Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos. Koreliacijos momentas. Koreliacijos koeficientas

Mes pristatėme skaitinės charakteristikos vieno atsitiktinio dydžio X – skirtingos eilės pradiniai ir centriniai momentai. Iš šių charakteristikų svarbiausios yra dvi: matematinis lūkestis m x ir dispersija Dx.

Dviejų atsitiktinių dydžių sistemai galima įvesti panašias skaitines charakteristikas – įvairios eilės pradinius ir centrinius momentus. Pradinis sistemos eilės k, s momentas (X, Y) yra matematinis sandaugos X lūkestis. k ant Y s:

M[X k Y s]

Sistemos (X, Y) eilės k, s centrinis momentas yra matematinis lūkestis gaminiai k-t Ir laipsnis atitinkami centruoti kiekiai:

Praktikoje dažniausiai taikomas tik pirmasis ir antrasis momentai.

Pirmieji pradiniai momentai atspindi mums jau žinomų X ir Y reikšmių, įtrauktų į sistemą, matematinius lūkesčius:

m x ir m y

Aibė matematinių lūkesčių m x, m y yra sistemos padėties charakteristika. Geometriškai tai yra vidurio taško koordinatės plokštumoje, aplink kurią taškas yra išsklaidytas (X. Y).

Išskyrus pirmąjį pradines akimirkas, praktikoje plačiai naudojami ir antrieji centriniai sistemos momentai. Du iš jų atspindi mums jau žinomas X ir Y verčių dispersijas.

D[X] ir D[Y], apibūdinantys dispersiją atsitiktinis taškas Ox ir Oy ašių kryptimi.

Ypatingas vaidmuo kaip sistemos charakteristika atlieka antrąjį mišinį centrinis taškas:

μ 1,1 = M,

y., centruotų dydžių sandaugos matematinis lūkestis. Nes ši akimirka žaidžia svarbus vaidmuo Atsitiktinių dydžių sistemų teorijoje jai buvo įvestas specialus pavadinimas:

Khu =M[X0Y0]=M[(X-m x)(Y-m y)].

Charakteristika Kxy vadinama atsitiktinių dydžių X, Y koreliacijos momentu (kitaip „sujungimo momentu“).

Diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams koreliacijos momentas išreikšta formule

Kxy =Σ Σ(x i-m x)(y j-m y)p ij

Išsiaiškinkime šios savybės prasmę ir paskirtį. Koreliacijos momentas yra atsitiktinių dydžių sistemos charakteristika, kuri, be reikšmių X ir Y sklaidos, apibūdina ir ryšį tarp jų. Nepriklausomiems atsitiktiniams dydžiams koreliacijos momentas lygus nuliui.

Taigi, jei dviejų atsitiktinių dydžių koreliacijos momentas skiriasi nuo nulio, tai yra priklausomybės tarp jų požymis.

Iš formulės aišku, kad koreliacijos momentas apibūdina ne tik dydžių priklausomybę, bet ir jų sklaidą. Iš tiesų, jei, pavyzdžiui, vienas iš dydžių (X, Y) labai mažai skiriasi nuo jo matematinis lūkestis(beveik neatsitiktinis), tada koreliacijos momentas bus mažas, nesvarbu, kaip glaudžiai susijusios reikšmės (X, Y). Todėl, norėdami apibūdinti santykį tarp dydžių (X, Y) gryna forma, pereiname nuo momento prie bedimensinės charakteristikos.

rху=Кху/σх σу

kur σх, σу – vidutinis standartiniai nuokrypiai dydžiai X, Y. Ši charakteristika vadinama koreliacijos koeficientas X ir Y reikšmės.

Akivaizdu, kad koreliacijos koeficientas eina į nulį kartu su koreliacijos momentu; todėl nepriklausomiems atsitiktiniams dydžiams koreliacijos koeficientas lygus nuliui.

Atsitiktiniai dydžiai, kurių koreliacijos momentas (taigi ir koreliacijos koeficientas) yra lygus nuliui, vadinami nekoreliuotais (kartais „nesusijusiais“).

Ar nesusijusių atsitiktinių dydžių sąvoka yra lygiavertė nepriklausomybės sąvokai. Yra žinoma, kad nepriklausomas atsitiktiniai dydžiai visada yra nesusiję. Belieka išsiaiškinti: ar atvirkščiai, ar jų nepriklausomumas išplaukia iš dydžių nekoreliacijos? Pasirodo – ne. Yra atsitiktinių dydžių, kurie nėra koreliuojami, bet priklausomi. Koreliacijos koeficiento lygybė nuliui yra būtina, bet nepakankama atsitiktinių dydžių nepriklausomumo sąlyga. Atsitiktinių dydžių nepriklausomumas reiškia, kad jie nėra koreliuojami; priešingai, jų nepriklausomybė neišplaukia iš nekoreliuojamo didybės pobūdžio. Atsitiktinių dydžių nepriklausomumo sąlyga yra griežtesnė nei nekoreliacijos sąlyga.

Koreliacijos koeficientas charakterizuoja ne jokią priklausomybę, o tik vadinamąją tiesinę priklausomybę. Atsitiktinių dydžių linijinė tikimybinė priklausomybė yra ta, kad vienam atsitiktiniam dydžiui padidėjus, kitas linkęs didėti (arba mažėti) pagal tiesinis įstatymas. Ši tendencija link tiesinė priklausomybė gali būti daugiau ar mažiau ryškus, daugiau ar mažiau artimas funkcinei, t.y., artimiausia tiesinė priklausomybė. Koreliacijos koeficientas apibūdina atsitiktinių dydžių tiesinio ryšio artumo laipsnį. Jei atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra susiję tiksliu tiesiniu funkciniu ryšiu:

Y = aX + b, tada rxy = ±1, o "pliuso" arba "minuso" ženklas imamas priklausomai nuo to, ar koeficientas a yra teigiamas ar neigiamas. IN bendras atvejis, kai X ir Y reikšmės yra susietos savavališka tikimybine priklausomybe, koreliacijos koeficientas gali turėti reikšmę ribose:

1 < rху < 1

Tuo atveju, kai r > 0 mes kalbame apie teigiama koreliacija reikšmės X ir Y, g atveju<0 - об отрицательной корреляции. Положительная корреляция между случайными величинами означает, что при возрастании одной из них другая имеет тенденцию в среднем возрастать; отрицательная корреляция означает, что при возрастании одной из случайных величин другая имеет тенденцию в среднем убывать.

Pateiksime keletą atsitiktinių dydžių su teigiama ir neigiama koreliacija pavyzdžių.

1.Žmogaus svoris ir ūgis yra teigiamai koreliuojami.

2. Laikas, praleistas ruošiantis pamokoms, ir gautas pažymys yra teigiamai koreliuoja (jei, žinoma, laikas išleidžiamas protingai). Priešingai, laikas, skirtas pasiruošimui, ir gautų blogų pažymių skaičius yra neigiamai susiję.

