Sukamojo judesio formulės išvedimas kinetinės energijos. Kampinio momento išsaugojimo dėsnis

Apibrėžkime kinetinę energiją kietas, sukasi aplink fiksuotą ašį. Padalinkime šį kūną į n materialių taškų. Kiekvienas taškas juda tiesiniu greičiu υ i =ωr i , tada taško kinetinė energija

arba

Bendra besisukančio standaus kūno kinetinė energija yra lygi visų jo materialių taškų kinetinių energijų sumai:

(3.22)

(J yra kūno inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu)

Jei visų taškų trajektorijos yra lygiagrečiose plokštumose (kaip cilindras rieda žemyn a pasvirusi plokštuma, kiekvienas taškas juda savo plokštumoje (pav.), tai plokščias judėjimas.

Pagal Eulerio principą plokštumos judėjimas visada gali būti išskaidytas į transliacinį ir sukamąjį judėjimą daugybe būdų. Jei rutulys krenta arba slysta išilgai pasvirusios plokštumos, jis juda tik transliaciniu būdu; rutuliui riedant jis taip pat sukasi.

(3.23)

Jei kūnas vienu metu atlieka transliacinį ir sukamąjį judesį, tada jo bendra kinetinė energija yra lygi

Palyginus transliacinių ir sukamųjų judesių kinetinės energijos formules, aišku, kad inercijos matas sukimosi judesio metu yra kūno inercijos momentas.

§ 3.6 Išorinių jėgų darbas sukant standųjį kūną Kai sukasi standus kūnas, jo potencinė energija nekinta, todėl elementarus darbas išorinės jėgos

lygus kūno kinetinės energijos prieaugiui:

dA = dE arba

(3.25)

Atsižvelgiant į tai, kad Jβ = M, ωdr = dφ, kūno α baigtiniu kampu φ yra lygus Kai standus kūnas sukasi aplink fiksuotą ašį, išorinių jėgų darbą lemia šių jėgų momento veikimas šios ašies atžvilgiu. Jei jėgų momentas apie ašį lygus nuliui

, tada šios jėgos negamina darbo.

Problemų sprendimo pavyzdžiai 2.1 pavyzdys.Smagračio masėm=5kg ir spindulysrν 0 = 0,2 m sukasi aplink horizontalią ašį su dažniu -1 =720 mino stabdant sustoja už nugarost

=20 s. Prieš sustodami suraskite stabdymo momentą ir apsisukimų skaičių.

Stabdymo momentui nustatyti taikome pagrindinę sukimosi judėjimo dinamikos lygtį kur I=mr 2 – disko inercijos momentas; Δω =ω - ω 0, o ω =0 yra galutinis kampinis greitis

Žinodami visus kiekius, galite nustatyti stabdymo momentą

Ponas 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

Iš kinematikos sukamasis judėjimas sukimosi kampą disko sukimosi metu prieš sustojimą galima nustatyti pagal formulę

(3)

kur β– kampinis pagreitis.

Pagal uždavinio sąlygas: ω =ω 0 – βΔt, kadangi ω=0, ω 0 = βΔt

Tada išraišką (2) galima parašyti taip:

2.2 pavyzdys. Du smagračiai vienodo spindulio ir masės diskų pavidalu buvo sukami iki sukimosi greičion= 480 aps./min. ir paliekama mūsų įrenginiams. Veikiant velenų trinties jėgoms guoliams, pirmasis sustojoo stabdant sustoja už nugaros=80 s, o antrasis padarėN= 240 aps./min., kad sustotų. Kuris smagratis turėjo didesnį trinties momentą tarp velenų ir guolių ir kiek kartų?

Pirmojo smagračio spygliuko M 1 jėgų momentą rasime naudodami pagrindinę sukimosi judėjimo dinamikos lygtį

M 1 Δt = Iω 2 – Iω 1

čia Δt – trinties jėgų momento veikimo laikas, I=mr 2 – smagračio inercijos momentas, ω 1 = 2πν ir ω 2 = 0 – smagračių pradinis ir galutinis kampinis greičiai

Tada

Antrojo smagračio trinties jėgų M 2 momentas bus išreikštas ryšiu tarp trinties jėgų darbo A ir jo kinetinės energijos pokyčio ΔE k:

čia Δφ = 2πN – sukimosi kampas, N – smagračio apsisukimų skaičius.

Tada iš kur

APIE santykis bus lygus

Antrojo smagračio trinties momentas yra 1,33 karto didesnis.

2.3 pavyzdys. Vienalyčio kieto disko masė m, apkrovų masė m 1 ir m 2 (15 pav.). Cilindro ašyje nėra slydimo ar trinties. Raskite apkrovų pagreitį ir sriegio įtempių santykįjudėjimo procese.

Sriegis neslysta, todėl, kai m 1 ir m 2 atlieka transliacinį judėjimą, cilindras suksis apie ašį, einantį per tašką O. Tikslumui tarkime, kad m 2 > m 1.

