Erdvėje, kurioje taško padėtis gali būti apibrėžta kaip jo projekcija į fiksuotas linijas, susikertančias viename taške, vadinamoje pradine. Šios projekcijos vadinamos taško koordinatėmis, o tiesės – koordinačių ašimis.
IN bendras atvejis ant paviršiaus Dekarto sistema koordinatės ( afininė sistema koordinates) nurodo taškas O (koordinačių kilmė) ir sutvarkyta vektorių pora e 1 ir e 2 (baziniai vektoriai), kurie nėra toje pačioje tiesėje. Tiesės, einančios per pradinį tašką bazinių vektorių kryptimi, vadinamos tam tikros Dekarto koordinačių sistemos koordinačių ašimis. Pirmoji, nulemta vektoriumi e 1, vadinama abscisių ašimi (arba Ox ašimi), antroji – ordinačių ašimi (arba Oy ašimi). Pati Dekarto koordinačių sistema žymima Oe 1 e 2 arba Oxy. Dekarto taško M koordinatės (1 pav.) Dekarto koordinačių sistemoje Oe 1 e 2 vadinamos tvarkinga skaičių pora (x, y), kurios yra vektoriaus OM plėtimosi koeficientai išilgai pagrindo (e 1, e 2), tai yra, x ir y yra tokie, kad OM = xe 1 + ue 2. Skaičius x, -∞< x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).
Jei plokštumoje įvedamos dvi Dekarto koordinačių sistemos Oe 1 e 2 ir 0'e' 1 e' 2, kad baziniai vektoriai (e' 1, e' 2) būtų išreikšti baziniais vektoriais (e 1, e 2) pagal formules
e' 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2, e' 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2
o taškas O' turi koordinates (x 0, y 0) Dekarto koordinačių sistemoje Oe 1 e 2, tada taško M koordinatės (x, y) Dekarto koordinačių sistemoje Oe 1 e2 ir koordinates (x' , y') to paties taško Dekarto koordinačių sistemoje O'e 1 e' 2 yra susiję ryšiais
x = a 11 x' + a 21 y' + x 0, y = a 12 x'+ a 22 y'+ y 0.
Dekarto koordinačių sistema vadinama stačiakampe, jei pagrindas (e 1, e 2) yra stačiakampis, tai yra, vektoriai e 1 ir e 2 yra vienas kitam statmeni ir turi ilgį lygus vienam(vektoriai e 1 ir e 2 šiuo atveju vadinami vektoriais). Stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje taško M x ir y koordinatės yra dydžiai stačiakampės projekcijos taškai M atitinkamai Ox ir Oy ašyje. Stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje Oxy atstumas tarp taškų M 1 (x 1, y 1) ir M 2 (x 2, y 2) lygus √(x 2 - x 1) 2 + (y 2 -y 1) ) 2
Formulės, skirtos perėjimui iš vienos stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos Oxy į kitą stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą O'x'y', kurios Dekarto koordinačių sistemos O' pradžia yra O'(x0, y0), turi formą
x = x’cosα – y’sinα + x 0, y = x’sin α + y’cosα + y 0
x = x'cosα + y'sinα + x 0, y = x'sinα - y'cosα + y 0.
Pirmuoju atveju O'x'y' sistema formuojama sukant bazinius vektorius e 1 ; e 2 kampu α ir vėlesniu koordinačių O pradžios perkėlimu į tašką O’ (2 pav.),
o antruoju atveju - pasukant bazinius vektorius e 1, e 2 kampu α, vėlesnis ašies, kurioje yra vektorius e 2, atspindys tiesios linijos, nešančios vektorių e 1, atžvilgiu ir pradžią O perkeliant į tašką O. “ (3 pav.).
Kartais naudojamos įstrižinės Dekarto koordinačių sistemos, kurios nuo stačiakampės skiriasi tuo, kad kampas tarp vienetinio pagrindo vektorių nėra teisingas.
