Žinoma, koordinačių metodas yra labai geras, tačiau realiose C2 problemose nėra koordinačių ar vektorių. Todėl jie turės būti pristatyti. Taip, taip, paimkite taip ir įveskite: nurodykite atgalinio skaičiavimo pradžią, vieneto segmentas ir x, y ir z ašių kryptis.
Labiausiai nuostabus turtasŠis metodas yra tas, kad nesvarbu, kaip tiksliai įvedama koordinačių sistema. Jei visi skaičiavimai teisingi, atsakymas bus teisingas.
Kubo koordinatės
Jei užduotyje C2 yra kubas, manykite, kad jums pasisekė. Tai yra paprasčiausias daugiakampis, ir viskas dvikampiai kampai kurios lygios 90°.
Koordinačių sistemą taip pat labai paprasta įvesti:
- Koordinačių pradžia yra taške A;
- Dažniausiai kubo kraštas nenurodomas, todėl imame jį kaip vienetinį segmentą;
- X ašis nukreipta išilgai kraštinės AB, y - išilgai krašto AD, o ašis z - išilgai briaunos AA 1.
Atkreipkite dėmesį: z ašis nukreipta į viršų! Pagal dvimatę koordinačių sistemą tai yra šiek tiek neįprasta, bet iš tikrųjų tai labai logiška.
Taigi dabar kiekviena kubo viršūnė turi koordinates. Surinkime juos į lentelę – atskirai apatinei kubo plokštumai:
Nesunku pastebėti, kad viršutinės plokštumos taškai nuo atitinkamų apatinės plokštumos taškų skiriasi tik z koordinate. Pavyzdžiui, B = (1; 0; 0), B 1 = (1; 0; 1). Svarbiausia nesusipainioti!
Prizmė jau daug smagiau. Tinkamai prižiūrėjus, pakanka žinoti tik apatinės bazės koordinates – viršutinė bus apskaičiuojama automatiškai.
C2 uždaviniuose tik įprastos trikampės prizmės (tiesios prizmės, pagrįstos taisyklingas trikampis). Jiems koordinačių sistema įvedama beveik taip pat, kaip ir kubui. Beje, jei kas nežino, kubas irgi yra prizmė, tik tetraedras.
Taigi, eime! Pristatome koordinačių sistemą:
- Koordinačių pradžia yra taške A;
- Prizmės kraštą imame kaip vieną segmentą, jei problemos teiginyje nenurodyta kitaip;
- X ašis nukreipta išilgai kraštinės AB, z - išilgai briaunos AA 1, o ašis y išdėstyta taip, kad OXY plokštuma sutaptų su pagrindine plokštuma ABC.
Čia reikia šiek tiek paaiškinimo. Faktas yra tas, kad y ašis NESUTAPA su briauna AC, kaip daugelis žmonių mano. Kodėl nesutampa? Pagalvokite patys: trikampis ABC yra lygiakraštis, visi kampai jame yra 60°. O kampai tarp koordinačių ašių turi būti 90°, todėl aukščiau esantis paveikslėlis atrodys taip:
Tikiuosi, dabar aišku, kodėl y ašis neis išilgai AC. Šiame trikampyje nubrėžkime aukštį CH. Trikampis ACH yra stačiakampis, o AC = 1, taigi AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 sin A = sin 60°. Šie faktai reikalingi taško C koordinatėms apskaičiuoti.
Dabar pažvelkime į visą prizmę kartu su sukonstruota koordinačių sistema:
Gauname šias taškų koordinates:
Kaip matome, prizmės viršutinio pagrindo taškai nuo atitinkamų apatinės taškų vėl skiriasi tik z koordinate. Pagrindinė problema yra taškai C ir C 1. Jie turi neracionalias koordinates, kurias tiesiog reikia atsiminti. Na, arba supranti, iš kur jie atsiranda.
Šešiakampės prizmės koordinatės
Šešiakampė prizmė yra „klonuota“ trikampė prizmė. Galite suprasti, kaip tai vyksta, jei pažvelgsite į apatinę bazę – pavadinkime ją ABCDEF. Vykdykime papildomos konstrukcijos: segmentai AD, BE ir CF. Rezultatas yra šeši trikampiai, kurių kiekvienas (pavyzdžiui, trikampis ABO) yra trikampės prizmės pagrindas.
Dabar pristatykime pačią koordinačių sistemą. Koordinačių pradžia – taškas O – bus dedama šešiakampio ABCDEF simetrijos centre. X ašis eis išilgai FC, o y ašis eis per atkarpų AB ir DE vidurio taškus. Gauname šį paveikslėlį:
Atkreipkite dėmesį: kilmė NESUTAPA su daugiakampio viršūne! Tiesą sakant, spręsdami realias problemas pastebėsite, kad tai labai patogu, nes tai gali žymiai sumažinti skaičiavimų kiekį.
