Apibrėžimas Užsakyta kolekcija (x 1 , x 2 , ... , x n) n realūs skaičiai paskambino n matmenų vektorius, ir skaičiai x i (i = ) - komponentai, arba koordinates,
Pavyzdys. Pavyzdžiui, jei tam tikra automobilių gamykla turi pagaminti 50 automobilių, 100 sunkvežimių, 10 autobusų, 50 komplektų atsarginių dalių automobiliams ir 150 komplektų sunkvežimiai ir autobusus, tada šios gamyklos gamybos programą galima parašyti penkių komponentų vektoriaus (50, 100, 10, 50, 150) forma.
Žymėjimas. Vektoriai žymimi paryškintomis mažosiomis raidėmis arba raidėmis su juostele ar rodykle viršuje, pvz. a arba. Du vektoriai vadinami lygus jei jie turi tas pats numeris komponentas ir juos atitinkantys komponentai yra vienodi.
Negalima sukeisti vektorių komponentų, pavyzdžiui, (3, 2, 5, 0, 1) ir (2, 3, 5, 0, 1) skirtingi vektoriai.
Veiksmai su vektoriais. Darbas
x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) realiuoju skaičiumiλ vadinamas vektoriumiλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).
Sumax= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ir y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) vadinamas vektoriumi x+y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... , x n + + y n).
Vektorinė erdvė. N -matmenų vektorinė erdvė R n apibrėžiamas kaip visų n matmenų vektorių rinkinys, kuriam atliekamos daugybos iš realūs skaičiai ir papildymas.
Ekonominė iliustracija. Ekonominė n-matės iliustracija vektorinė erdvė: prekių erdvė (prekes). Pagal prekes suprasime kai kurias prekes ar paslaugas, kurios parduodamos tam tikrą laiką tam tikroje vietoje. Tarkime, kad yra galutinis skaičius turimos prekės n; kiekvienos iš jų vartotojo įsigytus kiekius apibūdina prekių rinkinys
x= (x 1 , x 2 , ..., x n),
čia x i žymi vartotojo įsigytos i-osios prekės kiekį. Darysime prielaidą, kad visos prekės turi savavališko dalijimosi savybę, kad būtų galima įsigyti bet kokį neneigiamą kiekvienos iš jų kiekį. Tada visos galimos prekių aibės yra prekių erdvės C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).
Linijinė nepriklausomybė.
Sistema e 1 , e 2 , ... , e vadinami m n matmenų vektoriai tiesiškai priklausomas, jei yra tokių skaičiųλ 1 , λ 2 , ... , λ m , iš kurių bent vienas yra ne nulis, kad lygybėλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; kitaip šią sistemą vektoriai vadinami tiesiškai nepriklausomas, tai yra, nurodyta lygybė galima tik tuo atveju, kai visi 
. Geometrinė reikšmė tiesinė priklausomybė vektoriai į R 3, interpretuojami kaip nukreipti segmentai, paaiškinkite šias teoremas.
1 teorema. Sistema, susidedanti iš vieno vektoriaus, yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai šis vektorius yra lygus nuliui.
2 teorema. Tam, kad du vektoriai būtų tiesiškai priklausomi, būtina ir pakanka, kad jie būtų kolineariniai (lygiagrečiai).
3 teorema . Tam, kad trys vektoriai būtų tiesiškai priklausomi, būtina ir pakanka, kad jie būtų vienodi (gulėtų toje pačioje plokštumoje).
Kairysis ir dešinysis vektorių trigubai. Nevienaplanių vektorių trigubas a, b, c paskambino teisingai, jei stebėtojas iš jų bendra pradžia kerta vektorių galus a, b, c V nurodyta tvarka atrodo, kad tai vyksta pagal laikrodžio rodyklę. Priešingu atveju a, b, c -liko trys. Vadinami visi dešinieji (arba kairieji) vektorių trigubai tas pats orientuotas.
Pagrindas ir koordinatės. Troika e 1, e 2 , e 3 nevienaplaniai vektoriai in R 3 vadinamas pagrindu, ir patys vektoriai e 1, e 2 , e 3 - pagrindinis. Bet koks vektorius a gali būti vienareikšmiškai išplėsti į bazinius vektorius, tai yra, pavaizduoti formoje
A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)
skaičiai x 1 , x 2 , x 3 plėtinyje (1.1) vadinami koordinatesa pagrinde e 1, e 2 , e 3 ir yra pažymėti a(x 1, x 2, x 3).
Ortonormalus pagrindas. Jei vektoriai e 1, e 2 , e 3 yra poromis statmenos ir kiekvieno iš jų ilgis lygus vienetui, tada vadinamas pagrindas ortonormalus, o koordinatės x 1 , x 2 , x 3 - stačiakampio formos. Ortonormalaus pagrindo baziniai vektoriai bus pažymėti i, j, k.
Mes manysime, kad erdvėje R 3 pasirinkta dešinioji Dekarto sistema stačiakampės koordinatės {0, i, j, k}.
Vektorinis meno kūrinys. Vektorinis meno kūrinys Aį vektorių b vadinamas vektoriumi c, kuris nustatomas pagal šias tris sąlygas:
1. Vektoriaus ilgis c skaitine prasme lygi lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, plotui a Ir b, t.y.
c=
|a||b| nuodėmė ( a^b).
2. Vektorius c statmenai kiekvienam vektoriui a Ir b.
3. Vektoriai a, b Ir c, paimti nurodyta tvarka, sudaro dešinįjį trigubą.
Už vektorinis produktas cįvedamas pavadinimas c =[ab] arba
c = a
× b.
Jei vektoriai a Ir b yra kolineariniai, tada sin( a^b) = 0 ir [ ab] = 0, ypač [ aa] = 0. Vienetinių vektorių vektorinės sandaugos: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.
Jei vektoriai a Ir b nurodyta pagrinde i, j, k koordinates a(1, 2, 3), b(b 1, b 2, b 3), tada
Mišrus gabalas. Jei dviejų vektorių vektorinė sandauga A Ir b skaliariai padauginta iš trečiojo vektoriaus c, tada tokia trijų vektorių sandauga vadinama mišrus darbas ir yra pažymėtas simboliu a b c.
Jei vektoriai a, b Ir c pagrinde i, j, k pateiktos pagal jų koordinates
a(1, 2, 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), tada
.
Mišrus sandauga turi paprastą geometrinį aiškinimą – tai skaliaras, absoliučia verte lygus gretasienio, pastatyto ant trijų duotųjų vektorių, tūriui.
Jei vektoriai sudaro dešinįjį trigubą, tada jų mišrusis sandauga yra teigiamas skaičius, lygus nurodytam tūriui; jei tai trejetas a, b, c - tada paliko a b c<0 и V = - a b c, todėl V =|a b c|.
