Redukcijos formulės yra ryšiai, leidžiantys pereiti nuo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento su kampais `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` į tas pačias kampo `\alpha` funkcijas, kurios yra pirmajame vieneto apskritimo ketvirtyje. Taigi mažinimo formulės „veda“ mus prie darbo su kampais nuo 0 iki 90 laipsnių, o tai yra labai patogu.
Iš viso yra 32 redukcijos formulės. Jie neabejotinai pravers per vieningą valstybinį egzaminą, egzaminus ir testus. Tačiau iš karto perspėsime, kad nereikia jų įsiminti! Turite praleisti šiek tiek laiko ir suprasti jų taikymo algoritmą, tada jums tai nebus sunku tinkamas momentas gauti reikiamą lygybę.
Pirmiausia užsirašykime visas redukcijos formules:
Kampui (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) arba (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha
Kampui (`\pi \pm \alpha`) arba (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha
Jei kampas (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) arba (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha
Kampui (`2\pi \pm \alpha`) arba (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha
Redukcijos formules dažnai galite rasti lentelės pavidalu, kur kampai parašyti radianais:
Norėdami jį naudoti, turime pasirinkti eilutę su reikalinga funkcija ir stulpelį su norimu argumentu. Pavyzdžiui, norint su lentele sužinoti, kam bus lygus ` sin(\pi + \alpha)`, pakanka rasti atsakymą eilutės ` sin \beta` ir stulpelio ` \pi + sankirtoje. \alfa. Gauname ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
Ir antroji, panaši lentelė, kurioje kampai rašomi laipsniais:
Mnemoninė redukcinių formulių taisyklė arba kaip jas atsiminti
Kaip jau minėjome, visų minėtų santykių nereikia įsiminti. Jei atidžiai pažvelgėte į juos, tikriausiai pastebėjote keletą modelių. Jie leidžia suformuluoti mnemoninę taisyklę (mnemoninę – prisiminti), kurios pagalba nesunkiai gauname bet kokią redukcijos formulę.
Iš karto atkreipkime dėmesį, kad norint taikyti šią taisyklę, reikia gerai atpažinti (arba atsiminti) ženklus trigonometrinės funkcijos skirtinguose vieneto rato ketvirčiuose. 
Pati vakcina susideda iš 3 etapų:
- Funkcijos argumentas turi būti pateiktas kaip \frac (\pi)2 \pm \alpha, \pi \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha, 2\pi \ pm \alpha“ ir „\alpha“ būtina aštrus kampas(nuo 0 iki 90 laipsnių).
- Argumentams \frac (\pi)2 \pm \alpha, \frac (3\pi)2 \pm \alpha transformuotos išraiškos trigonometrinė funkcija pasikeičia į kofunkciją, tai yra priešinga (sinusas kosinusui, kotangentui ir atvirkščiai). Argumentams „\pi \pm \alpha“, „2\pi \pm \alpha“ funkcija nesikeičia.
- Nustatomas pradinės funkcijos ženklas. Dešinėje pusėje gauta funkcija turės tą patį ženklą.
Norėdami pamatyti, kaip šią taisyklę galima pritaikyti praktiškai, paverskime keletą išraiškų:
1. „cos(\pi + \alpha)“.
Funkcija nekeičiama. Kampas `\pi + \alpha` yra trečiajame ketvirtyje, kosinusas šiame ketvirtyje turi „-“ ženklą, todėl transformuota funkcija taip pat turės „-“ ženklą.
Atsakymas: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)'.
Pagal mnemoninę taisyklę funkcija bus atvirkštinė. Kampas `\frac (3\pi)2 - \alpha` yra trečiame ketvirtyje, sinusas čia turi „-“ ženklą, todėl rezultatas taip pat turės „-“ ženklą.
Atsakymas: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. „cos(\frac (7\pi)2 – \alpha)“.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))". Pavaizduokime „3\pi“ kaip „2\pi+\pi“. „2\pi“ yra funkcijos laikotarpis.
Svarbu: funkcijų „cos \alpha“ ir „sin \alpha“ laikotarpis yra „2\pi“ arba „360^\circ“, jų reikšmės nepasikeis, jei argumentas bus padidintas arba sumažintas šiomis reikšmėmis.
