Vieno lapo hiperboloidas
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1.
Dviejų lapų hiperboloidas yra tam tikru būdu apibrėžtas paviršius stačiakampė sistema koordinuoja Oxyz pagal kanoninę lygtį
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1.
(4.48), (4.49) lygtyse a, b, c yra teigiami parametrai, apibūdinantys hiperboloidus, o a\geqslant b .
Koordinačių pradžia vadinama hiperboloido centru. Hiperboloido susikirtimo taškai su koordinačių ašimis vadinami jo viršūnėmis. Tai yra keturi vieno lapo hiperboloido (4.48) taškai (\pm a,0,0), (0,\pm b,0) ir dviejų lakštų hiperboloido du taškai (0,0,\pm c). (4.49). Trys koordinačių ašių atkarpos, jungiančios hiperboloidų viršūnes, vadinamos hiperboloidų ašimis. Hiperboloidų ašys, priklausančios koordinačių ašims Ox,\,Oy, vadinamos skersinėmis hiperboloidų ašimis, o ašis, priklausančia aplikacinei ašiai Oz, vadinama išilgine hiperboloidų ašimi. Skaičiai a,\,b,\,c , lygus pusėms ašių ilgiai vadinami hiperboloidų pusiau ašimis.
Vieno lapo hiperboloido plokštumos pjūviai
Į (4.48) lygtį pakeitę z=0, gauname lygtį \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 vieno lapo hiperboloido susikirtimo su koordinačių plokštuma Oxy linija. Ši lygtis Oxy plokštumoje apibrėžia elipsę, vadinamą gerkle. Vieno lapo hiperboloido susikirtimo linijos su kitomis koordinačių plokštumomis yra hiperbolės. Jos vadinamos pagrindinėmis hiperbolėmis. Pavyzdžiui, jei x=0 gauname pagrindinę hiperbolę \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(z^2)=1, o kai y=0 – pagrindinė hiperbolė \frac(x^2)(a^2)-\frac(z^2)(c^2)=1
Dabar panagrinėkime vieno lapo hiperboloido pjūvį plokštumose, lygiagrečiai plokštumai Oxy. Pakeitę z=h, kur h yra savavališka konstanta (parametras), į (4.48) lygtį, gauname
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=1 \quad \Rodyklė į kairę \quad \frac(x) ^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1+\frac(h^2)(c^2).
Bet kuriai parametro h reikšmei lygtis apibrėžia elipsę su pusiau ašimis a"=a\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2)), b"=b\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2)),. Vadinasi, vieno lapo hiperboloido pjūvis plokštuma z=h yra elipsė, kurios centras yra ant aplikacinės ašies, o viršūnės – ant pagrindinių hiperbolių. Tarp visų elipsių, gautų pjūviais plokštumomis z=h at skirtingos reikšmės parametras h, gerklės elipsė (kai h = 0) yra elipsė su mažiausiomis pusiau ašimis.
Taigi vieno lapo hiperboloidas gali būti pavaizduotas kaip elipsių suformuotas paviršius, kurio viršūnės guli ant pagrindinių hiperbolių (4.42 pav., a)
Dviejų lakštų hiperboloido plokštumos pjūviai
Dviejų lakštų hiperboloido atkarpos koordinačių plokštumos Oyz ir Oxz yra hiperbolės (pagrindinės hiperbolės).
Dabar panagrinėkime dviejų lakštų hiperboloido atkarpas plokštumose, lygiagrečiomis Oxy plokštumai. Pakeitę z=h, kur h yra savavališka konstanta (parametras), į (4.49) lygtį, gauname
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=-1 \quad \Rodyklė į kairę \quad \frac( x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=\frac(h^2)(c^2)-1.
Už |h|
Taigi dviejų lakštų hiperboloidas gali būti pavaizduotas kaip elipsių suformuotas paviršius, kurio viršūnės guli ant pagrindinių hiperbolių (4.43 pav., a).
