Ketvirtosios eilės centrinis momentas. Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos

Ypatinga reikšmė atsitiktinio dydžio pasiskirstymui apibūdinti jie turi skaitines charakteristikas, vadinamas pradiniais ir centriniais momentais.

Pradžios momentas k– įsakymas α k(X) atsitiktinis kintamasis X k-šio dydžio galia, t.y.

α k(X) = M(X k) (6.8)

Formulė (6.8) dėl matematinio lūkesčio apibrėžimo įvairiems atsitiktiniai dydžiai turi savo formą, būtent, diskrečiam atsitiktiniam kintamajam su baigtinis rinkinys vertybes

nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui

, (6.10)

Kur f(x) - atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis X.

Netinkamas integralas formulėje (6.10) virsta apibrėžtasis integralas per baigtinį intervalą, jei nuolatinio atsitiktinio dydžio reikšmės egzistuoja tik šiame intervale.

Viena iš anksčiau įvestų skaitinių charakteristikų - matematinis lūkestis - yra ne kas kita, kaip pradinis pirmosios eilės momentas arba, kaip sakoma, pirmasis pradinis momentas:

M(X) = α 1 (X).

Ankstesnėje pastraipoje buvo pristatyta centruoto atsitiktinio dydžio sąvoka HM(X). Jei šis dydis laikomas pagrindiniu, tada jam taip pat galima rasti pradinių momentų. Dėl paties dydžio Xšie momentai bus vadinami pagrindiniais.

Centrinis momentas k– įsakymas μk(X) atsitiktinis kintamasis X vadinamas matematiniu lūkesčiu k-centruoto atsitiktinio dydžio laipsnis, t.y.

μk(X) = M[(HM(X))k] (6.11)

Kitaip tariant, centrinis taškas k-oji tvarka yra matematinis lūkestis k nukrypimo laipsnis.

Centrinis momentas k diskretiško atsitiktinio dydžio su baigtiniu reikšmių rinkiniu eilė randama pagal formulę:

, (6.12)

nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui naudojant formulę:

(6.13)

Ateityje, kai paaiškės, apie kokį atsitiktinį dydį kalbama, pradinių ir centrinių momentų žymėjime jo nerašysime, t.y. vietoj α k(X) Ir μk(X) tiesiog parašysime α k Ir μk .

Akivaizdu, kad pirmosios eilės centrinis momentas lygus nuliui, nes tai yra ne kas kita, kaip matematinis nuokrypio lūkestis, kuris lygus nuliui pagal tai, kas anksčiau buvo įrodyta, t.y. .

Nesunku suprasti, kad atsitiktinio dydžio antros eilės centrinis momentas X sutampa su to paties atsitiktinio dydžio dispersija, t.y.

Be to, yra sekančias formules, jungiantis pradinius ir centrinius momentus:

Taigi pirmosios ir antrosios eilės momentai (matematiniai lūkesčiai ir sklaida) apibūdina svarbiausius skirstinio požymius: jo padėtį ir reikšmių sklaidos laipsnį. Norėdami daugiau išsamus aprašymas paskirstymai yra aukštesnių užsakymų momentai. Parodykime.

Tarkime, kad atsitiktinio dydžio pasiskirstymas yra simetriškas jo matematinių lūkesčių atžvilgiu. Tada visi nelyginės eilės centriniai momentai, jei jie egzistuoja, yra lygūs nuliui. Tai paaiškinama tuo, kad dėl pasiskirstymo simetrijos kiekvienam teigiama vertė kiekiai X − M(X) yra lygus modulis neigiama vertė, o šių verčių tikimybės yra lygios. Vadinasi, (6.12) formulėje esanti suma susideda iš kelių vienodo dydžio, bet skirtingo ženklo narių porų, kurios susumavus viena kitą panaikina. Taigi visa suma, t.y. bet kurio nelyginės eilės diskretinio atsitiktinio dydžio centrinis momentas yra lygus nuliui. Panašiai bet kurios nelyginės eilės nuolatinio atsitiktinio dydžio centrinis momentas yra lygus nuliui, kaip ir nelyginės funkcijos simetrinių ribų integralas.

Natūralu manyti, kad jei nelyginės eilės centrinis momentas skiriasi nuo nulio, tada pats skirstinys nebus simetriškas jo matematinių lūkesčių atžvilgiu. Be to, kuo labiau centrinis momentas skiriasi nuo nulio, tuo didesnė pasiskirstymo asimetrija. Paimkime centrinį mažiausios nelyginės eilės momentą kaip asimetrijos požymį. Kadangi atsitiktinių dydžių, turinčių bet kokį pasiskirstymą, pirmosios eilės centrinis momentas yra lygus nuliui, šiuo tikslu geriau naudoti trečios eilės centrinį momentą. Tačiau šis momentas turi atsitiktinio dydžio kubo matmenis. Norėdami atsikratyti šio trūkumo ir pereiti prie bedimensinio atsitiktinio dydžio, padalykite reikšmę centrinis momentas vienam standartinio nuokrypio kubui.

Asimetrijos koeficientas A s arba tiesiog asimetrija vadinamas trečios eilės centrinio momento ir standartinio nuokrypio kubo santykiu, t.y.

Kartais asimetrija vadinama „iškreipimu“ ir nurodoma S k kas kyla iš Angliškas žodis pasviręs – „įstrižas“.

