Elektrinio lankinio suvirinimo principas pagrįstas elektros iškrovos, kuri atsiranda tarp suvirinimo elektrodo ir metalinio ruošinio, temperatūros naudojimu.

Lanko išlydis susidaro dėl elektros gedimas oro tarpas. Pasireiškus šiam reiškiniui, dujų molekulės jonizuojasi, padidėja jų temperatūra, elektrinis laidumas ir pereina į plazmos būseną.

Suvirinimo lanko degimą lydi atleidimas didelis kiekisšviesos ir ypač šiluminės energijos, dėl kurios smarkiai pakyla temperatūra ir atsiranda lokalus ruošinio metalo lydymasis. Tai yra suvirinimas.

Darbo metu, norint inicijuoti lankinį išlydį, ruošinys trumpam paliečiamas elektrodu, ty sukuriamas trumpasis jungimas po to nutraukiamas metalinis kontaktas ir nustatomas reikiamas oro tarpas. Tokiu būdu parenkamas optimalus suvirinimo lanko ilgis.

Esant labai trumpam išlydžiui, elektrodas gali prilipti prie ruošinio, lydytis per intensyviai, o tai gali lemti įdubimą. Ilgas lankas pasižymi degimo nestabilumu ir nepakankamai aukšta temperatūra suvirinimo zonoje.

Eksploatuojant pramoninius suvirinimo įrenginius su gana masyviomis dalimis, dažnai galima pastebėti suvirinimo lanko formos nestabilumą ir matomą lenkimą. Šis reiškinys vadinamas magnetiniu pūtimu.

Jo esmė slypi tame, kad suvirinimo lanko srovė sukuria tam tikrą magnetinį lauką, kuris sąveikauja su masyviu ruošiniu tekančios srovės sukuriamu magnetiniu lauku.

Tai yra, atsiranda lanko deformacija magnetinės jėgos. Šis procesas vadinamas pūtimu, nes lankas nukrypsta, tarsi veikiamas vėjo.

Radikalių būdų kovoti su šiuo reiškiniu nėra. Norint sumažinti magnetinio sprogimo poveikį, naudojamas suvirinimas sutrumpintu lanku, o elektrodas taip pat dedamas tam tikru kampu.

Degimo terpė

Yra keletas skirtingų suvirinimo technologijų, kurios naudoja elektros lanko išlydžius, kurios skiriasi savybėmis ir parametrais. Elektrinis suvirinimo lankas yra šių tipų:

atviras. Išmetimas vyksta tiesiai į atmosferą;
uždaryta. Susidaro degimo būdu aukšta temperatūra sukelia gausų dujų išsiskyrimą iš degimo srauto. Fliusas yra suvirinimo elektrodų dangoje;
apsauginėje dujų aplinkoje. Šiuo atveju į suvirinimo zoną tiekiamos dujos, dažniausiai helis, argonas arba anglies dvideginio.

Suvirinimo zonos apsauga yra būtina, kad būtų išvengta aktyvios lydančio metalo oksidacijos, veikiant atmosferos deguoniui.

Oksido sluoksnis neleidžia susidaryti ištisinei suvirinimo siūlei, metalas jungties vietoje tampa porėtas, dėl to sumažėja jungties stiprumas ir sandarumas.

Tam tikru mastu pats lankas gali sukurti mikroklimatą degimo zonoje, nes susidaro zona aukštas kraujospūdis, užkertant kelią atmosferos oro srautui.

Srauto naudojimas leidžia aktyviau išspausti orą iš suvirinimo zonos. Naudojant apsaugines dujas, tiekiamas esant slėgiui, ši problema išsprendžiama beveik visiškai.

Iškrovimo trukmė

Be apsaugos kriterijų, lanko iškrova klasifikuojama pagal trukmę. Yra procesų, kurių metu lanko degimas vyksta impulsiniu režimu.

Tokiuose įrenginiuose suvirinimas atliekamas trumpais plyšiais. Blyksnio metu temperatūra sugeba pakilti iki vertės, kurios užtenka vietiniam mažos zonos, kurioje susidaro taškinis ryšys, išlydymui.

Dauguma naudojamų suvirinimo technologijų naudoja gana ilgą lanko degimo laiką. Suvirinimo proceso metu elektrodas nuolat juda išilgai jungiamų kraštų.

Padidėjusios temperatūros sritis, kuri susidaro, juda paskui elektrodą. Pajudinus suvirinimo elektrodą, taigi ir lankinį išlydį, pravažiuojamo ploto temperatūra sumažėja, įvyksta suvirinimo baseino kristalizacija ir susidaro stipri suvirinimo siūlė.

Lanko iškrovimo struktūra

Lanko išleidimo sritis paprastai yra padalinta į tris dalis. Sritys, esančios šalia polių (anodo ir katodo), vadinamos atitinkamai anodu ir katodu.

Centrinė lankinio išlydžio dalis, esanti tarp anodo ir katodo sričių, vadinama lanko kolona. Temperatūra suvirinimo lanko zonoje gali siekti kelis tūkstančius laipsnių (iki 7000 °C).

Nors šiluma iki galo neperduoda metalui, jos visiškai pakanka ištirpti. Taigi, plieno lydymosi temperatūra, palyginimui, yra 1300-1500 °C.

Norint užtikrinti stabilų lanko išlydžio degimą, būtina šias sąlygas: 10 amperų eilės srovės buvimas (tai yra minimali vertė, maksimali gali siekti 1000 amperų), išlaikant lanko įtampą nuo 15 iki 40 voltų.

Šis įtampos kritimas atsiranda lankinio išlydžio metu. Įtampos pasiskirstymas lanko zonose yra netolygus. Dauguma taikomų įtampos kritimų atsiranda anodinėje ir katodinėje zonose.

Eksperimentiškai nustatyta, kad esant , didžiausias įtampos kritimas stebimas katodo zonoje. Toje pačioje lanko dalyje stebimas didžiausias temperatūros gradientas.

Todėl, renkantis suvirinimo proceso poliškumą, katodas prijungiamas prie elektrodo, kai norima pasiekti didžiausią jo lydymą, padidinant jo temperatūrą. Priešingai, norint giliau prasiskverbti į ruošinį, prie jo pritvirtinamas katodas. Krinta lanko stulpelyje mažiausia dalisįtampa.

Suvirinant nenaudojamu elektrodu katodo įtampos kritimas yra mažesnis nei anodinio, tai yra, aukštos temperatūros zona pasislenka link anodo.

Todėl, naudojant šią technologiją, ruošinys yra prijungtas prie anodo, kuris užtikrina gerą nenaudojamo elektrodo šildymą ir apsaugą nuo per didelės temperatūros.

Temperatūros zonos

Atkreiptinas dėmesys, kad atliekant bet kokį suvirinimo būdą, tiek su sunaudojamuoju, tiek su nenaudojamuoju elektrodu, lanko kolonėlės (jos centro) temperatūra yra aukščiausia – apie 5000-7000 °C, o kartais ir aukštesnė.

Žemiausios temperatūros zonos yra viename iš aktyvių sričių, katode arba anode. Šiose zonose gali išsiskirti 60-70% lanko šilumos.

Be intensyvaus ruošinio ir suvirinimo elektrodo temperatūros padidėjimo, išlydis skleidžia infraraudonąsias ir ultravioletines bangas, kurios gali sukelti žalingas poveikis ant suvirintojo kūno. Dėl to būtina naudoti apsaugos priemones.

Kalbant apie kintamos srovės suvirinimą, poliškumo sąvoka ten neegzistuoja, nes anodo ir katodo padėtis keičiasi pramoninis dažnis 50 vibracijų per sekundę.

Šio proceso lankas yra mažiau stabilus, palyginti su DC, jos temperatūra šokinėja. Suvirinimo procesų pranašumai kintamoji srovė, galima priskirti tik paprastesnei ir pigesnei įrangai ir net praktiškai visiškas nebuvimas toks reiškinys kaip magnetinis sprogimas, kuris buvo paminėtas aukščiau.

Srovės-įtampos charakteristika

Grafike parodyta maitinimo šaltinio įtampos priklausomybė nuo suvirinimo srovės, vadinama suvirinimo proceso srovės-įtampos charakteristikomis.

Raudonos kreivės rodo įtampos pokytį tarp elektrodo ir ruošinio suvirinimo lanko sužadinimo ir stabilaus jo degimo fazėse. Pradiniai taškai kreivės atitinka maitinimo šaltinio atviros grandinės įtampą.

Tuo metu, kai suvirintojas inicijuoja lanko iškrovą, įtampa smarkiai krenta iki tol, kol stabilizuojasi lanko parametrai ir nustatoma suvirinimo srovės vertė, priklausomai nuo naudojamo elektrodo skersmens, maitinimo šaltinio galios ir komplekto. lanko ilgis.

Prasidėjus šiam laikotarpiui, lanko įtampa ir temperatūra stabilizuojasi, o visas procesas tampa stabilus.

IN moderni pramonė suvirinimas turi puiki vertė, jis turi labai platų pritaikymo spektrą visose pramonės šakose. Norint atlikti suvirinimo procesą, reikalingas suvirinimo lankas.

Kas yra suvirinimo lankas, jo apibrėžimas

Manoma, kad suvirinimo lankas turi labai didelę galią ir trukmę elektros iškrova, kuris yra tarp elektrodų, kuriems dujų mišinyje yra įtampa. Jo savybėms būdinga aukšta temperatūra ir srovės tankis, dėl kurių jis gali išlydyti metalus, kurių lydymosi temperatūra viršija 3000 laipsnių. Apskritai galima sakyti, kad elektros lankas yra dujų laidininkas, kuris konvertuoja elektros energijaį terminį. Elektros krūvis Elektros srovės perėjimas per dujinę terpę vadinamas.

Yra keletas elektros iškrovų tipų:

Švytėjimo iškrova. Atsiranda esant žemam slėgiui, naudojamas fluorescencinėse lempose ir plazminiuose ekranuose;
Kibirkštinis iškrovimas. Atsiranda, kai slėgis lygus atmosferos slėgiui ir turi nutrūkstančią formą. Kibirkštinis iškrovimas atitinka žaibą, taip pat naudojamas vidaus degimo varikliams uždegti;
Lanko iškrova. Naudojamas suvirinimui ir apšvietimui. Jis pasižymi ištisine forma ir atsiranda esant atmosferos slėgiui;
Karūna. Jis atsiranda, kai elektrodo korpusas yra grubus ir nehomogeniškas, gali trūkti antrojo elektrodo, tai yra, atsiranda čiurkšlė. Naudojamas dujoms valyti nuo dulkių;

Gamta ir struktūra

Suvirinimo lanko prigimtis nėra tokia sudėtinga, kaip gali pasirodyti iš pirmo žvilgsnio. Elektros srovė, eidama per katodą, tada prasiskverbia į jonizuotas dujas, įvyksta išlydis su ryškiu švytėjimu ir labai aukšta temperatūra, todėl elektros lanko temperatūra gali siekti 7000 - 10000 laipsnių. Po to srovė teka į virinamą medžiagą. Kadangi temperatūra tokia aukšta, lankas skleidžia kenksmingą poveikį žmogaus kūnas ultravioletinių ir infraraudonoji spinduliuotė, gali pažeisti akis arba lengvai nudeginti odą, todėl suvirinimo proceso metu būtina tinkama apsauga.