Bendroji Dekarto koordinačių sistema (afininė koordinačių sistema) erdvėje apibrėžiama panašiai: nurodomas taškas O - koordinačių pradžia ir sutvarkytas vektorių е 1 , е 2 , е 3 (bazinių vektorių) trigubas, pritvirtintas prie jo ir neguli. toje pačioje plokštumoje. Kaip ir plokštumos atveju, nustatomos koordinačių ašys - abscisių ašis (Ox ašis), ordinačių ašis (Oy ašis) ir taikomoji ašis (Oz ašis) (4 pav.).
Dekarto koordinačių sistema erdvėje žymima Oe 1 e 2 e 3 (arba Oxyz). Plokštumos, einančios per koordinačių ašių poras, vadinamos koordinačių plokštumos. Dekarto koordinačių sistema erdvėje vadinama dešine, jei sukimasis iš Ox ašies į Oy ašį atliekamas kryptimi priešingas judėjimas pagal laikrodžio rodyklę, jei žiūrite į Oxy plokštumą iš teigiamos pusašies Oz taško, kitaip Dekarto koordinačių sistema vadinama kairiąja. Jei bazinių vektorių e 1, e 2, e 3 ilgiai lygūs vienetui ir yra poromis statmeni, tada Dekarto koordinačių sistema vadinama stačiakampe. Vienos stačiakampės stačiakampės stačiakampės koordinačių sistemos padėtis erdvėje kitos stačiakampės stačiakampės stačiakampės koordinačių sistemos, turinčios tą pačią orientaciją, padėtis nustatoma trimis Eulerio kampais.
Dekarto koordinačių sistema pavadinta R. Dekarto vardu, nors jo veikale „Geometrija“ (1637) buvo nagrinėjama įstrižinė koordinačių sistema, kurioje taškų koordinatės galėjo būti tik teigiamos. 1659-61 metų leidime į Geometriją buvo įtrauktas olandų matematiko I. Gudde darbas, kuriame pirmą kartą tiek teigiami, tiek neigiamos reikšmės koordinates Erdvinę Dekarto koordinačių sistemą įvedė prancūzų matematikas F. Lahire'as (1679). XVIII amžiaus pradžioje buvo nustatytas Dekarto koordinačių žymėjimas x, y, z.
Stačiakampė sistema koordinates plokštumoje sudaro dvi viena kitai statmenos koordinačių ašys X'X ir Y'Y. Koordinačių ašys susikerta taške O, kuris vadinamas pradžios tašku, kiekvienoje ašyje parenkama teigiama kryptis. Teigiama ašių kryptis (dešiniojoje koordinačių sistemoje) parenkama taip, kad pasukus X'X ašį. prieš laikrodžio rodyklę 90°, jo teigiama kryptis sutampa su Y'Y ašies teigiama kryptimi. Keturi kampai (I, II, III, IV), sudaryti iš koordinačių ašių X'X ir Y'Y, vadinami koordinačių kampais (žr. 1 pav.).
Taško A padėtis plokštumoje nustatoma pagal dvi koordinates x ir y. X koordinatė lygi atkarpos OB ilgiui, y koordinatė lygi atkarpos OC ilgiui pasirinktuose matavimo vienetuose. Atkarpas OB ir OC apibrėžia linijos, nubrėžtos iš taško A, lygiagrečios Y'Y ir X'X ašims, atitinkamai. Koordinatė x vadinama taško A abscise, y – taško A ordinate. Rašoma taip: A(x, y).
Jei taškas A yra koordinačių kampe I, tai taškas A turi teigiamą abscisę ir ordinatę. Jei taškas A yra koordinačių kampe II, tai taškas A turi neigiamą abscisę ir teigiamą ordinatę. Jei taškas A yra koordinačių kampe III, tai taškas A turi neigiamą abscisę ir ordinatę. Jei taškas A yra IV koordinačių kampe, tai taškas A turi teigiamą abscisę ir neigiamą ordinatę.