Jei asimetrijos koeficientas yra neigiamas, tada jo vertę stipriai įtakoja neigiami dėmenys (nukrypimai) ir skirstinys turės kairioji asimetrija, o pasiskirstymo grafikas (kreivė) yra plokštesnė į kairę nuo matematinio lūkesčio. Jei koeficientas yra teigiamas, tada asimetrija dešinėje, o kreivė yra plokštesnė į dešinę nuo matematinio lūkesčio (6.1 pav.).

Kaip buvo parodyta, apibūdinti atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidą aplink jo matematinį lūkestį, naudojamas antrasis centrinis momentas, t.y. dispersija. Jei šis momentas yra labai svarbus skaitinė reikšmė, tada šis atsitiktinis dydis turi didelę reikšmių sklaidą, o atitinkama pasiskirstymo kreivė turi plokštesnę formą nei kreivė, kurios antrasis centrinis momentas mažesnė vertė. Todėl antrasis centrinis momentas tam tikru mastu apibūdina pasiskirstymo kreivę „plokščia viršūnė“ arba „aštri viršūnė“. Tačiau ši savybė nėra labai patogi. Antros eilės centrinis momentas turi dimensiją lygus kvadratui atsitiktinio dydžio matmenys. Jei bandysime gauti bematį dydį, momento reikšmę padalydami iš standartinio nuokrypio kvadrato, tada bet kuriam atsitiktiniam dydžiui gauname: . Taigi šis koeficientas negali būti jokia atsitiktinio dydžio skirstinio charakteristika. Tai vienoda visiems paskirstymams. Tokiu atveju galite naudoti centrinį momentą ketvirta tvarka.

Perteklius E k yra kiekis, nustatytas pagal formulę

(6.15)

Kurtozė daugiausia naudojama nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams ir skirta apibūdinti vadinamąjį pasiskirstymo kreivės „statumą“ arba kitaip, kaip jau minėta, apibūdinti „plokščias viršūnes“ arba „aštrias viršūnes“ pasiskirstymo kreivę. Referencinė pasiskirstymo kreivė laikoma kreive normalusis pasiskirstymas(tai bus išsamiai aptarta kitame skyriuje). Atsitiktiniam dydžiui, paskirstytam normalus įstatymas, galioja lygybė. Todėl perteklius pateikta pagal formulę(6.15), skirtas palyginimui duotas paskirstymas su normaliu, kurio kurtozė lygi nuliui.

Jei gaunama teigiama kurtozė tam tikram atsitiktiniam dydžiui, tada šios reikšmės pasiskirstymo kreivė yra didesnė nei normalaus pasiskirstymo kreivė. Jei kurtozė yra neigiama, tai kreivė yra labiau plokščia, palyginti su normaliojo pasiskirstymo kreive (6.2 pav.).

Dabar pereikime prie specifiniai tipai diskrečiųjų ir nuolatinių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniai.

Centriniai momentai vadinami pasiskirstymo momentais, kuriuos skaičiuojant pradine reikšme imamas variantų nuokrypis nuo aritmetinio vidurkio ši serija.

1. Apskaičiuokite pirmosios eilės centrinį momentą naudodami formulę:

2. Apskaičiuokite antros eilės centrinį momentą naudodami formulę:

kur yra intervalų vidurio reikšmė;

Tai yra svertinis vidurkis;

Fi yra reikšmių skaičius.

3. Apskaičiuokite trečios eilės centrinį momentą naudodami formulę:

kur yra intervalų vidurio reikšmė; - tai svertinis vidurkis; - fi reikšmių skaičius.

4. Apskaičiuokite ketvirtos eilės centrinį momentą naudodami formulę:

kur yra intervalų vidurio reikšmė; - tai svertinis vidurkis; - fi reikšmių skaičius.

Skaičiavimas pagal 3.2 lentelę

Skaičiavimas pagal 3.4 lentelę

1. Apskaičiuokite pirmosios eilės centrinį momentą naudodami (7.1) formulę:

2. Apskaičiuokite antros eilės centrinį momentą pagal (7.2) formulę:

3. Apskaičiuokite trečios eilės centrinį momentą pagal (7.3) formulę:

4. Apskaičiuokite ketvirtos eilės centrinį momentą pagal (7.4) formulę:

Skaičiavimas pagal 3.6 lentelę

1. Apskaičiuokite pirmosios eilės centrinį momentą naudodami (7.1) formulę:

2. Apskaičiuokite antros eilės centrinį momentą pagal (7.2) formulę:

3. Apskaičiuokite trečios eilės centrinį momentą pagal (7.3) formulę:

4. Apskaičiuokite ketvirtos eilės centrinį momentą pagal (7.4) formulę:

Trims užduotims buvo apskaičiuoti 1, 2, 3, 4 užsakymų momentai. Kur asimetrijai apskaičiuoti reikalingas trečios eilės momentas, o kurtozei apskaičiuoti – ketvirtos eilės momentas.

PASKIRSTYMO ASIMETRIJOS SKAIČIAVIMAS

Statistinėje praktikoje susiduriama su įvairiais skirstiniais. Yra šie pasiskirstymo kreivių tipai:

· vienos viršūnės kreivės: simetriškos, vidutiniškai asimetrinės ir itin asimetrinės;

· kelių viršūnių kreivės.