Belieka tik pridėti z ašį. Pagal tradiciją nubrėžiame jį statmenai OXY plokštumai ir nukreipiame vertikaliai aukštyn. Gauname galutinį vaizdą:
Dabar užrašykime taškų koordinates. Tarkime, kad visos mūsų taisyklingosios šešiakampės prizmės kraštinės yra lygios 1. Taigi apatinės bazės koordinatės yra:
Viršutinės bazės koordinatės perkeliamos vienu išilgai z ašies:
Piramidė paprastai yra labai atšiauri. Išanalizuosime tik paprasčiausią atvejį – taisyklingą keturkampę piramidę, kurios visos briaunos lygios vienai. Tačiau realiose problemose C2 kraštų ilgiai gali skirtis, todėl žemiau yra bendra schema koordinačių skaičiavimai.
Taigi, teisingai keturkampė piramidė. Tai tas pats, kas Cheopsas, tik šiek tiek mažesnis. Pažymime jį SABCD, kur S yra viršūnė. Įveskime koordinačių sistemą: pradžia yra taške A, vieneto atkarpa AB = 1, x ašis nukreipta išilgai AB, y ašis nukreipta išilgai AD, o ašis z nukreipta aukštyn, statmena OXY plokštumai. . Norėdami atlikti tolesnius skaičiavimus, mums reikia aukščio SH - todėl mes jį pastatysime. Gauname tokį paveikslėlį:
Dabar suraskime taškų koordinates. Pirmiausia pažiūrėkime į OXY lėktuvą. Čia viskas paprasta: pagrindas yra kvadratas, jo koordinatės žinomos. Problemos kyla dėl taško S. Kadangi SH yra aukštis iki OXY plokštumos, taškai S ir H skiriasi tik z koordinate. Tiesą sakant, atkarpos SH ilgis yra taško S z koordinatė, nes H = (0,5; 0,5; 0).
Atkreipkite dėmesį, kad trikampiai ABC ir ASC yra lygios trijose pusėse (AS = CS = AB = CB = 1, o pusė AC yra bendra). Todėl SH = BH. Bet BH yra pusė kvadrato ABCD įstrižainės, t.y. BH = AB sin 45°. Gauname visų taškų koordinates:
Tai viskas su piramidės koordinatėmis. Bet visai ne su koordinatėmis. Mes pažvelgėme tik į labiausiai paplitusius daugiakampius, tačiau šių pavyzdžių pakanka, kad būtų galima savarankiškai apskaičiuoti bet kokių kitų figūrų koordinates. Todėl iš tikrųjų galime pereiti prie sprendimo būdų konkrečias užduotis C2.
Sutvarkyta dviejų ar trijų susikertančių ašių, statmenų viena kitai, sistema bendra pradžia nuoroda (kilmė) ir vadinamas bendras ilgio vienetas stačiakampis Dekarto sistema koordinates .
Bendroji Dekarto koordinačių sistema (afininė koordinačių sistema) nebūtinai gali apimti statmenas ašis. Į garbę prancūzų matematikas Renė Dekartas (1596-1662) įvardijo kaip tik tokią koordinačių sistemą, kurioje visose ašyse matuojamas bendras ilgio vienetas, o ašys yra tiesios.
Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje turi dvi ašis ir stačiakampė Dekarto koordinačių sistema erdvėje - trys ašys. Kiekvienas taškas plokštumoje arba erdvėje apibrėžiamas sutvarkyta koordinačių rinkiniu – skaičiais, atitinkančiais koordinačių sistemos ilgio vienetą.
Atkreipkite dėmesį, kad, kaip matyti iš apibrėžimo, Dekarto koordinačių sistema yra tiesioje linijoje, ty vienoje dimensijoje. Dekarto koordinačių įvedimas tiesėje yra vienas iš būdų, kaip bet kuris linijos taškas susiejamas su tiksliai apibrėžtu realiuoju skaičiumi, tai yra koordinate.
Rene Descartes'o darbuose atsiradęs koordinačių metodas žymėjo revoliucinį visos matematikos pertvarkymą. Pasidarė įmanoma interpretuoti algebrines lygtis(arba nelygybes) geometrinių vaizdų (grafikų) pavidalu ir, atvirkščiai, ieškoti sprendimo geometrinės problemos naudojant analitines formules ir lygčių sistemas. Taip, nelygybė z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной koordinačių plokštuma xOy ir esantis virš šios plokštumos 3 vnt.