Sukimosi hiperboloidai
Vadinamas hiperboloidas, kurio skersinės pusiau ašys yra lygios (a=b). revoliucijos hiperboloidas. Toks hiperboloidas yra apsisukimo paviršius, o jo pjūviai plokštumose z=h (dviejų lakštų hiperboloidui su |h|>c) yra apskritimai, kurių centrai yra taikomojoje ašyje. Vieno lakšto arba dviejų lakštų hiperboloidus galima gauti sukant hiperbolę aplink Ozo ašį \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1(4.42 pav., b) arba konjuguota hiperbolė \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1(4.43 pav., b) atitinkamai. Atkreipkite dėmesį, kad pastarosios lygtis gali būti parašyta forma -\frac(y^2)(b^2)+\frac(z^2)(c^2)=1.
Hiperboloidas, kurio skersinės ašys yra skirtingos (a\ne b), vadinamas triašiu (arba bendruoju).
Pastabos 4.9
1. X plokštumos x=\pm a,\,y=\pm b,\,z=\pm c apibrėžta erdvėje pagrindinis stačiakampis , kurio išorėje yra dviejų lakštų hiperboloidas (4.43 pav., c). Du gretasienio paviršiai (z=\pm c) liečia hiperboloidą jo viršūnėse.
2. Vieno lakšto hiperboloido pjūvis plokštuma, lygiagrečia aplikacijos ašiai ir turinčią vieną bendras taškas su gerklės elipse (t. y. jos liestine), reiškia dvi tiesias linijas, susikertančias sąlyčio taške. Pavyzdžiui, pakeitę x=\pm a į lygtį (4.48), gauname lygtį \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=0 dvi susikertančios tiesės (žr. 4.42 pav., a).
3. Vieno lapo hiperboloidas – tai linijinis paviršius, t.y. paviršius, suformuotas judant tiesia linija (žr. 4.42 pav., c). Pavyzdžiui, vieno lapo apsisukimo hiperboloidą galima gauti sukant liniją aplink kitą liniją, kuri ją kerta (bet nėra statmena).
4. Kanoninės koordinačių sistemos pradžia yra hiperboloido simetrijos centras, koordinačių ašys- hiperboloido simetrijos ašys, koordinačių plokštumos - hiperboloido simetrijos plokštumos.
Iš tiesų, jei taškas M(x,y,z) priklauso hiperboloidui, tada taškai su koordinatėmis (\pm x,\pm y,\pm z) bet koks ženklų pasirinkimas taip pat priklauso hiperboloidui, nes jų koordinatės atitinka atitinkamai (4.48) arba (4.49) lygtį.
„Javascript“ jūsų naršyklėje išjungtas.Norėdami atlikti skaičiavimus, turite įjungti ActiveX valdiklius!
2 PRIEDAS
VIENO URVA ROTACIJOS HIPERBOLOIDAS
(trumpa informacija)
Jei generuojančios linijos judėjimas yra sukimasis aplink kokią nors fiksuotą tiesią liniją (ašį), tai tokiu atveju susidaręs paviršius vadinamas sukimosi paviršiumi. Generuojanti linija gali būti plokščia arba erdvinė kreivė, taip pat tiesi linija.
Kiekvienas generuojančios linijos taškas, sukamas aplink ašį, apibūdina apskritimą, esantį plokštumoje, statmenoje sukimosi ašiai. Šie apskritimai vadinami paralelėmis. Vadinasi, ašiai statmenos plokštumos kerta sukimosi paviršių išilgai lygiagrečių. Tiesė, kurioje sukimosi paviršius kerta per ašį einančią plokštumą, vadinama dienovidiniu. Visi revoliucijos paviršiaus dienovidiniai yra sutampa.
Visų paralelių arba dienovidinių aibė reiškia ištisinį revoliucijos paviršiaus rėmą. Per kiekvieną paviršiaus tašką eina po vieną lygiagretę ir vieną dienovidinį. Taško projekcijos yra atitinkamose lygiagretės arba dienovidinio projekcijose. Galite nustatyti tašką paviršiuje arba sukurti antrą taško projekciją, jei tokia yra, naudodami lygiagretę arba dienovidinį, einantį per šį tašką. Apsisukimo paviršiaus determinanto geometrinė dalis susideda iš sukimosi ašies ir generatoriaus.