3. Į taikinį paleidžiami du šūviai; fiksuojamas pirmojo šūvio smūgio taškas, o į taikiklį įvedama korekcija, proporcinga pirmojo šūvio paklaidai su priešingu ženklu. Pirmojo ir antrojo šūvių smūgio taškų koordinatės bus neigiamai koreliuojamos.

Jei turime daugelio eksperimentų su dviejų atsitiktinių dydžių (X, Y) sistema rezultatus, tai, ar tarp jų yra reikšminga koreliacija, ar jos nebuvimą, galima nesunkiai įvertinti pagal pirmąjį apytikslį grafiką, kuriame visos atsitiktinių dydžių verčių poros, gautos iš eksperimento, yra pavaizduotos kaip taškai. Pavyzdžiui, jei stebimos kiekio verčių poros yra išdėstytos taip

5 skyriuje pristatėme vieno atsitiktinio dydžio skaitines charakteristikas – įvairių eilių pradinius ir centrinius momentus. Iš šių charakteristikų svarbiausios yra dvi: matematinis lūkestis ir sklaida.

Dviejų atsitiktinių dydžių sistemai galima įvesti panašias skaitines charakteristikas – įvairios eilės pradinius ir centrinius momentus.

Pradinis sistemos užsakymo momentas yra matematinis produkto lūkestis:

. (8.6.1)

Centrinis sistemos eilės momentas yra matematinis atitinkamų centruotų dydžių laipsnių sandaugos lūkestis:

, (8.6.2)

Užrašykime formules, naudojamas momentams tiesiogiai apskaičiuoti. Dėl nenutrūkstamų atsitiktinių dydžių

, (8.6.3)

, (8.6.4)

Kur - tikimybė, kad sistema paims reikšmes, o sumavimas apima visas įmanomas atsitiktinių dydžių reikšmes, .

Ištisiniams atsitiktiniams dydžiams:

, (8.6.5)

, (8.6.6)

kur yra sistemos pasiskirstymo tankis.

Be ir , apibūdinančių momento tvarką atskirų dydžių atžvilgiu, taip pat atsižvelgiama į bendrą momento tvarką, lygią ir rodiklių sumai. Pagal bendrą tvarką momentai skirstomi į pirmą, antrą ir tt Praktikoje dažniausiai naudojamas tik pirmasis ir antrasis momentai.

Pirmieji pradiniai momentai atspindi mums jau žinomus matematinius dydžių lūkesčius ir įtrauktus į sistemą:

Matematinių lūkesčių rinkinys yra sistemos padėties charakteristika. Geometriškai tai yra plokštumos, aplink kurią taškas yra išsklaidytas, vidurio taško koordinatės.

Be pirmųjų pradinių momentų, praktikoje plačiai naudojami ir antrieji centriniai sistemos momentai. Du iš jų reiškia kiekių sklaidą ir mums jau žinomą:

charakterizuojantis atsitiktinio taško sklaidą ir ašių kryptimi.

Antrasis mišrus centrinis momentas vaidina ypatingą vaidmenį kaip sistemos charakteristika:

tie. matematiniai centruotų dydžių sandaugos lūkesčiai.

Atsižvelgiant į tai, kad šis momentas vaidina svarbų vaidmenį teorijoje, mes pateikiame jam specialų žymėjimą:

. (8.6.7)

Charakteristika vadinama atsitiktinių dydžių koreliacijos momentu (kitaip „sujungimo momentu“).

Nenutrūkstamų atsitiktinių dydžių koreliacijos momentas išreiškiamas formule

, (8.6.8)

o ištisiniams – pagal formulę

. (8.6.9)

Išsiaiškinkime šios savybės prasmę ir paskirtį.

Koreliacijos momentas yra atsitiktinių dydžių sistemos charakteristika, kuri, be kintamųjų sklaidos, taip pat apibūdina ryšį tarp jų. Norėdami tai patikrinti, įrodykime, kad nepriklausomų atsitiktinių dydžių koreliacijos momentas yra lygus nuliui.

Atliksime nuolatinių atsitiktinių dydžių įrodymą. Tegul , yra nepriklausomi nuolatiniai dydžiai su pasiskirstymo tankiu . 8.5 mes įrodėme, kad nepriklausomiems kiekiams

. (8.6.10)

kur , yra atitinkamai reikšmių ir reikšmių pasiskirstymo tankiai.

Pakeitę išraišką (8.6.10) į formulę (8.6.9), matome, kad integralas (8.6.9) virsta dviejų integralų sandauga:

Integralinis

reiškia ne ką kitą, kaip pirmąjį dydžio centrinį momentą, todėl yra lygus nuliui; dėl tos pačios priežasties antrasis koeficientas taip pat lygus nuliui; todėl nepriklausomiems atsitiktiniams dydžiams .

Taigi, jei dviejų atsitiktinių dydžių koreliacijos momentas skiriasi nuo nulio, tai yra priklausomybės tarp jų požymis.

Iš (8.6.7) formulės aišku, kad koreliacijos momentas apibūdina ne tik dydžių priklausomybę, bet ir jų sklaidą. Iš tiesų, jei, pavyzdžiui, vienas iš dydžių labai mažai nukrypsta nuo matematinio lūkesčio (beveik neatsitiktinis), tai koreliacijos momentas bus mažas, kad ir kaip glaudžiai dydžiai būtų susiję. Todėl, norėdami apibūdinti santykį tarp dydžių gryna forma, pereiname nuo momento prie bedimensinės charakteristikos

kur , yra standartiniai verčių nuokrypiai, . Ši charakteristika vadinama dydžių koreliacijos koeficientu ir. Akivaizdu, kad koreliacijos koeficientas eina į nulį kartu su koreliacijos momentu; todėl nepriklausomiems atsitiktiniams dydžiams koreliacijos koeficientas lygus nuliui.

Atsitiktiniai dydžiai, kurių koreliacijos momentas (taigi ir koreliacijos koeficientas) yra lygus nuliui, vadinami nekoreliuotais (kartais „nesusijusiais“).

Išsiaiškinkime, ar nesusijusių atsitiktinių dydžių sąvoka yra lygiavertė nepriklausomumo sąvokai. Aukščiau įrodėme, kad du nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai visada nėra koreliuojami. Belieka išsiaiškinti: ar atvirkščiai, ar jų nepriklausomumas išplaukia iš dydžių nekoreliacijos? Pasirodo – ne. Galima sukonstruoti tokių atsitiktinių dydžių, kurie yra nekoreliuojami, bet priklausomi, pavyzdžius. Koreliacijos koeficiento lygybė nuliui būtina, bet ne pakankama būklė atsitiktinių dydžių nepriklausomumas. Atsitiktinių dydžių nepriklausomumas reiškia, kad jie nėra koreliuojami; priešingai, tai, kad dydžiai nėra koreliuojami, nebūtinai reiškia, kad jie yra nepriklausomi. Atsitiktinių dydžių nepriklausomumo sąlyga yra griežtesnė nei nekoreliacijos sąlyga.

Pažiūrėkime tai su pavyzdžiu. Panagrinėkime atsitiktinių dydžių, paskirstytų vienodu tankiu spindulio apskritime, kurio centras yra ištakoje, sistemą (8.6.1 pav.).

