Teisingas trikutnikas. Lygiakraštis trikampis

19 teorema. Lygiašonio trikampio pagrindo kampai yra lygūs.
Įrodymas. Nuleiskime aukštį iki lygiašonio trikampio pagrindo. Ji padalys jį į du vienodus (išilgai kojos ir hipotenuzės) stačiuosius trikampius, o tai reiškia atitinkami kampai yra lygūs, t.y. ∠ A = ∠ C
Lygiašonio trikampio kriterijai kyla iš 1 teoremos ir jos padarinių bei 2 teoremos.
20 teorema. Jei dvi iš nurodytų keturių tiesių (aukštis, mediana, bisektorius, simetrijos ašis) sutampa, tai trikampis bus lygiašonis (tai reiškia, kad visos keturios tiesės sutaps).
21 teorema. Jei bet kurie du trikampio kampai yra lygūs, tada jis yra lygiašonis.

Įrodymas: Panašus į tiesioginės teoremos įrodymą, bet naudojant antrąjį trikampių lygybės kriterijų. Lygiašonio trikampio svorio centras, apskritimo ir apskritimo centrai bei aukščių susikirtimo taškas yra ant jo simetrijos ašies, t.y. viršuje.
Lygiakraštis trikampis yra lygiašonis kiekvienai jo kraštinių porai. Dėl visų jo kraštinių lygybės visi trys tokio trikampio kampai yra lygūs. Atsižvelgdami į tai, kad bet kurio trikampio kampų suma yra lygi dviem stačiakampiams kampams, matome, kad kiekvienas lygiakraščio trikampio kampas yra lygus 60°. Ir atvirkščiai, norint užtikrinti, kad visos trikampio kraštinės būtų lygios, pakanka patikrinti, ar du iš trijų jo kampų yra lygūs 60°.
22 teorema . Lygiakraščio trikampio visi žymūs taškai sutampa: svorio centras, įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų centrai, aukščių susikirtimo taškas (vadinamas trikampio stačiakampiu).
23 teorema . Jei du iš nurodytų keturių taškų sutampa, tada trikampis bus lygiakraštis ir dėl to visi keturi įvardinti taškai sutaps.
Iš tiesų, toks trikampis pagal ankstesnį pasirodys lygiašonis bet kurios kraštinių poros atžvilgiu, t.y. lygiakraštis. Lygiakraštis trikampis taip pat vadinamas taisyklingu trikampiu.
Lygiašonio trikampio plotas lygus pusei kraštinės kvadrato ir kampo tarp kraštinių sinuso sandaugos

Apsvarstykite šią lygiašonio trikampio formulę, tada alfa kampas bus lygus 60 laipsnių. Tada formulė pasikeis į tokią: d1 teorema

Įrodymas:. Lygiašoniame trikampyje į šonus nubrėžtos medianos yra lygios.
Tegu ABC yra lygiašonis trikampis (AC = BC), AK ir BL – jo medianos. Tada trikampiai AKB ir ALB yra lygūs pagal antrąjį trikampių lygybės kriterijų. Jie turi bendrą kraštinę AB, kraštinės AL ir BK yra lygios lygiašonio trikampio šoninių kraštinių pusėms, o kampai LAB ir KBA yra lygūs lygiašonio trikampio pagrindo kampams. Kadangi trikampiai yra kongruentiški, jų kraštinės AK ir LB yra lygios. Tačiau AK ir LB yra lygiašonio trikampio, nubrėžto į jo šonines kraštines, medianos. d2 teorema

Įrodymas: Tegu ABC yra lygiašonis trikampis (AC = BC), AK ir BL – jo pusiausvyros. Trikampiai AKB ir ALB yra lygūs pagal antrąjį trikampių lygybės kriterijų. Jie turi bendrą kraštinę AB, kampai LAB ir KBA yra lygūs lygiašonio trikampio pagrindo kampams, o kampai LBA ir KAB yra lygūs pusei lygiašonio trikampio pagrindo kampų. Kadangi trikampiai yra kongruentiški, jų kraštinės AK ir LB yra pusiausvyros trikampis ABC- lygus. Teorema įrodyta.
d3 teorema . Lygiašoniame trikampyje į šonus nuleisti aukščiai yra lygūs.

