Dažniausiai užduodami klausimai
Ar galima padaryti antspaudą ant dokumento pagal pateiktą pavyzdį? Atsakymas Taip, tai įmanoma. Atsiųskite nuskaitytą kopiją ar nuotrauką mūsų el. pašto adresu geros kokybės, ir mes padarysime reikiamą dublikatą.
Kokius mokėjimo tipus sutinkate?
Atsakymas Už dokumentą galite atsiskaityti jį gavus kurjeriui, patikrinus diplomo užpildymo teisingumą ir įforminimo kokybę. Tai galima padaryti ir pašto įmonių, siūlančių grynųjų pinigų pristatymo paslaugas, biuruose.
Visos pristatymo ir apmokėjimo už dokumentus sąlygos aprašytos skyriuje „Apmokėjimas ir pristatymas“. Taip pat esame pasirengę išklausyti jūsų pasiūlymus dėl dokumento pristatymo ir apmokėjimo sąlygų.
Ar galiu būti tikras, kad po užsakymo nedingsite su mano pinigais? Atsakymas Turime gana ilgametę patirtį diplomų gamybos srityje. Turime keletą svetainių, kurios nuolat atnaujinamos. Mūsų specialistai dirba skirtingi kampaišalių, per dieną parengdama per 10 dokumentų. Per daugelį metų mūsų dokumentai daugeliui žmonių padėjo išspręsti įsidarbinimo problemas arba pereiti į geriau apmokamą darbą. Užsitarnavome klientų pasitikėjimą ir pripažinimą, todėl nėra jokios priežasties tai daryti. Be to, to padaryti tiesiog neįmanoma fiziškai: už užsakymą sumokate iškart, kai gaunate jį į rankas, išankstinio apmokėjimo nėra.
Ar galiu užsisakyti bet kurio universiteto diplomą? Atsakymas Apskritai, taip. Šioje srityje dirbame beveik 12 metų. Per šį laiką buvo suformuota beveik išbaigta beveik visų šalies ir ne tik universitetų išduotų dokumentų duomenų bazė. skirtingi metai išdavimas. Tereikia pasirinkti universitetą, specialybę, dokumentą ir užpildyti užsakymo formą.
Ką daryti, jei dokumente radote rašybos klaidų?
Atsakymas Gavę dokumentą iš mūsų kurjerio ar pašto įmonės, rekomenduojame atidžiai patikrinti visus duomenis. Nustačius rašybos klaidą, klaidą ar netikslumą, turite teisę diplomo neatsiimti, o pastebėtus defektus turite pranešti asmeniškai kurjeriui arba el. raštu išsiųsdamas laišką adresu paštu.
IN kuo greičiau Dokumentą pataisysime ir iš naujo išsiųsime nurodytu adresu. Žinoma, siuntimą apmokės mūsų įmonė.
Kad išvengtume tokių nesusipratimų, prieš pildydami pirminę formą klientui el. paštu išsiunčiame būsimo dokumento maketą, kad būtų galima patikrinti ir patvirtinti galutinę versiją. Prieš siųsdami dokumentą kurjeriu ar paštu, taip pat padarome papildomas nuotraukas ir vaizdo įrašus (taip pat ir ultravioletinėje šviesoje), kad galėtumėte aiškiai suprasti, ką galiausiai gausite.
Ką daryti norint užsisakyti diplomą iš jūsų įmonės?
Atsakymas Užsisakyti dokumentą (pažymą, diplomą, akademinis pažymėjimas ir tt) turite užpildyti internetinę užsakymo formą mūsų svetainėje arba pateikti savo el. pašto adresą, kad galėtume atsiųsti jums paraiškos formą, kurią turite užpildyti ir atsiųsti mums atgal.
Jei nežinote, ką nurodyti kuriame nors užsakymo formos/anketos laukelyje, palikite juos tuščius. Todėl visą trūkstamą informaciją patikslinsime telefonu.
Naujausios apžvalgos
Aleksejus:
Man reikėjo įgyti diplomą, kad galėčiau įsidarbinti vadybininku. O svarbiausia, kad turiu ir patirties, ir įgūdžių, bet be dokumento negaliu įsidarbinti. Atsidūręs jūsų svetainėje, pagaliau nusprendžiau nusipirkti diplomą. Diplomas buvo baigtas per 2 dienas!! Dabar turiu darbą, apie kurį anksčiau nesvajojau!! Ačiū!
