Ir kažkokia linija, kuri eina per kilmę. Jei hiperbolė pradės suktis aplink šią ašį, atsiras tuščiaviduris sukimosi kūnas, kuris bus hiperboloidas. Yra dviejų tipų hiperboloidai: vieno lapo ir dviejų lakštų. Vieno lapo hiperboloidas pateikiamas formulės lygtimi: x^2/a^2 +y^2/b^2-z^2/c^2=1 Jei laikysime šią erdvinę figūrą Oxz ir Oyz plokštumos, matome, kad jos atkarpos yra hiperbolės. Tačiau vieno lapo hiperboloido atkarpa pagal Oxy plokštumą yra elipsė. Mažiausia hiperboloido elipsė vadinama gerklės elipsė. Šiuo atveju z=0, o elipsė eina per pradinę vietą. Gerklės lygtis, kai z=0, parašyta taip: x^2/a^2 +y^2/b^2=1 Likusios elipsės yra tokios formos: x^2/a^2 +y^2/b ^2=1+ h^2/c^2, kur h yra vieno lapo hiperboloido aukštis.
Norėdami sukurti hiperboloidą, pradėkite nuo hiperbolės vaizdavimo Xoz plokštumoje. Nubraižykite tikrąją pusašį, kuri sutampa su y ašimi, ir įsivaizduojamą pusašį, kuri sutampa su z ašimi. Sukurkite hiperbolę ir nurodykite tam tikrą hiperboloido aukštį h. Po to tam tikro aukščio lygyje nubrėžkite tieses, lygiagrečias su Ox ir kertančias hiperbolės grafiką apatiniame ir viršutiniame taške. Tada taip pat Oyz plokštumoje sukonstruokite hiperbolę, kur b yra tikroji pusiau ašis, einanti per y ašį, o c yra įsivaizduojama pusašis, taip pat sutampanti c c.Oxy plokštumoje sukonstruokite lygiagretainį, kuris gaunamas sujungus hiperbolių grafikų taškus. Nubrėžkite gerklės elipsę taip, kad ji būtų įrašyta šiame lygiagrečiame. Tokiu pat būdu sukonstruokite likusias elipses. Rezultatas bus sukimosi kūnas – vieno lapo hiperboloidas, parodytas 1 pav
Dviejų lakštų hiperboloidas gavo savo kelią dėl dviejų skirtingų paviršių, kuriuos sudaro Ozo ašis. Tokio hiperboloido lygtis yra tokia: x^2/a^2 +y^2/b^2 -z^2/c^2=-1Dvi ertmės gaunamos sukonstruojant hiperbolę Oxz ir Oyz plokštumose . Dviejų lapų hiperboloidas turi dalis, kurios yra elipsės: x^2/a^2-y^2/b^2=h^2/c^2-1 Kaip ir vieno lapo hiperboloido atveju, sudarykite hiperboles. Oxz ir Oyz plokštumose, kurios bus išdėstytos taip, kaip parodyta 2. Sukurkite lygiagretainius apačioje ir viršuje, kad sudarytumėte elipses. Sukonstravę elipses pašalinkite visas konstrukcijas ir nubrėžkite dviejų lakštų hiperboloidą.
Viena juosta hiperboloidas reiškia sukimosi figūrą. Norėdami jį sukurti, turite laikytis tam tikros metodikos. Pirmiausia nubrėžiamos pusiau ašys, paskui – hiperbolės ir elipsės. Visų šių elementų derinys padės sukurti pačią erdvinę figūrą.
Jums reikės
- - pieštukas,
- -popierius,
- - matematikos žinynas.
Instrukcijos
Nubrėžkite hiperbolę Xoz. Norėdami tai padaryti, nubrėžkite dvi pusiau ašis, kurios sutampa su y ašimi (tikroji pusiau ašis) ir z ašimi (įsivaizduojama pusašis). Pagal juos sukonstruokite hiperbolę. Po to nustatykite tam tikrą aukštį h a. Galiausiai šios nurodytos tiesės lygyje nubrėžkite tiesias linijas, kurios bus lygiagrečios su Ox ir susikerta su hiperbolės grafiku dviem būdais: apatine ir viršutine.