Stačiakampė koordinačių sistema erdvėje sudaro trys viena kitai statmenos koordinačių ašys OX, OY ir OZ. Koordinačių ašys susikerta taške O, kuris vadinamas pradžios tašku, kiekvienoje ašyje pasirenkama teigiama kryptis, pažymėta rodyklėmis, ir ašių segmentų matavimo vienetas. Matavimo vienetai yra vienodi visoms ašims. OX - abscisių ašis, OY - ordinačių ašis, OZ - taikymo ašis. Teigiama ašių kryptis parenkama taip, kad OX ašį pasukus prieš laikrodžio rodyklę 90°, jos teigiama kryptis sutaptų su teigiama OY ašies kryptimi, jei šis sukimasis stebimas iš teigiamos OZ ašies krypties. Tokia koordinačių sistema vadinama dešiniaranke. Jeigu nykštys dešinė ranka imkime X kryptį kaip X kryptį, indeksinę – kaip Y kryptį, o vidurinę – kaip Z kryptį, tada susidaro dešinioji koordinačių sistema. Panašūs kairės rankos pirštai sudaro kairiąją koordinačių sistemą. Neįmanoma sujungti dešinės ir kairės koordinačių sistemų taip, kad atitinkamos ašys sutaptų (žr. 2 pav.).
Taško A padėtis erdvėje nustatoma pagal tris koordinates x, y ir z. Koordinatė x lygi atkarpos OB ilgiui, y koordinatė – atkarpos OC ilgiui, z koordinatė – atkarpos OD ilgiui pasirinktais matavimo vienetais. Atkarpas OB, OC ir OD apibrėžia plokštumos, nubrėžtos iš taško A, lygiagrečios atitinkamai plokštumoms YOZ, XOZ ir XOY. Koordinatė x vadinama taško A abscise, y koordinatė vadinama taško A ordinate, z koordinatė vadinama taško A aplikacija. Rašoma taip: A(a, b, c).
Orty
Stačiakampė koordinačių sistema (bet kokio matmens) taip pat apibūdinama vienetų vektorių rinkiniu, sulygiuotu su koordinačių ašimis. Vienetų vektorių skaičius yra lygus koordinačių sistemos matmeniui ir visi jie yra statmeni vienas kitam.
Trimačiu atveju tokie vienetiniai vektoriai dažniausiai žymimi i j k arba e x e y e z. Be to, tuo atveju teisinga sistema galioja koordinatės sekančias formules su vektorių kryžmine sandauga:
- [i j]=k ;
- [j k]=i ;
- [k i]=j .
Istorija
Stačiakampę koordinačių sistemą pirmą kartą pristatė Rene'as Descartes'as savo darbe „Metodo diskursas“ 1637 m. Todėl stačiakampė koordinačių sistema taip pat vadinama - Dekarto koordinačių sistema. Geometrinių objektų apibūdinimo koordinačių metodas padėjo pagrindą analitinė geometrija. Pierre'as Fermatas taip pat prisidėjo prie koordinačių metodo kūrimo, tačiau jo darbai pirmą kartą buvo paskelbti po jo mirties. Dekartas ir Ferma naudojo koordinačių metodas tik lėktuve.
Koordinačių metodas trimatė erdvė pirmą kartą panaudojo Leonhardas Euleris XVIII a.
taip pat žr
Nuorodos
Wikimedia fondas. 2010 m.
