Natūralaus logaritmo išvestinės ir logaritmo iki a pagrindo formulių įrodymas ir išvedimas. Ln 2x, ln 3x ir ln nx išvestinių skaičiavimo pavyzdžiai. N-osios eilės logaritmo išvestinės formulės įrodymas naudojant metodą matematinė indukcija.

Natūralaus logaritmo ir logaritmo iki a pagrindo išvestinių formulių išvedimas

Natūralaus x logaritmo išvestinė yra lygi vienetui, padalytam iš x:
(1) (ln x)′ =.

Logaritmo išvestinė į bazę a lygi vienetui, padalytam iš kintamojo x, padauginta iš natūralusis logaritmas iš:
(2) (log a x)′ =.

Įrodymas

Tegul būna teigiamas skaičius, Ne lygus vienam. Apsvarstykite funkciją, priklausančią nuo kintamojo x, kuris yra logaritmas su baze:
.
Ši funkcija apibrėžta adresu .
(3) .

Raskime jo išvestinę kintamojo x atžvilgiu. Pagal apibrėžimą išvestinė yra tokia riba: Transformuokime šią išraišką, kad sumažintume ją iki žinomų
matematines savybes ir taisykles. Norėdami tai padaryti, turime žinoti šiuos faktus:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
A) Logaritmo savybės. Mums reikės šių formulių:
(7) .
B)
Tolydžios funkcijos logaritmo tęstinumas ir ribų savybė:Čia yra funkcija, kuri turi ribą ir ši riba yra teigiama.
(8) .

IN)
.
Antrosios nepaprastos ribos reikšmė:

.

Taikykime šiuos faktus iki savo ribų. Pirmiausia transformuojame algebrinę išraišką Norėdami tai padaryti, taikome savybes (4) ir (5). (8):
.

Naudokime savybę (7) ir antrąją
.
nepaprasta riba Ir galiausiai taikome nuosavybę (6): Logaritmas iki pagrindo e paskambino
.
natūralusis logaritmas
.

. Jis žymimas taip:

Tada;

Taip gavome logaritmo išvestinės formulę (2).
.
Natūralaus logaritmo išvestinė
(1) .

Dar kartą išrašome logaritmo išvestinės formulę a pagrindu: Ši formulė turi paprasčiausią natūraliojo logaritmo formą, kuriai , . Tada
.

Dėl šio paprastumo natūralusis logaritmas labai plačiai naudojamas matematinėje analizėje ir kitose su diferencialiniu skaičiavimu susijusiose matematikos šakose.
.

Kiti logaritmo išvestinės įrodymo būdai

Čia darome prielaidą, kad žinome eksponentinės išvestinės formulę:
(9) .
Tada galime išvesti natūraliojo logaritmo išvestinės formulę, atsižvelgiant į tai, kad logaritmas yra atvirkštinė eksponentinės funkcija.

Įrodykime natūraliojo logaritmo išvestinės formulę, taikant atvirkštinės funkcijos išvestinės formulę:
.
Mūsų atveju.
.
Natūraliojo logaritmo atvirkštinė funkcija yra eksponentinė:
.
Jo išvestinė nustatoma pagal (9) formulę. Kintamieji gali būti pažymėti bet kokia raide. (9) formulėje kintamąjį x pakeiskite y:
.
Nuo tada
.
Tada

Formulė įrodyta. Dabar įrodome natūraliojo logaritmo išvestinės formulę naudodami diferenciacijos taisyklės sudėtinga funkcija
.
. Kadangi funkcijos ir yra atvirkštinės viena kitai, tada
(10) .
Išskirkime šią lygtį kintamojo x atžvilgiu:
.
x išvestinė lygi vienetui:
.
Taikome sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklę:
.
čia . Pakeiskime (10):
.

Iš čia

Pavyzdys Rasti išvestinius iš 2x, 3x Ir.

lnnx

Sprendimas Originalios funkcijos turi panaši išvaizda . Todėl rasime funkcijos išvestinę y = log nx . Tada pakeičiame n = 2 ir n = 3. Ir taip gauname išvestinių formules ln 2x 2x, .

Ir
. Todėl rasime funkcijos išvestinę .
Taigi, mes ieškome funkcijos išvestinės
1) Įsivaizduokime šią funkciją kaip sudėtingą funkciją, susidedančią iš dviejų funkcijų:
2) Funkcijos, priklausančios nuo kintamojo: ;
Funkcijos, priklausančios nuo kintamojo: .
.

Tada pradinė funkcija susideda iš funkcijų ir:
.
Raskime funkcijos išvestinę kintamojo x atžvilgiu:
.
Raskime funkcijos išvestinę kintamojo atžvilgiu:
.
Taikome sudėtingos funkcijos išvestinės formulę.

Čia mes jį nustatome.
(11) .
Taigi mes radome:
.
Matome, kad išvestinė nepriklauso nuo n.
.

