Priklausomi ir nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai. Priklausomi ir nepriklausomi atsitiktiniai įvykiai

Atsitiktinių įvykių priklausomybės ir nepriklausomybės sampratos. Sąlyginė tikimybė. Priklausomų ir nepriklausomų atsitiktinių įvykių tikimybių pridėjimo ir dauginimo formulės. Formulė visa tikimybe ir Bayeso formulė.

Tikimybių sudėjimo teoremos

Raskime įvykių A ir B sumos tikimybę (darant prielaidą, kad jų suderinamumas arba nesuderinamumas).

2.1 teorema. Sumos tikimybė baigtinis skaičius Ne bendri renginiai

lygus jų tikimybių sumai:

P$A+B+\ltaškai+N$=P$A$+P$B$+\ltaškai+P$N$. 1 pavyzdys.

Reikalingas įvykis D įvyks, jei bus parduota 44 (A renginys) arba 45 (B renginys) arba bent 46 (C renginys) batų pora, t. y. įvykis D yra įvykių A, B, C suma. Įvykiai A, B ir C yra nesuderinami. Todėl pagal tikimybių sumos teoremą gauname =0,\!17.

P$D$=P$A+B+C$=P$A$+P$B$+P$C$=0,\!12+0,\!04 +0,\!01 2 pavyzdys.

Renginiai „bus parduodama kita pora mažesnių nei 44 dydžio batų“ ir „bus parduodama ne mažesnė nei 44 dydžio batų pora“. Todėl pagal (1.2) formulę norimo įvykio atsiradimo tikimybė

P$\overline(D)$=1-P$D$=1-0,\!17=0,\!83.

nes P$D$=0,\!17, kaip buvo nustatyta 1 pavyzdyje. Tikimybių sudėjimo teorema 2.1 galioja tik nesuderinami įvykiai . Naudojant jį bendrų įvykių tikimybei nustatyti, galima padaryti neteisingas ir kartais absurdiškas išvadas, o tai aiškiai matyti sekantį pavyzdį . Tegu Electra Ltd pavedimo įvykdymas laiku įvertinamas 0,7 tikimybe. Kokia tikimybė, kad iš trijų užsakymų įmonė bent vieną įvykdys laiku? Įvykius, kad įmonė pirmą, antrą ir trečią užsakymus atliks laiku, žymime atitinkamai A, B, C. Jei norimai tikimybei rasti taikome 2.1 tikimybių sudėjimo teoremą, gauname. Įvykio tikimybė pasirodė didesnė nei viena, o tai neįmanoma. Tai paaiškinama tuo, kad įvykiai A, B, C yra jungtiniai. Iš tiesų, pirmojo užsakymo įvykdymas laiku neatmeta galimybės įvykdyti kitus du laiku.

Suformuluokime tikimybių sudėjimo teoremą dviejų bendrų įvykių atveju (bus atsižvelgta į jų bendro atsiradimo tikimybę).

2.2 teorema.

Dviejų bendrų įvykių sumos tikimybė yra lygi šių dviejų įvykių tikimybių sumai be jų bendro įvykimo tikimybės:

P$A+B$=P$A$+P$B$-P$AB$.

Priklausomi ir nepriklausomi renginiai. Sąlyginė tikimybė

Yra priklausomi ir nepriklausomi įvykiai. Du įvykiai vadinami nepriklausomais, jei vieno iš jų įvykimas nekeičia kito įvykimo tikimybės. Pavyzdžiui, jei ceche veikia dvi automatinės linijos, kurios nėra tarpusavyje sujungtos dėl gamybos sąlygų, tai šių linijų sustojimai yra savarankiški įvykiai. 3 pavyzdys.