Remiantis tuo, mūsų išraišką galima parašyti taip: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Du kartus pritaikę mnemoninę taisyklę, gauname: `cos (\pi+(\frac(\) pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Atsakymas: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha.
Arklio taisyklė
Antrasis aukščiau aprašytos mnemoninės taisyklės punktas dar vadinamas redukcijos formulių arklio taisykle. Įdomu, kodėl arkliai?
Taigi, turime funkcijas su argumentais „\frac (\pi)2 \pm \alpha”, „\pi \pm \alpha”, „\frac (3\pi)2 \pm \alpha”, „2\pi \ pm \alpha, taškai \frac (\pi)2, \pi, \frac (3\pi)2, 2\pi yra raktai, jie yra koordinačių ašyse. „\pi“ ir „2\pi“ įjungti horizontalioji ašis abscisė ir „\frac (\pi)2“ ir „\frac (3\pi)2“ įjungta vertikali ašis ordinatės
Užduodame sau klausimą: „Ar funkcija virsta kofunkcija? Norėdami atsakyti į šį klausimą, turite pasukti galvą išilgai ašies, kurioje yra pagrindinis taškas.
Tai yra, į argumentus, kurių pagrindiniai taškai yra horizontalioje ašyje, atsakome „ne“ purtydami galvas į šonus. O į kampus, kurių pagrindiniai taškai yra vertikalioje ašyje, atsakome „taip“ linksėdami galvą iš viršaus į apačią, kaip arklys :)
Rekomenduojame žiūrėti vaizdo pamoką, kurioje autorius išsamiai paaiškina, kaip atsiminti mažinimo formules jų neįsiminti.
Praktiniai redukcijos formulių naudojimo pavyzdžiai
Sumažinimo formulės pradedamos naudoti 9 ir 10 klasėse. Daug problemų naudojant juos buvo pateikta vieningam valstybiniam egzaminui. Štai keletas problemų, dėl kurių turėsite taikyti šias formules:
- uždaviniai stačiajam trikampiui išspręsti;
- skaitmeninės ir abėcėlės konvertavimas trigonometrinės išraiškos, jų verčių apskaičiavimas;
- stereometrines užduotis.
1 pavyzdys. Apskaičiuokite naudodami redukcijos formules a) „sin 600^\circ“, b) „tg 480^\circ“, c) „cos 330^\circ“, d) „sin 240^\circ“.
Sprendimas: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) „tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3“;
c) „cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2“;
d) „sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2“.
2 pavyzdys. Išreiškę kosinusą per sinusą, naudodami redukcijos formules, palyginkite skaičius: 1) „sin \frac (9\pi)8“ ir „cos \frac (9\pi)8“; 2) „sin \frac (\pi)8“ ir „cos \frac (3\pi)10“.
Sprendimas: 1)`sin \frac (9\pi)8 = sin (\pi+\frac (\pi)8) = -sin \frac (\pi)8
„cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8“
„-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8“.
„sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8“.
2) „cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5) = sin \frac (\pi)5“
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Pirmiausia įrodykime dvi argumento `\frac (\pi)2 + \alpha sinuso ir kosinuso formules: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` ir ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Likusi dalis yra kilusi iš jų. Paimkime vieneto ratas o ant jo taškas A su koordinatėmis (1,0). Leiskite atsivertę Iš tangento ir kotangento apibrėžimo gauname ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\) pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` ir ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\) frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, kuris įrodo kampo liestinės ir kotangento redukcijos formulės `\frac (\pi)2 + \alpha. Norint įrodyti formules su argumentu `\frac (\pi)2 - \alpha`, pakanka pateikti ją kaip `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` ir eiti tuo pačiu keliu, kaip nurodyta aukščiau. Pavyzdžiui, „cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)“. Kampai `\pi + \alpha` ir `\pi - \alpha` gali būti pavaizduoti kaip `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` ir `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` atitinkamai. Ir „\frac (3\pi)2 + \alpha“ ir „\frac (3\pi)2 - \alpha“ kaip „\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)“ ir „\pi“ +(\frac (\pi)2-\alpha)`. Trigonometrija. Sumažinimo formulių nereikia mokyti; Suprasti jų išvedimo algoritmą. Tai labai lengva! Paimkime vienetinį apskritimą ir ant jo uždėkime visus laipsnius (0°; 90°; 180°; 270°; 360°). Išanalizuokime funkcijas sin(a) ir cos(a) kiekviename ketvirtyje. Atminkite, kad mes žiūrime į sin(a) funkciją išilgai Y ašies, o funkciją cos(a) – išilgai X ašies. Pirmajame ketvirtyje aišku, kad funkcija sin(a)>0 Antrajame ketvirtyje aišku, kad funkcija sin(a)>0, nes Y ašis šį ketvirtį yra teigiama. Trečiajame ketvirtyje aišku, kad funkcijos nuodėmė (a) Trečiąjį ketvirtį galima apibūdinti laipsniais, pvz., (180+α) arba (270-α).