Pažiūrėkite, kas yra „Dekarto koordinačių sistema“ kituose žodynuose:
KARTESINĖ KOORDINAČIŲ SISTEMA, tiesi koordinačių sistema plokštumoje arba erdvėje (dažniausiai su viena kitai statmenomis ašimis ir vienodomis mastelėmis išilgai ašių). Pavadintas R. Dekarto vardu (žr. DESCARTES Rene). Dekartas pirmą kartą pristatė... enciklopedinis žodynas
KARTESIJŲ KOORDINAČIŲ SISTEMA- stačiakampė koordinačių sistema plokštumoje arba erdvėje, kurioje masteliai išilgai ašių yra vienodi, o koordinačių ašys yra viena kitai statmenos. D. s. K. žymimas raidėmis x:, y – taškas plokštumoje arba x, y, z – erdvės taškas. (Cm.… …
KARTESINĖ KOORDINAČIŲ SISTEMA – Rene DESCARTES’o įdiegta sistema, kurioje taško padėtis nustatoma pagal atstumą nuo jo iki tarpusavyje susikertančių tiesių (ašių). Paprasčiausioje sistemos versijoje ašys (žymimos x ir y) yra statmenos.... Mokslinis ir techninis enciklopedinis žodynas
Dekarto koordinačių sistema
Tiesioji koordinačių sistema (žr. Koordinatės) plokštumoje arba erdvėje (dažniausiai su lygiomis mastelėmis išilgai ašių). Pats R. Dekartas „Geometrijoje“ (1637) naudojo tik koordinačių sistemą plokštumoje (bendrai, įstrižoje). Dažnai…… Didžioji sovietinė enciklopedija
Apibrėžčių rinkinys, įgyvendinantis koordinačių metodą, tai yra būdas nustatyti taško ar kūno padėtį naudojant skaičius ar kitus simbolius. Skaičių rinkinys, nustatantis konkretaus taško padėtį, vadinamas šio taško koordinatėmis. ... ... Vikipedijoje
Dekarto sistema- Dekarto koordinačių sistemos statusas T srities fizika atitikmenys: engl. Dekarto sistema; Dekarto koordinačių sistema vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. Dekarto sistema, f; Dekarto sistema... ... Fizikos terminų žodynas
KOORDINAČIŲ SISTEMA- sąlygų rinkinys, lemiantis taško padėtį tiesėje, plokštumoje, erdvėje. Linijinės formos yra įvairios: Dekarto, įstrižinės, cilindrinės, sferinės, kreivinės ir kt. kampines vertes, nustatant pareigas... ... Didžioji politechnikos enciklopedija
Ortonormali tiesioji koordinačių sistema Euklido erdvėje. D.p.s. plokštumoje nurodomos dvi viena kitai statmenos tiesios koordinačių ašys, kurių kiekviena pasirenkama teigiama kryptimi ir vieneto segmentas ... Matematinė enciklopedija
Stačiakampė koordinačių sistema yra tiesi koordinačių sistema su viena kitai statmenomis ašimis plokštumoje arba erdvėje. Paprasčiausia ir todėl dažniausiai naudojama koordinačių sistema. Labai lengvai ir tiesiogiai apibendrinama... ... Vikipedijoje
Knygos
- Skaičiavimo skysčio dinamika. Teorinis pagrindas. Vadovėlis, Pavlovskis Valerijus Aleksejevičius, Nikuščenka Dmitrijus Vladimirovičius. Knyga skirta sistemingam pristatymui teoriniai pagrindai užduočių nustatymui matematinis modeliavimas skysčių ir dujų srautai. Ypatingas dėmesys skirta statybos klausimams...
Norėdami nustatyti taško padėtį erdvėje, naudosime Dekarto stačiakampes koordinates (2 pav.).
Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą erdvėje sudaro trys viena kitai statmenos koordinačių ašys OX, OY, OZ. Koordinačių ašys susikerta taške O, kuris vadinamas pradžios tašku, kiekvienoje ašyje pasirenkama teigiama kryptis, pažymėta rodyklėmis, ir ašių segmentų matavimo vienetas. Matavimo vienetai dažniausiai (nebūtinai) yra vienodi visoms ašims. OX ašis vadinama abscisių ašimi (arba tiesiog abscise), OY ašis yra ordinačių ašis, o OZ ašis yra taikomoji ašis.
Taško A padėtis erdvėje nustatoma pagal tris koordinates x, y ir z. Koordinatė x lygi atkarpos OB ilgiui, y koordinatė – atkarpos OC ilgiui, z koordinatė – atkarpos OD ilgiui pasirinktais matavimo vienetais. Atkarpas OB, OC ir OD apibrėžia plokštumos, nubrėžtos iš taško, lygiagretaus plokštumoms YOZ, XOZ ir XOY, atitinkamai.
Koordinatė x vadinama taško A abscise, y – taško A ordinate, o koordinatė z – taško A aplikacija.