Moneta metama du kartus. Tikimybė, kad „herbas“ atsiras pirmajame procese (įvykis A), nepriklauso nuo „herbo“ atsiradimo ar nepasirodymo antrajame procese (įvykis B). Savo ruožtu, tikimybė, kad „herbas“ atsiras antrajame procese, nepriklauso nuo pirmojo bandymo rezultato. Taigi įvykiai A ir B yra nepriklausomi. Keli renginiai vadinami kolektyviai nepriklausomi

, jei kuris nors iš jų nepriklauso nuo jokio kito įvykio ir bet kokio kitų derinio. Renginiai vadinami priklausomas , jei vienas iš jų turi įtakos kito tikimybei. Pavyzdžiui, dvi gamyklos yra sujungtos vienu technologiniu ciklu. Tuomet vieno iš jų gedimo tikimybė priklauso nuo kito būsenos. Vieno įvykio B tikimybė, apskaičiuota darant prielaidą, kad įvyks kitas įvykis A, vadinama sąlyginė tikimybė

įvykis B ir žymimas P$B|A$ . Įvykio B nepriklausomumo nuo įvykio A sąlyga rašoma forma P$B|A$=P$B$ , o jo priklausomybės sąlyga - forma P$B|A$\ne(P$B$)

. Panagrinėkime sąlyginės įvykio tikimybės apskaičiavimo pavyzdį. 4 pavyzdys.

Tikimybė, kad parduotuvėje bus parduota pora 44 dydžio vyriškų batų yra 0,12; 45-oji - 0,04; 46 ir daugiau – 0,01. Raskite tikimybę, kad bus parduota bent 44 dydžio vyriškų batų pora. Dėžutėje yra 5 pjaustyklės: dvi dėvėtos ir trys naujos. Atliekami du nuoseklūs smilkinių ištraukimai. Nustatykite sąlyginę susidėvėjusio pjaustytuvo atsiradimo tikimybę antrojo ištraukimo metu, jei pirmą kartą išimtas pjaustytuvas nebus grąžintas į dėžę. Pirmuoju atveju pažymėkime A susidėvėjusio pjaustytuvo ištraukimą, o \overline(A) – naujos ištraukimą. Tada. Kadangi išimta freza į dėžę negrąžinama, pasikeičia susidėvėjusių ir naujų pjaustytuvų kiekių santykis. Vadinasi, tikimybė pašalinti susidėvėjusį pjaustytuvą antruoju atveju priklauso nuo to, koks įvykis įvyko prieš jį.

B pažymėkime įvykį, reiškiantį susidėvėjusio pjaustytuvo pašalinimą antruoju atveju. Šio įvykio tikimybė gali būti tokia:

P$B|A$=\frac(1)(4),~~~P$B|\overline(A)$=\frac(2)(4)=\frac(1)(2 ).

Todėl įvykio B tikimybė priklauso nuo to, ar įvykis A įvyksta, ar ne.

Tikimybių daugybos formulės

Tegul įvykiai A ir B yra nepriklausomi ir žinomos šių įvykių tikimybės. Raskime įvykių A ir B sujungimo tikimybę.

2.3 teorema. Tikimybė, kad atsitiks du kartu priklausomi įvykiai

lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:

P$AB$=P$A$\cdot P$B$.

Išvada 2.1.

Tikimybė, kad kartu įvyks keli įvykiai, kurie yra nepriklausomi visumoje, yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai: P$A_1A_2\ldots(A_n)$=P$A_1$P$A_2$\ltaškai(P$A_n$).

Tikimybė, kad parduotuvėje bus parduota pora 44 dydžio vyriškų batų yra 0,12; 45-oji - 0,04; 46 ir daugiau – 0,01. Raskite tikimybę, kad bus parduota bent 44 dydžio vyriškų batų pora. 5 pavyzdys. Trijose dėžutėse yra 10 dalių. Pirmoje dėžutėje yra 8 standartinės dalys, antroje – 7, trečioje – 9. Iš kiekvienos dėžės atsitiktine tvarka išimama po vieną dalį. Raskite tikimybę, kad visos trys išimtos dalys bus standartinės. Tikimybė, kad standartinė dalis bus paimta iš pirmosios dėžutės (įvykis A), P$A$=\frac(8)(10)=\frac(4)(5). Tikimybė, kad standartinė dalis bus paimta iš antrojo langelio (įvykis B), P$B$=\frac(7)(10). Tikimybė, kad standartinė dalis bus paimta iš trečiojo langelio (įvykis C),

P$C$=\frac(9)(10)

. Kadangi įvykiai A, B ir C yra nepriklausomi visumoje, norima tikimybė (pagal daugybos teoremą)

P$ABC$=P$A$P$B$P$C$=\frac(4)(5)\frac(7)(10)\frac(9)(10) =0,\!504.

