Harmoninis svyravimas yra periodinio bet kokio dydžio kaitos reiškinys, kai priklausomybė nuo argumento turi sinuso arba kosinuso funkcijos pobūdį. Pavyzdžiui, dydis harmoningai svyruoja ir laikui bėgant kinta taip:
čia x – kintančio dydžio reikšmė, t – laikas, likę parametrai pastovūs: A – virpesių amplitudė, ω – ciklinis virpesių dažnis, – visa svyravimų fazė, – pradinė svyravimų fazė.
Apibendrintas harmoninis svyravimas diferencine forma
(Bet koks ne trivialus šios diferencialinės lygties sprendimas yra harmoninis svyravimas su cikliniu dažniu)
Vibracijų rūšys
Veikiant atsiranda laisvos vibracijos vidines jėgas sistema po to, kai sistema buvo pašalinta iš pusiausvyros padėties. Kad laisvieji svyravimai būtų harmoningi, būtina, kad virpesių sistema būtų tiesinė (apibūdinama tiesinėmis judėjimo lygtimis), joje nebūtų energijos išsklaidymo (pastarasis sukeltų slopinimą).
Priverstinės vibracijos atsiranda veikiant išorinei periodinei jėgai. Kad jie būtų harmoningi, pakanka, kad virpesių sistema būtų tiesinė (apibūdinama tiesinėmis judėjimo lygtimis), o pati išorinė jėga laikui bėgant kinta kaip harmoninis svyravimas (tai yra, kad šios jėgos priklausomybė nuo laiko yra sinusoidinė) .
Harmoninė lygtis
|
1 lygtis
|
pateikia svyruojančios reikšmės S priklausomybę nuo laiko t; tai laisvųjų harmoninių svyravimų aiškia forma lygtis. Tačiau paprastai svyravimų lygtis suprantama kaip kitoks šios lygties vaizdavimas, diferencinė forma. Tikslumui paimkime (1) lygtį formoje
Atskirkime jį du kartus laiko atžvilgiu:
Galima pastebėti, kad galioja šie santykiai:
kuri vadinama laisvųjų harmoninių virpesių lygtimi (diferencine forma). (1) lygtis yra diferencialinės lygties (2) sprendimas. Kadangi (2) lygtis yra antros eilės diferencialinė lygtis, norint gauti užbaigtą sprendimą (ty nustatyti konstantas A ir , įtrauktas į (1) lygtį), būtinos dvi pradinės sąlygos; pavyzdžiui, virpesių sistemos padėtis ir greitis, kai t = 0.
Matematinė švytuoklė yra osciliatorius, kuris yra mechaninė sistema, susidedanti iš materialaus taško, esančio ant nesvario netiesiamojo sriegio arba ant nesvario strypo vienodame gravitacinių jėgų lauke. Matematinės svyruoklės, kurios ilgis l, nejudingai pakibusios tolygiame gravitaciniame lauke su laisvojo kritimo pagreičiu g, mažų natūralių svyravimų periodas yra lygus
ir nepriklauso nuo švytuoklės amplitudės ir masės.
Fizinė švytuoklė yra osciliatorius, kuris yra kietas kūnas, svyruojantis bet kokių jėgų lauke, palyginti su tašku, kuris nėra šio kūno masės centras, arba fiksuota ašis, statmena jėgų veikimo krypčiai ir nekertanti šio kūno masės centro.
Bet kokio dydžio pokyčiai aprašomi naudojant sinuso arba kosinuso dėsnius, tada tokie svyravimai vadinami harmoniniais. Panagrinėkime grandinę, susidedančią iš kondensatoriaus (kuris buvo įkrautas prieš įtraukiant į grandinę) ir induktoriaus (1 pav.).
1 pav.
Harmoninių virpesių lygtis gali būti parašyta taip:
$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)
kur $t$ yra laikas; $q$ mokestis, $q_0$-- maksimalus įkrovos nuokrypis nuo vidutinės (nulinės) vertės pokyčių metu; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- virpesių fazė; $(\alpha )_0$- pradinė fazė; $(\omega )_0$ – ciklinis dažnis. Per laikotarpį fazė pasikeičia $2\pi $.
Formos lygtis:
harmoninių virpesių lygtis in diferencinė forma svyruojančiai grandinei, kurioje nebus aktyviosios varžos.
Bet kokios rūšies periodiniai svyravimai gali būti tiksliai pavaizduota kaip harmoninių virpesių suma, vadinamoji harmoninė serija.
