Modeliavimas yra viena iš svarbiausių įrankių šiuolaikinis gyvenimas kai jie nori numatyti ateitį. Ir tai nenuostabu, nes šio metodo tikslumas yra labai didelis. Pažiūrėkime, kas tai yra šiame straipsnyje deterministinis modelis.
Bendra informacija
Deterministiniai sistemų modeliai pasižymi tuo, kad juos galima tirti analitiškai, jei jie yra pakankamai paprasti. Priešingu atveju, naudojant daug lygčių ir kintamųjų, tam gali būti naudojami elektroniniai kompiuteriai. Be to, kompiuterinė pagalba, kaip taisyklė, apsiriboja tik jų sprendimu ir atsakymų paieška. Dėl to reikia keisti lygčių sistemas ir naudoti kitokią diskreciją. Ir tai padidina klaidų riziką atliekant skaičiavimus. Visų tipų deterministiniams modeliams būdinga tai, kad tam tikro tiriamo intervalo parametrų žinojimas leidžia visiškai nustatyti žinomų rodiklių raidos dinamiką už ribų.
Ypatumai
Faktorinis modeliavimas
Nuorodų į tai galima pamatyti visame straipsnyje, tačiau dar neaptarėme, kas tai yra. Veiksnių modeliavimas reiškia, kad nustatomos pagrindinės nuostatos, kurioms būtinas kiekybinis palyginimas. Norint pasiekti užsibrėžtus tikslus, tyrimas transformuoja formą.
Jei griežtai deterministinis modelis turi daugiau nei du veiksnius, tada jis vadinamas daugiafaktoriniu. Jo analizę galima atlikti naudojant įvairios technikos. Kaip pavyzdį pateikiame Šiuo atveju paskirtas užduotis ji vertina iš anksto nustatytų ir parengtų a priori modelių požiūriu. Pasirinkimas tarp jų atliekamas pagal jų turinį.
Norint sukurti kokybišką modelį, būtina naudoti teorinius ir eksperimentiniai tyrimai esmė technologinis procesas ir jos priežasties ir pasekmės ryšiai. Būtent tai yra pagrindinis mūsų nagrinėjamų dalykų pranašumas. Deterministiniai modeliai leidžia tiksliai prognozuoti daugelyje mūsų gyvenimo sričių. Dėl savo kokybės parametrų ir universalumo jie taip plačiai paplito.
Kibernetiniai deterministiniai modeliai
Jie mus domina dėl analize pagrįstų trumpalaikių procesų, vykstančių bet kokius, net ir nereikšmingiausius agresyvių savybių pokyčius. išorinę aplinką. Dėl skaičiavimų paprastumo ir greičio esamą situaciją atvejus pakeičia supaprastintas modelis. Svarbu, kad jis patenkintų visus pagrindinius poreikius.
Automatinės valdymo sistemos veikimas ir jos priimamų sprendimų efektyvumas priklauso nuo visų būtinų parametrų vienovės. Tokiu atveju būtina išspręsti tokią problemą: kuo daugiau informacijos surenkama, tuo didesnė klaidos tikimybė ir ilgesnis apdorojimo laikas. Tačiau jei apribosite duomenų rinkimą, galite tikėtis mažiau patikimo rezultato. Todėl būtina rasti aukso viduriukas, kuri leis gauti pakankamai tikslios informacijos, o kartu jos be reikalo neapsunkins nereikalingi elementai.
Multiplikacinis deterministinis modelis
Jis sukurtas skirstant veiksnius į daugelį. Kaip pavyzdį galime apsvarstyti pagamintų gaminių apimties (PP) formavimo procesą. Taigi, tam reikia darbo (PC), medžiagų (M) ir energijos (E). Šiuo atveju PP koeficientas gali būti padalintas į aibę (RS;M;E). Ši parinktis atspindi dauginamą faktorių sistemos formą ir jos padalijimo galimybę. Šiuo atveju galite naudoti šiuos transformavimo būdus: išplėtimą, formalų skaidymą ir pailginimą. Pirmasis variantas buvo plačiai pritaikytas analizuojant. Pagal jį galima apskaičiuoti darbuotojo veiklos rezultatus ir pan.
Ilginant vieną reikšmę pakeičia kiti veiksniai. Bet galų gale turėtų būti tas pats skaičius. Pailgėjimo pavyzdys buvo aptartas aukščiau. Lieka tik formalus skaidymas. Tai apima pradinio faktoriaus modelio vardiklio pailginimą dėl vieno ar kelių parametrų pakeitimo. Panagrinėkime šį pavyzdį: apskaičiuojame gamybos pelningumą. Norėdami tai padaryti, pelno suma padalinama iš išlaidų sumos. Dauginant vietoj vienos vertės dalijame iš sumuotų išlaidų medžiagoms, personalui, mokesčiams ir pan.
Tikimybės
O jei viskas vyktų tiksliai taip, kaip planuota! Tačiau taip nutinka retai. Todėl praktikoje dažnai kartu vartojami deterministiniai ir Ką galima pasakyti apie pastarąjį? Jų ypatumas yra tas, kad jie taip pat atsižvelgia į įvairias tikimybes. Paimkite, pavyzdžiui, toliau pateiktą. Yra dvi valstybės. Santykiai tarp jų labai blogi. Trečioji šalis nusprendžia, ar investuoti į verslą vienoje iš šalių. Juk kilus karui labai nukentės pelnas. Arba galite pateikti pavyzdį, kaip pastatyti gamyklą vietovėje, kurioje aukštas seisminis aktyvumas. Jie čia dirba gamtos veiksniai, į kurį negalima tiksliai atsižvelgti, tai galima padaryti tik apytiksliai.