Tegul įvykiai A ir B yra priklausomi, o tikimybės P$A$ ir P$B|A$ yra žinomos. Raskime šių įvykių sandaugos tikimybę, ty tikimybę, kad atsiras ir įvykis A, ir įvykis B.

2.4 teorema. Dviejų priklausomų įvykių bendro įvykimo tikimybė yra lygi vieno iš jų tikimybės sandaugai su sąlygine kito tikimybe, apskaičiuota darant prielaidą, kad pirmasis įvykis jau įvyko: visi kiti, o kiekvieno paskesnio įvykio tikimybė apskaičiuojama darant prielaidą, kad visi ankstesni įvykiai jau įvyko.

6 pavyzdys. Urnoje yra 5 balti rutuliukai, 4 juodi ir 3 mėlyni. Kiekvienas bandymas susideda iš vieno kamuoliuko ištraukimo atsitiktinai, negrąžinant jo į urną. Raskite tikimybę, kad per pirmąjį bandymą bus baltas rutulys(įvykis A), antroje - juoda (įvykis B) ir trečioje - mėlyna (įvykis C).

Tikimybė, kad parduotuvėje bus parduota pora 44 dydžio vyriškų batų yra 0,12; 45-oji - 0,04; 46 ir daugiau – 0,01. Raskite tikimybę, kad bus parduota bent 44 dydžio vyriškų batų pora. Tikimybė, kad per pirmąjį bandymą pasirodys baltas rutulys P$A$=\frac(5)(12). Tikimybė, kad antrojo bandymo metu pasirodys juodas rutulys, apskaičiuota darant prielaidą, kad baltas rutulys pasirodė per pirmąjį bandymą, t. y. sąlyginė tikimybė P$B|A$=\frac(4)(11). Tikimybė, kad trečiojo bandymo metu pasirodys mėlynas rutulys, apskaičiuota darant prielaidą, kad pirmame bandyme pasirodė baltas rutulys, o antrajame – juodas rutulys, P$C|AB$=\frac(3)(10). Reikalinga tikimybė

P$ABC$=P$A$P$B|A$P$C|AB$=\frac(5)(12)\frac(4)(11)\frac(3) )(10).

Bendrosios tikimybės formulė

2.5 teorema. Jei įvykis A įvyksta tik tada, kai vienas iš įvykių formuojasi pilna grupė nesuderinami įvykiai, tada įvykio A tikimybė yra lygi kiekvieno įvykio tikimybių sandaugų sumai B_1,B_2,\ltaškai (B_n) nesuderinami įvykiai, tada įvykio A tikimybė yra lygi kiekvieno įvykio tikimybių sandaugų sumai:

į atitinkamą sąlyginę įvykio tikimybę

P$A$=\sum\limits_(i=1)^(n)P$B_i$P$A|B_i$.

Šiuo atveju įvykiai B_i,~i=1,\ltaškai,n vadinami hipotezėmis, o tikimybės P$B_i$ – a priori. Ši formulė vadinama bendrosios tikimybės formule. 7 pavyzdys.

Tikimybė, kad parduotuvėje bus parduota pora 44 dydžio vyriškų batų yra 0,12; 45-oji - 0,04; 46 ir daugiau – 0,01. Raskite tikimybę, kad bus parduota bent 44 dydžio vyriškų batų pora. Surinkimo linija gauna dalis iš trijų mašinų. Mašinų našumas nevienodas. Pirmoji mašina pagamina 50% visų dalių, antroji - 30%, o trečioji - 20%. Aukštos kokybės mazgo tikimybė, kai naudojama dalis, pagaminta pirmoje, antroje ir trečioje mašinoje, yra atitinkamai 0,98, 0,95 ir 0,8. Nustatykite tikimybę, kad agregatas nulips nuo surinkimo linijos.

A pažymėkime įvykį, rodantį surinkto mazgo galiojimą;
B_1, B_2 ir B_3 - įvykiai, reiškiantys, kad dalys buvo pagamintos atitinkamai pirmoje, antroje ir trečioje mašinoje. Tada

P$B_1$=0,\!5;~~~~~P$B_2$=0,\!3;~~~~~P$B_3$=0,\!2;

P$A|B_1$=0,\!98;~P$A|B_2$=0,\!95;~P$A|B_3$=0,\!8 .