Vertybių pasiskirstymo tankis išreiškiamas formule

Iš būklės randame.

Nesunku suprasti, kad šiame pavyzdyje kiekiai priklauso. Iš tiesų, iš karto aišku, kad jei dydis įgauna, pavyzdžiui, reikšmę 0, tada dydis su vienoda tikimybe gali paimti visas reikšmes nuo iki ; jei dydis įgavo reikšmę , tai dydis gali įgyti tik vieną reikšmę, tiksliai lygią nuliui; apskritai galimų verčių diapazonas priklauso nuo to, kokia vertė .

Pažiūrėkime, ar šie dydžiai yra koreliuojami. Apskaičiuokime koreliacijos momentą. Turėdami omenyje, kad dėl simetrijos gauname:

. (8.6.12)

Norėdami apskaičiuoti integralą, integravimo plotą (apskritimą) padalijame į keturis sektorius, atitinkančius keturis koordinačių kampus. Sektoriuose ir integrandas yra teigiamas, sektoriuose ir yra neigiamas; absoliučia verte šių sektorių integralai yra lygūs; todėl integralas (8.6.12) lygus nuliui, o dydžiai nėra koreliuojami.

Taigi matome, kad atsitiktinių dydžių nekoreliuojamas pobūdis ne visada reiškia jų nepriklausomumą.

Koreliacijos koeficientas charakterizuoja ne jokią priklausomybę, o tik vadinamąją tiesinę priklausomybę. Atsitiktinių dydžių linijinė tikimybinė priklausomybė yra ta, kad vienam atsitiktiniam dydžiui padidėjus, pagal tiesinį dėsnį yra tendencija didėti (arba mažėti). Ši linijinės priklausomybės tendencija gali būti daugiau ar mažiau ryški, daugiau ar mažiau artėjanti prie funkcinės, ty artimiausios tiesinės priklausomybės. Koreliacijos koeficientas apibūdina atsitiktinių dydžių tiesinio ryšio artumo laipsnį. Jei atsitiktiniai dydžiai yra susieti tiksliu tiesiniu funkciniu ryšiu:

tada , ir "pliuso" arba "minuso" ženklas imamas priklausomai nuo to, ar koeficientas yra teigiamas, ar neigiamas. Bendruoju atveju, kai dydžiai ir yra susiję su savavališka tikimybe, koreliacijos koeficientas gali turėti reikšmę šiose ribose: keičiasi tik pokyčio diapazonas, o jo vidutinė reikšmė nesikeičia; Natūralu, kad kiekiai yra nesusiję.

Ryžiai. 8.6.2 8.6.3 pav

Pateiksime keletą atsitiktinių dydžių su teigiama ir neigiama koreliacija pavyzdžių.

1. Žmogaus svoris ir ūgis teigiamai koreliuoja.

2. Laikas, sugaištas reguliuoti įrenginį ruošiantis eksploatuoti, ir jo veikimo be problemų laikas yra susijęs su teigiama koreliacija (jei, žinoma, laikas išleidžiamas protingai). Priešingai, laikas, skirtas pasiruošimui, ir įrenginio veikimo metu nustatytų gedimų skaičius yra neigiamai susiję.

3. Šaudant salve atskirų sviedinių smūgio taškų koordinates jungia teigiama koreliacija (kadangi yra visiems šūviams bendros taikimo paklaidos, kurios vienodai atitraukia kiekvieną iš taikinio).

4. Į taikinį paleidžiami du šūviai; fiksuojamas pirmojo šūvio smūgio taškas, o į taikiklį įvedama korekcija, proporcinga pirmojo šūvio paklaidai su priešingu ženklu. Pirmojo ir antrojo šūvių smūgio taškų koordinatės bus neigiamai koreliuojamos.

Jei turime daugybės atsitiktinių dydžių sistemos eksperimentų rezultatus, tai, ar tarp jų yra reikšminga koreliacija, ar jos nebuvimą, galima nesunkiai įvertinti pagal pirmąjį apytikslį grafiką, kuriame yra visos atsitiktinių kintamųjų verčių poros. gauti iš eksperimento yra pavaizduoti kaip taškai. Pavyzdžiui, jei stebimos kiekio verčių poros yra taip, kaip parodyta Fig. 8.6.2, tai rodo aiškiai išreikštą teigiamą koreliaciją tarp dydžių. Dar ryškesnė teigiama koreliacija, artima tiesinei funkcinei priklausomybei, pastebėta Fig. 8.6.3. Fig. 8.6.4 paveiksle parodytas santykinai silpnos neigiamos koreliacijos atvejis. Galiausiai, pav. 8.6.5 iliustruoja praktiškai nesusijusių atsitiktinių dydžių atvejį. Praktiškai, prieš tiriant atsitiktinių dydžių koreliaciją, visada naudinga pirmiausia grafike nubraižyti pastebėtas reikšmių poras, kad būtų galima padaryti pirmąjį kokybinį sprendimą apie koreliacijos tipą.

Koreliacijos momentai, koreliacijos koeficientas – tai skaitinės charakteristikos, kurios yra glaudžiai susijusios su aukščiau pateikta atsitiktinio dydžio samprata, tiksliau – su atsitiktinių dydžių sistema. Todėl norint supažindinti ir apibrėžti jų reikšmę ir vaidmenį, būtina paaiškinti atsitiktinių dydžių sistemos sampratą ir kai kurias jiems būdingas savybes.

Du ar daugiau atsitiktinių dydžių, apibūdinančių tam tikrą reiškinį, vadinami atsitiktinių dydžių sistema arba kompleksu.

Kelių atsitiktinių dydžių sistema X, Y, Z, …, W paprastai žymima (X, Y, Z, …, W).

Pavyzdžiui, taškas plokštumoje apibūdinamas ne viena koordinate, o dviem, o erdvėje – net trimis.

Kelių atsitiktinių dydžių sistemos savybės neapsiriboja atskirų į sistemą įtrauktų atsitiktinių dydžių savybėmis, bet apima ir tarpusavio ryšius (priklausomybes) tarp atsitiktinių dydžių. Todėl tiriant atsitiktinių dydžių sistemą reikėtų atkreipti dėmesį į priklausomybės pobūdį ir laipsnį. Ši priklausomybė gali būti daugiau ar mažiau ryški, daugiau ar mažiau artima. O kitais atvejais atsitiktiniai dydžiai pasirodo esą praktiškai nepriklausomi.

Sakoma, kad atsitiktinis dydis Y nepriklauso nuo atsitiktinio dydžio X, jei atsitiktinio dydžio Y pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo X reikšmės.

Pažymėtina, kad atsitiktinių dydžių priklausomybė ir nepriklausomybė visada yra abipusis reiškinys: jei Y nepriklauso nuo X, tai reikšmė X nepriklauso nuo Y. Atsižvelgdami į tai, galime pateikti tokį nepriklausomumo apibrėžimą. atsitiktinių dydžių.

Atsitiktiniai dydžiai X ir Y vadinami nepriklausomais, jei kiekvieno iš jų pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo to, kokią reikšmę įgyja kitas. Kitu atveju dydžiai X ir Y vadinami priklausomais.

