksetaraan Minkowski, untuk p ≥ 1
Rumus ketidaksetaraan yang dapat dipenuhi
Pertidaksamaan yang dapat dipenuhi dipenuhi untuk nilai-nilai tertentu dari besaran-besaran yang termasuk di dalamnya.
1)
Ketimpangan Bernoulli:
.
Lebih lanjut pandangan umum:
,
dimana , bilangan-bilangan yang bertanda sama dan lebih besar dari -1
:
.
Lemma Bernoulli:
.
Lihat "Bukti ketidaksetaraan dan lemma Bernoulli".
2)
untuk saya ≥ 0 (saya = 1, 2, ..., n) .
3)
Ketimpangan Chebyshev
pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Dan 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Dan b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
4)
Ketimpangan Chebyshev yang digeneralisasi
pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Dan 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
dan k alami
.
Pada 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
Dan b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
Sifat-sifat ketidaksetaraan
Sifat-sifat pertidaksamaan adalah seperangkat aturan yang dipenuhi ketika mereka diubah. Di bawah ini adalah sifat-sifat pertidaksamaan. Dapat dipahami bahwa pertidaksamaan awal dipenuhi untuk nilai x i (i = 1, 2, 3, 4) yang termasuk dalam interval tertentu.
1) Jika urutan sisi-sisinya berubah, tanda pertidaksamaan berubah menjadi kebalikannya.
Jika x 1< x 2
,
то x 2 >x 1 .
Jika x 1 ≤ x 2, maka x 2 ≥ x 1.
Jika x 1 ≥ x 2, maka x 2 ≤ x 1.
Jika x 1 > x 2 maka x 2< x 1
.
2) Satu persamaan setara dengan dua ketidaksetaraan lemah tanda yang berbeda.
Jika x 1 = x 2, maka x 1 ≤ x 2 dan x 1 ≥ x 2.
Jika x 1 ≤ x 2 dan x 1 ≥ x 2, maka x 1 = x 2.
3) Sifat transitivitas
Jika x 1< x 2
и x 2 < x 3
,
то x 1 < x 3
.
Jika x 1< x 2
и x 2 ≤ x 3
,
то x 1 < x 3
.
Jika x 1 ≤ x 2 dan x 2< x 3
,
то x 1 < x 3
.
Jika x 1 ≤ x 2 dan x 2 ≤ x 3, maka x 1 ≤ x 3.
4) Bilangan yang sama dapat dijumlahkan (dikurangi) pada kedua ruas pertidaksamaan.
Jika x 1< x 2
,
то x 1 + A < x 2 + A
.
Jika x 1 ≤ x 2, maka x 1 + A ≤ x 2 + A.
Jika x 1 ≥ x 2, maka x 1 + A ≥ x 2 + A.
Jika x 1 > x 2, maka x 1 + A > x 2 + A.
5) Apabila terdapat dua atau lebih pertidaksamaan yang tandanya searah, maka ruas kiri dan ruas kanannya dapat dijumlahkan.
Jika x 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Jika x 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Jika x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
Jika x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, maka x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Ekspresi serupa berlaku untuk tanda ≥, >.
Jika pertidaksamaan asal mengandung tanda-tanda pertidaksamaan tidak tegas dan paling sedikit satu ketimpangan yang ketat(tetapi semua tanda mempunyai arah yang sama), kemudian bila dijumlahkan diperoleh pertidaksamaan tegas.
6) Kedua ruas pertidaksamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan bilangan positif.
Jika x 1< x 2
и A >0, lalu A x 1< A · x 2
.
Jika x 1 ≤ x 2 dan A > 0, maka A x 1 ≤ A x 2.
Jika x 1 ≥ x 2 dan A > 0, maka A x 1 ≥ A x 2.
Jika x 1 > x 2 dan A > 0, maka A · x 1 > A · x 2.
7) Kedua ruas pertidaksamaan dapat dikalikan (dibagi) dengan bilangan negatif. Dalam hal ini tanda pertidaksamaan akan berubah menjadi sebaliknya.
Jika x 1< x 2
и A < 0
,
то A · x 1 >Sebuah x 2.