Suvirinimo lanko struktūra susideda iš trijų pagrindinių sričių: anodinės, katodinės ir lankinės kolonos. Lanko degimo metu ant katodo ir anodo susidaro aktyvios dėmės – sritys, kuriose temperatūra pasiekia aukščiausias vertes, būtent per šias sritis elektros srovė, anodinėse ir katodinėse srityse yra didesni įtampos kritimai. Ir pats stulpelis yra tarp šių sričių, stulpelyje įtampos kritimas yra labai mažas. Taigi, suvirinimo lanko ilgis yra aukščiau nurodytų plotų suma, paprastai ilgis yra keli milimetrai, kai anodinis ir katodinis plotas yra atitinkamai 10-4 ir 10-5 cm. Palankiausias ilgis yra maždaug 4-. 6 mm, esant tokiam ilgiui pastovi ir palanki temperatūra.

Veislės

Suvirinimo lanko tipai skiriasi pagal suvirinimo srovės tiekimo grandinę ir aplinką, kurioje jie atsiranda, dažniausiai:

Tiesioginis veiksmas. Taikant šį metodą, suvirinimo aparatas yra lygiagrečiai suvirinamai metalinei konstrukcijai, o lankas susidaro devyniasdešimties laipsnių kampu elektrodo ir metalo atžvilgiu;
Suvirinimo lankas netiesioginis veiksmas. Atsiranda naudojant du elektrodus, kurie yra 40-60 laipsnių kampu suvirinamos detalės paviršiumi, tarp elektrodų susidaro lankas ir suvirina metalą;

Taip pat yra klasifikacija, atsižvelgiant į atmosferą, kurioje jie atsiranda:

Atviras tipas. Šio tipo lankas dega ore ir aplink jį susidaro dujų fazė, kurioje yra virinamos medžiagos garai, elektrodai ir jų dangos;
Uždaras tipas. Tokio lanko degimas vyksta po metalo garų sluoksniu, elektrodas ir srautas patenka į aplink lanką susidariusią dujų fazę;
Lankas su dujų tiekimu. Į degantį lanką tiekiamos suslėgtos dujos - helis, argonas, anglies dioksidas, vandenilis ir kiti įvairūs dujų mišiniai, kad suvirinamas metalas neprisidėtų prie redukuojančios ar neutralios aplinkos; Dujų fazė aplink lanką apima tiekiamas dujų, metalo ir elektrodų garus;

Jie taip pat išsiskiria veikimo trukme – stacionariai (naudojant ilgą laiką) ir impulsiniu (vienkartiniam naudojimui), pagal naudojamo elektrodo medžiagą – anglies, volframo – nenaudojamuosius elektrodus ir metalinius – sunaudojamuosius. Dažniausiai naudojamas elektrodas yra plienas. Šiandien dažniausiai naudojamas suvirinimas nenaudojamu elektrodu. Taigi, suvirinimo lankų tipai yra įvairūs.

Degimo sąlygos

Standartinėmis sąlygomis, ty esant 25 laipsnių temperatūrai ir 1 atmosferos slėgiui, dujos negali praleisti elektros srovės. Kad susidarytų lankas, būtina, kad dujos tarp elektrodų būtų jonizuotos, tai yra, jose būtų įvairių įkrautų dalelių – elektronų arba jonų (katijonų arba anijonų). Jonizuotų dujų susidarymo procesas bus vadinamas jonizacija, o darbas, kurį reikia atlikti norint pašalinti elektroną iš atominė dalelė elektronui ir jonui susidaryti – jonizacijos darbas, kuris matuojamas elektronvoltais ir vadinamas jonizacijos potencialu. Kiek tiksliai energijos reikia sunaudoti elektronui pašalinti iš atomo, priklauso nuo dujų fazės pobūdžio, vertės gali būti nuo 3,5 iki 25 eV. Šarminių ir šarminių žemių grupių metalai – kalis, kalcis ir atitinkamai jų cheminis junginys. Elektrodai yra padengti tokiais junginiais, kad jie prisidėtų prie stabilaus suvirinimo lanko egzistavimo ir degimo.

Taip pat, kad lankas atsirastų ir degtų, katode reikalinga pastovi temperatūra, kuri priklauso nuo katodo pobūdžio, jo skersmens, dydžio ir temperatūros. aplinką. Todėl elektros lanko temperatūra turi būti pastovi ir nesvyruoti didžiulės vertybės srovės, temperatūra gali siekti 7 tūkstančius laipsnių, todėl suvirinant galima sujungti absoliučiai visas medžiagas. Pastovi temperatūra yra aprūpinamas veikiančio maitinimo šaltinio pagalba, todėl jo pasirinkimas projektuojant suvirinimo aparatą yra labai svarbus, turi įtakos lanko savybėms.

Atsiradimas

Jis atsiranda greito trumpojo jungimo metu, ty kai elektrodas liečiasi su virinamos medžiagos paviršiumi, dėl kolosalios temperatūros medžiagos paviršius išsilydo ir tarp elektrodo susidaro nedidelė išlydytos medžiagos juostelė. ir paviršius. Kai elektrodas ir virinama medžiaga išsiskiria, susidaro medžiagos kaklelis, kuris akimirksniu lūžta ir išgaruoja dėl didelės vertės srovės tankis. Dujos jonizuojasi ir susidaro elektros lankas. Galite ją sujaudinti liesdami ar subraižydami.

Ypatumai

Palyginti su kitais elektros krūviais, jis turi šias savybes:

Didelis srovės tankis, siekiantis kelis tūkstančius amperų per kvadratinis centimetras, dėl kurio pasiekiama labai aukšta temperatūra;
Netolygus pasiskirstymas elektrinis laukas erdvėje tarp elektrodų. Prie elektrodų įtampos kritimas yra labai didelis, kai kolonoje – priešingai;
Didžiulė temperatūra, kuri pasiekia daugiausiai didelės vertės stulpelyje dėl didelio tankio srovė Didėjant kolonėlės ilgiui, temperatūra mažėja, o susiaurėjus – priešingai – didėja;
Naudodami suvirinimo lankus galite gauti daugybę srovės įtampos charakteristikų - įtampos kritimo priklausomybę nuo srovės tankio esant pastoviam ilgiui, tai yra, nuolatinis degimas. Įjungta šiuo metu Yra trys srovės įtampos charakteristikos.

Pirmasis yra kritimas, kai didėjant stiprumui ir atitinkamai srovės tankiui, įtampa krenta. Antrasis – kietas, kai srovės pokytis niekaip neįtakoja įtampos vertės, o trečiasis – didėjantis, kai didėjant srovei didėja ir įtampa.

Taigi suvirinimo lankas gali būti vadinamas geriausiu ir patikimiausiu metalinių konstrukcijų tvirtinimo būdu. Suvirinimo procesas turi didelę įtakąšiandieninėje pramonėje, nes tik aukšta suvirinimo lanko temperatūra gali išlaikyti daugumą metalų kartu. Norint gauti kokybiškas ir patikimas siūles, būtina teisingai ir teisingai atsižvelgti į visas lanko charakteristikas, stebėti visas vertes. procedūra praeis greitai ir efektyviausiai. Taip pat būtina atsižvelgti į lanko savybes: srovės tankį, temperatūrą ir įtampą.

Apibrėžimas. Normalus yra ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys, kuris apibūdinamas tikimybių tankiu

Taip pat vadinamas normalaus paskirstymo dėsnis Gauso dėsnis.

Normaliojo skirstinio dėsnis tikimybių teorijoje užima pagrindinę vietą. Taip yra dėl to, kad šis įstatymas pasireiškia visais atvejais, kai atsitiktinis kintamasis yra didelio skaičiaus veikimo rezultatas įvairių veiksnių. Visi kiti paskirstymo dėsniai artėja prie įprasto dėsnio.

Galima nesunkiai parodyti, kad parametrai Ir , įtrauktos į pasiskirstymo tankį, yra atitinkamai matematinė tikimybė ir atsitiktinio dydžio standartinis nuokrypis X.

Raskime paskirstymo funkciją F(x) .

Tankio grafikas normalusis pasiskirstymas paskambino normali kreivė arba Gauso kreivė.

Įprasta kreivė turi šias savybes:

1) Funkcija apibrėžta visoje skaičių eilutėje.

2) Visų akivaizdoje X pasiskirstymo funkcija įgauna tik teigiamas reikšmes.

3) OX ašis yra tikimybių tankio grafiko horizontalioji asimptotė, nes su neribotu argumento absoliučios vertės padidėjimu X, funkcijos reikšmė linkusi į nulį.

4) Raskite funkcijos ekstremumą.

Nes adresu y’ > 0 adresu x < m Ir y’ < 0 adresu x > m, tada taške x = t funkcijos maksimumas lygus
.

5) Funkcija yra simetriška tiesės atžvilgiu x = a, nes skirtumas

(x – a) yra įtrauktas į kvadratinio pasiskirstymo tankio funkciją.

6) Norėdami rasti grafiko vingio taškus, rasime antrąją tankio funkcijos išvestinę.

At x = m+  ir x = m-  antroji išvestinė lygi nuliui, o eidama per šiuos taškus keičia ženklą, t.y. šiuose taškuose funkcija turi vingio tašką.

Šiuose taškuose funkcijos reikšmė yra lygi
.

Nubraižykime pasiskirstymo tankio funkciją (5 pav.).

Grafikai buvo sukurti T=0 ir trys galimos standartinio nuokrypio reikšmės  = 1,  = 2 ir  = 7. Kaip matote, didėjant standartinio nuokrypio reikšmei, grafikas tampa plokštesnis, o didžiausia vertė mažėja.

Jeigu A> 0, tada grafikas pasislinks teigiama kryptimi, jei A < 0 – в отрицательном.

At A= 0 ir  = 1 kreivė vadinama normalizuotas. Normalizuotos kreivės lygtis:

Laplaso funkcija

Raskime tikimybę, kad atsitiktinis dydis, paskirstytas pagal normalųjį dėsnį, pateks į tam tikrą intervalą.

Pažymėkime

Nes integralas
nėra išreiškiamas elementariomis funkcijomis, tada atsižvelgiama į funkciją

kuris vadinamas Laplaso funkcija arba tikimybinis integralas.

Šios funkcijos reikšmės įvairioms reikšmėms X apskaičiuojami ir pateikiami specialiose lentelėse.

Fig. 6 paveiksle parodytas Laplaso funkcijos grafikas.

Laplaso funkcija turi šias savybes:

1) F(0) = 0;

2) F(-x) = - F(x);

3) F( ) = 1.

Laplaso funkcija taip pat vadinama klaidos funkcija ir žymi erf x.

E vis dar naudojamas normalizuotas Laplaso funkcija, kuri yra susijusi su Laplaso funkcija ryšiu:

Fig. 7 paveiksle parodytas normalizuotos Laplaso funkcijos grafikas.

