„Žmogaus didybė slypi jo gebėjime mąstyti“.
Blezas Paskalis.
Pamokos tikslai:
1) Švietimo– supažindinti studentus su vienarūšėmis lygtimis, svarstyti jų sprendimo būdus, skatinti ugdyti anksčiau studijuotų trigonometrinių lygčių tipų sprendimo įgūdžius.
2) Vystantis- vystytis kūrybinė veikla studentai, jų pažintinė veikla, loginis mąstymas, atmintis, gebėjimas dirbti probleminė situacija, siekti gebėjimo teisingai, nuosekliai, racionaliai reikšti savo mintis, plėsti mokinių akiratį, kelti jų matematinės kultūros lygį.
3) Švietimo– ugdyti norą tobulėti, darbštumą, ugdyti gebėjimą kompetentingai ir tiksliai atlikti matematiniai žymėjimai, ugdyti aktyvumą, padėti skatinti domėjimąsi matematika.
Pamokos tipas: sujungti.
Įranga:
- Perfokortos šešiems mokiniams.
- Kortelės nepriklausomiems ir individualus darbas studentai.
- Stovai „Trigonometrinių lygčių sprendimas“, „Skaičių vienetų apskritimas“.
- Elektrifikuotos trigonometrijos lentelės.
- Pamokos pristatymas (1 priedas).
Pamokos eiga
1. Organizacinis etapas(2 minutės)
Abipusis pasisveikinimas; mokinių pasirengimo pamokai tikrinimas ( darbo vieta, išvaizda); dėmesio organizavimas.
Mokytojas pasakoja mokiniams pamokos temą, tikslus (2 skaidrė) ir paaiškina, kad per pamoką bus naudojamas tas dalomoji medžiaga, kuris yra ant stalų.
2. Kartojimas teorinė medžiaga(15 minučių)
Perfokortelių užduotys(6 žmonės) . Darbo laikas naudojant perfokortas – 10 min (2 priedas)
Spręsdami uždavinius mokiniai sužinos, kur naudojami trigonometriniai skaičiavimai. Gaunami šie atsakymai: trianguliacija (technika, leidžianti astronomijoje išmatuoti atstumus iki šalia esančių žvaigždžių), akustika, ultragarsas, tomografija, geodezija, kriptografija.
(5 skaidrė)
Priekinė apklausa.
- Kokios lygtys vadinamos trigonometrinėmis?
- Kokius trigonometrinių lygčių tipus žinote?
- Kokios lygtys vadinamos paprasčiausiomis trigonometrinėmis lygtimis?
- Kokios lygtys vadinamos kvadratinėmis trigonometrinėmis?
- Suformuluokite a arcsinuso apibrėžimą.
- Suformuluokite a lankinio kosinuso apibrėžimą.
- Suformuluokite a arktangento apibrėžimą.
- Suformuluokite skaičiaus a lankinio kotangento apibrėžimą.
Žaidimas „Atspėk užšifruotą žodį“
Blaise'as Pascalis kartą pasakė, kad matematika yra toks rimtas mokslas, kad nereikėtų praleisti progos padaryti ją šiek tiek linksmesnę. Todėl siūlau pažaisti. Išsprendę pavyzdžius, nustatykite skaičių seką, pagal kurią sudaromas šifruotas žodis. Lotynų kalba šis žodis reiškia „sine“. (3 skaidrė)
2) lanko tg (-√3)
4) tg (arc cos (1/2))
5) tg (arc ctg √3)
Atsakymas: "Lenkite"
Žaidimas „Abstraktus matematikas“»
Ekrane projektuojamos užduotys darbui žodžiu:
Patikrinkite, ar lygtys išspręstos teisingai.(teisingas atsakymas pasirodo skaidrėje po mokinio atsakymo). (4 skaidrė)
Atsakymai su klaidomis |
Teisingi atsakymai |
|
x = ± π/6+2πn |
x = ± π/3+2πn |
|
x = π/3+πn |
X = (-1) nπ/3+πn |
|
tg x = π/4 |
x = 1 +πn |
tg x =1, x = π/4+πn |
x = ±π/6+ π n |
x = ± π/6+2πn |
|
x = (-1)n arcsin1/3+ 2πn |
x = (-1)n arcsin1/3+ πn |
|
x = ± π/6+2πn |
x = ± 5π/6+2πn |
|
cos x = π/3 |
x = ± 1/2 +2πn |
cos x = 1/2, x = ± π/3+2πn |
Apžiūra namų darbai.
Mokytojas nustato visų mokinių namų darbų atlikimo teisingumą ir sąmoningumą; nustato žinių spragas; tobulina mokinių žinias, įgūdžius ir gebėjimus paprastų trigonometrinių lygčių sprendimo srityje.
1 lygtis. Mokinys komentuoja lygties sprendinį, kurio eilutės skaidrėje pateikiamos komentaro tvarka). (6 skaidrė)
√3tg2x = 1;
tg2x =1/√3;
2х= arctan 1/√3 +πn, n ∈Z.