Pakartokite aukščiau nurodytus veiksmus kurdami likusias elipses. Galiausiai bus suformuotas vienos ertmės brėžinys hiperboloidas A.
Vienguba ertmė hiperboloidas aprašyta nuotraukoje
- (graikų kalba, iš hiperbolė hiperbolė ir eidos panašumas). Atviras lenktas 2-osios eilės paviršius, atsirandantis dėl hiperbolės sukimosi. Žodynas svetimžodžiai, įtraukta į rusų kalbą. Chudinovas A.N., 1910. HIPERBOLOIDAS graikų k., iš hiperbolė, ... ... Rusų kalbos svetimžodžių žodynas
hiperboloidas- a, m hiperboloide m. mat. Atviras paviršius, susidaręs sukant hiperbolę aplink vieną iš jos ašių. BAS 2. Inžinieriaus Garino hiperboloidas. Lex. sausio mėn. 1803: hiperboloidas; SAN 1847: hiperbolinė/d: BAS 1954: hiperbolinė/id... Istorijos žodynas Rusų kalbos galicizmas
HIPERBOLOIDAS, hiperboloidas, vyriškas. (mat.). Paviršius, suformuotas sukant hiperbolę (1 reikšme). Ušakovo aiškinamąjį žodyną. D.N. Ušakovas. 1935 1940... Ušakovo aiškinamasis žodynas
Daiktavardis, sinonimų skaičius: 2 conoid (4) paviršius (32) ASIS Sinonimų žodynas. V.N. Trishin. 2013… Sinonimų žodynas
Hiperboloidas- Vieno lapo hiperboloidas. HIPERBOLOIDAS (iš hiperbolės ir graikų eidos vaizdo), paviršius, gaunamas sukant hiperbolę aplink vieną iš simetrijos ašių. Vienu atveju susidaro dviejų lakštų hiperboloidas, kitu – vienalapis... ... Iliustruotas enciklopedinis žodynas
hiperboloidas- hiperboloidas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. hiperboloidinis vok. Hiperboloidas, m rus. hiperboloidas, m pranc. hyperboloïde, m … Fizikos terminų žodynas
- (mat.) Šiuo pavadinimu žinomi du antrosios eilės paviršių tipai. 1) Šis paviršius, susijęs su simetrijos ašimis, turi lygtį x2/a2 + y2/b2 z2/c2 = 1. Vienalytės geometrijos yra valdomas paviršius ir jame yra dvi sistemos... ... Enciklopedinis žodynas F. Brockhausas ir I.A. Efronas
M. Atviras paviršius, susidaręs sukantis hiperbolei [hiperbolei II] aplink vieną iš jos ašių (geometrijoje). Efraimo aiškinamasis žodynas. T. F. Efremova. 2000... Modernus aiškinamasis žodynas Rusų kalba Efremova
Hiperboloidas, hiperboloidas, hiperboloidas, hiperboloidas, hiperboloidas, hiperboloidas, hiperboloidas, hiperboloidas, hiperboloidas, hiperboloidas, hiperboloidas, hiperboloidas (Šaltinis: „Visa akcentuota paradigma pagal A. A. Zaliznyaką“) ... Žodžių formos
Neuždarytas antros eilės centrinis paviršius. Yra dviejų tipų dujos: vieno lakšto dujos ir dviejų lakštų dujos Tinkamoje koordinačių sistemoje (žr. pav.) vieno lakšto dujų lygtis turi tokią formą: Skaičiai a, b ir c (ir atkarpos, tokios ...... Matematinė enciklopedija
Knygos
- , Aleksejus Tolstojus. Knygoje pateikiami A. N. Tolstojaus mokslinės fantastikos romanai, sukurti praėjusio amžiaus 20-aisiais...