Reikalinga tikimybė Bayes formulėŠi formulė naudojama išspręsti nesuderinami įvykiai, tada įvykio A tikimybė yra lygi kiekvieno įvykio tikimybių sandaugų sumai praktines problemas nesuderinami įvykiai, tada įvykio A tikimybė yra lygi kiekvieno įvykio tikimybių sandaugų sumai, kai įvykis A pasirodo kartu su bet kuriuo iš įvykių P$B_1$,P$B_2$,\ltaškai (P$B_n$)žinomas. Reikia apskaičiuoti užpakalines (po eksperimento) tikimybes, t. y. iš esmės reikia rasti sąlygines tikimybes P$B_1|A$,P$B_2|A$,\ltaškai (P$B_n|A$). Hipotezei B_j Bayes formulė atrodo taip:

P$B_j|A$=\frac(P$B_j$ P$A|B_j$)(P$A$).

Išplėsdami P$A$ šioje lygybėje, naudodami bendrosios tikimybės formulę (2.1), gauname

P$B_j|A$=\dfrac(P$B_j$P$A|B_j$)(\sum\limits_(i=1)^(n)P$B_i$P$ A|B_i$).

8 pavyzdys. 7 pavyzdžio sąlygomis apskaičiuokite tikimybes, kad mazgas apima dalį, pagamintą atitinkamai pirmoje, antroje ir trečioje mašinoje, jei nuo surinkimo linijos išeinantis mazgas yra aukštos kokybės.

Šaltinis

Atsitiktiniai dydžiai vadinami nepriklausomais, jei vieno iš jų pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo kito atsitiktinio dydžio reikšmės. Tikimybių teorijoje labai svarbi atsitiktinių dydžių priklausomybės samprata. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sąlyginiai skirstiniai yra lygūs jų besąlyginiams skirstiniams. Nustatysime reikalingus ir pakankamai sąlygų atsitiktinių dydžių nepriklausomumas.

Teorema. Tam, kad atsitiktiniai dydžiai X ir Y buvo nepriklausomi, būtina ir pakanka, kad sistemos pasiskirstymo funkcija (X, Y) būtų lygi komponentų pasiskirstymo funkcijų sandaugai.

Panašią teoremą galima suformuluoti ir pasiskirstymo tankiui:

Teorema. Kad atsitiktiniai dydžiai X ir Y būtų nepriklausomi, būtina ir pakanka, kad tankis bendras paskirstymas sistema (X, Y) buvo lygi komponentų pasiskirstymo tankių sandaugai.

Vadinamas atsitiktinių dydžių X ir Y koreliacijos momentas mxy matematinis lūkestisšių dydžių nuokrypių sandauga.

Praktiškai naudojamos šios formulės:

Diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams:

Ištisiniams atsitiktiniams dydžiams:

Koreliacijos momentas naudojamas apibūdinti ryšį tarp atsitiktinių dydžių. Jei atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi, tada jie koreliacijos momentas lygus nuliui.

Koreliacijos momentas turi dimensiją lygus produktui atsitiktinių dydžių X ir Y matmenys. Šis faktas yra šios skaitinės charakteristikos trūkumas, nes adresu skirtingi vienetai matavimų, gaunami skirtingi koreliacijos momentai, todėl sunku palyginti skirtingų atsitiktinių dydžių koreliacijos momentus.

Siekiant pašalinti šį trūkumą, naudojama kita charakteristika - koreliacijos koeficientas.

Atsitiktinių dydžių X ir Y koreliacijos koeficientas rxy yra koreliacijos momento ir vidurkių sandaugos santykis kvadratiniai nuokrypiaišiuos kiekius.

Koreliacijos koeficientas yra bematis dydis. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių koreliacijos koeficientas lygus nuliui.

Nuosavybė: Absoliuti vertė dviejų atsitiktinių dydžių X ir Y koreliacijos momentas neviršija jų dispersijų geometrinio vidurkio.

Savybė: absoliuti koreliacijos koeficiento reikšmė neviršija vieneto.

Atsitiktiniai dydžiai vadinami koreliuotais, jei jų koreliacijos momentas skiriasi nuo nulio, ir nekoreliuojančiais, jei jų koreliacijos momentas lygus nuliui.

Jeigu atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi, tai jie nekoreliuoja, bet iš nekoreliacijos negalima daryti išvados, kad jie nepriklausomi.

