Didžiausias visų aibių, kurios yra vektorinės erdvės, skaičius. Vektorinė linijinė erdvė

Golovizinas V.V. Paskaitos apie algebrą ir geometriją.

4

Paskaitos apie algebrą ir geometriją. 2 semestras.

22 paskaita. Vektorinės erdvės.

Santrauka: vektorinės erdvės apibrėžimas, paprasčiausios jos savybės, vektorių sistemos, tiesinis vektorių sistemos derinys, trivialus ir netrivialus tiesinis derinys, tiesiškai priklausomos ir nepriklausomos vektorių sistemos, tiesinės priklausomybės arba nepriklausomumo sąlygos. vektoriai, vektorių sistemos posistemės, aritmetinės vektorinės erdvės stulpelių sistemos.

1 punktas. Vektorinės erdvės apibrėžimas ir paprasčiausios jos savybės.

Čia skaitytojo patogumui pakartojame 1 paskaitos 13 pastraipos turinį.

Apibrėžimas. Tegu yra savavališka netuščia aibė, kurios elementus vadinsime vektoriais, o K – lauką, kurio elementus vadinsime skaliarais. Tegul aibėje yra apibrėžta vidinė dvejetainė algebrinė operacija, kurią pažymėsime + ženklu ir skambučio vektoriaus pridėjimu. Taip pat aibėje bus apibrėžta išorinė dvejetainė algebrinė operacija, kurią pavadinsime vektoriaus dauginimu iš skaliaro ir žymime daugybos ženklu. Kitaip tariant, apibrėžiami du atvaizdai:

Aibė kartu su šiomis dviem algebrinėmis operacijomis vadinama vektorine erdve virš lauko K, jei galioja šios aksiomos:

1. Papildymas yra asociatyvus, t.y.

2. Yra nulinis vektorius, t.y.

3. Bet kuriam vektoriui yra priešingybė:

Vektorius y, priešingas vektoriui x, paprastai žymimas -x, taigi

4. Sudėtis yra komutacinė, t.y. .

5. Vektoriaus dauginimas iš skaliro paklūsta asociatyvumo dėsniui, t.y.

kur sandauga yra skaliarų sandauga, apibrėžta lauke K.

6. , kur 1 yra K lauko vienetas.

7. Vektoriaus dauginimas iš skaliro yra skirstomasis vektorių pridėjimo atžvilgiu:

8. Vektoriaus dauginimas iš skaliro yra skirstomasis skaliarų pridėjimo atžvilgiu: . Apibrėžimas. Vektorinė erdvė

virš realiųjų skaičių lauko vadinama realiąja vektorine erdve.

Teorema. (Paprasčiausios vektorinių erdvių savybės.)

2. Vektorinėje erdvėje bet kuris vektorius turi jam unikalią priešingybę.

3. arba
.

4. .

Įrodymas. 1) Unikalumas nulinis vektorius taip pat įrodomas kaip tapatybės matricos unikalumas ir apskritai kaip bet kurios vidinės dvejetainės algebrinės operacijos neutralaus elemento unikalumas.

Tegul 0 yra vektorinės erdvės V nulinis vektorius. Tada. Leiskite
– dar vienas nulinis vektorius. Tada. Paimkime pirmąjį atvejį
o antroje –
. Tada
Ir
, iš kurio išplaukia, kad
ir kt.

2a) Pirmiausia įrodome, kad nulinio skaliro ir bet kurio vektoriaus sandauga yra lygi nuliniam vektoriui.

Leiskite
. Tada, taikydami vektorinės erdvės aksiomas, gauname:

Kalbant apie pridėjimą, vektorinė erdvė yra Abelio grupė, o panaikinimo įstatymas galioja bet kurioje grupėje. Taikant anuliavimo dėsnį, išplaukia iš paskutinės lygybės

.

2b) Dabar įrodome 4 teiginį). Leiskite
– savavališkas vektorius. Tada

Iš karto išplaukia, kad vektorius
yra priešinga vektoriui x.

2c) Leisk dabar
. Tada, naudojant vektoriaus erdvės aksiomas,
Ir
gauname:

2d) Leiskite
ir tarkime, kad
. Nes
, kur K yra laukas, tada yra
. Padauginkime lygybę
paliktas
:
, kuris seka
arba
arba
.

Teorema įrodyta.

2 punktas. Vektorinių erdvių pavyzdžiai.

1) Vieno kintamojo skaitinių realiųjų funkcijų rinkinys, nuolatinis intervale (0; 1), atsižvelgiant į įprastas funkcijų sudėjimo ir funkcijos dauginimo iš skaičiaus operacijas.

2) Daugiavardžių aibė iš vienos raidės su koeficientais iš lauko K Dėl daugianario sudėjimo ir daugianario dauginimo iš skaliro.

3) Daug kompleksiniai skaičiai dėl kompleksinių skaičių sudėties ir daugybos iš tikrojo skaičiaus.

4) Aibė vienodo dydžio matricų su elementais iš lauko K matricos sudėjimo ir matricos daugybos iš skaliro atžvilgiu.

Šis pavyzdys yra svarbus ypatingas 4 pavyzdžio atvejis.

5) Leisti būti savavališkai natūralusis skaičius. Pažymime visų n aukščio stulpelių aibe, t.y. matricų rinkinys per K dydžio lauką
.

Aibė yra vektorinė erdvė virš lauko K ir vadinama n aukščio stulpelių aritmetine vektorine erdve virš lauko K.

Visų pirma, jei vietoj savavališko lauko K imame lauką realūs skaičiai, tada vektoriaus erdvė
vadinama n aukščio stulpelių realiąja aritmetine vektorine erdve.

Panašiai vektorinė erdvė taip pat yra matricų rinkinys K dydžio lauke
arba, kitaip tariant, n ilgio eilutės. Ji taip pat žymima ir dar vadinama n ilgio stygų aritmetine vektorine erdve virš lauko K.

3 punktas. Vektorinės erdvės vektorinės sistemos.

Apibrėžimas. Vektorių sistema vektorių erdvėje yra bet kokia baigtinė netuščia vektorių rinkinys šioje erdvėje.

Pavadinimas:
.

Apibrėžimas. Išraiška

, (1)

kur yra lauko K skaliarai, yra vektorių erdvės V vektoriai, vadinama tiesine vektorių sistemos kombinacija
. Skaliarai vadinami šios tiesinės kombinacijos koeficientais.

Apibrėžimas. Jei visi tiesinės kombinacijos (1) koeficientai yra lygūs nuliui, tai tokia tiesinė kombinacija vadinama trivialia, kitaip ji vadinama netrivialia.

Pavyzdys. Leiskite
trijų vektorių sistema vektorinėje erdvėjeV. Tada

– trivialus tiesinis tam tikros vektorių sistemos derinys;

yra netrivialus tam tikros vektorių sistemos tiesinis derinys, nes pirmasis šios kombinacijos koeficientas
.

Apibrėžimas. Jei bet kuris vektorių erdvės V vektorius x gali būti pavaizduotas kaip:

tada jie sako, kad vektorius x tiesiškai išreiškiamas per sistemos vektorius
. Šiuo atveju taip pat sakoma, kad sistema
tiesiškai reiškia vektorių x.

komentuoti. Šiame ir ankstesniame apibrėžime žodis „tiesinis“ dažnai praleidžiamas ir sakoma, kad sistema reiškia vektorių arba vektorius išreiškiamas sistemos vektoriais ir pan.

Pavyzdys. Leiskite
yra 2 aukščio stulpelių aritmetinės tikrosios vektorinės erdvės dviejų stulpelių sistema. Tada stulpelis
tiesiškai išreiškiamas per sistemos stulpelius arba šią sistemą stulpeliai tiesiškai reiškia x stulpelį. tikrai,

4 punktas. Tiesiškai priklausomos ir tiesiškai nepriklausomos vektorių sistemos vektorių erdvėje.

Kadangi bet kurio vektoriaus nulinio skaliaro sandauga yra nulinis vektorius, o nulinių vektorių suma lygi nuliniam vektoriui, tai bet kuriai vektorių sistemai lygybė

Iš to išplaukia, kad nulinis vektorius tiesiškai išreiškiamas bet kurios vektorių sistemos vektoriais arba, kitaip tariant, bet kuri vektorių sistema tiesiškai reiškia nulinį vektorių.

Pavyzdys. Leiskite
. Šiuo atveju nulinis stulpelis gali būti išreikštas tiesiškai per sistemos stulpelius daugiau nei vienu būdu:

arba

Norėdami atskirti šiuos nulinio vektoriaus tiesinio vaizdavimo metodus, pateikiame tokį apibrėžimą.

Apibrėžimas. Jei galioja lygybė

ir tuo pačiu metu visi koeficientai, tada jie sako, kad sistema
nulinį vektorių vaizduoja trivialiai. Jei lygybėje (3) bent vienas iš koeficientų
Ne lygus nuliui, tada jie sako, kad vektorių sistema
ne trivialiai reiškia nulinį vektorių.

Iš paskutinio pavyzdžio matome, kad yra vektorių sistemų, kurios gali pavaizduoti nulinį vektorių ne trivialiais būdais. Iš sekantį pavyzdį pamatysime, kad esama vektorių sistemų, kurios negali pavaizduoti nulinio vektoriaus ne trivialiu būdu.

Pavyzdys. Leiskite
– dviejų stulpelių sistema iš vektorinės erdvės. Apsvarstykite lygybę:

,

Kur
dar nežinomi koeficientai. Naudodami stulpelio dauginimo iš skaliaro (skaičiaus) ir stulpelių pridėjimo taisykles, gauname lygybę:

.

Iš matricinės lygybės apibrėžimo išplaukia, kad
Ir
.

Taigi ši sistema negali pavaizduoti nulinio stulpelio nereikšmingu būdu.

Iš aukščiau pateiktų pavyzdžių matyti, kad yra dviejų tipų vektorinės sistemos. Kai kurios sistemos nulinį vektorių vaizduoja ne trivialiai, o kitos – ne. Dar kartą atkreipkite dėmesį, kad bet kuri vektorių sistema nulinį vektorių vaizduoja trivialiai.

Apibrėžimas. Vektorių sistema vektorių erdvėje, kuri nulinį vektorių vaizduoja TIK trivialiai, vadinama tiesiškai nepriklausoma.

Apibrėžimas. Vektorių sistema vektorių erdvėje, kuri gali netrivialiu būdu pavaizduoti nulinį vektorių, vadinama tiesiškai priklausoma.

Paskutinis apibrėžimas gali būti pateiktas išsamesne forma.