Paviršiai, suformuoti sukant tiesia linija:
1. - sukimosi cilindras suformuojamas sukant lygiagrečią ašiai tiesę;
2. - sukimosi kūgis susidaro sukantis tiesei, kertančiai ašį;
3. - sukantis ašį kertančiai tiesei susidaro vieno lapo apsisukimo hiperboloidas;
Paviršiaus paralelės yra apskritimai.
Paviršiaus dienovidinis yra hiperbolė.
Visi išvardyti valdomi sukimosi paviršiai yra antros eilės paviršiai.
Paviršiai, suformuoti sukant antros eilės kreives aplink savo ašis
1. Sfera susidaro sukant apskritimą aplink jos skersmenį.
2. Apsisukimo elipsoidas susidaro sukant elipsę aplink didžiąją arba mažąją ašį.
3. Apsisukimo paraboloidas susidaro sukant parabolę aplink savo ašį.
4. Vieno lakšto apsisukimo hiperboloidas susidaro sukant hiperbolę aplink savo įsivaizduojamą ašį (šis paviršius susidaro ir sukant tiesią: žingsnis a-1).
Vieno lapo hiperboloidas yra paviršius kanoninė lygtis kurios forma:
kur a, b, c yra teigiami skaičiai.
Jis turi tris simetrijos plokštumas, tris simetrijos ašis ir simetrijos centrą. Tai atitinkamai koordinačių plokštumos, koordinačių ašys ir koordinačių pradžia. Norėdami sukurti hiperboloidą, randame jo pjūvius įvairiomis plokštumomis. Raskime susikirtimo liniją su xOy plokštuma. Šioje plokštumoje z = 0, taigi
Ši lygtis xOy plokštumoje apibrėžia elipsę su pusiau ašimis a ir b (1 pav.). Raskime susikirtimo liniją su yOz plokštuma. Šioje plokštumoje x = 0, taigi
Tai hiperbolės lygtis yOz plokštumoje, kur tikroji pusašis yra b, o įsivaizduojama pusašis yra c. Sukurkime šią hiperbolę.
Pjūvis pagal xOz plokštumą taip pat yra hiperbolė su lygtimi
Nubraižysime ir šią hiperbolę, tačiau kad brėžinys nebūtų perkrautas papildomomis linijomis, jos asimptočių nevaizduosime ir asimptotes atkarpoje pašalinsime yOz plokštuma.
Raskime paviršiaus susikirtimo tieses su plokštumomis z = ± h, h > 0.
Ryžiai. 1. Vieno lapo hiperboloido pjūvis
Šių eilučių lygtys yra šios:
Pirmąją lygtį paverskime forma
Ši lygtis yra elipsės, panašios į elipsę xOy plokštumoje, lygtis su panašumo koeficientu ir pusiau ašimis a 1 ir b 1 . Nubraižykime gautas atkarpas (2 pav.).
Ryžiai. 2. Vieno lapo hiperboloido vaizdas naudojant sekcijas
Vieno lapo apsisukimo hiperboloidą galima gauti sukant tiesią liniją, kertančią įsivaizduojamą ašį, aplink kurią linija sukasi. Tokiu atveju gaunama erdvinė figūra (3 pav.), kurios paviršių sudaro nuoseklios tiesės padėties sukimosi metu.
Ryžiai. 3. Vieno lapo sukimosi hiperboloidas, gautas sukant tiesią liniją, kertančią sukimosi ašį
Tokio paviršiaus dienovidinis yra hiperbolė. Erdvė šios sukimosi figūros viduje bus tikra, o išorėje – įsivaizduojama. Plokštuma, statmena įsivaizduojamai ašiai ir išskaidanti vieno lapo hiperboloidą jo minimalioje atkarpoje, vadinama židinio plokštuma.
Pažįstamas vieno lapo hiperboloido vaizdas akiai parodytas Fig. 6.4.
Jei lygtyje a=b, tai hiperboloido pjūviai plokštumose, lygiagrečiomis xOy plokštumai, yra apskritimai. Šiuo atveju paviršius vadinamas vieno lakšto apsisukimo hiperboloidu ir jį galima gauti sukant aplink Oz ašį yOz plokštumoje gulinčią hiperbolę (4 pav.).