Tada apkrova m 2 nuleidžiama ir cilindras sukasi pagal laikrodžio rodyklę. Užrašykime į sistemą įtrauktų kūnų judėjimo lygtis

Pirmosios dvi lygtys parašytos kūnams, kurių masės m 1 ir m 2 vyksta transliacinis judėjimas, o trečioji lygtis – besisukančiam cilindrui. Trečioje lygtyje kairėje yra bendras cilindrą veikiančių jėgų momentas (jėgos momentas T 1 imamas su minuso ženklu, nes jėga T 1 linkusi sukti cilindrą prieš laikrodžio rodyklę). Dešinėje I yra cilindro inercijos momentas O ašies atžvilgiu, kuris yra lygus

čia R yra cilindro spindulys; β – cilindro kampinis pagreitis.

Kadangi nėra siūlų slydimo, tada
. Atsižvelgdami į I ir β išraiškas, gauname:

Sudėję sistemos lygtis, gauname lygtį

Iš čia randame pagreitį a krovinys

Iš gautos lygties aišku, kad sriegio įtempimai bus vienodi, t.y. =1, jei cilindro masė yra daug mažesnė už apkrovų masę.

2.4 pavyzdys. Tuščiavidurės sferos, kurios masė m = 0,5 kg, išorinis spindulys R = 0,08 m, o vidinis spindulys r = 0,06 m. Rutulys sukasi aplink ašį, einančią per jo centrą. Tam tikru momentu rutulį pradeda veikti jėga, dėl kurios rutulio sukimosi kampas keičiasi pagal dėsnį
. Nustatykite veikiančios jėgos momentą.

Uždavinį sprendžiame naudodami pagrindinę sukimosi judėjimo dinamikos lygtį
. Pagrindinis sunkumas yra nustatyti tuščiavidurio rutulio inercijos momentą, o kampinį pagreitį β randame kaip
. Tuščiavidurio rutulio I inercijos momentas yra lygus rutulio, kurio spindulys R, ir rutulio, kurio spindulys r, inercijos momentų skirtumui:

čia ρ yra rutulio medžiagos tankis. Tankio nustatymas žinant tuščiavidurio rutulio masę

Iš čia mes nustatome rutulio medžiagos tankį

Jėgos momentui M gauname tokią išraišką:

2.5 pavyzdys. Plonas strypas, kurio masė 300 g ir ilgis 50 cm, sukasi 10 s kampiniu greičiu -1 V horizontali plokštuma aplinkui vertikalioji ašis, einantis per strypo vidurį. Raskite kampinį greitį, jei sukdamasis toje pačioje plokštumoje strypas juda taip, kad sukimosi ašis eina per strypo galą.

Mes naudojame kampinio momento išsaugojimo dėsnį

(1)

(J i – strypo inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu).

Už izoliuota sistema kūnus, kampinio momento vektorinė suma išlieka pastovi. Dėl to, kad keičiasi strypo masės pasiskirstymas sukimosi ašies atžvilgiu, strypo inercijos momentas taip pat keičiasi pagal (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 .

(2)

Yra žinoma, kad strypo inercijos momentas ašies, einančios per masės centrą ir statmenai strypui, atžvilgiu yra lygus

J 0 = mℓ 2 /12.

(3) Pagal Steinerio teoremą 2

J = J 0 +m Pagal Steinerio teoremą A

(J – strypo inercijos momentas savavališkos sukimosi ašies atžvilgiu; J 0 – inercijos momentas lygiagrečios ašies, einančios per masės centrą, atžvilgiu;

- atstumas nuo masės centro iki pasirinktos sukimosi ašies). Pagal Steinerio teoremą Raskime inercijos momentą apie ašį, einančią per jos galą ir statmeną strypui:

J 2 = J 0 + m

2, J 2 = mℓ 2 /12 +m (ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3.

(4)

Pakeiskime formules (3) ir (4) į (2): mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3Smagračio masėω 2 = ω 1 /4 ω 2 = 10s-1/4 = 2,5s -1 1 2.6 pavyzdys -1 . Masės žmogus 2 =60kg, stovint ant platformos krašto, kurios masė M = 120kg, inercija besisukanti aplink fiksuotą vertikalią ašį dažniu ν

=12 min, persikelia į jo centrą. Laikydami, kad platforma yra apvalus vienalytis diskas, o asmuo - taškinė masė, nustatykite, kokiu dažniu ν .

tada platforma pasisuks. Duota:

m = 60 kg, M = 120 kg, ν 1 = 12 min -1 = 0,2 s -1 Pagal problemos sąlygas platforma su žmogumi sukasi pagal inerciją, t.y. visų besisukančią sistemą veikiančių jėgų gautas momentas lygus nuliui. Todėl „platformos-žmogaus“ sistemai tenkina kampinio momento išsaugojimo dėsnis

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

Kur
- sistemos inercijos momentas, kai žmogus stovi ant platformos krašto (atsižvelgiama į tai, kad platformos inercijos momentas lygus (R – spindulys n
platforma), žmogaus inercijos momentas platformos krašte yra mR 2).

- sistemos inercijos momentas, kai žmogus stovi platformos centre (atsižvelgti į tai, kad platformos centre stovinčio žmogaus momentas lygus nuliui). Kampinis greitis ω 1 = 2π ν 1 ir ω 1 = 2π ν 2.

Parašytus posakius pakeitę formule (1), gauname

iš kur reikalingas sukimosi greitis?

Atsakymas: ν 2 =24min -1.