Išvada
Pažiūrėjome, kokie modeliai deterministinė analizė. Deja, norint juos iki galo suprasti ir pritaikyti praktikoje, reikia labai gerai mokytis. Teoriniai pagrindai jau ten. Taip pat straipsnio rėmuose, atskirai paprasti pavyzdžiai. Toliau geriau eiti laipsniško darbo medžiagos apsunkinimo keliu. Galite šiek tiek supaprastinti savo užduotį ir pradėti mokytis programinė įranga, kuri gali atlikti atitinkamus modeliavimus. Bet kad ir koks būtų pasirinkimas, suprasti pagrindus ir mokėti atsakyti į klausimus, kas, kaip ir kodėl, vis tiek būtina. Pirmiausia turėtumėte išmokti pasirinkti teisingus įvesties duomenis ir pasirinkti būtinus veiksmus. Tada programos galės sėkmingai atlikti savo užduotis.
Sistemų modeliai, apie kuriuos iki šiol kalbėjome, buvo deterministiniai (tam tikri), t.y. nurodant įvesties įtaką vienareikšmiškai nulėmė sistemos išvestį. Tačiau praktikoje tai atsitinka retai: aprašymas tikrosios sistemos neapibrėžtumas paprastai yra būdingas. Pavyzdžiui, statiniam modeliui į neapibrėžtį galima atsižvelgti parašant ryšį (2.1)
kur yra klaida, normalizuota pagal sistemos išvestį.
Neapibrėžtumo priežastys yra įvairios:
– sistemos įėjimų ir išėjimų matavimų klaidos ir trukdžiai (natūralios paklaidos);
– paties sistemos modelio netikslumas, verčiantis dirbtinai į modelį įvesti klaidą;
– neišsami informacija apie sistemos parametrus ir kt.
Tarp įvairiais būdais neapibrėžtumo išaiškinimas ir įforminimas didžiausias paskirstymas gavo chaotišką (tikimybinį) metodą, kai neapibrėžti dydžiai laikomi atsitiktiniais. Sukurtas tikimybių teorijos konceptualus ir skaičiavimo aparatas ir matematinė statistika leidžia pateikti konkrečias rekomendacijas, kaip pasirinkti sistemos struktūrą ir įvertinti jos parametrus. Sistemų stochastinių modelių ir jų tyrimo metodų klasifikacija pateikta lentelėje. 1.4. Išvados ir rekomendacijos pagrįstos vidutiniu poveikiu: atsitiktiniai nukrypimai tam tikro dydžio matavimų rezultatai nuo jo numatomos vertės sumuojant vienas kitą panaikina, o aritmetinis vidurkis didelis skaičius matavimai yra artimi laukiamai vertei. Matematinės formuluotėsšį poveikį suteikia įstatymas dideli skaičiai ir centrinės ribos teorema. Didžiųjų skaičių dėsnis teigia, kad jei yra atsitiktiniai dydžiai su matematine lūkečiu (vidutine verte) ir dispersija, tada
esant pakankamai dideliam N. Tai rodo esminę galimybę atlikti savavališkai tikslų įvertinimą remiantis matavimais. Centrinė ribos teorema, patikslinanti (2.32), teigia, kad
kur yra standartinis normaliai paskirstytas atsitiktinis kintamasis
Kadangi dydžio pasiskirstymas yra gerai žinomas ir pateiktas lentelėse (pavyzdžiui, žinoma, kad santykis (2.33) leidžia apskaičiuoti įvertinimo paklaidą. Tarkime, kad norite sužinoti, kokiame matavimų skaičiuje yra vertinimo paklaida jų matematinė tikimybė su 0,95 tikimybe bus mažesnė nei 0,01 , jei kiekvieno matavimo dispersija yra 0,25 Iš (2,33) gauname, kad nelygybė turi galioti. N> 10000.
Žinoma, formuluočių (2.32), (2.33) galima pateikti ir daugiau griežta išvaizda, ir tai galima lengvai padaryti naudojant tikimybinės konvergencijos sąvokas. Sunkumai iškyla bandant patikrinti šių griežtų teiginių sąlygas. Pavyzdžiui, didelių skaičių dėsnyje ir centrinis ribos teorema reikalingas atskirų matavimų (realizacijos) nepriklausomumas atsitiktinis kintamasis ir jo dispersijos baigtinumą. Jei šios sąlygos pažeidžiamos, gali būti pažeistos ir išvados. Pavyzdžiui, jei visi matavimai sutampa: tada, nors ir tenkinamos visos kitos sąlygos, apie vidurkį negali būti nė kalbos. Kitas pavyzdys: didelių skaičių dėsnis negalioja, jei atsitiktiniai dydžiai paskirstomi pagal Koši dėsnį (su pasiskirstymo tankiu, kuris neturi baigtinio matematinis lūkestis ir dispersija. Bet toks dėsnis pasitaiko gyvenime! Pavyzdžiui, pasak Cauchy, vientisą taškų apšvietimą tiesiame krante paskirsto tolygiai besisukantis prožektorius, esantis jūroje (laive) ir įjungtas. atsitiktiniai momentai laiko.