Homogeninėms populiacijoms, kaip taisyklė, būdingas vienos viršūnės pasiskirstymas. Multivertex rodo tiriamos populiacijos nevienalytiškumą. Atsiradus dviem ar daugiau viršūnių, reikia pergrupuoti duomenis, kad būtų galima nustatyti vienalytes grupes.

Išsiaiškinti bendras paskirstymas apima jo homogeniškumo įvertinimą, taip pat kreivumo ir kreivumo rodiklių skaičiavimą. Simetrinių paskirstymų atveju bet kurių dviejų variantų, kurie yra vienodai išsidėstę abiejose paskirstymo centro pusėse, dažniai yra lygūs vienas kitam. Tokiems skirstiniams apskaičiuotas vidurkis, režimas ir mediana taip pat yra vienodi.

Lyginamasis kelių skirstinių su skirtingais matavimo vienetais asimetrijos tyrimas apskaičiuojamas santykinis rodiklis asimetrija ():

kur yra svertinis vidurkis; Mo-mada; - vidutinė kvadratinė svertinė dispersija; Aš-mediana.

Jo vertė gali būti teigiama arba neigiama. Pirmuoju atveju mes kalbame apie apie dešiniąją asimetriją, o antroje - apie kairiąją asimetriją.

Su dešinės pusės asimetrija Mo>Me >x. Plačiausiai naudojamas (kaip asimetrijos rodiklis) yra trečiosios eilės centrinio momento ir tam tikros serijos kubo standartinio nuokrypio santykis:

kur yra trečios eilės centrinis momentas; - vidutinis standartinis nuokrypis kube.

Taikymas šis rodiklis leidžia nustatyti ne tik asimetrijos dydį, bet ir patikrinti jos buvimą gyventojų. Visuotinai pripažįstama, kad didesnis nei 0,5 (nepriklausomai nuo ženklo) pasvirimas laikomas reikšmingu; jei jis yra mažesnis nei 0,25, tada jis yra nereikšmingas.

Reikšmingumo vertinimas grindžiamas vidurkiu kvadrato paklaida, asimetrijos koeficientas (), kuris priklauso nuo stebėjimų skaičiaus (n) ir apskaičiuojamas pagal formulę:

kur n yra stebėjimų skaičius.

Šiuo atveju asimetrija yra reikšminga, o charakteristikos pasiskirstymas populiacijoje yra asimetriškas. Priešingu atveju asimetrija yra nereikšminga ir jos buvimą gali sukelti atsitiktinės aplinkybės.

Skaičiavimas pagal 3.2 lentelę Gyventojų grupavimas pagal mėnesio vidurkį darbo užmokesčio, patrinti.

Kairės pusės, reikšminga asimetrija.

Skaičiavimas pagal 3.4 lentelę Parduotuvių grupavimas pagal mažmeninę apyvartą, milijonai rublių.

1. Nustatykime asimetrijas pagal (7.5) formulę:

Dešinioji, reikšminga asimetrija.

Skaičiavimas pagal 3.6 lentelę Transporto organizacijų grupavimas pagal transporto krovinių apyvartą viešajam naudojimui(milijonai t.km)

1. Nustatykime asimetrijas pagal (7.5) formulę:

Dešinė pusė, nedidelė asimetrija.

PASKIRSTYMO KURTESS APSKAIČIAVIMAS

Simetriškiems skirstiniams kurtozės indeksą () galima apskaičiuoti:

kur yra ketvirtos eilės centrinis momentas; - standartinis nuokrypis iki ketvirtosios laipsnio.

Skaičiavimas pagal 3.2 lentelę Gyventojų grupavimas pagal vidutinį mėnesinį atlyginimą, rub.

Skaičiavimas pagal 3.4 lentelę Parduotuvių grupavimas pagal mažmeninę apyvartą, milijonai rublių.

Apskaičiuokime kurtozės rodiklį naudodami (7.7) formulę

Didžiausias pasiskirstymas.

Skaičiavimas pagal 3.6 lentelę Transporto organizacijų grupavimas pagal viešojo transporto krovinių apyvartą (mln. t.km)

Apskaičiuokime kurtozės rodiklį naudodami (7.7) formulę

Plokščias viršutinis paskirstymas.

GYVENTOJŲ HOMOGENINGUMO VERTINIMAS

3.2 lentelės homogeniškumo vertinimas Gyventojų grupavimas pagal vidutinį mėnesinį atlyginimą, rub.

Pažymėtina, kad nors asimetrijos ir kurtozės rodikliai tiesiogiai apibūdina tik požymio pasiskirstymo formą tiriamoje populiacijoje, jų apibrėžimas turi ne tik aprašomąją reikšmę. Dažnai asimetrija ir kurtozė rodo tam tikrus tolesnius socialinius tyrimus. ekonominiai reiškiniai. Gautas rezultatas rodo, kad yra asimetrija, kuri yra reikšminga ir neigiama, reikia pažymėti, kad asimetrija yra kairioji. Be to, gyventojų pasiskirstymas yra plokščias.

3.4 lentelės homogeniškumo vertinimas Parduotuvių grupavimas pagal mažmeninę apyvartą, milijonai rublių.

Gautas rezultatas rodo, kad yra asimetrija, kurios dydis yra reikšmingas ir teigiamas, reikia pažymėti, kad asimetrija yra dešinioji. Be to, populiacija turi aštrių viršūnių pasiskirstymą.