Laikoma, kad vektorių, su kuriais susiduriama pirmojo skyriaus uždaviniuose, koordinatės pateiktos teisingo ortonormalaus pagrindo atžvilgiu. Vieneto vektorius kartu su vektoriumi A, pažymėtas simboliu A O. Simbolis r=OMžymimas taško M spindulio vektoriumi, simboliais a, AB arba|a|, | AB|žymimi vektorių moduliai A Ir AB.
Pavyzdys 1.2. Raskite kampą tarp vektorių a= 2m+4n Ir b= m-n, Kur m Ir n- vienetų vektoriai ir kampas tarp m Ir n lygus 120 o.
Sprendimas. Mes turime: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4 + 2cos120 o = - 2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, vadinasi, a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 =
1-2(-0,5)+1 = 3, o tai reiškia, kad b = . Pagaliau turime: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.
1.3 pavyzdys.Žinant vektorius AB(-3,-2,6) ir B.C.(-2,4,4),apskaičiuokite trikampio ABC aukščio AD ilgį.
Sprendimas. Trikampio ABC plotą pažymėdami S, gauname:
S = 1/2 pr. Kr. Tada AD=2S/BC, BC= = 
= 6,
S = 1/2| AB ×AC|.
AC=AB+BC, o tai reiškia vektorių A.C. turi koordinates
.
.
Pavyzdys 1.4 . Pateikti du vektoriai a(11,10,2) ir b(4,0,3). Rasti vieneto vektorius c, statmenas vektoriams a Ir b ir nukreiptas taip, kad sutvarkytas vektorių trigubas a, b, c buvo teisus.
Sprendimas.Pažymime vektoriaus koordinates c atsižvelgiant į duotą teisingą ortonormalų pagrindą x, y, z atžvilgiu.
Kadangi c ⊥ a, c ⊥b, Tai apytiksliai= 0,cb= 0. Pagal uždavinio sąlygas reikia, kad c = 1 ir a b c >0.
Mes turime lygčių sistemą, skirtą rasti x, y, z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.
Iš pirmosios ir antrosios sistemos lygčių gauname z = -4/3 x, y = -5/6 x. Pakeitę y ir z į trečiąją lygtį, gauname: x 2 = 36/125, iš kur
x =±
. Naudojant sąlygą a b c > 0, gauname nelygybę
Atsižvelgdami į z ir y išraiškas, gautą nelygybę perrašome į formą: 625/6 x > 0, o tai reiškia, kad x>0. Taigi, x = , y = - , z =- .
Apibrėžimas. Vektoriaus a (daugybinė) ir nekolinearinio vektoriaus (daugybinė) vektorinė sandauga yra trečiasis vektorius c (sandarinys), sudarytas taip:
1) jo modulis yra skaitinis lygus plotui lygiagretainis pav. 155), paremtas vektoriais, ty tai lygi krypčiai statmena minėto lygiagretainio plokštumai;
3) šiuo atveju pasirenkama vektoriaus c kryptis (iš dviejų galimų), kad vektoriai c būtų teisinga sistema(§ 110).
Pavadinimas: arba
Apibrėžimo papildymas. Jei vektoriai yra kolinearūs, tai laikant figūrą (sąlygiškai) lygiagretainiu, natūralu priskirti nulinį plotą. Todėl kolinearinių vektorių vektorinė sandauga laikoma lygia nuliniam vektoriui.
Kadangi nuliniam vektoriui gali būti priskirta bet kokia kryptis, šis susitarimas neprieštarauja apibrėžimo 2 ir 3 dalims.
1 pastaba. Sąvokoje „vektorinis sandauga“ pirmasis žodis nurodo, kad veiksmo rezultatas yra vektorius (priešingai nei skaliarinė sandauga; plg. § 104, 1 pastaba).
1 pavyzdys. Raskite vektorinę sandaugą, kurioje yra pagrindiniai dešiniosios koordinačių sistemos vektoriai (156 pav.).
1. Kadangi pagrindinių vektorių ilgiai lygūs vienam mastelio vienetui, lygiagretainio (kvadrato) plotas skaitine prasme lygus vienetui. Tai reiškia, kad vektorinės sandaugos modulis lygus vienam.
2. Kadangi statmena plokštumai yra ašis, norima vektorinė sandauga yra vektorius, kolinearinis vektoriui k; ir kadangi jie abu turi 1 modulį, norima vektorinė sandauga yra lygi arba k, arba -k.
3. Iš šių dviejų galimų vektorių reikia pasirinkti pirmąjį, nes vektoriai k sudaro dešiniarankę sistemą (o vektoriai – kairiarankę).
2 pavyzdys. Raskite kryžminį sandaugą
Sprendimas. Kaip ir 1 pavyzdyje, darome išvadą, kad vektorius yra lygus k arba -k. Bet dabar turime pasirinkti -k, nes vektoriai sudaro dešiniarankę sistemą (o vektoriai sudaro kairiarankę). Taigi,
3 pavyzdys. Vektoriai turi atitinkamai 80 ir 50 cm ilgius ir sudaro 30° kampą. Laikydami metrą kaip ilgio vienetą, raskite vektorinės sandaugos a ilgį
Sprendimas. Ant vektorių pastatyto lygiagretainio plotas lygus Norimos vektorinės sandaugos ilgis lygus
4 pavyzdys. Raskite tų pačių vektorių vektorinės sandaugos ilgį, ilgio vienetu imant centimetrus.
Sprendimas. Kadangi ant vektorių sudaryto lygiagretainio plotas yra lygus, vektorinės sandaugos ilgis lygus 2000 cm, t.y.
Palyginus 3 ir 4 pavyzdžius, aišku, kad vektoriaus ilgis priklauso ne tik nuo faktorių ilgių, bet ir nuo ilgio vieneto pasirinkimo.
Fizinė vektorinės sandaugos reikšmė. Iš daugelio fiziniai kiekiai, pavaizduotas vektorine sandauga, atsižvelgiame tik į jėgos momentą.
Tegul A yra jėgos taikymo taškas. Jėgos momentas taško O atžvilgiu vadinamas vektorine sandauga. Kadangi šios vektorinės sandaugos modulis yra lygus lygiagretainio plotui, tada momento modulis yra lygus pagrindo ir aukščio sandaugai, ty jėgos, padaugintos iš atstumo nuo taško O iki tiesės, išilgai kurios veikia jėga.
Mechanikoje įrodyta, kad pusiausvyrai kietas Būtina, kad ne tik vektorių, vaizduojančių kūną veikiančias jėgas, suma būtų lygi nuliui, bet ir jėgų momentų suma. Tuo atveju, kai visos jėgos yra lygiagrečios vienai plokštumai, vektorių, vaizduojančių momentus, pridėjimą galima pakeisti jų dydžių sudėjimu ir atėmimu. Tačiau savavališkomis jėgų kryptimis toks pakeitimas neįmanomas. Atsižvelgiant į tai, vektorinė sandauga tiksliai apibrėžiama kaip vektorius, o ne kaip skaičius.