Jika x 1 ≤ x 2 dan A< 0
,
то A · x 1 ≥ A · x 2
.
Jika x 1 ≥ x 2 dan A< 0
,
то A · x 1 ≤ A · x 2
.
Jika x 1 > x 2 dan A< 0
,
то A · x 1 < A · x 2
.
8) Jika terdapat dua atau lebih pertidaksamaan yang suku-sukunya positif, bertanda searah, maka ruas kiri dan kanannya dapat dikalikan.
Jika x 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 lalu x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Jika x 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 lalu x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Jika x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 lalu x 1 x 3< x 2 · x 4
.
Jika x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 maka x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Ekspresi serupa berlaku untuk tanda ≥, >.
Jika pertidaksamaan asal mengandung tanda-tanda pertidaksamaan tidak tegas dan paling sedikit satu pertidaksamaan tegas (tetapi semua tanda mempunyai arah yang sama), maka perkalian menghasilkan pertidaksamaan tegas.
9) Misalkan f(x) adalah fungsi yang meningkat secara monoton. Artinya, untuk sembarang x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2).
Jika x 1< x 2
,
то f(x 1) < f(x 2)
.
Kemudian fungsi ini dapat diterapkan pada kedua sisi pertidaksamaan, yang tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan tersebut.
Jika x 1 ≤ x 2 maka f(x 1) ≤ f(x 2) .
Jika x 1 ≥ x 2 maka f(x 1) ≥ f(x 2) .
Jika x 1 > x 2, maka f(x 1) > f(x 2).< f(x 2)
.
Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Jika x 1< x 2
,
то f(x 1) >10) Misalkan f(x) merupakan fungsi menurun monotonik, yaitu untuk sembarang x 1 > x 2, f(x 1)
f(x 2) .
Jika x 1 ≤ x 2 maka f(x 1) ≥ f(x 2) .
Jika x 1 > x 2 maka f(x 1)< f(x 2)
.
Metode untuk mengatasi kesenjangan
Menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval
Metode interval dapat diterapkan jika pertidaksamaan mencakup satu variabel, yang kita nyatakan sebagai x, dan berbentuk:
f(x) > 0
di mana f(x) - fungsi berkelanjutan, memiliki nomor akhir titik istirahat. Tanda pertidaksamaan dapat berupa apa saja: >, ≥,<, ≤
.
Metode intervalnya adalah sebagai berikut.
1) Temukan domain definisi fungsi f(x) dan tandai dengan interval pada sumbu bilangan.
2) Temukan titik diskontinuitas fungsi f(x).
Misalnya, jika ini adalah pecahan, maka kita mencari titik di mana penyebutnya menjadi nol. Kami menandai titik-titik ini pada sumbu bilangan.
3) Selesaikan persamaannya
f(x) = 0 .
Kami menandai akar persamaan ini pada sumbu bilangan.
4) Akibatnya, sumbu bilangan akan terbagi menjadi interval (segmen) berdasarkan titik. Dalam setiap interval yang termasuk dalam domain definisi, kami memilih titik mana pun dan pada titik ini kami menghitung nilai fungsinya. Jika nilai ini lebih besar dari nol, maka kita beri tanda “+” di atas ruas (interval).
Jika nilainya kurang dari nol, maka kita beri tanda “-” di atas ruas (interval).
5) Jika pertidaksamaan berbentuk: f(x) > 0, maka pilih interval yang bertanda “+”.< 0
,
то выбираем интервалы с знаком „-“
.
Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah dengan menggabungkan interval-interval tersebut, tanpa batas-batasnya.
Jika pertidaksamaan berbentuk: f(x) ≥ 0, maka pada penyelesaiannya kita tambahkan titik-titik di mana f(x) = 0.
Artinya, beberapa interval mungkin memiliki batas tertutup (batas tersebut termasuk dalam interval). bagian lainnya mungkin memiliki batas terbuka (batas tersebut tidak termasuk dalam interval). Demikian pula jika pertidaksamaan berbentuk: f(x) Jika pertidaksamaan berbentuk: f(x) ≤ 0, maka pada penyelesaiannya kita tambahkan titik-titik di mana f(x) = 0.