Naudojant Dekarto koordinačių sistemą, taško priklausomybė duotoje kreivėje atitinka tai, kad skaičiai x Ir y patenkinti kokią nors lygtį. Taigi apskritimo taško, kurio centras yra nurodytame taške, koordinatės ( a; b) tenkina lygtį (x - a)² + ( y - b)² = R² .
Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje
Plokštumoje susidaro dvi statmenos ašys, turinčios bendrą pradžią ir tą patį mastelio vienetą Dekarto stačiakampio koordinačių sistema plokštumoje . Viena iš šių ašių vadinama ašimi Jautis, arba x ašis , kita - ašis Oy, arba y ašis . Šios ašys taip pat vadinamos koordinačių ašys. Pažymėkime pagal Mx Ir My atitinkamai savavališko taško projekcija M ant ašies Jautis Ir Oy. Kaip gauti prognozes? Eikime per esmę M Jautis. Ši tiesi linija kerta ašį Jautis taške Mx. Eikime per esmę M tiesi linija, statmena ašiai Oy. Ši tiesi linija kerta ašį Oy taške My. Tai parodyta paveikslėlyje žemiau.
x Ir y taškų M atitinkamai pavadinsime nukreiptų segmentų reikšmes OMx Ir OMy. Šių nukreiptų segmentų vertės apskaičiuojamos atitinkamai kaip x = x0 - 0 Ir y = y0 - 0 . Dekarto koordinatės x Ir y taškų M abscisė Ir ordinatės . Faktas, kad taškas M turi koordinates x Ir y, žymimas taip: M(x, y) .
Koordinačių ašys padalija plokštumą į keturias kvadrantas , kurių numeracija parodyta paveikslėlyje žemiau. Tai taip pat rodo taškų koordinačių ženklų išdėstymą, atsižvelgiant į jų vietą tam tikrame kvadrante.
Be Dekarto stačiakampių koordinačių plokštumoje, dažnai atsižvelgiama ir į polinių koordinačių sistemą. Apie perėjimo iš vienos koordinačių sistemos į kitą būdą – pamokoje poliarinė koordinačių sistema .
Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema erdvėje
Dekarto koordinatės erdvėje įvedamos visiškai analogiškai su Dekarto koordinatėmis plokštumoje.
Trys viena kitai statmenos ašys erdvėje (koordinačių ašys), turinčios bendrą pradžią O ir su tuo pačiu mastelio vienetu jie sudaro Dekarto stačiakampė koordinačių sistema erdvėje .
Viena iš šių ašių vadinama ašimi Jautis, arba x ašis , kita - ašis Oy, arba y ašis , trečioji – ašis Ozas, arba ašis taikyti . Leiskite Mx, My Mz- savavališko taško projekcijos M erdvė ant ašies Jautis , Oy Ir Ozas atitinkamai.
Eikime per esmę M JautisJautis taške Mx. Eikime per esmę M plokštuma, statmena ašiai Oy. Ši plokštuma kerta ašį Oy taške My. Eikime per esmę M plokštuma, statmena ašiai Ozas. Ši plokštuma kerta ašį Ozas taške Mz.
Dekarto stačiakampės koordinatės x , y Ir z taškų M atitinkamai pavadinsime nukreiptų segmentų reikšmes OMx, OMy Ir OMz. Šių nukreiptų segmentų vertės apskaičiuojamos atitinkamai kaip x = x0 - 0 , y = y0 - 0 Ir z = z0 - 0 .
Dekarto koordinatės x , y Ir z taškų M atitinkamai vadinami abscisė , ordinatės Ir kreiptis .
Koordinačių ašys, paimtos poromis, yra koordinačių plokštumose xOy , yOz Ir zOx .
Dekarto koordinačių sistemos taškų uždaviniai
1 pavyzdys.
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Raskite šių taškų projekcijų į abscisių ašį koordinates.
Sprendimas. Kaip matyti iš teorinės šios pamokos dalies, taško projekcija į abscisių ašį yra pačioje abscisių ašyje, ty ašyje Jautis, todėl turi abscisę, lygią paties taško abscisei, ir ordinatę (ašies koordinatę Oy, kurią x ašis kerta taške 0), lygus nuliui. Taigi gauname šias x ašies taškų koordinates:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx (-5; 0).
2 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Raskite šių taškų projekcijų koordinates į ordinačių ašį.