Šis rezultatas yra gana natūralus, jei pradinę funkciją transformuosime naudodami sandaugos logaritmo formulę:

; ; .

- tai konstanta. Jo išvestinė yra nulis. Tada pagal sumos diferenciacijos taisyklę turime:

Atsakymas Modulio x logaritmo išvestinė Raskime darinį iš kito labai
(12) .

svarbi funkcija
.
- modulio x natūralusis logaritmas:
.

Panagrinėkime atvejį.
,
Tada funkcija atrodo taip:
Jo darinys nustatomas pagal (1) formulę:
.
Nuo tada
.

Dabar panagrinėkime atvejį.
.

Tada funkcija atrodo taip:
.

Kur.

Tačiau aukščiau esančiame pavyzdyje taip pat radome šios funkcijos išvestinę. Jis nepriklauso nuo n ir yra lygus
.
Šiuos du atvejus sujungiame į vieną formulę:
(13) .

Atitinkamai, kad logaritmas būtų pagrįstas a, turime:
.
Raskime trečios eilės išvestinę:
.
Raskime ketvirtos eilės išvestinę:
.

Galite pastebėti, kad n-osios eilės išvestinė turi tokią formą:
(14) .
Įrodykime tai matematine indukcija.

Įrodymas

Pakeiskime reikšmę n = 1 į formulę (14):
.
Nuo tada, kai n = 1 , galioja (14) formulė.

Tarkime, kad formulė (14) tenkinama, kai n = k. + 1 .

Įrodykime, kad tai reiškia, kad formulė galioja n = k
.
Iš tiesų, n = k turime:

.
Atskirkite kintamąjį x:
.
Taigi mes gavome: 1 Ši formulė sutampa su (14) formule, kai n = k + 1 .

.

Taigi iš prielaidos, kad formulė (14) galioja n = k, išplaukia, kad formulė (14) galioja n = k +

Todėl n-osios eilės išvestinei formulė (14) galioja bet kuriam n.
.
Aukštesniųjų logaritmo eilių išvestiniai į bazę a
.

Norėdami rasti logaritmo n-osios eilės išvestinį pagrindą a, turite jį išreikšti natūraliu logaritmu:

Taikydami formulę (14), randame n-ąją išvestinę:
(1) Eksponentinio (e iki x laipsnio) ir eksponentinės funkcijos (a iki x laipsnio) išvestinės formulių įrodymas ir išvedimas. e^2x, e^3x ir e^nx išvestinių skaičiavimo pavyzdžiai. Aukštesnio laipsnio išvestinių finansinių priemonių formulės..

Rodiklio išvestinė yra lygi pačiam eksponentui (e išvestinė iš x laipsnio lygi e laipsnio x):
(2) .

(e x )′ = e x

Eksponentinės funkcijos su baze a išvestinė yra lygi pačiai funkcijai, padaugintai iš natūraliojo a logaritmo:
.
Eksponentinio išvestinės formulės išvedimas, e iki x laipsnio Eksponentinis yra eksponentinė funkcija, kurios galios bazė yra lygi skaičiui e, kuris yra tokia riba:Čia jis gali būti ir natūralus, ir

realus skaičius

. Toliau išvedame formulę (1) eksponentinio išvestinei.
Eksponentinės išvestinės formulės išvedimas
Apsvarstykite eksponentinį e laipsnį x:
(3) .

y = e x .
matematines savybesŠi funkcija nustatyta visiems.
(4) ;
A) Raskime jo išvestinę kintamojo x atžvilgiu.
(5) ;
Tolydžios funkcijos logaritmo tęstinumas ir ribų savybė: Logaritmo savybės. Mums reikės šių formulių:
(6) .
B)
Pagal apibrėžimą išvestinė yra tokia riba:Čia yra funkcija, kuri turi ribą ir ši riba yra teigiama.
(7) .

Transformuokime šią išraišką, kad sumažintume ją iki žinomų matematinių savybių ir taisyklių. Norėdami tai padaryti, mums reikia šių faktų:
;
.

Eksponento ypatybė:
Logaritmo savybė:
.
G)
.

Taikykime šiuos faktus savo ribai (3). Mes naudojame turtą (4):
.

Padarykime pakaitalą.
Tada; .
.

Dėl eksponentinio tęstinumo,
.
Čia taip pat naudojome antrąją nepaprastą ribą (7). Tada
.

Taigi, mes gavome formulę (1) eksponentinės išvestinei.

Eksponentinės funkcijos išvestinės formulės išvedimas

Dabar išvedame formulę (2) eksponentinės funkcijos išvestinei su a laipsnio baze.
(8)
Mes tikime, kad ir.

Tada eksponentinė funkcija Apibrėžta visiems. Transformuokime (8) formulę. Tam naudosime
;
.
eksponentinės funkcijos savybės
.

ir logaritmas.