Įrodymas: Tegu ABC yra lygiašonis trikampis (AC = BC), AK ir BL – jo aukščiai. Tada kampai ABL ir KAB yra lygūs, nes kampai ALB ir AKB yra stačiakampiai, o kampai LAB ir ABK lygūs lygiašonio trikampio pagrindo kampai. Vadinasi, trikampiai ALB ir AKB yra lygūs pagal antrąjį trikampių lygybės kriterijų: jie turi bendrą kraštinę AB, kampai KAB ir LBA yra lygūs pagal tai, o kampai LAB ir KBA yra lygūs trikampio pagrindo kampai. lygiašonis trikampis. Jei trikampiai sutampa, jų kraštinės AK ir BL taip pat sutampa. Q.E.D.

IN mokyklos kursas geometrija didžiulė suma laiko skiriama trikampių studijoms. Mokiniai skaičiuoja kampus, konstruoja pusiau ir aukščius, išsiaiškina, kuo formos skiriasi viena nuo kitos, kaip lengviausia rasti jų plotą ir perimetrą. Atrodo, kad gyvenime tai nebus naudinga, bet kartais vis tiek pravartu išmokti, pavyzdžiui, kaip nustatyti, ar trikampis yra lygiakraštis ar bukas. Kaip tai padaryti?

Trikampių tipai

Trys taškai, kurie nėra toje pačioje linijoje, ir juos jungiantys segmentai. Atrodo, kad ši figūra yra pati paprasčiausia. Kokie jie gali būti trikampiai, jei jie turi tik tris kraštines? Tiesą sakant, yra keletas variantų. didelis skaičius, o kai kurie iš jų pateikiami ypatingas dėmesys kaip mokyklos geometrijos kurso dalis. Taisyklingas trikampis yra lygiakraštis, tai yra, visi jo kampai ir kraštinės yra lygūs. Jis turi daugybę nuostabių savybių, kurios bus aptartos toliau.

Lygiašonis turi tik dvi lygias puses ir taip pat yra gana įdomus. Stačiakampėje, kaip galite atspėti, vienas iš kampų yra tiesus arba bukas. Be to, jie taip pat gali būti lygiašoniai.

Taip pat yra specialus, vadinamas egiptietišku. Jo šonai yra 3, 4 ir 5 vienetai. Be to, jis yra stačiakampis. Manoma, kad jį aktyviai naudojo Egipto matininkai ir architektai statydami stačius kampus. Manoma, kad jos pagalba buvo pastatytos garsiosios piramidės.

Ir vis dėlto visos trikampio viršūnės gali būti toje pačioje tiesėje. Šiuo atveju ji bus vadinama išsigimusia, o visos kitos – neišsigimusios. Jie yra vienas iš geometrijos studijų dalykų.

Lygiakraštis trikampis

Žinoma, didžiausią susidomėjimą visada sukelia teisingi skaičiai. Jie atrodo tobulesni, grakštesni. Jų charakteristikų skaičiavimo formulės dažnai yra paprastesnės ir trumpesnės nei įprastų figūrų. Tai taip pat taikoma trikampiams. Nenuostabu, kad studijuojant geometriją jiems skiriama gana daug dėmesio: moksleiviai mokomi atskirti teisingas figūras nuo kitų, taip pat pasakojama apie kai kurias įdomias jų savybes.

Ženklai ir savybės

Kaip galite atspėti iš pavadinimo, kiekviena lygiakraščio trikampio kraštinė yra lygi kitoms dviem. Be to, jis turi daugybę funkcijų, kurios padeda nustatyti, ar figūra teisinga, ar ne.

Jei pastebimas bent vienas iš minėtų ženklų, tada trikampis yra lygiakraštis. Už teisinga figūra Visi aukščiau pateikti teiginiai yra teisingi.

Visi trikampiai turi daug nuostabių savybių. Pirma, vidurio linija, tai yra atkarpa, dalijanti dvi kraštines pusiau ir lygiagreti trečiajai, yra lygi pusei pagrindo. Antra, visų šio skaičiaus kampų suma visada yra lygi 180 laipsnių. Be to, trikampiuose yra dar vienas įdomus santykis. Taip, prieš didesnė pusė melas didesnis kampas ir atvirkščiai. Bet tai, žinoma, neturi nieko bendra su lygiakraščiu trikampiu, nes visi jo kampai yra lygūs.