Jei du dydžiai yra priklausomi, jie gali būti koreliuojami arba nekoreluojami.

Dažnai iki duoto tankio Atsitiktinių dydžių sistemos pasiskirstymas, galima nustatyti šių kintamųjų priklausomybę arba nepriklausomumą.

Kartu su koreliacijos koeficientu atsitiktinių dydžių priklausomybės laipsnį galima apibūdinti kitu dydžiu, kuris vadinamas kovariacijos koeficientu. Kovariacijos koeficientas nustatomas pagal formulę:

Pavyzdys. Pateiktas atsitiktinių dydžių X ir Y sistemos pasiskirstymo tankis.

Išsiaiškinkite, ar atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi.

Norėdami išspręsti šią problemą, transformuojame pasiskirstymo tankį:

Taigi pasiskirstymo tankis gali būti pavaizduotas kaip dviejų funkcijų sandauga, iš kurių viena priklauso tik nuo x, o kita tik nuo y. Tie. atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi. Žinoma, jie taip pat nebus koreliuojami.

Du atsitiktiniai dydžiai $X$ ir $Y$ vadinami nepriklausomais, jei vieno atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis nesikeičia priklausomai nuo galimas vertes paėmė kitą atsitiktinį kintamąjį. Tai yra, bet kurių $x$ ir $y$ įvykiai $X=x$ ir $Y=y$ yra nepriklausomi. Kadangi įvykiai $X=x$ ir $Y=y$ yra nepriklausomi, tai pagal nepriklausomų įvykių tikimybių sandaugos teoremą $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ dešinė)\right)=P \left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.

1 pavyzdys . Atsitiktinis dydis $X$ išreiškia grynuosius laimėjimus iš vienos loterijos „Russian Lotto“ bilietų, o atsitiktinis dydis $Y$ – grynuosius laimėjimus iš kitos loterijos „Auksinis raktas“ bilietų. Akivaizdu, kad atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ bus nepriklausomi, nes vienos loterijos bilietų laimėjimai nepriklauso nuo laimėjimų paskirstymo iš kitos loterijos bilietų dėsnio. Tuo atveju, kai atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ išreikštų tos pačios loterijos laimėjimus, akivaizdu, kad šie atsitiktiniai dydžiai būtų priklausomi.

2 pavyzdys . Du darbuotojai dirba skirtinguose cechuose ir gamina įvairius gaminius, nesusijusius vienas su kitu gamybos technologijomis ir naudojamomis žaliavomis. Pirmojo darbuotojo per pamainą pagamintų nekokybiškų gaminių skaičiaus paskirstymo įstatymas yra tokia forma:

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
\ brokuotų \ gaminių skaičius \ x & 0 ir 1 \\
\hline
Tikimybė ir 0,8 ir 0,2 \\
\hline
\end(masyvas)$

Priklauso nuo antrojo darbuotojo per pamainą pagamintų nekokybiškų gaminių skaičiui vadovaujantis įstatymu paskirstymus.

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
\ brokuotų \ gaminių skaičius \ y & 0 ir 1 \\
\hline
Tikimybė ir 0,7 ir 0,3 \\
\hline
\end(masyvas)$

Raskime paskirstymo dėsnį sugedusių gaminių skaičiui, pagaminamų dviejų darbuotojų per pamainą.

Tegul atsitiktinis kintamasis $X$ yra sugedusių gaminių, pagamintų pirmojo darbuotojo per pamainą, skaičius, o $Y$ – gaminių su trūkumais, pagamintų antrojo darbuotojo per pamainą, skaičius. Pagal sąlygą atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ yra nepriklausomi.

Dviejų darbuotojų per pamainą pagamintų gaminių su defektais skaičius yra atsitiktinis dydis $X+Y$. Galimos jo vertės yra $0,\1$ ir $2$. Raskime tikimybes, su kuriomis atsitiktinis kintamasis $X+Y$ įgauna savo reikšmes.