Taigi, mes transformavome formulę (8) į tokią formą:
(14) .
(1) .

Didesnės eilės e išvestinės iki x laipsnio
;
.

Dabar suraskime aukštesnių eilučių išvestinius. Pirmiausia pažvelkime į eksponentą:
.

Matome, kad funkcijos (14) išvestinė yra lygi pačiai funkcijai (14). Diferencijuodami (1), gauname antros ir trečios eilės išvestinius:

Tai rodo, kad n-osios eilės išvestinė taip pat yra lygi pradinei funkcijai: Eksponentinės funkcijos aukštesnių laipsnių išvestinės Dabar pasvarstykime
.
Šiuos du atvejus sujungiame į vieną formulę:
(15) .

eksponentinė funkcija
;
.

su galios baze a:
.

Diferencijuodami (15), gauname antros ir trečios eilės išvestinius:
Matome, kad kiekviena diferenciacija lemia pradinės funkcijos padauginimą iš .

Todėl n-osios eilės išvestinė turi tokią formą:

Sudėtingi dariniai. Logaritminė išvestinė. Laipsninės eksponentinės funkcijos išvestinė Mes ir toliau tobuliname savo diferenciacijos techniką. Šioje pamokoje konsoliduosime apžvelgtą medžiagą, pažvelgsime į sudėtingesnius išvestinius išvestinius dalykus, taip pat susipažinsime su naujais būdais ir gudrybėmis ieškant išvestinės, ypač su logaritmine dariniu. Tiems skaitytojams, kurie turižemas lygis paruošimo, turėtumėte perskaityti straipsnį Kaip rasti išvestinę priemonę? Sprendimų pavyzdžiai , kuri leis pakelti savo įgūdžius beveik nuo nulio. Tada turite atidžiai išstudijuoti puslapį Sudėtingos funkcijos išvestinė , suprasti ir išspręsti Visi mano pateiktus pavyzdžius.Ši pamoka

logiškai trečia, o ją įvaldę užtikrintai atskirsite gana sudėtingas funkcijas. Nepageidautina užimti poziciją „Kur dar? Taip, užtenka “, nes visi pavyzdžiai ir sprendimai paimti iš tikro paruošimo, turėtumėte perskaityti straipsnį bandymai ir dažnai susiduriama praktikoje.– labai dažnai teks skirtis, o pavyzdžius aprašyti labai smulkiai ne visada patogu (ir ne visada būtina). Todėl praktikuosime vedinių radimą žodžiu. Tam tinkamiausi „kandidatai“ yra paprasčiausių sudėtingų funkcijų dariniai, pavyzdžiui:

Pagal sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklę :

Ateityje studijuojant kitas matano temas, š išsamus įrašas dažniausiai nereikalaujama, kad mokinys žino, kaip rasti tokius išvestinius autopilotu. Įsivaizduokime, kad 3 valandą nakties buvo a telefono skambutis, Ir malonus balsas paklausė: „Kokia yra dviejų X tangento išvestinė? Po to turėtų būti beveik momentinis ir mandagus atsakymas: .

Pirmasis pavyzdys bus iš karto skirtas savarankiškas sprendimas.

1 pavyzdys

Raskite šiuos išvestinius žodžiu, vienu veiksmu, pavyzdžiui: . Norėdami atlikti užduotį, jums tereikia naudoti elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė(jei dar neprisimenate). Jei kyla sunkumų, rekomenduoju dar kartą perskaityti pamoką paruošimo, turėtumėte perskaityti straipsnį.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Atsakymai pamokos pabaigoje

Sudėtingi dariniai

Po išankstinio artilerijos paruošimo pavyzdžiai su 3-4-5 funkcijų lizdais bus mažiau baisūs. Galbūt kai kuriems šie du pavyzdžiai atrodys sudėtingi, bet jei juos suprasite (kas nors nukentės), tada beveik visa kita diferencialinis skaičiavimas Tai atrodys kaip vaiko pokštas.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Kaip jau buvo pažymėta, ieškant sudėtingos funkcijos išvestinę, pirmiausia tai būtina Teisingai SUPRASTAS savo investicijas. Tais atvejais, kai kyla abejonių, primenu naudingas triukas: paimame, pavyzdžiui, eksperimentinę „x“ reikšmę ir bandome (protiškai arba juodraštyje) pakeisti duota vertėį „baisią išraišką“.

1) Pirmiausia turime apskaičiuoti išraišką, o tai reiškia, kad suma yra giliausias įterpimas.

2) Tada reikia apskaičiuoti logaritmą:

4) Tada supjaustykite kosinusą:

5) Penktame etape skirtumas:

6) Ir galiausiai, tolimiausia funkcija yra kvadratinė šaknis:

Sudėtingos funkcijos diferencijavimo formulė bus naudojamas atvirkštine tvarka, nuo išorinės funkcijos iki vidinės. Mes nusprendžiame:

Atrodo, kad klaidų nėra...