Ketvirtajame ketvirtyje aišku, kad funkcija sin(a), nes Y ašis šiame ketvirtyje yra neigiama. Dabar pažvelkime į pačias redukcijos formules. Prisiminkime paprastą algoritmas: Taigi mes pradėsime analizuoti šį algoritmą ketvirčiais. Sužinokite, kam bus lygi išraiška cos(90-α). Sužinok, kam bus lygi sin(90-α) išraiška Sužinok, kam bus lygi išraiška cos(360+α). Sužinok, kam bus lygi sin(360+α) išraiška Sužinok, kam bus lygi išraiška cos(90+α). Sužinok, kam bus lygi sin(90+α) išraiška Sužinokite, kam bus lygi išraiška cos(180-α). Sužinok, kam bus lygi sin(180-α) išraiška Aš kalbu apie trečią ir ketvirtą ketvirčius, sudarykime lentelę panašiai: Prenumeruoti į kanalą YOUTUBE ir žiūrėkite vaizdo įrašą, ruoškitės matematikos ir geometrijos egzaminams su mumis. Kaip atsiminti trigonometrinių funkcijų mažinimo formules? Tai lengva, jei naudojate asociaciją. Šią asociaciją sugalvojau ne aš. Kaip jau minėta, gera asociacija turėtų „pagauti“, tai yra sukelti šviesios emocijos. Šios asociacijos sukeltų emocijų negaliu pavadinti teigiamomis. Bet tai duoda rezultatą – leidžia atsiminti redukcijos formules, vadinasi, turi teisę egzistuoti. Galų gale, jei jums tai nepatinka, jūs neturite jo naudoti, tiesa? Redukcijos formulės turi tokią formą: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Atminkite, kad +α suteikia judėjimą prieš laikrodžio rodyklę, - α – judėjimą pagal laikrodžio rodyklę. Norėdami dirbti su redukcijos formulėmis, jums reikia dviejų punktų: 1) padėkite ženklą, kuris turi pradinė funkcija(vadovėliuose rašo: redukuojamas. Bet kad nesusipainiotų, geriau vadinti inicialais), jei α laikysime pirmojo ketvirčio kampu, tai yra mažu. 2) Horizontalus skersmuo - π±α, 2π±α, 3π±α... - apskritai, kai nėra trupmenos, funkcijos pavadinimas nesikeičia. Vertikalus π/2±α, 3π/2±α, 5π/2±α... - kai yra trupmena, keičiasi funkcijos pavadinimas: sinusas - į kosinusą, kosinusas - į sinusą, tangentas - į kotangentą ir kotangentas – į liestinę. Dabar iš tikrųjų asociacija: vertikalus skersmuo (yra dalis) - stovi girtas. Kas jam nutiks anksti? ar jau per vėlu? Tai va, nukris. Pasikeis funkcijos pavadinimas. Jei skersmuo horizontalus, girtas jau guli. Jis tikriausiai miega. Jam nieko nenutiks, jis jau sutiko horizontali padėtis. Atitinkamai, funkcijos pavadinimas nesikeičia. Tai yra, nuodėmė (π/2±α), nuodėmė (3π/2±α), nuodėmė (5π/2±α) ir kt. duoti ± cosα, ir nuodėmė (π±α), nuodėmė (2π±α), nuodėmė (3π±α), … - ±sinα. Mes jau žinome, kaip. Kaip tai veikia? Pažiūrėkime į pavyzdžius. 1) cos(π/2+α)=? Mes tampame π/2. Kadangi +α reiškia, kad einame į priekį, prieš laikrodžio rodyklę. Atsiduriame antrajame ketvirtyje, kur kosinusas turi „-“ ženklą. Pasikeičia funkcijos pavadinimas ("girtas žmogus stovi", vadinasi, kris). Taigi, cos(π/2+α)=-sin α. Pereikime prie 2π. Kadangi -α - einame atgal, tai yra pagal laikrodžio rodyklę. Atsiduriame IV ketvirtyje, kur liestinė turi „-“ ženklą. Funkcijos pavadinimas nesikeičia (skersmuo horizontalus, „girtas jau guli“). Taigi tan(2π-α)=- tanα. 3) ctg²(3π/2-α)=? Pavyzdžius, kai funkcija pakeliama iki lygiosios galios, išspręsti dar paprasčiau. Lyginis laipsnis „-“ jį pašalina, tai yra, tereikia išsiaiškinti, ar funkcijos pavadinimas pasikeičia, ar išlieka. Skersmuo vertikalus (yra trupmena, „stovi girtas“, kris), keičiasi funkcijos pavadinimas. Gauname: ctg²(3π/2-α)= tan²α. Yra dvi redukcijos formulių naudojimo taisyklės. 