Mechanika.

Klausimas Nr.1

Atskaitos sistema. Inercinės atskaitos sistemos. Galilėjaus reliatyvumo principas – Einšteinas.

Atskaitos rėmas- tai kūnų rinkinys, kurio atžvilgiu aprašomas tam tikro kūno judėjimas ir su juo susijusi koordinačių sistema.

Inercinė atskaitos sistema (IRS) yra sistema, kurioje laisvai judantis kūnas yra ramybės būsenoje arba tolygiai juda tiesiai.

Galilėjaus-Einšteino reliatyvumo principas– Visi gamtos reiškiniai bet kuriuo metu inercinė sistema skaičiai vyksta taip pat ir turi tą patį matematinė forma. Kitaip tariant, visi ISO yra vienodi.

Klausimas Nr.2

Judėjimo lygtis. Standaus kūno judėjimo tipai. Pagrindinis kinematikos uždavinys.

Judėjimo lygtys materialus taškas:

- kinematinė judėjimo lygtis

Kietojo kūno judesių tipai:

1) Transliacinis judesys – bet kokia tiesi linija, nubrėžta kūne, juda lygiagrečiai sau.

2) Sukamasis judėjimas – bet kuris kūno taškas juda apskritimu.

φ = φ(t)

Pagrindinis kinematikos uždavinys- tai yra materialaus taško greičio V = V(t) ir koordinačių (arba spindulio vektoriaus) r = r(t) priklausomybės nuo laiko gavimas iš žinomos jo pagreičio a = a(t) priklausomybės nuo laiko. ir žinomas pradines sąlygas V 0 ir r 0 .

Klausimas Nr.7

Pulsas (Judėjimo kiekis) – vektorius fizinis kiekis, apibūdinantis priemonę mechaninis judėjimas kūnai. IN klasikinė mechanika kūno impulsas lygus masės sandaugai Smagračio masėšį tašką savo greičiu v, impulso kryptis sutampa su greičio vektoriaus kryptimi:

IN teorinė mechanika apibendrintas impulsas yra sistemos Lagranžo dalinė išvestinė atžvilgiu apibendrintas greitis

Jei sistemos Lagranžo nepriklauso nuo kai kurių apibendrintos koordinatės, tada dėl Lagranžo lygtys .

Už laisvoji dalelė Lagrange funkcija yra tokia: , taigi:

Lagranžo nepriklausomybė uždara sistema iš jo padėties erdvėje išplaukia iš nuosavybės erdvės homogeniškumas: gerai izoliuotai sistemai jos elgsena nepriklauso nuo to, kurioje erdvės vietoje ją patalpinsime. Autorius Noether teorema Iš šio homogeniškumo išplaukia tam tikro fizinio dydžio išsaugojimas. Šis dydis vadinamas impulsu (įprastu, neapibendrintu).

Klasikinėje mechanikoje pilna impulsas vadinama materialių taškų sistema vektorinis kiekis, lygi materialių taškų masių ir jų greičio sandaugų sumai:

atitinkamai dydis vadinamas vieno materialaus taško impulsu. Tai vektorinis dydis, nukreiptas ta pačia kryptimi kaip ir dalelių greitis. Impulso vienetas yra Tarptautinė sistema vienetų (SI) yra kilogramo metro per sekundę(kg m/s)

Jei kalbame apie baigtinio dydžio kūną, norint nustatyti jo impulsą, reikia suskaidyti kūną į mažas dalis, kurios gali būti laikomos materialiais taškais ir sumuojamos virš jų, todėl gauname:

Sistemos impulsas, kurio neveikia jokios išorinės jėgos (arba jos yra kompensuojamos) išsaugotas laiku:

Impulso išsaugojimas šiuo atveju išplaukia iš antrojo ir trečiojo Niutono dėsnių: rašydami antrąjį Niutono dėsnį kiekvienam iš materialių taškų, sudarančių sistemą, ir susumavus visus materialius taškus, sudarančius sistemą, pagal trečiąjį Niutono dėsnį gauname lygybę (* ).

IN reliatyvistinė mechanika nesąveikaujančių materialių taškų sistemos trimatis impulsas yra dydis

,

Kur m i- svoris i materialusis taškas.

Uždarai nesąveikaujančių materialių taškų sistemai ši vertė išsaugoma. Tačiau trimatis impulsas nėra reliatyvistiškai nekintamas dydis, nes jis priklauso nuo atskaitos sistemos. Prasmingesnis dydis bus keturmatis impulsas, kuris vienam materialiam taškui apibrėžiamas kaip

Praktikoje dažnai naudojami tokie ryšiai tarp dalelės masės, impulso ir energijos:

Iš esmės nesąveikaujančių materialių taškų sistemai jų 4 momentai yra sumuojami. Tačiau reliatyvistinėje mechanikoje sąveikaujančioms dalelėms būtina atsižvelgti ne tik į sistemą sudarančių dalelių impulsą, bet ir į sąveikos lauko tarp jų impulsą. Todėl daug reikšmingesnis dydis reliatyvistinėje mechanikoje yra energijos impulso tenzorius, kuris visiškai atitinka tvermės dėsnius.