Pagaliau gavau į rankas šią plačią ir ilgai lauktą temą. analitinė geometrija . Pirmiausia šiek tiek apie šį skyrių aukštoji matematika…. Tikrai dabar prisimenate mokyklos geometrijos kursą su daugybe teoremų, jų įrodymų, brėžinių ir kt. Ką slėpti, nemylimas ir dažnai neaiškus dalykas nemenkai daliai mokinių. Kaip bebūtų keista, analitinė geometrija gali atrodyti įdomesnė ir prieinamesnė. Ką reiškia būdvardis „analitinis“? Iš karto į galvą ateina dvi klišinės matematinės frazės: „grafinis sprendimo būdas“ ir „ analitinis metodas sprendimai“. Grafinis metodas , žinoma, yra susijęs su grafikų ir brėžinių konstravimu. Analitinis arba metodas apima problemų sprendimą daugiausia per algebrinės operacijos. Šiuo atžvilgiu beveik visų analitinės geometrijos problemų sprendimo algoritmas yra paprastas ir skaidrus, jį dažnai pakanka atidžiai taikyti reikalingos formulės- ir atsakymas paruoštas! Ne, žinoma, tai nebus įmanoma padaryti be brėžinių, be to, kad geriau suprasčiau medžiagą, pabandysiu juos pacituoti be reikalo.
Naujai atidarytas geometrijos pamokų kursas nepretenduoja į teorinį užbaigimą, jis orientuotas į praktinių uždavinių sprendimą. Į savo paskaitas įtrauksiu tik tai, kas, mano požiūriu, yra svarbu praktiškai. Jei jums reikia išsamesnės pagalbos dėl bet kurio poskyrio, rekomenduoju šią gana prieinamą literatūrą:
1) Dalykas, kurį, ne juokai, žino kelios kartos: Mokyklinis geometrijos vadovėlis, autoriai – L.S. Atanasjanas ir kompanija. Ši mokyklos rūbinės kabykla jau praėjo 20 (!) pakartotinių spaudinių, o tai, žinoma, nėra riba.
2) Geometrija 2 tomuose. Autoriai L.S. Atanasjanas, Bazilevas V.T.. Tai skirta literatūra vidurinę mokyklą, jums prireiks pirmasis tomas. Retai pasitaikančios užduotys gali iškristi iš mano akiračio, ir mokymo vadovas suteiks neįkainojamą pagalbą.
Abi knygas galima nemokamai atsisiųsti internetu. Be to, galite naudoti mano archyvą su paruoštus sprendimus, kurį galite rasti puslapyje Atsisiųskite aukštosios matematikos pavyzdžius.
Tarp įrankių vėl siūlau savo tobulėjimą - programinės įrangos paketą analitinėje geometrijoje, kuri labai supaprastins gyvenimą ir sutaupys daug laiko.
Daroma prielaida, kad skaitytojas yra susipažinęs su pagrindiniais dalykais geometrinės sąvokos ir figūros: taškas, tiesė, plokštuma, trikampis, lygiagretainis, gretasienis, kubas ir kt. Patartina prisiminti kai kurias teoremas, bent jau Pitagoro teoremą, sveiki kartotojai)
O dabar svarstysime nuosekliai: vektoriaus sąvoką, veiksmus su vektoriais, vektorių koordinates. Rekomenduoju skaityti toliau svarbiausias straipsnis Taškinė vektorių sandauga, ir taip pat Vektorius ir vektorių mišrus sandauga. Vietinė užduotis - šiuo atžvilgiu segmento padalijimas - taip pat nebus nereikalinga. Remdamiesi aukščiau pateikta informacija, galite įvaldyti tiesės lygtis plokštumoje Su paprasčiausi sprendimų pavyzdžiai, kuris leis išmokti spręsti geometrijos uždavinius. Taip pat naudingi šie straipsniai: Plokštumos erdvėje lygtis, Tiesės lygtys erdvėje, Pagrindiniai tiesės ir plokštumos uždaviniai, kiti analitinės geometrijos pjūviai. Natūralu, kad pakeliui bus svarstomos standartinės užduotys.
Vektorinė koncepcija. Nemokamas vektorius
Pirmiausia pakartokime mokyklinį vektoriaus apibrėžimą. Vektorius paskambino nukreiptas segmentas, kurio pradžia ir pabaiga nurodyta:
IN šiuo atveju atkarpos pradžia yra taškas, atkarpos pabaiga yra taškas. Pats vektorius žymimas . Kryptis yra būtina, jei perkelsite rodyklę į kitą segmento galą, gausite vektorių, ir tai jau yra visiškai kitoks vektorius. Vektoriaus sąvoka patogiai tapatinama su judesiu fizinis kūnas: Sutikite, įeiti pro instituto duris ar išeiti iš instituto durų yra visiškai skirtingi dalykai.
Atskirus plokštumos ar erdvės taškus patogu laikyti vadinamaisiais nulinis vektorius. Tokiam vektoriui pabaiga ir pradžia sutampa.
!!! Pastaba: Čia ir toliau galima daryti prielaidą, kad vektoriai yra toje pačioje plokštumoje arba galima daryti prielaidą, kad jie yra erdvėje – pateiktos medžiagos esmė galioja ir plokštumai, ir erdvei.
Pavadinimai: Daugelis iš karto pastebėjo lazdą be rodyklės pavadinime ir pasakė: viršuje taip pat yra rodyklė! Tiesa, galima parašyti rodykle: , bet galima ir įrašas, kurį naudosiu ateityje. Kodėl? Matyt, toks įprotis susiformavo dėl praktinių priežasčių, mano šauliai mokykloje ir universitete pasirodė per daug įvairaus dydžio ir apšiurę. IN mokomoji literatūra kartais jie visai nesivargina su dantiraščiu, o paryškina raides pusjuodžiu šriftu: , tai reiškia, kad tai vektorius.
Tai buvo stilistika, o dabar apie vektorių rašymo būdus:
1) Vektorius galima parašyti dviem didžiosiomis lotyniškomis raidėmis: 
ir taip toliau. Šiuo atveju pirmoji raidė Būtinaižymi vektoriaus pradžios tašką, o antra raidė – vektoriaus galinį tašką.
2) Vektoriai taip pat rašomi mažomis lotyniškomis raidėmis:
Visų pirma, siekiant trumpumo, mūsų vektorius gali būti perskirtas kaip mažas lotyniška raidė.
Ilgis arba modulis Ne nulinis vektorius vadinamas atkarpos ilgiu. Nulinio vektoriaus ilgis lygus nuliui. Logiška.
Vektoriaus ilgis rodomas modulio ženklu: ,
Kaip rasti vektoriaus ilgį (arba pakartosime, priklausomai nuo kieno) išmoksime kiek vėliau.
Jie buvo pagrindinė informacija apie vektorių, pažįstamą visiems moksleiviams. Analitinėje geometrijoje vadinamasis nemokamas vektorius.
