Pagrindinė homogeninės diferencialinių lygčių sistemos sistema. Fundamentali sprendimų sistema (konkretus pavyzdys)

n-osios eilės LDE - ur-e, tiesinė nežinomos funkcijos ir jos išvestinių atžvilgiu ir turi formą

a 0 (x)y (n) +a 1 (x)y (n-1) +…+a n-1 (x)y'+a n (x)y=φ(x)|: a 0 (x) )

φ(x)≠0- LNOU

y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n -1 (x)y’+p n (x)y=g (x)- (1) ur-e nurodyta forma

*jei y 1 yra LOU sprendinys, tai C y 1, kur C yra savavališka konstanta, taip pat yra šios lygties sprendimas.

*LOE y 1 + y 2 sprendinių suma yra to paties lygio sprendinys.

1 0 Tiesinis derinys su savavališkomis sprendinių konstantomis y 1 , y 2 ,…, y m LOU yra tos pačios lygties sprendinys.

*jei LOU (1) su realiaisiais koeficientais p i (x)∈R turi kompleksinis sprendimas y(x)=u(x)+iv(x), tai šio sprendinio realioji dalis Rey=u(x) ir jos menamoji dalis Imy=v(x) yra atskirai tos pačios lygties sprendiniai.

Funkcijos y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) vadinamos tiesiškai priklausomas tam tikru intervalu (a, b), jei yra konstantos a1,a2,…,an≠0 taip, kad visiems intervalo x (a,b) tapatumas a 1 y 1 (x)+a 2 y 2 (x)+…+a n -1 (x)y' + yra tiesa a n y n (x)=0. Jei funkcijos yra tiesiškai priklausomos, tai bent viena iš jų yra tiesinis kitų derinys.

Jei tapatybė galioja tik a1=a2=…=an=0, tada funkcijos y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) iškviečiamos tiesiškai nepriklausomas intervale (a, b).

*jei funkcijos y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) tiesiškai priklausomas intervale (a, b), tada determinantas (Vronskio sala)

W(x)=W= =0 šiame intervale.

Būklė linijinė nepriklausomybė privatūs sprendimai:

* jei tiesiškai nepriklausomos funkcijos y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) yra LOE (1) sprendiniai, kurių koeficientai p i (x) yra tolydžios intervale (a,b), tada joms sudarytos Wronskio determinantas nėra = 0 bet kuriame intervalo (a,b) taške.

Bendras LOU (1) sprendimas su koeficientais p i (x) tolydžio ties (a,b) (i=1,2,...,n) yra tiesinis derinys y oo = n tiesiškai nepriklausomas tame pačiame dalinio intervalo sprendimai y i su savavališkais pastovūs koeficientai.

1 0 maksimalus skaičius linijinis nepriklausomi sprendimai LOU yra lygus jo tvarkai.

FSR- bet kurių n nepriklausomų dalinių sprendinių LOU n-osios eilės.

*y ant =y oo +y chn

Tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties bendrojo sprendinio sandara. Savavališkų konstantų kitimo metodas ieškant konkretaus n-osios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lygties sprendimo.

LPDE išsprendžiami savavališkų konstantų keitimo metodu. Pirmas yra bendras sprendimas vienalytė lygtis , turintis tą patį kairėje pusėje, kaip originalas nehomogeninė lygtis. Tada lygties sprendinys randamas formoje, t.y. Daroma prielaida, kad konstantos C yra nepriklausomo kintamojo x f-mi. Šiuo atveju funkcijos C 1 (x) ir C 2 (x) gali būti gautos kaip sistemos sprendimas

U jis = u oo + u chn

didžiausias lygties sprendinių skaičius yra lygus jos tvarkai.

bendras sprendimas

44*. Linijinis vienalytis diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais. Būdingas daugianario ir charakteristikos lygtis. Statyba pagrindinė sistema sprendimus atveju paprastos šaknys būdingas daugianario(tikras ir sudėtingas).