Klausimas #8

Inercijos momentas- skaliarinis fizikinis dydis, kūno inercijos matas sukamojo judesio aplink ašį matas, kaip ir kūno masė yra jo inercijos slenkamojo judesio matas. Būdingas masių pasiskirstymas kūne: inercijos momentas lygi sumai elementariųjų masių sandaugai jų atstumų iki kvadratu bazinis komplektas

Ašinis inercijos momentas

Kai kurių kūnų ašiniai inercijos momentai.

Inercijos momentas mechaninė sistema fiksuotos ašies atžvilgiu („ašinis inercijos momentas“) yra dydis J a, lygus visų masių sandaugų sumai n materialūs sistemos taškai pagal jų atstumo iki ašies kvadratus:

,

• m i- svoris i taškas,
• r i- atstumas nuo i taškas į ašį.

Ašinis inercijos momentas kūno J a yra kūno, besisukančio aplink ašį, inercijos matas, kaip ir kūno masė yra jo judesio judesio inercijos matas.

,

• dm = ρ dV- mažo kūno tūrio elemento masė dV,
• ρ – tankis,
• =5kg ir spindulys- atstumas nuo elemento dV prie a ašies.

Jei kūnas yra vienalytis, tai yra, jo tankis visur yra vienodas, tada

Formulės išvedimas

dm ir inercijos momentus dJ I. Tada

Plonasienis cilindras (žiedas, lankas)

Formulės išvedimas

Kūno inercijos momentas lygus jį sudarančių dalių inercijos momentų sumai. Plonasienį cilindrą padalinkite į elementus su mase dm ir inercijos momentus dJ I. Tada

Kadangi visi plonasienio cilindro elementai yra vienodu atstumu nuo sukimosi ašies, formulė (1) paverčiama forma

Steinerio teorema

Inercijos momentas kieto kūno padėtis bet kurios ašies atžvilgiu priklauso ne tik nuo kūno masės, formos ir dydžio, bet ir nuo kūno padėties šios ašies atžvilgiu. Pagal Steinerio teoremą (Huygenso-Steinerio teoremą), inercijos momentas kūno J savavališkos ašies atžvilgiu yra lygi sumai inercijos momentasšis kūnas Jc ašies, einančios per kūno masės centrą, lygiagrečiai nagrinėjamai ašiai, atžvilgiu ir kūno masės sandaugą Smagračio masė vienam atstumo kvadratui d tarp ašių:

Jei kūno inercijos momentas ašies, einančios per kūno masės centrą, atžvilgiu, tai inercijos momentas lygiagrečios ašies, esančios per atstumą nuo jos, atžvilgiu yra lygus

,

kur - bruto svoris kūnai.

Pavyzdžiui, strypo inercijos momentas ašies, einančios per jo galą, atžvilgiu yra lygus:

Sukimosi energija

Kinetinė energija sukamasis judėjimas- kūno energija, susijusi su jo sukimu.

Pagrindinis kinematinės charakteristikos sukamasis kūno judėjimas – jo kampinis greitis (ω) ir kampinis pagreitis. Pagrindinės sukamojo judėjimo dinaminės charakteristikos - kampinis impulsas sukimosi ašies z atžvilgiu:

K z = I zω

ir kinetinės energijos

čia I z – kūno inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu.

Panašų pavyzdį galima rasti, kai kalbama apie besisukančią molekulę su pagrindinėmis inercijos ašimis aš 1, aš 2 Ir aš 3. Tokios molekulės sukimosi energiją suteikia išraiška

Kur ω 1, ω 2, Ir ω 3- pagrindiniai kampinio greičio komponentai.

IN bendras atvejis, energija sukimosi kampiniu greičiu randama pagal formulę:

, Kur aš- inercijos tenzorius.

Klausimas Nr.9

Impulso momentas (kampinis momentas, kampinis momentas, orbitinis momentas, kampinis momentas) apibūdina sukamojo judesio dydį. Kiekis, kuris priklauso nuo to, kiek masė sukasi, kaip ji pasiskirsto sukimosi ašies atžvilgiu ir kokiu greičiu sukimasis.

Reikėtų pažymėti, kad rotacija čia suprantama plačiąja prasme, ne tik kaip reguliarus sukimasis aplink ašį. Pavyzdžiui, net su tiesus judesys kūnas, esantis pro savavališką įsivaizduojamą tašką, esantį ne ant judėjimo linijos, jis taip pat turi kampinį impulsą. Ko gero, didžiausią vaidmenį vaidina kampinis impulsas, apibūdinantis tikrąjį sukimosi judesį. Tačiau tai labai svarbu daug platesnei problemų klasei (ypač jei problema turi centrinę ar ašinė simetrija, bet ne tik šiais atvejais).

Kampinio momento išsaugojimo dėsnis(kampinio momento išsaugojimo dėsnis) - visų kampinių momentų vektorinė suma bet kurios ašies atžvilgiu uždarai sistemai išlieka pastovi, kai sistema yra pusiausvyra. Pagal tai uždaros sistemos kampinis impulsas, palyginti su bet kokia kampinio momento išvestine laiko atžvilgiu, yra jėgos momentas:

Taigi reikalavimas, kad sistema būtų uždaryta, gali būti susilpnintas iki reikalavimo, kad pagrindinis (bendras) išorinių jėgų momentas būtų lygus nuliui:

kur yra vienos iš dalelių sistemą veikiančių jėgų momentas. (Bet žinoma, jei iš viso nėra išorinių jėgų, šis reikalavimas taip pat tenkinamas).