Simboliškai parašyta taip:
arba susiekite koordinačių įrašą su konkretus taškas naudojant indeksą:
x A , y A , z A ,
Kiekviena ašis laikoma skaičių linija, ty turi teigiamą kryptį ir taškai yra ant jų neigiamas spindulys, priskiriamos neigiamos koordinačių reikšmės (atstumas imamas su minuso ženklu). Tai yra, jei, pavyzdžiui, taškas B yra ne kaip paveikslėlyje - ant spindulio OX, o ant jo tęsinio išvirkščia pusė nuo taško O (neigiamoje ašies OX dalyje), tada taško A x abscisė būtų neigiama (atėmus atstumą OB). Taip pat ir kitoms dviem ašims.
Koordinačių ašys OX, OY, OZ, parodytos pav. 2, sudaro dešiniarankę koordinačių sistemą. Tai reiškia, kad jei žiūrėsite į YOZ plokštumą išilgai teigiamos OX ašies krypties, tada OY ašies judėjimas link OZ ašies bus pagal laikrodžio rodyklę. Šią situaciją galima apibūdinti naudojant karkaso taisyklę: jei įvorė (varžtas su dešiniuoju sriegiu) pasukamas kryptimi nuo OY ašies iki OZ ašies, tada jis judės teigiama OX ašies kryptimi.
Vienetinio ilgio vektoriai, nukreipti išilgai koordinačių ašių, vadinami koordinačių vienetų vektoriais. Paprastai jie žymimi kaip 
(3 pav.). Taip pat yra žymėjimas 
Vienetų vektoriai sudaro koordinačių sistemos pagrindą.
Dešiniarankės koordinačių sistemos atveju galioja šios formulės vektoriniai darbai ortovas:
Sutvarkyta dviejų ar trijų susikertančių ašių, statmenų viena kitai, sistema bendra pradžia nuoroda (kilmė) ir vadinamas bendras ilgio vienetas stačiakampė Dekarto koordinačių sistema .
Bendroji Dekarto koordinačių sistema (afininė koordinačių sistema) nebūtinai gali apimti statmenas ašis. garbei prancūzų matematikas Renė Dekartas (1596-1662) įvardijo kaip tik tokią koordinačių sistemą, kurioje visose ašyse matuojamas bendras ilgio vienetas, o ašys yra tiesios.
Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje turi dvi ašis ir stačiakampė Dekarto koordinačių sistema erdvėje - trys ašys. Kiekvienas taškas plokštumoje arba erdvėje apibrėžiamas sutvarkyta koordinačių rinkiniu – skaičiais, atitinkančiais koordinačių sistemos ilgio vienetą.
Atkreipkite dėmesį, kad, kaip matyti iš apibrėžimo, Dekarto koordinačių sistema yra tiesioje linijoje, ty vienoje dimensijoje. Dekarto koordinačių įvedimas tiesėje yra vienas iš būdų, kaip bet kuris linijos taškas susiejamas su tiksliai apibrėžtu realiuoju skaičiumi, ty koordinate.
Rene Descartes'o darbuose atsiradęs koordinačių metodas žymėjo revoliucinį visos matematikos pertvarkymą. Pasidarė įmanoma interpretuoti algebrines lygtis(arba nelygybes) geometrinių vaizdų (grafikų) pavidalu ir, atvirkščiai, ieškoti sprendimo geometrinės problemos naudojant analitines formules ir lygčių sistemas. Taip, nelygybė z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy ir esantis virš šios plokštumos 3 vnt.
Naudojant Dekarto koordinačių sistemą, taško priklausomybė duotoje kreivėje atitinka tai, kad skaičiai x Ir y patenkinti kokią nors lygtį. Taigi, apskritimo taško, kurio centras yra taško, koordinatės duotas taškas (a; b) tenkina lygtį (x - a)² + ( y - b)² = R² .
Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje
Plokštumoje susidaro dvi statmenos ašys, turinčios bendrą pradžią ir tą patį mastelio vienetą Dekarto stačiakampio koordinačių sistema plokštumoje . Viena iš šių ašių vadinama ašimi Jautis, arba x ašis , kita - ašis Oy, arba y ašis . Šios ašys taip pat vadinamos koordinačių ašimis. Pažymėkime pagal Mx Ir My atitinkamai savavališko taško projekcija M ant ašies Jautis Ir Oy. Kaip gauti prognozes? Pereikime per tašką M Jautis. Ši tiesi linija kerta ašį Jautis taške Mx. Pereikime per tašką M tiesi linija, statmena ašiai Oy. Ši tiesi linija kerta ašį Oy taške My. Tai parodyta paveikslėlyje žemiau.
x Ir y taškų M atitinkamai pavadinsime nukreiptų segmentų reikšmes OMx Ir OMy. Šių nukreiptų segmentų vertės apskaičiuojamos atitinkamai kaip x = x0 - 0 Ir y = y0 - 0 . Dekarto koordinatės x Ir y taškų M abscisė Ir ordinatės . Faktas, kad taškas M turi koordinates x Ir y, žymimas taip: M(x, y) .
Koordinačių ašys padalija plokštumą į keturias kvadrantas , kurių numeracija parodyta paveikslėlyje žemiau. Tai taip pat rodo taškų koordinačių ženklų išdėstymą, atsižvelgiant į jų vietą tam tikrame kvadrante.
Be Dekarto stačiakampių koordinačių plokštumoje, dažnai atsižvelgiama ir į polinių koordinačių sistemą. Apie perėjimo iš vienos koordinačių sistemos į kitą būdą – pamokoje poliarinė koordinačių sistema .
Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema erdvėje
Dekarto koordinatės erdvėje įvedamos visiškai analogiškai su Dekarto koordinatėmis plokštumoje.
Trys viena kitai statmenos ašys erdvėje ( koordinačių ašys) su bendra pradžia O ir su tuo pačiu mastelio vienetu jie sudaro Dekarto stačiakampė koordinačių sistema erdvėje .
Viena iš šių ašių vadinama ašimi Jautis, arba x ašis , kita - ašis Oy, arba y ašis , trečioji – ašis Ozas, arba ašis taikyti . Leisti Mx, My Mz- savavališko taško projekcijos M erdvė ant ašies Jautis , Oy Ir Ozas atitinkamai.
Pereikime per tašką M JautisJautis taške Mx. Pereikime per tašką M plokštuma, statmena ašiai Oy. Ši plokštuma kerta ašį Oy taške My. Pereikime per tašką M plokštuma, statmena ašiai Ozas. Ši plokštuma kerta ašį Ozas taške Mz.
Dekarto stačiakampės koordinatės x , y Ir z taškų M atitinkamai pavadinsime nukreiptų segmentų reikšmes OMx, OMy Ir OMz. Šių nukreiptų segmentų vertės apskaičiuojamos atitinkamai kaip x = x0 - 0 , y = y0 - 0 Ir z = z0 - 0 .
Dekarto koordinatės x , y Ir z taškų M atitinkamai vadinami abscisė , ordinatės Ir kreiptis .
Koordinačių ašys, paimtos poromis, yra koordinačių plokštumose xOy , yOz Ir zOx .
Dekarto koordinačių sistemos taškų uždaviniai
1 pavyzdys.
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Raskite šių taškų projekcijų į abscisių ašį koordinates.
Sprendimas. Kaip matyti iš teorinės šios pamokos dalies, taško projekcija į abscisių ašį yra pačioje abscisių ašyje, ty ašyje Jautis, todėl turi abscisę, lygią paties taško abscisei, ir ordinatę (ašies koordinatę Oy, kurią x ašis kerta taške 0), lygus nuliui. Taigi gauname šias x ašies taškų koordinates:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx (-5; 0).
2 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Raskite šių taškų projekcijų koordinates į ordinačių ašį.
Sprendimas. Kaip matyti iš šios pamokos teorinės dalies, taško projekcija į ordinačių ašį yra pačioje ordinačių ašyje, ty ašyje Oy, todėl turi ordinatę, lygią paties taško ordinatei, ir abscisę (ašies koordinatę Jautis, kurią ordinačių ašis kerta taške 0), kuris yra lygus nuliui. Taigi gauname šias koordinačių ašies taškų koordinates:
Ay(0;2);
By(0;1);
Cy(0;-2).
3 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Jautis .
Jautis Jautis Jautis, turės tokią pat abscisę kaip duotas taškas, o ordinatė lygi absoliučioji vertė duoto taško ordinatė ir jos priešingas ženklas. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas šiems taškams ašies atžvilgiu Jautis :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Pats spręskite uždavinius naudodami Dekarto koordinačių sistemą, o tada peržiūrėkite sprendimus
4 pavyzdys. Nustatykite, kuriuose kvadrantuose (ketvirčiai, brėžinys su kvadrantais - pastraipos „Stačiakampė Dekarto koordinačių sistema plokštumoje“ pabaigoje) gali būti taškas M(x; y) , Jei
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
5 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Raskite taškų, simetriškų šiems taškams, koordinates ašies atžvilgiu Oy .
Ir toliau spręskime problemas kartu
6 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Raskite taškų, simetriškų šiems taškams, koordinates ašies atžvilgiu Oy .
Sprendimas. Pasukite 180 laipsnių aplink ašį Oy kryptinis segmentas nuo ašies Oy iki šios vietos. Paveikslėlyje, kur nurodyti plokštumos kvadrantai, matome, kad taškas yra simetriškas duotajam ašies atžvilgiu Oy, turės tą pačią ordinatę, kaip ir duotasis taškas, o abscisė absoliučia reikšme lygi nurodyto taško abscisei ir priešinga pagal ženklą. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas šiems taškams ašies atžvilgiu Oy :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
7 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami plokštumoje
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Raskite taškų koordinates, simetriškas šiems taškams, atsižvelgiant į pradinę padėtį.
Sprendimas. Nukreiptą segmentą, einantį nuo pradžios iki nurodyto taško, pasukame 180 laipsnių kampu aplink pradinę vietą. Paveikslėlyje, kur nurodyti plokštumos kvadrantai, matome, kad taškas, simetriškas nurodytam taškui koordinačių pradžios atžvilgiu, turės abscisę ir ordinatę pagal absoliučią vertę duotojo taško abscisei ir ordinatėms, tačiau priešingas ženklu. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas šiems taškams, atsižvelgiant į pradinę padėtį:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
8 pavyzdys.
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Raskite šių taškų projekcijų koordinates:
1) lėktuve Oxy ;
2) lėktuve Oxz ;
3) į lėktuvą Oyz ;
4) ant abscisių ašies;
5) ordinačių ašyje;
6) ant taikymo ašies.
1) Taško projekcija į plokštumą Oxy yra pačioje šioje plokštumoje, todėl turi abscisę ir ordinatę, lygią tam tikro taško abscisei ir ordinatėms, o aplikaciją lygi nuliui. Taigi gauname šias šių taškų projekcijų koordinates Oxy :
Axy (4; 3; 0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Taško projekcija į plokštumą Oxz yra pačioje šioje plokštumoje, todėl turi abscisę ir aplikaciją, lygią tam tikro taško abscisei ir aplikacijai, o ordinatę lygi nuliui. Taigi gauname šias šių taškų projekcijų koordinates Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz (2; 0; 0).
3) Taško projekcija į plokštumą Oyz yra pačioje šioje plokštumoje, todėl turi ordinatę ir taikymą, lygią tam tikro taško ordinatėms ir taikymui, o abscisę lygi nuliui. Taigi gauname šias šių taškų projekcijų koordinates Oyz :
Ayz(0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz (0; -3; 0).
4) Kaip matyti iš šios pamokos teorinės dalies, taško projekcija į abscisių ašį yra pačioje abscisių ašyje, ty ašyje Jautis, todėl turi abscisę, lygią paties taško abscisei, o projekcijos ordinatė ir aplikacija yra lygios nuliui (kadangi ordinatės ir aplikacinės ašys kerta abscises taške 0). Gauname šias šių taškų projekcijų į abscisių ašį koordinates:
Ax (4; 0; 0);
Bx (-3; 0; 0);
Cx(2;0;0).