Memecahkan pertidaksamaan menggunakan propertinya
Metode ini dapat diterapkan pada ketimpangan dengan kompleksitas apa pun. Hal ini terdiri dari penerapan sifat-sifat (disajikan di atas) untuk memperparah kesenjangan
tampilan sederhana dan mendapatkan solusinya. Sangat mungkin bahwa hal ini tidak hanya akan mengakibatkan satu hal, namun sebuah sistem kesenjangan. Ini adalah metode universal. Hal ini berlaku untuk semua kesenjangan. Sastra bekas: DI DALAM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009. Dalam matematika
himpunan tak terbatas fungsi. Dan masing-masing memiliki karakternya sendiri.) Untuk bekerja dengan berbagai macam fungsi yang Anda perlukan lajang mendekati. Kalau tidak, matematika macam apa ini?!) Dan ada pendekatan seperti itu! Saat bekerja dengan fungsi apa pun, kami menyajikannya ditetapkan standar pertanyaan. Dan yang pertama, yang paling banyak nilai-nilai yang dapat diterima argumen, area spesifikasi fungsi, dll.
Apa domain suatu fungsi? Bagaimana cara menemukannya? Pertanyaan-pertanyaan ini sering kali tampak rumit dan tidak dapat dipahami... Meskipun, pada kenyataannya, semuanya sangat sederhana. Anda dapat melihatnya sendiri dengan membaca halaman ini. Ayo pergi?)
Nah, apa yang bisa saya katakan... Hormati saja.) Ya! Domain natural suatu fungsi (yang dibahas di sini) cocok Dengan ekspresi ODZ termasuk dalam fungsinya. Oleh karena itu, mereka digeledah menurut aturan yang sama.
Sekarang mari kita lihat domain definisi yang tidak sepenuhnya alami.)
Pembatasan tambahan pada cakupan suatu fungsi.
Di sini kita akan berbicara tentang batasan yang dikenakan oleh tugas tersebut. Itu. tugas itu berisi beberapa ketentuan tambahan, yang ditemukan oleh kompiler. Atau pembatasan muncul dari metode pendefinisian fungsi itu sendiri.
Adapun batasan tugas, semuanya sederhana. Biasanya tidak perlu mencari apa-apa, semuanya sudah disebutkan di tugas. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa batasan yang ditulis oleh penulis tugas tidak dapat dibatalkan keterbatasan mendasar matematika. Anda hanya perlu ingat untuk mempertimbangkan kondisi tugas.
Misalnya, tugas ini:
Temukan domain suatu fungsi:
pada himpunan bilangan positif.
Kami menemukan domain alami definisi fungsi ini di atas. Daerah ini:
D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪
DI DALAM cara lisan Saat menentukan suatu fungsi, Anda perlu membaca kondisi dengan cermat dan menemukan batasan X di sana. Kadang mata mencari rumus, tapi kata bersiul melewati kesadaran ya...) Contoh pelajaran sebelumnya:
Fungsi tersebut ditentukan dengan syarat: setiap nilai argumen natural x dikaitkan dengan jumlah digit yang membentuk nilai x.
Perlu dicatat di sini bahwa kita sedang berbicara hanya HAI nilai-nilai alam X. Kemudian D(f) langsung direkam:
D(P): x ∈ N
Seperti yang Anda lihat, cakupan suatu fungsi tidak demikian konsep yang kompleks. Menemukan wilayah ini berarti memeriksa fungsinya, menulis sistem pertidaksamaan, dan menyelesaikan sistem tersebut. Tentu saja, ada berbagai macam sistem, sederhana dan kompleks. Tetapi...
Saya akan membukanya rahasia kecil. Terkadang fungsi yang Anda perlukan untuk menemukan domain definisinya terlihat menakutkan. Saya ingin menjadi pucat dan menangis.) Tetapi begitu saya menuliskan sistem pertidaksamaan... Dan, tiba-tiba, sistem tersebut menjadi dasar! Terlebih lagi, seringkali, semakin buruk fungsinya, semakin sederhana sistemnya...
Moral: mata takut, kepala memutuskan!)