P trijų sigmų taisyklė

Svarstant normalaus paskirstymo dėsnį, išsiskiria svarbus ypatingas atvejis, žinomas kaip trijų sigmų taisyklė.

Užrašykime tikimybę, kad normaliai paskirstyto atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo matematinio lūkesčio yra mažesnis duota vertė :

Jei imsime  = 3, tada naudodami Laplaso funkcijos verčių lenteles gauname:

Tie. tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis nukryps nuo savo matematinio lūkesčio dydžiu, didesniu nei standartinio nuokrypio triguba, yra praktiškai lygi nuliui.

Ši taisyklė vadinama trijų sigmų taisyklė.

Praktikoje manoma, kad jei bet kuriam atsitiktiniam dydžiui trijų taisyklė sigma, tada šis atsitiktinis kintamasis turi normalųjį pasiskirstymą.

Paskaitos pabaiga:

Paskaitoje nagrinėjome ištisinių dydžių pasiskirstymo dėsnius Ruošdamiesi sekančiai paskaitai ir praktiniams užsiėmimams, įsigilindami į rekomenduojamą literatūrą ir spręsdami siūlomas problemas, turite savarankiškai papildyti paskaitų užrašus.

Normalaus tikimybių skirstinio dėsnis

Neperdedant jį galima pavadinti filosofiniu dėsniu. Stebėdami įvairius objektus ir procesus mus supančiame pasaulyje, dažnai susiduriame su tuo, kad kažko neužtenka ir kad yra norma:

Čia yra pagrindinis vaizdas tankio funkcijos normalų tikimybių pasiskirstymą ir sveikinu jus su šia įdomia pamoka.

Kokius pavyzdžius galite pateikti? Tiesiog jų tamsa. Tai, pavyzdžiui, ūgis, žmonių (ir ne tik) svoris, jų fizinė jėga, protinius gebėjimus ir tt Yra „pagrindinė masė“ (dėl vienokių ar kitokių priežasčių) ir yra nukrypimų į abi puses.

Tai įvairių savybių negyvi daiktai (tokio pat dydžio, svorio). Tai atsitiktinė procesų trukmė..., vėl į galvą atėjo liūdnas pavyzdys, ir todėl pasakysiu lempučių "gyvenimo laiką" :) Iš fizikos prisiminiau oro molekules: tarp jų yra lėtųjų, yra greiti, bet dauguma juda „standartiniu“ greičiu.

Tada mes nukrypstame nuo centro dar vienu standartiniu nuokrypiu ir apskaičiuojame aukštį:

Taškų žymėjimas brėžinyje (žalia) ir matome, kad to visiškai pakanka.

Paskutiniame etape atsargiai nubrėžkite grafiką ir ypač atsargiai atspindėti tai išgaubtas / įgaubtas! Na, tikriausiai jau seniai supratote, kad x ašis yra horizontalioji asimptote, ir už jo „lipti“ kategoriškai draudžiama!

At elektroninė registracija Sprendimo grafiką nesunku susikurti Excel programoje, o pačiam netikėtai šia tema net įrašiau trumpą filmuką. Bet pirmiausia pakalbėkime apie tai, kaip normalios kreivės forma keičiasi priklausomai nuo ir reikšmių.

Didinant arba mažinant "a" (su nuolatine „sigma“) grafikas išlaiko savo formą ir juda dešinėn/kairėn atitinkamai. Pavyzdžiui, kai funkcija įgauna formą ir mūsų grafikas „perkelia“ 3 vienetus į kairę - tiksliai iki koordinačių pradžios:

Normaliai paskirstytas dydis su nuliniais matematiniais lūkesčiais gavo visiškai natūralų pavadinimą - centre; jo tankio funkcija – net, o grafikas yra simetriškas ordinatės atžvilgiu.

Pasikeitus „sigma“ (su konstanta "a"), grafikas „lieka toks pat“, bet keičia formą. Padidėjęs jis tampa žemesnis ir pailgėjęs, kaip aštuonkojis, ištempęs čiuptuvus. Ir, atvirkščiai, mažinant grafiką tampa siauresnis ir aukštesnis- pasirodo, kad tai „nustebęs aštuonkojis“. Taip, kada mažėti„sigma“ du kartus: ankstesnis grafikas susiaurėja ir pailgėja du kartus:

Viskas visiškai atitinka grafikų geometrinės transformacijos.

Vadinamas normalusis skirstinys su vienetine sigmos reikšme normalizuotas, o jei taip pat centre(mūsų atvejis), tada toks skirstinys vadinamas standartinis. Turi dar daugiau paprasta funkcija tankis, su kuriuo jau buvo susidurta Laplaso lokalinė teorema: . Standartinis platinimas buvo plačiai pritaikytas praktikoje, ir labai greitai mes pagaliau suprasime jo paskirtį.

Na, o dabar pažiūrėkime filmą:

Taip, visiškai teisingai – kažkaip nepelnytai tai liko šešėlyje tikimybių pasiskirstymo funkcija. Prisiminkime ją apibrėžimas:
– tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę MAŽESNĖ, nei kintamasis, kuris „pereina“ visas realias reikšmes iki „pliuso“ begalybės.

Integralo viduje paprastai naudojama skirtinga raidė, kad nebūtų „persidengimų“ su užrašu, nes čia kiekviena reikšmė yra susieta su netinkamas integralas , kuris yra lygus kai kuriems numerį iš intervalo .

Beveik visos reikšmės nėra priimtinos tikslus skaičiavimas, tačiau, kaip ką tik matėme, naudojant šiuolaikinę skaičiavimo galią tai nėra sunku. Taigi, dėl funkcijos standartinis paskirstymas, atitinkamoje „Excel“ funkcijoje paprastai yra vienas argumentas:

=NORMSDIST(z)

Vienas, du – ir viskas:

Brėžinys aiškiai parodo visų įgyvendinimą paskirstymo funkcijos savybės, o iš techninių niuansų čia reikėtų atkreipti dėmesį horizontalios asimptotės ir vingio tašką.

Dabar prisiminkime vieną iš pagrindinių temos užduočių, būtent, išsiaiškinkime, kaip rasti tikimybę, kad normalus atsitiktinis kintamasis paims vertę iš intervalo. Geometriškai ši tikimybė yra lygi plotas tarp normalios kreivės ir x ašies atitinkamame skyriuje:

bet kiekvieną kartą bandau gauti apytikslę vertę yra nepagrįstas, todėl jį naudoti racionaliau „lengva“ formulė:
.

! Taip pat prisimena , Ką

Čia galite vėl naudoti „Excel“, tačiau yra keletas reikšmingų „bet“: pirma, ji ne visada yra po ranka, antra, „paruoštos“ vertės greičiausiai sukels mokytojo klausimų. Kodėl?

Jau ne kartą apie tai kalbėjau: kažkada (ir ne taip seniai) įprastas skaičiuotuvas buvo prabanga, o m. mokomoji literatūra„Rankinis“ nagrinėjamos problemos sprendimo būdas vis dar išsaugomas. Jo esmė yra standartizuoti reikšmės „alfa“ ir „beta“, tai yra, sumažina sprendimą iki standartinio pasiskirstymo:

Pastaba : funkciją lengva gauti iš bendrojo atvejonaudojant linijinį pakaitalai. Tada taip pat:

ir atlikus pakeitimą pagal formulę: perėjimas nuo vertybių atsitiktinis pasiskirstymas– į atitinkamas standartinio skirstinio vertes.

Kodėl tai būtina? Faktas yra tas, kad vertes kruopščiai apskaičiavo mūsų protėviai ir sudarė į specialią lentelę, kuri yra daugelyje knygų apie terwer. Tačiau dar dažniau yra vertybių lentelė, kurią jau nagrinėjome Laplaso integralų teorema:

Jei turime Laplaso funkcijos verčių lentelę , tada sprendžiame per jį:

Trupmeninės reikšmės Tradiciškai apvaliname iki 4 skaitmenų po kablelio, kaip daroma standartinėje lentelėje. O kontrolei yra 5 punktas išdėstymas.

Aš jums tai primenu , ir siekiant išvengti painiavos visada kontroliuoti, prieš akis yra lentelė KOKIA funkcija.

Atsakymas reikalaujama pateikti procentais, todėl apskaičiuotą tikimybę reikia padauginti iš 100, o rezultatą pateikti su prasmingu komentaru:

– skrendant nuo 5 iki 70 m, kris maždaug 15,87% sviedinių

Treniruojamės savarankiškai:

3 pavyzdys

Gamykloje pagamintų guolių skersmuo yra atsitiktinis dydis, paprastai pasiskirstęs su 1,5 cm matematiniu nuokrypiu, o standartiniu nuokrypiu - 0,04 cm. Raskite tikimybę, kad atsitiktinai parinkto guolio dydis svyruoja nuo 1,4 iki 1,6 cm.

Pavyzdiniame sprendime ir toliau kaip dažniausiai pasitaikančią parinktį naudosiu Laplaso funkciją. Beje, atkreipkite dėmesį, kad pagal formuluotę čia į svarstymą galima įtraukti intervalo galus. Tačiau tai nėra kritiška.

Ir jau šiame pavyzdyje mes susitikome ypatingas atvejis– kai intervalas yra simetriškas matematinio lūkesčio atžvilgiu. Esant tokiai situacijai, jis gali būti parašytas forma ir, naudojant Laplaso funkcijos keistumą, supaprastinti darbo formulę:

Delta parametras vadinamas nukrypimas nuo matematinio lūkesčio, o dviguba nelygybė gali būti „supakuota“ naudojant modulis:

– tikimybė, kad atsitiktinio dydžio reikšmė nukryps nuo matematinio lūkesčio mažiau nei .

Gerai, kad sprendimas telpa vienoje eilutėje :)
– tikimybė, kad atsitiktinai paimto guolio skersmuo nuo 1,5 cm skiriasi ne daugiau kaip 0,1 cm.

Šios užduoties rezultatas pasirodė artimas vienybei, tačiau norėčiau dar didesnio patikimumo - būtent išsiaiškinti ribas, kuriose yra skersmuo beveik visi guoliai. Ar tam yra koks nors kriterijus? Egzistuoja! Į pateiktą klausimą atsako vadinamasis

trijų sigmų taisyklė

Jo esmė ta praktiškai patikimas yra faktas, kad normaliai paskirstytas atsitiktinis kintamasis paims reikšmę iš intervalo .

Iš tiesų, nukrypimo nuo numatomos vertės tikimybė yra mažesnė nei:
arba 99,73 proc.

Kalbant apie guolius, tai yra 9973 vienetai, kurių skersmuo nuo 1,38 iki 1,62 cm, ir tik 27 „nestandartinės“ kopijos.