Paprasčiau tariant - vektorius gali būti brėžiamas iš bet kurio taško:
Esame įpratę tokius vektorius vadinti lygiais (lygių vektorių apibrėžimas bus pateiktas žemiau), bet grynai nuo matematinis taškas vaizdas yra TAS PATS VEKTORIAUS arba nemokamas vektorius. Kodėl nemokamai? Nes spręsdami uždavinius galite tą ar kitą vektorių „pritvirtinti“ prie BET KURIOS jums reikalingos plokštumos ar erdvės taško. Tai labai šauni funkcija! Įsivaizduokite savavališko ilgio ir krypties vektorių - jį galima „klonuoti“ begalinis skaičius kartų ir bet kuriame erdvės taške, iš tikrųjų jis egzistuoja VISUR. Yra toks studentų posakis: Kiekvienas dėstytojas velniasi apie vektorių. Galų gale, tai ne tik šmaikštus rimas, viskas matematiškai teisinga - vektorių galima pritvirtinti ir ten. Bet neskubėkite džiaugtis, dažnai kenčia patys studentai =)
Taigi, nemokamas vektorius- Tai daug identiški nukreipti segmentai. Mokyklos apibrėžimas pastraipos pradžioje pateiktas vektorius: „Nukreipta atkarpa vadinama vektoriumi...“ reiškia specifinis nukreipta atkarpa, paimta iš tam tikros aibės, susieta su konkrečiu plokštumos ar erdvės tašku.
Reikėtų pažymėti, kad fizikos požiūriu laisvojo vektoriaus samprata yra bendras atvejis yra neteisingas, o vektoriaus taikymo taškas yra svarbus. Tiesą sakant, tiesioginis tos pačios jėgos smūgis į nosį ar kaktą, kurio pakanka, kad išvystyčiau mano kvailą pavyzdį, sukelia skirtingas pasekmes. Tačiau nelaisvas vektoriai randami ir vyshmat eigoje (neik ten :)).
Veiksmai su vektoriais. Vektorių kolineariškumas
IN mokyklos kursas geometrija, atsižvelgiama į daugybę veiksmų ir taisyklių su vektoriais: sudėjimas pagal trikampio taisyklę, sudėjimas pagal lygiagretainio taisyklę, vektoriaus skirtumo taisyklė, vektoriaus dauginimas iš skaičiaus, taškinis produktas vektoriai ir kt. Iš pradžių pakartokime dvi taisykles, kurios ypač aktualios sprendžiant analitinės geometrijos uždavinius.
Vektorių pridėjimo taisyklė naudojant trikampio taisyklę
Apsvarstykite du savavališkus nulinius vektorius ir: 
Turite rasti šių vektorių sumą. Atsižvelgiant į tai, kad visi vektoriai laikomi laisvaisiais, vektorių atidedame nuo pabaiga vektorius: 
Vektorių suma yra vektorius. Norint geriau suprasti taisyklę, patartina įtraukti fizinę reikšmę: tegul koks nors kūnas keliauja vektoriumi, o paskui vektoriumi. Tada vektorių suma yra gauto kelio vektorius, kurio pradžia yra išvykimo taške, o pabaiga - atvykimo taške. Panaši taisyklė suformuluota bet kokio vektorių skaičiaus sumai. Kaip sakoma, kūnas gali eiti labai palinkęs zigzagu, o gal ir autopilotu – pagal gautą sumos vektorių.
Beje, jei vektorius atidėtas nuo prasidėjo vektorius, tada gauname ekvivalentą lygiagretainio taisyklė vektorių pridėjimas.
Pirma, apie vektorių kolineariškumą. Du vektoriai vadinami kolinearinis, jei jie yra toje pačioje linijoje arba lygiagrečiose tiesėse. Grubiai tariant, mes kalbame apie lygiagrečius vektorius. Tačiau jų atžvilgiu visada vartojamas būdvardis „kolinearinis“.
Įsivaizduokite du kolinearinius vektorius. Jei šių vektorių rodyklės nukreiptos ta pačia kryptimi, tai tokie vektoriai vadinami bendrai režisavo. Jei rodyklės nukreiptos link skirtingos pusės, tada vektoriai bus priešingomis kryptimis.
Pavadinimai: vektorių kolineariškumas rašomas įprastu lygiagretumo simboliu: , tuo tarpu galima detalizuoti: (vektoriai nukreipti kartu) arba (vektoriai nukreipti priešingai).
Darbas ne nulinis vektorius skaičius yra vektorius, kurio ilgis yra lygus , Ir vektoriai ir yra kartu nukreipti ir priešingai nukreipti į .
Vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklę lengviau suprasti naudojant paveikslėlį: 
Pažvelkime į tai išsamiau:
1) Kryptis. Jei daugiklis yra neigiamas, tada vektorius keičia kryptįį priešingą.
2) Ilgis. Jei daugiklis yra viduje arba , tada vektoriaus ilgis mažėja. Taigi, vektoriaus ilgis yra pusė vektoriaus ilgio. Jei daugiklio modulis yra didesnis už vieną, tada vektoriaus ilgis didėja kartais.
3) Atkreipkite dėmesį į tai visi vektoriai yra kolineariniai, o vienas vektorius išreiškiamas per kitą, pavyzdžiui, . Ir atvirkščiai: jei vienas vektorius gali būti išreikštas per kitą, tai tokie vektoriai būtinai yra kolineariniai. Taigi: jei vektorių padauginsime iš skaičiaus, gausime kolinearinį(palyginti su originalu) vektorius.
4) vektoriai yra nukreipti kartu. Vektoriai ir taip pat yra bendrai režisuojami. Bet kuris pirmosios grupės vektorius yra priešingas bet kurio antrosios grupės vektoriui.
Kurie vektoriai yra lygūs?
Du vektoriai yra lygūs, jei jie yra ta pačia kryptimi ir yra vienodo ilgio. Atkreipkite dėmesį, kad kryptingumas reiškia vektorių kolineariškumą. Apibrėžimas būtų netikslus (perteklinis), jei sakytume: „Du vektoriai yra lygūs, jei jie yra kolinearūs, bendros krypties ir vienodo ilgio“.
Laisvo vektoriaus sampratos požiūriu, lygūs vektoriai– tai tas pats vektorius, kuris jau buvo aptartas ankstesnėje pastraipoje.
Vektorinės koordinatės plokštumoje ir erdvėje
Pirmiausia reikia atsižvelgti į vektorius plokštumoje. Pavaizduokime Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą ir pavaizduokime ją nuo koordinačių pradžios viengungis vektoriai ir:
Vektoriai ir stačiakampis. Stačiakampis = statmenas. Rekomenduoju pamažu priprasti prie terminų: vietoj lygiagretumo ir statmenumo atitinkamai vartojame žodžius kolineariškumas Ir ortogonalumą.
Pavadinimas: Vektorių ortogonalumas rašomas įprastu statmenumo simboliu, pavyzdžiui: .