Grandinės, kurią sudaro ritė ir kondensatorius, virpesių periodui gauname Tomsono formulę:
Jei išraišką (1) atskirsime pagal laiką, galime gauti funkcijos $I(t)$ formulę:
Kondensatoriaus įtampą galima rasti taip:
Iš (5) ir (6) formulių matyti, kad srovės stipris yra didesnis už kondensatoriaus įtampą $\frac(\pi )(2).$
Harmoninius svyravimus galima pavaizduoti tiek lygčių, funkcijų, tiek vektorinių diagramų pavidalu.
(1) lygtis parodo laisvus neslopintus virpesius.
Slopintų virpesių lygtis
Krovinio pokytis ($q$) kondensatoriaus plokštelėse grandinėje, atsižvelgiant į varžą (2 pav.), bus aprašytas formos diferencine lygtimi:
2 pav.
Jei varža, kuri yra grandinės dalis $R\
kur $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ yra ciklinis virpesių dažnis. $\beta =\frac(R)(2L)-$slopinimo koeficientas. Amplitudė slopinami svyravimai išreikštas kaip:
Jei esant $t=0$ kondensatoriaus įkrovimas lygus $q=q_0$ ir grandinėje nėra srovės, tai $A_0$ galime parašyti:
Virpesių fazė pradžios momentas laikas ($(\alpha )_0$) yra lygus:
Kai $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ krūvio pokytis nėra svyravimai, kondensatoriaus iškrova vadinama periodiniu.
1 pavyzdys
Pratimas: Didžiausia apmokestinimo vertė yra $q_0=10\ C$. Jis harmoningai kinta $T=5 s$ periodu. Nustatykite didžiausią galimą srovę.
Sprendimas:
Kaip pagrindą problemos sprendimui naudojame:
Norint rasti srovės stiprumą, išraiška (1.1) turi būti diferencijuojama atsižvelgiant į laiką:
kur srovės stiprumo didžiausia (amplitudės vertė) yra išraiška:
Iš uždavinio sąlygų žinome krūvio amplitudės reikšmę ($q_0=10\ C$). Turėtumėte rasti natūralų virpesių dažnį. Išreikškime tai taip:
\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]
Tokiu atveju norima reikšmė bus rasta naudojant (1.3) ir (1.2) lygtis kaip:
Kadangi visi probleminių sąlygų dydžiai pateikti SI sistemoje, atliksime skaičiavimus:
Atsakymas:$I_0=12,56\ A.$
2 pavyzdys
Pratimas: Koks yra virpesių periodas grandinėje, kurioje yra induktorius $L=1$H ir kondensatorius, jei srovės stipris grandinėje kinta pagal dėsnį: $I\left(t\right)=-0.1sin20 \pi t\ \left(A \right)?$ Kokia yra kondensatoriaus talpa?
Sprendimas:
Iš srovės svyravimų lygties, kuri pateikta uždavinio sąlygomis:
matome, kad $(\omega )_0=20\pi $, todėl svyravimo periodą galime apskaičiuoti naudodami formulę:
\ \
Pagal Thomsono formulę grandinėje, kurioje yra induktyvumas ir kondensatorius, turime:
Apskaičiuokime talpą:
Atsakymas:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$
Virpesiai vadinami judesiais arba procesais, kuriems būdingas tam tikras pakartojamumas laikui bėgant. Gamtoje ir technikoje plačiai paplitę virpesiai, pavyzdžiui, laikrodžio švytuoklės siūbavimas, kintamasis elektros srovė ir tt Kada svyruojantis judėjimasšvytuoklė, keičiasi jos masės centro koordinatė, tuo atveju AC grandinėje svyruoja įtampa ir srovė. Vibracijų fizinė prigimtis gali būti skirtinga, todėl yra mechaninių, elektromagnetinių ir kt., Tačiau skirtingi virpesiai apibūdinami tomis pačiomis charakteristikomis ir tomis pačiomis lygtimis. Taigi tikslingumas bendras požiūris į vibracijų tyrimą įvairių fizinė prigimtis.
Virpesiai vadinami nemokamai, jei jie atsiranda tik veikiami vidinių jėgų, veikiančių tarp sistemos elementų, po to, kai sistema išvedama iš pusiausvyros išorinės jėgos ir paliko savieigai. Visada laisvos vibracijos slopinami svyravimai , nes in tikrosios sistemos energijos nuostoliai yra neišvengiami. Idealizuotu sistemos be energijos nuostolių atveju vadinami laisvieji virpesiai (tęsiasi tol, kol norima). savo.