Praktiniuose tyrimuose trijų sigmų taisyklė dažniausiai taikoma priešinga kryptimi: jei statistiškai Nustatyta, kad beveik visos vertybės tiriamas atsitiktinis kintamasis patenka į 6 standartinių nuokrypių intervalą, tada yra įtikinamų priežasčių manyti, kad ši vertė yra paskirstyta normalus įstatymas. Tikrinimas atliekamas naudojant teoriją statistines hipotezes , kurią tikiuosi anksčiau ar vėliau pasiekti :)

Tuo tarpu mes toliau sprendžiame sunkias sovietų problemas:

4 pavyzdys

Atsitiktinė svėrimo paklaidos reikšmė paskirstoma pagal įprastą dėsnį su nuline matematine tikėtina ir standartinis nuokrypis 3 gramai. Raskite tikimybę, kad kitas svėrimas bus atliktas su paklaida, neviršijančia 5 gramų absoliučia verte.

Sprendimas labai paprasta. Pagal sąlygą mes iš karto pažymime, kad kito svėrimo metu (kažkas ar kažkas) beveik 100% gausime rezultatą 9 gramų tikslumu. Tačiau problema susijusi su siauresniu nuokrypiu ir pagal formulę :

– tikimybė, kad kitas svėrimas bus atliktas su ne didesne kaip 5 gramų paklaida.

Atsakymas:

Išspręsta problema iš esmės skiriasi nuo iš pažiūros panašios. 3 pavyzdys pamoka apie vienodas paskirstymas. Įvyko klaida apvalinimas matavimo rezultatai, čia kalbama apie pačių matavimų atsitiktinę paklaidą. Tokios klaidos atsiranda dėl techninės charakteristikos patį įrenginį (priimtinų klaidų diapazonas paprastai nurodomas jo pase), taip pat dėl eksperimentatoriaus kaltės - kai, pavyzdžiui, „iš akies“ imame rodmenis iš tų pačių svarstyklių adatos.

Tarp kitų yra ir vadinamųjų sistemingas matavimo paklaidos. Tai jau yra neatsitiktinis klaidų, atsirandančių dėl netinkamo įrenginio nustatymo ar veikimo. Pavyzdžiui, nereguliuojamos grindų svarstyklės gali stabiliai „pridėti“ kilogramų, o pardavėjas sistemingai apsunkina klientus. Arba jis gali būti skaičiuojamas nesistemingai. Tačiau bet kokiu atveju tokia klaida nebus atsitiktinė, o jos lūkesčiai skiriasi nuo nulio.

…Skubiai rengiu pardavimų mokymo kursą =)

Mes patys nusprendžiame atvirkštinė problema:

5 pavyzdys

Volelio skersmuo yra atsitiktinis normaliai paskirstytas atsitiktinis dydis, jo standartinis nuokrypis lygus mm. Raskite intervalo, simetriško matematinio lūkesčio, ilgį, į kurį greičiausiai patenka ritinėlio skersmens ilgis.

5 punktas* dizaino išdėstymas padėti. Atkreipkite dėmesį, kad čia tai nėra žinoma matematinis lūkestis, bet tai nė kiek netrukdo mums išspręsti problemos.

IR egzamino užduotis, kurį labai rekomenduoju medžiagai sutvirtinti:

6 pavyzdys

Normalaus pasiskirstymo atsitiktinis dydis nurodomas jo parametrais (matematinis lūkestis) ir (standartinis nuokrypis). Reikalinga:

a) užsirašykite tikimybių tankį ir schematiškai pavaizduokite jo grafiką;
b) Raskite tikimybę, kad ji paims reikšmę iš intervalo ;
c) rasti tikimybę, kad absoliuti reikšmė nukryps nuo ne daugiau kaip ;
d) naudodami „trijų sigmų“ taisyklę, raskite atsitiktinio dydžio reikšmes.

Tokios problemos siūlomos visur, o per ilgus praktikos metus jų išsprendžiau šimtus ir šimtus. Būtinai praktikuokite piešti piešinį ranka ir naudodami popierines lenteles;)

Na, aš jums pateiksiu pavyzdį padidėjęs sudėtingumas:

7 pavyzdys

Atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo tankis turi formą . Rasti, matematinės lūkesčiai, dispersija, pasiskirstymo funkcija, sudaryti tankio grafikus ir pasiskirstymo funkcijas, rasti.

Sprendimas: Pirmiausia atkreipkime dėmesį, kad sąlyga nieko nesako apie atsitiktinio dydžio pobūdį. Rodiklio buvimas savaime nieko nereiškia: gali pasirodyti, pavyzdžiui, orientacinis ar net savavališkai nuolatinis paskirstymas. Ir todėl paskirstymo „normalumą“ vis dar reikia pagrįsti:

Nuo funkcijos nustatytas bet koks tikroji vertė, ir ji gali būti sumažinta iki formos , tada atsitiktinis dydis pasiskirsto pagal normalųjį dėsnį.

Štai mes einame. Už tai pasirinkite visą kvadratą ir organizuoti trijų aukštų trupmena:

Būtinai atlikite patikrinimą, grąžindami indikatorių į pradinę formą:

, ką norėjome pamatyti.

Taigi:
- Pagal operacijų su įgaliojimais taisyklė"nuimti" Ir čia galime iš karto užrašyti tai, kas akivaizdu skaitinės charakteristikos:

Dabar suraskime parametro reikšmę. Kadangi normalaus pasiskirstymo daugiklis turi formą ir , tada:
, iš kur mes išreiškiame ir pakeičiame savo funkciją:
, po kurio dar kartą peržvelgsime įrašą akimis ir įsitikinsime, kad gauta funkcija turi formą .

Sukurkime tankio grafiką:

ir pasiskirstymo funkcijos grafikas :

Jei po ranka neturite „Excel“ ar net įprasto skaičiuotuvo, paskutinę grafiką galite lengvai sudaryti rankiniu būdu! Taške paskirstymo funkcija įgauna reikšmę ir štai

Kokia tikimybinio samprotavimo idėja?

Pirmas, pats natūraliausias tikimybinio samprotavimo žingsnis yra toks: jei turite kokį nors kintamąjį, kuris įgauna reikšmes atsitiktinai, tuomet norėtumėte sužinoti, su kokiomis tikimybėmis tas kintamasis įgauna tam tikras reikšmes. Šių tikimybių visuma nurodo tikimybių skirstinį. Pavyzdžiui, duotas kauliukas, galite a priori manyti, kad su lygios tikimybės 1/6 nukris ant bet kurio krašto. Ir tai atsitinka, jei kaulas yra simetriškas. Jei kaulas yra asimetriškas, galite nustatyti didelės tikimybės tiems veidams, kurie iškrenta dažniau, ir mažesnė tikimybė tiems veidams, kurie iškrenta rečiau, remiantis eksperimentiniais duomenimis. Jei koks nors veidas visai nepasirodo, tada jam galima priskirti tikimybę 0. Tai paprasčiausias tikimybinis dėsnis, kuriuo galima apibūdinti kauliuko metimo rezultatus. Žinoma, tai itin paprastas pavyzdys, tačiau panašių problemų kyla, pavyzdžiui, atliekant aktuarinius skaičiavimus, kai reali rizika išduodant draudimo liudijimą apskaičiuojama remiantis realiais duomenimis.

Šiame skyriuje apžvelgsime dažniausiai praktikoje atsirandančius tikimybinius dėsnius.

Šių skirstinių grafikus galima lengvai nubraižyti STATISTIKA.

Normalus pasiskirstymas

Normalusis tikimybių skirstinys ypač dažnai naudojamas statistikoje. Normalus pasiskirstymas yra geras modelis tikri reiškiniai, kuriame:

1) yra stipri tendencija, kad duomenys telkiasi aplink centrą;

2) vienodai tikėtini teigiami ir neigiami nukrypimai nuo centro;

3) nukrypimų dažnis greitai krenta, kai nukrypimai nuo centro tampa dideli.

Mechanizmas, kuriuo grindžiamas normalusis skirstinys, paaiškintas naudojant vadinamąją centrinės ribos teoremą, gali būti vaizdžiai apibūdintas taip. Įsivaizduokite, kad turite žiedadulkių dalelių, kurias atsitiktinai įmetėte į stiklinę vandens. Atsižvelgiant į atskira dalelė po mikroskopu pamatysite nuostabus reiškinys- dalelė juda. Žinoma, taip nutinka todėl, kad vandens molekulės juda ir savo judėjimą perduoda suspenduotoms žiedadulkių dalelėms.

Bet kaip tiksliai vyksta judėjimas? Štai daugiau įdomus klausimas. Ir šis judėjimas yra labai keistas!

Yra begalinis skaičius nepriklausomas poveikis atskiroms žiedadulkių dalelėms vandens molekulių poveikio pavidalu, kuris priverčia dalelę judėti labai keista trajektorija. Žiūrint į mikroskopą, šis judesys primena pakartotinai ir chaotiškai nutrūkstamą liniją. Šių kinkų neįmanoma numatyti, juose nėra modelio, kuris tiksliai atitinka chaotišką molekulių poveikį dalelei. Suspenduota dalelė, patyrusi vandens molekulės poveikį atsitiktinis momentas laiko, keičia savo judėjimo kryptį, tada kurį laiką juda pagal inerciją, tada vėl patenka į kitos molekulės poveikį ir pan. Nuostabus biliardas pasirodo vandens stiklinėje!

Kadangi molekulių judėjimas turi atsitiktinę kryptį ir greitį, trajektorijos kinkų dydis ir kryptis taip pat yra visiškai atsitiktiniai ir nenuspėjami. Šis nuostabus reiškinys vadinamas Brauno judesys, atrastas XIX amžiuje, verčia susimąstyti apie daugybę dalykų.

Jeigu įvesime tinkamą sistemą ir pažymėsime dalelės koordinates tam tikrais laiko momentais, tai gausime normalųjį dėsnį. Tiksliau, žiedadulkių dalelių poslinkiai, atsirandantys dėl molekulinio poveikio, paklus įprastam dėsniui.

Pirmą kartą tokios dalelės judėjimo dėsnį, vadinamą Brownianu, fiziniu griežtumo lygiu aprašė A. Einšteinas. Tada Lenževanas sukūrė paprastesnį ir intuityvesnį požiūrį.

XX amžiaus matematikai šiai teorijai skyrė savo geriausius puslapius, o pirmasis žingsnis buvo žengtas prieš 300 metų, kai ji buvo atrasta. paprasčiausias variantas centrinės ribos teorema.

Tikimybių teorijoje centrinė ribos teorema, iš pradžių žinomas Moivre ir Laplaso formuluotėse dar XVII amžiuje kaip garsiojo įstatymo plėtra. dideli skaičiai J. Bernoulli (1654-1705) (žr. J. Bernoulli (1713), Ars Conjectandi) dabar nepaprastai išsivystė ir pasiekė savo aukštumas. V modernus principas invariantiškumas, kurio kūrime reikšmingą vaidmenį atliko rusas matematikos mokykla. Būtent šiuo principu Brauno dalelės judėjimas randa savo griežtą matematinį paaiškinimą.

Idėja tokia, kad susumavus didelį skaičių nepriklausomi kiekiai(molekulių poveikis žiedadulkių dalelėms) tam tikromis pagrįstomis sąlygomis pasirodo visiškai normalus paskirstytus kiekius. Ir tai vyksta nepriklausomai, tai yra, nekintant, nuo pradinių reikšmių pasiskirstymo. Kitaip tariant, jei tam tikrą kintamąjį įtakoja daug veiksnių, šie poveikiai yra nepriklausomi, santykinai nedideli ir sumuojasi vienas su kitu, tada gauta reikšmė turi normalųjį pasiskirstymą.