$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right) =0.8\cdot 0.7=0.56.$

$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\Y=1\ or\X=1,\Y=0\right)=P\left(X=0\right) )P\kairė(Y=1\dešinė)+P\kairė(X=1\dešinė)P\kairė(Y=0\dešinė)=0,8\ctaškas 0,3+0,2\ctaškas 0,7 =0,38.$

$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right) =0.2\cdot 0.3=0.06.$

Tada sugedusių gaminių, pagamintų dviejų darbuotojų per pamainą, skaičiaus pasiskirstymo dėsnis:

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
\ brokuotų \ produktų skaičius & 0 & 1 ir 2 \\
\hline
Tikimybė ir 0,56 ir 0,38 ir 0,06\\
\hline
\end(masyvas)$

Ankstesniame pavyzdyje atlikome operaciją su atsitiktiniais dydžiais $X,\Y$, būtent, radome jų sumą $X+Y$. Dabar pateikime griežtesnį atsitiktinių dydžių operacijų (sudėties, skirtumo, daugybos) apibrėžimą ir pateiksime sprendimų pavyzdžius.

1 apibrėžimas. Atsitiktinio dydžio $X$ sandauga $kX$ pagal pastovią vertę$k$ yra atsitiktinis kintamasis, kurio reikšmės yra $kx_i$ su tomis pačiomis tikimybėmis $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \dots ,\ n\right)$.

2 apibrėžimas. Atsitiktinių dydžių $X$ ir $Y$ suma (skirtumas arba sandauga) yra atsitiktinis dydis, kurio visos galimos formos $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ arba $x_i\cdot y_i$) , kur $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, su tikimybėmis $p_(ij)$, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgis $x_i$, o $Y$ – $y_j$:

$$p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$

Kadangi atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ yra nepriklausomi, tai pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ dešinėje)= p_i\cdot p_j$.

3 pavyzdys . Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai $X,\ Y$ nurodomi jų tikimybių skirstymo dėsniais.

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
x_i ir -8 ir 2 ir 3 \\
\hline
p_i ir 0,4 ir 0,1 ir 0,5 \\
\hline
\end(masyvas)$

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
y_i ir 2 ir 8 \\
\hline
p_i ir 0,3 ir 0,7 \\
\hline
\end(masyvas)$

Suformuluokime atsitiktinio dydžio $Z=2X+Y$ pasiskirstymo dėsnį. Atsitiktinių dydžių $X$ ir $Y$ suma, ty $X+Y$, yra atsitiktinis kintamasis, kurio visos galimos reikšmės yra $x_i+y_j$, kur $i=1,\ 2 ,\taškai ,\ n$ , su tikimybėmis $p_(ij)$, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgis $x_i$, o $Y$ - $y_j$: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. Kadangi atsitiktiniai dydžiai $X,\Y$ yra nepriklausomi, tai pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ dešinėje)= p_i\cdot p_j$.

Taigi, jis turi atsitiktinių dydžių $2X$ ir $Y$ pasiskirstymo dėsnius.

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
x_i ir -16 ir 4 ir 6 \\
\hline
p_i ir 0,4 ir 0,1 ir 0,5 \\
\hline
\end(masyvas)$

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
y_i ir 2 ir 8 \\
\hline
p_i ir 0,3 ir 0,7 \\
\hline
\end(masyvas)$

Kad būtų patogiau rasti visas sumos $Z=2X+Y$ reikšmes ir jų tikimybes, sudarysime pagalbinę lentelę, kurios kiekviename langelyje kairiajame kampe patalpinsime sumos $ reikšmes. Z=2X+Y$, o dešiniajame kampe – šių reikšmių tikimybės, gautos kaip rezultatas, padauginus atitinkamų atsitiktinių dydžių $2X$ ir $Y$ reikšmių tikimybes.

Dėl to gauname paskirstymą $Z=2X+Y$:

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
z_i ir -14 ir -8 ir 6 ir 12 ir 10 ir 16 \\
\hline
p_i ir 0,12 ir 0,28 ir 0,03 ir 0,07 ir 0,15 ir 0,35 \\
\hline
\end(masyvas)$

Sąlyginiai skirstymo dėsniai. Regresija.