Pembimbing Ilmiah:
1. Pendahuluan 3
2. Sketsa sejarah 4
3. “Tempat” ODZ saat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan 5-6
4. Ciri-ciri dan bahaya ODZ 7
5. ODZ – ada solusi 8-9
6. Menemukan ODZ adalah pekerjaan ekstra. Kesetaraan transisi 10-14
7. ODZ pada Ujian Negara Bersatu 15-16
8. Kesimpulan 17
9. Sastra 18
1. Pendahuluan
Masalah: persamaan dan pertidaksamaan yang perlu dicari ODZ tidak mendapat tempat dalam mata kuliah aljabar untuk penyajian sistematis, mungkin itulah sebabnya saya dan rekan-rekan saya sering melakukan kesalahan saat menyelesaikan contoh-contoh seperti itu, menghabiskan banyak waktu untuk menyelesaikannya, sambil lupa tentang ODZ.
Target: mampu menganalisis situasi dan menarik kesimpulan yang benar secara logis dalam contoh-contoh di mana DL perlu diperhitungkan.
Tugas:
1. Mempelajari materi teori;
2. Menyelesaikan banyak persamaan, pertidaksamaan: a) rasional pecahan; b) tidak rasional; c) logaritma; d) mengandung fungsi trigonometri terbalik;
3. Menerapkan materi yang dipelajari dalam situasi yang berbeda dari situasi standar;
4. Buatlah karya dengan topik “Area Nilai yang Dapat Diterima: Teori dan Praktek”
Bekerja pada proyek: Saya mulai mengerjakan proyek ini dengan mengulangi fungsi yang saya tahu. Cakupan dari banyak diantaranya terbatas.
ODZ terjadi:
1. Saat memutuskan persamaan rasional pecahan dan kesenjangan
2. Saat memutuskan persamaan irasional dan kesenjangan
3. Saat memutuskan persamaan logaritma dan kesenjangan
4. Saat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung fungsi trigonometri terbalik
Setelah memecahkan banyak contoh dari berbagai sumber(panduan ujian negara terpadu, buku teks, buku referensi), saya mensistematisasikan solusi contoh menurut prinsip-prinsip berikut:
· Anda dapat menyelesaikan contoh dan memperhitungkan ODZ (metode paling umum)
· dimungkinkan untuk menyelesaikan contoh tanpa memperhitungkan ODZ
· Keputusan yang tepat hanya dapat diambil dengan mempertimbangkan ODZ.
Metode yang digunakan dalam pekerjaan: 1) analisis; 2) analisis statistik; 3) pengurangan; 4) klasifikasi; 5) peramalan.
Mempelajari analisisnya Hasil Ujian Negara Bersatu selama beberapa tahun terakhir. Banyak kesalahan yang dibuat dalam contoh di mana DL perlu diperhitungkan. Ini sekali lagi ditekankan relevansi topik saya.
2. Sketsa sejarah
Seperti konsep matematika lainnya, konsep fungsi tidak serta merta berkembang, melainkan melalui perjalanan perkembangan yang panjang. Karya P. Fermat “Introduction and Study of Flat and Solid Places” (1636, diterbitkan 1679) mengatakan: “Setiap kali di persamaan akhir Ada dua kuantitas yang tidak diketahui, ada tempatnya.” Intinya, kita berbicara tentang ketergantungan fungsional dan ketergantungannya representasi grafis(“tempat” dalam bahasa Fermat berarti garis). Kajian garis menurut persamaannya dalam “Geometri” karya R. Descartes (1637) juga menunjukkan pemahaman yang jelas tentang saling ketergantungan keduanya. variabel. Dalam I. Barrow (“Lectures on Geometry”, 1670) in bentuk geometris sifat saling bertolak belakang dari tindakan diferensiasi dan integrasi ditetapkan (tentu saja, tanpa menggunakan istilah-istilah ini sendiri). Hal ini sudah menunjukkan penguasaan konsep fungsi yang sangat jelas. Secara geometris dan bentuk mekanis Kami juga menemukan konsep ini dalam I. Newton. Namun, istilah "fungsi" pertama kali muncul hanya pada tahun 1692 oleh G. Leibniz dan, terlebih lagi, tidak sepenuhnya dipahami secara modern. G. Leibniz menyebut berbagai segmen yang terkait dengan suatu kurva (misalnya, absis titik-titiknya) sebagai suatu fungsi. Dalam kursus cetak pertama, “Analisis bilangan sangat kecil untuk pengetahuan garis lengkung” oleh L'Hopital (1696), istilah “fungsi” tidak digunakan.