Įrašyti ir apibrėžti apskritimai

Dažnai geometrijos kurse studentai taip pat sužino, kaip formos gali sąveikauti viena su kita. Visų pirma tiriami apskritimai, įrašyti į daugiakampius arba aprašyti aplink juos. apie ką mes kalbame?

Įbrėžtasis apskritimas yra apskritimas, kurio visos daugiakampio kraštinės yra liestinės. Aprašytas - tas, kuris turi sąlyčio taškus su visais kampais. Kiekvienam trikampiui visada galite sudaryti ir pirmąjį, ir antrąjį apskritimus, bet tik vieną iš kiekvieno tipo. Šių dviejų įrodymų

teoremos pateikiamos mokykliniame geometrijos kurse.

Be pačių trikampių parametrų skaičiavimo, kai kurios problemos taip pat apima šių apskritimų spindulių apskaičiavimą. Ir formulės už
lygiakraštis trikampis atrodo taip:

čia r – įbrėžto apskritimo spindulys, R – apibrėžtojo apskritimo spindulys, a – trikampio kraštinės ilgis.

Aukščio, perimetro ir ploto skaičiavimas

Pagrindiniai parametrai, kuriuos moksleiviai apskaičiuoja studijuodami geometriją, beveik bet kuriai figūrai nesikeičia. Tai yra perimetras, plotas ir aukštis. Norėdami supaprastinti skaičiavimus, yra įvairių formulių.

Taigi, perimetras, tai yra, visų pusių ilgis, apskaičiuojamas šiais būdais:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, kur a yra kraštinė taisyklingas trikampis, R yra apibrėžtojo apskritimo spindulys, r yra įbrėžtasis apskritimas.

h = (√ ̅3/2)*a, kur a yra kraštinės ilgis.

Galiausiai formulė gaunama iš standartinės, tai yra pusės pagrindo ir jo aukščio sandauga.

S = (√ ̅3/4)*a 2, kur a yra kraštinės ilgis.

Šią vertę taip pat galima apskaičiuoti pagal apibrėžto arba įrašyto apskritimo parametrus. Tam taip pat yra specialių formulių:

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2, kur r ir R yra atitinkamai įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų spinduliai.

Statyba

Kitas įdomus vaikinas problemos, įskaitant trikampius, yra susijusios su būtinybe nupiešti tam tikrą figūrą naudojant minimalus rinkinys

įrankiai: kompasas ir liniuotė be padalų.

Norėdami sukurti įprastą trikampį naudodami tik šiuos įrenginius, turite atlikti kelis veiksmus.

1. Jums reikia nubrėžti apskritimą su bet kokiu spinduliu ir su centru savavališkame taške A. Jis turi būti pažymėtas.
2. Toliau per šį tašką reikia nubrėžti tiesią liniją.
3. Apskritimo ir tiesės sankirtos taškai turi būti pažymėti B ir C. Visos konstrukcijos turi būti atliekamos kuo tiksliau.
4. Tada taške C reikia pastatyti kitą apskritimą su tuo pačiu spinduliu ir centru arba lanką su atitinkamais parametrais. Sankirtos taškai bus pažymėti D ir F.
5. Taškai B, F, D turi būti sujungti atkarpomis. Sukuriamas lygiakraštis trikampis.

Sprendimas panašias užduotis paprastai kelia problemų moksleiviams, tačiau šis įgūdis gali būti naudingas kasdieniame gyvenime.

Vaizdo įrašų kursas „Gaukite A“ apima visas jums reikalingas temas sėkmingas užbaigimas Vieningas valstybinis matematikos egzaminas 60-65 balams. Visiškai visos problemos 1-13 Profilio vieningas valstybinis egzaminas matematikoje. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visi būtina teorija. Greiti būdai sprendimus, spąstus ir Vieningo valstybinio egzamino paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 m. reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodžių problemos ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. teorija, etaloninė medžiaga, visų tipų Vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus paaiškinimas sudėtingos sąvokos. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sprendimo pagrindas sudėtingos užduotys Vieningo valstybinio egzamino 2 dalys.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų surinkta asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.