Pavyzdžiui, praktiškai begalinis skaičius veiksniai lemia žmogaus svorį (tūkstančiai genų, polinkis, ligos ir kt.). Taigi būtų galima tikėtis normalaus svorio pasiskirstymo visų asmenų populiacijoje.

Jei esate finansininkas ir žaidžiate akcijų rinkoje, tuomet, žinoma, žinote atvejų, kai akcijų kainos elgiasi kaip Brauno dalelės, patiriančios chaotišką daugelio veiksnių poveikį.

Formaliai normalaus pasiskirstymo tankis parašytas taip:

kur a ir õ 2 yra dėsnio parametrai, atitinkamai interpretuojami kaip duoto atsitiktinio dydžio vidurkis ir dispersija (dėl ypatingo normaliojo skirstinio vaidmens jo tankio funkcijai ir pasiskirstymo funkcijai žymėti naudosime specialius simbolius). Vizualiai normalaus tankio grafikas yra garsioji varpo formos kreivė.

Atitinkama normalaus atsitiktinio dydžio (a,õ 2) pasiskirstymo funkcija žymima Ф(x; a,õ 2) ir pateikiama ryšiu:

Normalusis dėsnis, kurio parametrai a = 0 ir õ 2 = 1, vadinamas standartiniu.

Atvirkštinė standartinio normaliojo skirstinio funkcija, taikoma z reikšmei, 0

Norėdami apskaičiuoti z iš x ir atvirkščiai, naudokite STATISTICA tikimybių skaičiuoklę.

Pagrindinės įprasto įstatymo ypatybės:

Vidurkis, režimas, mediana: E=x mod =x med =a;

Sklaida: D=õ 2 ;

Asimetrija:

Perteklius:

Iš formulių aišku, kad normalusis skirstinys apibūdinamas dviem parametrais:

a - vidurkis - vidutinis;

õ - standartinis nuokrypis - standartinis nuokrypis, skaitykite: „sigma“.

Kartais su standartinis nuokrypis vadinamas standartiniu nuokrypiu, bet tai jau pasenusi terminija.

Štai keletas naudingų faktų apie normalųjį pasiskirstymą.

Vidutinė vertė nustato tankio vietos matą. Normaliojo skirstinio tankis yra simetriškas vidurkio atžvilgiu. Normaliojo skirstinio vidurkis sutampa su mediana ir moda (žr. grafikus).

Normaliojo pasiskirstymo tankis su dispersija 1 ir vidurkiu 1

Normalaus pasiskirstymo tankis, kai vidurkis 0 ir dispersija 0,01

Normaliojo pasiskirstymo tankis, kai vidurkis 0 ir dispersija 4

Didėjant dispersijai, normalaus pasiskirstymo tankis išsiskleidžia arba plinta išilgai OX ašies, kai dispersija mažėja, ji, priešingai, susitraukia, susitelkdama aplink vieną tašką – didžiausios vertės tašką, kuris sutampa su vidutine verte; . Ribiniu nulinės dispersijos atveju atsitiktinis dydis išsigimsta ir įgauna vieną reikšmę, lygią vidurkiui.

Naudinga žinoti 2 ir 3 sigmų arba 2 ir 3 standartinių nuokrypių taisykles, kurios yra susijusios su normaliuoju pasiskirstymu ir naudojamos įvairiose srityse. Šių taisyklių prasmė labai paprasta.

Jei nuo vidutinio arba, kas yra tas pats, nuo normalaus skirstinio maksimalaus tankio taško, atitinkamai į dešinę ir į kairę dedame du ir tris standartinius nuokrypius (2 ir 3 sigmas), tada plotas po normalaus tankio grafiku, apskaičiuotas pagal šį intervalą, bus atitinkamai lygus 95,45% ir 99,73% viso ploto po grafiku (patikrinkite STATISTICA tikimybių skaičiuoklėje!).

Kitaip tariant, jis gali būti išreikštas taip: 95,45% ir 99,73% visų nepriklausomų stebėjimų normalioje populiacijoje, pavyzdžiui, dalies dydis ar akcijų kaina, yra 2 ir 3 standartinių nuokrypių nuo vidurkio ribose.

Vienodas paskirstymas

Vienodas paskirstymas yra naudingas aprašant kintamuosius, kurių kiekviena reikšmė yra vienodai tikėtina, kitaip tariant, kintamojo reikšmės yra tolygiai paskirstytos tam tikram regionui.

Žemiau pateikiamos vienodo atsitiktinio dydžio tankio ir pasiskirstymo funkcijos formulės, imant reikšmes intervale [a, b].

Iš šių formulių nesunku suprasti, kad tikimybė, kad vienodas atsitiktinis kintamasis paims reikšmes iš aibės [c, d] [a, b], lygus (d – c)/(b – a).

Padėkime a=0,b=1. Žemiau pateikiamas vienodo tikimybės tankio grafikas, kurio centras yra segmentas.

Vienodo įstatymo skaitinės charakteristikos:

Eksponentinis pasiskirstymas

Atsiranda įvykių, kuriuos kasdienėje kalboje galima pavadinti retais. Jei T yra laikas tarp retų įvykių, kurių intensyvumas vidutiniškai pasireiškia X, tada reikšmė
T turi eksponentinį skirstinį su parametru (lambda). Eksponentinis pasiskirstymas dažnai naudojamas apibūdinti intervalus tarp nuoseklių atsitiktinių įvykių, pvz., intervalus tarp apsilankymų nepopuliarioje svetainėje, nes šie apsilankymai yra reti įvykiai.

Šis paskirstymas turi labai įdomią savybę, kad nėra poveikio, arba, kaip jie taip pat sako, Markovo savybę garsaus rusų matematiko A. A. Markovo garbei, kurią galima paaiškinti taip. Jei pasiskirstymas tarp tam tikrų įvykių momentų yra orientacinis, tada pasiskirstymas skaičiuojamas nuo bet kurio momento t iki kito įvykio taip pat turi eksponentinį skirstinį (su tuo pačiu parametru).

Kitaip tariant, retų įvykių sraute kito lankytojo laukimo laikas visada pasiskirsto eksponentiškai, nepaisant to, kiek laiko jau laukėte jo.

Eksponentinis skirstinys yra susijęs su Puasono skirstiniu: vienetiniame laiko intervale įvykių, tarp kurių intervalai yra nepriklausomi ir pasiskirstę eksponentiškai, skaičius turi Puasono skirstinį. Jei intervalai tarp apsilankymų svetainėje yra pasiskirstę eksponentinį, tai apsilankymų skaičius, pavyzdžiui, per valandą, paskirstomas pagal Puasono dėsnį.

Eksponentinis skirstinys yra ypatingas Weibull skirstinio atvejis.

Jei laikas yra ne tolydis, o diskretus, tai eksponentinės skirstinio analogas yra geometrinis skirstinys.

Eksponentinis pasiskirstymo tankis apibūdinamas formule:

Šis skirstinys turi tik vieną parametrą, kuris lemia jo charakteristikas.

Eksponentinio pasiskirstymo tankio grafikas atrodo taip:

Pagrindinės skaitinės eksponentinio skirstinio charakteristikos:

Erlang platinimas

Šis nuolatinis pasiskirstymas yra orientuotas į (0,1) ir jo tankis:

Lūkesčiai ir dispersija yra atitinkamai vienodi

Erlango paskirstymas pavadintas A. Erlango vardu, kuris pirmą kartą panaudojo jį eilių ir telefonijos teorijos uždaviniuose.

Erlango skirstinys su parametrais µ ir n yra n nepriklausomų, vienodai paskirstytų atsitiktinių dydžių, kurių kiekvienas turi eksponentinį skirstinį su parametru nµ, sumos skirstinys.

At n = 1 Erlang skirstinys yra toks pat kaip eksponentinis arba eksponentinis skirstinys.

Laplaso pasiskirstymas

Laplaso tankio funkcija arba dvigubas eksponentinis, kaip ji dar vadinama, naudojama, pavyzdžiui, apibūdinti klaidų pasiskirstymą regresijos modeliuose. Žvelgdami į šio skirstinio grafiką pamatysite, kad jis susideda iš dviejų eksponentinių skirstinių, simetriškų OY ašiai.

Jei padėties parametras yra 0, Laplaso pasiskirstymo tankio funkcija yra tokia:

Pagrindinės šio pasiskirstymo įstatymo skaitinės charakteristikos, darant prielaidą, kad padėties parametras yra nulis, yra šios:

Apskritai Laplaso pasiskirstymo tankis turi tokią formą:

a yra skirstinio vidurkis; b - mastelio parametras; e – Eilerio skaičius (2,71...).

Gama pasiskirstymas

Eksponentinio skirstinio tankis turi režimą taške 0, ir tai kartais yra nepatogu praktiniam pritaikymui. Daugelyje pavyzdžių iš anksto žinoma, kad nagrinėjamo atsitiktinio dydžio režimas nėra lygus 0, pavyzdžiui, intervalai tarp pirkėjo atvykimo į elektroninės prekybos parduotuvę ar apsilankymų svetainėje turi ryškų režimą. Tokiems įvykiams modeliuoti naudojamas gama skirstinys.

Gama pasiskirstymo tankis turi tokią formą:

kur Г yra Eulerio Г funkcija, a > 0 yra „formos“ parametras, o b > 0 yra mastelio parametras.

Ypatingu atveju turime Erlang skirstinį ir eksponentinį skirstinį.

Pagrindinės gama pasiskirstymo charakteristikos:

Žemiau yra du gama tankio grafikai, kurių skalės parametras yra 1, o formos parametrai yra 3 ir 5.

Naudinga gama skirstinio savybė: bet kokio nepriklausomų gama paskirstytų atsitiktinių dydžių (su tuo pačiu skalės parametru b) suma

(a l ,b) + (a 2 ,b) + --- +(a n ,b) taip pat paklūsta gama skirstiniui, bet su parametrais a 1 + a 2 + + a n ir b.

Lognormalus pasiskirstymas

Atsitiktinis dydis h vadinamas logaritminiu normaliuoju arba lognormaliu, jei jo natūraliajam logaritmui (lnh) taikomas normalusis skirstymo dėsnis.

Lognormalus skirstinys naudojamas, pavyzdžiui, modeliuojant tokius kintamuosius kaip pajamos, jaunavedžių amžius arba priimtinas nukrypimas nuo standarto. kenksmingų medžiagų maisto produktuose.

Taigi, jei vertė x turi normalųjį skirstinį, tada reikšmę y = e x turi lognormalųjį skirstinį.

Jei normaliąją reikšmę pakeičiate eksponento laipsniu, galite lengvai suprasti, kad lognormali reikšmė yra pakartotinio nepriklausomų kintamųjų dauginimo rezultatas, kaip ir įprastas atsitiktinis kintamasis yra pakartotinio sumavimo rezultatas.