Bet vis tiek didelių sunkumų ragina patikrinti paties termino „atsitiktinis“ vartojimo pagrįstumą. Kas yra atsitiktinis dydis? atsitiktinis įvykis ir tt Dažnai sakoma, kad įvykis A atsitiktinai, jei dėl eksperimento tai gali įvykti (su tikimybe p) arba neįvyks (su tikimybe 1- p). Tačiau viskas nėra taip paprasta. Pati tikimybės samprata gali būti siejama su eksperimentų rezultatais tik pagal jos pasireiškimo dažnumą tam tikrame eksperimentų skaičiuje (serija): , kur N A- eksperimentų, kurių metu įvyko įvykis, skaičius, N- bendras skaičius; eksperimentai. Jei skaičiai pakankamai dideli N artėja prie kai kurių pastovus skaičius r A:
tą įvykį A gali būti vadinamas atsitiktiniu, o skaičius r- jos tikimybė. Šiuo atveju skirtingose eksperimentų serijose stebimi dažniai turėtų būti arti vienas kito (ši savybė vadinama statistinis stabilumas arba homogeniškumas). Tai, kas išdėstyta pirmiau, taip pat taikoma atsitiktinio dydžio sąvokai, nes reikšmė yra atsitiktinė, jei įvykiai yra atsitiktiniai (ir<£<Ь} для любых чисел A,b. Tokių įvykių dažnis ilgose eksperimentų serijose turėtų būti sugrupuotas pagal tam tikras pastovias vertes.
Taigi, kad stochastinis metodas būtų taikomas, turi būti laikomasi šių reikalavimų:
1) masinis atliekamų eksperimentų mastas, t.y. gana didelis skaičius;
2) eksperimentinių sąlygų pakartojamumas, pagrindžiantis skirtingų eksperimentų rezultatų palyginimą;
3) statistinis stabilumas.
Stochastinis požiūris akivaizdžiai negali būti taikomas pavieniams eksperimentams: tokie posakiai kaip „tikimybė, kad rytoj lis“, „su 0,8 tikimybe, Zenit laimės taurę“ ir kt. Tačiau net jei eksperimentai yra plačiai paplitę ir kartojami, statistinio stabilumo gali nebūti, o tai patikrinti nėra lengva užduotis. Žinomi leistino dažnio nuokrypio nuo tikimybės įverčiai yra pagrįsti centrine ribine teorema arba Čebyševo nelygybe ir reikalauja papildomų hipotezių apie matavimų nepriklausomumą arba silpną priklausomybę. Eksperimentinis nepriklausomumo sąlygos patikrinimas yra dar sunkesnis, nes tam reikia papildomų eksperimentų.
Tikimybių teorijos taikymo metodika ir praktiniai receptai išsamiau pateikti V. N. mokomojoje knygoje. Tutubalin, kurio idėja pateikiama toliau pateiktose citatose:
„Nepaprastai svarbu išnaikinti klaidingą nuomonę, kuri kartais pasitaiko tarp inžinierių ir gamtos mokslininkų, kurie nėra pakankamai susipažinę su tikimybių teorija, kad bet kurio eksperimento rezultatas gali būti laikomas atsitiktiniu dydžiu. Ypač sunkiais atvejais tai lydi tikėjimas normaliu pasiskirstymo dėsniu, o jei patys atsitiktiniai dydžiai nėra normalūs, jie mano, kad jų logaritmai yra normalūs.
„Pagal šiuolaikines koncepcijas, tikimybių teorinių metodų taikymo sritis apsiriboja reiškiniais, kuriems būdingas statistinis stabilumas. Tačiau statistinio stabilumo tikrinimas yra sudėtingas ir visada neišsamus, todėl dažnai gaunama neigiama išvada. Dėl to ištisose žinių srityse, pavyzdžiui, geologijoje, tapo norma, kai statistinis stabilumas visai netikrinamas, o tai neišvengiamai sukelia rimtų klaidų. Be to, kibernetikos propaganda, kurios ėmėsi mūsų pirmaujantys mokslininkai, davė (kai kuriais atvejais!) kiek netikėtą rezultatą: dabar manoma, kad objektyvius mokslo rezultatus gali gauti tik mašina (o ne žmogus).
Tokiomis aplinkybėmis kiekvieno mokytojo pareiga yra vėl ir vėl propaguoti seną tiesą, kurią Petras I bandė (nesėkmingai) įteigti Rusijos pirkliams: prekiauti reikia sąžiningai, be apgaulės, nes galiausiai taip naudingiau pačiam. .
Kaip sukurti sistemos modelį, jei problema yra neapibrėžta, bet stochastinis metodas netaikomas? Žemiau trumpai aprašome vieną iš alternatyvių metodų, pagrįstų neaiškių aibių teorija.
Primename, kad santykis (santykis tarp ir) yra aibės poaibis. tie. tam tikras porų rinkinys R=(( x, adresu)), kur,. Pavyzdžiui, funkcinis ryšys (priklausomybė) gali būti pavaizduotas kaip ryšys tarp aibių, įskaitant poras ( X, adresu), kuriam.
Paprasčiausiu atveju gali būti, kad R yra tapatumo santykis, jei.
12-15 pavyzdžiai lentelėje. 1. 1 sugalvojo 1988 m. 292 mokyklos 86 klasės mokinys M. Korotejevas.
Matematikas čia, žinoma, pastebės, kad (1.4) minimumas, griežtai tariant, gali būti nepasiektas ir formuluojant (1.4) reikia pakeisti rnin į inf ("infimum" yra tikslus infimumas rinkinys). Tačiau tai situacijos nepakeis: formalizavimas šiuo atveju neatspindi užduoties esmės, t.y. atliktas neteisingai. Ateityje, kad „neišgąsdintume“ inžinieriaus, naudosime žymas min, max; turint omenyje, kad prireikus juos reikėtų pakeisti bendresniu inf, sup.
Čia sąvoka „struktūra“ vartojama kiek siauresne prasme, kaip ir poskyryje. 1.1, ir reiškia posistemių sudėtį sistemoje ir jungčių tipus tarp jų.
Grafas yra pora ( G, R), kur G=(g 1... g n) yra baigtinė viršūnių aibė, a - dvejetainis ryšys su G. Jei, tada ir tik jei, tada grafikas vadinamas nekryptiniu, kitaip - nukreiptu. Poros vadinamos lankais (kraštais), o aibės elementais G- grafiko viršūnės.