(1) Imame išvestinę iš kvadratinė šaknis.

(2) Naudodami taisyklę imame skirtumo išvestinę

(3) Trigubo išvestinė lygi nuliui. Antruoju nariu imame laipsnio (kubo) išvestinę.

(4) Paimkite kosinuso išvestinę.

(5) Paimkite logaritmo išvestinę.

(6) Galiausiai paimame giliausio įterpimo išvestinį.

Tai gali atrodyti per sunku, bet tai nėra pats žiauriausias pavyzdys. Paimkite, pavyzdžiui, Kuznecovo kolekciją ir įvertinsite visą analizuojamo darinio grožį ir paprastumą. Pastebėjau, kad jie mėgsta duoti panašų dalyką per egzaminą, kad patikrintų, ar studentas supranta, kaip rasti sudėtingos funkcijos išvestinę, ar nesupranta.

Kitas pavyzdys už savarankišką sprendimą.

3 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Patarimas: pirmiausia taikome tiesiškumo taisykles ir produktų diferenciacijos taisyklę

Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Atėjo laikas pereiti prie kažko mažesnio ir gražesnio.
Neretai pavyzdyje rodoma sandauga ne du, o trys funkcijos. Kaip rasti išvestinę gaminiai iš trijų daugikliai?

4 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Pirma, pažiūrėkime, ar įmanoma trijų funkcijų sandaugą paversti dviejų funkcijų sandauga? Pavyzdžiui, jei gaminyje būtų du daugianariai, galėtume atidaryti skliaustus. Tačiau nagrinėjamame pavyzdyje visos funkcijos skiriasi: laipsnis, eksponentas ir logaritmas.

Tokiais atvejais būtina nuosekliai taikyti produktų diferencijavimo taisyklę du kartus

Apgaulė ta, kad raide „y“ žymime dviejų funkcijų sandaugą: , o „ve“ žymime logaritmą: . Kodėl tai galima padaryti? Ar tikrai – tai ne dviejų veiksnių rezultatas ir taisyklė neveikia?! Nėra nieko sudėtingo:

Dabar belieka taisyklę taikyti antrą kartą skliausteliui:

Vis tiek galite būti iškrypęs ir ką nors paimti iš skliaustų, bet ne šiuo atveju Geriau palikite atsakymą šioje formoje – bus lengviau patikrinti.

Nagrinėjamas pavyzdys gali būti išspręstas antruoju būdu:

Abu sprendimai yra visiškai lygiaverčiai.

5 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys pavyzdyje, jis išspręstas naudojant pirmąjį metodą.

Pasvarstykime panašių pavyzdžių su trupmenomis.

6 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia galite eiti keliais būdais:

Arba taip:

Tačiau sprendimas bus parašytas kompaktiškiau, jei pirmiausia pasinaudosime koeficiento diferenciacijos taisykle , imant visą skaitiklį:

Iš principo pavyzdys išspręstas, o palikus tokį, koks yra, tai nebus klaida. Bet jei turite laiko, visada patartina patikrinti juodraštį, ar galima supaprastinti atsakymą? Sumažinkime skaitiklio išraišką iki bendras vardiklis 3x atsikratykime triaukštės trupmenos:

Minusas papildomų supaprastinimų yra rizika suklysti ne ieškant vedinio, o atliekant banalias mokyklos transformacijas. Kita vertus, mokytojai dažnai atmeta užduotį ir prašo „atsiminti“ išvestinį.

Paprastesnis pavyzdys, kurį galite išspręsti patys:

7 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Mes ir toliau įvaldome išvestinės radimo metodus, o dabar nagrinėsime tipišką atvejį, kai diferencijavimui siūlomas „siaubingas“ logaritmas

8 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia galite nueiti ilgą kelią, naudodami sudėtingos funkcijos atskyrimo taisyklę:

Tačiau pats pirmas žingsnis iš karto nugrimzta į neviltį – jūs turite priimti nemalonų išvestinį trupmeninė galia, o tada ir iš trupmenos.

Štai kodėl prieš kaip paimti „sudėtingo“ logaritmo išvestinę, pirmiausia ji supaprastinama naudojant gerai žinomas mokyklos savybes:

! Jei po ranka turite praktikos sąsiuvinį, nukopijuokite šias formules tiesiai ten. Jei neturite sąsiuvinio, nukopijuokite juos ant popieriaus lapo, nes likę pamokos pavyzdžiai bus susiję su šiomis formulėmis.

Pats sprendimas gali būti parašytas maždaug taip:

Pakeiskime funkciją:

Išvestinio radimas:

Išankstinis pačios funkcijos konvertavimas labai supaprastino sprendimą. Taigi, pasiūlius diferencijuoti panašų logaritmą, visada patartina jį „išskaidyti“.