- Inžinieriaus Garino hiperboloidas. Aelita, Aleksejus Tolstojus. Romanas „Inžinieriaus Garino hiperboloidas“ ir pasakojimas „Aelita“ pažymėjo sovietinės mokslinės fantastikos literatūros pradžią. Jie skiriasi tuo, kad fantastiškos temos pateikiamos kartu su...
2 PRIEDAS
VIENO URVA ROTACIJOS HIPERBOLOIDAS
(trumpa informacija)
Jei generuojančios linijos judėjimas yra sukimasis aplink kokią nors fiksuotą tiesią liniją (ašį), tai tokiu atveju susidaręs paviršius vadinamas apsisukimo paviršiumi. Generuojanti linija gali būti plokščia arba erdvinė kreivė, taip pat tiesi linija.
Kiekvienas generuojančios linijos taškas, sukamas aplink ašį, apibūdina apskritimą, esantį plokštumoje, statmenoje sukimosi ašiai. Šie apskritimai vadinami paralelėmis. Vadinasi, ašiai statmenos plokštumos kerta sukimosi paviršių išilgai lygiagrečių. Sukimosi paviršiaus susikirtimo linija su plokštuma, einančia per ašį, vadinama dienovidiniu. Visi revoliucijos paviršiaus dienovidiniai yra sutampa.
Visų paralelių arba dienovidinių aibė reiškia ištisinį revoliucijos paviršiaus rėmą. Per kiekvieną paviršiaus tašką eina po vieną lygiagretę ir vieną dienovidinį. Taško projekcijos yra atitinkamose lygiagretės arba dienovidinio projekcijose. Galite nustatyti tašką paviršiuje arba sukurti antrą taško projekciją, jei tokia yra, naudodami lygiagretę arba dienovidinį, einantį per šį tašką. Apsisukimo paviršiaus determinanto geometrinė dalis susideda iš sukimosi ašies ir generatoriaus.
Paviršiai, suformuoti sukant tiesia linija:
1. - sukimosi cilindras suformuojamas sukant lygiagrečią ašiai tiesę;
2. - sukimosi kūgis susidaro sukantis tiesei, kertančiai ašį;
3. - sukantis ašį kertančiai tiesei susidaro vieno lapo apsisukimo hiperboloidas;
Paviršiaus paralelės yra apskritimai.
Paviršiaus dienovidinis yra hiperbolė.
Visi išvardyti valdomi sukimosi paviršiai yra antros eilės paviršiai.
Paviršiai, suformuoti sukant antros eilės kreives aplink savo ašis
1. Sfera susidaro sukant apskritimą aplink jos skersmenį.
2. Apsisukimo elipsoidas susidaro sukant elipsę aplink didžiąją arba mažąją ašį.
3. Apsisukimo paraboloidas susidaro sukant parabolę aplink savo ašį.
4. Vieno lakšto apsisukimo hiperboloidas susidaro sukant hiperbolę aplink savo įsivaizduojamą ašį (šis paviršius susidaro ir sukant tiesią: žingsnis a-1).
Vieno lapo hiperboloidas yra paviršius kanoninė lygtis kurios forma:
kur a, b, c yra teigiami skaičiai.
Jis turi tris simetrijos plokštumas, tris simetrijos ašis ir simetrijos centrą. Tai atitinkamai koordinačių plokštumos, koordinačių ašys ir kilmė. Norėdami sukurti hiperboloidą, randame jo pjūvius įvairiomis plokštumomis. Raskime susikirtimo liniją su xOy plokštuma. Šioje plokštumoje z = 0, taigi
Ši lygtis xOy plokštumoje apibrėžia elipsę su pusiau ašimis a ir b (1 pav.). Raskime susikirtimo liniją su yOz plokštuma. Šioje plokštumoje x = 0, taigi
Tai hiperbolės lygtis yOz plokštumoje, kur tikroji pusašis yra b, o įsivaizduojama pusašis yra c. Sukurkime šią hiperbolę.
Pjūvis pagal xOz plokštumą taip pat yra hiperbolė su lygtimi
Nubraižysime ir šią hiperbolę, tačiau kad brėžinys nebūtų perkrautas papildomomis linijomis, jos asimptočių nevaizduosime ir asimptotes atkarpoje pašalinsime yOz plokštuma.
Raskime paviršiaus susikirtimo tieses su plokštumomis z = ± h, h > 0.
Ryžiai. 1. Vieno lapo hiperboloido pjūvis
Šių eilučių lygtys yra šios:
Pirmąją lygtį paverskime forma
Ši lygtis yra elipsės, panašios į elipsę xOy plokštumoje, lygtis su panašumo koeficientu ir pusiau ašimis a 1 ir b 1 . Nubraižykime gautas atkarpas (2 pav.).
Ryžiai. 2. Vieno lapo hiperboloido vaizdas naudojant sekcijas
Vieno lapo apsisukimo hiperboloidą galima gauti sukant tiesią liniją, kertančią įsivaizduojamą ašį, aplink kurią linija sukasi. Tokiu atveju gaunama erdvinė figūra (3 pav.), kurios paviršių sudaro nuoseklios tiesės padėties sukimosi metu.
Ryžiai. 3. Vieno lapo sukimosi hiperboloidas, gautas sukant tiesią liniją, kertančią sukimosi ašį
Tokio paviršiaus dienovidinis yra hiperbolė. Erdvė šios sukimosi figūros viduje bus tikra, o išorėje – įsivaizduojama. Plokštuma, statmena įsivaizduojamai ašiai ir išskaidanti vieno lapo hiperboloidą jo minimalioje atkarpoje, vadinama židinio plokštuma.
Pažįstamas vieno lapo hiperboloido vaizdas akiai parodytas Fig. 6.4.
Jei lygtyje a=b, tai hiperboloido atkarpos plokštumose, lygiagrečiai plokštumai xOy yra apskritimai. Šiuo atveju paviršius vadinamas vieno lakšto apsisukimo hiperboloidu ir jį galima gauti sukant yOz plokštumoje gulinčią hiperbolę aplink Oz ašį (4 pav.).
Ryžiai. 4. Vieno lapo revoliucijos hiperboloidas,
Vieno lapo hiperboloidas
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1.
Dviejų lapų hiperboloidas yra tam tikru būdu apibrėžtas paviršius stačiakampė sistema koordinuoja Oxyz pagal kanoninę lygtį
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1.
(4.48), (4.49) lygtyse a, b, c yra teigiami parametrai, apibūdinantys hiperboloidus, o a\geqslant b .
Koordinačių pradžia vadinama hiperboloido centru. Hiperboloido susikirtimo taškai su koordinačių ašimis vadinami jo viršūnėmis. Tai yra keturi vieno lapo hiperboloido (4.48) taškai (\pm a,0,0), (0,\pm b,0) ir dviejų lakštų hiperboloido du taškai (0,0,\pm c). (4.49). Trys koordinačių ašių atkarpos, jungiančios hiperboloidų viršūnes, vadinamos hiperboloidų ašimis. Hiperboloidų ašys, priklausančios koordinačių ašims Ox,\,Oy, vadinamos skersinėmis hiperboloidų ašimis, o ašis, priklausančia aplikacinei ašiai Oz, vadinama išilgine hiperboloidų ašimi. Skaičiai a,\,b,\,c , lygus pusėms ašių ilgiai vadinami hiperboloidų pusiau ašimis.
Vieno lapo hiperboloido plokštumos pjūviai
Į (4.48) lygtį pakeitę z=0, gauname lygtį \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 vieno lapo hiperboloido susikirtimo su koordinačių plokštuma Oxy linija. Ši lygtis Oxy plokštumoje apibrėžia elipsę, vadinamą gerkle. Vieno lapo hiperboloido susikirtimo linijos su kitais koordinačių plokštumos yra hiperbolės. Jos vadinamos pagrindinėmis hiperbolėmis. Pavyzdžiui, jei x=0 gauname pagrindinę hiperbolę \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(z^2)=1, o kai y=0 – pagrindinė hiperbolė \frac(x^2)(a^2)-\frac(z^2)(c^2)=1
Dabar panagrinėkime vieno lapo hiperboloido pjūvį plokštumose, lygiagrečiomis Oxy plokštumai. Pakeitę z=h, kur h yra savavališka konstanta (parametras), į (4.48) lygtį, gauname
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=1 \quad \Rodyklė į kairę \quad \frac(x) ^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1+\frac(h^2)(c^2).