Paprasčiausias nemokamas tipas nuolatiniai svyravimai yra harmoninės vibracijos - svyravimai, kuriuose svyruojantis dydis laikui bėgant kinta pagal sinuso (kosinuso) dėsnį. Gamtoje ir technikoje aptinkami virpesiai dažnai yra artimi harmonikai.
Harmoniniai svyravimai apibūdinami lygtimi, vadinama harmoninių virpesių lygtimi:
Kur A- svyravimų amplitudė, didžiausia svyruojančio dydžio reikšmė X; - žiedinis (ciklinis) natūralių virpesių dažnis; - pradinė svyravimo fazė laiko momentu t= 0; - svyravimo fazė laiko momentu t. Virpesių fazė nustato svyruojančio dydžio reikšmę in šiuo metu laiko. Kadangi kosinusas svyruoja nuo +1 iki -1, tada X gali paimti reikšmes nuo + Aį - A.
Laikas T kurio metu sistema užbaigia vieną pilną virpesį vadinamas svyravimų periodas. Per tą laiką T svyravimo fazė padidinama 2 π , t.y.
Kur. (14.2)
Didumas, atvirkštinis laikotarpis svyravimai
y., per laiko vienetą atliktų pilnų svyravimų skaičius vadinamas virpesių dažniu. Palyginus (14.2) ir (14.3) gauname
Dažnio vienetas yra hercas (Hz): 1 Hz yra dažnis, kuriuo per 1 s įvyksta vienas visiškas svyravimas.
Sistemos, kuriose gali atsirasti laisvoji vibracija, vadinamos osciliatoriai . Kokias savybes turi turėti sistema, kad joje atsirastų laisvos vibracijos? Mechaninė sistema turi turėti padėtis stabili pusiausvyra , išėjus kuris pasirodo atkurianti jėgą, nukreiptą į pusiausvyros padėtį. Ši padėtis, kaip žinoma, atitinka minimalią sistemos potencialią energiją. Pažvelkime į keletą virpesių sistemos, atitinkantis išvardytas savybes.
Laikui bėgant kinta pagal sinusoidinį dėsnį:
Kur X- svyruojančio dydžio vertė laiko momentu t, A- amplitudė, ω - apskrito dažnio, φ — pradinė svyravimų fazė, φt + φ ) – visa svyravimų fazė. Tuo pačiu ir vertybės A, ω Ir φ - nuolatinis.
Skirta svyruojančio dydžio mechaniniams virpesiams X yra, visų pirma, poslinkis ir greitis elektros vibracijos- įtampa ir srovė.
Harmoninės vibracijos užima ypatinga vieta tarp visų tipų vibracijų, nes š vieno tipo virpesių, kurių forma nepraeinant pro bet kokius vienalytė aplinka, t.y., bangos, sklindančios iš harmoninių virpesių šaltinio, taip pat bus harmoninės. Bet koks neharmoninis svyravimas gali būti pavaizduotas kaip įvairių harmoninių virpesių suma (integralas) (harmoninių virpesių spektro pavidalu).
Energijos virsmai harmoninių virpesių metu.
Virpesių proceso metu vyksta potencialios energijos perdavimas Wpį kinetinę sav ir atvirkščiai. Padėtyje maksimalus nuokrypis Iš pusiausvyros padėties potenciali energija yra maksimali, kinetinė energija lygi nuliui. Grįžtant į pusiausvyros padėtį, didėja svyruojančio kūno greitis, o kartu su juo didėja ir kinetinė energija, maksimumą pasiekdama pusiausvyros padėtyje. Tada potenciali energija nukrenta iki nulio. Tolesnis judėjimas vyksta sumažėjus greičiui, kuris nukrenta iki nulio, kai deformacija pasiekia antrąjį maksimumą. Potenciali energija čia padidėja iki pradinės (maksimalios) vertės (nesant trinties). Taigi, svyravimai kinetinės ir potenciali energija atsiranda dvigubai didesniu dažniu (palyginti su pačios švytuoklės virpesiais) ir yra priešfazėje (t. y. tarp jų yra fazės poslinkis, lygus π ). Bendra energija svyravimai W lieka nepakitęs. Kūnui, svyruojančiam veikiant tamprumo jėgai, jis yra lygus:
Kur v m — maksimalus greitis kūnas (pusiausvyros padėtyje), x m = A- amplitudė.