3.6 lentelės homogeniškumo vertinimas Transporto organizacijų grupavimas pagal viešojo transporto krovinių apyvartą (mln. t.km)

Gautas rezultatas rodo, kad asimetrija yra nereikšminga ir teigiama, reikia pažymėti, kad asimetrija yra dešinioji. Be to, gyventojų pasiskirstymas yra plokščias.

Matematinis lūkestis. Matematinis lūkestis diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X, šeimininkas galutinis skaičius vertybes Xi su tikimybėmis ri, suma vadinama:

Matematinis lūkestis nuolatinis atsitiktinis dydis X vadinamas jo vertybių sandaugos integralu X apie tikimybių pasiskirstymo tankį f(x):

(6b)

Netinkamas integralas (6 b) laikomas absoliučiai konvergenciniu (kitaip jie sako, kad matematinis lūkestis M(X) neegzistuoja). Matematinis lūkestis apibūdina vidutinė vertė atsitiktinis kintamasis X. Jo matmuo sutampa su atsitiktinio dydžio matmeniu.

Matematinės lūkesčių savybės:

Sklaida. Dispersija atsitiktinis kintamasis X numeris vadinamas:

Skirtumas yra sklaidos charakteristika atsitiktinių kintamųjų reikšmės X palyginti su jo vidutine verte M(X). Dispersijos matmuo yra lygus atsitiktinio dydžio kvadratiniam matmeniui. Remdamiesi dispersijos (8) ir matematinių lūkesčių (5) apibrėžimais diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui ir (6) nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui, gauname panašias dispersijos išraiškas:

(9)

Čia m = M(X).

Dispersijos savybės:

Standartinis nuokrypis:

(11)

Kadangi vidurkio matmuo kvadratinis nuokrypis kaip ir atsitiktinis dydis, jis dažniau naudojamas kaip dispersijos, o ne dispersijos matas.

Paskirstymo akimirkos. Matematinio lūkesčio ir sklaidos sąvokos yra ypatingi daugiau atvejai bendra koncepcija atsitiktinių dydžių skaitinėms charakteristikoms – paskirstymo momentai. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo momentai pateikiami kaip kai kurių paprastų atsitiktinio dydžio funkcijų matematiniai lūkesčiai. Taigi, užsakymo momentas k taško atžvilgiu X 0 vadinamas matematiniu lūkesčiu M(X–X 0 )k. Akimirkos apie kilmę X= 0 yra vadinami pradines akimirkas ir yra paskirti:

(12)

Pirmosios eilės pradinis momentas yra nagrinėjamo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo centras:

(13)

Akimirkos apie paskirstymo centrą X= m yra vadinami centriniai taškai ir yra paskirti:

(14)

Iš (7) išplaukia, kad pirmosios eilės centrinis momentas visada yra lygus nuliui:

Centriniai momentai nepriklauso nuo atsitiktinių dydžių reikšmių kilmės, nuo tada, kai jie pasislenka pastovią vertę SU jo paskirstymo centras pasislenka ta pačia verte SU, o nuokrypis nuo centro nesikeičia: X – m = (X – SU) – (m – SU).
Dabar tai aišku dispersija- Tai antros eilės centrinis momentas:

Asimetrija. Trečios eilės centrinis momentas:

(17)

tarnauja vertinimui pasiskirstymo asimetrija. Jei skirstinys yra simetriškas taško atžvilgiu X= m, tada trečiosios eilės centrinis momentas bus lygus nuliui (kaip ir visi centriniai nelyginių eilių momentai). Todėl, jei trečios eilės centrinis momentas skiriasi nuo nulio, pasiskirstymas negali būti simetriškas. Asimetrijos dydis vertinamas naudojant bedimensį asimetrijos koeficientas:

(18)

Asimetrijos koeficiento ženklas (18) rodo dešiniąją arba kairiąją asimetriją (2 pav.).

Ryžiai. 2. Pasiskirstymo asimetrijos tipai.

Perteklius. Ketvirtosios eilės centrinis momentas:

(19)

tarnauja įvertinti vadinamąją perteklius, kuris nustato pasiskirstymo kreivės statumo (pikumo) laipsnį šalia pasiskirstymo centro normaliojo pasiskirstymo kreivės atžvilgiu. Kadangi normaliam pasiskirstymui, kurtozės vertė yra:

(20)

Fig. 3 parodyta pasiskirstymo kreivių su skirtingos reikšmės perteklius. Normaliam pasiskirstymui E= 0. Kreivės, kurios yra smailesnės nei įprasta, turi teigiamą kreivę, o tos, kurių viršūnė yra plokščia, turi neigiamą.

Ryžiai. 3. Skirtingo statumo laipsnio pasiskirstymo kreivės (kurtozė).

Aukštesnio lygio momentai inžinerinėse programose matematinė statistika paprastai nenaudojamas.

Mada diskretiškas atsitiktinis kintamasis yra labiausiai tikėtina jo reikšmė. Mada tęstinis atsitiktinis dydis yra jo reikšmė, kuriai esant tikimybės tankis yra didžiausias (2 pav.). Jei pasiskirstymo kreivė turi vieną maksimumą, tada skirstinys vadinamas vienarūšis. Jei pasiskirstymo kreivė turi daugiau nei vieną maksimumą, tada skirstinys vadinamas multimodalinis. Kartais pasitaiko skirstinių, kurių kreivės turi ne maksimumą, o minimumą. Tokie skirstiniai vadinami antimodalinis. IN bendras atvejis atsitiktinio dydžio režimas ir matematinis lūkestis nesutampa. Ypatingu atveju, už modalinis, t.y. turintis modą, simetrišką pasiskirstymą ir su sąlyga, kad yra matematinis lūkestis, pastarasis sutampa su skirstinio moda ir simetrijos centru.