Matematiškai kampinio momento išsaugojimo dėsnis išplaukia iš erdvės izotropijos, tai yra iš erdvės nekintamumo sukimosi atžvilgiu. savavališkas kampas. Pasukus begaliniu kampu, dalelės su skaičiu spindulio vektorius pasikeis , o greitis - . Dėl erdvės izotropijos sistemos Lagranžo funkcija su tokiu sukimu nepasikeis. Štai kodėl

1. Apsvarstykite kūno sukimąsi aplinkui nejudėdamas ašis Z. Padalinkime visą kūną į elementariųjų masių aibę m i. Linijinis greitis elementarioji masė m i– v i = w R i, kur R i– masės atstumas m i nuo sukimosi ašies. Todėl kinetinė energija i oji elementarioji masė bus lygi . Bendra kūno kinetinė energija: , čia yra kūno inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu.

Taigi kūno, besisukančio apie fiksuotą ašį, kinetinė energija yra lygi:

2. Dabar leiskite kūnui sukasi kurios nors ašies ir savęs atžvilgiu ašis juda palaipsniui, likdamas lygiagrečiai sau.

PAVYZDŽIUI: Neslysdamas riedantis rutulys atlieka sukamąjį judesį, o jo svorio centras, per kurį eina sukimosi ašis (taškas „O“), juda transliaciškai (4.17 pav.).

Greitis i-tai elementarioji kūno masė lygi , kur yra kurio nors kūno „O“ taško greitis; – spindulio vektorius, nustatantis elementarios masės padėtį taško „O“ atžvilgiu.

Elementariosios masės kinetinė energija yra lygi:

KOMENTARAS: vektorinis produktas kryptimi sutampa su vektoriumi ir turi modulį, lygų (4.18 pav.).

Atsižvelgdami į šią pastabą, galime tai parašyti , kur masės atstumas nuo sukimosi ašies. Antrame termine atliekame ciklinį veiksnių pertvarkymą, po kurio gauname

Norėdami gauti bendrą kūno kinetinę energiją, šią išraišką sumuojame per visas elementarias mases, atimant pastovūs veiksniai už sumos ženklą. Mes gauname

Elementariųjų masių suma yra kūno masė „m“. Išraiška lygi kūno masės sandaugai pagal kūno inercijos centro spindulio vektorių (pagal inercijos centro apibrėžimą). Galiausiai, kūno inercijos momentas ašies, einančios per tašką „O“, atžvilgiu. Todėl galime rašyti

.

Jei kūno inercijos centrą „C“ laikysime tašku „O“, spindulio vektorius bus lygus nuliui, o antrasis narys išnyks. Tada, žymėdami per – inercijos centro greitį, o per – kūno inercijos momentą ašies, einančios per tašką „C“, atžvilgiu, gauname:

(4.6)

Taigi plokštumoje judančio kūno kinetinė energija susideda iš energijos judėjimas į priekį greičiu vienodas greitis inercijos centras ir sukimosi aplink ašį, einančios per kūno inercijos centrą, energija.

Išorinių jėgų darbas sukimosi standaus kūno judėjimo metu.

Raskime darbą, kurį atlieka jėgos, kai kūnas sukasi aplink nejudančią Z ašį.

Tegul masę veikia vidinė ir išorinė jėga (susidaranti jėga yra plokštumoje, statmenoje sukimosi ašiai) (4.19 pav.). Šios jėgos veikia laiku dt darbas:

Atlikę m mišrūs darbai vektorių ciklinę faktorių permutaciją, randame:

kur , yra atitinkamai vidinių ir išorinių jėgų momentai taško „O“ atžvilgiu.

Susumavus visas elementarias mases, gauname laiku atliktą elementarų darbą su kūnu dt:

Vidinių jėgų momentų suma lygi nuliui. Tada, žymėdami bendrą išorinių jėgų momentą per , gauname išraišką:

.

Yra žinoma, kad skaliarinis produktas du vektoriai vadinami skaliarais, lygus produktui vieno iš padaugintų vektorių modulis į antrojo projekciją į pirmojo kryptį, atsižvelgiant į tai, kad , (Z ašies kryptys sutampa), gauname

,

bet w dt=d j, t.y. kampas, kuriuo kūnas pasisuka laiku dt. Štai kodėl

.

Kūrinio ženklas priklauso nuo M z ženklo, t.y. nuo vektoriaus projekcijos ženklo į vektoriaus kryptį.

Taigi, kai kūnas sukasi vidines jėgas darbas neatliekamas, o išorinių jėgų darbas nustatomas pagal formulę .

Per ribotą laiką atliktas darbas randamas integruojant

.

Jei susidariusio išorinių jėgų momento projekcija į kryptį išlieka pastovi, tada ją galima išimti iš integrinio ženklo:

, t.y. .

Tie. išorinės jėgos atliktas darbas kūno sukimosi metu yra lygus išorinės jėgos momento projekcijos į sukimosi kryptį ir kampą sandaugai.