Sprendimas. Kaip matyti iš šios pamokos teorinės dalies, taško projekcija į ordinačių ašį yra pačioje ordinačių ašyje, ty ašyje Oy, todėl turi ordinatę, lygią paties taško ordinatei, ir abscisę (ašies koordinatę Jautis, kurią ordinačių ašis kerta taške 0), kuris yra lygus nuliui. Taigi gauname šias koordinačių ašies taškų koordinates:
Ay(0;2);
By(0;1);
Cy(0;-2).
3 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Jautis .
Jautis Jautis Jautis, turės tokią pat abscisę kaip duotas taškas, o ordinatė lygi absoliuti vertė duoto taško ordinatė ir priešingas jos ženklas. Taigi mes gauname šias taškų koordinates, simetriškas šiems taškams ašies atžvilgiu Jautis :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Pats spręskite uždavinius naudodami Dekarto koordinačių sistemą, o tada peržiūrėkite sprendimus
4 pavyzdys. Nustatykite, kuriuose kvadrantuose (ketvirčiai, brėžinys su kvadrantais - pastraipos „Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje“ pabaigoje) gali būti taškas M(x; y) , Jei
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
5 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Raskite taškų, simetriškų šiems taškams, koordinates ašies atžvilgiu Oy .
Ir toliau spręskime problemas kartu
6 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Raskite taškų, simetriškų šiems taškams, koordinates ašies atžvilgiu Oy .
Sprendimas. Pasukite 180 laipsnių aplink ašį Oy kryptinis segmentas nuo ašies Oy iki šio taško. Paveikslėlyje, kur nurodyti plokštumos kvadrantai, matome, kad taškas yra simetriškas duotajam ašies atžvilgiu Oy, turės tą pačią ordinatę, kaip ir duotasis taškas, o abscisė absoliučia reikšme lygi nurodyto taško abscisei ir priešinga pagal ženklą. Taigi mes gauname šias taškų koordinates, simetriškas šiems taškams ašies atžvilgiu Oy :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
7 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Raskite taškų koordinates, simetriškas šiems taškams, atsižvelgiant į pradinę padėtį.
Sprendimas. Nukreiptą segmentą, einantį nuo pradžios iki nurodyto taško, pasukame 180 laipsnių kampu aplink pradinę vietą. Paveikslėlyje, kur nurodyti plokštumos kvadrantai, matome, kad taškas, simetriškas nurodytam taškui koordinačių pradžios atžvilgiu, turės abscisę ir ordinatę pagal absoliučią vertę duotojo taško abscisei ir ordinatėms, tačiau priešingas ženklu. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas šiems taškams, atsižvelgiant į pradinę padėtį:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
8 pavyzdys.
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Raskite šių taškų projekcijų koordinates:
1) lėktuve Oxy ;
2) lėktuve Oxz ;
3) lėktuve Oyz ;
4) ant abscisių ašies;
5) ordinačių ašyje;
6) ant taikymo ašies.
1) Taško projekcija į plokštumą Oxy yra pačioje šioje plokštumoje, todėl turi abscisę ir ordinatę, lygią tam tikro taško abscisei ir ordinatėms, o aplikaciją lygi nuliui. Taigi gauname šias šių taškų projekcijų koordinates Oxy :
Axy (4; 3; 0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Taško projekcija į plokštumą Oxz yra pačioje šioje plokštumoje, todėl turi abscisę ir aplikaciją, lygią tam tikro taško abscisei ir aplikacijai, o ordinatę lygi nuliui. Taigi gauname šias šių taškų projekcijų koordinates Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz (2; 0; 0).
3) Taško projekcija į plokštumą Oyz yra pačioje šioje plokštumoje, todėl turi ordinatę ir taikymą, lygią tam tikro taško ordinatėms ir taikymui, o abscisę lygi nuliui. Taigi gauname šias šių taškų projekcijų koordinates Oyz :
Ayz(0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz (0; -3; 0).
4) Kaip matyti iš šios pamokos teorinės dalies, taško projekcija į abscisių ašį yra pačioje abscisių ašyje, ty ašyje Jautis, todėl turi abscisę, lygią paties taško abscisei, o projekcijos ordinatė ir aplikacija lygios nuliui (kadangi ordinatės ir aplikacinės ašys kerta abscises taške 0). Gauname šias šių taškų projekcijų į abscisių ašį koordinates:
Ax (4; 0; 0);
Bx (-3; 0; 0);
Cx(2;0;0).
5) taško projekcija į ordinačių ašį yra pačioje ordinačių ašyje, ty ašyje Oy, todėl turi ordinatę, lygią paties taško ordinatėms, o projekcijos abscisė ir aplikacija yra lygios nuliui (nes abscisės ir aplikacinės ašys kerta ordinačių ašį taške 0). Gauname šias šių taškų projekcijų koordinates į ordinačių ašį:
Ay(0; 3; 0);
By (0; 2; 0);
Cy(0;-3;0).