2х= π/6 +πn, n ∈Z.
x = π/12 + π/2 n, n ∈Z.
2 lygtis. Sprendimas h parašytas mokiniams lentoje.
2 sin 2 x + 3 cosx = 0.
3. Naujų žinių atnaujinimas (3 min.)
Mokiniai, mokytojo prašymu, primena trigonometrinių lygčių sprendimo būdus. Jie pasirenka tas lygtis, kurias jau moka išspręsti, įvardija lygties sprendimo būdą ir gautą rezultatą. . Atsakymai rodomi skaidrėje. (7 skaidrė) .
Pristatome naują kintamąjį:
Nr. 1. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0.
Tegul sinx = t, tada:
2t 2 – 7t + 3 = 0.
faktorizavimas:
№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;
сos4x(3sinx – 1) = 0;
cos4x = 0 arba 3 sinx – 1 = 0; ...
Nr. 3. 2 sinx – 3 cosx = 0,
Nr. 4. 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.
Mokytojas: Jūs vis dar nežinote, kaip išspręsti dviejų paskutinių tipų lygtis. Jie abu yra tos pačios rūšys. Jų negalima redukuoti į lygtį funkcijos sinx arba cosx. Yra vadinami vienarūšės trigonometrinės lygtys. Bet tik pirmasis - vienalytė lygtis pirmojo laipsnio, o antrasis yra homogeninė antrojo laipsnio lygtis. Šiandien pamokoje susipažinsime su tokiomis lygtimis ir išmoksime jas išspręsti.
4. Naujos medžiagos paaiškinimas (25 min.)
Dėstytojas pateikia studentams vienarūšių trigonometrinių lygčių apibrėžimus ir supažindina su jų sprendimo būdais.
Apibrėžimas. vadinama a sinx + b cosx =0 formos lygtis, kur a ≠ 0, b ≠ 0 vienalytis trigonometrinė lygtis pirmas laipsnis.(8 skaidrė)
Tokios lygties pavyzdys yra lygtis Nr. Mes jį išrašysime bendras vaizdas lygtį ir ją analizuoti.
a sinx + b cosx = 0.
Jei cosx = 0, tai sinx = 0.
– Ar gali susiklostyti tokia situacija?
– Ne. Mes gavome prieštaravimą pagrindinei trigonometrinei tapatybei.
Tai reiškia, kad cosx ≠ 0. Atlikime padalijimą pagal terminą pagal cosx:
a tgx + b = 0
tgx = –b / a– paprasčiausia trigonometrinė lygtis.
Išvada: Pirmojo laipsnio vienalytės trigonometrinės lygtys sprendžiamos abi lygties puses padalijus iš cosx (sinx).
Pavyzdžiui: 2 sinx – 3 cosx = 0,
Nes cosx ≠ 0, tada
tgx = 3/2 ;
x = arctan (3/2) +πn, n ∈Z.
Apibrėžimas. Vadinama a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 formos lygtis, kur a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 antrojo laipsnio trigonometrinė lygtis. (8 skaidrė)
Tokios lygties pavyzdys yra lygtis Nr. 4. Užrašykime bendrąją lygties formą ir išanalizuokime ją.
a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.
Jei cosx = 0, tai sinx = 0.
Vėl gavome prieštaravimą pagrindinei trigonometrinei tapatybei.
Tai reiškia cosx ≠ 0. Padalykime po terminą iš cos 2 x:
ir tg 2 x + b tgx + c = 0 yra lygtis, kuri redukuojama į kvadratinę.
Išvada: Oh antrojo laipsnio vienarūšės trigonometrinės lygtys sprendžiamos abi lygties puses padalijus iš cos 2 x (sin 2 x).
Pavyzdžiui: 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.
Nes cos 2 x ≠ 0, tada
3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (Pakvieskite mokinį prieiti prie lentos ir savarankiškai užpildyti lygtį).
Pakeitimas: tgx = y. 3 у 2 – 4 у + 1 = 0
D = 16 – 12 = 4
y 1 = 1 arba y 2 = 1/3
tgx = 1 arba tgx = 1/3
x = arctan (1/3) + πn, n ∈Z.
x = arctan + πn, n ∈Z.
x = π/4 + πn, n ∈Z.
5. Studentų naujos medžiagos supratimo tikrinimo etapas (1 min.)
Pasirinkite nelyginį:
sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;
√3sinx + cosx = 0; sin 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0;
4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.
(9 skaidrė)
6. Naujos medžiagos konsolidavimas (24 min.).
Mokiniai kartu su atsakikliais prie lentos sprendžia lygtis nauja medžiaga. Užduotys surašomos skaidrėje lentelės pavidalu. Sprendžiant lygtį, skaidrėje atsidaro atitinkama paveikslėlio dalis. Atlikus 4 lygtis, studentams pateikiamas matematiko, turėjusio didelę įtaką trigonometrijos raidai, portretas. (mokiniai atpažins François Vieta, puikaus matematiko, daug prisidėjusio prie trigonometrijos, atradusio redukcinių šaknų savybę, portretą kvadratinė lygtis ir dirbo kriptografijos srityje) . (10 skaidrė)
1) √3sinx + cosx = 0,
Nes cosx ≠ 0, tada
√3tgx + 1 = 0;
tgx = –1/√3;
x = arctan (–1/√3) + πn, n ∈Z.
x = –π/6 + πn, n ∈Z.