Tai yra algebrinė arba transcendentinė.
Griežtai kalbant, skaičiuojama aibė yra tam tikras idealizavimas, kurio praktiškai neįmanoma realizuoti dėl techninių sistemų baigtinio dydžio ir žmogaus suvokimo ribų. Tokie idealizuoti modeliai (pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių rinkinys N=(1, 2,...)) prasminga įvesti baigtinėms aibėms, bet su preliminariai neribotu (arba nežinomu) elementų skaičiumi.
Formaliai operacijos sąvoka yra ypatingas aibių elementų santykio sampratos atvejis. Pavyzdžiui, dviejų skaičių sudėjimo operacija nurodo 3 vietų (trijų) ryšį R: trys iš skaičių (x, y, z) z) priklauso santykiams R(rašome (x,y,z)), jei z = x+y.
Kompleksinis skaičius, daugianario argumentas A(), IN().
Ši prielaida dažnai išsipildo praktikoje.
Jei kiekis nežinomas, tada (2.33) jis turėtų būti pakeistas įverčiu, kur Šiuo atveju kiekis bus paskirstytas nebe normaliai, o pagal Stjudento dėsnį, kuris praktiškai nesiskiria nuo įprasto.
Nesunku pastebėti, kad (2.34) yra ypatingas (2.32) atvejis, kai imame, jei įvykis Aįėjo j- m eksperimentas, kitaip. Tuo pačiu metu
Ir šiandien galite pridėti „... ir informatika“ (autoriaus pastaba).
Bet koks tikras procesas charakteristika atsitiktiniai svyravimai, kuriuos sukelia bet kokių veiksnių fizinis kintamumas laikui bėgant. Be to, sistema gali turėti atsitiktinių išorinių poveikių. Todėl su vienoda vidutine įvesties parametrų verte 
skirtingu metu išvesties parametrai bus skirtingi. Todėl, jei atsitiktinis poveikis tiriamai sistemai yra reikšmingas, būtina plėtoti tikimybinis (stochastinis) objekto modelis, atsižvelgiant į statistinius sistemos parametrų pasiskirstymo dėsnius ir pasirenkant atitinkamą matematinį aparatą.
Statant deterministiniai modeliai neatsižvelgiama į atsitiktinius veiksnius, atsižvelgiant tik į konkrečias sprendžiamos problemos sąlygas, objekto savybes ir vidinius ryšius (šiuo principu paremtos beveik visos klasikinės fizikos šakos)
Deterministinių metodų idėja- naudojant paties modelio dinamiką sistemos evoliucijos metu.
Mūsų kurse pateikiami šie metodai: molekulinės dinamikos metodas, kurio privalumai: skaitinio algoritmo tikslumas ir tikrumas; Trūkumas yra tas, kad jis reikalauja daug darbo dėl dalelių sąveikos jėgų skaičiavimo (N dalelių sistemai kiekviename žingsnyje reikia atlikti 
šių jėgų skaičiavimo operacijos).
At deterministinis požiūris judesio lygtys yra nurodytos ir integruojamos laikui bėgant. Apsvarstysime daugelio dalelių sistemas. Dalelių padėtis įneša potencialią energiją į bendrą sistemos energiją, o jų greičiai lemia kinetinės energijos indėlį. Sistema juda trajektorija su pastovia energija fazinėje erdvėje (toliau bus paaiškinta). Deterministiniams metodams natūralus yra mikrokanoninis ansamblis, kurio energija yra judėjimo integralas. Be to, galima tirti sistemas, kurių judėjimo integralas yra temperatūra ir (ar) slėgis. Šiuo atveju sistema nėra uždara ir gali būti pavaizduota sąlytyje su terminiu rezervuaru (kanoniniu ansambliu). Norėdami jį modeliuoti, galime naudoti metodą, kai apribojame sistemos laisvės laipsnių skaičių (pavyzdžiui, nustatome sąlygą 
).
Kaip jau minėjome, tuo atveju, kai procesai sistemoje vyksta nenuspėjamai, tokie įvykiai ir su jais susiję dydžiai vadinami atsitiktinis, ir sistemos procesų modeliavimo algoritmai - tikimybinis (stochastinis). graikų stoohastikos- pažodžiui reiškia „tas, kuris gali atspėti“.
Stochastiniai metodai taiko šiek tiek kitokį požiūrį nei deterministiniai: jiems tereikia apskaičiuoti problemos konfigūracijos dalį. Sistemos impulso lygtis visada gali būti integruota. Tada iškyla problema, kaip atlikti perėjimus iš vienos konfigūracijos į kitą, kurią deterministiniu požiūriu lemia impulsas. Tokie stochastinių metodų perėjimai atliekami su tikimybine evoliucija Markovo procesas. Markovo procesas yra tikimybinis paties modelio dinamikos analogas.
Šio metodo pranašumas yra tas, kad jis leidžia modeliuoti sistemas, kurios neturi jokios būdingos dinamikos.
Skirtingai nuo deterministinių metodų, stochastiniai metodai kompiuteryje yra paprastesni ir greičiau įgyvendinami, tačiau norint gauti reikšmes, artimas tikrosioms, reikia geros statistikos, kuri reikalauja modeliuoti didelį dalelių ansamblį.
Visiškai stochastinio metodo pavyzdys yra Monte Karlo metodas. Stochastiniai metodai naudoja svarbią Markovo proceso (Markovo grandinės) koncepciją. Markovo procesas yra tikimybinis klasikinės mechanikos proceso analogas. Markovo grandinei būdingas atminties nebuvimas, t.y. artimiausios ateities statistines charakteristikas lemia tik dabartis, neatsižvelgiant į praeitį.
