Mengurangi ekspresi dengan pecahan online. Pengurangan pecahan aljabar

Untuk memahami cara mereduksi pecahan, mari kita lihat contohnya terlebih dahulu.

Mengurangi pecahan berarti membagi pembilang dan penyebutnya dengan yang sama. Baik 360 maupun 420 diakhiri dengan satu angka, jadi kita bisa mengurangi pecahan ini dengan 2. Pada pecahan baru, 180 dan 210 juga habis dibagi 2, jadi kita kurangi pecahan ini dengan 2. Pada angka 90 dan 105, jumlahkan dari angka-angkanya habis dibagi 3, jadi kedua bilangan tersebut habis dibagi 3, kita kurangi pecahannya dengan 3. Pada pecahan baru, 30 dan 35 diakhiri dengan 0 dan 5, artinya kedua bilangan tersebut habis dibagi 5, jadi kita kurangi pecahan dengan 5. Hasil pecahan enam per tujuh tidak dapat direduksi. Ini adalah jawaban terakhir.

Kita bisa sampai pada jawaban yang sama dengan cara yang berbeda.

Baik 360 maupun 420 berakhiran nol, artinya habis dibagi 10. Kita kurangi pecahannya dengan 10. Pada pecahan baru, pembilang 36 dan penyebut 42 dibagi 2. Kita kurangi pecahannya dengan 2. Pada pecahan tersebut pecahan berikutnya, pembilang 18 dan penyebut 21 dibagi 3, yang berarti kita mengurangi pecahan tersebut dengan 3. Kita sampai pada hasilnya - enam per tujuh.

Dan satu solusi lagi.

Lain kali kita akan melihat contoh pengurangan pecahan.

Nyaman dan sederhana kalkulator daring pecahan dengan solusi rinci Mungkin:

• Menambah, mengurangi, mengalikan dan membagi pecahan online,
• Menerima solusi siap pakai pecahan dengan gambar dan mudah untuk mentransfernya.

Hasil penyelesaian pecahan akan ada di sini...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Tanda pecahan "/" + - * :
_hapus Hapus
Kalkulator pecahan online kami memiliki input cepat. Untuk menyelesaikan pecahan, misalnya, tulis saja 1/2+2/7 ke dalam kalkulator dan tekan tombol " Pecahkan pecahan". Kalkulator akan menulis kepada Anda solusi terperinci pecahan dan akan mengeluarkan gambar yang mudah disalin.

Tanda yang digunakan untuk menulis di kalkulator

Fitur kalkulator pecahan online

Jika Anda ingin menyelesaikan pecahan negatif, cukup gunakan sifat minus. Saat mengalikan dan membagi pecahan negatif dua negatif menjadi afirmatif. Artinya, hasil kali dan pembagian pecahan negatif sama dengan hasil kali dan pembagian pecahan positif yang sama. Jika salah satu pecahan bernilai negatif saat dikalikan atau dibagi, hilangkan saja minusnya lalu tambahkan ke jawabannya. Saat menjumlahkan pecahan negatif, hasilnya akan sama seperti jika Anda menjumlahkan pecahan yang sama pecahan positif. Jika Anda menjumlahkan satu pecahan negatif, maka ini sama dengan mengurangkan pecahan positif yang sama.
Saat mengurangkan pecahan negatif, hasilnya akan sama seperti jika ditukar dan dijadikan positif. Artinya, minus demi minus masuk dalam hal ini memberikan nilai tambah, tetapi menata ulang suku-sukunya tidak mengubah jumlahnya. Kami menggunakan aturan yang sama saat mengurangkan pecahan, salah satunya negatif.

Untuk menyelesaikan pecahan campuran (pecahan yang seluruh bagiannya diisolasi), cukup masukkan seluruh bagian ke dalam pecahan tersebut. Caranya, kalikan seluruh bagian dengan penyebutnya dan tambahkan ke pembilangnya.

Jika Anda perlu menyelesaikan 3 pecahan atau lebih secara online, Anda harus menyelesaikannya satu per satu. Pertama, hitung 2 pecahan pertama, lalu selesaikan pecahan berikutnya dengan jawaban yang didapat, dan seterusnya. Lakukan operasi satu per satu, 2 pecahan sekaligus, dan pada akhirnya Anda akan mendapatkan jawaban yang benar.