5) taško projekcija į ordinačių ašį yra pačioje ordinačių ašyje, ty ašyje Oy, todėl turi ordinatę, lygią paties taško ordinatėms, o projekcijos abscisė ir aplikacija yra lygios nuliui (nes abscisės ir aplikacinės ašys kerta ordinačių ašį taške 0). Gauname šias šių taškų projekcijų koordinates į ordinačių ašį:
Ay(0; 3; 0);
By (0; 2; 0);
Cy(0;-3;0).
6) taško projekcija į taikymo ašį yra pačioje taikymo ašyje, ty ašyje Ozas, todėl turi aplikaciją, lygią paties taško aplikacijai, o projekcijos abscisė ir ordinatė lygios nuliui (kadangi abscisių ir ordinačių ašys kerta aplikacijos ašį taške 0). Gauname šias šių taškų projekcijų į taikomąją ašį koordinates:
Az (0; 0; 5);
Bz (0; 0; 1);
Cz(0; 0; 0).
9 pavyzdys. Dekarto koordinačių sistemoje taškai pateikiami erdvėje
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Raskite taškų koordinates, simetriškas šiems taškams, atsižvelgiant į:
1) lėktuvas Oxy ;
2) lėktuvai Oxz ;
3) lėktuvai Oyz ;
4) abscisių ašys;
5) ordinačių ašys;
6) pritaikyti ašis;
7) koordinačių kilmė.
1) „Perkelkite“ tašką kitoje ašies pusėje Oxy Oxy, turės abscisę ir ordinatę, lygią tam tikro taško abscisei ir ordinatėms, o aplikaciją, kurios dydis yra lygus duoto taško aplikacijai, bet priešingą ženklu. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims plokštumos atžvilgiu Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) „Perkelkite“ tašką kitoje ašies pusėje Oxzį tą patį atstumą. Iš paveikslo, kuriame pavaizduota koordinačių erdvė, matome, kad taškas yra simetriškas nurodytam taškui ašies atžvilgiu Oxz, turės abscisę ir aplikaciją, lygią duoto taško abscisei ir aplikacijai, o ordinatę, kurios dydis yra lygus tam tikro taško ordinatėms, bet priešingą ženklu. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims plokštumos atžvilgiu Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) „Perkelti“ tašką kitoje ašies pusėje Oyzį tą patį atstumą. Iš paveikslo, kuriame pavaizduota koordinačių erdvė, matome, kad taškas yra simetriškas nurodytam taškui ašies atžvilgiu Oyz, turės ordinatę ir aplikatą, lygią duoto taško ordinatėms ir aplicatui, o abscisę savo reikšme lygi duoto taško abscisei, bet priešingą ženklu. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims plokštumos atžvilgiu Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Pagal analogiją su simetriški taškai plokštumoje ir erdvės taškuose, simetriškuose duomenims plokštumų atžvilgiu, pažymime, kad esant simetrijai tam tikros Dekarto koordinačių sistemos erdvėje ašies atžvilgiu, koordinatė ašyje, kurios atžvilgiu duota simetrija išsaugos savo ženklą, o kitų dviejų ašių koordinatės absoliučiais skaičiais bus tokios pačios kaip nurodyto taško koordinatės, bet priešingos pagal ženklą.
4) Abscisė išsaugos savo ženklą, tačiau ordinatė ir aplikacija pakeis ženklus. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas duomenims abscisių ašies atžvilgiu:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordinata išsaugos savo ženklą, tačiau abscisė ir aplikacija pakeis ženklus. Taigi gauname šias taškų koordinates, simetriškas duomenims, palyginti su ordinačių ašimi:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Aplikacija išsaugos savo ženklą, tačiau abscisė ir ordinatė pakeis ženklus. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims taikomosios ašies atžvilgiu:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Analogiškai su simetrija, kai taškai yra plokštumoje, kai yra simetrija apie koordinačių pradžią, visos taško koordinatės, simetriškos tam tikram taškui, absoliučia verte bus lygios tam tikro taško koordinatėms, bet priešingo ženklo. Taigi gauname tokias taškų koordinates, simetriškas duomenims, palyginti su kilme.