Definisi pertama fungsi dalam pengertian yang mendekati definisi modern ditemukan dalam I. Bernoulli (1718): “Fungsi adalah besaran yang terdiri dari variabel dan konstanta.” Definisi yang tidak sepenuhnya jelas ini didasarkan pada gagasan untuk menentukan suatu fungsi rumus analitis. Gagasan yang sama muncul dalam definisi L. Euler, yang diberikan olehnya dalam “Pengantar Analisis Tak Terbatas” (1748): “Fungsi kuantitas variabel adalah ekspresi analitik yang tersusun dari kuantitas dan angka variabel ini atau jumlah yang konstan" Namun, L. Euler sudah tidak asing lagi pemahaman modern fungsi, yang tidak menghubungkan konsep suatu fungsi dengan ekspresi analitiknya. Dalam "nya" Kalkulus diferensial” (1755) mengatakan: “Bila besaran-besaran tertentu bergantung pada besaran-besaran lain sedemikian rupa sehingga ketika besaran-besaran tersebut berubah, maka besaran-besaran itu sendiri juga mengalami perubahan, maka besaran pertama disebut fungsi dari besaran kedua.”
DENGAN awal XIX berabad-abad, semakin sering mereka mendefinisikan konsep suatu fungsi tanpa menyebutkan representasi analitisnya. Dalam "Risalah tentang Diferensial dan kalkulus integral(1797-1802) S. Lacroix mengatakan: “Setiap besaran yang nilainya bergantung pada satu atau banyak besaran lain disebut fungsi dari besaran tersebut.” DI DALAM " Teori analitis panas" oleh J. Fourier (1822) terdapat ungkapan: "Fungsi f(x) menunjukkan fungsi yang sepenuhnya arbitrer, yaitu urutan nilai tertentu, bawahan atau tidak hukum umum dan sesuai dengan semua nilai X berisi antara 0 dan beberapa nilai X" Definisi N. I. Lobachevsky mendekati definisi modern: “... Konsep umum fungsi mengharuskan fungsi dari X sebutkan nomor yang diberikan untuk masing-masingnya X dan bersama dengan X secara bertahap berubah. Nilai fungsi dapat diberikan atau ekspresi analitis, atau suatu kondisi yang menyediakan sarana untuk menguji semua bilangan dan memilih salah satunya, atau, akhirnya, suatu ketergantungan mungkin ada dan tetap tidak diketahui." Disebutkan juga sedikit lebih rendah: “Pandangan luas dari teori ini memperbolehkan adanya ketergantungan hanya dalam arti bahwa angka-angka yang satu dengan yang lain dalam hubungan dipahami seolah-olah diberikan bersama-sama.” Dengan demikian, definisi modern fungsi, bebas dari referensi ke tugas analitis, biasanya dikaitkan dengan P. Dirichlet (1837), berulang kali diusulkan sebelumnya.
Daerah definisi (nilai yang diperbolehkan) suatu fungsi y adalah himpunan nilai variabel bebas x yang fungsi tersebut didefinisikan, yaitu domain perubahan variabel bebas (argumen).
3. “Tempat” kisaran nilai yang dapat diterima saat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan
1. Saat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan rasional pecahan penyebutnya tidak boleh nol.
2. Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan irasional.
2.1..gif" width="212" height="51"> .
DI DALAM dalam hal ini tidak perlu mencari ODZ: dari persamaan pertama maka nilai x yang diperoleh memenuhi pertidaksamaan berikut: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif" width= "107" height="27 src=" > adalah sistemnya:
Karena keduanya masuk ke dalam persamaan secara merata, maka alih-alih pertidaksamaan, Anda dapat memasukkan pertidaksamaan https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49"> 
https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51"> 
3. Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma.