Trigonometrinės tapatybės- tai lygybės, nustatančios ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento, leidžiančios rasti bet kurią iš šių funkcijų, jei žinoma bet kuri kita.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Ši tapatybė sako, kad vieno kampo sinuso kvadrato ir vieno kampo kosinuso kvadrato suma yra lygi vienetui, o tai praktiškai leidžia apskaičiuoti vieno kampo sinusą, kai žinomas jo kosinusas ir atvirkščiai. .
Konvertuojant trigonometrinės išraiškos Labai dažnai naudojama ši tapatybė, leidžianti vieno kampo kosinuso ir sinuso kvadratų sumą pakeisti vienu ir taip pat atlikti pakeitimo operaciją atvirkštine tvarka.
Lietinės ir kotangento radimas naudojant sinusą ir kosinusą
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Šios tapatybės susidaro iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Galų gale, jei pažvelgsite į tai, tada pagal apibrėžimą ordinatė y yra sinusas, o abscisė x yra kosinusas. Tada liestinė bus lygus santykiui \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), ir santykis \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bus kotangentas.
Pridurkime, kad tik tokie kampai \alpha, kuriuose į juos įtrauktos trigonometrinės funkcijos turi prasmę, galios tapatybės, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Pavyzdžiui: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) galioja kampams \alpha, kurie skiriasi nuo \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kampui \alpha, išskyrus \pi z, z yra sveikas skaičius.
Ryšys tarp liestinės ir kotangento
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Ši tapatybė galioja tik kampams \alpha, kurie skiriasi nuo \frac(\pi)(2) z. Priešingu atveju nei kotangentas, nei tangentas nebus nustatyti.
Remdamiesi aukščiau pateiktais punktais, gauname tai tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Iš to išplaukia tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Taigi to paties kampo, kuriuo jie turi prasmę, liestinė ir kotangentas yra tarpusavyje atvirkštiniai skaičiai.
Tangento ir kosinuso, kotangento ir sinuso ryšiai
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- kampo \alpha ir 1 liestinės kvadrato suma yra lygi atvirkštiniam šio kampo kosinuso kvadratui. Ši tapatybė galioja visoms \alpha, išskyrus \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 ir kampo \alpha kotangento kvadrato suma yra lygi atvirkštiniam sinuso kvadratui nurodytas kampas. Ši tapatybė galioja bet kuriai \alpha, kuri skiriasi nuo \pi z.
Pavyzdžiai su problemų sprendimais naudojant trigonometrines tapatybes
1 pavyzdys
Raskite \sin \alpha ir tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Ir \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Rodyti sprendimą
Sprendimas
Funkcijos \sin \alpha ir \cos \alpha yra susietos pagal formulę \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Pakeičiant šią formulę \cos \alpha = -\frac12, gauname:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Ši lygtis turi 2 sprendinius:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3) (2)
Pagal sąlygą \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Antrajame ketvirtyje sinusas yra teigiamas, taigi \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Norėdami rasti tan \alpha, naudojame formulę tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
2 pavyzdys
Raskite \cos \alpha ir ctg \alpha if ir \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Rodyti sprendimą
Sprendimas
Pakeitimas į formulę \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 duotas numeris \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), gauname \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ši lygtis turi du sprendinius \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Pagal sąlygą \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Antrajame ketvirtyje kosinusas yra neigiamas, taigi \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Norėdami rasti ctg \alpha, naudojame formulę ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Mes žinome atitinkamas reikšmes.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Trigonometrijos tyrimą pradėsime nuo stačiojo trikampio. Apibrėžkime, kas yra sinusas ir kosinusas, taip pat tangentas ir kotangentas aštrus kampas. Tai yra trigonometrijos pagrindai.
Leiskite jums tai priminti stačiu kampu yra kampas, lygus 90 laipsnių. Kitaip tariant, pusė pasukto kampo.
Aštrus kampas- mažiau nei 90 laipsnių.
Bukas kampas- didesnis nei 90 laipsnių. Taikant tokį kampą, „bukas“ yra ne įžeidimas, o matematinis terminas :-)
Nubrėžkime statųjį trikampį. Status kampas paprastai žymimas . Atkreipkite dėmesį, kad priešinga kampo pusė pažymėta ta pačia raide, tik maža. Taigi, priešinga kampas A yra pažymėtas .