Apibrėžimas. Sąlyginė teisė Vieno iš dvimačio atsitiktinio dydžio (X, Y) vienmačio komponento pasiskirstymas vadinamas jo pasiskirstymo dėsniu, apskaičiuotu su sąlyga, kad kitas komponentas įgavo tam tikrą reikšmę (arba pateko į kokį nors intervalą). Ankstesnėje paskaitoje nagrinėjome diskrečiųjų atsitiktinių dydžių sąlyginių skirstinių radimą. Ten taip pat pateiktos sąlyginių tikimybių formulės:

Ištisinių atsitiktinių dydžių atveju būtina nustatyti sąlyginių skirstinių j y (x) ir j X (y) tikimybių tankius. Šiuo tikslu pateiktose formulėse įvykių tikimybes pakeičiame " tikimybės elementai»,!

sumažinę dx ir dy gauname:

tie. dvimačio atsitiktinio dydžio vienos iš vienmačių dedamųjų sąlyginis tikimybės tankis yra lygus jo jungtinio tankio ir kitos dedamosios tikimybės tankio santykiui. Šie santykiai parašyti formoje

vadinami pasiskirstymo tankių dauginimo teorema (taisykle).

Sąlyginiai tankiai j y (x) ir j X (y). turi visas „besąlyginio“ tankio savybes.

Tirdami dvimačius atsitiktinius dydžius, svarstome skaitinės charakteristikos vienmačiai komponentai X ir Y – matematiniai lūkesčiai ir dispersijos. Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui (X, Y) jie nustatomi pagal formules:

Kartu su jais atsižvelgiama ir į skaitines sąlyginių skirstinių charakteristikas: sąlyginius matematinius lūkesčius M x (Y) ir M y (X) ir sąlyginės dispersijos D x (Y) ir D Y (X). Šios charakteristikos randamos naudojant įprastas matematinių lūkesčių ir dispersijos formules, kuriose vietoj įvykių tikimybių ar tikimybių tankių naudojamos sąlyginės tikimybės arba sąlyginių tikimybių tankiai.

Sąlyginis matematinis atsitiktinio dydžio Y lūkestis, kai X = x, t.y. M x (Y) yra x funkcija, vadinama regresijos funkcija arba tiesiog Y regresija X. Panašiai M Y (X) vadinama regresijos funkcija arba tiesiog X regresija nuo Y. Šių funkcijų grafikai yra vadinamos regresijos linijomis (arba regresijos kreivėmis) Y atitinkamai X arba X pagal Y.

Priklausomi ir nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai.

Apibrėžimas. Atsitiktiniai dydžiai X ir Y vadinami nepriklausomais, jei jų jungtinė skirstymo funkcija F(x,y) vaizduojama kaip šių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo funkcijų F 1 (x) ir F 2 (y) sandauga, t.y.

Kitu atveju atsitiktiniai dydžiai X ir Y vadinami priklausomais.

Du kartus diferencijuodami lygybę argumentų x ir y atžvilgiu, gauname

tie. nepriklausomiems nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams X ir Y jų sąnario tankis j(x,y) yra lygus šių atsitiktinių dydžių tikimybių tankių j 1 (x) ir j 2 (y) sandaugai.

Iki šiol susidurdavome su funkcinio ryšio tarp kintamųjų X ir Y samprata, kai kiekviena vieno kintamojo reikšmė x atitiko griežtai apibrėžtą kito reikšmę. Pavyzdžiui, ryšys tarp dviejų atsitiktinių dydžių – sugedusių įrenginių skaičiaus per tam tikrą laikotarpį ir jų kainos – yra funkcinis.

IN bendras atvejis, susiduria su kitokio tipo priklausomybe, ne tokia griežta nei funkcinė.

Apibrėžimas. Ryšys tarp dviejų atsitiktinių dydžių vadinamas tikimybiniu (stochastiniu arba statistiniu), jei kiekviena vieno iš jų reikšmė atitinka tam tikrą (sąlyginį) kito pasiskirstymą.

Tikimybinės (stochastinės) priklausomybės atveju, žinant vieno iš jų reikšmę, tiksliai nustatyti kito reikšmę neįmanoma, tačiau galima tik nurodyti kito dydžio pasiskirstymą. Pavyzdžiui, įrangos gedimų skaičiaus ir jos prevencinio remonto kainos santykis, žmogaus svoris ir ūgis, laikas, kurį moksleivis praleidžia žiūrėdamas televizorių ir skaitydamas knygas ir kt. yra tikimybiniai (stochastiniai).

Fig. 5.10 paveiksle pateikti priklausomų ir nepriklausomų atsitiktinių dydžių X ir Y pavyzdžiai.