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra bet koks ryšys, nustatantis ryšį tarp galimų atsitiktinio dydžio dydžių ir atitinkamų tikimybių.

Tikimybių teorijoje vartojama atsitiktinių dydžių „priklausomybės“ sąvoka kiek skiriasi nuo įprastos matematikoje vartojamos kintamųjų „priklausomybės“ sąvokos. Taigi matematikas „priklausomybe“ reiškia tik vieną priklausomybės rūšį – visišką, standžią, vadinamąją funkcinę priklausomybę. Du dydžiai X ir Y vadinami funkciškai priklausomais, jei, žinodami vieno iš jų reikšmę, galite tiksliai nustatyti kito reikšmę.

Tikimybių teorijoje egzistuoja kiek kitoks priklausomybės tipas – tikimybinė priklausomybė. Jei reikšmė Y su reikšme X susieta tikimybine priklausomybe, tai žinant X reikšmę, neįmanoma tiksliai nurodyti Y reikšmės, tačiau galima nurodyti jos pasiskirstymo dėsnį, priklausomai nuo to, kokią reikšmę turi X reikšmė. paimtas.

Tikimybinis ryšys gali būti daugiau ar mažiau artimas; Didėjant tikimybinės priklausomybės artumui, ji tampa vis artimesnė funkcinei. Taigi funkcinė priklausomybė gali būti laikoma kraštutiniu, ribojančiu artimiausios tikimybinės priklausomybės atveju. Kitas kraštutinis atvejis yra visiška atsitiktinių dydžių nepriklausomybė. Tarp šių dviejų kraštutinių atvejų yra visos tikimybinės priklausomybės gradacijos – nuo stipriausios iki silpniausios.

Praktikoje dažnai susiduriama su tikimybine priklausomybe tarp atsitiktinių dydžių. Jei atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra tikimybiniame ryšyje, tai nereiškia, kad pasikeitus X reikšmei, Y reikšmė kinta visiškai apibrėžtu būdu; tai tik reiškia, kad pasikeitus X vertei, Y reikšmė

taip pat linkęs keistis (padidėti arba mažėti, kai X didėja). Ši tendencija pastebima tik bendrais bruožais ir kiekvienu atskiru atveju galimi nukrypimai nuo jos.

Tikimybinės priklausomybės pavyzdžiai.

Atsitiktinai parinkkime vieną pacientą, sergantį peritonitu. atsitiktinis dydis T – laikas nuo ligos pradžios, atsitiktinis dydis O – homeostatinių sutrikimų lygis. Tarp šių verčių yra aiškus ryšys, nes T reikšmė yra viena iš svarbiausių priežasčių, lemiančių O reikšmę.

Tuo pačiu metu yra silpnesnis tikimybinis ryšys tarp atsitiktinio dydžio T ir atsitiktinio dydžio M, kuris atspindi mirtingumą nuo tam tikros patologijos, nes atsitiktinis dydis, nors ir daro įtaką atsitiktiniam dydžiui O, nėra pagrindinis determinantas.

Be to, jei atsižvelgsime į T reikšmę ir B reikšmę (chirurgo amžių), šios vertės praktiškai nepriklauso.

Iki šiol mes aptarėme atsitiktinių dydžių sistemų savybes, pateikdami tik žodinį paaiškinimą. Tačiau yra skaitinių charakteristikų, per kurias tiriamos tiek atskirų atsitiktinių dydžių, tiek atsitiktinių dydžių sistemos savybės.

Viena iš svarbiausių normaliojo skirstinio atsitiktinio dydžių charakteristikų yra jo matematinis lūkestis.

Apsvarstykite diskrečiąjį atsitiktinį kintamąjį X, kurio galimas reikšmes X 1, X2, ... , Xn su tikimybėmis p1, p2, ... , рn. turime tam tikru skaičiumi apibūdinti atsitiktinio dydžio reikšmių padėtį abscisių ašyje, atsižvelgiant į tai, kad šios reikšmės turi skirtingas reikšmes. Šiuo tikslu jie dažniausiai naudoja vadinamąjį „svertinį vidurkį“. Xi, ir kiekviena vertė Xi skaičiuojant vidurkį, į jį reikia atsižvelgti su „svoriu“, proporcingu šios reikšmės tikimybei. Taigi, jei „svertinį vidurkį“ žymėsime M[X] arba mx, gauname

arba, atsižvelgiant į tai,

Matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis yra visų galimų atsitiktinio dydžio dydžių sandaugų ir šių dydžių tikimybių suma.

Siekiant didesnio aiškumo, panagrinėkime vieną mechaninį įvestos sąvokos aiškinimą. Tegul taškai su abscisėmis x 1 yra abscisių ašyje, x2, …, xn, kuriame atitinkamai sukoncentruotos masės p1, p2, … , рn, ir. Tada matematinis lūkestis yra ne kas kita, kaip tam tikros materialių taškų sistemos svorio centro abscisė.

Matematinio lūkesčio formulė (1) atitinka diskretinio atsitiktinio dydžio atvejį. Ištisinės reikšmės X matematinis lūkestis, žinoma, išreiškiamas ne suma, o integralu:

kur yra X reikšmės pasiskirstymo tankis.

Formulė (2) gaunama iš (1) formulės, jei joje pakeičiame atskiras reikšmes Xi nuolat kintantis parametras X, atitinkamos tikimybės pi tikimybės elementas f(x)dx, galutinė suma – integralas.

Mechaninėje interpretacijoje matematinis nenutrūkstamo atsitiktinio dydžio lūkestis išlaiko tą pačią reikšmę – svorio centro abscisę tuo atveju, kai masės pasiskirstymas išilgai abscisių yra tolydis tankio f(x) atžvilgiu.

Pažymėtina, kad matematinis lūkestis neegzistuoja visiems atsitiktiniams dydžiams, o tai, kai kurių mokslininkų nuomone, nėra reikšminga praktikai.

Be matematinio lūkesčio, svarbūs ir kiti skaitiniai atsitiktiniai dydžiai – momentai.

Momento sąvoka mechanikoje plačiai vartojama masių pasiskirstymui apibūdinti (statistiniai momentai, inercijos momentai ir kt.). Lygiai tokie patys metodai naudojami tikimybių teorijoje, apibūdinant pagrindines atsitiktinio dydžio pasiskirstymo savybes. Dažniausiai praktikoje naudojami dviejų tipų momentai: pradinis ir centrinis.

Nenutrūkstamo atsitiktinio dydžio X eilės pradinis momentas yra formos suma

Akivaizdu, kad šis apibrėžimas sutampa su pradinio eilės momento s apibrėžimu mechanikoje, jei abscisių ašyje taškuose x 1, ..., xn masė koncentruota p1, …, рn.

Ištisinio atsitiktinio dydžio X pradinis s-osios eilės momentas vadinamas integralu

Tai akivaizdu

tie. atsitiktinio dydžio X eilės pradinis momentas yra ne kas kita, kaip matematinis šio atsitiktinio dydžio st-ojo laipsnio lūkestis.

Prieš apibrėždami centrinį momentą, pristatome „centruoto atsitiktinio kintamojo“ sąvoką.

Tebūna atsitiktinis dydis X su matematine tikėtimi m x . Centrinis atsitiktinis dydis, atitinkantis X reikšmę, yra atsitiktinio dydžio X nuokrypis nuo jo matematinių lūkesčių

Nesunku pastebėti, kad centruoto atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis yra lygus nuliui.

Atsitiktinio dydžio centravimas prilygsta koordinačių pradžios perkėlimui į tašką, kurio abscisė yra lygi matematiniam lūkesčiui.

Centrinis atsitiktinio dydžio X eilės s momentas yra matematinė atitinkamo centruoto atsitiktinio dydžio s-ojo laipsnio tikėjimas:

Nenutrūkstamo atsitiktinio dydžio s-asis centrinis momentas išreiškiamas suma

o tęstiniam – integralu

Labai svarbus yra antrasis centrinis momentas, vadinamas dispersija ir žymimas D[X]. Dėl mūsų turimos dispersijos

Atsitiktinio dydžio dispersija yra dispersijos charakteristika, atsitiktinio dydžio reikšmių išsibarstymas aplink jo matematinį lūkestį. Pats žodis „dispersija“ reiškia „dispersija“.

Mechaninis dispersijos aiškinimas yra ne kas kita, kaip tam tikros masės pasiskirstymo inercijos momentas svorio centro atžvilgiu.

Praktikoje taip pat dažnai naudojamas kiekis

vadinamas standartiniu atsitiktinio dydžio X nuokrypiu (kitaip „standartu“).

Dabar pereikime prie atsitiktinių dydžių sistemų charakteristikų.

Sistemos (X, Y) eilės k,s pradinis momentas yra sandaugos X k ir Y s matematinis lūkestis,

xk,s=M.

Sistemos (X, Y) eilės k,s centrinis momentas yra matematinė atitinkamų centruotų dydžių k-osios ir s-osios laipsnių sandauga:

Dėl nenutrūkstamų atsitiktinių dydžių

kur p ij yra tikimybė, kad sistema (X, Y) ims reikšmes ( xi, yj), o suma atsižvelgiama į visas galimas atsitiktinių dydžių X,Y reikšmes.

Dėl nuolatinių atsitiktinių dydžių

čia f(x,y) yra sistemos pasiskirstymo tankis.

Be skaičių k ir s, apibūdinančių momento eiliškumą atskirų dydžių atžvilgiu, taip pat atsižvelgiama į suminę momento eilę k + s, lygią X ir Y eksponentų sumai bendra tvarka, momentai skirstomi į pirmą, antrą ir kt. Praktikoje dažniausiai taikomas tik pirmasis ir antrasis momentai.

Pirmieji pradiniai momentai atspindi matematinius X ir Y reikšmių lūkesčius, įtrauktus į sistemą

y1.0=mx y0.1= mano.

Matematinių lūkesčių rinkinys m x , mano yra sistemos padėties charakteristika. Geometriškai tai yra vidurio taško koordinatės plokštumoje, aplink kurią yra išsklaidytas taškas (X, Y).

Antrieji centriniai sistemų momentai taip pat atlieka svarbų vaidmenį praktikoje. Du iš jų rodo X ir Y reikšmių dispersijas

charakterizuojantis atsitiktinio taško sklaidą Ox ir Oy ašių kryptimi.

Antrasis perkeltas centrinis momentas atlieka ypatingą vaidmenį:

vadinamas atsitiktinių dydžių X ir Y koreliacijos momentu (kitaip - „sujungimo momentu“).

Koreliacijos momentas yra atsitiktinių dydžių sistemos charakteristika, kuri, be reikšmių X ir Y sklaidos, apibūdina ir ryšį tarp jų. Norėdami tai patikrinti, pažymime, kad nepriklausomų atsitiktinių dydžių koreliacijos momentas yra lygus nuliui.

Atkreipkite dėmesį, kad koreliacijos momentas apibūdina ne tik dydžių priklausomybę, bet ir jų sklaidą. Todėl, norėdami apibūdinti santykį tarp dydžių (X;Y) gryna forma, pereiname nuo momento K xy prie charakteristikos

Kur yx, yy- X ir Y reikšmių standartiniai nuokrypiai Ši charakteristika vadinama X ir Y reikšmių koreliacijos koeficientu.

Iš (3) formulės aišku, kad nepriklausomiems atsitiktiniams dydžiams koreliacijos koeficientas yra lygus nuliui, nes tokiems kintamiesiems kxy=0.

Atsitiktiniai kintamieji, kuriems rxy=0, vadinami nekoreliuojančiais (nesusiję).

Tačiau atkreipkite dėmesį, kad atsitiktinių dydžių nesusijęs pobūdis nereiškia jų nepriklausomumo.

Koreliacijos koeficientas charakterizuoja ne jokią priklausomybę, o tik vadinamąją tiesinę priklausomybę. Atsitiktinių dydžių linijinė tikimybinė priklausomybė yra ta, kad vienam atsitiktiniam dydžiui padidėjus, pagal tiesinį dėsnį yra tendencija didėti (arba mažėti). Taigi koreliacijos koeficientas apibūdina atsitiktinių dydžių tiesinio ryšio artumo laipsnį.

Yra keli koreliacijos koeficiento nustatymo metodai. Tačiau pateiksime pavyzdį naudodami Pirsono mišraus momento koreliacijos koeficientą, kur

naudojant duomenų lentelę (mūsų pavyzdyje santykinis T-limfocitų kiekis % ir IgG lygis g/l):

Pakeisdami gautas reikšmes į (4) formulę, gauname

Tai reiškia, kad peritonitu sergančių vaikų T-limfocitų ir imunoglobulino G dinamikos koreliacijos koeficientas yra 0,9933, o tai rodo didelį šių rodiklių ryšį.

AZERBAIDŽANO RESPUBLIKOS VALSTYBINIS MOKSLO IR TECHNOLOGIJOS KOMITETAS

BAKU TYRIMO IR MOKYMO CENTRAS

VAIKŲ CHIRURGIJOS SKYRIAUS STUDENTĖ

N. NARIMANOV vardu pavadintas AMU

MUKHTAROVA EMIL GASAN ogly

KORELIACIJOS AKMENYS. KORELIACIJOS KOEFICIENTAS

ĮVADAS

Tikimybių teorija yra matematikos mokslas, tiriantis atsitiktinių reiškinių modelius.

Ką reiškia atsitiktiniai reiškiniai?

Moksliškai tiriant fizines ir technines problemas dažnai susiduriama su ypatingo tipo reiškiniais, kurie dažniausiai vadinami atsitiktiniais. Atsitiktinis reiškinys- tai reiškinys, kuris, pakartotinai atkartojant tą pačią patirtį, vyksta kiek kitaip.

Pateikiame atsitiktinio reiškinio pavyzdį.

Tas pats kūnas keletą kartų sveriamas ant analitinių svarstyklių: pakartotinių svėrimų rezultatai šiek tiek skiriasi vienas nuo kito. Šie skirtumai atsiranda dėl įvairių nedidelių svėrimo operaciją lydinčių veiksnių, tokių kaip atsitiktinės įrangos vibracijos, prietaiso nuskaitymo klaidos ir kt.

Akivaizdu, kad gamtoje nėra nei vieno fizinio reiškinio, kuriame atsitiktinumo elementai vienu ar kitu laipsniu nebūtų. Kad ir kaip tiksliai ir detaliai būtų nustatytos eksperimento sąlygos, neįmanoma užtikrinti, kad eksperimentą pakartojant rezultatai visiškai ir tiksliai sutaptų.

Nelaimingi atsitikimai neišvengiamai lydi bet kokį gamtos reiškinį. Tačiau daugelyje praktinių problemų šių atsitiktinių elementų galima nepaisyti, atsižvelgiant į jos supaprastintą diagramą, o ne realų reiškinį, t.y. modelis, ir darant prielaidą, kad nurodytomis eksperimentinėmis sąlygomis reiškinys vyksta labai apibrėžtu būdu. Kartu iš nesuskaičiuojamo skaičiaus veiksnių, turinčių įtakos šiam reiškiniui, išskiriami patys svarbiausi, esminiai ir lemiantys. Kitų, nedidelių veiksnių įtaka tiesiog nepaisoma. Tiriant modelius tam tikros teorijos rėmuose, pagrindiniai veiksniai, darantys įtaką tam tikram reiškiniui, įtraukiami į sąvokas ar apibrėžimus, su kuriais susijusi teorija veikia.

Kaip ir bet kuris mokslas, kuris kuria bendrą bet kurio reiškinių diapazono teoriją, tikimybių teorija taip pat turi keletą pagrindinių sąvokų, kuriomis ji grindžiama. Natūralu, kad ne visos pagrindinės sąvokos gali būti griežtai apibrėžtos, nes apibrėžti sąvoką reiškia ją redukuoti į kitas, labiau žinomas. Šis procesas turi būti baigtinis ir baigtis pagrindinėmis sąvokomis, kurios tik paaiškinamos.

Viena iš pirmųjų tikimybių teorijos sąvokų yra įvykio sąvoka.

Pagal renginys reiškia bet kokį faktą, kuris gali atsirasti arba neįvykti dėl patirties.

Pateikiame įvykių pavyzdžius.

A - berniuko ar mergaitės gimimas;

B - šachmatų partijos vieno ar kito atidarymo pasirinkimas;

C – priklauso vienam ar kitam zodiako ženklui.

Atsižvelgdami į minėtus įvykius, matome, kad kiekvienas iš jų turi tam tikrą galimybę: vieni didesnę, kitus mažiau. Norint kiekybiškai palyginti įvykius tarpusavyje pagal jų galimybės laipsnį, akivaizdu, kad su kiekvienu įvykiu reikia susieti tam tikrą skaičių, kuris didesnis, tuo labiau įmanomas įvykis. Šis skaičius vadinamas įvykio tikimybe. Taigi įvykio tikimybė yra skaitinė įvykio objektyvumo laipsnio charakteristika.

Tikimybės vienetu laikoma patikimo įvykio tikimybė, lygi 1, o bet kokių įvykių tikimybių pokyčių diapazonas yra skaičius nuo 0 iki 1.

Tikimybė paprastai žymima raide P.

Pažiūrėkime į amžinos Shakespeare'o Hamleto problemos „būti ar nebūti?“ pavyzdį. Kaip galite nustatyti įvykio tikimybę?

Visiškai akivaizdu, kad žmogus, objektas ir bet kuris kitas reiškinys gali būti vienoje iš dviejų ir ne daugiau: buvimo („būti“) ir nebuvimo („nebūti“). Tai yra, galimi du įvykiai, bet gali įvykti tik vienas. Tai reiškia, kad, pavyzdžiui, egzistavimo tikimybė yra 1/2.

Be įvykio ir tikimybės sąvokos, viena pagrindinių tikimybių teorijos sąvokų yra atsitiktinio dydžio sąvoka.

Atsitiktinis kintamasis yra dydis, kuris eksperimento rezultatu gali įgyti vienokią ar kitokią reikšmę, o iš anksto nežinia kurią.

Vadinami atsitiktiniai kintamieji, kurie ima tik atskiras viena nuo kitos vertes, kurias galima išvardyti iš anksto nuolatiniai arba diskretieji atsitiktiniai dydžiai.

Pavyzdžiui:

1. Išgyvenusių ir mirusių pacientų skaičius.

2. Bendras vaikų skaičius iš pacientų, patekusių į ligoninę per naktį.

Vadinami atsitiktiniai kintamieji, kurių galimos reikšmės nuolat užpildo tam tikrą intervalą nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai.

Pavyzdžiui, svėrimo klaida ant analitinių svarstyklių.

Pastebėkime, kad šiuolaikinė tikimybių teorija pirmiausia operuoja atsitiktiniais dydžiais, o ne įvykiais, kuriais daugiausia buvo grindžiama „klasikinė“ tikimybių teorija.

KORELIACIJOS AKMENYS. KORELIACIJOS KOEFICIENTAS.

Koreliacijos momentai, koreliacijos koeficientas - tai skaitinės charakteristikos, glaudžiai susijusios su pirmiau pateikta atsitiktinio dydžio sąvoka, o tiksliau su atsitiktinių dydžių sistema. Todėl norint supažindinti ir apibrėžti jų reikšmę ir vaidmenį, būtina paaiškinti atsitiktinių dydžių sistemos sampratą ir kai kurias jiems būdingas savybes.

Du ar daugiau atsitiktinių dydžių, apibūdinančių kokį nors reiškinį, vadinami atsitiktinių dydžių sistema arba kompleksas.

Kelių atsitiktinių dydžių sistema X, Y, Z, …, W paprastai žymima (X, Y, Z, …, W).

Pavyzdžiui, taškas plokštumoje apibūdinamas ne viena koordinate, o dviem, o erdvėje – net trimis.

Atsitiktinis dydis Y vadinamas nepriklausomas iš atsitiktinio dydžio X, jei atsitiktinio dydžio Y pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo to, kokią reikšmę gavo kintamasis X.

Atsitiktiniai dydžiai X ir Y vadinami nepriklausomais, jei kiekvieno iš jų pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo to, kokią reikšmę įgyja kitas. Priešingu atveju vadinamos X ir Y reikšmės priklausomas.

Paskirstymo dėsnis Atsitiktinis dydis yra bet koks ryšys, nustatantis ryšį tarp galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir atitinkamų tikimybių.

Tikimybių teorijoje yra šiek tiek kitokio tipo priklausomybė - tikimybinė priklausomybė. Jei reikšmė Y su reikšme X susieta tikimybine priklausomybe, tai žinant X reikšmę, neįmanoma tiksliai nurodyti Y reikšmės, tačiau galima nurodyti jos pasiskirstymo dėsnį, priklausomai nuo to, kokią reikšmę turi X reikšmė. paimtas.

taip pat linkęs keistis (padidėti arba mažėti, kai X didėja). Ši tendencija pastebima tik bendrais bruožais ir kiekvienu atskiru atveju galimi nukrypimai nuo jos.

Tikimybinės priklausomybės pavyzdžiai.

Be to, jei atsižvelgsime į T reikšmę ir B reikšmę (chirurgo amžių), šios vertės praktiškai nepriklauso.

Dviejų atsitiktinių dydžių sistemai apibūdinti, be matematinių lūkesčių ir komponentų dispersijų, naudojamos kitos charakteristikos, kurios apima koreliacijos momentas Ir koreliacijos koeficientas(trumpai paminėta T.8.p.8.6 pabaigoje) .

Koreliacijos momentas(arba kovariacija, arba prisijungimo momentas) du atsitiktiniai dydžiai X Ir Y paskambino m.o. šių dydžių nuokrypių sandauga (žr. lygybės (5) 8.6 punktą):

1 išvada. Koreliaciniam momentui r.v. X Ir Y taip pat galioja šios lygybės:

kur atitinkamas centralizuotas r.v. X Ir Y (žr. 8.6 punktą).

Šiuo atveju: jei
yra dvimatis d.s.v., tada kovariacija apskaičiuojama pagal formulę

(8)
;

Jeigu
yra dvimatis n.s.v., tada kovariacija apskaičiuojama pagal formulę

(9)

(8) ir (9) formulės buvo gautos remiantis 12.1 pastraipoje pateikta (6) formule. Yra skaičiavimo formulė

(10)

kuris išvestas iš (9) apibrėžimo ir pagrįstas MO savybėmis, iš tikrųjų,

Vadinasi, formulės (36) ir (37) gali būti perrašytos į formą

(11)
;

Koreliacijos momentas naudojamas apibūdinti santykį tarp dydžių X Ir Y.

Kaip bus parodyta toliau, koreliacijos momentas yra lygus nuliui, jei X Ir Y yra nepriklausomas;

Todėl, jei koreliacijos momentas nėra lygus nuliui, tadaXIrYyra priklausomi atsitiktiniai dydžiai.

12.1 teorema.Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių koreliacijos momentasXIrYyra lygus nuliui, t.y. savarankiškam r.v.XIrY,

Įrodymas. Nes X Ir Y nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, tada jų nuokrypiai

T taip pat nepriklausomas. Naudojant matematinio lūkesčio savybes (nepriklausomų rv sandaugos matematinis lūkestis yra lygus faktorių matematinių lūkesčių sandaugai
,
, Štai kodėl

komentuoti. Iš šios teoremos išplaukia, kad jei
tada s.v. X Ir Y priklausomas ir tokiais atvejais r.v. X Ir Y paskambino koreliuoja. Tačiau iš to,
nesilaiko nepriklausomybės r.v. X Ir Y.

Šiuo atveju (
s.v. X Ir Y paskambino nesusijęs, Taigi iš nepriklausomybės seka nekoreliuoja; atvirkštinis teiginys paprastai yra klaidingas (žr. toliau pateiktą 2 pavyzdį).

Panagrinėkime pagrindines koreliacijos momento savybes.

CKovariacijos savybės:

1. Kovariacija yra simetriška, t.y.
.

Tai tiesiogiai išplaukia iš (38) formulės.

2. Yra lygybės: t.y. dispersija r.v. yra jo kovariacija su savimi.

Šios lygybės tiesiogiai išplaukia iš atitinkamai dispersijos ir lygybės (38) apibrėžimo

3. Galioja šios lygybės:

Šios lygybės yra išvestos iš r.v dispersijos ir kovariacijos apibrėžimo.
Ir , savybės 2.

Pagal dispersijos apibrėžimą (atsižvelgiant į r.v.
) turime

Dabar, remiantis (33) ir 2 bei 3 savybėmis, gauname pirmąją (su pliuso ženklu) savybę 3.

Panašiai antroji 3 savybės dalis yra išvesta iš lygybės

4. Leiskite
pastovūs skaičiai,
tada galioja lygybės:

Paprastai šios savybės argumentuose vadinamos pirmos eilės homogeniškumo ir periodiškumo savybėmis.

Įrodykime pirmąją lygybę, ir panaudosime m.o savybes.
.

12.2 teorema.Absoliuti vertėdviejų atsitiktinių atsitiktinių dydžių koreliacijos momentasXIrYneviršija jų dispersijų geometrinio vidurkio: t.y.

Įrodymas. Atkreipkite dėmesį, kad nepriklausomiems r.v. galioja nelygybė (žr. 12.1 teoremą). Taigi, tegul r.v. X Ir Y priklausomas. Panagrinėkime standartinį r.v.
Ir
ir apskaičiuokite r.v sklaidą.
atsižvelgdami į 3 savybę, turime: viena vertus
Iš kitos pusės

Todėl, atsižvelgiant į tai, kad
Ir - normalizuotas (standartizuotas) r.v., tada jiems m.o. yra lygus nuliui, o dispersija lygi 1, todėl naudojant m.o savybę.
gauname

ir todėl remiantis tuo
gauname

Iš to seka, kad t.y.

Teiginys pasitvirtino.

Iš kovariacijos apibrėžimo ir savybių išplaukia, kad ji apibūdina ir r.v priklausomybės laipsnį, ir jų sklaidą aplink tašką
Kovariacijos matmuo yra lygus atsitiktinių dydžių matmenų sandaugai X Ir Y. Kitaip tariant, koreliacijos momento dydis priklauso nuo atsitiktinių dydžių matavimo vienetų. Dėl šios priežasties už tuos pačius du kiekius X Ir Y, koreliacijos momento dydis turės skirtingas reikšmes, priklausomai nuo vienetų, kuriais vertės buvo išmatuotos.

Tegu pvz. X Ir Y buvo matuojami centimetrais ir
; jei matuojamas X Ir Y tada milimetrais
Ši koreliacijos momento ypatybė yra šios skaitinės charakteristikos trūkumas, nes sunku palyginti skirtingų atsitiktinių dydžių sistemų koreliacijos momentus.

Siekiant pašalinti šį trūkumą, įvedama nauja skaitinė charakteristika - " koreliacijos koeficientas».

Koreliacijos koeficientas
atsitiktiniai dydžiai
Ir vadinamas koreliacijos momento ir šių dydžių standartinių nuokrypių sandauga:

(13)
.

Nuo matmens
lygus dydžių matmenų sandaugai
Ir ,
turi dydžio matmenį
σ y turi dydžio matmenį , Tai
yra tik skaičius (t. y. bematis kiekis"). Taigi koreliacijos koeficiento reikšmė nepriklauso nuo r.v. matavimo vienetų pasirinkimo, tai yra pranašumas koreliacijos koeficientas prieš koreliacijos momentą.

T.8. 8.3 punktu pristatėme sąvoką normalizuotas s.v.
, formulė (18), o teorema buvo įrodyta, kad
Ir
(Taip pat žr. 8.2 teoremą). Čia įrodome tokį teiginį.

12.3 teorema. Už bet kurie du atsitiktiniai dydžiai
Ir lygybė yra tiesa
.Kitaip tariant, koreliacijos koeficientas
bet kurie du su.V.XIrYlygus koreliacijos momentui jų atitinkamos normalizuotos s.v.
Ir .

Įrodymas. Pagal normalizuotų atsitiktinių dydžių apibrėžimą
Ir

Ir
.

Atsižvelgdami į matematinio lūkesčio savybę: ir lygybę (40) gauname

Teiginys pasitvirtino.

Pažvelkime į kai kurias dažniausiai sutinkamas koreliacijos koeficiento savybes.

Koreliacijos koeficiento savybės:

1. Koreliacijos koeficientas absoliučia verte neviršija 1, t.y.

Ši savybė tiesiogiai išplaukia iš (41) formulės – koreliacijos koeficiento apibrėžimo ir 13.5 teoremos. (žr. lygybę (40)).

2. Jei atsitiktiniai dydžiai
Ir yra nepriklausomi, srovės koreliacijos koeficientas lygus nuliui, t.y.
.

Ši savybė yra tiesioginė lygybės (40) ir 13.4 teoremos pasekmė.

Suformuluokime šią savybę kaip atskirą teoremą.

12.4 teorema.

Jei r.v.
Ir yra tarpusavyje sujungtos linijine funkcine priklausomybe, t.y.
Tai
tuo pačiu metu

Ir priešingai, jei
, Tai s.v.
Ir yra tarpusavyje sujungtos linijine funkcine priklausomybe, t.y. yra konstantos
Irtokia, kad galioja lygybė

Įrodymas. Leiskite
Tada Remdamiesi 4 kovariacijos savybe, turime

ir kadangi, , todėl

Vadinasi,
. Gaunama lygybė viena kryptimi. Leisk toliau
, Tada

reikėtų atsižvelgti į du atvejus: 1)
ir 2)
Taigi, panagrinėkime pirmąjį atvejį. Tada pagal apibrėžimą
ir todėl iš lygybės
, Kur
.
Mūsų atveju

=
,

, todėl iš lygybės (žr. 13.5 teoremos įrodymą)
mes tai gauname
, Reiškia
yra pastovus. Nes
ir nuo to laiko

tikrai,

Vadinasi,
Panašiai parodyta, kad už

,
.

vyksta (patikrinkite patys!)

Kai kurios išvados:
Ir 1. Jeigu

nepriklausomi.v., tada
Ir 2. Jeigu r.v.
.

yra linijiškai susiję vienas su kitu, tada
:

3. Kitais atvejais
Ir Šiuo atveju jie sako, kad r.v. tarpusavyje susiję teigiama koreliacija,
Jeigu
atvejais neigiama koreliacija
. Kuo arčiau
Ir vienam, tuo daugiau pagrindo manyti, kad r.v.

yra sujungti linijiniu ryšiu. Atkreipkite dėmesį, kad r.v sistemos koreliacijos momentai ir dispersijos. paprastai duodama:

koreliacijos matrica

Akivaizdu, kad koreliacijos matricos determinantas tenkina: koreliuoja Kaip jau minėta, jei du atsitiktiniai dydžiai yra priklausomi, jie gali būti panašūs , taip nekoreliuoja. Kitaip tariant, dviejų priklausomų dydžių koreliacijos momentas gali būti nelygu nuliui , bet gal

lygus nuliui. 1 pavyzdys.

Diskretinio r.v pasiskirstymo dėsnį pateikia lentelė

Raskite koreliacijos koeficientą Sprendimas.
Ir :

Komponentų pasiskirstymo dėsnių radimas

Dabar paskaičiuokime m.o. komponentai:

Šias vertes galima rasti pagal r.v.
Lygiai taip pat

susirask pats.

Apskaičiuokime komponentų dispersijas ir naudokime skaičiavimo formulę:
Sukurkime paskirstymo dėsnį
:

, ir tada randame

Sudarydami paskirstymo įstatymo lentelę, turėtumėte atlikti šiuos veiksmus:
.

1) palikite tik skirtingas visų galimų produktų reikšmes
2) nustatyti tam tikros reikšmės tikimybę

Sudėkite visas atitinkamas tikimybes, esančias pagrindinės lentelės sankirtoje, palankias tam tikros reikšmės atsiradimui.

Mūsų pavyzdyje r.v. ima tik tris skirtingas vertes
. Čia pirmoji reikšmė (
) atitinka prekę
iš antrosios eilutės ir
nuo pirmojo stulpelio, todėl jų sankirtoje yra tikimybės skaičius
panašiai

kuri gaunama iš tikimybių, esančių atitinkamai pirmosios eilutės ir pirmojo stulpelio sankirtose (0,15; 0,40; 0,05) ir vienos reikšmės, sumos
, kuris yra antrosios eilutės ir antrojo stulpelio sankirtoje, ir galiausiai,
, kuris yra antros eilutės ir trečiojo stulpelio sankirtoje.

Iš mūsų lentelės randame:

Koreliacijos momentą randame naudodami (38) formulę:

Raskite koreliacijos koeficientą pagal formulę (41)

Taigi, neigiama koreliacija.

Pratimai. Diskrečiųjų r.v. pasiskirstymo dėsnis. pateikta pagal lentelę

Raskite koreliacijos koeficientą

Pažvelkime į pavyzdį, kai yra du priklausomi atsitiktiniai dydžiai gali būti , taip

2 pavyzdys. Dvimatis atsitiktinis dydis
) duota tankio funkcija

Įrodykime tai
Ir priklausomas , Bet nekoreliuoja atsitiktiniai dydžiai.

Raskite koreliacijos koeficientą Naudokime anksčiau apskaičiuotus komponentų pasiskirstymo tankius
Ir :

Nuo tada
Ir priklausomi kiekiai. Norėdami įrodyti nekoreliuoja
Ir , pakanka tuo įsitikinti

Raskime koreliacijos momentą naudodami formulę:

Kadangi diferencialinė funkcija
simetriškas ašies atžvilgiu OY, Tai
panašiai
, dėl simetrijos
ašies atžvilgiu JAUTIS. Todėl išimant pastovų faktorių

Vidinis integralas lygus nuliui (integrandas nelyginis, integracijos ribos simetriškos kilmės atžvilgiu), todėl
, t.y. priklausomi atsitiktiniai dydžiai
Ir nėra koreliuojami vienas su kitu.

Taigi iš dviejų atsitiktinių dydžių koreliacijos išplaukia jų priklausomybė, tačiau iš nekoreliacijos vis tiek neįmanoma daryti išvados, kad šie kintamieji yra nepriklausomi.

Tačiau normaliai paskirstytam r.v. tokia išvada išskyrus tie. iš nekoreliuoja paprastai paskirstytas s.v. išlieja juos nepriklausomybę.

Kita pastraipa skirta šiam klausimui.

Koreliacijos momentas ir koreliacijos koeficientas yra pavyzdžiai. Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos

Dviejų atsitiktinių dydžių sistemos skaitinės charakteristikos. Koreliacijos momentas. Koreliacijos koeficientas