Pengurangan pecahan diperlukan untuk mereduksi pecahan menjadi lebih besar tampilan sederhana, misalnya, dalam jawaban yang diperoleh dari penyelesaian suatu ekspresi.

Pengurangan pecahan, definisi dan rumus.

Apa itu pengurangan pecahan? Apa yang dimaksud dengan pengurangan pecahan?

Definisi:
Mengurangi Pecahan- ini adalah pembagian pembilang dan penyebut suatu pecahan menjadi satu angka positif tidak sama dengan nol dan satu. Dari hasil pengurangan tersebut diperoleh pecahan yang pembilang dan penyebutnya lebih kecil, sama dengan pecahan sebelumnya menurut.

Rumus pengurangan pecahan properti utama bilangan rasional.

\(\frac(p \kali n)(q \kali n)=\frac(p)(q)\)

Mari kita lihat sebuah contoh:
Kurangi pecahan \(\frac(9)(15)\)

Larutan:
Kita dapat memperluas pecahan tersebut menjadi faktor prima dan mengurangi faktor persekutuan.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \kali 3)(5 \kali 3)=\frac(3)(5) \kali \warna(merah) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \kali 1=\frac(3)(5)\)

Jawaban: setelah direduksi kita mendapatkan pecahan \(\frac(3)(5)\). Menurut sifat dasar bilangan rasional, pecahan asli dan pecahan hasil adalah sama.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Bagaimana cara mereduksi pecahan? Mereduksi suatu pecahan menjadi bentuknya yang tidak dapat direduksi.

Untuk mendapatkan pecahan tak tereduksi sebagai hasilnya, kita perlu temukan yang terbesar pembagi persekutuan(MENGANGGUK) untuk pembilang dan penyebut pecahan.

Ada beberapa cara untuk mencari GCD; pada contoh ini kita akan menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima.

Dapatkan pecahan tak tersederhanakan \(\frac(48)(136)\).

Larutan:
Mari kita cari KPK(48, 136). Mari kita tuliskan bilangan 48 dan 136 menjadi faktor prima.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
KPK(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(merah) (2 \kali 2 \kali 2) \kali 2 \kali 3)(\warna(merah) (2 \kali 2 \kali 2) \kali 17)=\frac(\warna(merah) (6) \kali 2 \kali 3)(\warna(merah) (6) \kali 17)=\frac(2 \kali 3)(17)=\ frak(6)(17)\)

Aturan untuk mereduksi pecahan menjadi bentuk tak tersederhanakan.

1. Kita perlu mencari pembagi persekutuan terbesar untuk pembilang dan penyebutnya.
2. Anda perlu membagi pembilang dan penyebutnya dengan pembagi persekutuan terbesar untuk mendapatkan pecahan tak tersederhanakan.

Contoh:
Kurangi pecahan \(\frac(152)(168)\).

Larutan:
Mari kita cari KPK(152, 168). Mari kita tuliskan bilangan 152 dan 168 menjadi faktor prima.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
KPK(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(merah) (6) \kali 19)(\warna(merah) (6) \kali 21)=\frac(19)(21)\)

Jawaban: \(\frac(19)(21)\) pecahan yang tidak dapat direduksi.

Mengurangi pecahan biasa.

Bagaimana cara mengurangi pecahan biasa?
Aturan pengurangan pecahan sama untuk pecahan biasa dan pecahan biasa.

Mari kita lihat sebuah contoh:
Kurangi pecahan biasa \(\frac(44)(32)\).

Larutan:
Mari kita tulis pembilang dan penyebutnya menjadi faktor sederhana. Lalu kita akan mengurangi faktor persekutuannya.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(merah) (2 \kali 2 ) \kali 11)(\warna(merah) (2 \kali 2 ) \kali 2 \kali 2 \kali 2 )=\frac(11)(2 \kali 2 \kali 2)=\frac(11)(8)\)

Mengurangi pecahan campuran.

Pecahan campuran mengikuti aturan yang sama seperti pecahan biasa. Satu-satunya perbedaan adalah kita bisa jangan sentuh bagian keseluruhannya, tetapi kurangi bagian pecahannya atau Ubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa, kurangi, dan ubah kembali menjadi pecahan biasa.

Mari kita lihat sebuah contoh:
Hapus pecahan campuran \(2\frac(30)(45)\).