Labiau praktiška nei užimta 2.
Atsitiktinio pasivaikščiojimo modelis
Pavyzdys(oficialus)
Tarkime, kad dalelės dvimatės gardelės mazguose yra išdėstytos savavališkose pozicijose. Kiekviename laiko žingsnyje dalelė „šokinėja“ į vieną iš tuščiosios eigos padėčių. Tai reiškia, kad dalelė turi galimybę pasirinkti savo šuolio kryptį į bet kurią iš keturių artimiausių vietų. Po šuolio dalelė „neprisimena“, iš kur iššoko. Šis atvejis atitinka atsitiktinį pasivaikščiojimą ir yra Markovo grandinė. Kiekvieno žingsnio rezultatas yra nauja dalelių sistemos būsena. Perėjimas iš vienos būsenos į kitą priklauso tik nuo ankstesnės būsenos, t.y., tikimybė, kad sistema bus i būsenoje, priklauso tik nuo būsenos i-1.
Kokie fiziniai procesai kietame kūne mums primena (panašiai) aprašytą formalų atsitiktinio ėjimo modelį?
Žinoma, difuzija, tai yra patys procesai, kurių mechanizmus mes svarstėme šilumos ir masės perdavimo eigoje (3 kursas). Kaip pavyzdį prisiminkime įprastą klasikinę savaiminę difuziją kristale, kai, nepakeisdami savo matomų savybių, atomai periodiškai keičia laikinos gyvenamosios vietos vietas ir klaidžioja po gardelę, pasitelkę vadinamąjį „laisvos vietos“ mechanizmą. Tai taip pat vienas iš svarbiausių lydinių difuzijos mechanizmų. Atomų migracijos kietose medžiagose reiškinys vaidina lemiamą vaidmenį daugelyje tradicinių ir netradicinių technologijų – metalurgijoje, metalo apdirbime, puslaidininkių ir superlaidininkų, apsauginių dangų ir plonų plėvelių kūrime.
Jį atrado Robertas Austenas 1896 m., stebėdamas aukso ir švino sklaidą. Difuzija- atominių koncentracijų persiskirstymo erdvėje procesas chaotiškos (terminės) migracijos būdu. Priežastys, termodinamikos požiūriu, gali būti du: entropija (visada) ir energija (kartais). Entropinė priežastis yra chaoso padidėjimas maišant raižytos veislės atomus. Energija – skatina lydinio susidarymą, kai naudingiau šalia turėti skirtingų tipų atomus ir skatina difuzinį skilimą, kai energijos prieaugis užtikrinamas sudėjus to paties tipo atomus.
Dažniausi difuzijos mechanizmai yra šie:
laisva vieta
tarpmazginis
poslinkio mechanizmas
Norint įgyvendinti laisvų darbo vietų mechanizmą, reikalinga bent viena laisva darbo vieta. Laisvų darbo vietų migracija vykdoma perkeliant į neužimtą vieno iš kaimyninių atomų vietą. Atomas gali atlikti difuzijos šuolį, jei šalia jo yra laisva vieta. Vakansija cm, su atomo šiluminių virpesių periodu gardelės vietoje, esant temperatūrai T = 1330 K (po 6 K< точки плавления), число скачков, которое совершает вакансия в 1с, путь за одну секунду-см=3 м (=10 км/ч). По прямой же путь, проходимый вакансиейсм, т. е. в 300 раз короче пути по ломаной.
Gamtai to reikėjo. taip, kad laisva vieta pakeistų savo gyvenamąją vietą per 1 s, eina 3 m trūkine linija, o tiesia linija juda tik 10 mikronų. Atomai elgiasi ramiau nei laisvos vietos. Tačiau jie taip pat milijoną kartų per sekundę keičia savo gyvenamąją vietą ir juda maždaug 1 m/val.
Taigi. kad pakanka vienos laisvos vietos keliems tūkstančiams atomų, kad atomai judėtų mikro lygiu esant artimai lydymosi temperatūrai.
Dabar sukurkime atsitiktinio vaikščiojimo modelį difuzijos kristale reiškiniui. Atomo klajonių procesas yra chaotiškas ir nenuspėjamas. Tačiau klajojančių atomų ansambliui turėtų pasirodyti statistiniai dėsningumai. Mes apsvarstysime nesusijusius šuolius.
Tai reiškia, kad jei 
Ir 
yra atomų judėjimas i ir j šuolių metu, tada suskaičiavus klajojančių atomų ansamblio vidurkį:
(vidutinis produktas = vidurkių sandauga. Jei ėjimas visiškai atsitiktinis, visos kryptys yra lygios ir 
=0.)
Tegul kiekviena ansamblio dalelė atlieka N elementarių šuolių. Tada jo bendras poslinkis yra:
;
ir vidutinis poslinkio kvadratas
Kadangi koreliacijos nėra, antrasis narys =0.
Tegul kiekvienas šuolis turi tą patį ilgį h ir atsitiktinę kryptį, o vidutinis šuolių skaičius per laiko vienetą yra v. Tada
Tai akivaizdu 
Vadinkime kiekiu 
- klajojančių atomų difuzijos koeficientas. Tada 
;
Dėl trimačio korpuso - 
.
Mes gavome parabolinės difuzijos dėsnis- vidutinis poslinkio kvadratas yra proporcingas klajojimo laikui.
Būtent šią problemą turime išspręsti kitame laboratoriniame darbe – modeliuodami vienmačius atsitiktinius pasivaikščiojimus.
Skaitinis modelis.
Mes apibrėžiame M dalelių ansamblį, kurių kiekviena žengia N žingsnių, nepriklausomai viena nuo kitos, į dešinę arba į kairę su ta pačia tikimybe. Žingsnio ilgis = h.