3.1. Skema untuk menyelesaikan persamaan logaritma
Namun cukup dengan mengecek satu kondisi ODZ saja.
3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">
4. Persamaan trigonometri baik setara dengan sistem (alih-alih pertidaksamaan, Anda dapat memasukkan pertidaksamaan ke dalam sistem https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> setara ke persamaan
4. Ciri-ciri dan bahaya kisaran nilai yang diperbolehkan
Dalam pelajaran matematika, kita diharuskan mencari DL pada setiap contoh. Pada saat yang sama esensi matematika Dalam hal ini, menemukan ODZ sama sekali tidak wajib, seringkali tidak perlu, dan terkadang tidak mungkin - dan semua ini tanpa merusak solusi contoh. Sebaliknya, sering kali setelah menyelesaikan suatu contoh, anak sekolah lupa memperhitungkan DL, menuliskannya sebagai jawaban akhir, dan hanya memperhitungkan beberapa syarat saja. Keadaan ini sudah diketahui secara luas, namun “perang” terus berlanjut setiap tahun dan tampaknya akan berlanjut untuk waktu yang lama.
Misalnya saja ketimpangan berikut:
Di sini, ODZ dicari dan ketimpangan diselesaikan. Namun, ketika menyelesaikan ketimpangan ini, anak-anak sekolah terkadang percaya bahwa sangat mungkin dilakukan tanpa mencari DL, atau lebih tepatnya, sangat mungkin dilakukan tanpa syarat.
Faktanya, untuk mendapatkan jawaban yang benar perlu memperhitungkan pertidaksamaan , dan .
Tapi, misalnya, solusi persamaan: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">
yang setara dengan bekerja dengan ODZ. Namun, dalam contoh ini, pekerjaan seperti itu tidak diperlukan - cukup dengan memeriksa pemenuhan hanya dua dari ketidaksetaraan ini, dan dua lainnya.
Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa persamaan (pertidaksamaan) apa pun dapat direduksi menjadi bentuk . ODZ hanyalah domain definisi fungsi di sisi kiri. Fakta bahwa area ini harus dipantau mengikuti definisi akar sebagai bilangan dari domain definisi fungsi tertentu, sehingga dari ODZ. Di Sini contoh yang lucu pada topik ini..gif" width="20" height="21 src="> memiliki domain definisi himpunan bilangan positif (ini, tentu saja, merupakan kesepakatan untuk mempertimbangkan suatu fungsi, tetapi masuk akal), dan kemudian -1 bukan root.
5. Rentang nilai yang dapat diterima – ada solusinya
Dan terakhir, dalam banyak contoh, menemukan ODZ memungkinkan Anda mendapatkan jawabannya tanpa tata letak yang besar, atau bahkan secara lisan.
1. OD3 adalah himpunan kosong, artinya contoh aslinya tidak memiliki solusi.
1)
2) 3) 
2.B ODZ satu atau lebih angka ditemukan, dan substitusi sederhana dengan cepat menentukan akarnya.
1)
, x=3
2)
Di sini di ODZ hanya ada angka 1, dan setelah substitusi jelas itu bukan root.
3) Ada dua angka di ODZ: 2 dan 3, dan keduanya cocok.
4) > Di ODZ ada dua angka 0 dan 1, dan hanya 1 yang cocok.
ODZ dapat digunakan secara efektif jika dikombinasikan dengan analisis ekspresi itu sendiri.
5) 
< ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только angka positif, jadi kita tinggalkan x=2. Lalu kita substitusikan 2 ke dalam pertidaksamaan tersebut.
6) 
Dari ODZ berikut ini, dimana kita memiliki ..gif" width="143" height="24"> Dari ODZ kita memiliki: . Tapi kemudian dan . Karena, tidak ada solusi.
Dari ODZ kita punya: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, yang artinya Menyelesaikan pertidaksamaan terakhir, kita mendapatkan x<- 4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.
3) ODZ: . Sejak itu
Di sisi lain, https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">
ODZ :. Perhatikan persamaan pada interval [-1; 0).