Larutan:
Mari kita selesaikan dengan dua cara:
Cara pertama:
Mari kita tulis bagian pecahan menjadi faktor sederhana, tetapi kita tidak akan menyentuh seluruh bagiannya.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \kali \warna(merah) (5 \kali 3))(3 \kali \warna(merah) (5 \kali 3))=2\ frak(2)(3)\)

Cara kedua:
Mari kita ubah dulu menjadi pecahan biasa, lalu tuliskan menjadi faktor prima dan kurangi. Mari kita ubah pecahan biasa yang dihasilkan menjadi pecahan biasa.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \kali 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \kali \warna(merah) (5 \kali 3) \kali 2 \kali 2)(3 \kali \warna(merah) (3 \kali 5))=\frac(2 \kali 2 \kali 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Pertanyaan terkait:
Bisakah Anda mengurangi pecahan saat menjumlahkan atau mengurangkan?
Jawaban: tidak, Anda harus menjumlahkan atau mengurangi pecahan terlebih dahulu sesuai aturan, baru kemudian dikurangi. Mari kita lihat sebuah contoh:

Evaluasi ekspresi \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Larutan:
Mereka sering melakukan kesalahan dengan menyingkat nomor yang sama Dalam kasus kita, pembilang dan penyebutnya adalah 20, tetapi keduanya tidak dapat dikurangi sampai Anda menyelesaikan penjumlahan dan pengurangan.

\(\frac(50+\color(merah) (20)-10)(\color(merah) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \kali 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Dengan bilangan berapa pecahan dapat dikurangi?
Jawaban: Pecahan dapat direduksi dengan faktor persekutuan terbesar atau pembagi persekutuan pembilang dan penyebutnya. Misalnya, pecahan \(\frac(100)(150)\).

Mari kita tuliskan bilangan 100 dan 150 menjadi faktor prima.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Pembagi persekutuan terbesar adalah bilangan gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \kali 50)(3 \kali 50)=\frac(2)(3)\)

Kita mendapatkan pecahan tak tersederhanakan \(\frac(2)(3)\).

Namun tidak selalu harus membagi dengan gcd; pecahan tak dapat direduksi tidak selalu diperlukan; Anda dapat mengurangi pecahan tersebut dengan pembagi sederhana dari pembilang dan penyebutnya. Misalnya, bilangan 100 dan 150 mempunyai pembagi yang sama yaitu 2. Mari kita kurangi pecahan \(\frac(100)(150)\) dengan 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \kali 50)(2 \kali 75)=\frac(50)(75)\)

Kita mendapatkan pecahan tereduksi \(\frac(50)(75)\).

Pecahan apa saja yang dapat dikurangi?
Jawaban: Anda dapat mereduksi pecahan yang pembilang dan penyebutnya mempunyai pembagi yang sama. Misalnya, pecahan \(\frac(4)(8)\). Angka 4 dan 8 memiliki angka yang keduanya habis dibagi - angka 2. Oleh karena itu, pecahan tersebut dapat dikurangi dengan angka 2.

Contoh:
Bandingkan dua pecahan \(\frac(2)(3)\) dan \(\frac(8)(12)\).

Kedua pecahan ini sama. Mari kita lihat lebih dekat pecahan \(\frac(8)(12)\):

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \kali 4)(3 \kali 4)=\frac(2)(3) \kali \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\kali 1=\frac(2)(3)\)

Dari sini kita mendapatkan, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Dua pecahan dikatakan sama jika dan hanya jika salah satu pecahan diperoleh dengan mengurangkan pecahan lainnya pengganda umum pembilang dan penyebut.

Contoh:
Jika memungkinkan, kurangi pecahan berikut: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)

Larutan:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \kali \warna(merah) (5) \kali 3 \kali 3)(\warna(merah) (5) \kali 13)=\frac (2 \kali 3 \kali 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(merah) (3 \kali 3) \kali 3)(\warna(merah) (3 \kali 3) \kali 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) pecahan tak tersederhanakan
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(merah) (2 \kali 5 \kali 5) \kali 2)(\warna(merah) (2 \kali 5 \kali 5) \ dikalikan 5)=\frac(2)(5)\)

Jadi, kita sudah mengetahui bahwa pembilang dan penyebut suatu pecahan dapat dikalikan dan dibagi dengan bilangan yang sama, maka pecahan tersebut tidak akan berubah. Mari pertimbangkan tiga pendekatan:

Pendekatan satu.