Mediana atsitiktinis kintamasis X- tai yra jo prasmė Meh, kurioms galioja lygybė: t.y. lygiai taip pat tikėtina, kad atsitiktinis dydis X bus mažiau ar daugiau Meh. Geometriškai mediana yra taško, kuriame plotas po pasiskirstymo kreive yra padalintas per pusę, abscisė (2 pav.). Simetriško modalinio pasiskirstymo atveju mediana, režimas ir matematinis lūkestis yra vienodi.

3.4. Atsitiktinio dydžio momentai.

Aukščiau susipažinome su išsamiomis SV charakteristikomis: pasiskirstymo funkcija ir pasiskirstymo eilėmis diskrečiam SV, pasiskirstymo funkcija ir tikimybių tankiu ištisiniam SV. Šios poros lygiavertės informacijos turinio charakteristikos yra funkcijas ir visiškai apibūdinti SV tikimybiniu požiūriu. Tačiau daugeliu praktinių situacijų atsitiktinio dydžio apibūdinti išsamiai neįmanoma arba nebūtina. Dažnai pakanka nurodyti vieną ar daugiau skaitinis parametrus, kurie tam tikru mastu apibūdina pagrindinius skirstinio bruožus, o kartais rasti išsamias charakteristikas, nors ir pageidautina, matematiškai per sunku, o operuojant skaitiniais parametrais apsiribojame apytiksliais, bet daugiau paprastas aprašymas. Iškviečiami nurodyti skaitiniai parametrai skaitinės charakteristikos atsitiktinių dydžių ir vaidina didelį vaidmenį tikimybių teorijos taikymuose įvairiose mokslo ir technologijų srityse, palengvina problemų sprendimą ir leidžia pateikti sprendimo rezultatus paprastai ir vaizdžiai.

Dažniausiai naudojamas skaitines charakteristikas galima suskirstyti į du tipus: momentai ir padėties charakteristikos. Yra keletas momentų tipų, iš kurių dažniausiai naudojami du: pirminis ir centrinis. Kitų tipų momentai, pvz. absoliutūs momentai, faktorialūs momentai, nesvarstome. Kad nebūtų naudojamas integralo apibendrinimas – vadinamasis Stieltjes integralas, momentų apibrėžimus pateikiame atskirai nuolatiniams ir diskretiesiems SV.

Apibrėžimai. 1. Pradžios momentask-diskretusis SV vadinamas kiekiu

Kur f(x) yra tam tikros SV tikimybės tankis.

3. Centrinis momentask-diskretusis SV vadinamas kiekiu

Tais atvejais, kai vienu metu svarstomi keli SV, siekiant išvengti nesusipratimų, patogu nurodyti momento tapatybę; tai padarysime skliausteliuose nurodydami atitinkamo SV pavadinimą, pavyzdžiui, , ir tt Šio pavadinimo nereikėtų painioti su funkcijos žymėjimu, o skliausteliuose esančios raidės – su funkcijos argumentu. Sumos ir integralai dešiniosiose lygybių pusėse (3.4.1 - 3.4.4) gali suartėti arba skirtis priklausomai nuo reikšmės k ir specifinis paskirstymas. Pirmuoju atveju jie sako, kad akimirka neegzistuoja arba skiriasi, antroje - ką momentas egzistuoja arba susilieja. Jei diskrečioji SV turi baigtinį skaičių baigtinių reikšmių ( Nžinoma), tada visi jo momentai yra ribotos eilės k egzistuoja. Esant begalybei N, pradedant nuo kai kurių k o aukštesniems įsakymams diskrečiojo SV momentų (ir pradinio, ir centrinio) gali nebūti. Ištisinio SV momentai, kaip matyti iš apibrėžimų, išreiškiami netinkamais integralais, kurie gali skirtis pradedant nuo tam tikro k ir aukštesniems užsakymams (kartu pradinis ir centrinis). Nulinės eilės momentai visada susilieja.

Išsamiau panagrinėkime pirmiausia pradinius, o paskui pagrindinius momentus. Matematikos požiūriu pradinis momentas k- eilė yra „svertinis vidurkis“ k-tieji SV reikšmių laipsniai; esant diskretiniam SV, svoriai yra reikšmių tikimybės, esant ištisiniam SV, svorio funkcija yra tikimybės tankis. Tokio pobūdžio operacijos plačiai naudojamos mechanikoje, apibūdinant masių pasiskirstymą (statinius momentus, inercijos momentus ir kt.); Šiuo atžvilgiu kylančios analogijos aptariamos toliau.

Norėdami geriau suprasti pradines akimirkas, mes jas vertiname atskirai k. Tikimybių teorijoje svarbiausi yra žemesnio laipsnio momentai, ty esant mažiems k, todėl reikėtų atsižvelgti į didėjimo vertes tvarka k. Pradinis nulinės eilės momentas yra lygus

1, skirta atskiram SV;

=1, nuolatiniam SV,

tie. bet kuriam SV jis yra lygus tai pačiai reikšmei – vienetui, todėl neteikia jokios informacijos apie SV statistines savybes.