Nagrinėjami vektoriai vadinami koordinačių vektoriai arba orts. Šie vektoriai susidaro pagrindu lėktuve. Kas yra pagrindas, manau, daug kam intuityviai aišku išsamią informaciją galima rasti straipsnyje Tiesinė (ne) vektorių priklausomybė. Vektorių pagrindas Paprastais žodžiais tariant, koordinačių pagrindas ir kilmė apibrėžia visą sistemą – tai savotiškas pamatas, ant kurio verda pilnavertis ir turtingas geometrinis gyvenimas.
Kartais vadinamas konstruojamas pagrindas ortonormalus plokštumos pagrindas: „orto“ – kadangi koordinačių vektoriai yra stačiakampiai, būdvardis „normalizuotas“ reiškia vienetą, t.y. bazinių vektorių ilgiai lygūs vienetui.
Pavadinimas: paprastai rašomas pagrindas skliausteliuose, kurio viduje V griežta seka pateikiami baziniai vektoriai, pvz.: . Koordinačių vektoriai tai draudžiama pertvarkyti.
Bet koks plokštumos vektorius vienintelis būdas išreikštas kaip: 
, kur - numeriai kurie vadinami vektoriaus koordinates V šiuo pagrindu. Ir pati išraiška 
paskambino vektoriaus skaidymaspagal pagrindą .
Patiekiama vakarienė:
Pradėkime nuo pirmosios abėcėlės raidės: . Brėžinyje aiškiai matyti, kad skaidant vektorių į pagrindą, naudojami ką tik aptarti:
1) vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklė: ir ;
2) vektorių sudėjimas pagal trikampio taisyklę: .
Dabar mintyse nubraižykite vektorių iš bet kurio kito plokštumos taško. Visiškai akivaizdu, kad jo irimas „negailestingai seks jį“. Štai vektoriaus laisvė – vektorius „viską neša su savimi“. Ši savybė, žinoma, galioja bet kuriam vektoriui. Juokinga, kad patys baziniai (laisvieji) vektoriai neturi būti braižyti iš pradžios, pavyzdžiui, vieną galima nubraižyti apačioje kairėje, o kitą – viršuje dešinėje, ir niekas nepasikeis! Tiesa, to daryti nereikia, nes mokytojas taip pat parodys originalumą ir ištrauks jums „kreditą“ netikėtoje vietoje.
Vektoriai tiksliai iliustruoja vektoriaus dauginimo iš skaičiaus taisyklę, vektorius yra kartu su baziniu vektoriumi, vektorius nukreiptas priešais bazinį vektorių. Šių vektorių viena iš koordinačių yra lygi nuliui, galite ją kruopščiai parašyti taip:
O baziniai vektoriai, beje, yra tokie: (iš tikrųjų jie išreiškiami per save).
Ir galiausiai: , . Beje, kas yra vektorinė atimtis, ir kodėl aš nekalbėjau apie atimties taisyklę? Kažkur viduje tiesinė algebra, nepamenu kur, pažymėjau, kad atimtis yra ypatingas atvejis papildymas. Taigi vektorių „de“ ir „e“ išplėtimai lengvai užrašomi kaip suma: , 
. Pertvarkykite terminus ir pažiūrėkite brėžinyje, kaip šiose situacijose veikia senas geras vektorių pridėjimas pagal trikampio taisyklę.
Svarstomas formos skaidymas 
kartais vadinamas vektoriniu skaidymu ort sistemoje(t.y. vienetų vektorių sistemoje). Tačiau tai nėra vienintelis būdas rašyti vektorių, įprasta:
Arba su lygybės ženklu:
Patys baziniai vektoriai užrašomi taip: ir
Tai yra, vektoriaus koordinatės nurodytos skliausteliuose. IN praktines problemas Naudojamos visos trys įrašymo parinktys.
Suabejojau, ar kalbėti, bet vis tiek pasakysiu: vektorių koordinačių negalima pertvarkyti. Griežtai pirmoje vietoje užrašome koordinatę, atitinkančią vieneto vektorių, griežtai antroje vietoje užrašome koordinatę, atitinkančią vieneto vektorių. Iš tiesų, ir yra du skirtingi vektoriai.
Lėktuve išsiaiškinome koordinates. Dabar pažiūrėkime į vektorius trimatėje erdvėje, čia beveik viskas tas pats! Tai tik pridės dar vieną koordinatę. Sunku daryti trimačius brėžinius, todėl apsiribosiu vienu vektoriumi, kurį paprastumo dėlei išskirsiu nuo kilmės: 
Bet koks vektorius trimatė erdvė Gali vienintelis būdas
išplėsti ortonormaliu pagrindu: 
, kur yra šio pagrindo vektoriaus (skaičiaus) koordinatės.
Pavyzdys iš paveikslėlio: 
. Pažiūrėkime, kaip čia veikia vektoriaus taisyklės. Pirma, vektorių padauginkite iš skaičiaus: (raudona rodyklė), (žalia rodyklė) ir (avietinė rodyklė). Antra, čia yra kelių pridėjimo pavyzdys trijų atvejų, vektoriai: . Sumos vektorius prasideda pradiniame išvykimo taške (vektoriaus pradžioje) ir baigiasi galutiniame atvykimo taške (vektoriaus pabaigoje).
Visi trimatės erdvės vektoriai, žinoma, taip pat yra laisvi, pabandykite mintyse atidėti vektorių nuo bet kurio kito taško, ir jūs suprasite, kad jo skilimas „liks su juo“.
Panašus į plokščią dėklą, be rašymo 
plačiai naudojamos versijos su skliaustais: arba .
Jei išplėtime trūksta vieno (arba dviejų) koordinačių vektorių, jų vietoje dedami nuliai. Pavyzdžiai:
vektorius (skrupulingai 
) – rašykime ;
vektorius (skrupulingai 
) – rašykime ;
vektorius (skrupulingai 
) – rašykime.
Baziniai vektoriai užrašomi taip:
Tai turbūt ir viskas minimum teorinių žinių, reikalingas sprendžiant analitinės geometrijos uždavinius. Gali būti daug terminų ir apibrėžimų, todėl rekomenduoju manekenams dar kartą perskaityti ir suprasti šią informaciją vėl. Ir tai bus naudinga kiekvienam skaitytojui pagrindinė pamoka geresniam medžiagos įsisavinimui. Kolineariškumas, ortogonalumas, ortonormalus pagrindas, vektorių skaidymas – šios ir kitos sąvokos bus dažnai vartojamos ateityje. Norėčiau pastebėti, kad svetainės medžiagos nepakanka norint išlaikyti teorinį testą ar geometrijos koliokviumą, nes aš kruopščiai šifruoju visas teoremas (ir be įrodymų) - tai kenkia mokslinis stilius pristatymas, bet privalumas jūsų supratimui apie temą. Norėdami gauti išsamios teorinės informacijos, nusilenkite profesoriui Atanasyanui.