Untuk mengurangi, bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pembagi persekutuan. Mari kita lihat contohnya:

Mari kita persingkat:

Dalam contoh yang diberikan, kita langsung melihat pembagi mana yang harus dikurangi. Prosesnya sederhana - kita melalui 2,3,4,5 dan seterusnya. Di sebagian besar contoh kursus sekolah, ini sudah cukup. Namun jika itu pecahan:

Di sini proses pemilihan pembagi bisa memakan waktu lama ;). Tentu saja contoh seperti itu berada di luar kurikulum sekolah, namun Anda harus mampu mengatasinya. Di bawah ini kita akan melihat bagaimana hal ini dilakukan. Untuk saat ini, mari kita kembali ke proses perampingan.

Seperti dibahas di atas, untuk mengurangkan pecahan, kita membaginya dengan pembagi persekutuan yang telah kita tentukan. Semuanya benar! Kita hanya perlu menambahkan tanda-tanda pembagian bilangan:

- jika bilangan genap maka habis dibagi 2.

- jika suatu bilangan dari dua angka terakhir habis dibagi 4, maka bilangan itu sendiri habis dibagi 4.

— jika jumlah angka-angka penyusun suatu bilangan habis dibagi 3, maka bilangan itu sendiri habis dibagi 3. Misalnya, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Dua belas habis dibagi 3, jadi 123031 habis dibagi 3.

- jika akhir suatu bilangan adalah 5 atau 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 5.

— jika jumlah angka-angka penyusun suatu bilangan habis dibagi 9, maka bilangan itu sendiri habis dibagi 9. Contoh, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Delapan belas habis dibagi 9, artinya 623032 habis dibagi 9.

Pendekatan kedua.

Singkatnya, sebenarnya, seluruh tindakan direduksi menjadi memfaktorkan pembilang dan penyebut dan kemudian mengurangi faktor yang sama pada pembilang dan penyebutnya (pendekatan ini merupakan konsekuensi dari pendekatan pertama):

Secara visual, untuk menghindari kebingungan dan kesalahan, faktor-faktor yang setara dicoret saja. Pertanyaan - bagaimana cara memfaktorkan suatu bilangan? Semua pembagi perlu ditentukan dengan mencari. Ini topik tersendiri, tidak ribet, cari informasinya di buku teks atau di Internet. Anda tidak akan menemui masalah besar dalam memfaktorkan bilangan yang ada di pecahan sekolah.

Secara formal prinsip reduksi dapat dituliskan sebagai berikut:

Pendekatan ketiga.

Inilah hal yang paling menarik bagi yang sudah mahir dan mereka yang ingin menjadi satu. Mari kita kurangi pecahan 143/273. Cobalah sendiri! Nah, bagaimana hal itu bisa terjadi dengan cepat? Sekarang lihat!

Kita balikkan (kita ganti tempat pembilang dan penyebutnya). Bagilah pecahan yang dihasilkan dengan sudut dan ubah menjadi nomor campuran, yaitu, kita memilih seluruh bagian:

Ini sudah lebih mudah. Kita lihat pembilang dan penyebutnya bisa dikurangi 13:

Sekarang jangan lupa membalik pecahannya kembali, mari kita tuliskan seluruh rangkaiannya:

Diperiksa - dibutuhkan waktu lebih sedikit dibandingkan menelusuri dan memeriksa pembagi. Mari kembali ke dua contoh kita:

Pertama. Bagilah dengan sudut (bukan dengan kalkulator), kita peroleh:

Tentu saja pecahan ini lebih sederhana, tetapi pengurangannya lagi-lagi menjadi masalah. Sekarang kita menganalisis pecahan 1273/1463 secara terpisah dan membaliknya:

Di sini lebih mudah. Kita bisa menganggap pembagi seperti 19. Sisanya tidak cocok, yang jelas: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Hore! Mari kita tulis:

Contoh selanjutnya. Mari kita persingkat 88179/2717.

Bagilah, kita mendapatkan:

Secara terpisah, kami menganalisis pecahan 1235/2717 dan membaliknya:

Kita dapat mempertimbangkan pembagi seperti 13 (hingga 13 tidak cocok):

Pembilang 247:13=19 Penyebut 1235:13=95

*Selama proses kita melihat pembagi lain yang sama dengan 19. Ternyata:

Sekarang kita tuliskan nomor aslinya:

Dan tidak masalah pecahan mana yang lebih besar - pembilang atau penyebutnya, jika itu penyebutnya, maka kita balikkan dan bertindak seperti yang dijelaskan. Dengan cara ini kita bisa mereduksi pecahan apa pun; pendekatan ketiga bisa disebut universal.