2) sin 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0.
Nes cos 2 x ≠ 0, tada tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0
Pakeitimas: tgx = y.
y 2 – 10 y + 21 = 0
y 1 = 7 arba y 2 = 3
tgx = 7 arba tgx = 3
x = arctan7 + πn, n ∈Z
x = arctan3 + πn, n ∈Z
3) sin 2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.
Nes cos 2 2x ≠ 0, tada 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0
Pakeitimas: tg2x = y.
3 m. 2 – 6 m. + 5 = 0
D = 36 – 20 = 16
y 1 = 5 arba y 2 = 1
tg2x = 5 arba tg2x = 1
2х = arctan5 + πn, n ∈Z
x = 1/2 arctan5 + π/2 n, n ∈Z
2х = arctan1 + πn, n ∈Z
x = π/8 + π/2 n, n ∈Z
4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.
6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.
6sin 2 x + 4 sinx cosx – sin 2 x – cos 2 x = 0.
5sin 2 x + 4 sinx cosx – cos 2 x = 0.
Nes cos 2 x ≠0, tada 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0
Pakeitimas: tg x = y.
5у 2 + 4у – 1 = 0
D = 16 + 20 = 36
y 1 = 1/5 arba y 2 = –1
tg x = 1/5 arba tg x = –1
x = arctan1/5 + πn, n ∈Z
x = arctan(–1) + πn, n ∈Z
x = –π/4 + πn, n ∈Z
Papildomai (kortelėje):
Išspręskite lygtį ir, pasirinkę vieną iš keturių siūlomų variantų, atspėkite matematiko, kuris išvedė redukcijos formules, vardą:
2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0.
Galimi atsakymai:
x = arctan2 + 2πn, n ∈Z x = –π/2 + πn, n ∈Z – P. Čebyševas
x = arctan 12,5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – Euklidas
x = arctan 5 + πn, n ∈Z x = –π/3 + πn, n ∈Z – Sofija Kovalevskaja
x = arctan2,5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – Leonhardas Euleris
Teisingas atsakymas: Leonhard Euler.
7. Diferencijuotas savarankiškas darbas (8 min.)
Didysis matematikas ir filosofas daugiau nei prieš 2500 metų pasiūlė tobulėjimo būdą mąstymo gebėjimai. „Mąstymas prasideda nuo nuostabos“, – sakė jis. Šių žodžių teisingumu šiandien įsitikinome ne kartą. Atlikę savarankišką darbą pagal 2 variantus, galėsite parodyti, kaip įsisavinote medžiagą, ir sužinoti šio matematiko vardą. Savarankiškam darbui naudokite dalomąją medžiagą, esančią ant jūsų lentelių. Galite patys pasirinkti vieną iš trijų siūlomų lygčių. Tačiau atminkite, kad išspręsdami lygtį, atitinkančią geltona spalva, jūs galite gauti tik „3“ išsprendę lygtį, atitinkančią žalią spalvą - „4“, raudoną spalvą - „5“. (3 priedas)
Kad ir kokį sunkumo lygį mokiniai pasirinktų, po teisingas sprendimas Pirmoji lygties versija sukuria žodį „ARIST“, antroji - „HOTEL“. Žodis skaidrėje yra „ARIST-HOTEL“. (11 skaidrė)
Lapai su savarankiškas darbas pateikiami patikrinti. (4 priedas)
8. Namų darbų įrašymas (1 min.)
D/z: §7.17. Sudarykite ir išspręskite 2 vienarūšes pirmojo laipsnio lygtis ir 1 homogeninę antrojo laipsnio lygtis (sudaryti naudojant Vietos teoremą). (12 skaidrė)
9. Pamokos apibendrinimas, įvertinimas (2 min.)
Mokytojas dar kartą atkreipia dėmesį į tas lygčių rūšis ir tas teoriniai faktai, kurie buvo prisiminti klasėje, kalba apie būtinybę jų mokytis.
Mokiniai atsako į klausimus:
- Su kokio tipo trigonometrinėmis lygtimis mes žinome?
- Kaip šios lygtys sprendžiamos?
Mokytoja labiausiai atkreipia dėmesį sėkmingas darbas atskirų mokinių pamokoje, duoda pažymius.
Su šia video pamoka mokiniai galės nagrinėti vienarūšių trigonometrinių lygčių temą.
Pateiksime apibrėžimus:
1) pirmojo laipsnio vienalytė trigonometrinė lygtis atrodo kaip sin x + b cos x = 0;
2) homogeninė antrojo laipsnio trigonometrinė lygtis atrodo kaip sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.