Bet kuriai parametro h reikšmei lygtis apibrėžia elipsę su pusiau ašimis a"=a\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2)), b"=b\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2)),. Vadinasi, vieno lapo hiperboloido pjūvis plokštuma z=h yra elipsė, kurios centras yra ant aplikacinės ašies, o viršūnės – ant pagrindinių hiperbolių. Tarp visų elipsių, gautų pjūviais plokštumomis z=h at skirtingos reikšmės parametras h, gerklės elipsė (kai h = 0) yra elipsė su mažiausiomis pusiau ašimis.
Taigi vieno lapo hiperboloidas gali būti pavaizduotas kaip elipsių suformuotas paviršius, kurio viršūnės guli ant pagrindinių hiperbolių (4.42 pav., a)
Dviejų lakštų hiperboloido plokštumos pjūviai
Dviejų lakštų hiperboloido atkarpos koordinačių plokštumos Oyz ir Oxz yra hiperbolės (pagrindinės hiperbolės).
Dabar panagrinėkime dviejų lakštų hiperboloido atkarpas plokštumose, lygiagrečiomis Oxy plokštumai. Pakeitę z=h, kur h yra savavališka konstanta (parametras), į (4.49) lygtį, gauname
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=-1 \quad \Rodyklė į kairę \quad \frac( x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=\frac(h^2)(c^2)-1.
Už |h|
Taigi dviejų lakštų hiperboloidas gali būti pavaizduotas kaip elipsių suformuotas paviršius, kurio viršūnės guli ant pagrindinių hiperbolių (4.43 pav., a).
Sukimosi hiperboloidai
Vadinamas hiperboloidas, kurio skersinės pusiau ašys yra lygios (a=b). revoliucijos hiperboloidas. Toks hiperboloidas yra apsisukimo paviršius, o jo pjūviai plokštumose z=h (dviejų lakštų hiperboloidui su |h|>c) yra apskritimai, kurių centrai yra taikomojoje ašyje. Vieno lakšto arba dviejų lakštų hiperboloidus galima gauti sukant hiperbolę aplink Ozo ašį \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1(4.42 pav., b) arba konjuguota hiperbolė \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1(4.43 pav., b) atitinkamai. Atkreipkite dėmesį, kad pastarosios lygtis gali būti parašyta forma -\frac(y^2)(b^2)+\frac(z^2)(c^2)=1.
Hiperboloidas, kurio skersinės ašys yra skirtingos (a\ne b), vadinamas triašiu (arba bendruoju).
Pastabos 4.9
1. X plokštumos x=\pm a,\,y=\pm b,\,z=\pm c apibrėžta erdvėje pagrindinis stačiakampis , kurio išorėje yra dviejų lakštų hiperboloidas (4.43 pav., c). Du gretasienio paviršiai (z=\pm c) liečia hiperboloidą jo viršūnėse.
2. Vieno lakšto hiperboloido pjūvis plokštuma, lygiagrečia aplikacijos ašiai ir turinčią vieną bendras taškas su gerklės elipsė (t. y. jos liestinė), reiškia dvi tiesias linijas, susikertančias sąlyčio taške. Pavyzdžiui, pakeitę x=\pm a į lygtį (4.48), gauname lygtį \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=0 dvi susikertančios tiesės (žr. 4.42 pav., a).
3. Vieno lapo hiperboloidas yra valdomas paviršius, t.y. paviršius, suformuotas judant tiesia linija (žr. 4.42 pav., c). Pavyzdžiui, vieno lapo apsisukimo hiperboloidą galima gauti sukant tiesę aplink kitą liniją, kuri ją kerta (bet nėra statmena).