Tentu saja kedua contoh yang dibahas di atas bukanlah contoh sederhana. Mari kita coba teknologi ini pada pecahan “sederhana” yang telah kita bahas:

Dua perempat.

Tujuh puluh dua enam puluhan. Pembilangnya lebih besar dari penyebutnya; tidak perlu dibalik:

Tentu saja, pendekatan ketiga diterapkan pada hal tersebut contoh sederhana hanya sebagai alternatif. Metode ini, sebagaimana telah dikatakan, bersifat universal, tetapi tidak nyaman dan benar untuk semua pecahan, terutama pecahan sederhana.

Variasi pecahan sangat banyak. Penting bagi Anda untuk memahami prinsip-prinsipnya. Tidak ada aturan ketat untuk mengerjakan pecahan. Kami melihat, menemukan cara yang lebih nyaman untuk bertindak, dan bergerak maju. Dengan latihan, keterampilan akan muncul dan Anda akan memecahkannya seperti benih.

Kesimpulan:

Jika Anda melihat pembagi yang sama untuk pembilang dan penyebutnya, gunakan pembagi tersebut untuk menguranginya.

Jika Anda mengetahui cara memfaktorkan suatu bilangan dengan cepat, faktorkan pembilang dan penyebutnya, lalu kurangi.

Jika Anda tidak dapat menentukan pembagi persekutuannya, gunakan pendekatan ketiga.

*Untuk mereduksi pecahan, penting untuk menguasai prinsip-prinsip reduksi, memahami sifat dasar pecahan, mengetahui pendekatan penyelesaian, dan sangat berhati-hati saat melakukan perhitungan.

Dan ingat! Merupakan kebiasaan untuk mengurangi suatu pecahan sampai berhenti, yaitu menguranginya selama masih ada pembagi yang sama.

Hormat kami, Alexander Krutitskikh.

Jika kita perlu membagi 497 dengan 4, maka pada saat membagi kita akan melihat bahwa 497 tidak habis dibagi 4, yaitu. sisa divisi tetap ada. Dalam hal ini dikatakan selesai pembagian dengan sisanya, dan solusinya ditulis sebagai berikut:
497 : 4 = 124 (1 sisa).

Komponen pembagian di ruas kiri persamaan disebut sama dengan pembagian tanpa sisa: 497 - dividen, 4 - pembagi. Hasil pembagian bila dibagi dengan sisanya disebut pribadi yang tidak lengkap. Dalam kasus kami, ini adalah angka 124. Dan terakhir, komponen terakhir yang tidak ada pembagian biasa, - sisa. Bila tidak ada sisa, suatu bilangan dikatakan habis dibagi bilangan lain tanpa bekas, atau seluruhnya. Diyakini bahwa dengan pembagian seperti itu, sisanya sama dengan nol. Dalam kasus kami, sisanya adalah 1.

Sisanya selalu lebih kecil dari pembaginya.

Pembagian dapat diperiksa dengan perkalian. Jika misalnya ada persamaan 64:32=2, maka pengecekannya dapat dilakukan seperti ini: 64=32*2.

Seringkali dalam kasus di mana pembagian dengan sisa dilakukan, persamaan akan lebih mudah digunakan
a = b * n + r,
dimana a adalah pembagian, b adalah pembagi, n adalah hasil bagi tidak lengkap, r adalah sisanya.

Hasil bagi bilangan asli dapat dituliskan sebagai pecahan.

Pembilang suatu pecahan adalah yang membagi, dan penyebutnya adalah pembaginya.

Karena pembilang suatu pecahan adalah pembilangnya, dan penyebutnya adalah pembaginya, maka percaya bahwa garis pecahan berarti tindakan pembagian. Terkadang lebih mudah untuk menulis pembagian sebagai pecahan tanpa menggunakan tanda ":".

Hasil bagi pembagian bilangan asli m dan n dapat ditulis sebagai pecahan \(\frac(m)(n) \), dengan pembilang m adalah pembagi dan penyebut n adalah pembagi:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Aturan berikut ini benar:

Untuk mendapatkan pecahan \(\frac(m)(n)\), Anda perlu membagi satuannya menjadi n bagian yang sama (bagian) dan mengambil m bagian tersebut.

Untuk mendapatkan pecahan \(\frac(m)(n)\), Anda perlu membagi bilangan m dengan bilangan n.

Untuk mencari bagian dari suatu bilangan bulat, Anda perlu membagi bilangan yang bersesuaian dengan bilangan bulat tersebut dengan penyebutnya dan mengalikan hasilnya dengan pembilang pecahan yang menyatakan bagian tersebut.

Untuk mencari bilangan bulat dari bagiannya, Anda perlu membagi bilangan yang bersesuaian dengan bagian tersebut dengan pembilangnya dan mengalikan hasilnya dengan penyebut pecahan yang menyatakan bagian tersebut.

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan dengan angka yang sama (kecuali nol), maka nilai pecahan tersebut tidak akan berubah:
\(\besar \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dibagi dengan angka yang sama (kecuali nol), maka nilai pecahan tersebut tidak akan berubah:
\(\besar \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Properti ini disebut sifat utama pecahan.

Dua transformasi terakhir disebut mengurangi sebagian kecil.

Jika pecahan perlu direpresentasikan sebagai pecahan dengan penyebut yang sama, maka tindakan ini disebut mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama .

Pecahan wajar dan pecahan biasa. Nomor campuran

Anda telah mengetahui bahwa pecahan dapat diperoleh dengan membagi suatu bilangan bulat menjadi bagian-bagian yang sama dan mengambil beberapa bagian tersebut. Misalnya, pecahan \(\frac(3)(4)\) berarti tiga perempat satu. Dalam banyak soal di paragraf sebelumnya, pecahan digunakan untuk mewakili bagian dari keseluruhan. Kewajaran menyarankan bahwa bagian harus selalu lebih kecil dari keseluruhan, tapi lalu bagaimana dengan pecahan seperti, misalnya, \(\frac(5)(5)\) atau \(\frac(8)(5)\)? Jelas bahwa ini bukan lagi bagian dari unit tersebut. Mungkin inilah sebabnya disebut pecahan yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya pecahan biasa. Pecahan selebihnya, yaitu pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, disebut pecahan yang benar.

Seperti yang Anda tahu, apa saja pecahan biasa, baik yang benar maupun yang salah, dapat dianggap sebagai hasil pembagian pembilangnya dengan penyebutnya. Oleh karena itu, dalam matematika, tidak seperti bahasa biasa, istilah “pecahan tak wajar” bukan berarti kita melakukan kesalahan, tetapi hanya pembilang pecahan tersebut lebih besar atau sama dengan penyebutnya.

Jika suatu bilangan terdiri dari bagian bilangan bulat dan pecahan, maka demikian pecahan disebut campuran.

Misalnya:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 adalah bagian bilangan bulat, dan \(\frac(2)(3) \) adalah bagian pecahan.

Jika pembilang suatu pecahan \(\frac(a)(b) \) habis dibagi bilangan asli n, maka untuk membagi pecahan tersebut dengan n, pembilangnya harus dibagi dengan bilangan berikut:
\(\besar \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Jika pembilang suatu pecahan \(\frac(a)(b)\) tidak habis dibagi bilangan asli n, maka untuk membagi pecahan tersebut dengan n, Anda perlu mengalikan penyebutnya dengan bilangan ini:
\(\besar \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Perhatikan bahwa aturan kedua juga berlaku jika pembilangnya habis dibagi n. Oleh karena itu, kita dapat menggunakannya ketika sulit menentukan sekilas apakah pembilang suatu pecahan habis dibagi n atau tidak.

Tindakan dengan pecahan. Menambahkan pecahan.

Dengan bilangan pecahan, seperti halnya bilangan asli, Anda bisa melakukannya operasi aritmatika. Mari kita lihat penjumlahan pecahan terlebih dahulu. Menjumlahkan pecahan dengan mudah penyebut yang sama. Mari kita cari, misalnya, jumlah dari \(\frac(2)(7)\) dan \(\frac(3)(7)\). Mudah dimengerti bahwa \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu menjumlahkan pembilangnya dan membiarkan penyebutnya tetap sama.

Dengan menggunakan huruf, aturan penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama dapat dituliskan sebagai berikut:
\(\besar \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Jika Anda perlu menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, maka mereka harus terlebih dahulu dibawa ke penyebut yang sama. Misalnya:
\(\besar \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Untuk pecahan, seperti bilangan asli, bersifat komutatif dan sifat asosiatif tambahan.

Menjumlahkan pecahan campuran

Notasi seperti \(2\frac(2)(3)\) dipanggil pecahan campuran. Dalam hal ini, nomor 2 dipanggil seluruh bagian pecahan campuran, dan bilangan \(\frac(2)(3)\) adalah pecahannya bagian pecahan . Entri \(2\frac(2)(3)\) dibaca sebagai berikut: “dua dan dua pertiga.”

Saat membagi angka 8 dengan angka 3, Anda akan mendapatkan dua jawaban: \(\frac(8)(3)\) dan \(2\frac(2)(3)\). Mereka menyatakan bilangan pecahan yang sama, yaitu \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Jadi, pecahan biasa \(\frac(8)(3)\) direpresentasikan sebagai pecahan campuran \(2\frac(2)(3)\). Dalam kasus seperti ini dikatakan demikian pecahan biasa menyoroti seluruh bagian.

Pengurangan pecahan (bilangan pecahan)

Pengurangan bilangan pecahan, seperti bilangan asli, ditentukan berdasarkan tindakan penjumlahan: mengurangkan bilangan lain dari satu bilangan berarti menemukan bilangan yang, jika dijumlahkan dengan bilangan kedua, menghasilkan bilangan pertama. Misalnya:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) karena \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

Aturan mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama mirip dengan aturan menjumlahkan pecahan berikut:
Untuk mencari selisih pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu mengurangkan pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan membiarkan penyebutnya tetap sama.

Dengan menggunakan huruf, aturan ini ditulis seperti ini:
\(\besar \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Mengalikan pecahan

Untuk mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebutnya dan menuliskan hasil kali pertama sebagai pembilangnya, dan hasil kali kedua sebagai penyebutnya.

Dengan menggunakan huruf, aturan perkalian pecahan dapat dituliskan sebagai berikut:
\(\besar \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Dengan menggunakan aturan yang dirumuskan, Anda dapat mengalikan pecahan dengan bilangan asli, dengan pecahan campuran, dan juga mengalikan pecahan campuran. Untuk melakukan ini, Anda perlu menulis bilangan asli sebagai pecahan dengan penyebut 1, pecahan campuran - sebagai pecahan biasa.

Hasil perkalian harus disederhanakan (jika memungkinkan) dengan mengurangi pecahan dan mengisolasi seluruh bagian pecahan biasa.

Untuk pecahan, seperti halnya bilangan asli, sifat komutatif dan kombinatif perkalian, serta sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, adalah sah.

Pembagian pecahan

Mari kita ambil pecahan \(\frac(2)(3)\) dan “membaliknya”, menukar pembilang dan penyebutnya. Kita mendapatkan pecahan \(\frac(3)(2)\). Pecahan ini disebut balik pecahan \(\frac(2)(3)\).

Jika sekarang kita “membalikkan” pecahan \(\frac(3)(2)\), kita akan mendapatkan pecahan asal \(\frac(2)(3)\). Oleh karena itu, pecahan seperti \(\frac(2)(3)\) dan \(\frac(3)(2)\) disebut saling berbanding terbalik.

Misalnya, pecahan \(\frac(6)(5) \) dan \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) dan \(\frac (18) )(7)\).

Saling menggunakan huruf pecahan timbal balik dapat ditulis sebagai berikut: \(\frac(a)(b) \) dan \(\frac(b)(a) \)

Hal ini jelas bahwa hasil kali pecahan timbal balik sama dengan 1. Misalnya: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Dengan menggunakan pecahan timbal balik, Anda dapat mereduksi pembagian pecahan menjadi perkalian.

Aturan membagi pecahan dengan pecahan adalah:
Untuk membagi satu pecahan dengan pecahan lainnya, Anda perlu mengalikan pembagiannya dengan kebalikan dari pembaginya.

Dengan menggunakan huruf, aturan pembagian pecahan dapat dituliskan sebagai berikut:
\(\besar \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Jika dividen atau pembaginya adalah bilangan asli atau pecahan campuran, maka untuk menggunakan aturan pembagian pecahan, pecahan tersebut harus direpresentasikan terlebih dahulu sebagai pecahan biasa.