1. Jei kampas gali būti pavaizduotas kaip (π/2 ±a) arba (3*π/2 ±a), tada keičiasi funkcijos pavadinimas nuodėmės į cos, cos į nuodėmę, tg į ctg, ctg į tg. Jei kampas gali būti pavaizduotas forma (π ±a) arba (2*π ±a), tada Funkcijos pavadinimas lieka nepakitęs. Pažiūrėkite į žemiau esantį paveikslėlį, kuriame schematiškai parodyta, kada reikia pakeisti ženklą, o kada ne. 2. Taisyklė „koks buvai, toks ir išliksi“. Sumažėjusios funkcijos ženklas išlieka toks pat. Jei pradinė funkcija turėjo pliuso ženklą, tai sumažinta funkcija taip pat turi pliuso ženklą. Jei pradinė funkcija turėjo minuso ženklą, tai sumažinta funkcija taip pat turi minuso ženklą. Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduoti pagrindinių trigonometrinių funkcijų ženklai, priklausomai nuo ketvirčio. Apskaičiuokite nuodėmę (150˚) Naudokime redukcijos formules: Sin(150˚) yra antrame ketvirtyje, matome, kad nuodėmės ženklas šiame ketvirtyje yra lygus +. Tai reiškia, kad nurodyta funkcija taip pat turės pliuso ženklą. Pritaikėme antrąją taisyklę. Dabar 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ yra π/2. Tai yra, mes susiduriame su atveju π/2+60, todėl pagal pirmąją taisyklę keičiame funkciją iš sin į cos. Dėl to gauname Sin(150˚) = cos(60˚) = ½. Jei pageidaujama, visas redukcijos formules galima apibendrinti vienoje lentelėje. Tačiau vis tiek lengviau atsiminti šias dvi taisykles ir jomis naudotis. Šis straipsnis skirtas išsamus tyrimas trigonometrines formules vaiduokliai Danas visas sąrašas pateiktos redukcinės formulės, jų panaudojimo pavyzdžiai, pateikti formulių teisingumo įrodymai. Straipsnyje taip pat pateikiama mnemoninė taisyklė, leidžianti išvesti redukcijos formules neįsiminus kiekvienos formulės. Yandex.RTB R-A-339285-1 Redukcijos formulės leidžia sumažinti pagrindines savavališko dydžio kampų trigonometrines funkcijas iki kampų, esančių diapazone nuo 0 iki 90 laipsnių (nuo 0 iki π 2 radianų). Darbas su kampais nuo 0 iki 90 laipsnių yra daug patogiau nei dirbti su savavališkai didelės vertybės, todėl sprendžiant trigonometrijos uždavinius plačiai naudojamos redukcijos formulės. Prieš užrašydami pačias formules, išsiaiškinkime keletą svarbių supratimo punktų. Dabar pereikime tiesiai prie redukcijos formulių. Sumažinimo formulės leidžia pereiti nuo darbo su savavališkai ir savavališkai dideli kampai dirbti su kampais nuo 0 iki 90 laipsnių. Visas formules surašykime lentelės forma. Sumažinimo formulės nuodėm cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos π , 2 α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z =, cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z , co sin π + α + 2 π z π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z, = α sin α + 2 π z + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 ϱ 2 - α = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α IN tokiu atveju formulės rašomos radianais. Tačiau juos taip pat galite rašyti naudodami laipsnius. Pakanka tik radianus paversti laipsniais, π pakeičiant 180 laipsnių. Parodysime, kaip naudoti redukcijos formules ir kaip šios formulės naudojamos sprendžiant praktinius pavyzdžius. Kampas po trigonometrinės funkcijos ženklu gali būti pavaizduotas ne vienu, o įvairiais būdais. Pavyzdžiui, trigonometrinės funkcijos argumentą galima pavaizduoti forma ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Parodykime tai. Paimkime kampą α = 16 π 3. Šį kampą galima parašyti taip: α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π Priklausomai nuo naudojamo kampo vaizdavimo atitinkama formulė vaiduokliai Paimkime tą patį kampą α = 16 π 3 ir apskaičiuokime jo liestinę 1 pavyzdys: redukcijos formulių naudojimas α = 16 π 3, t g α = ? Kampą α = 16 π 3 pavaizduokime kaip α = π + π 3 + 2 π 2 Šis kampo vaizdas atitiks sumažinimo formulę t g (π + α + 2 π z) = t g α t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3 Naudodamiesi lentele nurodome liestinės reikšmę Dabar naudojame kitą kampo α = 16 π 3 vaizdą. 