Ir pereiname prie praktinės dalies:
Paprasčiausi analitinės geometrijos uždaviniai.
Veiksmai su vektoriais koordinatėse
Labai patartina išmokti spręsti užduotis, kurios bus svarstomos visiškai automatiškai, ir formules įsiminti, net konkrečiai neprisimena, jie patys atsimins =) Tai labai svarbu, nes paprasčiausiai elementarių pavyzdžių kitos analitinės geometrijos problemos yra pagrįstos, ir tai bus nemalonu išleisti papildomo laiko už pėstininkų valgymą. Nereikia užsisegti viršutinių marškinių sagų, daug dalykų žinote iš mokyklos laikų.
Medžiagos pristatymas vyks lygiagrečiai – tiek plokštumai, tiek erdvei. Dėl to, kad visos formulės... pamatysite patys.
Kaip rasti vektorių iš dviejų taškų?
Jei du plokštumos taškai ir yra pateikti, tada vektorius turi šias koordinates: 
Jei du taškai erdvėje yra pateikti, vektorius turi šias koordinates:
tai yra nuo vektoriaus galo koordinačių reikia atimti atitinkamas koordinates vektoriaus pradžia.
Pratimas: Tiems patiems taškams surašykite vektoriaus koordinačių radimo formules. Formulės pamokos pabaigoje.
1 pavyzdys
Atsižvelgiant į du plokštumos taškus ir . Raskite vektorių koordinates
Sprendimas: Autorius atitinkama formulė:
Arba galima naudoti šį įrašą:
Estetai nuspręs taip:
Asmeniškai aš pripratau prie pirmosios įrašo versijos.
Atsakymas:
Pagal sąlygą nereikėjo konstruoti brėžinio (tai būdinga analitinės geometrijos uždaviniams), bet, norėdamas patikslinti kai kuriuos dalykus manekenams, nepatingėsiu: 
Būtinai reikia suprasti skirtumas tarp taško koordinačių ir vektorių koordinačių:
Taško koordinatės yra įprastos koordinatės stačiakampė sistema koordinates Uždėkite taškus koordinačių plokštuma Manau, kad visi tai gali daryti nuo 5-6 klasės. Kiekvienas taškas turi griežtą vietą plokštumoje ir jų niekur negalima perkelti.
Vektoriaus koordinatės– tai yra jo išplėtimas pagal pagrindą, šiuo atveju. Bet kuris vektorius yra laisvas, todėl esant reikalui galime jį nesunkiai atitolinti nuo kurio nors kito plokštumos taško. Įdomu tai, kad vektoriams visai nereikia kurti ašių ar stačiakampės koordinačių sistemos, reikia tik pagrindo, šiuo atveju ortonormalaus plokštumos pagrindo.
Taškų koordinačių ir vektorių koordinačių įrašai atrodo panašūs: , ir koordinačių reikšmė absoliučiai skirtinga, ir jūs turėtumėte gerai žinoti šį skirtumą. Šis skirtumas, žinoma, galioja ir erdvei.
Ponios ir ponai, prikimškime rankas:
2 pavyzdys
a) Skiriami taškai ir. Raskite vektorius ir .
b) Skiriami taškai 
Ir . Raskite vektorius ir .
c) Skiriami taškai ir. Raskite vektorius ir .
d) Skiriami taškai. Raskite vektorius 
.
Galbūt to užtenka. Tai yra pavyzdžiai savarankiškas sprendimas, pasistenk jų neapleisti, tai atsipirks ;-). Nereikia daryti brėžinių. Sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.
Kas svarbu sprendžiant analitinės geometrijos uždavinius? Svarbu būti YPAČ ATSARGIAI, kad nepadarytumėte meistriškos klaidos „du plius du lygu nuliui“. Iš karto atsiprašau, jei kur nors suklydau =)
Kaip sužinoti atkarpos ilgį?
Ilgis, kaip jau minėta, nurodomas modulio ženklu.
Jei du plokštumos taškai pateikti ir , tada atkarpos ilgį galima apskaičiuoti pagal formulę
Jei du taškai erdvėje yra pateikti, tada atkarpos ilgį galima apskaičiuoti naudojant formulę
Pastaba: Formulės išliks teisingos, jei atitinkamos koordinatės bus pakeistos: ir , tačiau pirmoji parinktis yra labiau standartinė
3 pavyzdys
Sprendimas: pagal atitinkamą formulę:
Atsakymas: 
Aiškumo dėlei padarysiu piešinį 
Segmentas – tai ne vektorius, ir, žinoma, jo niekur negalite perkelti. Be to, jei piešiate pagal mastelį: 1 vnt. = 1 cm (dvi bloknoto langeliai), tada gautą atsakymą galima patikrinti įprasta liniuote, tiesiogiai išmatuojant atkarpos ilgį.
Taip, sprendimas trumpas, bet jame yra dar pora svarbius punktus Norėčiau patikslinti:
Pirma, atsakyme pateikiame matmenį: „vienetai“. Sąlyga nenurodo, KAS tai yra, milimetrai, centimetrai, metrai ar kilometrai. Todėl matematiškai teisingas sprendimas būtų bendra formuluotė: „vienetai“ - sutrumpinta kaip „vienetai“.
Antra, pakartokime mokyklinę medžiagą, kuri naudinga ne tik atliekant nagrinėjamą užduotį:
Atkreipkite dėmesį svarbi technika – išimant daugiklį iš po šaknies. Skaičiuodami turime rezultatą, o geras matematinis stilius apima veiksnio pašalinimą iš šaknies (jei įmanoma). Išsamiau procesas atrodo taip: 
. Žinoma, palikti atsakymą tokį, koks yra, nebūtų klaida – bet tai tikrai būtų trūkumas ir svarus argumentas dėl mokytojo klegesio.
Štai kiti dažni atvejai: 
Dažnai užtenka prie šaknies didelis skaičius, Pavyzdžiui. Ką daryti tokiais atvejais? Skaičiuoklės pagalba patikriname, ar skaičius dalijasi iš 4: . Taip, jis buvo visiškai padalintas taip: 
. O gal skaičių vėl galima padalyti iš 4? . Taigi: 
. Prie numerio paskutinis skaitmuo nelyginis, todėl trečią kartą dalinti iš 4, aišku, nepavyks. Pabandykime padalinti iš devynių: . Dėl to:
Paruošta.
Išvada: jei po šaknimis gauname skaičių, kurio negalima išgauti kaip visumos, tada bandome pašalinti koeficientą iš po šaknies - skaičiuotuvu patikriname, ar skaičius dalijasi iš: 4, 9, 16, 25, 36, 49 ir kt.
Sprendimo metu įvairios užduotysšaknys yra dažnos, visada stenkitės ištraukti veiksnius iš po šaknies, kad išvengtumėte žemesnio pažymio ir nereikalingų problemų baigiant sprendimus pagal mokytojo pastabas.