Apibrėžimas. Vektorinė sistema
Teigiama, kad vektorinė erdvė V yra tiesiškai priklausoma, jei yra tokia nulinė lauko skaliarų rinkinys K

komentuoti. Bet kokia vektorinė sistema
nulinį vektorių gali pavaizduoti trivialiai:

Tačiau to nepakanka norint išsiaiškinti, ar tam tikra vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma, ar tiesiškai nepriklausoma. Iš apibrėžimo išplaukia, kad tiesiškai nepriklausoma vektorių sistema negali atvaizduoti nulinio vektoriaus ne trivialiai, o tik trivialiai. Todėl, norėdami patikrinti tam tikros vektorių sistemos tiesinę nepriklausomybę, turime atsižvelgti į nulio atvaizdavimą savavališkai tiesine šios vektorių sistemos kombinacija:

Jei ši lygybė neįmanoma, jei bent vienas šios tiesinės kombinacijos koeficientas yra nulis, tada ši sistema pagal apibrėžimą yra tiesiškai nepriklausoma.

Taigi ankstesnės pastraipos pavyzdžiuose stulpelių sistema
yra tiesiškai nepriklausomas, ir stulpelių sistema
yra tiesiškai priklausomas.

Panašiai įrodyta ir stulpelių sistemos tiesinė nepriklausomybė ,, ... ,

iš erdvės, kurioje K yra savavališkas laukas, n yra savavališkas natūralusis skaičius.

Toliau pateiktose teoremose pateikiami keli vektorinių sistemų tiesinės priklausomybės ir atitinkamai tiesinės nepriklausomybės kriterijai.

Teorema. (Būtina ir pakankama vektorių sistemos tiesinės priklausomybės sąlyga.)

Vektorių sistema vektorių erdvėje yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai vienas iš sistemos vektorių yra tiesiškai išreikštas kitais šios sistemos vektoriais.

Įrodymas. Būtinybė. Tegul sistema
tiesiškai priklausomas. Tada pagal apibrėžimą jis nulinį vektorių vaizduoja ne trivialiai, t.y. yra netrivialus tiesinis šios vektorių sistemos derinys, lygus nuliniam vektoriui:

kur bent vienas iš šios tiesinės kombinacijos koeficientų nėra lygus nuliui. Leiskite
,
.

Padalinkime abi ankstesnės lygybės puses iš šio nenulinio koeficiento (t. y. padauginkime iš :

Pažymime:
, Kur.

tie. vienas iš sistemos vektorių yra tiesiškai išreikštas per kitus šios sistemos vektorius ir kt.

Tinkamumas. Tegul vienas iš sistemos vektorių yra tiesiškai išreikštas kitais šios sistemos vektoriais:

Perkelkime vektorių V dešinėje pusėješi lygybė:

Kadangi vektoriaus koeficientas lygus
, tada turime netrivialų nulio atvaizdavimą vektorių sistema
, o tai reiškia, kad ši vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma ir kt.

Teorema įrodyta.

Pasekmė.

1. Vektorių sistema vektorių erdvėje yra tiesiškai nepriklausoma tada ir tik tada, kai nė vienas sistemos vektorius nėra tiesiškai išreikštas kitais šios sistemos vektoriais.

2. Vektorių sistema, turinti nulinį vektorių arba du lygus vektorius, yra tiesiškai priklausomas.

Įrodymas.

1) Būtinybė. Tegul sistema yra tiesiškai nepriklausoma. Tarkime priešingai ir yra sistemos vektorius, kuris yra tiesiškai išreikštas kitais šios sistemos vektoriais. Tada pagal teoremą sistema yra tiesiškai priklausoma ir pasiekiame prieštaravimą.

Tinkamumas. Tegul nė vienas sistemos vektorius nėra išreikštas kitais. Tarkime, priešingai. Tegul sistema yra tiesiškai priklausoma, bet tada iš teoremos išplaukia, kad yra sistemos vektorius, kuris yra tiesiškai išreikštas kitais šios sistemos vektoriais, ir mes vėl pasiekiame prieštaravimą.

2a) Tegul sistemoje yra nulinis vektorius. Tikslumui darykime prielaidą, kad vektorius
:. Tada lygybė akivaizdi

tie. vienas iš sistemos vektorių yra tiesiškai išreikštas per kitus šios sistemos vektorius. Iš teoremos išplaukia, kad tokia vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma ir kt.

Atkreipkite dėmesį, kad šį faktą galima įrodyti tiesiogiai iš tiesiškai priklausomos vektorių sistemos apibrėžimo.

Nes
, tada tokia lygybė yra akivaizdi

Tai netrivialus nulinio vektoriaus, kuris reiškia sistemą, vaizdas
yra tiesiškai priklausomas.

2b) Tegul sistema turi du vienodus vektorius. Leisk dėl tikrumo
. Tada lygybė akivaizdi

Tie. pirmasis vektorius tiesiškai išreiškiamas per likusius tos pačios sistemos vektorius. Iš teoremos išplaukia, kad ši sistema yra tiesiškai priklausoma ir kt.

Panašiai kaip ir ankstesnis, šį teiginį galima įrodyti tiesiogiai apibrėžiant tiesiškai priklausomą sistemą.

Tiesa, nuo
, tada lygybė yra tiesa

tie. turime netrivialų nulinio vektoriaus vaizdą.

Tyrimas įrodytas.

Teorema (Apie vieno vektoriaus sistemos tiesinę priklausomybę.

Sistema, susidedanti iš vieno vektoriaus, yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai šis vektorius yra lygus nuliui.

Įrodymas.

Būtinybė. Tegul sistema
tiesiškai priklausomas, t.y. yra netrivialus nulinio vektoriaus vaizdas

,

Kur
Ir
. Iš paprasčiausių vektorinės erdvės savybių išplaukia, kad tada
.

Tinkamumas. Tegul sistema susideda iš vieno nulinio vektoriaus
. Tada ši sistema netrivialiai pavaizduoja nulinį vektorių

,

iš kur seka tiesinė priklausomybė sistemos
.

Teorema įrodyta.

Pasekmė. Sistema, susidedanti iš vieno vektoriaus, yra tiesiškai nepriklausoma tada ir tik tada, kai šis vektorius nėra lygus nuliui.

Įrodymas paliekamas skaitytojui kaip pratimas.

Medžiaga iš Vikipedijos – laisvosios enciklopedijos

Vektorius(arba linijinis) erdvė- matematinė struktūra, kuri yra elementų, vadinamų vektoriais, rinkinys, kuriam apibrėžtos sudėjimo tarpusavyje ir daugybos iš skaičiaus operacijos - skaliaras. Šioms operacijoms taikomos aštuonios aksiomos. Skaliarai gali būti tikrojo, kompleksinio ar bet kurio kito skaičiaus lauko elementai. Ypatingas tokios erdvės atvejis yra įprasta trimatė Euklido erdvė, kurios vektoriai naudojami, pavyzdžiui, fizinėms jėgoms pavaizduoti. Reikia pažymėti, kad vektorius, kaip vektorinės erdvės elementas, nebūtinai turi būti nurodytas nukreiptos atkarpos forma. „Vektoriaus“ sąvokos apibendrinimas bet kokio pobūdžio vektorinės erdvės elementui ne tik nesukelia terminų painiavos, bet ir leidžia suprasti ar net numatyti daugybę rezultatų, kurie galioja savavališko pobūdžio erdvėms.

Vektorinės erdvės yra tiesinės algebros objektas. Viena iš pagrindinių vektorinės erdvės savybių yra jos matmenys. Matmenys yra maksimalus skaičius linijinis nepriklausomi elementai erdvė, tai yra, griebiamasi grubios geometrinis aprašymas, krypčių, neišreiškiamų viena per kitą, skaičius, naudojant tik sudėjimo ir daugybos iš skaliaro operacijas. Vektorinė erdvė gali būti aprūpinta papildomomis struktūromis, tokiomis kaip norma arba vidinis produktas. Tokios erdvės natūraliai atsiranda matematinėje analizėje, pirmiausia begalinių matmenų funkcijų erdvių pavidalu ( anglų kalba), kur funkcijos . Daugeliui analizės problemų reikia išsiaiškinti, ar vektorių seka konverguoja į šis vektorius. Tokių klausimų svarstymas galimas vektorinėse erdvėse su papildoma struktūra, daugeliu atvejų – tinkama topologija, leidžianti apibrėžti artumo ir tęstinumo sąvokas. Tokios topologinės vektorinės erdvės, ypač Banacho ir Hilberto erdvės, leidžia giliau tirti.

Be vektorių, tiesinė algebra taip pat tiria aukštesnio rango tenzorius (skaliaras laikomas 0 rango tenzoriumi, vektorius – 1 rango tenzoriumi).

Pirmieji darbai, numatę vektorinės erdvės sampratos įvedimą, datuojami XVII a. Tada pradėjo kurtis analitinė geometrija, matricų doktrina, tiesinių lygčių sistemos ir euklidiniai vektoriai.

Apibrėžimas

Linijinis, arba vektorinė erdvė $V\backslash kairė\; (F\backslash dešinė)$ virš lauko $F$- tai užsakytas ketvertas $(V,F,+,\backslash cdot)$, Kur

• $V$- netuščias savavališko pobūdžio elementų rinkinys, kuris vadinamas vektoriai;
• $F$- (algebrinis) laukas, kurio elementai vadinami skaliarai;
• Operacija apibrėžta papildymas vektoriai $V\backslash times\; V\backslash į\; V$, kuri susieja kiekvieną elementų porą $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ rinkiniai $V$ $V$ jiems paskambino suma ir paskirtas $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Operacija apibrėžta vektorius dauginant iš skalierių $F\backslash times\; V\backslash to\; V$, atitinkantis kiekvieną elementą $\backslash lambda$ laukus $F$ ir kiekvienas elementas $\backslash mathbf(x)$ rinkiniai $V$ vienintelis rinkinio elementas $V$, pažymėta $\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf(x)$ arba $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Vektorinės erdvės, apibrėžtos tame pačiame elementų rinkinyje, bet skirtinguose laukuose, bus skirtingos vektorinės erdvės (pavyzdžiui, realiųjų skaičių porų rinkinys $\backslash mathbb(R)^2$ gali būti dvimatė vektorinė erdvė virš realiųjų skaičių lauko arba vienmatė – virš kompleksinių skaičių lauko).

Paprasčiausios savybės

1. Vektorinė erdvė yra pridedama Abelio grupė.
2. Neutralus elementas $\backslash mathbf(0)\; \backslash in\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ bet kam $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
4. Bet kam $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ priešingas elementas $-\backslash mathbf(x)\backslash in\; V$ yra vienintelis dalykas, kuris išplaukia iš grupės savybių.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ bet kam $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ bet kokiam $\backslash alpha\; \backslash in\; F$ Ir $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ bet kam $\backslash alpha\; \backslash in\; F$.

Susiję apibrėžimai ir savybės

Poerdvė

Algebrinis apibrėžimas: Linijinė poerdvė arba vektorinė poerdvė - netuščias poaibis $K$ linijinė erdvė $V$ toks kad $K$ pati yra tiesinė erdvė apibrėžtųjų atžvilgiu $V$ sudėjimo ir daugybos iš skaliaro operacijos. Visų poerdžių rinkinys paprastai žymimas kaip $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Kad poaibis būtų poerdvė, to būtina ir pakanka

1. bet kuriam vektoriui $\backslash mathbf(x)\backslash in\; K$, vektorius $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ taip pat priklausė $K$, bet kokiam $\backslash alpha\backslash in\; F$;
2. visiems vektoriams $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vektorius $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ taip pat priklausė $K$.

Paskutiniai du teiginiai atitinka šiuos teiginius:

Visiems vektoriams $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vektorius $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ taip pat priklausė $K$ bet kokiam $\backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash in\; F$.

Visų pirma, vektorinė erdvė, susidedanti tik iš vieno nulinio vektoriaus, yra bet kurios erdvės poerdvė; kiekviena erdvė yra savo paties poerdvė. Poerdvės, kurios nesutampa su šiomis dviem, vadinamos savo arba ne trivialus.

Poerdvių savybės

• Bet kurios poerdvių šeimos sankirta vėl yra poerdvė;
• Poerdvių suma $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ apibrėžiamas kaip aibė, kurioje yra visos galimos elementų sumos $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Baigtinės poerdvių šeimos suma vėlgi yra poerdvė.

Linijiniai deriniai

Galutinė formos suma

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Linijinis derinys vadinamas:

Pagrindas. Matmenys

Vektoriai $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ yra vadinami tiesiškai priklausomas, jei yra netrivialus tiesinis jų derinys, lygus nuliui:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

Priešingu atveju šie vektoriai vadinami tiesiškai nepriklausomas.

Šis apibrėžimas leidžia apibendrinti: demonas baigtinis rinkinys vektoriai iš $V$ paskambino tiesiškai priklausomas, jei kai kurie yra tiesiškai priklausomi galutinis jo poaibis ir tiesiškai nepriklausomas, jei kas nors iš to galutinis poaibis yra tiesiškai nepriklausomas.

Pagrindo savybės:

• Bet koks $n$ tiesiškai nepriklausomi elementai $n$-dimensinė erdvės forma pagrinduši erdvė.
• Bet koks vektorius $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ gali būti pavaizduotas (unikaliai) kaip baigtinis tiesinis derinys pagrindiniai elementai:

Linijinis apvalkalas

Linijinis apvalkalas $\backslash mathcal\; V(X)$ poaibiai $X$ linijinė erdvė $V$- visų poerdvių sankirta $V$ kuriuose yra $X$.

Linijinis tarpatramis yra poerdvė $V$.

Linijinis apvalkalas taip pat vadinamas sukurta poerdvė $X$. Jie taip pat sako linijinis apvalkalas $\backslash mathcal\; V(X)$- erdvė, ištemptas daug $X$.

Linijinis apvalkalas $\backslash mathcal\; V(X)$ susideda iš visų galimų tiesinių kombinacijų įvairių baigtinių elementų posistemių iš $X$. Visų pirma, jei $X$ tada yra baigtinė aibė $\backslash mathcal\; V(X)$ susideda iš visų linijinių elementų kombinacijų $X$. Taigi nulinis vektorius visada priklauso tiesiniam korpusui.

Jeigu $X$ yra tiesiškai nepriklausoma aibė, tada ji yra pagrindas $\backslash mathcal\; V(X)$ ir taip nustato jo matmenis.

Pavyzdžiai

• Nulinė erdvė, kurios vienintelis elementas yra nulis.
• Visų funkcijų erdvė $X\backslash \; iki\; F$ su baigtine atrama sudaro vektorinę erdvę, kurios matmenys lygūs kardinalumui $X$.
• Realiųjų skaičių laukas gali būti laikomas kontinuumo matmenų vektorine erdve virš racionaliųjų skaičių lauko.
• Bet koks laukas yra vienmatė erdvė virš savęs.

Papildomos struktūros

Taip pat žr

Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Vektorinė erdvė"

Pastabos

Literatūra

• Gelfandas I. M. Tiesinės algebros paskaitos. – 5-oji. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 p. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfandas I. M. Tiesinės algebros paskaitos. 5-asis leidimas - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 320 p. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A. I., Manin Yu I. Tiesinė algebra ir geometrija. 2-asis leidimas - M.: Nauka, 1986. - 304 p.
• Kostrikin A.I.Įvadas į algebrą. 2 dalis: Tiesinė algebra. – 3-ioji. - M.: Nauka., 2004. - 368 p. - (Universiteto vadovėlis).
• Maltsevas A.I. Tiesinės algebros pagrindai. – 3-ioji. - M.: Nauka, 1970. - 400 p.

• Postnikovas M. M. Tiesinė algebra (geometrijos paskaitos. II semestras). – 2-oji. - M.: Nauka, 1986. - 400 p.
• Strangas G. Tiesinė algebra ir jos taikymai = Linear Algebra ir Jo Programos. - M.: Mir, 1980. - 454 p.
• Iljinas V. A., Poznyak E. G. Tiesinė algebra. 6-asis leidimas - M.: Fizmatlit, 2010. - 280 p. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmos P. Baigtinių dimensijų vektorinės erdvės. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 263 p.
• Faddejevas D.K. Paskaitos apie algebrą. – 5-oji. – Sankt Peterburge. : Lan, 2007. - 416 p.
• Šafarevičius I. R., Remizovas A. O. Tiesinė algebra ir geometrija. – 1 d. - M.: Fizmatlit, 2009. - 511 p.
• Schreyeris O., Sperneris G.Įvadas į tiesinę algebrą geometriniame pristatyme = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (vertimas iš vokiečių kalbos). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 p.

Vektorinę erdvę apibūdinanti ištrauka

Grįžęs iš peržiūros, Kutuzovas, lydimas austrų generolo, įėjo į savo kabinetą ir, paskambinęs adjutantui, įsakė duoti kai kuriuos dokumentus, susijusius su atvykstančių karių būkle, ir laiškus, gautus iš erchercogo Ferdinando, vadovavusio pažangiajai armijai. . Princas Andrejus Bolkonskis įėjo į vyriausiojo vado kabinetą su reikiamais dokumentais. Kutuzovas ir austras Gofkriegsrat narys sėdėjo priešais ant stalo padėtą ​​planą.
- Ak... - tarė Kutuzovas, atsigręžęs į Bolkonskį, tarsi šiuo žodžiu kviesdamas adjutantą palaukti, ir tęsė pradėtą ​​pokalbį prancūziškai.
- Aš tik sakau vieną dalyką, generole, - maloniai tarė Kutuzovas su malonia išraiška ir intonacija, kuri privertė atidžiai klausytis kiekvieno neskubiai ištarto žodžio. Buvo aišku, kad pats Kutuzovas mėgdavo klausytis savęs. „Aš sakau tik vieną dalyką, generole, kad jei reikalas priklausytų nuo mano asmeninio troškimo, Jo Didenybės imperatoriaus Franzo valia jau seniai būtų įvykdyta. Seniai būčiau prisijungęs prie erchercogo. Ir patikėk savo garbe, man pačiam būtų malonu perduoti aukščiausią kariuomenės vadovavimą labiau išmanančiam ir įgudusiems generolui už mane, kurių Austrijoje taip gausu, ir atsisakyti visos šios sunkios atsakomybės. Bet aplinkybės stipresnės už mus, generole.
Ir Kutuzovas nusišypsojo tokia išraiška, tarsi sakytų: „Tu turi pilną teisę manimi netikėti, ir net man visiškai nesvarbu, tiki manimi, ar ne, bet tu neturi jokios priežasties man tai sakyti. Ir tai yra visa esmė."
Austrijos generolas atrodė nepatenkintas, bet negalėjo atsiliepti Kutuzovui tuo pačiu tonu.
- Priešingai, - pasakė jis rūsčiu ir piktu tonu, taip priešingai nei glostančia jo pasakytų žodžių prasme, - priešingai, jūsų Ekscelencija dalyvauja bendra priežastis labai vertinamas Jo Didenybės; bet manome, kad dabartinis sulėtėjimas atima iš šlovingosios Rusijos kariuomenės ir jų vyriausiųjų vadų laurus, kuriuos jie yra įpratę skinti mūšiuose“, – savo, matyt, paruoštą frazę baigė jis.
Kutuzovas nusilenkė nepakeitęs šypsenos.
„Ir aš esu toks įsitikinęs ir, remdamasis paskutiniu laišku, kuriuo mane pagerbė Jo Didenybė Erchercogas Ferdinandas, manau, kad Austrijos kariuomenė, vadovaujama tokiam sumaniam padėjėjui kaip generolas Mackas, iškovojo lemiamą pergalę ir jau nebe. reikia mūsų pagalbos“, – sakė Kutuzovas.
Generolas susiraukė. Nors teigiamų žinių apie austrų pralaimėjimą nebuvo, buvo per daug aplinkybių, patvirtinančių visuotinius nepalankius gandus; ir todėl Kutuzovo prielaida apie austrų pergalę buvo labai panaši į pajuoką. Tačiau Kutuzovas nuolankiai nusišypsojo, vis dar ta pačia išraiška, sakydama, kad jis turi teisę tai manyti. tikrai, paskutinė raidė, kurį gavo iš Macko armijos, pranešė jam apie pergalę ir pelningiausią strateginė padėtis kariuomenė.
„Duok man čia šį laišką“, – tarė Kutuzovas, atsisukęs į princą Andrejų. - Jei prašau pažiūrėti. - Ir Kutuzovas, su pašaipa šypsena lūpų galuose, vokiškai perskaitė Austrijos generolui tokią ištrauką iš erchercogo Ferdinando laiško: „Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70 000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; Mithin Auch Jeden AugenBlick, Wenn der Feind den lech nicht passirte, Die Donau ubersetzen, Uns Auf Seine Communikations Linie Werfen, Die Donau Unterhalb Repassiren und Dem Feinde, Wenn er Sich Gegen Unsere Allirte Allirte mit Ganzer Macht Wenden Wenden, Seeine, Seicht Alabalt Alabalt. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er [Turime gana sutelktas pajėgas, apie 70 000 žmonių, kad galėtume pulti ir nugalėti priešą, jei jis kirs Lechą. Kadangi mums jau priklauso Ulmas, galime pasilikti abiejų Dunojaus krantų vadovavimo naudą, todėl kiekvieną minutę, jei priešas neperžengia Lecho, per Dunojų, skuba į savo ryšio liniją, o žemiau kirsti Dunojų atgal. priešui, jei jis nusprendžia visą savo jėgą nukreipti į mūsų ištikimus sąjungininkus, neleiskite jo ketinimui išsipildyti. Taip linksmai lauksime to meto, kai imperatoriškoji Rusijos kariuomenė bus visiškai pasiruošęs, o tada kartu nesunkiai rasime galimybę paruošti priešui tokio likimo, kurio jis nusipelnė.“]

4.3.1 Tiesinės erdvės apibrėžimas

Leiskite ā , , - kai kurių rinkinių elementai ā , , L ir λ , μ - tikrieji skaičiai, λ , μ R..

Aibė L vadinamalinijinis arbavektorinė erdvė, jei apibrėžtos dvi operacijos:

1 0 . Papildymas. Kiekviena šios aibės elementų pora yra susieta su tos pačios aibės elementu, vadinamu jų suma

ā + =

2°.Padauginus iš skaičiaus. Bet koks tikrasis skaičius λ ir elementas ā L atitinka to paties rinkinio elementą λ ā L ir tenkinamos šios savybės:

1. ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. egzistuoja nulinis elementas
, toks ā +=ā ;

4. egzistuoja priešingas elementas -
toks kad ā +(-ā )=.

Jeigu λ , μ - tikrieji skaičiai, tada:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Tiesinės erdvės elementai ā, , ... vadinami vektoriais.

Pratimai. Parodykite sau, kad šie rinkiniai sudaro tiesines erdves:

1) Daugelis geometriniai vektoriai lėktuve;

2) Daug geometrinių vektorių trimatėje erdvėje;

3) Tam tikro laipsnio daugianario aibė;

4) To paties matmens matricų rinkinys.

4.3.2 Tiesiškai priklausomi ir nepriklausomi vektoriai. Erdvės matmenys ir pagrindas

Linijinis derinys vektoriai ā 1 , ā 2 , …, ā n Lvadinamas tos pačios formos erdvės vektoriumi:

,

Kur λ aš tikri skaičiai.

Vektoriai ā 1 , .. , ā n yra vadinamitiesiškai nepriklausomas, jei jų tiesinė kombinacija yra nulinis vektorius tada ir tik tada, kai visi λ i yra lygūs nuliui, tai yra

λ i = 0

Jei tiesinis derinys yra nulinis vektorius ir bent vienas iš λ i skiriasi nuo nulio, tada šie vektoriai vadinami tiesiškai priklausomais. Pastarasis reiškia, kad bent vienas iš vektorių gali būti pavaizduotas kaip tiesinis kitų vektorių derinys. Iš tiesų, net jei pvz.
. Tada
, Kur

.

Vadinama maksimaliai tiesiškai nepriklausoma sutvarkyta vektorių sistema pagrindu erdvė L. Bazinių vektorių skaičius vadinamas matmuo erdvė.

Tarkime, kad yra n tiesiškai nepriklausomi vektoriai, tada erdvė vadinama n- matmenų. Kiti erdvės vektoriai gali būti pavaizduoti kaip tiesinis derinys n baziniai vektoriai. Pagal pagrindą n- galima užimti matmenų erdvę bet koks n tiesiškai nepriklausomi šios erdvės vektoriai.

17 pavyzdys. Raskite šių tiesinių erdvių pagrindą ir matmenis:

a) vektorių rinkinys, esantis ant tiesės (tiesių su kuria nors linija)

b) plokštumai priklausančių vektorių aibė

c) trimatės erdvės vektorių aibė

d) ne aukštesnio kaip dviejų laipsnio daugianario aibė.

Sprendimas.

A) Bet kurie du vektoriai, esantys tiesioje linijoje, bus tiesiškai priklausomi, nes vektoriai yra kolinearūs
, Tai
, λ - skaliarinis. Vadinasi, tam tikros erdvės pagrindas yra tik vienas (bet koks) vektorius, besiskiriantis nuo nulio.

Paprastai ši erdvė yra paskirta R, jo matmuo yra 1.

b) bet kurie du nekolineariniai vektoriai
bus tiesiškai nepriklausomi, o bet kurie trys vektoriai plokštumoje bus tiesiškai nepriklausomi. Bet kokiam vektoriui , yra skaičiai  Ir  toks kad
. Erdvė vadinama dvimate, žymima R 2 .

Dvimatės erdvės pagrindą sudaro bet kurie du nekolineariniai vektoriai.

V) Bet kokie trys ne lygiaplaniai vektoriai bus tiesiškai nepriklausomi, jie sudaro trimatės erdvės pagrindą R 3 .

G) Ne didesnio kaip dviejų polinomų erdvės pagrindu galime pasirinkti šiuos tris vektorius: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .

(1 yra daugianomas, identiškai lygus vienetui). Ši erdvė bus trimatis.

Vektorius(arba linijinis) erdvė- matematinė struktūra, kuri yra elementų, vadinamų vektoriais, rinkinys, kuriam apibrėžtos sudėjimo tarpusavyje ir daugybos iš skaičiaus operacijos - skaliarinė. Šioms operacijoms taikomos aštuonios aksiomos. Skaliarai gali būti tikrojo, kompleksinio ar bet kurio kito skaičiaus lauko elementai. Ypatingas tokios erdvės atvejis yra įprasta trimatė Euklido erdvė, kurios vektoriai naudojami, pavyzdžiui, fizinėms jėgoms pavaizduoti. Reikia pažymėti, kad vektorius, kaip vektorinės erdvės elementas, nebūtinai turi būti nurodytas nukreiptos atkarpos forma. „Vektoriaus“ sąvokos apibendrinimas bet kokio pobūdžio vektorinės erdvės elementui ne tik nesukelia terminų painiavos, bet ir leidžia suprasti ar net numatyti daugybę rezultatų, kurie galioja savavališko pobūdžio erdvėms.

Vektorinės erdvės yra tiesinės algebros objektas. Viena iš pagrindinių vektorinės erdvės savybių yra jos matmenys. Matmenys reiškia maksimalų tiesiškai nepriklausomų erdvės elementų skaičių, tai yra, gavus grubų geometrinį apibūdinimą, krypčių, kurių negalima išreikšti viena per kitą tik sudėjimo ir daugybos iš skaliro operacijas, skaičius. Vektorinė erdvė gali būti aprūpinta papildomomis struktūromis, pavyzdžiui, norma arba vidine sandauga. Tokios erdvės natūraliai atsiranda matematinėje analizėje, daugiausia begalinių matmenų funkcijų erdvių pavidalu (anglų kalba), kur funkcijos yra vektoriai. Daugeliui analizės problemų reikia išsiaiškinti, ar vektorių seka konverguoja į tam tikrą vektorių. Tokių klausimų svarstymas galimas vektorinėse erdvėse su papildoma struktūra, dažniausiai tinkama topologija, leidžiančia apibrėžti artumo ir tęstinumo sąvokas. Tokios topologinės vektorinės erdvės, ypač Banacho ir Hilberto erdvės, leidžia giliau tirti.

Be vektorių, tiesinė algebra tiria ir aukštesnio rango tenzorius (skaliaras laikomas 0 rango tenzoriumi, vektorius – 1 rango tenzoriumi).

Pirmieji darbai, numatę vektorinės erdvės sampratos įvedimą, datuojami XVII a. Tada pradėjo kurtis analitinė geometrija, matricų doktrina, tiesinių lygčių sistemos ir euklidiniai vektoriai.

Enciklopedinis „YouTube“.

• 1 / 5

  Linijinis, arba vektorinė erdvė V (F) (\displaystyle V\left(F\right)) virš lauko F (\displaystyle F)- tai užsakytas ketvertas (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), Kur

  • V (\displaystyle V)- netuščias savavališko pobūdžio elementų rinkinys, kuris vadinamas vektoriai;
  • F (\displaystyle F)- laukas, kurio elementai vadinami skaliarai;
  • Operacija apibrėžta papildymas vektoriai V × V → V (\displaystyle V\times V\to V), kuri susieja kiekvieną elementų porą x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y)) rinkiniai V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) jiems paskambino suma ir paskirtas x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
  • Operacija apibrėžta vektorius dauginant iš skalierių F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), atitinkantis kiekvieną elementą λ (\displaystyle \lambda) laukus F (\displaystyle F) ir kiekvienas elementas x (\displaystyle \mathbf (x) ) rinkiniai V (\displaystyle V) vienintelis rinkinio elementas V (\displaystyle V), pažymėta λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) arba λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

  Vektorinės erdvės, apibrėžtos tame pačiame elementų rinkinyje, bet skirtinguose laukuose, bus skirtingos vektorinės erdvės (pavyzdžiui, realiųjų skaičių porų rinkinys R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) gali būti dvimatė vektorinė erdvė virš realiųjų skaičių lauko arba vienmatė – virš kompleksinių skaičių lauko).

  Paprasčiausios savybės

  1. Vektorinė erdvė yra pridedama Abelio grupė.
  2. Neutralus elementas 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
  3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) bet kam.
  4. Bet kam x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) priešingas elementas − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) yra vienintelis dalykas, kuris išplaukia iš grupės savybių.
  5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) bet kam x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
  6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) bet kokiam ir x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
  7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) bet kam α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

  Susiję apibrėžimai ir savybės

  Poerdvė

  Algebrinis apibrėžimas: Linijinė poerdvė arba vektorinė poerdvė- netuščias poaibis K (\displaystyle K) linijinė erdvė V (\displaystyle V) toks kad K (\displaystyle K) pati yra tiesinė erdvė apibrėžtųjų atžvilgiu V (\displaystyle V) sudėjimo ir daugybos iš skaliaro operacijos. Visų poerdžių rinkinys paprastai žymimas kaip L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Kad poaibis būtų poerdvė, to būtina ir pakanka

  Paskutiniai du teiginiai atitinka šiuos teiginius:

  Visiems vektoriams x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K), vektorius α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) taip pat priklausė K (\displaystyle K) bet kokiam α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

  Visų pirma, vektorinė erdvė, susidedanti tik iš vieno nulinio vektoriaus, yra bet kurios erdvės poerdvė; kiekviena erdvė yra savo paties poerdvė. Poerdvės, kurios nesutampa su šiomis dviem, vadinamos savo arba ne trivialus.

  Poerdvių savybės

  Linijiniai deriniai

  Galutinė formos suma

  α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n))

  Linijinis derinys vadinamas:

  Pagrindas. Matmenys

  Vektoriai x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) yra vadinami tiesiškai priklausomas, jei yra netrivialus tiesinis jų derinys, lygus nuliui:

  α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0, |

  Priešingu atveju šie vektoriai vadinami tiesiškai nepriklausomas.

  α 1 | + | vektoriai iš V (\displaystyle V) paskambino tiesiškai priklausomas, jei kai kurie yra tiesiškai priklausomi galutinis jo poaibis ir tiesiškai nepriklausomas, jei kas nors iš to galutinis poaibis yra tiesiškai nepriklausomas.

  Pagrindo savybės:

  α 2 |.

  Linijinis apvalkalas

  Linijinis apvalkalas+ … + | α n | linijinė erdvė V (\displaystyle V)- visų poerdvių sankirta V (\displaystyle V) kuriuose yra α n |.

  Linijinis tarpatramis yra poerdvė V (\displaystyle V).

  Linijinis apvalkalas taip pat vadinamas sukurta poerdvė α n |≠ 0. (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf ( x) _(n)=\mathbf (0) ,\quad \ |\alpha _(1)|+|\alpha _(2)|+\ltaškai +|\alpha _(n)|\neq 0.) Šis apibrėžimas leidžia atlikti tokį apibendrinimą:- erdvė, ištemptas daug α n |.