Ryžiai. 4. Vieno lapo revoliucijos hiperboloidas,
vienos juostos hiperboloidas x 2 /a 2 + y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0; Perbraukė koordinačių ašies plokštumos x=0,y=0,z=0 hiperbolėmis y 2 /b 2 – z 2 /c 2 = 1 x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1 ir elipsoidas x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 atitinkamai. Vienjuostinio hiperboloido atkarpose plokštumose z=h elipsės x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 + h 2 /c 2 visada gaunamos su pusiau ašimis ir 
.
Kanoninė lygtis:
a = b- vieno lapo sukimosi aplink ašį hiperboloidas Ozas.
Kaklo elipsė:
Asimptotinis kūgis: 
Vieno lapo hiperboloido atkarpos pagal plokštumas yra elipsė, parabolė, hiperbolė arba tiesių linijų pora (tiesių linijų generatoriai).
Tiesieji generatoriai
Per savavališką tašką 
praleisti dvi tiesias generacijas su krypties vektoriais ir kur:
Visų pirma, jei taškas pasirinktas gerklės elipsėje 
tada tiesių generatorių lygtys bus tokios:
Dviejų lakštų hiperboloidas, jo kanoninė lygtis.
dviejų lakštų hiperboloidas x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0; x=h rezultatas yra elipsė x 2 /a 2 + z 2 /b 2 = -1 + h 2 /c 2 su pusiau ašimis b*Šaknis(h 2 /a 2 -1) ir c*Šaknis(h 2 /a 2 - 1). Kai h=a gauname taškus (±a,0,0) skerspjūvyje – dviejų lakštų viršūnes. Kvadrato koordinačių atkarpose. z=0 ir y=0 gauname atitinkamai hiperboles x 2 /a 2 – y 2 /b 2 =1 ir x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1.
Kanoninė lygtis:
a = b- dviejų lakštų sukimosi aplink ašį hiperboloidas Ozas.
Asimptotinis kūgis: 
Dviejų lakštų hiperboloido atkarpos plokštumose: arba elipsė, arba hiperbolė, arba parabolė, arba taškas, arba.
Elipsinis paraboloidas, jo kanoninė lygtis.
elipsinis paraboloidas x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =2pz a>0,b>0;
Kanoninė lygtis:
p = q- sukimosi aplink ašį paraboloidas Ozas.
Elipsinio paraboloido atkarpos plokštumose yra elipsė, parabolė, taškas arba. 
Hiperbolinis paraboloidas, jo kanoninė lygtis. Tiesių generatorių šeimos hiperbolinis paraboloidas.
hiperbolinis paraboloidas x 2 /a 2 - y 2 /b 2 =2pz a>0,b>0;
Kanoninė lygtis:
Hiperbolinio paraboloido atkarpos plokštumose yra arba hiperbolė, parabolė, arba tiesių linijų pora (tiesių linijų generatoriai).
Tiesieji generatoriai
Per kiekvieną tašką eina dvi tiesios linijos:
 |
Sukimosi paviršiai.
Apsisukimo paviršius yra paviršius, susidarantis sukant plokščią liniją aplink tiesią liniją, esančią šios linijos plokštumoje.
Norėdami gauti sukimosi paviršiaus lygtį, turite pasirinkti koordinačių sistemą. Kad sukimosi paviršiaus lygtis atrodytų paprastesnė, sukimosi ašis imama kaip viena iš koordinačių ašių.
Įleisti koordinačių plokštuma Oyz kreive L apibrėžiamas lygtimi F(Y, Z)=0 (24 pav.). Kreivę L sukame aplink Oy ašį. Paimkime šiek tiek paviršiaus. Tegu M(x, y, z) – savavališkas taškas susidaręs paviršius. Tada
, bet todėl jei imsime tašką M 1 su neigiama taikymu, tada
Todėl turime Y = y, o taško M(x, y, z) koordinatės tenkina lygtį
Lygtis (62) yra reikalinga lygtis apsisukimo paviršiui.
Taigi, norint gauti paviršiaus lygtį, susidaro sukimosi būdu tiesė L, esanti Oyz plokštumoje aplink Oy ašį, šios linijos lygtyje z reikia pakeisti
Panašios taisyklės bus taikomos ir paviršių lygtims, gautoms sukimosi būdu plokščios linijos aplink kitas koordinačių ašis.
Cilindrai.
antros eilės cilindrai: elipsinis cilindras x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 a>0, b>0; hiperbolinis cilindras x 2/a 2 - y 2/b 2 = 1 a>0, b>0; parabolinis cilindras y 2 = 2 pikseliai; susikertančių plokštumų pora a2x2-b2y2=0 a>0 b>0 lygiagrečių arba sutampančių plokštumų pora x-a=0 a>=0; tiesė x 2 +y 2 =0
Kūgiai.
antros eilės kūgis x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =0 a>0,b>0,c>0; Pereinant aikštę z=h -> x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =1. Atkarpoje plokštumomis x=0 y=0 turime susikirtusių tiesių poras y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =0; x 2 /a 2 - z 2 /c 2 =0 atitinkamai.
Linijinės erdvės
©2015-2019 svetainė
Visos teisės priklauso jų autoriams. Ši svetainė nepretenduoja į autorystę, tačiau suteikia galimybę nemokamai naudotis.
Puslapio sukūrimo data: 2016-02-12
Ir kažkokia linija, kuri eina per kilmę. Jei hiperbolė pradės suktis aplink šią ašį, atsiras tuščiaviduris sukimosi kūnas, kuris bus hiperboloidas. Yra dviejų tipų hiperboloidai: vieno lapo ir dviejų lakštų. Vieno lapo hiperboloidas pateikiamas formulės lygtimi: x^2/a^2 +y^2/b^2-z^2/c^2=1 Jei laikysime šią erdvinę figūrą Oxz ir Oyz plokštumos, matome, kad jos atkarpos yra hiperbolės. Tačiau vieno lapo hiperboloido atkarpa pagal Oxy plokštumą yra elipsė. Mažiausia hiperboloido elipsė vadinama gerklės elipsė. Šiuo atveju z=0, o elipsė eina per pradinę vietą. Gerklės lygtis, kai z=0, parašyta taip: x^2/a^2 +y^2/b^2=1 Likusios elipsės yra tokios formos: x^2/a^2 +y^2/b ^2=1+ h^2/c^2, kur h yra vieno lapo hiperboloido aukštis.
Pradėkite konstruoti hiperboloidą, pavaizduodami hiperbolę Xoz plokštumoje. Nubraižykite tikrąją pusašį, kuri sutampa su y ašimi, ir įsivaizduojamą pusašį, kuri sutampa su z ašimi. Sukurkite hiperbolę ir nurodykite tam tikrą hiperboloido aukštį h. Po to tam tikro aukščio lygyje nubrėžkite tieses, lygiagrečias su Ox ir kertančias hiperbolės grafiką apatiniame ir viršutiniame taške. Tada taip pat Oyz plokštumoje sukonstruokite hiperbolę, kur b yra tikroji pusiau ašis, einanti per y ašį, o c yra įsivaizduojama pusašis, taip pat sutampanti c c.Oxy plokštumoje sukonstruokite lygiagretainį, kuris gaunamas sujungus hiperbolių grafikų taškus. Nubrėžkite gerklės elipsę taip, kad ji būtų įrašyta šiame lygiagrečiame. Tokiu pat būdu sukonstruokite likusias elipses. Rezultatas bus revoliucijos kūnas – vieno lapo hiperboloidas, parodytas 1 pav
Dviejų lakštų hiperboloidas gavo savo kelią dėl dviejų skirtingų paviršių, kuriuos sudaro Ozo ašis. Tokio hiperboloido lygtis yra tokia: x^2/a^2 +y^2/b^2 -z^2/c^2=-1Dvi ertmės gaunamos sukonstruojant hiperbolę Oxz ir Oyz plokštumose . Dviejų lapų hiperboloidas turi dalis, kurios yra elipsės: x^2/a^2-y^2/b^2=h^2/c^2-1 Kaip ir vieno lapo hiperboloido atveju, sudarykite hiperboles. Oxz ir Oyz plokštumose, kurios bus išdėstytos taip, kaip parodyta 2. Sukurkite lygiagretainius apačioje ir viršuje, kad sukurtumėte elipses. Sukonstravę elipses pašalinkite visas konstrukcijas ir nubrėžkite dviejų lakštų hiperboloidą.
Viena juosta hiperboloidas reiškia sukimosi figūrą. Norėdami jį sukurti, turite laikytis tam tikros metodikos. Pirmiausia nubrėžiamos pusiau ašys, paskui – hiperbolės ir elipsės. Visų šių elementų derinys padės sukurti pačią erdvinę figūrą.
Jums reikės
- - pieštukas,
- -popierius,
- - matematikos žinynas.
Instrukcijos
Nubrėžkite hiperbolę Xoz. Norėdami tai padaryti, nubrėžkite dvi pusiau ašis, kurios sutampa su y ašimi (tikroji pusiau ašis) ir z ašimi (įsivaizduojama pusašis). Pagal juos sukonstruokite hiperbolę. Po to nustatykite tam tikrą aukštį h a. Galiausiai šios duotosios lygyje nubrėžkite tiesias linijas, kurios bus lygiagrečios su Ox ir susikerta su hiperbolės grafiku dviem būdais: apatine ir viršutine.
Pakartokite aukščiau nurodytus veiksmus kurdami likusias elipses. Galiausiai bus suformuotas vienos ertmės brėžinys hiperboloidas A.
Vienguba ertmė hiperboloidas aprašyta nuotraukoje
Jis susidaro sukantis hiperbolei aplink savo ašį.
Yra vieno lapo ir dviejų lakštų revoliucijos hiperboloidai.
Vienalapis (2-89 pav.) formuojamas sukant hiperbolę apie įsivaizduojamą ašį (2.90 pav.). Vieno lakšto hiperboloido paviršius gali būti suformuotas ir sukant tiesią liniją aplink jį kertančią ašį (2-91 pav.).
Vieno lapo hiperboloido determinantas S (l,i^P 1)
Vieno lapo hiperboloido determinantas (generatorius yra tiesi linija). Generatorius ir susikirtimo ašis yra tiesios linijos. Šis paviršius taip pat priskiriamas linijiniam paviršiui.
S (l, i^P 1, l° i)(2-91 pav.).
Dviejų lakštų sukimosi hiperboloidas susidaro sukant hiperbolę aplink savo tikrąją ašį.
Vienas iš vieno lapo hiperboloido konstravimo būdų (2-92 pav.): nes horizontalios visų generatricų projekcijos turi liesti gerklės apskritimo projekciją, tada kiekviena paskesnė tiesiosios generatricos padėtis gali būti sukurta nubrėžiant ryklės apimties projekcijos liestines.
Puikus rusų inžinierius V.G. Shukhov (1921) pasiūlė naudoti vieno lapo hiperboloidą patvarių ir technologiškai pažangių konstrukcijų (radijo stiebų, vandens bokštų, švyturių) statybai.
Konstravimo algoritmas, jei paviršius nurodytas lygiagrečiomis ir atstumu ( l) nuo pusiaujo iki gerklės (2-92 pav.):
1. Sulaužykite gerklę ( A, B, C...) ir žemesnė ( 1,2,3 ,..) paralelės į 12 lygių dalių;
2. Iš taško 4 1 nubrėžkite generatorius taip, kad jie liestųsi su gerkle lygiagrečiai (t. y. per B 1 Ir E 1), viršutinės lygiagretės horizontalioje projekcijoje gauname tašką P 1, kuris nustatys viršutinės lygiagretės padėtį priekinė projekcija. Šie generatoriai ir P 2 eis per tuos pačius taškus ( 4 2, B 2, E 2).
3. Likusiems taškams pakartokite konstrukciją.
Tik trys antros eilės sukimosi paviršiai turi tiesią liniją kaip generatorių. Atsižvelgiant į šios tiesios linijos vietą ašies atžvilgiu, galima gauti tris tipus valdomi paviršiai antros eilės sukimai:
1. cilindras, jei generatorius yra lygiagretus sukimosi ašiai x 2 + y 2 = R 2 ;
2. kūgis, jei generatorius kerta sukimosi ašį k 2 (x 2 + y 2) – z 2 = 0;
3. vieno lapo sukimosi hiperboloidas, jei ašis ir generatrix susikerta
(x 2 + y 2) / a 2 – z 2 / d 2 = 0