Ini memenuhi ketidaksetaraan berikut https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src="> dan tidak ada solusi. Dengan fungsi dan https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">.ODZ: x>2..gif" width="233" height ="45 src="> Mari kita cari ODZ-nya:
Solusi bilangan bulat hanya mungkin untuk x=3 dan x=5. Dengan memeriksa kita menemukan bahwa akar x=3 tidak cocok, artinya jawabannya adalah x=5.
6. Menemukan kisaran nilai yang dapat diterima adalah pekerjaan ekstra. Kesetaraan transisi.
Anda dapat memberikan contoh dimana situasinya jelas bahkan tanpa menemukan DZ.
1. 
Kesetaraan tidak mungkin terjadi, karena ketika mengurangkan ekspresi yang lebih besar dari ekspresi yang lebih kecil, hasilnya harus berupa bilangan negatif.
2. 
.
Jumlah dua fungsi non-negatif tidak boleh negatif.
Saya juga akan memberikan contoh ketika menemukan ODZ itu sulit, dan terkadang tidak mungkin.
Dan terakhir, pencarian ODZ seringkali hanya sekedar kerja ekstra, yang tidak dapat Anda lakukan, sehingga membuktikan pemahaman Anda tentang apa yang terjadi. Ada banyak sekali contoh yang dapat diberikan di sini, jadi saya akan memilih yang paling umum saja. Metode penyelesaian utama dalam hal ini adalah transformasi ekuivalen ketika berpindah dari satu persamaan (pertidaksamaan, sistem) ke persamaan lainnya.
1.
. ODZ tidak diperlukan, karena setelah menemukan nilai x yang x2 = 1, kita tidak dapat memperoleh x = 0.
2. . ODZ tidak diperlukan, karena kita mengetahui kapan ekspresi radikal sama dengan bilangan positif.
3. . ODZ tidak diperlukan karena alasan yang sama seperti pada contoh sebelumnya.
4. 
ODZ tidak diperlukan, karena ekspresi radikal sama dengan kuadrat suatu fungsi, dan oleh karena itu tidak boleh negatif.
5. 
6. ..gif" width="271" height="51"> Untuk menyelesaikannya, hanya satu batasan untuk ekspresi radikal yang cukup. Faktanya, dari sistem campuran tertulis maka ekspresi radikal lainnya adalah non-negatif.
8. DZ tidak diperlukan karena alasan yang sama seperti pada contoh sebelumnya.
9. 
ODZ tidak diperlukan, karena dua dari tiga ekspresi di bawah tanda logaritma cukup positif untuk memastikan positifnya ekspresi ketiga.
10. 
.gif" width="357" height="51"> ODZ tidak diperlukan karena alasan yang sama seperti pada contoh sebelumnya.
Namun perlu dicatat bahwa ketika menyelesaikan menggunakan metode transformasi ekuivalen, pengetahuan tentang ODZ (dan sifat-sifat fungsi) membantu.
Berikut beberapa contohnya.
1. . OD3, yang menyiratkan bahwa ekspresi di sisi kanan adalah positif, dan dimungkinkan untuk menulis persamaan yang setara dengan persamaan ini dalam bentuk https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" width ="112" height="27 "> ODZ: Namun kemudian, dan ketika menyelesaikan pertidaksamaan ini, tidak perlu mempertimbangkan kasus ketika sisi kanan kurang dari 0.
3. . Dari ODZ berikut ini, dan oleh karena itu terjadi ketika https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Transisi secara umum terlihat seperti ini :
https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">
Ada dua kemungkinan kasus: 0
Artinya, pertidaksamaan awal setara dengan himpunan sistem pertidaksamaan berikut:
Sistem pertama tidak memiliki solusi, tetapi dari sistem kedua kita memperoleh: x<-1 – решение неравенства.
Memahami kondisi kesetaraan memerlukan pengetahuan tentang beberapa kehalusan. Misalnya, mengapa persamaan berikut ini ekuivalen:
Atau 
Dan yang terakhir, mungkin yang paling penting. Faktanya adalah bahwa kesetaraan menjamin kebenaran jawaban jika beberapa transformasi persamaan itu sendiri dilakukan, tetapi tidak digunakan untuk transformasi hanya pada salah satu bagian. Singkatan dan penggunaan rumus yang berbeda pada salah satu bagian tidak tercakup dalam teorema kesetaraan. Saya sudah memberikan beberapa contoh jenis ini. Mari kita lihat beberapa contoh lagi.