Kampas nurodomas atitinkamu Graikiškas laiškas.
Hipotenuzė stačiojo trikampio kraštinė yra priešinga stačiajam kampui.
Kojos- šonai, esantys priešais smailius kampus.
Priešais kampą esanti koja vadinama priešinga(kampo atžvilgiu). Kita koja, esanti vienoje iš kampo pusių, vadinama gretimas.
Sinusas stačiakampio trikampio smailusis kampas yra santykis priešinga pusėį hipotenuzę:
Kosinusas smailus kampas stačiakampiame trikampyje - gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:
Tangentas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje - priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis:
Kitas (ekvivalentiškas) apibrėžimas: smailiojo kampo liestinė yra kampo sinuso ir jo kosinuso santykis:
Kotangentas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje - gretimų kraštinių ir priešingos pusės santykis (arba, kuris yra tas pats, kosinuso ir sinuso santykis):
Atkreipkite dėmesį į pagrindinius sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ryšius žemiau. Jie mums pravers sprendžiant problemas.
Įrodykime kai kuriuos iš jų.
Gerai, mes pateikėme apibrėžimus ir užrašėme formules. Bet kodėl mums vis dar reikia sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento?
Mes tai žinome bet kurio trikampio kampų suma lygi.
Mes žinome ryšį tarp vakarėliams stačiakampis trikampis. Tai Pitagoro teorema: .
Pasirodo, žinodami du trikampio kampus, galite rasti trečiąjį. Žinodami dvi stačiojo trikampio kraštines, galite rasti trečiąją. Tai reiškia, kad kampai turi savo santykį, o šonai - savo. Bet ką daryti, jei stačiakampiame trikampyje žinote vieną kampą (išskyrus stačią) ir vieną kraštinę, bet jums reikia rasti kitas puses?
Su tuo susidurdavo žmonės, kurdami vietovės ir žvaigždėto dangaus žemėlapius. Juk ne visada galima tiesiogiai išmatuoti visas trikampio kraštines.
Sinusas, kosinusas ir tangentas – dar vadinami trigonometrinių kampų funkcijos- suteikti ryšius tarp vakarėliams Ir kampus trikampis. Žinodami kampą, visas jo trigonometrines funkcijas galite rasti naudodami specialias lenteles. O žinodami trikampio ir vienos iš jo kraštinių kampų sinusus, kosinusus ir tangentus, galite rasti likusias dalis.
Taip pat nubraižysime sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento verčių lentelę „geriems“ kampams nuo iki.
Atkreipkite dėmesį į du raudonus brūkšnelius lentelėje. Esant atitinkamoms kampo vertėms, liestinė ir kotangentas neegzistuoja.
Pažvelkime į keletą trigonometrijos problemų iš FIPI užduočių banko.
1. Trikampyje kampas yra , . Rasti.
Problema išspręsta per keturias sekundes.
Nuo ,.
2. Trikampyje kampas yra , , . Rasti.
Raskime jį naudodami Pitagoro teoremą.
Problema išspręsta.
Dažnai problemose yra trikampių su kampais ir arba su kampais ir. Prisiminkite pagrindinius jų santykius mintinai!
Jei trikampis su kampais ir kojelė priešinga kampui ties yra lygi pusė hipotenuzės.
Trikampis su kampais ir yra lygiašonis. Jame hipotenuzė yra kartų didesnė už koją.
Mes pažvelgėme į problemas, kurias reikia išspręsti stačiųjų trikampių- tai yra, rasti nežinomas puses ar kampus. Bet tai dar ne viskas! IN Vieningo valstybinio egzamino parinktys matematikoje yra daug problemų, susijusių su trikampio išorinio kampo sinusu, kosinusu, tangentu arba kotangentu. Daugiau apie tai kitame straipsnyje.
Dviejų kampų sumos ir skirtumo kosinusas
Šiame skyriuje bus įrodytos šios dvi formulės:
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
Dviejų kampų sumos (skirtumo) kosinusas lygus produktuišių kampų kosinusai atėmus (plius) šių kampų sinusų sandaugą.
Mums bus patogiau pradėti nuo (2) formulės įrodymo. Kad būtų lengviau pateikti, pirmiausia manykime, kad kampai α Ir β patenkinti šias sąlygas:
1) kiekvienas iš šių kampų yra neneigiamas ir mažesnis 2π:
0 < α <2π, 0< β < 2π;
2) α > β .
Tegul teigiama 0x ašies dalis yra bendroji kampų pradžia α Ir β .
Šių kampų galines puses žymime atitinkamai 0A ir 0B. Akivaizdu, kad kampas α - β gali būti laikomas kampu, kuriuo pluoštą 0B reikia pasukti aplink tašką 0 prieš laikrodžio rodyklę, kad jo kryptis sutaptų su pluošto 0A kryptimi.
Ant spindulių 0A ir 0B pažymime taškus M ir N, esančius 1 atstumu nuo koordinačių 0 pradžios, kad 0M = 0N = 1.
x0y koordinačių sistemoje taškas M turi koordinates ( cos α, sin α), o taškas N yra koordinatės ( cos β, sin β). Todėl atstumo tarp jų kvadratas yra:
d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .
Skaičiuodami naudojome tapatybę
sin 2 φ + cos 2 φ = 1.
Dabar apsvarstykite kitą koordinačių sistemą B0C, kuri gaunama kampu sukant 0x ir 0y ašis aplink tašką 0 prieš laikrodžio rodyklę. β .
Šioje koordinačių sistemoje taškas M turi koordinates (cos ( α - β ), nuodėmė ( α - β )), o taškas N yra koordinatės (1,0). Todėl atstumo tarp jų kvadratas yra:
d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +
+ sin 2 (α - β) = 2 .
Tačiau atstumas tarp taškų M ir N nepriklauso nuo to, kurios koordinačių sistemos atžvilgiu mes svarstome šiuos taškus. Štai kodėl
d 1 2 = d 2 2
2 (1 – cos α cos β – sin α sin β) = 2 .
Čia seka (2) formulė.
Dabar turėtume prisiminti tuos du apribojimus, kuriuos nustatėme dėl kampų pateikimo paprastumo α Ir β .
Reikalavimas, kad kiekvienas iš kampų α Ir β buvo neneigiamas, nelabai reikšmingas. Galų gale, prie bet kurio iš šių kampų galite pridėti kampą, kuris yra 2 kartotinis, o tai neturės įtakos (2) formulės galiojimui. Taip pat iš kiekvieno iš šių kampų galite atimti kampą, kuris yra kartotinis 2π. Todėl galime manyti, kad 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.
Būklė taip pat pasirodo nereikšminga α > β . Tikrai, jei α < β , Tai β >α ; todėl atsižvelgiant į funkcijos paritetą cos X , gauname:
cos (α – β) = cos (β – α) = cos β cos α + sin β sin α,
kuri iš esmės sutampa su (2) formule. Taigi formulė
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tinka visais kampais α Ir β . Visų pirma, pakeičiant jame β įjungta - β ir atsižvelgiant į tai, kad funkcija cosX yra lygus, ir funkcija nuodėmėX keista, gauname:
cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =
= cos α cos β - sin α sin β,
kuri įrodo (1) formulę.
Taigi, formulės (1) ir (2) yra įrodytos.
Pavyzdžiai.
1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =
2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
Pratimai
1 . Apskaičiuokite nenaudodami trigonometrinės lentelės:
a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;
b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;
c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;
d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;
e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;
e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .
2.Supaprastinkite išraiškas:
a). cos ( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .
b). cos (36°+ α ) cos (24° - α ) + sin (36° + α ) nuodėmė ( α -24°).
V). sin(π/4 - α ) sin (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )
d) cos 2 α + tg α nuodėmė 2 α .
3 . Apskaičiuokite :
a) cos(α – β), Jei
cos α = - 2 / 5 , nuodėmė β = - 5 / 13 ;
90°< α < 180°, 180° < β < 270°;
b) cos ( α + π / 6), jei cos α = 0,6;
3π/2< α < 2π.
4 . Rasti cos(α + β) ir cos (α - β) ,jei žinoma, kad nuodėmė α = 7/25, cos β = - 5/13 ir abu kampai ( α Ir β ) baigiasi tame pačiame ketvirtyje.
5 .Apskaičiuokite:
A). cos [ arcsin 1/3 + arccos 2/3 ]
b). cos [ arcsin 1/3 - arckos (- 2/3)] .
V). cos [ arctan 1/2 + arccos (- 2) ]
Dviejų kampų α ir β sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo formulės leidžia pereiti nuo šių kampų sumos į kampų α + β 2 ir α - β 2 sandaugą. Iš karto atkreipkime dėmesį, kad neturėtumėte painioti sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo formulių su sumos ir skirtumo sinusų ir kosinusų formulėmis. Žemiau pateikiame šių formulių sąrašą, pateikiame jų išvedimą ir pateikiame konkrečių užduočių taikymo pavyzdžius.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo formulės
Užsirašykime, kaip atrodo sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo formulės
Sinusų sumos ir skirtumo formulės
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Kosinusų sumos ir skirtumo formulės
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β · = 2 sin α + β - α 2
Šios formulės galioja bet kokiems kampams α ir β. Kampai α + β 2 ir α - β 2 vadinami atitinkamai kampų alfa ir beta puse sumos ir pusinės skirtumo. Pateiksime kiekvienos formulės formuluotę.
Sinusų ir kosinusų sumų ir skirtumų formulių apibrėžimai
Dviejų kampų sinusų suma yra lygus šių kampų pusės sumos sinuso ir pusės skirtumo kosinuso sandaugai.
Dviejų kampų sinusų skirtumas yra lygus šių kampų pusės skirtumo sinuso ir pusės sumos kosinuso sandaugai.
Dviejų kampų kosinusų suma yra lygus šių kampų pusės sumos kosinuso ir pusės skirtumo kosinuso sandaugai.
Dviejų kampų kosinusų skirtumas lygi šių kampų pusės sumos sinuso ir pusės skirtumo kosinuso sandaugai, paimtai su neigiamu ženklu.
Sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo išvedimo formulės
Norint išvesti dviejų kampų sinuso ir kosinuso sumos ir skirtumo formules, naudojamos sudėjimo formulės. Išvardinkime juos žemiau
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - nuodėmė α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Taip pat įsivaizduokime pačius kampus kaip pusiau sumų ir pusiau skirtumų sumą.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Mes pereiname tiesiai prie sin ir cos sumos ir skirtumo formulių išvedimo.
Sinusų sumos formulės išvedimas
Sumoje sin α + sin β pakeičiame α ir β aukščiau pateiktomis šių kampų išraiškomis. Mes gauname
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Dabar pirmajai išraiškai taikome pridėjimo formulę, o antrajai - kampų skirtumų sinuso formulę (žr. aukščiau pateiktas formules)
nuodėm - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Atidarykite skliaustus ir nurodykite panašius terminus ir gauname reikiamą formulę
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + 2 cos α – β 2
Likusių formulių išvedimo veiksmai yra panašūs.
Sinusų skirtumo formulės išvedimas
sin α - sin β = nuodėmė α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = nuodėmė α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α 2 cos α + β 2
Kosinusų sumos formulės išvedimas
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos β 2 + cos α - β 2
Kosinusų skirtumo formulės išvedimas
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + α 2 sin α – β 2
Praktinių problemų sprendimo pavyzdžiai
Pirmiausia patikrinkime vieną iš formulių pakeisdami konkrečias vertybes kampus Tegu α = π 2, β = π 6. Apskaičiuokime šių kampų sinusų sumos reikšmę. Pirma, naudokite pagrindinių verčių lentelę trigonometrinės funkcijos, tada pritaikykite sinusų sumos formulę.
1 pavyzdys. Dviejų kampų sinusų sumos formulės tikrinimas
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Dabar panagrinėkime atvejį, kai kampo reikšmės skiriasi nuo lentelėje pateiktų pagrindinių verčių. Tegul α = 165°, β = 75°. Apskaičiuokime skirtumą tarp šių kampų sinusų.
2 pavyzdys. Sinusų skirtumo formulės taikymas
α = 165 °, β = 75 ° sin α - nuodėmė β = nuodėmė 165 ° - nuodėmė 75 ° sin 165 - nuodėmė 75 = 2 nuodėmė 165 ° - nuodėmė 75 ° 2 cos 165 ° + nuodėmė 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Naudodami sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo formules, galite pereiti nuo sumos arba skirtumo į trigonometrinių funkcijų sandaugą. Dažnai šios formulės vadinamos formulėmis, skirtomis pereiti nuo sumos prie sandaugos. Sprendžiant plačiai naudojamos sinusų ir kosinusų sumos ir skirtumo formulės trigonometrines lygtis o konvertuojant trigonometrines išraiškas.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