4. Kanoninės koordinačių sistemos pradžia yra hiperboloido simetrijos centras, koordinačių ašys – hiperboloido simetrijos ašys, o koordinačių plokštumos – hiperboloido simetrijos plokštumos.
Iš tiesų, jei taškas M(x,y,z) priklauso hiperboloidui, tada taškai su koordinatėmis (\pm x,\pm y,\pm z) bet koks ženklų pasirinkimas taip pat priklauso hiperboloidui, nes jų koordinatės atitinka atitinkamai (4.48) arba (4.49) lygtį.
„Javascript“ jūsų naršyklėje išjungtas.Norėdami atlikti skaičiavimus, turite įjungti ActiveX valdiklius!
Vieno lapo hiperboloidas. Paviršius apibrėžtas lygtimi
vadinamas vieno lapo hiperboloidu. Šis paviršius turi tris simetrijos plokštumas - koordinačių plokštumas, nes dabartinės koordinatės y ir z yra įtrauktos į (55) lygtį lyginiais laipsniais.
Vieno lapo hiperboloidą susikirtę su plokštuma gauname plokštumoje gulinčią hiperbolę ABCD (97 pav.)
Panašiai vieno lapo hiperboloido atkarpoje plokštuma gauname hiperbolę EFGH
plokštumoje
Kai vieno lapo hiperboloidas susikerta su plokštuma, gaunama elipsė BFCG, kurios lygtys turi tokią formą:
Šios elipsės pusiau ašys didėja didėjant absoliuti vertė h.
Kai gaunate elipsę, gulinčią plokštumoje ir turinčią mažiausias pusašius a ir b. Kai gauname vieno lapo revoliucijos hiperboloidą
Kai plokštumos susikerta, bus gauti apskritimai
Pastraipose 2 ir 3 laikomi cilindriniais ir kūginiai paviršiai, kurių kiekviena sudaryta iš tiesių linijų. Pasirodo, vieno lapo hiperboloidas taip pat gali būti laikomas paviršiumi, sudarytu iš tiesių linijų. Apsvarstykite tiesią liniją, apibrėžtą lygtimis
kurioje a, b ir c yra vieno lapo hiperboloido pusiau ašys, o k yra savavališkai pasirinktas skaičius
Padauginus šias lygtis iš termino, gauname lygtį
y., vieno lapo hiperboloido lygtis.
Taigi vieno lapo hiperboloido lygtis yra lygčių sistemos (59) pasekmė. Todėl bet kurio taško, atitinkančio lygčių sistemą (59), koordinatės tenkina ir vieno lapo hiperboloido (55) lygtį. Kitaip tariant, visi linijos (59) taškai priklauso hiperboloidui (55). Pakeitę k reikšmes, gauname visą paviršiuje gulinčių linijų šeimą (55). Panašiai galima parodyti, kad vieno lapo hiperboloidas apima visas tiesiogines šeimas
kur yra savavališkas parametras.
Taip pat galima parodyti, kad per kiekvieną vieno lapo hiperboloido tašką eina viena tiesi linija iš kiekvienos nurodytos šeimos. Taigi vieno lapo hiperboloidą galima laikyti paviršiumi, sudarytu iš tiesių linijų (98 pav.). Šios linijos vadinamos tiesiniais vieno lapo hiperboloido generatoriais.
Galimybė sudaryti vieno lapo hiperboloido paviršių iš tiesių linijų naudojama statybos technologijoje.
Taigi, pavyzdžiui, pagal inžinieriaus V. G. Šuchovo pasiūlytą projektą Maskvoje buvo pastatytas radijo stiebas, naudojant sijas, esančias išilgai vienos ertmės hiperboloido tiesių generatorių.
Dviejų lapų hiperboloidas. Paviršius apibrėžtas lygtimi
vadinamas dviejų lakštų hiperboloidu.
Koordinačių plokštumos yra dviejų lakštų hiperboloido simetrijos plokštumos.
Sukirsdami šį paviršių su koordinačių plokštumomis, gauname atitinkamai hiperboles