1. Keputusan ini wajar. Di sisi kiri menurut properti fungsi logaritma mari beralih ke ekspresi ..gif" width="111" height="48">
Setelah menyelesaikan sistem ini, kita mendapatkan hasil (-2 dan 2), namun bukan merupakan jawaban, karena angka -2 tidak termasuk dalam ODZ. Jadi, apakah kita perlu menginstal ODS? Tentu saja tidak. Namun karena kita menggunakan properti tertentu dari fungsi logaritma dalam penyelesaiannya, maka kita wajib menyediakan kondisi yang memenuhinya. Kondisi seperti itu adalah ekspresi positif di bawah tanda logaritma..gif" width="65" height="48">.
2. 
..gif" width="143" height="27 src="> angka dapat diganti dengan cara ini 
. Siapa yang ingin melakukan perhitungan yang membosankan seperti itu?.gif" width="12" height="23 src="> tambahkan kondisi, dan Anda dapat langsung melihat bahwa hanya angka https://pandia.ru/text/78/083 / memenuhi kondisi ini images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) ditunjukkan oleh 52% peserta tes. Salah satu alasan rendahnya angka tersebut adalah kenyataan bahwa banyak lulusan tidak memilih akar-akar persamaan yang diperoleh setelah mengkuadratkannya.
3) Perhatikan, misalnya, penyelesaian salah satu soal C1: “Temukan semua nilai x yang titik-titik grafik fungsinya 
terletak di atas titik-titik yang bersesuaian pada grafik fungsi ". Tugasnya bermuara pada penyelesaian ketimpangan pecahan mengandung ekspresi logaritma. Kami mengetahui metode untuk mengatasi kesenjangan tersebut. Yang paling umum adalah metode interval. Namun saat menggunakannya, peserta tes melakukan berbagai kesalahan. Mari kita lihat kesalahan paling umum dengan menggunakan contoh ketidaksetaraan:
X< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие X < 10.
8. Kesimpulan
Ringkasnya, kita dapat mengatakan bahwa tidak ada metode universal untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan. Setiap kali, jika Anda ingin memahami apa yang Anda lakukan dan tidak bertindak secara mekanis, muncul dilema: solusi apa yang harus Anda pilih, khususnya, apakah Anda harus mencari ODZ atau tidak? Saya pikir pengalaman yang saya peroleh akan membantu saya memecahkan dilema ini. Saya akan berhenti membuat kesalahan dengan mempelajari cara menggunakan ODZ dengan benar. Apakah saya bisa melakukan ini, waktu, atau lebih tepatnya Ujian Negara Bersatu, yang akan menjawabnya.
9. Sastra
Dan lain-lain. Buku soal dan buku teks “Aljabar dan permulaan analisis 10-11”, M.: “Prosveshchenie”, 2002. “Buku Pegangan untuk matematika dasar" M.: “Nauka”, 1966. Surat Kabar “Matematika” No. 46, Surat Kabar “Matematika” No. Surat Kabar “Matematika” No. “Sejarah Matematika di Sekolah Kelas VII-VIII”. M.: “Enlightenment”, 1982. dll. “Edisi opsi terlengkap tugas nyata Ujian Negara Terpadu: 2009/FIPI" - M.: "Astrel", 2009. dll. "Ujian Negara Terpadu. Matematika. Materi universal untuk mempersiapkan mahasiswa/FIPI" - M.: "Pusat Intelijen", 2009. dll. "Aljabar dan permulaan analisis 10-11." M.: “Pencerahan”, 2007. , “Lokakarya pemecahan masalah matematika sekolah(lokakarya aljabar).” M.: Pendidikan, 1976. “25.000 pelajaran matematika.” M.: “Pencerahan”, 1993. “Persiapan Olimpiade Matematika.” M.: “Ujian”, 2006. “Ensiklopedia untuk anak “MATEMATIKA”” volume 11, M.: Avanta+; 2002. Materi dari situs www. *****, www. *****.