Dėl terpės trinties ir pasipriešinimo laisvosios vibracijos susilpnėja: laikui bėgant mažėja jų energija ir amplitudė. Todėl praktikoje dažnai naudojami priverstiniai svyravimai, o ne laisvieji.
Kartu su progresyviu ir sukamieji judesiai kūnai mechanikoje reikšmingas susidomėjimas taip pat reiškia svyruojančius judesius. Mechaninės vibracijos Tai kūnų judesiai, kurie kartojasi tiksliai (arba apytiksliai) vienodais laiko intervalais. Kūno svyravimo dėsnis nurodomas naudojant tam tikrą periodinė funkcija laiko x = f (t). Grafinis vaizdavimasši funkcija suteikia aiškų srauto supratimą svyruojantis procesas laiku.
Paprastų virpesių sistemų pavyzdžiai yra spyruoklės apkrova arba matematinė švytuoklė(2.1.1 pav.).
Mechaninės vibracijos, kaip ir bet kurios kitos fizinės prigimties virpesių procesai, gali būti nemokamai Ir priverstinis. Laisvos vibracijos yra padaromi apsvaigę vidines jėgas sistema po to, kai sistema buvo išvesta iš pusiausvyros. Svarmens svyravimai ant spyruoklės arba švytuoklės svyravimai yra laisvieji svyravimai. Vibracijos, atsirandančios veikiant išorės vadinamos periodiškai kintančiomis jėgomis priverstinis .
Paprasčiausias virpesių procesas yra paprasti harmonines vibracijas , kurios apibūdinamos lygtimi
|
x = x mcos (ω t + φ 0). |
Čia x- kūno poslinkis iš pusiausvyros padėties, x m - svyravimų amplitudė, ty didžiausias poslinkis iš pusiausvyros padėties, ω - ciklinis arba apskritas dažnis dvejojimas, t- laikas. Dydis po kosinuso ženklu φ = ω t+ φ 0 vadinamas fazė harmoninis procesas. At t= 0 φ = φ 0, todėl vadinamas φ 0 pradinė fazė. Vadinamas minimalus laiko intervalas, per kurį kartojamas kūno judėjimas svyravimų periodas T. Fizinis kiekis, vadinamas svyravimų periodo grįžtamuoju dydžiu vibracijos dažnis:
Virpesių dažnis f rodo, kiek svyravimų įvyksta per 1 s. Dažnio vienetas - hercų(Hz). Virpesių dažnis f susiję su cikliniu dažniu ω ir svyravimų periodu T koeficientai:
Fig. 2.1.2 rodo kūno padėtis vienodais laiko intervalais harmoninių virpesių metu. Tokį vaizdą galima gauti eksperimentiniu būdu apšviečiant svyruojantį kūną trumpais periodiškais šviesos blyksniais ( stroboskopinis apšvietimas). Rodyklės žymi kūno greičio vektorius įvairių akimirkų laiko.
Ryžiai. 2.1.3 iliustruoja pokyčius, kurie atsiranda harmoninio proceso grafike, jei keičiasi svyravimų amplitudė x m, arba laikotarpis T(arba dažnis f), arba pradinė fazė φ 0.
Kai kūnas svyruoja tiesia linija (ašis JAUTIS) greičio vektorius visada nukreiptas išilgai šios tiesės. Greitis υ = υ x kūno judėjimą lemia išraiška
Matematikoje santykio ribos ties Δ radimo procedūra t→ 0 vadinamas funkcijos išvestinės apskaičiavimu x (t) pagal laiką t ir žymimas kaip arba kaip x"(t) arba, galiausiai, kaip . Harmoninio judėjimo dėsnio atveju apskaičiavus išvestinę gaunamas toks rezultatas:
Termino + π / 2 atsiradimas kosinuso argumente reiškia pradinės fazės pasikeitimą. Didžiausios absoliučios greičio vertės υ = ω x m pasiekiami tais laiko momentais, kai kūnas pereina pusiausvyros padėtį ( x= 0). Pagreitis nustatomas panašiai a = ax kūnai harmoninių virpesių metu:
taigi ir pagreitis a yra lygus funkcijos υ ( t) pagal laiką t, arba antroji funkcijos išvestinė x (t). Skaičiavimai duoda:
Minuso ženklas šioje išraiškoje reiškia, kad pagreitis a (t) visada turi ženklą, priešingas ženklas kompensacijos x (t), todėl pagal antrąjį Niutono dėsnį jėga, verčianti kūną atlikti harmoninius virpesius, visada nukreipta į pusiausvyros padėtį ( x = 0).