Apsvarstykite lygtį a sin x + b cos x = 0. Jei a lygi nuliui, tai lygtis atrodys taip, kaip b cos x = 0; jei b lygus nuliui, tai lygtis atrodys kaip nuodėmė x = 0. Tai lygtys, kurias vadinome paprasčiausiomis ir buvo išspręstos anksčiau ankstesnėse temose.
Dabar apsvarstykite variantą, kai a ir b nėra lygūs nuliui. Padalinę lygties dalis iš kosinuso x, atliekame transformaciją. Gauname a tg x + b = 0, tada tg x bus lygus - b/a.
Iš to, kas išdėstyta pirmiau, išplaukia, kad lygtis a sin mx + b cos mx = 0 yra vienalytė I laipsnio trigonometrinė lygtis. Norėdami išspręsti lygtį, padalykite jos dalis iš cos mx.
Pažiūrėkime į 1 pavyzdį. Išspręskite 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0. Pirmiausia lygties dalis padalinkite iš kosinuso (x/2). Žinodami, kad sinusas, padalytas iš kosinuso, yra liestinė, gauname 7 tan (x/2) - 5 = 0. Transformuodami išraišką gauname, kad tan (x/2) reikšmė lygi 5/7. Sprendimas duota lygtis turi formą x = arctan a + πn, mūsų atveju x = 2 arctan (5/7) + 2πn.
Apsvarstykite lygtį a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:
1) a lygus nuliui lygtis atrodys taip: b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Transformuodami gauname išraišką cos x (b sin x + c cos x) = 0 ir pereiname prie dviejų lygčių sprendimo. Lygties dalis padalijus iš kosinuso x gauname b tg x + c = 0, vadinasi, tg x = - c/b. Žinant, kad x = arctan a + πn, tada sprendimas in šiuo atveju bus x = arctan (- c/b) + πn.
2) jei a nelygus nuliui, tai lygties dalis padalijus iš kosinuso kvadrato, gauname lygtį, kurioje yra liestinė, kuri bus kvadratinė. Šią lygtį galima išspręsti įvedant naują kintamąjį.
3) kai c lygus nuliui, lygtis bus a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Ši lygtis gali būti išspręsta iš skliausto išimant sinusą x.
1. pažiūrėkite, ar lygtyje yra nuodėmė 2 x;
2. Jei lygtyje yra terminas a sin 2 x, tai lygtį galima išspręsti abi puses padalijus iš kosinuso kvadrato ir įvedant naują kintamąjį.
3. Jei lygtyje nėra nuodėmės 2 x, tai lygtį galima išspręsti iš skliaustų išimant cosx.
Panagrinėkime 2 pavyzdį. Išimkime kosinusą iš skliaustų ir gaukime dvi lygtis. Pirmosios lygties šaknis yra x = π/2 + πn. Norėdami išspręsti antrąją lygtį, šios lygties dalis padaliname iš kosinuso x ir transformuodami gauname x = π/3 + πn. Atsakymas: x = π/2 + πn ir x = π/3 + πn.
Išspręskime 3 pavyzdį, 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 lygtį ir suraskime jos šaknis, priklausančias atkarpai nuo - π iki π. Nes ši lygtis yra nehomogeniška, ją reikia sumažinti iki vienalytė išvaizda. Naudojant nuodėmės formulė 2 x + cos 2 x = 1, gauname nuodėmės lygtis 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Visas lygties dalis padalijus iš cos 2 x, gauname tan 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0. Naudojant naujo kintamojo įvestį z = tan 2x , išsprendžiame lygtį, kurios šaknis yra z = 1. Tada tan 2x = 1, vadinasi, x = π/8 + (πn)/2. Nes pagal uždavinio sąlygas reikia rasti šaknis, priklausančias atkarpai nuo - π iki π, sprendimas turės formą - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.
TEKSTO IŠKODAVIMAS:
Homogeninės trigonometrinės lygtys
Šiandien apžvelgsime, kaip sprendžiamos „homogeninės trigonometrinės lygtys“. Tai yra ypatingo tipo lygtys.
Susipažinkime su apibrėžimu.
Formos lygtis ir sin x+bcosx = 0 (o sinusas x plius kosinusas x lygus nuliui) vadinama homogenine pirmojo laipsnio trigonometrine lygtimi;
formos lygtis ir sin 2 x+bnuodėmė xcosx+scos 2 x= 0 (ir sinuso kvadratas x plius bus sinusas x kosinusas x plius se kosinusas x lygus nuliui) vadinama homogenine antrojo laipsnio trigonometrine lygtimi.
Jeigu a=0, tada lygtis įgauna formą bcosx = 0.
Jeigu b = 0 , tada gauname ir sin x = 0.
Šios lygtys yra elementarios trigonometrinės, todėl jų sprendimą aptarėme ankstesnėse temose
Pasvarstykime atvejis, kai abu koeficientai nėra lygūs nuliui. Padalinkime abi lygties puses Anuodėmėx+ bcosx = 0 narys po nario cosx.