Kita vertus, kūną veikiančios išorinės jėgos darbas didina kūno kinetinę energiją (arba yra lygus besisukančio kūno kinetinės energijos pokyčiui). Parodykime tai:

;

Vadinasi,

. (4.7)

Savarankiškai:

Elastinės jėgos;

Huko dėsnis.

Hidrodinamika

Srovės linijos ir vamzdžiai.

Hidrodinamika tiria skysčių judėjimą, tačiau jos dėsniai galioja ir dujų judėjimui. Stacionariame skysčio sraute jo dalelių greitis kiekviename erdvės taške yra nuo laiko nepriklausomas dydis ir priklauso nuo koordinačių. Esant pastoviam srautui, skysčio dalelių trajektorijos sudaro srautą. Srovės linijų derinys sudaro srovės vamzdelį (5.1 pav.). Darome prielaidą, kad skystis yra nesuspaudžiamas, tada skysčio tūris, tekantis per sekcijas S 1 ir S 2 bus tas pats. Per sekundę per šias dalis praeis skysčio tūris, lygus

, (5.1)

kur ir yra skysčio greičiai atkarpose S 1 ir S 2 , o vektoriai ir yra apibrėžiami kaip ir , kur ir yra sekcijų normalės S 1 ir S 2. Lygtis (5.1) vadinama srovės tęstinumo lygtimi. Iš to išplaukia, kad skysčio greitis yra atvirkščiai proporcingas srovės vamzdžio skerspjūviui.

Bernulio lygtis.

Laikysime idealų nesuspaudžiamą skystį, kuriame nėra vidinės trinties (klampumo). Parinkime ploną srovės vamzdelį stacionariame tekančiame skystyje (5.2 pav.) su pjūviais S 1 Ir S 2, statmenai srovinėms linijoms. Skerspjūvyje 1 per trumpą laiką o stabdant sustoja už nugaros dalelės judės tam tikru atstumu l 1, ir skyriuje 2 - per atstumą l 2. Per abu skyrius laiku o stabdant sustoja už nugaros praeis vienodas nedidelis skysčio tūris V= V 1 = V 2 ir perpilkite daug skysčio m = rV, Kur =5kg ir spindulys- skysčio tankis. Bendras pokytis mechaninė energija viso skysčio srauto vamzdyje tarp sekcijų S 1 Ir S 2 tai įvyko per o stabdant sustoja už nugaros, galima pakeisti keičiant tūrio energiją V kuris įvyko, kai jis buvo perkeltas iš 1 skyriaus į 2 skyrių. Su tokiu judėjimu pasikeis šio tūrio kinetinė ir potenciali energija, o bendras energijos pokytis

, (5.2)

kur v 1 ir v 2 - skysčio dalelių greičiai pjūviuose S 1 Ir S 2 atitinkamai; g- pagreitis gravitacija; h 1 Ir h 2- sekcijų centro aukštis.

Idealiame skystyje nėra trinties nuostolių, todėl energija didėja DE turi būti lygus slėginių jėgų darbui paskirstytame tūryje. Nesant trinties jėgų, šis darbas:

Sulyginus dešiniąsias lygybių (5.2) ir (5.3) puses ir perkeliant terminus su tais pačiais indeksais į vieną lygybės pusę, gauname

. (5.4)

Vamzdžių sekcijos S 1 Ir S 2 buvo paimti savavališkai, todėl galima teigti, kad bet kurioje srovės vamzdžio atkarpoje išraiška galioja

. (5.5)

(5.5) lygtis vadinama Bernulio lygtimi. Už horizontali linija srovė h = konst o lygybė (5.4) įgauna formą

=5kg ir spindulys /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

tie. slėgis mažesnis tuose taškuose, kur greitis didesnis.

Vidinės trinties jėgos.

Tikras skystis būdingas klampumas, pasireiškiantis tuo, kad bet koks skysčio ir dujų judėjimas spontaniškai sustoja, nesant jį sukėlusių priežasčių. Panagrinėkime eksperimentą, kurio metu virš nejudančio paviršiaus yra skysčio sluoksnis, o ant jo juda greičiu , ant jo plūduriuoja plokštė su paviršiumi S(5.3 pav.). Patirtis rodo, kad perkelti lėkštę su pastovus greitis būtina jį veikti jėga. Kadangi plokštė negauna pagreičio, tai reiškia, kad šios jėgos veikimą subalansuoja kita, vienodo dydžio ir priešingos krypties jėga, kuri yra trinties jėga. . Niutonas parodė, kad trinties jėga

, (5.7)

Kur d- skysčio sluoksnio storis, h - skysčio klampumo koeficientas arba trinties koeficientas, minuso ženklas atsižvelgiama į skirtinga kryptimi vektoriai F tr Ir v o. Jeigu panagrinėtume skysčio dalelių greitį skirtingose ​​sluoksnio vietose, paaiškėtų, kad jis kinta pagal tiesinis įstatymas(5.3 pav.):

v(z) = = (v 0 /d)·z.