Lognormalaus pasiskirstymo tankis turi tokią formą:

Pagrindinės lognormaliojo skirstinio charakteristikos:

Chi kvadrato skirstinys

Kvadratų suma m nepriklausoma normalios vertės su vidurkiu 0 ir dispersija 1 turi chi kvadrato skirstinį su m laisvės laipsnių. Šis skirstinys dažniausiai naudojamas duomenų analizei.

Formaliai gerai kvadratinio skirstinio tankis su m laisvės laipsniais turi tokią formą:

Už neigiamą x tankis tampa 0.

Pagrindinės skaitinės chi kvadrato skirstinio charakteristikos:

Tankio grafikas parodytas paveikslėlyje žemiau:

Binominis skirstinys

Dvejetainis pasiskirstymas yra svarbiausias diskretiškas paskirstymas, kuri sutelkta vos keliuose taškuose. Šie taškai binominis skirstinys priskiria teigiamas tikimybes. Taigi binominis skirstinys skiriasi nuo nuolatiniai paskirstymai(normalusis, chi kvadratas ir kt.), kurios individualiai pasirinktiems taškams priskiria nulines tikimybes ir vadinamos tolydžiomis.

Galite geriau suprasti dvinarį pasiskirstymą, atsižvelgdami į šį žaidimą.

Įsivaizduokite, kad metate monetą. Tegul yra tikimybė, kad herbas iškris p, o galvų nusileidimo tikimybė yra q = 1 - p (mes svarstome daugiausia bendras atvejis, kai moneta yra asimetriška, turi, pavyzdžiui, poslinkį svorio centras monetoje yra skylė).

Herbo nusileidimas laikomas sėkme, o uodega – nesėkme. Tada nubrėžtų galvų (arba uodegų) skaičius turi dvinarį pasiskirstymą.

Atkreipkite dėmesį, kad asimetriškų monetų ar netaisyklingų kauliukų svarstymas yra praktiškai naudingas. Kaip pažymėjo J. Neumann savo elegantiškoje knygoje „ Įvadinis kursas tikimybių teorija ir matematinė statistika“, žmonės jau seniai atspėjo, kad taškų kritimo dažnis kauliukai priklauso nuo paties šio kaulo savybių ir gali būti dirbtinai pakeistas. Archeologai faraono kape aptiko dvi poras kaulų: „sąžiningus“ - su vienoda tikimybe, kad visos pusės iškris, ir netikrus - su sąmoningu svorio centro poslinkiu, o tai padidino šešių iškritimo tikimybę.

Binominio skirstinio parametrai yra sėkmės tikimybė p (q = 1 - p) ir bandymų skaičius n.

Binominis skirstinys yra naudingas apibūdinant binominių įvykių pasiskirstymą, pvz., vyrų ir moterų skaičių atsitiktinai atrinktose įmonėse. Ypač svarbus yra dvinario skirstinio naudojimas žaidimo problemose.

Tiksli sėkmės tikimybės formulė m n bandymai parašyti taip:

p-sėkmės tikimybė

q lygus 1-p, q>=0, p+q==1

n- bandymų skaičius, m =0,1...m

Pagrindinės dvinario skirstinio charakteristikos:

Šio pasiskirstymo grafikas ties įvairūs skaičiai n testai ir sėkmės tikimybės p turi tokią formą:

Binominis skirstinys yra susijęs su normaliuoju ir Puasono skirstiniais (žr. toliau); esant tam tikroms parametrų reikšmėms didelis skaičius testus, jis virsta šiais skirstiniais. Tai lengva parodyti naudojant STATISTICA.

Pavyzdžiui, atsižvelgiant į dvinario skirstinio grafiką su parametrais p = 0,7, n = 100 (žr. pav.), naudojome STATISTICA BASIC – matote, kad grafikas labai panašus į normalaus skirstinio tankį (tikrai taip!).

Dvejetainis pasiskirstymo grafikas su parametrais p=0,05, n=100 labai panašus į Puasono pasiskirstymo grafiką.

Kaip jau minėta, binominis skirstinys atsirado stebint paprasčiausią azartinių lošimų- mesti sąžiningą monetą. Daugeliu atvejų šis modelis pasitarnauja pirmas geras artinasi daugiau iššūkių kupinus žaidimus Ir atsitiktiniai procesai kylančių žaidžiant biržoje. Pastebėtina, kad esminiai bruožai daugelio sudėtingus procesus galima suprasti iš paprasto binominio modelio.

Pavyzdžiui, apsvarstykite šią situaciją.

Pažymėkime herbo praradimą kaip 1, o uodegos praradimą – kaip minus 1, o laimėjimus ir pralaimėjimus sudėsime nuosekliais laiko momentais. Grafikai rodo tipines tokio žaidimo trajektorijas 1000 metimų, 5000 metimų ir 10 000 metimų. Pastebėkite, kaip trajektorija ilgą laiką yra aukščiau arba žemiau nulio, kitaip tariant, laikas, per kurį vienas iš žaidėjų laimi visiškai sąžiningame žaidime, yra labai ilgas, o perėjimai nuo laimėjimo prie pralaimėjimo yra gana reti, o su tuo sunku susitaikyti nepasiruošusiam protui, kuriam posakis „visiškai sąžiningas žaidimas“ skamba kaip magiškas burtas. Taigi, nors žaidimas yra sąžiningas pagal savo sąlygas, tipinės trajektorijos elgesys nėra sąžiningas ir neparodo pusiausvyros!

Žinoma, empiriškai šis faktas yra žinomas visiems žaidėjams, kai žaidėjui neleidžiama išeiti su laimėjimais, bet jis yra priverstas žaisti toliau.

Panagrinėkime metimų skaičių, per kuriuos vienas žaidėjas laimi (trajektorija virš 0), o antrasis pralaimi (trajektorija žemiau 0). Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad tokių metimų yra maždaug tiek pat. Tačiau (žr. įdomią knygą: Feller V. „Įvadas į tikimybių teoriją ir jos taikymą“. Maskva: Mir, 1984, p. 106) su 10 000 idealios monetos metimų (t. p = q = 0,5, n=10 000) tikimybė, kad viena iš šalių pirmauja daugiau nei 9930 bandymų, o kita – mažiau nei 70, viršija 0,1.

Stebėtina, kad 10 000 sąžiningų monetų metimų žaidime tikimybė, kad vadovybė pasikeis daugiausiai 8 kartus, yra didesnė nei 0,14, o daugiau nei 78 vadovų pasikeitimų tikimybė yra maždaug 0,12.

Taigi, turime paradoksalią situaciją: simetriškame Bernulio eisenoje „bangos“ grafike tarp nuoseklių grįžimų į nulį (žr. grafikus) gali būti stebėtinai ilgos. Su tuo susijusi kita aplinkybė, būtent, kad už T n / n (laiko dalis, kai grafikas yra virš x ašies) mažiausiai tikėtinos vertės, artimos 1/2.

Matematikai atrado vadinamąjį arcsinuso dėsnį, pagal kurį kiekvienam 0< а <1 вероятность неравенства , где Т n - число шагов, в течение которых первый игрок находится в выигрыше, стремится к

Arcino pasiskirstymas

Šis nuolatinis pasiskirstymas yra orientuotas į intervalą (0, 1) ir jo tankis:

Arkosinis pasiskirstymas yra susijęs su atsitiktiniu ėjimu. Tai yra laiko dalies, per kurią pirmasis žaidėjas laimi metęs simetrišką monetą, ty monetą, kurios tikimybė yra lygi, pasiskirstymas. S patenka ant herbo ir uodegos. Kitaip tokį žaidimą galima vertinti kaip atsitiktinį dalelės ėjimą, kuris, pradėdamas nuo nulio, vienodomis tikimybėmis atlieka pavienius šuolius į dešinę arba į kairę. Kadangi dalelių šuoliai – nukritusios galvos ar uodegos – yra vienodai tikėtini, toks ėjimas dažnai vadinamas simetrišku. Jei tikimybės būtų skirtingos, tada turėtume asimetrinį ėjimą.

Arkosinio pasiskirstymo tankio grafikas parodytas šiame paveikslėlyje:

Įdomiausia yra kokybinė grafiko interpretacija, iš kurios galima padaryti stebinančias išvadas apie pergalių ir pralaimėjimų seriją sąžiningame žaidime. Žvelgdami į grafiką matote, kad mažiausias tankis yra taške 1/2 "Na ir kas?!" - klausi tu. Bet jei pagalvosite apie šį pastebėjimą, jūsų nuostabai nebus ribų! Pasirodo, nors žaidimas apibrėžiamas kaip sąžiningas, jis iš tikrųjų nėra toks sąžiningas, kaip gali atrodyti iš pirmo žvilgsnio.

Simetrinės atsitiktinės trajektorijos, kuriose dalelė praleidžia vienodą laiką tiek teigiamoje, tiek neigiamoje pusašyje, ty į dešinę arba į kairę nuo nulio, yra būtent mažiausiai tikėtinos. Pereinant prie žaidėjų kalbos, galima teigti, kad metant simetrišką monetą, mažiausiai tikėtini žaidimai, kuriuose žaidėjai praleidžia vienodą laiką laimėdami ir pralaimėdami.

Priešingai, žaidimai, kuriuose vienas žaidėjas turi žymiai didesnę tikimybę laimėti, o kitas – pralaimėti, yra labiausiai tikėtini. Nuostabus paradoksas!

Apskaičiuoti tikimybę, kad laiko dalis t, per kurią pirmasis žaidėjas laimi, yra tarp t1 iki t2, reikalinga iš paskirstymo funkcijos reikšmės F(t2) atima paskirstymo funkcijos F(t1) reikšmę.

Formaliai gauname:

P(t1

Remiantis šiuo faktu, naudojant STATISTIKĄ galima apskaičiuoti, kad 10 000 žingsnių dalelė išlieka teigiamoje pusėje daugiau nei 9930 kartų su tikimybe 0,1, tai yra, grubiai tariant, tokia padėtis bus pastebėta bent vienu atveju. iš dešimties (nors iš pirmo žvilgsnio atrodo absurdiška; žr. nepaprastą Yu. V. Prokhorovo pastabą „Bernoulli's Rambler“ enciklopedijoje „Tikimybių ir matematinė statistika“, p. 42-43, M.: Didžioji rusų enciklopedija, 1999 m. ).

Neigiamas binominis skirstinys

Tai yra atskiras skirstinys, priskiriamas sveikiesiems skaičiams k = 0,1,2,... tikimybės:

p k =P(X=k)=C k r+k-1 p r (l-p) k ", kur 0<р<1,r>0.

Neigiamas binominis skirstinys randamas daugelyje programų.

Apskritai r > 0, neigiamas binominis skirstinys interpretuojamas kaip r-osios „sėkmės“ laukimo laiko pasiskirstymas Bernulio testo schemoje su „sėkmės“ tikimybe. p, pavyzdžiui, metimų skaičius, kurį reikia padaryti prieš nubrėžiant antrąją emblemą, tokiu atveju jis kartais vadinamas Paskalio skirstiniu ir yra atskiras gama skirstinio analogas.

At r = 1 neigiamas dvinario skirstinys sutampa su geometriniu skirstiniu.