Tai galime padaryti, nes x kosinusas nėra nulis. Juk jei cosx = 0 , tada lygtis Anuodėmėx+ bcosx = 0 įgaus formą Anuodėmėx = 0 , A≠ 0, todėl nuodėmėx = 0 . Kas yra neįmanoma, nes pagal pagrindinę trigonometrinę tapatybę nuodėmė 2 x+cos 2 x=1 .
Abiejų lygties pusių padalijimas Anuodėmėx+ bcosx = 0 narys po nario cosx, gauname: + =0
Atlikime transformacijas:
1. Kadangi = tg x, tada =ir tg x
2 sumažinti iki cosx, Tada
Taigi gauname tokią išraišką ir tg x + b =0.
Atlikime transformaciją:
1.perkelkite b į dešinę išraiškos pusę su priešingu ženklu
ir tg x =- b
2. Atsikratykime daugiklio ir padalijus abi lygties puses iš a
įdegis x= -.
Išvada: formos lygtis nuodėmėmx+bcosmx = 0 (ir sinusas em x plius kosinusas em x lygus nuliui) dar vadinama homogenine pirmojo laipsnio trigonometrine lygtimi. Norėdami tai išspręsti, padalinkite abi puses cosmx.
1 PAVYZDYS. Išspręskite lygtį 7 sin - 5 cos = 0 (septyni sinusas x per du minus penki kosinusas x per du yra lygus nuliui)
Sprendimas. Padalinę abi lygties nario puses iš cos, gauname
1. = 7 tan (kadangi sinuso ir kosinuso santykis yra liestinė, tai septyni sinusai x iš dviejų, padalyti iš kosinuso x iš dviejų, yra lygūs 7 tan x iš dviejų)
2. -5 = -5 (su santrumpa cos)
Tokiu būdu gavome lygtį
7tg - 5 = 0, Transformuokime išraišką, perkelkime minus penkis į dešinę pusę, keisdami ženklą.
Lygtį sumažinome iki formos tg t = a, kur t=, a =. Ir kadangi ši lygtis turi bet kokios reikšmės sprendimą A ir šie sprendimai turi formą
x = arctan a + πn, tada mūsų lygties sprendimas bus toks:
Arctg + πn, raskite x
x=2 arctan + 2πn.
Atsakymas: x=2 arctan + 2πn.
Pereikime prie antrojo laipsnio homogeninės trigonometrinės lygties
Asin 2 x+b sin x cos x +Sucos 2 x = 0.
Panagrinėkime keletą atvejų.
I. Jeigu a=0, tada lygtis įgauna formą bnuodėmėxcosx+scos 2 x= 0.
Sprendžiant e Tada naudojame lygčių faktorizavimo metodą. Išimsime cosx už skliaustų gauname: cosx(bnuodėmėx+scosx)= 0 . Kur cosx= 0 arba
b sin x +Sucos x = 0. Ir mes jau žinome, kaip išspręsti šias lygtis.
Abi lygties nario puses padalinkime iš cosх, gausime
1 (nes sinuso ir kosinuso santykis yra liestinė).
Taigi gauname lygtį: b tg x+c=0
Lygtį redukavome į formą tg t = a, kur t= x, a =. Ir kadangi ši lygtis turi bet kokios reikšmės sprendimą A ir šie sprendimai turi formą
x = arctan a + πn, tada mūsų lygties sprendimas bus toks:
x = arctan + πn, .
II. Jeigu a≠0, tada abi lygties puses dalijame pagal terminą į cos 2 x.
(Argumentuojant panašiai, kaip ir pirmojo laipsnio vienalytės trigonometrinės lygties atveju, kosinusas x negali eiti į nulį).
III. Jeigu c=0, tada lygtis įgauna formą Anuodėmė 2 x+ bnuodėmėxcosx= 0. Šią lygtį galima išspręsti faktorizavimo metodu (išimame nuodėmėx už skliausčio).
Tai reiškia, kad sprendžiant lygtį Anuodėmė 2 x+ bnuodėmėxcosx+scos 2 x= 0 galite sekti algoritmą:
2 PAVYZDYS. Išspręskite lygtį sinxcosx - cos 2 x= 0 (sinus x x kosinusas x minus šaknis iš trijų kosinuso kvadrato x lygus nuliui).
Sprendimas. Suskaidykime jį faktoriais (cosx iškelkime iš skliaustų). Mes gauname
cos x(sin x - cos x)= 0, t.y. cos x=0 arba sin x – cos x= 0.
Atsakymas: x =+ πn, x= + πn.
3 PAVYZDYS. Išspręskite lygtį 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (trys sinuso kvadratas du x atėmus du kartus sinuso sandauga du x karto kosinusas du x plius trys kosinusas kvadratas du x) ir raskite jos šaknis, priklausančias intervalas (- π;π).