Kiekvienai dalelei apskaičiuojame poslinkio kvadratą 
N žingsniais. Tada atliekame ansamblio vidurkį - 
. Didumas 
, Jei 
, ty vidutinis poslinkio kvadratas yra proporcingas atsitiktiniam ėjimo laikui 
- vidutinis vieno žingsnio laikas) - parabolinis sklaidos dėsnis.
Ekonomikos ir programavimo matematiniai modeliai
1. Deterministiniai ir tikimybiniai matematiniai modeliai ekonomikoje. Privalumai ir trūkumai
Ekonominių procesų tyrimo metodai yra pagrįsti matematinių – deterministinių ir tikimybinių – modelių, reprezentuojančių tiriamą procesą, sistemą ar veiklos tipą, naudojimu. Tokie modeliai pateikia kiekybinį problemos aprašymą ir yra pagrindas priimant valdymo sprendimus ieškant optimalaus varianto. Kiek pagrįsti šie sprendimai, ar jie yra geriausi įmanomi, ar yra atsižvelgta ir pasverta į visus veiksnius, lemiančius optimalų sprendimą, koks yra kriterijus, leidžiantis nuspręsti, kad šis sprendimas yra tikrai geriausias - tai yra klausimų, kurie yra didelę reikšmę gamybos vadovams, o atsakymą galima rasti naudojant operacijų tyrimo metodus [Chesnokov S.V. Deterministinė socialinių ir ekonominių duomenų analizė. - M.: Nauka, 1982, p. 45].
Vienas iš valdymo sistemos formavimo principų yra kibernetinių (matematinių) modelių metodas. Matematinis modeliavimas užima tarpinę padėtį tarp eksperimento ir teorijos: nereikia kurti realaus fizinio sistemos modelio, jis bus pakeistas matematiniu modeliu. Kontrolės sistemos formavimo ypatumas slypi tikimybiniame, statistiniame požiūryje į valdymo procesus. Kibernetikoje priimta, kad bet koks valdymo procesas yra veikiamas atsitiktinių, trikdančių įtakų. Taigi gamybos procesą įtakoja daugybė veiksnių, į kuriuos negalima deterministiškai atsižvelgti. Todėl manoma, kad gamybos procesą įtakoja atsitiktiniai signalai. Dėl šios priežasties įmonės planavimas gali būti tik tikimybinis.
Dėl šių priežasčių, kalbant apie matematinį ekonominių procesų modeliavimą, dažnai turima omenyje tikimybiniai modeliai.
Apibūdinkime kiekvieną matematinio modelio tipą.
Deterministiniai matematiniai modeliai pasižymi tuo, kad kai kurių veiksnių ryšį su efektyviu rodikliu apibūdina kaip funkcinę priklausomybę, t.y. deterministiniuose modeliuose efektyvusis modelio rodiklis pateikiamas sandaugos, koeficiento, algebrinės formos pavidalu. veiksnių suma arba bet kurios kitos funkcijos forma. Šio tipo matematiniai modeliai yra labiausiai paplitę, nes, būdami gana paprastai naudojami (palyginti su tikimybiniais modeliais), leidžia suprasti pagrindinių ekonominio proceso raidos veiksnių veikimo logiką, kiekybiškai įvertinti jų įtaką, suprasti, kokius veiksnius ir kokia proporcija galima ir patartina keisti, siekiant padidinti gamybos efektyvumą.
Tikimybiniai matematiniai modeliai iš esmės skiriasi nuo deterministinių tuo, kad tikimybiniuose modeliuose ryšys tarp faktorių ir gaunamo požymio yra tikimybinis (stochastinis): esant funkcinei priklausomybei (deterministiniai modeliai), ta pati faktorių būsena atitinka vieną gauto būseną. atributas, tuo tarpu tikimybiniuose modeliuose viena ir ta pati veiksnių būsena atitinka gauto požymio būsenų visumą [Tolstova Yu. Ekonominių procesų matematinės analizės logika. - M.: Nauka, 2001, p. 32-33].
Deterministinių modelių pranašumas yra jų naudojimo paprastumas. Pagrindinis trūkumas yra mažas tikrovės adekvatumas, nes, kaip minėta aukščiau, dauguma ekonominių procesų yra tikimybinio pobūdžio.
Tikimybinių modelių pranašumas yra tas, kad jie, kaip taisyklė, labiau atitinka tikrovę (adekvatesni) nei deterministiniai. Tačiau tikimybinių modelių trūkumas yra jų taikymo sudėtingumas ir kruopštumas, todėl daugeliu atvejų pakanka apsiriboti deterministiniais modeliais.
2. Linijinio programavimo uždavinio teiginys naudojant maisto davinio uždavinio pavyzdį
Pirmą kartą linijinio programavimo problemos formulavimas pasiūlymo dėl optimalaus transportavimo plano sudarymo forma; leidžianti iki minimumo sumažinti bendrą ridą buvo pateikta sovietų ekonomisto A. N. Tolstojaus 1930 m.
Sisteminiai linijinio programavimo uždavinių tyrimai ir bendrųjų jų sprendimo metodų kūrimas buvo toliau plėtojami rusų matematikų L. V. Kantorovičiaus, V. S. Nemčinovo ir kitų matematikų bei ekonomistų darbuose. Taip pat daugelis užsienio ir, visų pirma, Amerikos mokslininkų darbų yra skirti linijinio programavimo metodams.
Linijinio programavimo problema yra padidinti (sumažinti) tiesinę funkciją.
pagal apribojimus
ir viskas
komentuoti. Nelygybė gali turėti ir priešingą reikšmę. Atitinkamas nelygybes padauginus iš (-1), visada galima gauti (*) formos sistemą.