Išskirdami šią lygybę, gauname dv/dz= v 0 /d. Turint tai omenyje

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

Kur h- koeficientas dinaminis klampumas . Didumas dv/dz vadinamas greičio gradientu. Tai rodo, kaip greitai keičiasi greitis ašies kryptimi z. At dv/dz= const greičio gradientas skaitine prasme lygus greičio pokyčiui v kai keičiasi z už vienetą. Į (5.8) formulę įdėkime skaitinį skaičių dv/dz =-1 ir S= 1, gauname h = F. Iš to seka fizinę reikšmę h: klampos koeficientas skaitiniu būdu lygus jėgai, kuris veikia vienetinio ploto skysčio sluoksnį su greičio gradientu, lygus vienam. SI klampumo vienetas vadinamas paskalio sekunde (žymimas Pa s). Sistemoje GHS vienetas klampumas yra 1 puas (P), kai 1 Pa s = 10P.

Besisukančio kūno kinetinės energijos išraiška, atsižvelgiant į tai, kad savavališko materialaus taško, sudarančio kūną, tiesinis greitis sukimosi ašies atžvilgiu yra lygus, turi tokią formą

kur yra kūno inercijos momentas pasirinktos sukimosi ašies atžvilgiu, jo kampinis greitis šios ašies atžvilgiu ir kūno kampinis momentas sukimosi ašies atžvilgiu.

Jei kūnas patiria transliacinį sukimosi judesį, tada kinetinės energijos apskaičiavimas priklauso nuo poliaus, kurio atžvilgiu aprašomas kūno judėjimas, pasirinkimo. Galutinis rezultatas bus tas pats. Taigi, jei apvalaus kūno, riedančio greičiu v be slydimo spinduliu R ir inercijos koeficientu k, polius imamas jo CM taške C, tai jo inercijos momentas yra , o sukimosi aplink ašį kampinis greitis. C yra. Tada kūno kinetinė energija yra .

Jei polius imamas kūno ir paviršiaus, per kurį eina momentinė kūno sukimosi ašis, sąlyčio taške O, tada jo inercijos momentas O ašies atžvilgiu taps lygus. . Tada kūno kinetinė energija, atsižvelgiant į tai, kad kūno sukimosi kampiniai greičiai lygiagrečių ašių atžvilgiu yra vienodi ir kūnas atlieka gryną sukimąsi aplink O ašį, bus lygi . Rezultatas toks pat.

Teorema apie veikiančio kūno kinetinę energiją sudėtingas judėjimas, turės tokią pačią formą kaip ir jo transliacinis judėjimas: .

1 pavyzdys. M masės kūnas pritvirtintas prie sriegio, apvynioto aplink R spindulio ir M masės cilindrinį bloką, galo. Kūnas pakeliamas į aukštį h ir paleidžiamas (65 pav.). Po neelastinio sriegio trūktelėjimo korpusas ir blokas iškart pradeda judėti kartu. Kiek šilumos išsiskirs trūkčiojimo metu? Koks bus kūno pagreitis ir sriegio įtempimas po trūkčiojimo? Koks bus kūno greitis ir jo nuvažiuotas atstumas patraukus siūlą po laiko t?

Duota: M, R, m, h, g, t. Rasti: Q -?,a - ?, T - ?,v -?, s - ?

Sprendimas: Kūno greitis prieš trūkčiojant siūlui. Po sriegio trūktelėjimo blokas ir kūnas pradės suktis bloko ašies O atžvilgiu ir elgsis kaip kūnai, kurių inercijos momentai šios ašies atžvilgiu yra lygūs ir . Jų bendras momentas inercija apie sukimosi ašį.

Sriegio trūkčiojimas yra greitas procesas, o trūkčiojimo metu galioja bloko-kūno sistemos kampinio momento išsaugojimo dėsnis, kuris dėl to, kad kūnas ir blokas iškart po trūkčiojimo pradeda judėti kartu, turi tokią formą. : . Iš kur atsiranda pradinis kampinis bloko sukimosi greitis? , ir pradinis tiesinis kūno greitis .

Sistemos kinetinė energija dėl jos kampinio momento išsaugojimo iškart po sriegio trūkčiojimo yra lygi . Šiluma, išsiskirianti trūkčiojimo metu pagal energijos tvermės dėsnį

Dinaminės sistemos kūnų judėjimo lygtys po sriegio trūktelėjimo nepriklauso nuo jų pradinio greičio. Blokui jis turi formą arba, ir kūnui. Sudėjus šias dvi lygtis, gauname . Iš kur kyla kūno judėjimo pagreitis? Siūlo įtempimas

Kinematinės kūno judėjimo lygtys po trūkčiojimo turės formą , kur visi parametrai žinomi.

Atsakymas: . .

2 pavyzdys. Du apvalūs kūnai su inercijos koeficientais (tuščiaviduris cilindras) ir (rutulys), esantys pasvirusios plokštumos su pasvirimo kampu pagrindu α pranešti apie tą patį pradiniai greičiai, nukreiptas į viršų išilgai nuožulnios plokštumos. Į kokį aukštį ir per kiek laiko kūnai pakils į šį aukštį? Kokie kylančių kūnų pagreičiai? Kiek kartų skiriasi kūnų aukščiai, laikai ir pagreičiai? Kūnai juda pasvirusioje plokštumoje neslysdami.