6) taško projekcija į taikymo ašį yra pačioje taikymo ašyje, ty ašyje Ozas, todėl turi aplikaciją, lygią paties taško aplikacijai, o projekcijos abscisė ir ordinatė yra lygios nuliui (kadangi abscisių ir ordinačių ašys kerta aplikacijos ašį taške 0). Gauname šias šių taškų projekcijų į taikomąją ašį koordinates:
Az (0; 0; 5);
Bz (0; 0; 1);
Cz(0; 0; 0).
9 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami erdvėje
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Raskite taškų koordinates, simetriškas šiems taškams, atsižvelgiant į:
1) lėktuvas Oxy ;
2) lėktuvai Oxz ;
3) lėktuvai Oyz ;
4) abscisių ašys;
5) ordinačių ašys;
6) pritaikyti ašis;
7) koordinačių kilmė.
1) „Perkelkite“ tašką kitoje ašies pusėje Oxy Oxy, turės abscisę ir ordinatę, lygią tam tikro taško abscisei ir ordinatėms, o aplikaciją, kurios dydis yra lygus duoto taško aplikacijai, bet priešingą ženklu. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims plokštumos atžvilgiu Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) „Perkelkite“ tašką kitoje ašies pusėje Oxzį tą patį atstumą. Iš paveikslo, kuriame pavaizduota koordinačių erdvė, matome, kad taškas yra simetriškas nurodytam taškui ašies atžvilgiu Oxz, turės abscisę ir aplikaciją, lygią duoto taško abscisei ir aplikacijai, o ordinatę, kurios dydis yra lygus tam tikro taško ordinatėms, bet priešingą ženklu. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims plokštumos atžvilgiu Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) „Perkelti“ tašką kitoje ašies pusėje Oyzį tą patį atstumą. Iš paveikslo, kuriame pavaizduota koordinačių erdvė, matome, kad taškas yra simetriškas nurodytam taškui ašies atžvilgiu Oyz, turės ordinatę ir aplicatę, lygias duoto taško ordinatėms ir aplicatams, o abscisę savo reikšme lygi duoto taško abscisei, bet priešingą ženklu. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims plokštumos atžvilgiu Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Pagal analogiją su simetriški taškai plokštumoje ir erdvės taškuose, simetriškuose duomenims plokštumų atžvilgiu, pažymime, kad esant simetrijai tam tikros Dekarto koordinačių sistemos erdvėje ašies atžvilgiu, koordinatė ašyje, kurios atžvilgiu duota simetrija išsaugos savo ženklą, o kitų dviejų ašių koordinatės absoliučiais skaičiais bus tokios pačios kaip nurodyto taško koordinatės, bet priešingos pagal ženklą.
4) Abscisė išsaugos savo ženklą, tačiau ordinatė ir aplikacija pakeis ženklus. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas duomenims abscisių ašies atžvilgiu:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordinata išsaugos savo ženklą, tačiau abscisė ir aplikacija pakeis ženklus. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims, palyginti su ordinačių ašimi:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Aplikacija išsaugos savo ženklą, tačiau abscisė ir ordinatė pakeis ženklus. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas duomenims taikomosios ašies atžvilgiu:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Analogiškai su simetrija, kai taškai yra plokštumoje, kai yra simetrija apie koordinačių pradžią, visos taško koordinatės, simetriškos tam tikram taškui, absoliučia verte bus lygios tam tikro taško koordinatėms, bet priešingo ženklo. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims, palyginti su kilme.
Stačiakampę koordinačių sistemą plokštumoje apibrėžia dvi viena kitai statmenos tiesės. Tiesios linijos vadinamos koordinačių ašimis (arba koordinačių ašimis). Šių linijų susikirtimo taškas vadinamas pradžia ir žymimas raide O.
Dažniausiai viena iš linijų yra horizontali, kita – vertikali. Horizontali linija yra pažymėta kaip x ašis (arba Ox) ir vadinama abscisių ašimi, vertikali linija yra y ašis (Oy), vadinama ordinačių ašimi. Visa koordinačių sistema žymima xOy.
Taškas O padalija kiekvieną iš ašių į dvi pusiau ašis, iš kurių viena laikoma teigiama (žymima rodykle), kita – neigiama.
Kiekvienam plokštumos taškui F priskiriama skaičių pora (x;y) – jos koordinatės.
X koordinatė vadinama abscise. Jis lygus Jautis, paimtas su atitinkamu ženklu.