Jei Y yra atsitiktinis dydis, turintis Puasono skirstinį su atsitiktiniu parametru, kuris savo ruožtu turi gama skirstinį su tankiu

Tada U turės neigiamą dvinarį skirstinį su parametrais;

Puasono pasiskirstymas

Puasono skirstinys kartais vadinamas retų įvykių pasiskirstymu. Kintamųjų, paskirstytų pagal Puasono dėsnį, pavyzdžiai: nelaimingų atsitikimų skaičius, gamybos proceso defektų skaičius ir kt. Puasono skirstinys apibrėžiamas formule:

Pagrindinės Puasono atsitiktinio dydžio charakteristikos:

Puasono skirstinys yra susijęs su eksponentiniu ir Bernulio skirstiniu.

Jei įvykių skaičius turi Puasono skirstinį, tada intervalai tarp įvykių turi eksponentinį arba eksponentinį pasiskirstymą.

Puasono pasiskirstymo grafikas:

Palyginkite Puasono skirstinio su 5 parametru grafiką su Bernulio skirstinio grafiku, kai p=q=0,5,n=100.

Pamatysite, kad grafikai yra labai panašūs. Bendru atveju yra toks modelis (žr., pavyzdžiui, puikią knygą: Shiryaev A.N. „Tikimybė“. Maskva: Nauka, p. 76): jei Bernoulli testuose n ima dideles reikšmes, o sėkmės tikimybė / ? yra santykinai mažas, todėl vidutinis pasisekimų skaičius (produktas ir nar) nėra nei mažas, nei didelis, tuomet Bernulio skirstinys su parametrais n, p gali būti pakeistas Puasono skirstiniu, kurio parametras = np.

Puasono skirstinys plačiai naudojamas praktikoje, pavyzdžiui, kokybės kontrolės lentelėse kaip retų įvykių pasiskirstymas.

Kaip kitą pavyzdį apsvarstykite šią problemą, susijusią su telefono linijomis ir paimtą iš praktikos (žr.: Feller V. Įvadas į tikimybių teoriją ir jos taikymą. Moscow: Mir, 1984, p. 205, taip pat Molina E. S. (1935). Tikimybė inžinerijoje, Elektros inžinerija, 54, p. 423-427 „Bell Telefono sistemos techniniai leidiniai B-854“ Šią užduotį galima nesunkiai išversti į šiuolaikinę kalbą, pavyzdžiui, į mobiliojo ryšio kalbą – būtent tai ir kviečiami besidomintys skaitytojai.

Problema suformuluota taip. Tebūnie dvi telefono stotys – A ir B.

Telefono stotis A turi užtikrinti ryšį tarp 2000 abonentų ir stotis B. Ryšio kokybė turi būti tokia, kad tik 1 skambutis iš 100 lauktų, kol linija atsilaisvins.

Kyla klausimas: kiek telefono linijų reikia įrengti norint užtikrinti reikiamą ryšio kokybę? Akivaizdu, kad kvaila sukurti 2000 eilučių, nes daugelis jų ilgą laiką bus nemokamos. Iš intuityvių svarstymų aišku, kad, matyt, yra koks nors optimalus eilučių skaičius N. Kaip apskaičiuoti šį skaičių?

Pradėkime nuo tikroviško modelio, kuriame aprašomas abonento prieigos prie tinklo intensyvumas, atkreipiant dėmesį, kad modelio tikslumą, žinoma, galima patikrinti naudojant standartinius statistinius kriterijus.

Taigi, tarkime, kad kiekvienas abonentas linija naudojasi vidutiniškai 2 minutes per valandą, o abonentų ryšiai yra nepriklausomi (tačiau, kaip teisingai pažymi Felleris, pastarasis įvyksta nebent įvyksta koks nors įvykis, paliečiantis visus abonentus, pavyzdžiui, karas ar uraganas).

Tada turime 2000 Bernoulli bandymų (monetų metimų) arba tinklo jungčių su sėkmės tikimybe p=2/60=1/30.

Turime rasti tokį N, kad tikimybė, kad daugiau nei N vartotojų prisijungs prie tinklo vienu metu, neviršytų 0,01. Šiuos skaičiavimus nesunkiai galima išspręsti sistemoje STATISTICA.

Problemos sprendimas naudojant STATISTICA.

1 veiksmas. Atidarykite modulį Pagrindinė statistika. Sukurkite failą binoml.sta su 110 stebėjimų. Pavadinkite pirmąjį kintamąjį DVINOMINIS, antrasis kintamasis - NUODAI.

2 veiksmas. DVINOMINIS, atidarykite langą 1 kintamasis(žr. paveikslėlį). Lange įveskite formulę, kaip parodyta paveikslėlyje. Spustelėkite mygtuką Gerai.

3 veiksmas. Dukart spustelėkite pavadinimą NUODAI, atidarykite langą 2 kintamasis(žr. paveikslėlį)

Lange įveskite formulę, kaip parodyta paveikslėlyje. Atkreipkite dėmesį, kad Puasono pasiskirstymo parametrą apskaičiuojame naudodami formulę =n×p. Gerai.

Todėl = 2000 × 1/30. Spustelėkite mygtuką

STATISTIKA apskaičiuos tikimybes ir įrašys jas į sugeneruotą failą. 4 veiksmas.

Slinkite žemyn iki stebėjimo numerio 86. Pamatysite, kad tikimybė, kad per valandą iš 2000 tinklo vartotojų yra 86 ar daugiau vienu metu, yra 0,01347, jei naudojamas dvinario skirstinys.

Tikimybė, kad per valandą vienu metu dirba 86 ar daugiau žmonių iš 2000 tinklo vartotojų, yra 0,01293, naudojant Binominio skirstinio Puasono aproksimaciją.

Kadangi mums reikia ne didesnės nei 0,01 tikimybės, norint užtikrinti reikiamą ryšio kokybę, pakaks 87 eilučių.

Panašius rezultatus galima gauti naudojant įprastą binominio skirstinio aproksimaciją (žr. tai!).

Atkreipkite dėmesį, kad V. Felleris neturėjo STATISTICA sistemos ir naudojo lenteles dvinariams ir normaliajam skirstiniams.

Pasirodo, kad vartotojus suskirstant į grupes, norint pasiekti tą patį kokybės lygį, reikės papildomų 10 eilučių.

Taip pat galite atsižvelgti į tinklo ryšio intensyvumo pokyčius per dieną.

Geometrinis pasiskirstymas

Jei atliekami nepriklausomi Bernoulli testai ir skaičiuojamas bandymų skaičius iki kitos „sėkmės“, šis skaičius turi geometrinį pasiskirstymą. Taigi, jei metate monetą, metimų skaičius, kurį turite atlikti prieš pasirodant kitam herbui, atitinka geometrinį dėsnį.

Geometrinis pasiskirstymas nustatomas pagal formulę:

F(x) = p(1-p) x-1

p - sėkmės tikimybė, x = 1, 2,3...

Paskirstymo pavadinimas yra susijęs su geometrine progresija.

Taigi, geometrinis skirstinys nurodo tikimybę, kad sėkmė įvyko tam tikrame žingsnyje.

Geometrinis skirstinys yra diskretusis eksponentinės skirstinio analogas. Jei laikas kinta kvantais, tada sėkmės tikimybė kiekvienu laiko momentu apibūdinama geometriniu dėsniu. Jei laikas yra nenutrūkstamas, tada tikimybė apibūdinama eksponentiniu arba eksponentiniu dėsniu.

Hipergeometrinis pasiskirstymas

Tai yra diskretus atsitiktinio dydžio X tikimybių skirstinys, imant sveikąsias reikšmes m = 0, 1,2,...,n su tikimybėmis:

kur N, M ir n yra neneigiami sveikieji skaičiai, o M< N, n < N.

Hipergeometrinis pasiskirstymas paprastai siejamas su pasirinkimu be pakeitimo ir nustato, pavyzdžiui, tikimybę rasti tiksliai m juodų rutuliukų atsitiktinėje n dydžio imtyje iš populiacijos, kurioje yra N rutuliukų, įskaitant M juodą ir N - M baltą (žr. Pavyzdžiui, enciklopedija „Tikimybė“ ir matematinė statistika“, M.: Didžioji rusų enciklopedija, p. 144).

Hipergeometrinio skirstinio matematinė lūkestis nepriklauso nuo N ir sutampa su atitinkamo dvinario skirstinio matematine tikėtimi µ=np.

Hipergeometrinio skirstinio dispersija neviršija dvinario skirstinio dispersijos npq. Bet kokios eilės hipergeometrinio skirstinio momentais linkstama į atitinkamas dvinario skirstinio momentų vertes.

Šis pasiskirstymas labai dažnai pasitaiko kokybės kontrolės programose.

Polinominis skirstinys

Dauginaminis arba daugianario skirstinys natūraliai apibendrina skirstinį. Nors dvinario pasiskirstymas įvyksta, kai moneta metama su dviem rezultatais (galvomis arba ketera), o daugianario pasiskirstymas įvyksta, kai metamas kauliukas ir galimi daugiau nei du rezultatai. Formaliai tai yra bendras atsitiktinių dydžių X 1,...,X k tikimybių skirstinys, imant neneigiamas sveikųjų skaičių reikšmes n 1,...,n k, tenkinantis sąlygą n 1 + ... + n k = n, su tikimybėmis:

Pavadinimas „daugianominis skirstinys“ paaiškinamas tuo, kad daugianario tikimybės atsiranda plečiant daugianarį (p 1 + ... + p k) n

Beta platinimas

Beta paskirstymo tankis yra toks:

Standartinis beta pasiskirstymas yra orientuotas į intervalą nuo 0 iki 1. Naudojant tiesines transformacijas, beta vertė gali būti transformuojama taip, kad ji gautų reikšmes bet kuriame intervale.

Pagrindinės beta pasiskirstymo dydžio skaitinės charakteristikos:

Kraštutinių vertybių pasiskirstymas

Kraštutinių verčių pasiskirstymas (I tipas) turi tokios formos tankį:

Šis skirstinys kartais dar vadinamas kraštutinės vertės skirstiniu.

Ekstremalių verčių pasiskirstymas naudojamas modeliuojant ekstremalius įvykius, pavyzdžiui, potvynių lygius, sūkurių greitį, tam tikrų metų akcijų rinkos indeksų maksimumą ir kt.

Šis skirstinys naudojamas patikimumo teorijoje, pavyzdžiui, apibūdinant elektros grandinių gedimo laiką, taip pat atliekant aktuarinius skaičiavimus.

Rayleigh skirstiniai

Rayleigh skirstinio tankis yra toks:

kur b yra skalės parametras.

Rayleigh skirstinys sutelktas diapazone nuo 0 iki begalybės. Vietoj reikšmės 0, STATISTICA leidžia įvesti kitą slenksčio parametro reikšmę, kuri bus atimta iš pradinių duomenų prieš pritaikant Rayleigh skirstinį. Todėl slenksčio parametro reikšmė turi būti mažesnė už visas stebimas reikšmes.

Jei du kintamieji 1 ir 2 yra nepriklausomi vienas nuo kito ir paprastai yra pasiskirstę ta pačia dispersija, tada kintamasis turės Rayleigh paskirstymą.