Taip pat pakartokime šaknų kvadratą ir kitas galias: 
Veiksmų su laipsniais taisyklės bendras vaizdas galima rasti mokyklinis vadovėlis algebroje, bet manau iš pateiktų pavyzdžių viskas arba beveik viskas jau aišku.
Užduotis savarankiškam sprendimui su segmentu erdvėje:
4 pavyzdys
Taškai ir skiriami. Raskite atkarpos ilgį.
Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.
Kaip sužinoti vektoriaus ilgį?
Jei duotas plokštumos vektorius, tada jo ilgis apskaičiuojamas pagal formulę.
Jei duotas erdvės vektorius, tai jo ilgis apskaičiuojamas pagal formulę 
.
Vieneto vektorius- Tai vektorius, absoliuti vertė(modulis) iš kurių lygus vienetui. Vieneto vektoriui žymėti naudosime indeksą e. Taigi, jei pateikiamas vektorius A, tada jo vieneto vektorius bus vektorius A e. Šis vieneto vektorius nukreiptas ta pačia kryptimi kaip ir pats vektorius A, o jo modulis lygus vienetui, tai yra, a e = 1.
Akivaizdu, A= a A e (a - vektorinis modulis A). Tai išplaukia iš taisyklės, pagal kurią atliekama skaliaro padauginimo iš vektoriaus operacija.
Vienetų vektoriai dažnai siejama su koordinačių sistemos koordinačių ašimis (ypač su Dekarto koordinačių sistemos ašimis). Šių kryptys vektoriai sutampa su atitinkamų ašių kryptimis, o jų ištakos dažnai derinamos su koordinačių sistemos pradžia.
Leiskite jums tai priminti Dekarto koordinačių sistema erdvėje tradiciškai vadinama viena kitai statmenų ašių, susikertančių taške, vadinamame koordinačių pradžia, trijulė. Koordinačių ašys paprastai žymimi raidėmis X, Y, Z ir atitinkamai vadinamos abscisių ašimi, ordinačių ašimi ir aplikacine ašimi. Pats Dekartas naudojo tik vieną ašį, ant kurios buvo nubraižytos abscisės. Naudojimo nuopelnas sistemos kirviai priklauso jo mokiniams. Todėl frazė Dekarto koordinačių sistema istoriškai neteisingas. Geriau pasikalbėti stačiakampis koordinačių sistema arba stačiakampė koordinačių sistema. Tačiau tradicijų nekeisime ir ateityje manysime, kad Dekarto ir stačiakampės (stačiakampės) koordinačių sistemos yra viena ir ta pati.
Vieneto vektorius, nukreiptas išilgai X ašies, žymimas i, vieneto vektorius, nukreiptas išilgai Y ašies, žymimas j, A vieneto vektorius, nukreiptas išilgai Z ašies, žymimas k. Vektoriai i, j, k yra vadinami orts(12 pav., kairėje), jie turi pavienius modulius, t
i = 1, j = 1, k = 1.
Kirviai ir vienetiniai vektoriai stačiakampė koordinačių sistema kai kuriais atvejais jie turi skirtingus pavadinimus ir pavadinimus. Taigi abscisių ašis X gali būti vadinama liestinės ašimi, o jos vieneto vektorius žymimas τ (graikų mažoji raidė tau), ordinačių ašis yra normalioji ašis, žymimas jos vienetas n, taikomoji ašis yra binormali ašis, pažymėtas jos vieneto vektorius b. Kam keisti vardus, jei esmė išlieka ta pati?
Faktas yra tas, kad, pavyzdžiui, mechanikoje, tiriant kūnų judėjimą, labai dažnai naudojama stačiakampė koordinačių sistema. Taigi, jei pati koordinačių sistema yra stacionari ir šioje stacionarioje sistemoje stebimas judančio objekto koordinačių pokytis, tada paprastai ašys žymimos X, Y, Z ir jų vienetiniai vektoriai atitinkamai i, j, k.
Tačiau dažnai, kai objektas juda išilgai kreivinė trajektorija(pavyzdžiui, ratu) gali būti patogiau apsvarstyti mechaniniai procesai su šiuo objektu judančioje koordinačių sistemoje. Būtent tokiai judančiajai koordinačių sistemai naudojami kiti ašių pavadinimai ir jų vienetų vektoriai. Tiesiog yra taip, kaip yra. Šiuo atveju X ašis yra nukreipta tangentiškai į trajektoriją taške, kuriame šiuo metušis objektas yra. Ir tada ši ašis nebevadinama X ašimi, o liestinės ašimi, o jos vieneto vektorius nebėra žymimas i, A τ . Y ašis nukreipta išilgai trajektorijos kreivumo spindulio (judant apskritimu – į apskritimo centrą). O kadangi spindulys yra statmenas liestinei, ašis vadinama normaliąja ašimi (statmena ir normalioji yra tas pats). Šios ašies vieneto vektorius nebėra žymimas j, A n. Trečioji ašis (anksčiau Z) yra statmena ankstesnėms dviem. Tai binormalus su ortu b(12 pav., dešinėje). Beje, šiuo atveju toks stačiakampė koordinačių sistema dažnai vadinamas „natūraliu“ arba natūraliu.
Šiame straipsnyje atidžiau pažvelgsime į dviejų vektorių kryžminės sandaugos sąvoką. Mes duosime būtini apibrėžimai, parašysime vektorinės sandaugos koordinačių radimo formulę, išvardinsime ir pagrįsime jo savybes. Po to apsistosime ties dviejų vektorių vektorinės sandaugos geometrine prasme ir apsvarstysime įvairių tipinių pavyzdžių sprendimus.
Puslapio naršymas.
Kryžminio produkto apibrėžimas.
Prieš apibrėždami vektorinį sandaugą, supraskime sutvarkyto vektorių trigubo orientaciją trimatėje erdvėje.
Nubraižykime vektorius iš vieno taško. Priklausomai nuo vektoriaus krypties, trys gali būti dešinės arba kairės. Pažiūrėkime iš vektoriaus pabaigos, kaip trumpiausias posūkis iš vektoriaus į . Jei trumpiausias sukimas vyksta prieš laikrodžio rodyklę, tada vadinamas vektorių trigubu teisingai, kitaip - paliko.
Dabar paimkime du nekolinearinius vektorius ir . Nubraižykime vektorius ir iš taško A. Sukurkime tam tikrą vektorių, statmeną abiem ir ir . Akivaizdu, kad kurdami vektorių galime padaryti du dalykus, suteikdami jam vieną kryptį arba priešingą (žr. iliustraciją).
Priklausomai nuo vektoriaus krypties, sutvarkytas vektorių tripletas gali būti dešiniarankis arba kairiarankis.
Taip priartėjame prie vektorinio sandaugos apibrėžimo. Jis pateiktas dviem vektoriams, apibrėžtiems trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje.
Apibrėžimas.