Formos y lygtis"+p(x)y=f(x), kur p(x), f(x) yra tolydžios funkcijos intervale a

Jei f(x)= 0, tai lygtis vadinama vienalyte.

Jei LO ur-ii y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n-1 (x)y’+p n (x)y=0

Visi koeficientai pi yra pastovūs, tada jo dalinius sprendinius galima rasti forma y=e kx, kur k yra konstanta. Pakeičiant ur

(k n +p 1 k n -1 +….+p n-1 k+ p n) e kx =0

Sumažinus e kx gauname vadinamąjį Būdingas lygis

k n +p 1 k n -1 +….+p n -1 k+ p n =0

Ši n-ojo laipsnio lygtis nustato tas k reikšmes, kuriose y=e kx yra pradinės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais sprendimas.

1.k 1 , k 2 ,…,k n – tikras ir skirtingas

FSR: e k 1 x , e k 2 x ,…, e knx

2. k 1 = k 2 =…=k m = k ~ ,

k ~ - m - daugybinė ur-i šaknis, o visos kitos n- m šaknys yra skirtingos

FSR: e k ~ x ,x e k ~ x ,…, x m -1 e k ~ x , e km +1 x , e k n x

taip pat žr. Tiesinių diferencialinių lygčių sprendimas internete
Rasti esminę sprendimų sistemą bendruoju atveju yra gana sudėtinga užduotis. Tačiau yra lygčių klasė, kuriai šią problemą galima gana lengvai išspręsti. Dabar pradedame mokytis šios klasės.
(*)

Tiesine diferencialine lygtimi (*) vadinkime lygtį su pastoviais koeficientais, jei koeficientai šioje lygtyje yra pastovūs, tai yra a i (x)=const. Tada atitinkama vienalytė lygtis L(y)=0 turės formą
. (6)
Ieškosime (6) lygties sprendinio formoje y = e rx . Tada y" = r e rx , y"" = r 2 e rx ,…, y (n) = r n e rx . Pakeitę į (6), gauname

.

Pavyzdys. Lygčiai y""-3y" + 2y=0 būdingos lygties r 2 - 3r + 2 = 0 šaknys yra lygios r 1 = 1, r 2 = 2 (šaknys rastos per paieškos paslaugą Diskriminantas). Vadinasi, pagrindinė sprendinių sistema susideda iš funkcijų y 1 = e x, y 2 = e 2 x, o bendrasis sprendinys rašomas taip: y = C 1 e x + C 2 e 2 x.
2. Tarp charakteristikų lygties šaknų yra kartotiniai. Tarkime, kad r 1 turi daugumą α, o visi kiti yra skirtingi. Pirmiausia panagrinėkime atvejį r 1 = 0. Tada charakteristikos lygtis turi formą

.

Mes ir toliau tobulinsime savo technologijas elementarios transformacijosįjungta vienalytė tiesinių lygčių sistema.
Remiantis pirmomis pastraipomis, medžiaga gali atrodyti nuobodi ir vidutiniška, tačiau toks įspūdis yra apgaulingas. Be tolesnio metodų tobulinimo, bus daug naujos informacijos, todėl stenkitės nepamiršti šiame straipsnyje pateiktų pavyzdžių.

Kas yra vienalytė tiesinių lygčių sistema?

Atsakymas rodo pats. Tiesinių lygčių sistema yra vienalytė, jei laisvasis narys visi sistemos lygtis lygi nuliui. Pavyzdžiui:

Visiškai aišku, kad vienalytė sistema visada yra nuosekli ty visada turi sprendimą. Ir, visų pirma, į akis krenta vadinamasis trivialus sprendimas . Trivialus, tiems, kurie visiškai nesupranta būdvardžio reikšmės, reiškia be pasipuikavimo. Žinoma, ne akademiškai, o suprantamai =) ...Kam muštis, pažiūrėkime, ar ši sistema turi kitų sprendimų:

1 pavyzdys

Sprendimas: norint išspręsti vienarūšę sistemą reikia parašyti sistemos matrica ir elementariųjų transformacijų pagalba įnešti į laiptuotą formą. Atkreipkite dėmesį, kad čia nereikia rašyti vertikalios juostos ir nulinio laisvųjų terminų stulpelio – juk kad ir ką darytumėte su nuliais, jie liks nuliais:

(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –3.

(2) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –1.

Trečią eilutę dalinti iš 3 nėra prasmės.

Elementariųjų transformacijų rezultate gaunama ekvivalentiška vienalytė sistema , ir naudojant atvirkštinį Gauso metodą, nesunku patikrinti, ar sprendimas yra unikalus.

Atsakymas:

Suformuluokime akivaizdų kriterijų: vienalytė tiesinių lygčių sistema turi tik trivialus sprendimas, Jei sistemos matricos rangas(šiuo atveju 3) yra lygus kintamųjų skaičiui (šiuo atveju – 3 vnt.).

Sušildykime ir priderinkime radiją prie elementarių transformacijų bangos:

2 pavyzdys

Išspręskite vienarūšę tiesinių lygčių sistemą

Norėdami galutinai konsoliduoti algoritmą, išanalizuokite galutinę užduotį:

7 pavyzdys

Išspręskite vienarūšę sistemą, atsakymą parašykite vektorine forma.

Sprendimas: užrašykime sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:

(1) Pirmos eilutės ženklas buvo pakeistas. Dar kartą atkreipiu dėmesį į daugybę kartų sutiktą techniką, kuri leidžia gerokai supaprastinti kitą veiksmą.

(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie 2 ir 3 eilučių. Pirmoji eilutė, padauginta iš 2, buvo pridėta prie 4 eilutės.

(3) Paskutinės trys eilutės yra proporcingos, dvi iš jų pašalintos.

Dėl to gaunama standartinė žingsnių matrica, o sprendimas tęsiamas raižytu takeliu:

– pagrindiniai kintamieji;
– laisvieji kintamieji.

Išreikškime pagrindinius kintamuosius laisvaisiais kintamaisiais. Iš 2 lygties:

– pakeisti į 1 lygtį:

Taigi bendras sprendimas yra toks:

Kadangi nagrinėjamame pavyzdyje yra trys laisvieji kintamieji, pagrindinėje sistemoje yra trys vektoriai.

Pakeiskime tris vertes į bendrą sprendinį ir gauti vektorių, kurio koordinatės tenkina kiekvieną homogeninės sistemos lygtį. Ir dar kartą kartoju, kad labai patartina patikrinti kiekvieną gautą vektorių – tai neužims daug laiko, bet visiškai apsaugos nuo klaidų.

Už vertybių trigubą rasti vektorių

Ir galiausiai trims gauname trečiąjį vektorių:

Atsakymas:, kur

Norintys vengti trupmeninių verčių, gali apsvarstyti trynukus ir gaukite atsakymą lygiaverte forma:

Kalbant apie trupmenas. Pažiūrėkime į užduotyje gautą matricą ir paklauskime savęs: ar įmanoma supaprastinti tolesnį sprendimą? Juk čia iš pradžių per trupmenas išreiškėme pagrindinį kintamąjį, paskui trupmenomis pagrindinį kintamąjį, ir, turiu pasakyti, šis procesas nebuvo pats paprasčiausias ir ne pats maloniausias.

Antras sprendimas:

Idėja yra pabandyti pasirinkti kitus bazinius kintamuosius. Pažiūrėkime į matricą ir trečiame stulpelyje pastebėkime du. Taigi kodėl gi ne nulis viršuje? Atlikime dar vieną elementarią transformaciją:

Norėdami suprasti, kas tai yra pagrindinė sprendimų sistema spustelėję galite žiūrėti to paties pavyzdžio vaizdo pamoką. Dabar pereikime prie tikrojo visų būtinų darbų aprašymo. Tai padės išsamiau suprasti šio klausimo esmę.

Kaip rasti pagrindinę tiesinės lygties sprendinių sistemą?

Paimkime, pavyzdžiui, šią tiesinių lygčių sistemą:

Raskime šios tiesinės lygčių sistemos sprendimą. Norėdami pradėti, mes reikia išrašyti sistemos koeficientų matricą.

Paverskime šią matricą į trikampę. Pirmą eilutę perrašome be pakeitimų. Ir visi elementai, kurių vertė yra mažesnė nei $a_(11)$, turi būti padaryti nuliais. Norėdami vietoj elemento $a_(21)$ padaryti nulį, iš antrosios eilutės turite atimti pirmąjį, o skirtumą įrašyti antroje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(31)$ padaryti nulį, iš trečios eilutės turite atimti pirmąją, o skirtumą įrašyti trečioje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(41)$ padaryti nulį, iš ketvirtos eilutės reikia atimti pirmąjį, padaugintą iš 2, ir įrašyti skirtumą ketvirtoje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(31)$ padaryti nulį, iš penktos eilutės reikia atimti pirmąjį, padaugintą iš 2, ir įrašyti skirtumą penktoje eilutėje.

Pirmą ir antrą eilutes perrašome be pakeitimų. Ir visi elementai, esantys žemiau $a_(22)$, turi būti padaryti nuliais. Norėdami vietoj elemento $a_(32)$ padaryti nulį, iš trečios eilutės reikia atimti antrąjį, padaugintą iš 2, ir įrašyti skirtumą trečioje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(42)$ padaryti nulį, turite iš ketvirtos eilutės atimti antrąjį, padaugintą iš 2, ir įrašyti skirtumą ketvirtoje eilutėje. Norėdami vietoj elemento $a_(52)$ padaryti nulį, turite iš penktos eilutės atimti antrąjį, padaugintą iš 3, ir įrašyti skirtumą penktoje eilutėje.

Mes tai matome paskutinės trys eilutės yra vienodos, taigi, jei iš ketvirtos ir penktos atimsite trečiąjį, jie taps nuliu.

Pagal šią matricą parašyti naują lygčių sistemą.

Matome, kad turime tik tris tiesiškai nepriklausomas lygtis ir penkis nežinomuosius, todėl pagrindinė sprendinių sistema susideda iš dviejų vektorių. Taigi mes turime perkelti paskutinius du nežinomuosius į dešinę.

Dabar mes pradedame išreikšti tuos nežinomus dalykus, kurie yra kairėje pusėje, per tuos, kurie yra dešinėje. Pradedame nuo paskutinės lygties, pirmiausia išreiškiame $x_3$, tada gautą rezultatą pakeičiame antrąja lygtimi ir išreiškiame $x_2$, o tada pirmąja lygtimi ir čia išreiškiame $x_1$. Taigi mes išreiškėme visus nežinomus, kurie yra kairėje pusėje, per nežinomus, kurie yra dešinėje.

Tada vietoj $x_4$ ir $x_5$ galime pakeisti bet kokius skaičius ir rasti $x_1$, $x_2$ ir $x_3$. Kiekvienas penkis iš šių skaičių bus mūsų pradinės lygčių sistemos šaknys. Norėdami rasti vektorius, kurie yra įtraukti į FSR turime pakeisti 1 vietoj $x_4$, o vietoj $x_5$ pakeisti 0, rasti $x_1$, $x_2$ ir $x_3$, o tada atvirkščiai $x_4=0$ ir $x_5=1$.

Antrosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys

Antrosios eilės diferencialinė lygtis turi formą .

Apibrėžimas. Bendras antros eilės lygties sprendimas yra funkcija, kuri bet kuriai vertei yra šios lygties sprendimas.

Apibrėžimas. Antros eilės tiesinė vienalytė lygtis vadinama lygtimi. Jeigu koeficientai pastovūs, t.y. nepriklauso nuo , tada ši lygtis vadinama lygtimi su pastoviais koeficientais ir rašoma taip: .

Lygtis vadinsime tai tiesine nehomogenine lygtimi.

Apibrėžimas. Lygtis, gauta iš tiesinės vienalytės lygties, funkciją pakeitus vienetu ir atitinkamais laipsniais, vadinama charakteristine lygtimi.

Yra žinoma, kad kvadratinė lygtis turi sprendimą, priklausantį nuo diskriminanto: , t.y. jei , tada šaknys ir yra skirtingi realieji skaičiai. Jei, tada. Jeigu, t.y. , tada bus įsivaizduojamas skaičius, o šaknys ir bus kompleksiniai skaičiai. Šiuo atveju sutinkame pažymėti .

4 pavyzdys. Išspręskite lygtį.

Sprendimas. Todėl šios kvadratinės lygties diskriminantas yra .

Parodysime, kaip rasti homogeninės antros eilės tiesinės lygties bendrą sprendinį, naudojant charakteristikos lygties šaknų formą.

Jei yra tikrosios charakteristikų lygties šaknys, tada .

Jei charakteristikų lygties šaknys yra vienodos, t.y. , tada bendras diferencialinės lygties sprendinys ieškomas naudojant formulę arba .

Jei charakteristikos lygtis turi sudėtingas šaknis, tada.

5 pavyzdys. Raskite bendrąjį lygties sprendinį.

Sprendimas. Sukurkime šiai diferencialinei lygčiai būdingą lygtį: . Jo šaknys yra galiojančios ir skirtingos. Todėl bendras sprendimas .

Fundamentali tiesinės homogeninės diferencialinės lygties sprendinių sistema. Teorema apie tiesinės vienalytės diferencialinės lygties bendrojo sprendinių sandarą. Šiame skyriuje įrodysime, kad bet koks rinkinys n jos tiesiškai nepriklausomi sprendimai.
Def. 14.5.5.1. pamatinė sprendimų sistema. Fundamentali sprendimų sistema tiesinė homogeninė diferencialinė lygtis n -toji eilė yra bet kuri tiesiškai nepriklausoma sistema y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) jo n privatūs sprendimai.
14.5.5.1.1 teorema apie tiesinės vienalytės diferencialinės lygties bendrojo sprendinio struktūrą. Bendras sprendimas y (x ) tiesinės vienalytės diferencialinės lygties yra tiesinis funkcijų derinys iš pagrindinės šios lygties sprendinių sistemos:
y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ).
dokumentas. Leiskite y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) yra pagrindinė tiesinės vienalytės diferencialinės lygties sprendinių sistema. Būtina įrodyti, kad bet koks konkretus sprendimas y kas ( x ) šios lygties yra formulėje y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) tam tikrai konstantų rinkiniui C 1 , C 2 , …, Cn . Paimkime bet kurį tašką, apskaičiuokime skaičius ir raskime konstantas C 1 , C 2 , …, Cn kaip tiesinės nehomogeninės algebrinių lygčių sistemos sprendimas

Toks sprendimas egzistuoja ir yra unikalus, nes šios sistemos determinantas yra lygus . Apsvarstykite linijinį derinį y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) funkcijos iš pagrindinės sprendinių sistemos su šiomis konstantų reikšmėmis C 1 , C 2 , …, Cn ir palyginkite ją su funkcija y kas ( x ). Funkcijos y (x ) Ir y kas ( x ) tenkina tą pačią lygtį ir tas pačias pradines sąlygas taške x 0, todėl dėl Koši problemos sprendimo unikalumo jie sutampa: y kas ( x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + … + C n y n (x ). Teorema įrodyta.
Iš šios teoremos seka, kad homogeninės lygties su ištisiniais koeficientais dalinių sprendinių tiesinės erdvės matmuo neviršija n . Belieka įrodyti, kad šis matmuo yra ne mažesnis kaip n .
14.5.5.1.2 teorema apie tiesinės vienalytės diferencialinės lygties pamatinės sprendinių sistemos egzistavimą. Bet kuri tiesinė vienalytė diferencialinė lygtis n eilė su ištisiniais koeficientais turi fundamentalią sprendinių sistemą, t.y. sistema nuo n tiesiškai nepriklausomi sprendimai.
dokumentas. Paimkime bet kurį skaitinį determinantą n -oji eilė, nelygi nuliui