Pirmosios eilės pradinis momentas (arba pirmasis pradinis momentas) yra lygus

Atskirai SV;

, nuolatiniam SV.

Šis taškas yra svarbiausia bet kurio SV skaitinė charakteristika, dėl kurios yra keletas tarpusavyje susijusių priežasčių. Pirma, pagal Čebyševo teoremą (žr. 7.4 skyrių), atliekant neribotą SV bandymų skaičių, stebimų verčių aritmetinis vidurkis yra linkęs (tam tikra prasme) , taigi bet kuriam SV tai yra būdingas skaičius. aplink kurią jos vertybės grupuojamos pagal patirtį. Antra, tęstiniam CV skaičiais lygus X- kreivės suformuotos kreivės trapecijos svorio centro koordinatė f(x) (panaši savybė atsiranda ir diskrečiam SV), todėl šį momentą galima pavadinti „paskirstymo svorio centru“. Trečia, šis momentas turi nepaprastų matematinių savybių, kurios ypač paaiškės kurso metu, todėl jo reikšmė įtraukiama į centrinių momentų išraiškas (žr. (3.4.3) ir (3.4.4)).

Šio momento svarba teorinėms ir praktinėms tikimybių teorijos problemoms spręsti ir jo nepaprastos matematinės savybės lėmė tai, kad, be pavadinimo ir pavadinimo „pirmasis pradinis momentas“, literatūroje daugiau ar mažiau vartojami ir kiti pavadinimai bei pavadinimai. patogus ir atspindintis minėtas savybes. Dažniausiai pasitaikantys pavadinimai yra: matematinis lūkestis, vidutinė vertė, ir užrašai: m, M[X], . Dažniausiai vartosime terminą „matematiniai lūkesčiai“ ir žymėjimą m; jei yra keli SV, naudosime apatinį indeksą, nurodantį matematinio lūkesčio tapatybę, pavyzdžiui, m x , m y ir tt

Antros eilės pradinis momentas (arba antrasis pradinis momentas) yra lygus

Atskirai SV;

, nuolatiniam SV;

kartais tai vadinama atsitiktinio dydžio vidutinis kvadratas ir yra paskirtas M.

Trečios eilės pradinis momentas (arba trečiasis pradinis momentas) yra lygus

Atskirai SV;

, nuolatiniam SV

kartais tai vadinama vidutinis atsitiktinio dydžio kubas ir yra paskirtas M[X 3 ].

Nėra prasmės toliau išvardyti pradinių punktų. Apsistokime ties svarbiu tvarkos momentų aiškinimu k>1. Tegul kartu su SV X taip pat yra SV Y, ir Y=X k (k=2, 3, ...). Ši lygybė reiškia, kad atsitiktiniai dydžiai X Ir Y yra sujungti deterministiškai ta prasme, kad kai SV Xįgauna vertę x, NE Yįgauna vertę y=x k(ateityje šis SV prijungimas bus svarstomas plačiau). Tada pagal (3.4.1) ir (3.4.2)

=m y , k=2, 3, ...,

t.y. k SV pradinis momentas yra lygus matematiniam lūkesčiui k-šio atsitiktinio dydžio laipsnis. Pavyzdžiui, trečiasis pradinis atsitiktinio kubo briaunos ilgio momentas yra lygus matematiniam kubo tūrio lūkesčiui. Gebėjimas suprasti akimirkas kaip tikras matematiniai lūkesčiai– dar vienas matematinio lūkesčio sampratos svarbos aspektas.

Pereikime prie pagrindinių punktų. Kadangi, kaip paaiškės toliau, centriniai momentai vienareikšmiškai išreiškiami per pradinius momentus ir atvirkščiai, kyla klausimas, kam iš viso reikalingi centriniai momentai ir kodėl neužtenka pradinių momentų. Panagrinėkime SV X(nepertraukiamas arba atskiras) ir kitas SV Y, susijęs su pirmuoju kaip Y=X+a, Kur a 0 – neatsitiktinis realus skaičius. Kiekviena vertė x atsitiktinis kintamasis X atitinka vertę y=x+a atsitiktinis kintamasis Y, todėl SV pasiskirstymas Y bus tokios pačios formos (išreikštas pasiskirstymo daugiakampiu diskrečiu atveju arba tikimybės tankiu ištisiniu atveju) kaip ir SV skirstinys X, bet pasislinkęs išilgai x ašies dydžiu a. Vadinasi, pradiniai SV momentai Y skirsis nuo atitinkamų SV momentų X. Pavyzdžiui, tai lengva pamatyti m y =m x +a(daugiau akimirkų aukšta tvarka yra siejami sudėtingesniais santykiais). Taigi mes tai nustatėme pradiniai momentai nėra nekintami viso skirstinio poslinkio atžvilgiu. Tas pats rezultatas bus gautas, jei horizontaliai perkelsite ne pasiskirstymą, o x ašies pradžią dydžiu - a, t.y. Taip pat galioja lygiavertė išvada: pradiniai momentai nėra nekintami x ašies pradžios horizontalaus poslinkio atžvilgiu.