2 pavyzdys: redukcijos formulių naudojimas α = 16 π 3, t g α = ? α = – 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3 Galiausiai, trečiajam kampo vaizdui rašome 3 pavyzdys. Redukcijos formulių naudojimas α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π 3 π = c 6 g ) Dabar pateiksime sudėtingesnių redukcijos formulių naudojimo pavyzdį 4 pavyzdys. Redukcijos formulių naudojimas Įsivaizduokime nuodėmę 197° per smailiojo kampo sinusą ir kosinusą. Kad galėtumėte taikyti redukcijos formules, vienoje iš formų turite pavaizduoti kampą α = 197 ° ± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Pagal problemos sąlygas kampas turi būti aštrus. Atitinkamai, mes turime du būdus tai pavaizduoti: 197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73° Mes gauname sin 197° = nuodėmė (180° + 17°) nuodėmė 197° = nuodėmė (270° - 73°) Dabar pažvelkime į sinusų mažinimo formules ir išsirinksime tinkamas sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 ° Redukcijos formulių yra daug, ir, laimei, nereikia jų įsiminti. Yra dėsningumų, pagal kuriuos galima išvesti redukcijos formules skirtingi kampai ir trigonometrines funkcijas. Šie modeliai vadinami mnemoninėmis taisyklėmis. Mnemonika yra įsiminimo menas. Mnemoninę taisyklę sudaro trys dalys arba trys etapai. Mnemoninė taisyklė 1. Pradinės funkcijos argumentas pateikiamas viena iš šių formų: ± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz Kampas α turi būti nuo 0 iki 90 laipsnių. 2. Nustatomas pradinės trigonometrinės funkcijos ženklas. Dešinėje formulės pusėje parašyta funkcija turės tą patį ženklą. 3. Kampams ± α + 2 πz ir π ± α + 2 πz pradinės funkcijos pavadinimas išlieka nepakitęs, o kampams π 2 ± α + 2 πz ir 3 π 2 ± α + 2 πz atitinkamai keičiasi į „kofunkcija“. Sinusas – kosinusas. Tangentas – kotangentas. Norėdami naudoti redukcijos formulių mnemoninį vadovą, turite mokėti nustatyti trigonometrinių funkcijų požymius pagal vieneto apskritimo ketvirčius. Pažvelkime į mnemoninės taisyklės naudojimo pavyzdžius. 1 pavyzdys: mnemoninės taisyklės naudojimas Užrašykime cos π 2 - α + 2 πz ir t g π - α + 2 πz redukcijos formules. α yra pirmojo ketvirčio žurnalas. 1. Kadangi pagal sąlygą α yra pirmojo ketvirčio log, praleidžiame pirmąjį taisyklės tašką. 2. Apibrėžkite ženklus cos funkcijasπ 2 - α + 2 πz ir t g π - α + 2 πz. Kampas π 2 - α + 2 πz taip pat yra pirmojo ketvirčio kampas, o kampas π - α + 2 πz yra antrajame ketvirtyje. Pirmajame ketvirtyje kosinuso funkcija yra teigiama, o antrojo ketvirčio liestinė turi minuso ženklą. Užsirašykime, kaip šiame etape atrodys reikalingos formulės. cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = - 3. Pagal trečiąjį tašką kampui π 2 - α + 2 π funkcijos pavadinimas pasikeičia į Konfucijus, o kampui π - α + 2 πz išlieka toks pat. Užsirašykime: cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α Dabar pažvelkime į aukščiau pateiktas formules ir įsitikinkite, kad mnemoninė taisyklė veikia. Pažiūrėkime į pavyzdį, kurio specifinis kampas α = 777°. Sumažinkime sinuso alfa iki smailiojo kampo trigonometrinės funkcijos. 