O dabar keli paprasti pavyzdžiai, kuriuos galite išspręsti patys:

9 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

10 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Visos transformacijos ir atsakymai yra pamokos pabaigoje.

Logaritminė išvestinė

Jeigu logaritmų darinys yra tokia miela muzika, tada kyla klausimas: ar galima kai kuriais atvejais logaritmą organizuoti dirbtinai? Gali! Ir netgi būtina.

11 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Neseniai pažvelgėme į panašius pavyzdžius. Ką daryti? Galite nuosekliai taikyti koeficiento diferencijavimo taisyklę, o tada sandaugos diferencijavimo taisyklę. Šio metodo trūkumas yra tas, kad jūs gaunate didžiulę trijų aukštų dalį, su kuria jūs visiškai nenorite kovoti.

Tačiau teorijoje ir praktikoje yra toks nuostabus dalykas kaip logaritminė išvestinė. Logaritmus galima organizuoti dirbtinai, „pakabinant“ juos iš abiejų pusių:

Dabar reikia kuo labiau „išskaidyti“ dešinės pusės logaritmą (formulės prieš akis?). Šį procesą aprašysiu labai išsamiai:

Pradėkime nuo diferenciacijos.
Abi dalis sudarome pagal pagrindinį lygį:

Dešinės pusės vedinys yra gana paprastas, jo nekomentuosiu, nes jei skaitote šį tekstą, turėtumėte su juo elgtis užtikrintai.

O kairėje pusėje?

Kairėje pusėje turime sudėtinga funkcija. Numatau klausimą: „Kodėl po logaritmu yra viena raidė „Y“?

Faktas yra tas, kad šis „vienos raidės žaidimas“ - PATS YRA FUNKCIJA(jei nelabai aišku, žr. straipsnį Netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinė). Todėl logaritmas yra išorinė funkcija, o „y“ yra vidinė funkcija. Ir mes naudojame taisyklę, kad atskirtume sudėtingą funkciją :

Kairėje pusėje tarsi burtų keliu stebuklinga lazdelė mes turime išvestinę . Toliau pagal proporcingumo taisyklę „y“ perkeliame iš kairės pusės vardiklio į dešinės pusės viršų:

O dabar prisiminkime, apie kokią „žaidėjo“ funkciją kalbėjome diferenciacijos metu? Pažiūrėkime į sąlygą:

Galutinis atsakymas:

12 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Pavyzdinis dizaino pavyzdys šio tipo pamokos pabaigoje.

Naudojant logaritminę išvestinę buvo galima išspręsti bet kurį iš pavyzdžių Nr. 4-7, kitas dalykas, kad funkcijos ten paprastesnės, ir, ko gero, logaritminės išvestinės naudojimas nėra labai pagrįstas.

Laipsninės eksponentinės funkcijos išvestinė

Šios funkcijos dar nesvarstėme. Galios eksponentinė funkcija yra funkcija, kuriai ir laipsnis, ir bazė priklauso nuo „x“. Klasikinis pavyzdys, kuris jums bus pateiktas bet kuriame vadovėlyje ar paskaitoje:

Kaip rasti galios eksponentinės funkcijos išvestinę?

Būtina naudoti ką tik aptartą techniką – logaritminę išvestinę. Mes pakabiname logaritmus iš abiejų pusių:

Paprastai dešinėje pusėje laipsnis išimamas iš logaritmo:

Dėl to dešinėje pusėje turime dviejų funkcijų sandaugą, kurios skirsis pagal standartinė formulė .

Mes randame išvestinę, kad tai padarytume, po brūkšniais įtraukiame abi dalis:

Kiti žingsniai yra paprasti:

Galiausiai:

Jei kuri nors konversija nėra visiškai aiški, dar kartą atidžiai perskaitykite 11 pavyzdžio paaiškinimus.

IN praktines užduotis Galios eksponentinė funkcija visada bus sudėtingesnė nei paskaitoje aptariamas pavyzdys.

13 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Mes naudojame logaritminę išvestinę.

Dešinėje pusėje yra konstanta ir dviejų veiksnių sandauga - „x“ ir „logaritmo x logaritmas“ (po logaritmu įdėtas kitas logaritmas). Diferencijuojant, kaip prisimename, konstantą geriau iš karto išvesti iš išvestinio ženklo, kad ji netrukdytų; ir, žinoma, taikome pažįstamą taisyklę :

Kaip matote, logaritminės išvestinės naudojimo algoritme nėra jokių specialių gudrybių ar gudrybių, o galios eksponentinės funkcijos išvestinės radimas paprastai nėra susijęs su „kankinimu“.

Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija.