Centriniai momentai, skirti apibūdinti tas skirstinių savybes, kurios nepriklauso nuo jų poslinkio kaip visumos, neturi šio trūkumo. Iš tiesų, kaip matyti iš (3.4.3) ir (3.4.4), kai paskirstymas kaip visuma pasislenka tam tikra suma a, arba, kas yra tas pats, perkeliant x ašies pradžią dydžiu - a, visos vertybės x, su tomis pačiomis tikimybėmis (diskretuoju atveju) arba tuo pačiu tikimybių tankiu (ištisiniu atveju), pasikeis dydžiu a, bet kiekis pasikeis tiek pat m, todėl skliaustų reikšmės dešiniosiose lygybių pusėse nepasikeis. Taigi, centriniai momentai yra nekintami visos skirstinio poslinkio atžvilgiu arba, kas yra tas pats, x ašies pradžios horizontalaus poslinkio atžvilgiu.Šios akimirkos gavo pavadinimą „centrinis“ tais laikais, kai pirmasis pradinis momentas buvo vadinamas „centru“. Pravartu pažymėti, kad centrinis SV momentas X gali būti suprantamas kaip atitinkamas pradinis SV momentas X 0 lygus

NE X 0 vadinamas centre(palyginti su SV X), o į ją vedanti operacija, t.y. iš atsitiktinio dydžio atimant jos matematinį lūkestį, vadinama centravimas. Kaip pamatysime vėliau, ši koncepcija ir ši operacija pravers viso kurso metu. Atkreipkite dėmesį, kad centrinis užsakymo momentas k>1 gali būti laikomas matematiniu lūkesčiu (vidurkis) k Centrinio SV laipsnis: .

Atskirai panagrinėkime pagrindinius žemesniųjų kategorijų momentus. Nulinės eilės centrinis momentas lygus

, atskiriems SV;

, nuolatiniam SV;

y., bet kuriam SV ir neteikia jokios informacijos apie šio SV statistines savybes.

Pirmos eilės centrinis momentas (arba pirmasis centrinis momentas) yra lygus

atskiram SV;

nuolatiniam CB; y., bet kuriam SV ir neteikia jokios informacijos apie šio SV statistines savybes.

Antros eilės centrinis momentas (arba antrasis centrinis momentas) yra lygus

, skirta atskiram SV;

, nuolatiniam SV.

Kaip paaiškės toliau, šis taškas yra vienas svarbiausių tikimybių teorijoje, kadangi jis naudojamas kaip SV reikšmių sklaidos (arba sklaidos) mato charakteristika, todėl dažnai vadinamas dispersija ir yra paskirtas D X. Atkreipkite dėmesį, kad tai gali būti suprantama kaip vidurinis SV kvadratas.

Trečios eilės centrinis momentas (trečiasis centrinis momentas) lygus

Raskime matematinį lūkestį X 2 :

M(X 2) = 1* 0, 6 + 4* 0, 2 + 25* 0, 19+ 10000* 0, 01 = 106, 15.

Mes tai matome M(X 2) daug daugiau M(X). Taip yra todėl, kad po kvadratūros galima prasmė kiekiai X 2 atitinkančią vertę x=100 balų X, tapo lygus 10 000, t.y., žymiai padidėjo; šios reikšmės tikimybė maža (0,01).

Taigi, perėjimas nuo M(X)Į M(X 2) leido geriau atsižvelgti į tos galimos reikšmės, kuri yra didelė ir turi mažą tikimybę, įtaką matematiniams lūkesčiams. Žinoma, jei vertė X turėjo keletą didelių ir mažai tikėtinų reikšmių, tada pereinama prie vertės X 2, o juo labiau į kiekius X 3 , X 4 ir kt., leistų toliau „stiprinti šių didelių, bet mažai tikėtinų įmanomų vertybių vaidmenį“. Štai kodėl patartina atsižvelgti į matematinį visumos lūkestį teigiamas laipsnis atsitiktinis dydis (ne tik diskretinis, bet ir tęstinis).

Pradinis užsakymo momentas k atsitiktinis kintamasis X vadinamas matematiniu dydžio lūkesčiu Xk:

v k = M(X).

Visų pirma,

v 1 = M(X),v 2 = M(X 2).

Naudojant šiuos taškus, dispersijos skaičiavimo formulė D(X)= M(X 2)- [M(X)] 2 galima parašyti taip:

D(X)= v 2 – . (*)

Be atsitiktinio dydžio momentų X patartina atsižvelgti į nukrypimo momentus X-M(X).

Atsitiktinio dydžio X centrinis eilės k momentas yra matematinis dydžio lūkestis(HM(X))k:

Visų pirma,

Ryšiai, jungiantys pradinį ir centrinį momentą, lengvai išvedami. Pavyzdžiui, palyginę (*) ir (***), gauname

m 2 = v 2 – .

Remiantis centrinio momento apibrėžimu ir naudojant matematinio lūkesčio savybes, nesunku gauti formules:

m 3 = v 3 – 3v 2 v 1 + 2 ,

m 4 = v 4 – 4v 3 v 1 + 6v 2 + 3 .

Aukštesnės eilės momentai naudojami retai.

komentuoti. Čia aptariami punktai vadinami teorinis. Priešingai nei teoriniai momentai, vadinami momentai, kurie skaičiuojami iš stebėjimo duomenų empirinis. Empirinių momentų apibrėžimai pateikiami toliau (žr. XVII skyrių, § 2).

Užduotys

1. Žinomos dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių dispersijos: D(X) = 4,D(Y)=3. Raskite šių dydžių sumos dispersiją.