Y koordinatė vadinama ordinate ir yra lygi atstumui nuo taško F iki Oy ašies (su atitinkamu ženklu).
Atstumai tarp ašių paprastai (bet ne visada) matuojami tuo pačiu ilgio vienetu.
Taškai, esantys y ašies dešinėje, turi teigiamas abscises. Taškai, esantys į kairę nuo ordinačių ašies, turi neigiamas abscises. Bet kurio taško, esančio Oy ašyje, jo x koordinatė yra lygi nuliui.
Taškai su teigiama ordinate yra virš x ašies, o taškai su neigiama ordinate yra žemiau. Jei taškas yra ant Ox ašies, jo y koordinatė lygi nuliui.
Koordinačių ašys padalija plokštumą į keturias dalis, kurios vadinamos koordinačių ketvirčiais (arba koordinačių kampais arba kvadrantais).
1 koordinačių ketvirtis esantis dešinėje viršutinis kampas koordinačių plokštuma xOy. Abi taškų koordinatės, esančios pirmajame ketvirtyje, yra teigiamos.
Perėjimas iš vieno ketvirčio į kitą atliekamas prieš laikrodžio rodyklę.
2 koordinačių ketvirtis yra viršutiniame kairiajame kampe. Antrajame ketvirtyje esantys taškai turi neigiamą abscisę ir teigiamą ordinatę.
3 koordinačių ketvirtis yra apatiniame kairiajame xOy plokštumos kvadrante. Abi taškų koordinatės, priklausančios III koordinatė kampinis, neigiamas.
4 koordinačių ketvirtis yra apatinis dešinysis koordinačių plokštumos kampas. Bet kuris IV ketvirčio taškas turi teigiamą pirmąją koordinatę ir neigiamą antrąją.
Taškų išdėstymo stačiakampėje koordinačių sistemoje pavyzdys:
Jei per tašką O erdvėje nubrėžiame tris statmenas tiesias linijas, mes jas kreipiame į dešinę stačiakampė sistema co-or-di-nat erdvėje. Koordinatinės ašys vadinamos taip: Ox – ab-ciss ašis, Oy – arba-di-nat ašis ir Oz – up-pli-cat ašis. Visa ko-or-di-nat sistema reiškia Oxyz. Taigi pasirodo trys co-or-di-nat-planes: Oxy, Oxz, Oyz.
Pateikiame taško B(4;3;5) konstravimo stačiakampėje koordinačių sistemoje pavyzdys (žr. 1 pav.).
Ryžiai. 1. Taško B konstravimas erdvėje
Pirmasis taškas B yra 4, todėl iš-kla-dy-va-em ant Ox 4 eikime tiesiai į pa-ral-lel-but ašį Oy, kol ji susikirs su tiesi linija, einanti per y = 3. Taigi gauname tašką K. Šis taškas yra Oxy plokštumoje ir turi koordinates K(4;3;0). Dabar reikia padaryti tiesioginę lygiagretę su Ozo ašimi. Ir tiesia linija, kuri eina per tašką su up-pli-ka-toy 5 ir pa-ral-lel-na dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram -ma Oxy plokštumoje. Ant jų re-se-se-che-nii gauname reikiamą tašką B.
Apsvarstykite taškų, kurių vienas ar du koeficientai lygūs 0, vietą (žr. 2 pav.).
Pavyzdžiui, taškas A(3;-1;0). Turite tęsti Oy ašį į kairę iki vertės -1, rasti Ox ašies tašką 3, o tiesių, einančių per šias reikšmes, susikirtimo vietoje Raskime tašką A. Šio taško apytikslė reikšmė yra 0, o tai reiškia, kad jis yra Oxy plokštumoje.
Taškas C(0;2;0) turi abs-cis-su ir up-pli-ka-tu 0 – ne iš-me-cha-em. Or-di-na-ta yra lygus 2, o tai reiškia, kad taškas C yra tik Oy ašyje, kuri nėra plokščia Oxy ir Oyz.
Norėdami perkelti tašką D(-4;0;3), pratęsiame Ox ašį už pradžios iki taško -4. Dabar iš šio taško atkuriame per-pen-di-ku-lyar – tiesią lygiagrečią ašį Oz iki per-re-se-che-niy su tiesia, lygiagrečia ašimi Ox ir einančia per 3 reikšmę Oz. ašį. Gauname dabartinę D(-4;0;3). Kadangi taško tvarka lygi 0, tai reiškia, kad taškas D yra Oxz plokštumoje.
Kitas taškas E(0;5;-3). Ar-di-na-ta taškai 5, a-pli-ka-ta -3, pro-vo-dim tiesės, einančios per šias vertes ant atitikimo ašių, o jų sankirtoje gauname tašką E(0 ;5;-3). Šio taško pirmoji koordinacija yra 0, o tai reiškia, kad jis yra Oyz plokštumoje.
2. Vektorinės koordinatės
Pažvelkime į stačiakampę ko-or-di-nat sistemą Oxyz erdvėje. Sukurkime erdvėje stačiakampę sistemą, bendradarbiaudami su Oxyz. Kiekvienoje linijinėje ašyje yra vienas vektorius, ty vektorius, kurio ilgis yra lygus vienetui. Žymime ab-ciss ašies vienetinį vektorių, or-di-nat ašies vienetinį vektorių ir up-pli-cat ašies vienetinį vektorių (žr. 1 pav.). Šie vokai yra sulygiuoti su dešiniarankiais ašimis, yra vieno ilgio ir yra arba-to-go-nal-ny – poromis – bet per-pen-di-ku-lyar-ny. Tokie šimtmečiai vadinami ko-or-di-nat-ny-mi century-to-ra-mi arba ba-zi-som.
Ryžiai. 1. Akių vokų padalijimas į tris ko-ar-di-nat vokus
Paimkite memo vektorių, įdėkite jį į na-cha-lo co-or-di-nat ir padalykite šį vektorių į tris neplokštumus – gulinčius – skirtingose plokštumose – nuo šimtmečio iki kadrų. Norėdami tai padaryti, nuleiskite taško M projekciją į Oxy plokštumą ir raskite vektorių koordinaciją ir. Valgome:. Mes žiūrime į kiekvieną iš šių šimtmečių atskirai. Vektorius yra ant Ox ašies, o tai reiškia, kad pagal savybę padauginti vektorių iš skaičiaus, jis gali būti pavaizduotas kaip koks nors skaičius x, susietas su co-or-di-nat-ny vektoriumi. , o akies voko ilgis lygiai x kartus didesnis už ilgį . Tą patį darome su akių vokais ir padalijame vokus į tris bendrai pritaikytus akių vokus – to-ram:
Reikalingi šio x, y ir z skirstinio koeficientai ko-or-di-na-ta-mi šimtmečio-ra erdvėje.
Mes žiūrime į pirmykščius principus, kurie pozuoja-in-la-yut pagal duotų šimtmečių ko-ar-di-on-ten, kad surastume co-or-di-na- tu yra jų sumos ir skirtumai, taip pat co-or-di-na-you pro-iz-ve-de-niya tam tikram skaičiui.
1) Papildymas:
2) Tu-chi-ta-nie:
3) Daugyba iš skaičiaus: 
,
Vek-tor, na-cha-lo ko-ro-go sutampa su na-cha-lom ko-or-di-nat, na-zy-va-et-sya spindulys-amžiaus-rumas.(2 pav.). Vektorius - ra-di-us-vektorius, kur x, y ir z yra šio vektoriaus pasiskirstymo koeficientai pagal co-or -di-nat-nym šimtmečio-to-ram , , . Šiuo atveju x yra pirmasis taško A Ox ašyje, y yra taško B Oy ašyje, z yra taško C bendras veiksmas Oz ašyje. . Iš piešinio aišku, kad ko-or-di-na-you ra-di-us-vek-to-ra vienu metu -on-that-mi taškais M.
Paimkite tašką A(x1;y1;z1) ir tašką B(x2;y2;z2) (žr. 3 pav.). Vektorių įsivaizduojame kaip skirtumą tarp šimtmečio ir šimtmečio. Be to, ir - ra-di-us-vek-ry, ir jų ko-or-di-na-you bendradarbiauja su šių amžių co-or-di-na-ta-mi con-tsov. Tada galime pateikti co-or-di-na-you šimtmetį kaip skirtumą tarp co-or-di-nat amžių ir: . Tokiu būdu ko-ar-di-na-you šimtmečio iki ra mes galime vystytis per ko-or-di-na-you pabaigą ir na-cha-la šimtmetį iki ra .
Pažvelkime į pavyzdžius, iliustruojančius šimtmečių savybes ir jų išraišką per co-or-di-na-you. Paimkite šimtmečio memą, , . Mūsų prašoma šimtmečio. Šiuo atveju tai rasti reiškia rasti „co-or-di-on-you“ šimtmetį, kuris jį visiškai lemia. Padėkite jį toje pačioje vietoje, o ne šimtą šimtmečių bendros atsakomybės už jų bendradarbius. Valgome:
Dabar skaičių 3 padauginame iš kiekvieno skliausteliuose esančio ko-ar-di ir darome tą patį su 2:
Gavome trijų šimtmečių sumą, saugome juos pagal aukščiau ištirtą savybę:
Atsakymas: 
2 pavyzdys.