Sprendimas. Ši lygtis nėra vienalytė, todėl atlikime kai kurias transformacijas. Skaičius 2, esantį dešinėje lygties pusėje, pakeičiame sandauga 2 1
Kadangi pagal pagrindinę trigonometrinę tapatybę sin 2 x + cos 2 x =1, tada
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = atidarę skliaustus gauname: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x
Tai reiškia, kad lygtis 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 bus tokia:
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x = 0,
sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +cos 2 2x =0.
Gavome homogeninę antrojo laipsnio trigonometrinę lygtį. Taikykime dalybos iš terminų iš cos 2 2x metodą:
tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.
Įveskime naują kintamąjį z= tan2х.
Turime z 2 - 2 z + 1 = 0. Tai kvadratinė lygtis. Pastebėję kairėje pusėje sutrumpintą daugybos formulę - skirtumo kvadratą (), gauname (z - 1) 2 = 0, t.y. z = 1. Grįžkime prie atvirkštinio pakeitimo:
Lygtį sumažinome iki formos tg t = a, kur t= 2x, a =1. Ir kadangi ši lygtis turi bet kokios reikšmės sprendimą A ir šie sprendimai turi formą
x = arctan x a + πn, tada mūsų lygties sprendimas bus toks:
2х = arctan1 + πn,
x = + , (x lygus pi sumai padauginus aštuonis ir pi en padauginus du).
Viskas, ką turime padaryti, tai rasti x reikšmes, esančias intervale
(- π; π), t.y. tenkinti dvigubą nelygybę – π x π. Nes
x= +, tada - π + π. Visas šios nelygybės dalis padaliname iš π ir padauginame iš 8, gauname
perkelkite po vieną į dešinę ir į kairę, pakeisdami ženklą į minus vieną
padaliname iš keturių gauname
Patogumui visas dalis atskiriame trupmenomis
- Šią nelygybę tenkina toks sveikasis skaičius n: -2, -1, 0, 1 Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų. Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo. Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis. Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti. Kokią asmeninę informaciją renkame: Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją: Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims. Išimtys: Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo. Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką. Sustok! Pabandykime suprasti šią sudėtingą formulę. Pirmasis galios kintamasis su tam tikru koeficientu turėtų būti pirmas. Mūsų atveju taip yra Mūsų atveju taip yra. Kaip išsiaiškinome, tai reiškia, kad pirmojo kintamojo laipsnis suartėja. Ir antrasis kintamasis iki pirmojo laipsnio yra vietoje. Koeficientas. Mes jį turime. Pirmasis kintamasis yra laipsnis, o antrasis kintamasis yra kvadratas su koeficientu. Tai paskutinis lygties narys. Kaip matote, mūsų lygtis atitinka apibrėžimą formulės pavidalu. Pažvelkime į antrąją (žodinę) apibrėžimo dalį. Turime du nežinomuosius ir. Čia susilieja. Apsvarstykime visas sąlygas. Juose nežinomųjų laipsnių suma turėtų būti vienoda. Laipsnių suma lygi. Galių suma lygi (at ir at). Laipsnių suma lygi. Kaip matote viskas tinka!!! Dabar pabandykime apibrėžti vienarūšes lygtis. Nustatykite, kurios lygtys yra vienalytės: Homogeninės lygtys – lygtys su skaičiais: Panagrinėkime lygtį atskirai. Jei kiekvieną terminą padalinsime į faktorių, gausime Ir ši lygtis visiškai patenka į vienalyčių lygčių apibrėžimą. 2 pavyzdys. Padalinkime lygtį iš. Pagal mūsų sąlygą y negali būti lygus. Todėl galime drąsiai dalyti iš Atlikdami pakaitalą, gauname paprastą kvadratinę lygtį: Kadangi tai yra sumažinta kvadratinė lygtis, naudojame Vietos teoremą: Atlikę atvirkštinį pakeitimą, gauname atsakymą Atsakymas: 3 pavyzdys. Padalinkime lygtį iš (pagal sąlygą). Atsakymas: 4 pavyzdys. Rasti, jei. Čia reikia ne dalyti, o dauginti. Padauginkime visą lygtį iš: Pakeiskime ir išspręskime kvadratinę lygtį: Atlikę atvirkštinį pakeitimą, gauname atsakymą: Atsakymas: Homogeninių trigonometrinių lygčių sprendimas niekuo nesiskiria nuo aukščiau aprašytų sprendimo būdų. Tik čia, be kita ko, reikia išmanyti šiek tiek trigonometrijos. Ir mokėti išspręsti trigonometrines lygtis (tam galite perskaityti skyrių). Pažvelkime į tokias lygtis naudodami pavyzdžius. 