Rep. 7.

2. Atsitiktinio dydžio dispersija X yra lygus 5. Raskite šių dydžių dispersiją: a) X-1; b) -2 X; V) ZH + 6.

Rep. a) 5; b) 20; c) 45.

3. Atsitiktinis kintamasis X ima tik dvi reikšmes: +C ir -C, kurių kiekvienos tikimybė yra 0,5. Raskite šio dydžio dispersiją.

Rep. SU 2 .

4. , žinant jo pasiskirstymo dėsnį

Rep. 67,6404.

5. Atsitiktinis kintamasis X gali būti dvi galimos reikšmės: X 1 su tikimybe 0,3 ir x 2 su tikimybe 0,7 ir X 2 > x 1 . Rasti x 1 ir x 2, tai žinant M(X) = 2, 7i D(X) =0,21.

Rep. x 1 = 2, x 2 = 3.

6. Raskite atsitiktinio dydžio dispersiją X- įvykių skaičius A dviese nepriklausomi testai, Jei M(X) = 0, 8.

Pastaba. Rašyti dvinario dėsnisįvykio įvykių skaičiaus tikimybių pasiskirstymas A dviejuose nepriklausomuose bandymuose.

Rep. 0, 48.

7. Bandomas įrenginys, susidedantis iš keturių nepriklausomai veikiančių įrenginių. Įrenginio gedimo tikimybė yra tokia: r 1 = 0,3; r 2 = 0,4; p 3 = 0,5; r 4 = 0,6. Raskite sugedusių įrenginių skaičiaus matematinį lūkestį ir dispersiją.

Rep. 1,8; 0,94.

8. Raskite atsitiktinio dydžio dispersiją X- įvykio atvejų skaičius 100 nepriklausomų bandymų, kurių kiekvieno įvykio tikimybė yra 0,7.

Rep. 21.

9. Atsitiktinio dydžio dispersija D(X) = 6,25. Raskite standartinį nuokrypį s( X).

Rep. 2, 5.

10. Atsitiktinį dydį nurodo skirstymo dėsnis

Raskite šios vertės standartinį nuokrypį.

Rep. 2, 2.

11. Kiekvieno iš 9 vienodai paskirstytų vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių dispersija yra lygi 36. Raskite šių kintamųjų aritmetinio vidurkio dispersiją.

Rep. 4.

12. Kiekvieno iš 16 vienodai paskirstytų vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių standartinis nuokrypis yra 10. Raskite šių kintamųjų aritmetinio vidurkio standartinį nuokrypį.

Rep. 2,5.

Devintas skyrius

DIDŽIŲJŲ SKAIČIŲ DĖSNIS

Preliminarios pastabos

Kaip jau žinoma, neįmanoma iš anksto užtikrintai nuspėti, kurią iš galimų atsitiktinių dydžių verčių įgis atlikus testą; tai priklauso nuo daugelio atsitiktinių priežasčių, į kurias negalima atsižvelgti. Atrodytų, kad turint labai kuklią informaciją apie kiekvieną atsitiktinį kintamąjį šia prasme, vargu ar įmanoma pakankamai nustatyti elgesio modelius ir sumas. didelis skaičius atsitiktiniai dydžiai. Tiesą sakant, tai netiesa. Pasirodo, kad esant tam tikroms gana plačioms sąlygoms, bendras pakankamai didelio skaičiaus atsitiktinių dydžių elgesys beveik praranda atsitiktinį pobūdį ir tampa natūralus.

Praktikoje labai svarbu žinoti, kokiomis sąlygomis daugelio atsitiktinių priežasčių bendras veikimas veda prie rezultato, kuris beveik nepriklauso nuo atsitiktinumo, nes leidžia numatyti reiškinių eigą. Šios sąlygos nurodytos teoremų guoliuose bendras vardasįstatymas dideli skaičiai. Tai apima Čebyševo ir Bernulio teoremas (yra ir kitų teoremų, kurios čia neaptariamos). Čebyševo teorema yra labiausiai bendroji teisė didelių skaičių, Bernulio teorema yra pati paprasčiausia. Norėdami įrodyti šias teoremas, naudosime Čebyševo nelygybę.

Čebyševo nelygybė

Čebyševo nelygybė galioja diskretiesiems ir nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams. Paprastumo dėlei mes apsiribojame šios nelygybės įrodymu atskiriems dydžiams.

Apsvarstykite diskrečiųjį atsitiktinį kintamąjį X, nurodyta paskirstymo lentelėje:

Iškelkime sau užduotį įvertinti tikimybę, kad atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio neviršija absoliuti vertė teigiamas skaičius e. Jei e yra pakankamai mažas, tada įvertinsime tikimybę, kad X paims vertes gana artimas matematiniams lūkesčiams. P. L. Čebyševas įrodė nelygybę, leidžiančią pateikti mus dominantį įvertinimą.

Čebyševo nelygybė. Tikimybė, kad atsitiktinio dydžio X nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio absoliučia verte yra mažesnis už teigiamą skaičių e, yra ne mažesnė kaip 1-D(X)/e 2 :

R(|X -M(X)|< e ) 1-D(X)/e 2 .

Įrodymas. Kadangi įvykiai susideda iš nelygybės įgyvendinimo |X-M(X)| Ir |X-M(X)| e, yra priešingi, tada jų tikimybių suma lygi vienetui, t.y.