Duota: Trikampis pi-ra-mi-da AOBC (žr. 4 pav.). Lėktuvai AOB, AOC ir OCB yra poromis, bet per-pen-di-ku-lyar-ny. OA=3, OB=7, OC=4; M - ser.AC; N - ser.OC; P - pilka C.B.
Rasti: ,,,,,,,.
Sprendimas: Įveskime stačiakampę Oxyz koordinačių sistemą, kurios pradžios taškas yra taške O. Pagal sąlygą žinome ašių taškus A, B ir C ir pi-re-di-ny briaunas. ra-mi-dy - M, P ir N. Pagal paveikslą einame į co-or -di-na-you vert-shin pi-ra-mi-dy: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).
Stačiakampė (kiti pavadinimai yra plokščia, dvimatė) koordinačių sistema, pavadinta prancūzų mokslininko Descartes'o (1596-1650) „Dekarto koordinačių sistema plokštumoje“ vardu, susidaro susikirtus plokštumoje stačiu kampu (statmenu). iš dviejų skaitinės ašys taip, kad vienos teigiamoji pusašis būtų nukreipta į dešinę (x ašis arba abscisių ašis), o antroji būtų nukreipta į viršų (y ašis arba ordinačių ašis).
Ašių susikirtimo taškas sutampa su kiekvienos iš jų 0 tašku ir vadinamas koordinačių pradžia.
Kiekvienai ašiai pasirenkama savavališka skalė (vieno ilgio segmentas). Kiekvienas plokštumos taškas atitinka vieną skaičių porą, vadinamą šio plokštumos taško koordinatėmis. Ir atvirkščiai, bet kuri sutvarkyta skaičių pora atitinka vieną plokštumos tašką, kuriam šie skaičiai yra koordinatės.
Pirmoji taško koordinatė vadinama to taško abscise, o antroji koordinatė – ordinate.
Visa koordinačių plokštuma padalinta į 4 kvadrantus (ketvirčius). Kvadrantai yra nuo pirmojo iki ketvirto prieš laikrodžio rodyklę (žr. pav.).
Norėdami nustatyti taško koordinates, turite rasti atstumą iki abscisės ir ordinačių ašies. Kadangi atstumas (trumpiausias) nustatomas pagal statmeną, tai nuo taško du statmenys (pagalbinės linijos koordinačių plokštumoje) nuleidžiamos į ašį taip, kad jų susikirtimo taškas būtų vieta duotas taškas koordinačių plokštumoje. Statmenų susikirtimo su ašimis taškai vadinami taško projekcijomis koordinačių ašyse.
Pirmąjį kvadrantą riboja teigiamos abscisės ir ordinatės pusiau ašys. Todėl taškų koordinatės šiame plokštumos ketvirtyje bus teigiamos
(ženklai „+“ ir
Pavyzdžiui, taškas M (2; 4) aukščiau esančiame paveikslėlyje.
Antrąjį kvadrantą riboja neigiama x ašis ir teigiamos ordinatės pusašis. Vadinasi, taškų koordinatės išilgai abscisių ašies bus neigiamos (ženklas „-“), o išilgai ordinačių ašies – teigiamos (ženklas „+“).
Pavyzdžiui, taškas C (-4; 1) aukščiau esančiame paveikslėlyje.
Trečiąjį kvadrantą riboja neigiama x ašis ir neigiama y ašis. Vadinasi, abscisių ir ordinačių ašių taškų koordinatės bus neigiamos (ženklai „-“ ir „-“).
Pavyzdžiui, taškas D (-6; -2) aukščiau esančiame paveikslėlyje.
Ketvirtąjį kvadrantą riboja teigiama x ašis ir neigiama y ašis. Vadinasi, abscisių ašies taškų koordinatės bus teigiamos („+“ ženklas). o išilgai ordinačių ašies – neigiamas (ženklas „-“).
Pavyzdžiui, taškas R (3; -3) aukščiau esančiame paveikslėlyje.
Taško konstravimas naudojant nurodytas koordinates
rasime pirmąją taško x ašyje koordinatę ir per ją nubrėžsime pagalbinę tiesę - statmeną;
randame antrąją taško koordinatę ordinačių ašyje ir per ją nubrėžiame pagalbinę liniją - statmeną;
dviejų statmenų (pagalbinių tiesių) susikirtimo taškas atitiks tašką su nurodytomis koordinatėmis.