2 pavyzdys: mnemoninės taisyklės naudojimas 1. Įsivaizduokite kampą α = 777 ° reikiama forma 777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2 2. Pradinis kampas yra pirmojo ketvirčio kampas. Tai reiškia, kad kampo sinusas turi teigiamas ženklas. Dėl to turime: 3. sin 777° = sin (57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = nuodėmė (90° - 33° + 360° 2) = cos 33° Dabar pažiūrėkime į pavyzdį, rodantį, kaip svarbu teisingai nustatyti trigonometrinės funkcijos ženklą ir teisingai pavaizduoti kampą naudojant mnemoninę taisyklę. Pakartokime dar kartą. Svarbu! Kampas α turi būti smailus! Apskaičiuokime kampo 5 π 3 liestinę. Iš pagrindinių trigonometrinių funkcijų verčių lentelės galite iš karto paimti reikšmę t g 5 π 3 = - 3, tačiau taikysime mnemoninę taisyklę. 3 pavyzdys: mnemoninės taisyklės naudojimas Įsivaizduokime kampą α = 5 π 3 reikiama forma ir naudokimės taisykle t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3 Jei alfa kampą vaizduosime forma 5 π 3 = π + 2 π 3, tada mnemoninės taisyklės taikymo rezultatas bus neteisingas. t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3 Neteisingas rezultatas atsiranda dėl to, kad kampas 2 π 3 nėra smailus. Redukcijos formulių įrodymas grindžiamas trigonometrinių funkcijų periodiškumo ir simetrijos savybėmis, taip pat poslinkio kampais π 2 ir 3 π 2 savybe. Visų redukcijos formulių pagrįstumo įrodymas gali būti atliktas neatsižvelgiant į terminą 2 πz, nes jis žymi kampo pasikeitimą sveikuoju skaičiumi pilnos revoliucijos ir tiksliai atspindi periodiškumo savybę. Pirmosios 16 formulių tiesiogiai išplaukia iš pagrindinių trigonometrinių funkcijų savybių: sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. Čia yra sinusų ir kosinusų redukcijos formulių įrodymas sin π 2 + α = cos α ir cos π 2 + α = - sin α Pažiūrėkime į vieneto ratą, atspirties taškas kuris po pasukimo kampu α nuėjo į tašką A 1 x, y, o pasukus kampu π 2 + α - į tašką A 2. Iš abiejų taškų brėžiame statmenas abscisių ašiai. Du taisyklingas trikampis O A 1 H 1 ir O A 2 H 2 yra lygūs hipotenuzėje ir gretimuose kampuose. Iš taškų išsidėstymo apskritime ir trikampių lygybės galime daryti išvadą, kad taškas A 2 turi koordinates A 2 - y, x. Naudodamiesi sinuso ir kosinuso apibrėžimais, rašome: sin α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y sin π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α Atsižvelgdami į pagrindines trigonometrijos tapatybes ir tai, kas ką tik buvo įrodyta, galime rašyti t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - α α = cos t g α Norint įrodyti redukcijos formules su argumentu π 2 - α, ji turi būti pateikta forma π 2 + (- α). Pavyzdžiui: cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α Įrodyme naudojamos trigonometrinių funkcijų savybės su priešingų ženklų argumentais. Visos kitos redukcijos formulės gali būti įrodytos remiantis aukščiau parašytomis formulėmis. Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
kampas „\alpha“ pateks į tašką „A_1(x, y)“, o pasukus kampu „\frac (\pi)2 + \alpha“ į tašką „A_2(-y, x)“. Numetę statmenus iš šių taškų į tiesę OX, matome, kad trikampiai `OA_1H_1` ir `OA_2H_2` yra lygūs, nes jų hipotenuzės ir gretimi kampai yra lygūs. Tada, remdamiesi sinuso ir kosinuso apibrėžimais, galime parašyti „sin\alpha=y“, „cos\alpha=x“, „sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x“, „cos“ (\frac (\pi)2 + \alpha)=-y`. Kur galime parašyti, kad ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` ir ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, kas įrodo redukciją sinuso ir kosinuso kampų formulės `\frac (\pi)2 + \alpha`.