Jeigu uždavinio matematiniame modelyje apribojimų sistemos ir tikslo funkcijos kintamųjų skaičius yra 2, tai jį galima išspręsti grafiškai.
Taigi, turime maksimaliai padidinti funkciją iki patenkinančios apribojimų sistemos.
Pažvelkime į vieną iš apribojimų sistemos nelygybių.
Geometriniu požiūriu visi taškai, kurie tenkina šią nelygybę, turi būti tiesėje arba priklausyti vienai iš pusplokštumų, į kurias padalinta šios tiesės plokštuma. Norėdami tai sužinoti, turite patikrinti, kuriame iš jų yra taškas ().
Pastaba 2. Jei , tada lengviau paimti tašką (0;0).
Neneigiamumo sąlygos taip pat atitinkamai apibrėžia pusiau plokštumas su ribinėmis linijomis. Tarkime, kad nelygybių sistema yra nuosekli, tada pusiau plokštumos, susikertančios, sudaro bendrą dalį, kuri yra išgaubta aibė ir reiškia aibę taškų, kurių koordinatės yra šios sistemos sprendimas - tai yra leistinų aibė. sprendimus. Šių taškų (sprendinių) aibė vadinama sprendinių daugiakampiu. Tai gali būti taškas, spindulys, daugiakampis arba neapribota daugiakampio sritis. Taigi, tiesinio programavimo uždavinys – rasti sprendimo daugiakampyje tašką, kuriame tikslo funkcija įgauna didžiausią (minimalią) reikšmę. Šis taškas egzistuoja, kai sprendimo daugiakampis nėra tuščias, o jame esanti tikslo funkcija yra apribota iš viršaus (iš apačios). Nurodytomis sąlygomis vienoje iš sprendinio daugiakampio viršūnių tikslo funkcija įgyja didžiausią reikšmę. Norėdami nustatyti šią viršūnę, pastatome tiesę (kur h yra tam tikra konstanta). Dažniausiai imama tiesi linija. Belieka išsiaiškinti šios linijos judėjimo kryptį. Šią kryptį lemia tikslo funkcijos gradientas (antigradientas).
Vektorius kiekviename taške yra statmenas tiesei, todėl f reikšmė padidės tiesei judant gradiento kryptimi (sumažėja antigradiento kryptimi). Norėdami tai padaryti, nubrėžkite tiesias linijas, lygiagrečias tiesei linijai, pasislenkančias gradiento kryptimi (anti-gradientas).
Šias konstrukcijas tęsime tol, kol tiesė eis per paskutinę sprendinio daugiakampio viršūnę. Šis taškas nustato optimalią vertę.
Taigi, norint rasti linijinio programavimo problemos sprendimą naudojant geometrinį metodą, reikia atlikti šiuos veiksmus:
Konstruojamos tiesės, kurių lygtys gaunamos ribojimų nelygybės ženklus pakeitus tiksliais lygybės ženklais.
Raskite pusplokštumas, apibrėžtas kiekvienu uždavinio apribojimu.
Raskite sprendimo daugiakampį.
Sukurkite vektorių.
Jie stato tiesią liniją.
Jie konstruoja lygiagrečias tiesias linijas gradiento arba antigradiento kryptimi, todėl suranda tašką, kuriame funkcija įgauna didžiausią arba mažiausią reikšmę, arba nustato, kad funkcija yra neapribota iš viršaus (iš apačios). leistinas rinkinys.
Nustatomos funkcijos maksimalaus (minimalaus) taško koordinatės ir apskaičiuojama tikslo funkcijos reikšmė šiame taške.
Problema dėl racionalios mitybos (maisto raciono problema)
Problemos pareiškimas
Ūkyje penimi gyvuliai komerciniais tikslais. Paprastumo dėlei tarkime, kad yra tik keturių tipų gaminiai: P1, P2, P3, P4; Kiekvienos prekės vieneto savikaina atitinkamai lygi C1, C2, C3, C4. Iš šių produktų reikia susikurti racioną, kuriame turėtų būti: baltymų – bent b1 vienetų; angliavandeniai - ne mažiau kaip b2 vienetai; riebalų – ne mažiau kaip b3 vienetų. Produktuose P1, P2, P3, P4 baltymų, angliavandenių ir riebalų kiekis (vienetais produkto vienete) yra žinomas ir nurodytas lentelėje, kur aij (i=1,2,3,4; j=1 ,2,3) - kai kurie konkretūs skaičiai; pirmasis indeksas nurodo produkto numerį, antrasis – elemento numerį (baltymai, angliavandeniai, riebalai).
Tikimybiniai-deterministiniai matematiniai prognoziniai energijos apkrovos grafikų modeliai yra statistinių ir deterministinių modelių derinys. Būtent šie modeliai leidžia užtikrinti geriausią prognozavimo tikslumą ir prisitaikymą prie kintančio energijos suvartojimo proceso.
Jie yra pagrįsti standartizuotos modeliavimo koncepcijos krovinius, t.y. adityvus faktinės apkrovos išskaidymas į standartizuotą grafiką (pagrindinis komponentas, deterministinė tendencija) 
ir likutinis komponentas 
:
Kur t– laikas per dieną; d– dienų skaičius, pavyzdžiui, per metus.
Standartiniame komponente 
modeliavimo metu jie taip pat atlieka papildomą atskirų komponentų atranką, atsižvelgdami į: vidutinės sezoninės apkrovos pokyčius 
; savaitės energijos suvartojimo pokyčių ciklas 
; tendencijos komponentas, modeliuojantis papildomus efektus, susijusius su saulėtekio ir saulėlydžio laiko pokyčiais nuo sezono iki sezono 
; komponentas, kuriame atsižvelgiama į energijos suvartojimo priklausomybę nuo meteorologinių veiksnių 
, ypač temperatūra ir kt.