Išsprendus paprasčiausių (ir nelabai paprastų) funkcijų išvestinių radimo uždavinius, išvestinę apibrėžiant kaip argumento prieaugio santykio ribą, atsirado išvestinių lentelė ir tiksliai. tam tikros taisyklės diferenciacija. Pirmieji darinių paieškos srityje pradėjo dirbti Izaokas Niutonas (1643-1727) ir Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas (1646-1716).

Todėl mūsų laikais, norint rasti bet kurios funkcijos išvestinę, nereikia skaičiuoti minėtos funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio ribos, o tik pasinaudoti lentele dariniai ir diferenciacijos taisyklės. Išvestinei rasti tinka toks algoritmas.

Norėdami rasti išvestinę, jums reikia išraiškos po pirminiu ženklu suskaidyti paprastas funkcijas į komponentus ir nustatyti kokius veiksmus (produktas, suma, koeficientas)šios funkcijos yra susijusios. Kiti dariniai elementarios funkcijos randame išvestinių lentelėje, o sandaugos, sumos ir dalinio išvestinių formulės yra diferenciacijos taisyklėse. Išvestinių lentelė ir diferenciacijos taisyklės pateikiamos po pirmųjų dviejų pavyzdžių.

1 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Iš diferenciacijos taisyklių sužinome, kad funkcijų sumos išvestinė yra funkcijų išvestinių suma, t.y.

Iš išvestinių lentelės sužinome, kad „x“ išvestinė lygi vienetui, o sinuso – kosinusui. Šias reikšmes pakeičiame išvestinių suma ir randame išvestinę, kurios reikia pagal problemos sąlygą:

2 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Diferencijuojame kaip išvestinę sumos, kurioje antrasis narys turi pastovų koeficientą, jį galima išimti iš išvestinio ženklo:

Jei vis tiek kyla klausimų, iš kur kažkas atsiranda, jie dažniausiai išsiaiškinami susipažinus su išvestinių išvestinių dalių lentele ir paprasčiausiomis diferenciacijos taisyklėmis. Šiuo metu pereiname prie jų.

Paprastų funkcijų išvestinių lentelė

1. Konstantos (skaičiaus) išvestinė. Bet koks skaičius (1, 2, 5, 200...), esantis funkcijos išraiškoje. Visada lygus nuliui. Tai labai svarbu atsiminti, nes to reikalaujama labai dažnai
2. Nepriklausomo kintamojo išvestinė. Dažniausiai „X“. Visada lygus vienam. Tai taip pat svarbu atsiminti ilgą laiką
3. Laipsnio išvestinė. Sprendžiant uždavinius, reikia konvertuoti ne kvadratines šaknis į galias.
4. Kintamojo išvestinė į laipsnį -1
5. Kvadratinės šaknies vedinys
6. Sinuso išvestinė
7. Kosinuso vedinys
8. Tangento išvestinė
9. Kotangento išvestinė
10. Arsinuso vedinys
11. Lanko kosinuso išvestinė
12. Arktangento vedinys
13. Lanko kotangento išvestinė
14. Natūralaus logaritmo išvestinė
15. Logaritminės funkcijos išvestinė
16. Rodiklio išvestinė
17. Eksponentinės funkcijos išvestinė

Diferencijavimo taisyklės

1. Sumos arba skirtumo išvestinė
2. Produkto darinys
2a. Išraiškos, padaugintos iš pastovaus koeficiento, išvestinė
3. Dalinio išvestinė
4. Sudėtinės funkcijos išvestinė

1 taisyklė.Jei funkcijos

yra diferencijuojami tam tikru momentu, tada funkcijos skiriasi tame pačiame taške

ir

tie. algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi algebrinė sumašių funkcijų išvestiniai.

Pasekmė. Jei dvi diferencijuojamos funkcijos skiriasi pastoviu nariu, tai jų išvestinės yra lygios, t.y.

2 taisyklė.Jei funkcijos

yra diferencijuojami tam tikru momentu, tada jų produktas skiriasi tame pačiame taške

ir

tie. Dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų ir kitos išvestinei sumai.

1 išvada. Pastovus daugiklis gali būti išimtas iš vedinio ženklo:

2 išvada. Kelių diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvieno veiksnio ir visų kitų išvestinės sandaugų sumai.

Pavyzdžiui, trims daugintuvams:

3 taisyklė.Jei funkcijos

tam tikru momentu skiriasi Ir , tada šioje vietoje jų koeficientas taip pat yra diferencijuotasu/v , ir

tie. dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra vardiklio sandaugų ir skaitiklio išvestinės bei skaitiklio ir vardiklio išvestinės sandaugų skirtumas, o vardiklis yra kvadratas buvęs skaitiklis.

Kur ieškoti dalykų kituose puslapiuose

Kai randama sandaugos išvestinė ir koeficientas in tikros problemos Todėl visada būtina vienu metu taikyti kelias diferenciacijos taisykles daugiau pavyzdžių dėl šių darinių – straipsnyje"Produkto išvestinė ir funkcijų dalis".

komentuoti. Neturėtumėte painioti konstantos (ty skaičiaus) kaip sumos termino ir kaip pastovaus koeficiento! Termino atveju jo išvestinė lygi nuliui, o esant pastoviam veiksniui – išimama iš išvestinių ženklo. Tai tipiška klaida, kuris įvyksta pradinis etapas studijuoja išvestines, tačiau sprendžiant kelis vienos ir dviejų dalių pavyzdžius, vidutinis studentas šios klaidos nebedaro.

Ir jei diferencijuodami produktą ar koeficientą turite terminą u"v, kuriame u- skaičius, pavyzdžiui, 2 arba 5, tai yra konstanta, tada šio skaičiaus išvestinė bus lygi nuliui, todėl visas terminas bus lygus nuliui (šis atvejis aptartas 10 pavyzdyje).

Kita dažna klaida - mechaninis sprendimas sudėtingos funkcijos išvestinė kaip paprastos funkcijos išvestinė. Štai kodėl sudėtingos funkcijos išvestinė skirtas atskiras straipsnis. Bet pirmiausia išmoksime rasti išvestinius paprastos funkcijos.

Pakeliui neapsieisite be posakių transformavimo. Norėdami tai padaryti, gali tekti atidaryti vadovą naujuose languose. Veiksmai su galiomis ir šaknimis 3x Veiksmai su trupmenomis .

Jei ieškote sprendimų dėl trupmenų išvestinių su laipsniais ir šaknimis, tai yra, kai funkcija atrodo taip , tada sekite pamoką „Trupmenų sumų su laipsniais ir šaknimis išvestinė“.

Jei turite tokią užduotį kaip , tada lankysi pamoką „Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai“.

Žingsnis po žingsnio pavyzdžiai – kaip rasti išvestinę

3 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Apibrėžiame funkcijos išraiškos dalis: visa išraiška reprezentuoja sandaugą, o jos veiksniai yra sumos, kurių antrajame viename iš terminų yra pastovus veiksnys. Taikome sandaugų diferenciacijos taisyklę: dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų sumai iš kitos išvestinės:

Toliau taikome sumų diferenciacijos taisyklę: algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai. Mūsų atveju kiekvienoje sumoje antrasis narys turi minuso ženklą. Kiekvienoje sumoje matome ir nepriklausomą kintamąjį, kurio išvestinė lygi vienetui, ir konstantą (skaičius), kurios išvestinė lygi nuliui. Taigi „X“ virsta vienetu, o minus 5 – nuliu. Antroje išraiškoje „x“ padauginama iš 2, todėl du padauginame iš to paties vieneto kaip ir „x“ išvestinė. Mes gauname šias vertes dariniai:

Rastas išvestis pakeičiame sandaugų suma ir gauname visos funkcijos išvestinę, kurios reikalauja uždavinio sąlyga:

4 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Turime rasti koeficiento išvestinę. Taikome dalinio diferencijavimo formulę: dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra skirtumas tarp vardiklio sandaugų ir skaitiklio ir skaitiklio išvestinės bei išvestinės vardiklis, o vardiklis yra buvusio skaitiklio kvadratas. Mes gauname:

Veiksnių išvestinę skaitiklyje jau radome 2 pavyzdyje. Taip pat nepamirškime, kad sandauga, kuri dabartiniame pavyzdyje yra antrasis skaitiklio veiksnys, imamas su minuso ženklu:

Jei ieškote sprendimų problemoms, kuriose reikia rasti funkcijos išvestinę, kurioje yra nuolatinė šaknų ir galių krūva, pvz., , tada sveiki atvykę į klasę "Trupmenų sumų su laipsniais ir šaknimis darinys" .

Jei reikia daugiau sužinoti apie sinusų, kosinusų, liestinių ir kt trigonometrinės funkcijos, tai yra, kai funkcija atrodo kaip , tada pamoka jums "Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai" .

5 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Šioje funkcijoje matome sandaugą, kurios vienas iš faktorių yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis, su kurio išvestine mes susipažinome išvestinių lentelėje. Pagal gaminio diferenciacijos taisyklę ir lentelės vertė kvadratinės šaknies išvestinę gauname:

6 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę

Sprendimas. Šioje funkcijoje matome koeficientą, kurio dividendas yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis. Naudodami koeficientų diferenciacijos taisyklę, kurią pakartojome ir taikėme 4 pavyzdyje, ir kvadratinės šaknies išvestinės reikšmę lentelėje, gauname:

Norėdami atsikratyti trupmenos skaitiklyje, padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš .

Šioje pamokoje mokysimės taikyti diferenciacijos formules ir taisykles.

Pavyzdžiai. Raskite funkcijų išvestinius.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Taisyklės taikymas aš, formulės 4, 2 ir 1. Mes gauname:

y’ = 7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Mes sprendžiame panašiai, naudodami tas pačias formules ir formulę 3.

y’=3∙6x5–2=18x5–2.

Taisyklės taikymas aš, formulės 3, 5 3x 6 3x 1.

Taisyklės taikymas IV, formulės 5 3x 1 .

Penktame pavyzdyje pagal taisyklę aš sumos išvestinė lygi išvestinių sumai, o mes ką tik radome 1-ojo nario išvestinę (pavyzdys 4 ), todėl rasime išvestinių 2-oji Ir 3 terminai ir už 1 d sumuoti galime iš karto parašyti rezultatą.

Atskirkime 2-oji 3x 3 terminai pagal formulę 4 . Norėdami tai padaryti, paverčiame vardiklių trečiosios ir ketvirtosios galių šaknis į c laipsnius neigiami rodikliai, o tada iki 4 formulę, randame galių išvestinius.

Pažiūrėk šis pavyzdys ir gautas rezultatas. Ar pagavote modelį? gerai. Tai reiškia, kad gavome nauja formulė ir mes galime įtraukti jį į savo išvestinių lentelę.

Išspręskime šeštąjį pavyzdį ir išveskime kitą formulę.

Pasinaudokime taisykle IV ir formulė 4 . Sumažinkime gautas trupmenas.

Pažiūrėkime šią funkciją ir jo vedinys. Jūs, žinoma, suprantate modelį ir esate pasirengę pavadinti formulę:

Mokykitės naujų formulių!

Pavyzdžiai.

1. Raskite argumento prieaugį ir funkcijos y= prieaugį x 2, Jei pradinė vertė argumentas buvo lygus 4 , ir naujas - 4,01 .

Sprendimas.

Nauja argumento reikšmė x=x 0 +Δx. Pakeiskime duomenis: 4.01=4+Δх, taigi argumento prieaugis Δх=4,01-4=0,01. Funkcijos prieaugis pagal apibrėžimą yra lygus skirtumui tarp naujos ir ankstesnės funkcijos reikšmių, t.y. Δy=f (x 0 + Δx) – f (x 0). Kadangi mes turime funkciją y=x2, Tai Δу=(x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Atsakymas: argumentų prieaugis Δх=0,01; funkcijos padidėjimas Δу=0,0801.

Funkcijos prieaugį galima rasti skirtingai: Δy=y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4,01) -y (4) = 4,01 2 -4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.

2. Raskite funkcijos grafiko liestinės polinkio kampą y=f(x) taške x 0, Jei f "(x 0) = 1.

Sprendimas.

Išvestinės vertė liesties taške x 0 ir yra liestinės kampo liestinės reikšmė ( geometrine prasme išvestinė). Turime: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, nes tg45°=1.

Atsakymas: šios funkcijos grafiko liestinė sudaro kampą, kurio teigiama Ox ašies kryptis lygi 45°.

3. Išveskite funkcijos išvestinės formulę y=xn.

Diferencijavimas yra funkcijos išvestinės radimo veiksmas.

Ieškodami išvestinių, naudokite formules, kurios buvo išvestos remiantis išvestinės apibrėžimu, taip pat, kaip išvedėme išvestinio laipsnio formulę: (x n)" = nx n-1.

Tai yra formulės.

Darinių lentelė Ištarus žodines formuluotes bus lengviau įsiminti:

1. Darinys pastovią vertę lygus nuliui.

2. X pirminis yra lygus vienetui.

3. Pastovų koeficientą galima išimti iš išvestinės ženklo.

4. Laipsnio išvestinė yra lygi šio laipsnio rodiklio sandaugai laipsniu su ta pačia baze, bet rodiklis yra vienu mažesnis.

5. Šaknies išvestinė yra lygi vienetui, padalintam iš dviejų lygių šaknų.

6. Vieneto, padalyto iš x, išvestinė yra lygi minus vienas, padalytas iš x kvadratu.

7. Sinuso išvestinė lygi kosinusui.

8. Kosinuso išvestinė lygi minus sinusui.

9. Liestinės išvestinė lygi vienetui, padalytam iš kosinuso kvadrato.

10. Kotangento išvestinė yra lygi minus vienetui, padalytam iš sinuso kvadrato.

Mes mokome diferenciacijos taisyklės.

1. Algebrinės sumos išvestinė lygi terminų išvestinių algebrinei sumai.

2. Produkto išvestinė yra lygi pirmojo ir antrojo veiksnio išvestinei, pridėjus pirmojo veiksnio ir antrojo išvestinės sandaugai.

3. „Y“ išvestinė, padalyta iš „ve“, yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra „y pirminis, padaugintas iš „ve“ atėmus „y padaugintas iš ve pirminio“, o vardiklis yra „ve kvadratas“.

4. Ypatingas atvejis formules 3.

Mokykimės kartu!

1 puslapis iš 1 1