Rayleigh skirstinys naudojamas, pavyzdžiui, šaudymo teorijoje.

Weibull paskirstymas

Weibull skirstinys pavadintas švedų mokslininko Waloddi Weibull vardu, kuris naudojo šį skirstinį apibūdindamas įvairių tipų gedimų laikus patikimumo teorijoje.

Formaliai Weibull pasiskirstymo tankis parašytas taip:

Kartais Weibull pasiskirstymo tankis taip pat rašomas taip:

B - skalės parametras;

C - formos parametras;

E yra Eilerio konstanta (2,718...).

Padėties parametras. Paprastai Weibull skirstinys yra sutelktas į pusiau ašį nuo 0 iki begalybės. Jei vietoj ribos 0 įvedame dažnai praktikoje reikalingą parametrą a, tai atsiranda vadinamasis trijų parametrų Veibulo skirstinys.

Weibull paskirstymas plačiai naudojamas patikimumo teorijoje ir draudime.

Kaip aprašyta aukščiau, eksponentinis pasiskirstymas dažnai naudojamas kaip laiko iki gedimo įvertinimo modelis, darant prielaidą, kad objekto gedimo tikimybė yra pastovi. Jei gedimo tikimybė laikui bėgant keičiasi, taikomas Weibull skirstinys.

At su =1 arba, kitoje parametrizacijoje, su Weibull skirstiniu, kaip galima nesunkiai matyti iš formulių, virsta eksponentiniu skirstiniu, o su - į Rayleigh skirstinį.

Weibull pasiskirstymo parametrams įvertinti buvo sukurti specialūs metodai (žr., pavyzdžiui, knygą: Lawless (1982) Statistical models and method for lifetime data, Belmont, CA: Lifetime Learning, kurioje aprašomi įvertinimo metodai, taip pat problemos, kylančios vertinant. padėties parametras trijų parametrų paskirstymui Weibull).

Dažnai atliekant patikimumo analizę reikia atsižvelgti į gedimo tikimybę per trumpą laiko tarpą po laiko momento t su sąlyga, kad iki šio momento t gedimas nepasitaikė.

Ši funkcija vadinama rizikos funkcija arba gedimų dažnio funkcija ir formaliai apibrėžiama taip:

H(t) – gedimo koeficiento funkcija arba rizikos funkcija momentu t;

f(t) - gedimo laikų pasiskirstymo tankis;

F(t) - gedimo laiko pasiskirstymo funkcija (tankio integralas per intervalą).

Apskritai gedimo koeficiento funkcija parašyta taip:

Kai rizikos funkcija lygi konstantai, kuri atitinka įprastą įrenginio veikimą (žr. formules).

Kai rizikos funkcija sumažėja, o tai atitinka įrenginio įjungimą.

Kai rizikos funkcija sumažėja, o tai atitinka įrenginio senėjimą. Tipinės rizikos funkcijos parodytos diagramoje.

Toliau pateikiami Veibulo tankio grafikai su įvairiais parametrais. Būtina atkreipti dėmesį į tris parametro a verčių diapazonus:

Pirmajame regione rizikos funkcija mažėja (koregavimo periodas), antrame regione rizikos funkcija lygi konstantai, trečiame – didėja.

Tai, kas buvo pasakyta, nesunkiai suprasite pasitelkę naujo automobilio pirkimo pavyzdį: pirmiausia yra automobilio adaptacijos laikotarpis, po to ilgas normalaus eksploatavimo laikotarpis, tada susidėvi automobilio dalys ir kyla jo gedimo pavojus. smarkiai padidėja.

Svarbu, kad visus veikimo laikotarpius būtų galima apibūdinti ta pačia paskirstymo šeima. Tai yra Weibull paskirstymo idėja.

Pateiksime pagrindines Weibull skirstinio skaitines charakteristikas.

Pareto paskirstymas

Įvairiose taikomosios statistikos problemose gana dažni yra vadinamieji sutrumpinti skirstiniai.

Pavyzdžiui, šis paskirstymas naudojamas draudime arba apmokestinant, kai palūkanos yra pajamos, kurios viršija tam tikrą vertę c 0

Pagrindinės Pareto skirstinio skaitinės charakteristikos:

Logistinis paskirstymas

Logistinis paskirstymas turi tankio funkciją:

A - padėties parametras;

B - skalės parametras;

E – Eulerio skaičius (2,71...).

Viešbučių T 2 paskirstymas

Šis nuolatinis pasiskirstymas, kurio centre yra intervalas (0, Г), turi tokį tankį:

kur parametrai n ir k, n >_k >_1, vadinami laisvės laipsniais.

At k = 1 Viešbutyje, P skirstinys sumažinamas iki Studento pasiskirstymo ir bet kuriam k >1 galima laikyti Stjudento skirstinio apibendrinimu į daugiamatį atvejį.

Viešbučių pasiskirstymas yra pagrįstas normaliuoju pasiskirstymu.

Tegul k-matmens atsitiktinis vektorius Y turi normalųjį skirstinį su nuliniu vidurkių vektoriumi ir kovariacijos matrica.

Apsvarstykime kiekį

kur atsitiktiniai vektoriai Z i yra nepriklausomi vienas nuo kito ir Y ir yra pasiskirstę taip pat kaip Y.

Tada atsitiktinis dydis T 2 =Y T S -1 Y turi T 2 -Hotelling skirstinį su n laisvės laipsnių (Y yra stulpelio vektorius, T yra transpozicijos operatorius).

kur yra atsitiktinis dydis t n turi Stjudento skirstinį su n laisvės laipsnių (žr. „Tikimybių ir matematinė statistika“, enciklopedija, p. 792).

Jei Y turi normalųjį skirstinį, kurio vidurkis skiriasi nuo nulio, tada vadinamas atitinkamas skirstinys ne centrinis Viešbučių T 2 pasiskirstymas su n laisvės laipsnių ir necentriškumo parametru v.

Hotellingo T 2 skirstinys naudojamas matematinėje statistikoje toje pačioje situacijoje kaip ir Stjudento ^ skirstinys, bet tik daugiamačiu atveju. Jei stebėjimų X 1,..., X n rezultatai yra nepriklausomi, normaliai pasiskirstę atsitiktiniai vektoriai su vidurkių µ vektoriumi ir nevienetine kovariacijos matrica, tada statistika

turi Hotelling T 2 -paskirstymą su n – 1 laisvės laipsniai. Šis faktas yra viešbučių kriterijaus pagrindas.

STATISTICA, viešbučių testas pasiekiamas, pavyzdžiui, pagrindinės statistikos ir lentelių modulyje (žr. dialogo langą žemiau).

Maksvelo paskirstymas

Maksvelo skirstinys atsirado fizikoje aprašant idealių dujų molekulių greičių pasiskirstymą.

Šis nuolatinis pasiskirstymas yra orientuotas į (0, ) ir jo tankis:

Paskirstymo funkcija yra tokia:

čia Ф(x) yra standartinė normaliojo pasiskirstymo funkcija. Maksvelo skirstinys turi teigiamą iškrypimo koeficientą ir vieną modą taške (ty pasiskirstymas yra unimodalinis).

Maxwell paskirstymas turi bet kokios eilės pabaigos momentus; matematinis lūkestis ir dispersija yra atitinkamai lygūs ir

Maksvelo skirstinys natūraliai yra susijęs su normaliuoju pasiskirstymu.

Jei X 1, X 2, X 3 yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, kurių normalusis skirstinys su parametrais 0 ir õ 2, tai atsitiktinis dydis turi Maxwell paskirstymą. Taigi Maksvelo skirstinys gali būti laikomas atsitiktinio vektoriaus, kurio koordinatės Dekarto koordinačių sistemoje trimatėje erdvėje yra nepriklausomos ir normaliai pasiskirsčiusios su vidurkiu 0 ir dispersija õ 2, ilgio skirstiniu.

Cauchy pasiskirstymas

Šis nuostabus pasiskirstymas kartais neturi vidutinės vertės, nes jo tankis labai lėtai linkęs į nulį, kai x didėja absoliučia verte. Tokie skirstiniai vadinami sunkiaisiais skirstiniais. Jei jums reikia sugalvoti paskirstymą, kuris neturi vidurkio, nedelsdami pavadinkite jį Cauchy skirstiniu.

Koši skirstinys yra vienarūšis ir simetriškas režimo atžvilgiu, kuris yra ir mediana, ir turi formos tankio funkciją:

Kur c > 0 – skalės parametras ir a yra centrinis parametras, kuris vienu metu nustato režimo ir medianos reikšmes.

Tankio integralas, ty pasiskirstymo funkcija, pateikiama santykiu:

Studentų paskirstymas

Anglų statistikas W. Gossetas, žinomas slapyvardžiu „Student“ ir savo karjerą pradėjęs nuo statistinio angliško alaus kokybės tyrimo, 1908 m. gavo tokį rezultatą. Leiskite x 0 , x 1 ,.., x m - nepriklausomi, (0, s 2) - normaliai paskirstyti atsitiktiniai dydžiai:

Šis paskirstymas, dabar žinomas kaip Studento paskirstymas (sutrumpintai kaip T(m) skirstinys, kur m yra laisvės laipsnių skaičius), yra garsiojo t testo, skirto palyginti dviejų populiacijų vidurkius, pagrindas.

Tankio funkcija f t (x) nepriklauso nuo atsitiktinių dydžių dispersijos õ 2 ir, be to, yra unimodalinis ir simetriškas taško x = 0 atžvilgiu.

Pagrindinės skaitinės Studentų pasiskirstymo charakteristikos:

T pasiskirstymas yra svarbus tais atvejais, kai svarstomi vidurkio įverčiai, o imties dispersija nežinoma. Šiuo atveju naudojama imties dispersija ir t skirstinys.

Esant dideliems laisvės laipsniams (didesniems nei 30), t skirstinys praktiškai sutampa su standartiniu normaliuoju skirstiniu.

T pasiskirstymo tankio funkcijos grafikas, didėjant laisvės laipsnių skaičiui, deformuojasi taip: smailė didėja, uodegos eina stačiau iki 0, o t pasiskirstymo tankio funkcijos grafikas atrodo suspaustas į šoną.

F-paskirstymas

Pasvarstykime m 1 + m 2 nepriklausomi ir (0, s 2) normaliai pasiskirstę dydžiai

ir įdėti

Akivaizdu, kad tas pats atsitiktinis kintamasis taip pat gali būti apibrėžtas kaip dviejų nepriklausomų ir tinkamai normalizuotų chi kvadrato paskirstytų kintamųjų santykis ir , tai yra

Žymus anglų statistikas R. Fišeris 1924 metais parodė, kad atsitiktinio dydžio F(m 1, m 2) tikimybės tankis pateikiamas funkcija:

kur Г(у) yra Eilerio gama funkcijos reikšmė. tašką y, o pats dėsnis vadinamas F skirstiniu, kai skaitiklio ir vardiklio laisvės laipsnių skaičiai yra lygūs atitinkamai m,1l m7

Pagrindinės skaitinės F skirstinio charakteristikos: