Lygus trapecijos smailiojo kampo sinusui. Lygiašonės trapecijos kampai

Į paprastą klausimą „Kaip rasti trapecijos aukštį? Yra keletas atsakymų, nes galima pateikti skirtingas pradines vertes. Todėl formulės skirsis.

Šias formules galima įsiminti, bet jas nesunku išvesti. Jums tereikia pritaikyti anksčiau išmoktas teoremas.

Formulėse naudojami žymėjimai

Visame žemiau matematiniai žymėjimaiŠie raidžių skaitymai yra teisingi.

Pirminiuose duomenyse: visos pusės

Norėdami rasti trapecijos aukštį bendras atvejis turėsite naudoti šią formulę:

n = √(c 2 – (((a – c) 2 + c 2 – d 2)/(2(a – c))) 2). Numeris 1.

Ne pats trumpiausias, bet taip pat gana retai pasitaiko problemų. Paprastai galite naudoti kitus duomenis.

Formulė, kuri pasakys, kaip rasti aukštį lygiašonė trapecija toje pačioje situacijoje, daug trumpiau:

n = √(c 2 - (a - c) 2 /4). 2 numeris.

Problema pateikiama: šoninės pusės ir kampai prie apatinio pagrindo

Daroma prielaida, kad kampas α yra greta kraštinės, pažymėtos „c“, atitinkamai kampas β yra su šone d. Tada formulė, kaip rasti trapecijos aukštį, bus bendra forma:

n = c * sin α = d * sin β. 3 numeris.

Jei figūra yra lygiašonė, galite naudoti šią parinktį:

n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan α. 4 numeris.

Žinoma: įstrižainės ir kampai tarp jų

Paprastai prie šių duomenų pridedami kiti žinomi kiekiai. Pavyzdžiui, pagrindai arba vidurinė linija. Jei pateikiamos priežastys, tada norint atsakyti į klausimą, kaip rasti trapecijos aukštį, bus naudinga ši formulė:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / (a ​​+ b) arba n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a ​​+ b). 5 numeris.

Jis skirtas bendras vaizdas figūros. Jei pateikiamas lygiašonis, žymėjimas pasikeis taip:

n = (d 1 2 * sin γ) / (a ​​+ b) arba n = (d 1 2 * sin δ) / (a ​​​​+ b). 6 numeris.

Kai atliekama užduotis mes kalbame apie O vidurio linija trapecija, tada jo aukščio nustatymo formulės tampa:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m arba n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Skaičius 5a.

n = (d 1 2 * sin γ) / 2m arba n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. 6a numeris.

Tarp žinomų kiekių: plotas su pagrindais arba vidurio linija

Tai bene trumpiausi ir paprastos formulės kaip rasti trapecijos aukštį. Savavališkai figūrai bus taip:

n = 2S / (a ​​+ b). 7 numeris.

Tai tas pats, bet su žinoma vidurine linija:

n = S/m. 7a numeris.

Kaip bebūtų keista, lygiašonei trapecijai formulės atrodys taip pat.

Užduotys

Nr. 1. Nustatyti kampus ties trapecijos apatiniu pagrindu.

Būklė. Atsižvelgiant į lygiašonę trapeciją, pusėje kuris yra 5 cm Jo pagrindai yra 6 ir 12 cm Reikia rasti sinusą aštrus kampas.

Sprendimas. Kad būtų patogiau, turėtumėte įvesti pavadinimą. Tegul apatinė kairioji viršūnė yra A, visa kita pagal laikrodžio rodyklę: B, C, D. Taigi apatinė bazė bus pažymėta AD, viršutinė - BC.

Būtina nubrėžti aukščius iš viršūnių B ir C. Taškai, nurodantys aukščių galus, bus atitinkamai pažymėti H 1 ir H 2. Kadangi visi BCH 1 H 2 paveikslo kampai yra stačiakampiai, tai yra stačiakampis. Tai reiškia, kad atkarpa H 1 H 2 yra 6 cm.

Dabar turime apsvarstyti du trikampius. Jie yra vienodi, nes yra stačiakampiai su tomis pačiomis hipotenomis ir vertikaliomis kojomis. Iš to išplaukia, kad jų mažesnės kojos yra lygios. Todėl juos galima apibrėžti kaip skirtumo koeficientą. Pastarasis gaunamas iš apatinio pagrindo atėmus viršutinį. Jis bus padalintas iš 2. Tai yra, 12 - 6 turi būti padalintas iš 2. AN 1 = N 2 D = 3 (cm).

Dabar iš Pitagoro teoremos reikia rasti trapecijos aukštį. Būtina rasti kampo sinusą. VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (cm).

Naudodamiesi žiniomis, kaip stačiojo kampo trikampyje randamas smailiojo kampo sinusas, galime parašyti tokią išraišką: sin α = ВН 1 / AB = 0,8.

Atsakymas. Reikalingas sinusas yra 0,8.

Nr. 2. Rasti trapecijos aukštį naudojant žinomą liestinę.

Būklė. Lygiašonei trapecijai reikia apskaičiuoti aukštį. Yra žinoma, kad jo pagrindai yra 15 ir 28 cm Smailiojo kampo liestinė pateikta: 11/13.

Sprendimas. Viršūnių žymėjimas yra toks pat kaip ir ankstesnė užduotis. Vėlgi reikia nubrėžti du aukščius viršutiniai kampai. Pagal analogiją su pirmosios problemos sprendimu, reikia rasti AN 1 = N 2 D, kuris apibrėžiamas kaip 28 ir 15 skirtumas, padalytas iš dviejų. Paskaičiavus paaiškėja: 6,5 cm.

Kadangi liestinė yra dviejų kojų santykis, galime parašyti tokią lygybę: tan α = AH 1 / VN 1 . Be to, šis santykis yra lygus 11/13 (pagal sąlygą). Kadangi AN 1 žinomas, aukštį galima apskaičiuoti: BH 1 = (11 * 6,5) / 13. Paprasti skaičiavimai duoda rezultatą 5,5 cm.

Atsakymas. Reikalingas aukštis 5,5 cm.

Nr. 3. Apskaičiuoti aukštį naudojant žinomas įstrižaines.

Būklė. Apie trapeciją žinoma, kad jos įstrižainės yra 13 ir 3 cm. Reikia išsiaiškinti jos aukštį, jei pagrindų suma yra 14 cm.

Sprendimas. Tegul figūros žymėjimas yra toks pat kaip ir anksčiau. Tarkime, kad AC yra mažesnė įstrižainė. Iš viršūnės C reikia nubrėžti norimą aukštį ir pažymėti jį CH.

Dabar reikia padaryti papildoma statyba. Iš kampo C reikia nubrėžti lygiagrečią tiesią liniją didesnė įstrižainė ir raskite jo susikirtimo tašką su kraštinės AD tęsiniu. Tai bus D1. Rezultatas yra nauja trapecija, kurios viduje nubrėžtas trikampis ASD 1. To reikia norint toliau išspręsti problemą.

Norimas aukštis taip pat bus trikampyje. Todėl galite naudoti kitoje temoje nagrinėtas formules. Trikampio aukštis apibrėžiamas kaip skaičiaus 2 sandauga ir plotas, padalytas iš kraštinės, į kurią jis nubrėžtas. O kraštinė pasirodo lygi pradinės trapecijos pagrindų sumai. Tai kyla iš taisyklės, pagal kurią buvo padaryta papildoma konstrukcija.

Nagrinėjamame trikampyje žinomos visos kraštinės. Patogumui pateikiame žymėjimą x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.

Dabar galite apskaičiuoti plotą naudodami Herono teoremą. Pusperimetras bus lygus p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm). Tada ploto formulė pakeitus reikšmes atrodys taip: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm 2).

Atsakymas. Aukštis 6√10 / 7 cm.

Nr. 4. Norėdami rasti aukštį šonuose.

Būklė. Pateikta trapecija, kurios trys kraštinės yra 10 cm, o ketvirtoji - 24 cm. Reikia išsiaiškinti jos aukštį.

Sprendimas. Kadangi figūra yra lygiašonė, jums reikės formulės numerio 2. Jums tereikia į ją pakeisti visas reikšmes ir suskaičiuoti. Tai atrodys taip:

n = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (cm).

Atsakymas. n = √51 cm.

Instrukcijos

Jei pagal apibrėžimą žinomi abiejų pagrindų (b ir c) ir tų pačių šoninių kraštinių (a) ilgiai, tai vieno iš jo smailiųjų kampų (γ) reikšmei apskaičiuoti galima naudoti stačiakampį trikampį. Norėdami tai padaryti, nuleiskite aukštį nuo bet kurio kampo, esančio šalia trumpo pagrindo. Statųjį trikampį sudarys aukštis (), kraštinė (hipotenuzė) ir ilgojo pagrindo segmentas tarp aukščio ir artimosios pusės (antroji kojelė). Šios atkarpos ilgį galima rasti iš didesnio pagrindo ilgio atėmus mažesniojo ilgį ir padalijus rezultatą per pusę: (c-b)/2.

Gavęs dviejų ilgius gretimose pusėse stačiakampį trikampį, pereikite prie kampo tarp jų skaičiavimo. Hipotenuzės ilgio (a) ir kojos ilgio santykis ((c-b)/2) suteikia šio kampo kosinuso reikšmę (cos(γ)), ​​o arkosino funkcija padės jį konvertuoti į kampas laipsniais: γ=arccos(2*a/(c-b )). Taip gausite vieno iš smailiųjų kampų reikšmę, o kadangi jis yra lygiašonis, tai ir antrasis smailiasis kampas turės tokią pat reikšmę. Visų kampų suma turi būti 360°, o tai reiškia, kad dviejų kampų suma bus lygi skirtumui tarp šio ir dvigubo smailiojo kampo. Kadangi abu bukieji kampai taip pat bus vienodi, norint rasti kiekvieno iš jų reikšmę (α), šį skirtumą reikia padalyti per pusę: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2*) a/(c-b)) . Dabar jūs turite visų lygiašonės trapecijos kampų skaičiavimus, atsižvelgiant į žinomus jos kraštinių ilgius.

Jei figūros kraštinių ilgiai nežinomi, bet nurodytas jo aukštis (h), tuomet reikia elgtis pagal tą pačią schemą. Tokiu atveju stačiakampiame trikampyje, sudarytame iš , kraštinės ir trumpo ilgo pagrindo segmento, žinosite dviejų kojų ilgius. Jų santykis lemia jums reikalingo kampo liestinę, ir tai trigonometrinė funkcija taip pat turi savo antipodą, kuris liestinės reikšmę paverčia kampo verte – arctangentu. Formulės ūminiam ir buki kampai atitinkamai transformuoti: γ=arctg(2*h/(c-b)) ir α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).

Norėdami išspręsti šią problemą, naudodami metodus vektorinė algebra, turite žinoti šias sąvokas: geometrinė vektorių suma ir vektorių skaliarinė sandauga, taip pat turėtumėte atsiminti sumos savybę vidiniai kampai keturkampis.

Jums reikės

• - popierius;
• - rašiklis;
• - valdovas.

Instrukcijos

Vektorius yra nukreipta atkarpa, tai yra dydis, kuris laikomas visiškai apibrėžtu, jei nurodytas jo ilgis ir kryptis (kampas) į tam tikrą ašį. Vektoriaus padėties niekas neberiboja. Du vektoriai, kurių ilgis ir ta pati kryptis, laikomi lygiais. Todėl, naudojant koordinates, vektoriai vaizduojami jo galo taškų spindulio vektoriais (kilmė yra koordinačių pradžioje).

Pagal apibrėžimą: gautas vektorius geometrinė suma vektoriai yra vektorius, kuris prasideda nuo pirmojo pradžios ir turi antrojo pabaigą, su sąlyga, kad pirmojo pabaiga derinama su antrojo pradžia. Tai galima tęsti toliau, kuriant panašiai išsidėsčiusių vektorių grandinę.
Nubraižykite pateiktą ABCD vektoriais a, b, c ir d pav. 1. Akivaizdu, kad tokiu išdėstymu gautas vektorius yra d=a+ b+c.

Skaliarinis produktas V tokiu atveju patogiau remiantis vektoriais a ir d. Taškinė sandauga, žymima (a, d)= |a||d|cosф1. Čia φ1 yra kampas tarp vektorių a ir d.
Taškinė vektorių sandauga, nurodyta koordinatėmis, nustatoma taip:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, tada
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

Lygiašonės trapecijos kampai. Sveiki! Šiame straipsnyje pagrindinis dėmesys bus skiriamas problemų, susijusių su trapecijomis, sprendimui. Ši grupė užduotys yra egzamino dalis, problemos paprastos. Apskaičiuosime trapecijos, pagrindo ir aukščio kampus. Daugelį problemų reikia išspręsti, kaip sakoma: kur mes be Pitagoro teoremos?

Dirbsime su lygiašone trapecija. Jis turi vienodas puses ir kampus prie pagrindų. Tinklaraštyje yra straipsnis apie trapeciją.

Atkreipkite dėmesį į mažą ir svarbus niuansas, kurių pačių užduočių sprendimo procese plačiau neaprašysime. Pažiūrėkite, jei mums pateikiamos dvi priežastys, tada didesnė bazė aukštis nuleistas į jį yra padalintas į tris segmentus – vienas lygus mažesnė bazė(tai yra priešingos stačiakampio kraštinės), kitos dvi yra lygios viena kitai (tai vienodų stačiakampių trikampių kojos):

Paprastas pavyzdys: pateiktos dvi lygiašonės trapecijos bazės 25 ir 65. Didesnė bazė padalinta į segmentus taip:

*Ir toliau! Neįtraukta į užduotis raidžių pavadinimai. Tai buvo padaryta sąmoningai, kad sprendimas nebūtų perkrautas algebriniais patobulinimais. Sutinku, kad tai matematiškai neraštinga, bet tikslas yra suprasti esmę. O viršūnių ir kitų elementų žymėjimus visada galite pasidaryti patys ir užsirašyti matematiškai teisingą sprendimą.

Apsvarstykime užduotis:

27439. Lygiašonės trapecijos pagrindai yra 51 ir 65. Kraštinės yra 25. Raskite trapecijos smailiojo kampo sinusą.

Norint rasti kampą, reikia sukonstruoti aukščius. Eskize duomenis žymime kiekio sąlygoje. Apatinis pagrindas yra 65, su aukščiais padalintas į 7, 51 ir 7 segmentus:

Stačiakampiame trikampyje žinome hipotenuzę ir koją, galime rasti antrąją koją (trapecijos aukštį) ir tada apskaičiuoti kampo sinusą.

Pagal Pitagoro teoremą nurodyta koja yra lygi:

Taigi:

Atsakymas: 0,96

27440. Lygiašonės trapecijos pagrindai yra 43 ir 73. Trapecijos smailiojo kampo kosinusas yra 5/7. Raskite šoną.

Sukonstruokime aukščius ir pažymime duomenis dydžiu, apatinė bazė yra padalinta į 15, 43 ir 15 segmentus:

27441. Lygiašonės trapecijos didysis pagrindas yra 34. Kraštinė yra 14. Smailiojo kampo sinusas yra (2√10)/7. Raskite mažesnę bazę.

Kurkime aukštumas. Norėdami rasti mažesnę bazę, turime rasti ką lygus segmentui kaip koja stačiakampiame trikampyje (pažymėta mėlyna spalva):

Galime apskaičiuoti trapecijos aukštį ir rasti koją:

Naudodami Pitagoro teoremą apskaičiuojame koją:

Taigi mažesnė bazė yra:

27442. Lygiašonės trapecijos pagrindai yra 7 ir 51. Smailiojo kampo liestinė lygi 5/11. Raskite trapecijos aukštį.

Sukonstruokime aukščius ir pažymėkime duomenis dydžio sąlyga. Apatinė bazė yra padalinta į segmentus:

Ką daryti? Mes išreiškiame kampo, kurį žinome, liestinę prie pagrindo stačiakampiu trikampiu:

27443. Lygiašonės trapecijos mažesnis pagrindas lygus 23. Trapecijos aukštis 39. Smailiojo kampo liestinė lygi 13/8. Raskite didesnį pagrindą.

Statome aukščius ir apskaičiuojame, kam lygi koja:

Taigi didesnė bazė bus lygi:

27444. Lygiašonės trapecijos pagrindai yra 17 ir 87. Trapecijos aukštis lygus 14. Raskite smailiojo kampo liestinę.

Eskize statome aukščius ir pažymime žinomas reikšmes. Apatinė bazė yra padalinta į 35, 17, 35 segmentus:

Pagal liestinės apibrėžimą:

77152. Lygiašonės trapecijos pagrindai yra 6 ir 12. Trapecijos smailiojo kampo sinusas lygus 0,8. Raskite šoną.

Padarykime eskizą, pastatykime aukščius ir pažymėkime žinomas reikšmes, didesnė bazė padalinta į 3, 6 ir 3 segmentus:

Išreikškime hipotenuzą, pažymėtą x, kosinusu:

Iš pagrindinio trigonometrinė tapatybė suraskime cosα

Taigi:

27818. Kam lygu didesnis kampas lygiašonė trapecija, jei žinoma, kad skirtumas tarp priešingų kampų yra 50 0? Atsakymą pateikite laipsniais.

Iš geometrijos kurso žinome, kad jei turime dvi lygiagrečias tieses ir skersinę, vidinių vienpusių kampų suma yra lygi 180 0. Mūsų atveju taip yra

Sąlyga sako, kad skirtumas tarp priešingų kampų yra 50 0, tai yra

Stačiakampės trapecijos savybės

• U stačiakampė trapecija ir du kampai turi būti tiesūs
• Abu stačiai kampai stačiakampė trapecija būtinai priklauso gretimoms viršūnėms
• Abu stačiai kampai stačiakampėje trapecijoje jie būtinai yra greta tos pačios pusės
• Stačiakampės trapecijos įstrižainės formą vienoje iš pusių taisyklingas trikampis
• Šono ilgis statmenos pagrindams trapecijos yra lygus jos aukščiui
• Ties stačiakampe trapecija pagrindai lygiagreti, viena pusė yra statmena pagrindams, o antroji pusė yra pasvirusi į pagrindus
• Ties stačiakampe trapecija du kampai yra tiesūs, o kiti du yra smailūs ir buki

Užduotis