5 pavyzdys. Išspręskite lygtį. Matome tipišką vienalytę lygtį: ir yra nežinomieji, o jų galių suma kiekviename naryje yra lygi. Tokias vienarūšes lygtis nesunku išspręsti, tačiau prieš skirstydami lygtis į, apsvarstykite atvejį, kai Šiuo atveju lygtis bus tokia: , taigi. Tačiau sinusas ir kosinusas negali būti lygūs vienu metu, nes pagal pagrindinį trigonometrinį tapatumą. Todėl galime drąsiai suskirstyti į: Kadangi lygtis pateikta, tai pagal Vietos teoremą: Atsakymas: 6 pavyzdys. Išspręskite lygtį. Kaip ir pavyzdyje, lygtį reikia padalyti iš. Panagrinėkime atvejį, kai: Tačiau sinusas ir kosinusas negali būti lygūs vienu metu, nes pagal pagrindinį trigonometrinį tapatumą. Štai kodėl. Pakeiskime ir išspręskime kvadratinę lygtį: Atlikime atvirkštinį pakeitimą ir suraskime ir: Atsakymas: Homogeninės lygtys sprendžiamos taip pat, kaip ir anksčiau aptartos. Jei pamiršote, kaip išspręsti eksponentines lygtis, pažiūrėkite į atitinkamą skyrių ()! Pažvelkime į kelis pavyzdžius. 7 pavyzdys. Išspręskite lygtį Įsivaizduokime tai taip: Matome tipišką vienalytę lygtį su dviem kintamaisiais ir galių suma. Padalinkime lygtį į: Kaip matote, atlikę pakaitalą, gauname žemiau esančią kvadratinę lygtį (nereikia bijoti padalyti iš nulio - ji visada griežtai didesnė už nulį): Pagal Vietos teoremą: Atsakymas: . 8 pavyzdys. Išspręskite lygtį Įsivaizduokime tai taip: Padalinkime lygtį į: Pakeiskime ir išspręskime kvadratinę lygtį: Šaknis netenkina sąlygos. Atlikime atvirkštinį pakeitimą ir raskime: Atsakymas: Pirmiausia, naudodamasis vienos problemos pavyzdžiu, leiskite jums priminti kas yra vienarūšės lygtys ir koks yra vienarūšių lygčių sprendimas. Išspręskite problemą: Rasti, jei. Čia galite pastebėti keistą dalyką: kiekvieną terminą padalinę iš gausime: Tai yra, dabar nėra atskirų ir, - dabar lygties kintamasis yra norima reikšmė. Ir tai yra įprasta kvadratinė lygtis, kurią galima lengvai išspręsti naudojant Vietos teoremą: šaknų sandauga yra lygi, o suma yra skaičiai ir. Atsakymas: Formos lygtys vadinamas vienalyte. Tai yra, tai yra lygtis su dviem nežinomaisiais, kurių kiekvienas narys turi tą pačią šių nežinomųjų galių sumą. Pavyzdžiui, aukščiau pateiktame pavyzdyje ši suma yra lygi. Homogeninės lygtys išsprendžiamos dalijant iš vieno iš nežinomųjų iki šio laipsnio: Ir vėlesnis kintamųjų pakeitimas: . Taigi gauname galios lygtį su vienu nežinomu: Dažniausiai susidursime su antrojo laipsnio lygtimis (tai yra kvadratinėmis) ir žinome, kaip jas išspręsti: Atkreipkite dėmesį, kad visą lygtį galime padalyti (ir padauginti) iš kintamojo tik tada, kai esame įsitikinę, kad šis kintamasis negali būti lygus nuliui! Pavyzdžiui, jei mūsų paprašo surasti, iš karto suprantame, kad skirstyti neįmanoma. Tais atvejais, kai tai nėra taip akivaizdu, būtina atskirai patikrinti atvejį, kai šis kintamasis yra lygus nuliui. Pavyzdžiui: Išspręskite lygtį. Sprendimas: Čia matome tipišką vienalytę lygtį: ir yra nežinomieji, o jų galių suma kiekviename naryje yra lygi. Tačiau prieš dalindami iš ir gaudami kvadratinės lygties santykinę, turime apsvarstyti atvejį, kai. Šiuo atveju lygtis bus tokia: , o tai reiškia . Tačiau sinusas ir kosinusas vienu metu negali būti lygūs nuliui, nes pagal pagrindinį trigonometrinį tapatumą: . Todėl galime drąsiai suskirstyti į: Tikiuosi, kad šis sprendimas yra visiškai aiškus? Jei ne, skaitykite skyrių. Jei neaišku, iš kur jis atsirado, reikia grįžti dar anksčiau – į skyrių. Spręskite patys: Čia trumpai parašysiu tiesiai homogeninių lygčių sprendimą: Sprendimai: Atsakymas:. Bet čia reikia dauginti, o ne dalyti: Atsakymas: Jei dar nepadarėte trigonometrinių lygčių, galite praleisti šį pavyzdį. Kadangi čia reikia padalyti iš, pirmiausia įsitikinkime, kad šimtas nėra lygus nuliui: Ir tai neįmanoma. Atsakymas:. Visų vienarūšių lygčių sprendimas redukuojamas iki padalijimo iš vieno iš nežinomųjų iki kintamųjų laipsnio ir tolesnio keitimo. Algoritmas: Pamokos tipas: naujos medžiagos paaiškinimas. Darbas vyksta grupėse. Kiekvienoje grupėje yra ekspertas, kuris stebi ir vadovauja studentų darbui. Padeda silpniems mokiniams patikėti savimi sprendžiant šias lygtis. Pamoka šia tema "
Homogeninės trigonometrinės lygtys“ (10 klasė) Tikslas: Pamokos tipas : naujų žinių formavimo pamoka. Elgesio forma: darbas grupėse. Įranga: kompiuteris, multimedijos instaliacija Pamokos eiga I. Organizacinis momentas Pamokoje žinių vertinimo vertinimo sistema (dėstytojas paaiškina žinių vertinimo sistemą, vertinimo lapą pildo nepriklausomas ekspertas, mokytojo pasirinktas iš mokinių). Pamoką lydi pristatymas. 1 priedas. Balų lentelė Nr. n\n Pavardė vardas vardas Namų darbai Kognityvinė veikla Lygčių sprendimas Nepriklausomas Darbas Įvertinimas II. Atnaujinti pagrindines žinias.. Tęsiame temą „Trigonometrinės lygtys“. Šiandien pamokoje supažindinsime su kito tipo trigonometrinėmis lygtimis ir jų sprendimo būdais, todėl pakartosime tai, ką išmokome. Sprendžiant visų tipų trigonometrines lygtis, jos redukuojamos iki paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo. Prisiminkime pagrindinius paprastų trigonometrinių lygčių tipus. Naudokite rodykles, kad atitiktumėte išraiškas. III. Motyvacija mokytis. Turime nuveikti, kad išspręstume kryžiažodį. Ją išsprendę, išsiaiškinsime naujo tipo lygčių pavadinimą, kurią šiandien mokysime išspręsti klasėje. Klausimai projektuojami ant lentos. Mokiniai spėja, o nepriklausomas ekspertas į balų lapą įrašo atsakiusių mokinių balus. Išsprendę kryžiažodį, vaikai perskaitys žodį „vienarūšis“. Kryžiažodis. Jei įvesite teisingus žodžius, gausite vieno iš trigonometrinių lygčių tipų pavadinimą. 1.Kintamojo, dėl kurio lygtis yra teisinga, reikšmė? (Šaknis) 2.Kampų vienetas? (radianas) 3. Skaitinis gaminio veiksnys? (koeficientas) 4. Matematikos šaka, tirianti trigonometrines funkcijas? (Trigonometrija) 5.Kokio matematinio modelio reikia trigonometrinėms funkcijoms įvesti? (Ratas) 6. Kuri trigonometrinė funkcija yra lyginė? (kosinusas) 7.Kaip vadinama tikroji lygybė? (Tapatybė) 8.Lygybė su kintamuoju? (Lygtis) 9. Lygtys, kurių šaknys yra vienodos? (lygiavertis) 10. Kiek šaknų turi lygtis? (Sprendimas) IV. Naujos medžiagos paaiškinimas. Pamokos tema „Homogeninės trigonometrinės lygtys“. (Pristatymas) Pavyzdžiai: V. Savarankiškas darbas Tikslai: visapusiškai patikrinti studentų žinias sprendžiant visų tipų trigonometrines lygtis, skatinti mokinius savianalizei ir savikontrolei. Tada jie perduoda jį nepriklausomam ekspertui. 1 variantas: 1) sin x = √3cos x 2) 3sin 2 x – 7sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 3) 3sin x – 2sin x cos x = 1 4) sin 2x⁄sin x =0 2 variantas: 1) cosx + √3sin x = 0 2) 2sin 2 x + 3sin x cos x – 2 cos 2 x = 0 3)1 + sin 2 x = 2 sin x cos x 4) cos 2x ⁄ cos x = 0 VI. Apibendrinant pamoką VII. Namų darbai: Namų darbai – 12 balų (namų darbams skirtos 3 lygtys 4 x 3 = 12) Mokinio aktyvumas – 1 atsakymas – 1 balas (daugiausia 4 balai) Lygčių sprendimas 1 taškas Savarankiškas darbas – 4 balaiAsmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims
Asmeninės informacijos apsauga
Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu
Kaip išspręsti vienarūšes lygtis?
Vienarūšių trigonometrinių lygčių sprendimas.
Vienarūšių eksponentinių lygčių sprendimas.
HOMOGENINĖS LYGTYBĖS. VIDURIO LYGIS
HOMOGENINĖS LYGTYBĖS. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS
Parsisiųsti:
Peržiūra:
Studentų prašoma rašto darbą atlikti 10 minučių.
Mokiniai dirba ant tuščių popieriaus lapų, kad galėtų kopijuoti. Po kurio laiko surenkamos savarankiškų darbų viršūnės, o sprendimus palieka kopijuoti mokiniams.
Savarankiško darbo tikrinimas (3 min.) atliekamas abipusio patikrinimo būdu.
. Mokiniai spalvotu rašikliu patikrina kaimyno rašto darbus ir užsirašo tikrinančiojo vardą. Tada jie atiduoda dokumentus.