Išsamiau panagrinėkime atskirų komponentų modeliavimo metodus, pagrįstus aukščiau minėtais deterministiniais ir statistiniais modeliais.
Modeliavimas vidutinė sezoninė apkrova 
dažnai daroma naudojant paprastą slenkamąjį vidurkį:
kur N yra įprastų reguliarių (darbo dienų) skaičius per n pastarąsias savaites. 
, nes į savaites neįtraukiamos „ypatingos“, „nereguliarios dienos“, šventės ir kt. Kasdien atnaujinama apskaičiuojant pastarųjų n savaičių duomenis.
Savaitinių ciklų modeliavimas 
taip pat atliekama judant formos vidurkiu
atnaujinama kas savaitę, apskaičiuojant pastarųjų n savaičių duomenų vidurkį arba naudojant eksponentinį svertinį slankųjį vidurkį:
kur yra empiriškai nustatytas išlyginimo parametras ( 
).
Dirba modeliu 
Ir 
naudojami septyni komponentai 
, 
kiekvienai savaitės dienai ir kiekvienai 
nustatomi atskirai, naudojant eksponentinį išlyginimo modelį.
Modeliavimo darbo autoriai 
Naudojamas Holt-Winters tipo dvigubas eksponentinis išlyginimas. Dirba modeliu 
naudoti harmoningą formos atvaizdavimą
su parametrais, apskaičiuotais pagal empirinius duomenis (reikšmė „52“ nusako savaičių skaičių per metus). Tačiau adaptyvaus šių parametrų operatyvinio įvertinimo problema šiame darbe nėra iki galo išspręsta.
Modeliavimas 
, 
kai kuriais atvejais atliekama naudojant baigtinė Furjė serija: su savaitės laikotarpiu, su dienos laikotarpiu arba atskirai modeliuojant darbo dienas ir savaitgalius, atitinkamai su penkių ir dviejų dienų laikotarpiais:
Modeliuoti tendencijų komponentą 
naudokite 2–4 eilės polinomus arba įvairias netiesines empirines funkcijas, pavyzdžiui, tokios formos:
kur yra ketvirto laipsnio polinomas, apibūdinantis santykinai lėtus išlygintus apkrovos pokyčius 
dienos metu pagal metų laikus; , , – funkcijų modeliavimo efektai, susiję su saulėtekio ir saulėlydžio laiko pokyčiais pagal sezoną.
Siekiant atsižvelgti į energijos suvartojimo priklausomybę nuo meteorologinių veiksnių, kai kuriais atvejais įvedamas papildomas komponentas 
. Darbas teoriškai pagrindžia įtraukimą 
į modelį, tačiau temperatūros efekto modeliavimo galimybės svarstomos tik ribotai. Taigi, pavaizduoti temperatūros komponentą 
Egipto sąlygoms naudojamas daugianario modelis
kur yra oro temperatūra t-ą valandą.
Regresijos metodas naudojamas norint „normalizuoti“ proceso smailes ir žemes, atsižvelgiant į temperatūrą, o normalizuoti duomenys pateikiami vienmačiu autoregresyviu integruotu slankiuoju vidurkiu (ARISS) modeliu.
Taip pat naudojamas modeliavimui 
atsižvelgiant į temperatūrą, rekursinis Kalmano filtras, kuris apima išorinius veiksnius – temperatūros prognozę. Arba jie naudoja valandinių apkrovų polinominę kubinę interpoliaciją trumpalaikiame diapazone ir atsižvelgia į temperatūros įtaką modelyje.
Siekiant atsižvelgti į vidutinės paros temperatūros prognozes, įvairias oro sąlygas analizuojamo proceso įgyvendinimui ir tuo pačiu padidinti modelio stabilumą, siūloma naudoti specialią slankiojo vidurkio modelio modifikaciją.
,
kur įvairioms oro sąlygoms, susijusioms su tikimybėmis, susidaro m apkrovos grafikų serija 
, o prognozė apibrėžiama kaip sąlyginis matematinis lūkestis. Tikimybės atnaujinamos naudojant Bayes metodą, kai dienos metu atsiranda naujų faktinių apkrovų vertės ir faktorių.
Modeliavimas likutinis komponentas 
atliekami tiek naudojant vienmačius, tiek daugiamačius modelius, atsižvelgiant į meteorologinius ir kitus išorinius veiksnius. Taigi k eilės autoregresinis modelis AR(k) dažnai naudojamas kaip vienmatis (vieno faktoriaus) modelis.
,
kur yra liekamasis baltas triukšmas. Norint numatyti valandinius (pusvalandžio) rodmenis, naudojami AR(1), AR(2) ir net AR(24) modeliai. Net jei naudojamas apibendrintas ARISS modelis 
Šiaip ar taip, jo taikymas susijęs su modeliais AR(1), AR(2) tiek penkių minučių, tiek valandinio apkrovos matavimams.
Kitas vieno faktoriaus modelis komponentui modeliuoti 
yra viengubas arba dvivietis modelis eksponentinis išlyginimas. Šis modelis leidžia efektyviai nustatyti trumpalaikes tendencijas keičiantis likutinei apkrovai. Paprastumas, ekonomiškumas, rekursyvumas ir skaičiavimo efektyvumas suteikia eksponentinį išlyginimo metodą, kurį galima plačiai pritaikyti. Naudojant paprastą eksponentinį išlyginimą 
esant skirtingoms konstantoms ir nustatyti du eksponentinius vidurkius 
Ir 
. Likutinės sudedamosios dalies prognozė 
aktyviai nustatoma pagal formulę