Ir funkcija cos(a)>0
Pirmąjį ketvirtį galima apibūdinti laipsnio matas, pvz., (90-α) arba (360+α).
Funkcija cos(a), nes X ašis šiame kvadrante yra neigiama.
Antrąjį ketvirtį galima apibūdinti laipsniais, pvz., (90+α) arba (180-α).
Funkcija cos(a)>0, nes X ašis šiame ketvirtyje yra teigiama.
Ketvirtąjį ketvirtį galima apibūdinti laipsniais, pvz., (270+α) arba (360-α).
1. ketvirtis.(Visada žiūrėkite, kuriame kvartale esate).
2. Pasirašyti.(Dėl ketvirčio žr. teigiamą arba neigiamos funkcijos kosinusas arba sinusas).
3. Jei skliausteliuose yra (90° arba π/2) ir (270° arba 3π/2), tada funkcijų pokyčiai.
Mes samprotaujame pagal algoritmą:
1. Ketvirtadalis.
valio cos(90-α) = sin(α)
Mes samprotaujame pagal algoritmą:
1. Ketvirtadalis.
valio sin(90-α) = cos(α)
Mes samprotaujame pagal algoritmą:
1. Ketvirtadalis.
2. Pirmąjį ketvirtį kosinuso funkcijos ženklas yra teigiamas.
valio cos(360+α) = cos(α)
Mes samprotaujame pagal algoritmą:
1. Ketvirtadalis.
2. Pirmajame ketvirtyje sinuso funkcijos ženklas yra teigiamas.
3. Skliausteliuose nėra (90° arba π/2) ir (270° arba 3π/2), tada funkcija nesikeičia.
valio nuodėmė (360+α) = nuodėmė (α)
Mes samprotaujame pagal algoritmą:
1. Antras ketvirtis.
3. Skliausteliuose yra (90° arba π/2), tada funkcija keičiasi iš kosinuso į sinusą.
valio cos(90+α) = -sin(α)
Mes samprotaujame pagal algoritmą:
1. Antras ketvirtis.
3. Skliausteliuose yra (90° arba π/2), tada funkcija pasikeičia iš sinuso į kosinusą.
valio sin(90+α) = cos(α)
Mes samprotaujame pagal algoritmą:
1. Antras ketvirtis.
2. Antrajame ketvirtyje kosinuso funkcijos ženklas yra neigiamas.
3. Skliausteliuose nėra (90° arba π/2) ir (270° arba 3π/2), tada funkcija nesikeičia.
valio cos(180-α) = cos(α)
Mes samprotaujame pagal algoritmą:
1. Antras ketvirtis.
2. Antrajame ketvirtyje sinuso funkcijos ženklas yra teigiamas.
3. Skliausteliuose nėra (90° arba π/2) ir (270° arba 3π/2), tada funkcija nesikeičia.
valio nuodėmė (180-α) = nuodėmė (α)
Reikia pagalbos studijuojant?
Ankstesnė tema: Sumažinimo formulės. Sąrašas
Redukcijos formulių naudojimo pavyzdžiai
Mnemoninė taisyklė