Dviejų vektorių kryžminė sandauga ir , nurodytas trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje, vadinamas vektoriumi,
Kryžminis vektorių sandauga žymimas kaip .
Vektorinės sandaugos koordinatės.
Dabar pateikime antrąjį vektorinės sandaugos apibrėžimą, leidžiantį iš koordinačių rasti jo koordinates duoti vektoriai Ir.
Apibrėžimas.
Trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje dviejų vektorių vektorinė sandauga 
Ir 
yra vektorius , kur yra koordinačių vektoriai.
Šis apibrėžimas suteikia mums kryžminį sandaugą koordinačių pavidalu.
Kryžminį sandaugą patogu pavaizduoti kaip determinantą kvadratinė matrica trečia eilė, kurios pirmoji eilutė yra vienetų vektoriai, antroje eilutėje yra vektoriaus koordinatės, o trečioje eilutėje yra vektoriaus koordinatės nurodytoje stačiakampėje koordinačių sistemoje: 
Jei šį determinantą išplečiame į pirmosios eilutės elementus, lygybę gauname iš vektorinės sandaugos apibrėžimo koordinatėmis (jei reikia, žr. straipsnį): 
Reikėtų pažymėti, kad koordinačių forma vektorinis produktas visiškai atitinka šio straipsnio pirmoje pastraipoje pateiktą apibrėžimą. Be to, šie du kryžminio produkto apibrėžimai yra lygiaverčiai. Šio fakto įrodymą galite pamatyti straipsnio pabaigoje pateiktoje knygoje.
Vektorinės sandaugos savybės.
Kadangi vektoriaus sandauga koordinatėmis gali būti pavaizduota kaip matricos determinantas, tai galima lengvai pagrįsti remiantis kryžminio produkto savybės:
Kaip pavyzdį įrodykime vektorinės sandaugos antikomutacinę savybę.
Pagal apibrėžimą 
Ir 
. Žinome, kad matricos determinanto reikšmė yra atvirkštinė, jei sukeičiamos dvi eilutės, todėl 
, kuris įrodo vektoriaus sandaugos antikomutacinę savybę.
Vektorinis produktas – pavyzdžiai ir sprendimai.
Iš esmės yra trijų tipų problemos.
Pirmojo tipo uždaviniuose pateikiami dviejų vektorių ilgiai ir kampas tarp jų ir reikia rasti vektorinės sandaugos ilgį. Šiuo atveju naudojama formulė 
.
Pavyzdys.
Raskite vektorių sandaugos ilgį ir , jei žinomas 
.
Sprendimas.
Iš apibrėžimo žinome, kad vektorių sandaugos ilgis ir yra lygus vektorių ilgių sandaugai ir kampo tarp jų sinusui, todėl 
.
Atsakymas:
.
Antrojo tipo uždaviniai yra susiję su vektorių koordinatėmis, kuriose vektorinio sandauga, jo ilgis ar dar kas nors ieškoma per duotų vektorių koordinates. Ir .
Čia yra daug įvairių variantų. Pavyzdžiui, galima nurodyti ne vektorių ir koordinates, o jų išplėtimus koordinačių vektoriai tipo 
ir , arba vektoriai ir gali būti nurodyti jų pradžios ir pabaigos taškų koordinatėmis.
Pažvelkime į tipiškus pavyzdžius.
Pavyzdys.
Stačiakampėje koordinačių sistemoje pateikti du vektoriai 
. Raskite jų kryžminį produktą.
Sprendimas.
Pagal antrąjį apibrėžimą dviejų vektorių sandauga koordinatėse rašoma taip: 
Mes būtume gavę tą patį rezultatą, jei vektorinė sandauga būtų parašyta determinantu 
Atsakymas:
.
Pavyzdys.
Raskite vektorių sandaugos ilgį ir , kur yra stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos vienetiniai vektoriai.
Sprendimas.
Pirmiausia randame vektorinės sandaugos koordinates 
duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje.
Kadangi vektoriai ir turi atitinkamai koordinates ir (jei reikia, žr. straipsnį vektoriaus koordinates stačiakampėje koordinačių sistemoje), tada pagal antrąjį vektorinės sandaugos apibrėžimą turime 
Tai yra vektorinė sandauga turi koordinates duota sistema koordinates
Vektoriaus sandaugos ilgį randame kaip kvadratinę šaknį iš jo koordinačių kvadratų sumos (šią vektoriaus ilgio formulę gavome skyriuje apie vektoriaus ilgio nustatymą):
Atsakymas:
.
Pavyzdys.
Stačiakampyje Dekarto sistema koordinatės pateiktos trijų taškų koordinatės. Raskite vektorių, kuris yra statmenas ir tuo pačiu metu.
Sprendimas.
Vektoriai ir turi koordinates ir atitinkamai (žr. straipsnį, kaip rasti vektoriaus koordinates per taškų koordinates). Jei rasime vektorių sandaugą ir , tai pagal apibrėžimą tai yra vektorius, statmenas tiek į, tiek į , tai yra, tai yra mūsų problemos sprendimas. Suraskime jį 
Atsakymas:
- vienas iš statmenų vektorių.
Trečiojo tipo uždaviniuose tikrinamas įgūdis panaudoti vektorių vektorinės sandaugos savybes. Pritaikius savybes, taikomos atitinkamos formulės.
Pavyzdys.
Vektoriai ir yra statmeni, o jų ilgiai yra atitinkamai 3 ir 4. Raskite kryžminės sandaugos ilgį 
.
Sprendimas.
Pagal vektorinės sandaugos skirstomąją savybę galime rašyti 
Galioja asociatyvinės savybės mes jį išimsime skaitiniai šansai vektoriaus sandaugų ženklui paskutinėje išraiškoje: 
Vektoriaus sandaugai ir yra lygūs nuliui, nes 
Ir 
, Tada.
Kadangi vektoriaus sandauga yra antikomutacinė, tada .
Taigi, naudodamiesi vektorinės sandaugos savybėmis, pasiekėme lygybę 
.
Pagal sąlygą, vektoriai ir yra statmeni, tai yra, kampas tarp jų yra lygus . Tai yra, turime visus duomenis, kad rastume reikiamą ilgį 
Atsakymas:
.
Vektorinės sandaugos geometrinė reikšmė.
Pagal apibrėžimą vektorių vektorinės sandaugos ilgis yra 
. Ir iš geometrijos kurso vidurinę mokyklą Mes žinome, kad trikampio plotas yra lygus pusei dviejų trikampio kraštinių ilgių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos. Vadinasi, vektoriaus sandaugos ilgis yra lygus dvigubam trikampio, kurio kraštinės yra vektoriai ir , plotui, jei jie brėžiami iš vieno taško. Kitaip tariant, vektorių sandaugos ilgis ir yra lygus lygiagretainio su kraštinėmis ir plotui, o kampas tarp jų lygus . Tai yra geometrine prasme vektorinis produktas.