Duota: . Rasti:

Sprendimas: Kūną veikia: gravitacija m g, pasvirusios plokštumos reakcija N, ir sankabos trinties jėga (67 pav.). Veikia normali reakcija o sukibimo trinties jėgos (nėra slydimo ir neišsiskiria šiluma kūno ir plokštumos sukibimo vietoje.) lygios nuliui: , todėl kūnų judėjimui apibūdinti galima pasitelkti energijos tvermės dėsnį: . Kur.

Kūnų judėjimo laikus ir pagreičius rasime iš kinematinių lygčių . Kur , . Kėlimo kėbulų aukščių, laikų ir pagreičių santykis:

Atsakymas: , , , .

3 pavyzdys. Masės kulka, skrendanti greičiu, atsitrenkia į rutulio, kurio masė M ir spindulys R, pritvirtintą prie m masės ir l ilgio strypo galo, pakabinto taške O per antrąjį galą, ir išskrenda iš jo. su greičiu (68 pav.). Raskite strypo-rutulio sistemos sukimosi kampinį greitį iškart po smūgio ir strypo įlinkio kampą po kulkos smūgio.

Duota: . Rasti:

m = 60 kg, M = 120 kg, ν 1 = 12 min -1 = 0,2 s -1 Strypo ir rutulio inercijos momentai strypo pakabos taško O atžvilgiu pagal Steinerio teoremą: ir . Bendras strypo-rutulio sistemos inercijos momentas . Kulkos smūgis yra greitas procesas, ir vyksta kulkos-metras-rutulio sistemos kampinio momento išsaugojimo dėsnis (kūnai po susidūrimo pradeda suktis): . Iš kur atsiranda strypo ir rutulio sistemos kampinis judėjimo greitis iškart po smūgio?

Strypo ir rutulio sistemos CM padėtis pakabos taško O atžvilgiu: . Energijos tvermės dėsnis sistemos CM po smūgio, atsižvelgiant į sistemos kampinio momento išsaugojimo po smūgio dėsnį, turi formą . Iš kur po smūgio pakyla sistemos CM aukštis? . Strypo įlinkio kampas po smūgio nustatomas pagal būklę .

Atsakymas: , , .

4 pavyzdys. Blokas jėga N prispaudžiamas prie apvalaus kūno, kurio masė m ir spindulys R, kurio inercijos koeficientas k, besisukantis kampiniu greičiu . Kiek laiko užtruks, kol cilindras sustos ir kiek šilumos išsiskirs, kai per tą laiką padas trinasi į cilindrą? Trinties koeficientas tarp bloko ir cilindro yra .

Duota: Rasti:

Sprendimas: trinties jėgos atliktas darbas prieš kūnui sustojus pagal kinetinės energijos teoremą yra lygus . Sukimosi metu išsiskirianti šiluma .

Kūno sukamojo judėjimo lygtis turi formą . Iš kur kyla jo lėto sukimosi kampinis pagreitis? . Laikas, per kurį kūnas sukasi, kol sustoja.

Atsakymas: , .

5 pavyzdys. Apvalus kūnas, kurio masė m ir spindulys R, kurio inercijos koeficientas k, sukamas kampiniu greičiu prieš laikrodžio rodyklę ir pastatomas ant horizontalaus paviršiaus, greta vertikalios sienos (70 pav.). Kiek laiko užtruks, kol kūnas sustos ir kiek apsisukimų padarys prieš sustodamas? Koks bus šilumos kiekis, išsiskiriantis kūnui trintis į paviršių per šį laiką? Kūno trinties ant paviršiaus koeficientas lygus .

Duota: . Rasti:

Sprendimas: Šiluma, išsiskirianti kūno sukimosi metu iki sustojimo, yra lygi trinties jėgų darbui, kurią galima rasti naudojant kūno kinetinės energijos teoremą. Turime.

Horizontalios plokštumos reakcija. Nuo horizontalaus ir vertikaliojo paviršių kūną veikiančios trinties jėgos yra lygios: ir .Iš šių dviejų lygčių sistemos gauname ir .

Atsižvelgiant į šiuos ryšius, kūno sukamojo judėjimo lygtis turi formą (. Iš kur kūno sukimosi kampinis pagreitis yra lygus. Tada kūno sukimosi laikas, kol jis sustoja, ir jo apsisukimų skaičius. daro.

Atsakymas: , , , .

6 pavyzdys. Apvalus kūnas, kurio inercijos koeficientas k, rieda neslysdamas nuo R spindulio pusrutulio viršaus, stovinčio ant horizontalaus paviršiaus (71 pav.). Kokiame aukštyje ir kokiu greičiu jis atitrūks nuo pusrutulio ir kokiu greičiu kris ant horizontalaus paviršiaus?

Duota: k, g, R. Rasti:

Sprendimas: Jėgos veikia kūną . Darbas ir 0, (pusrutulio ir rutulio sukibimo vietoje neslysta ir neišsiskiria šiluma), todėl kūno judėjimui apibūdinti galima pasitelkti energijos tvermės dėsnį. Antrasis Niutono dėsnis kūno CM jo atsiskyrimo nuo pusrutulio taške, atsižvelgiant į tai, kad šiame taške turi formą, iš kur . Energijos tvermės dėsnis, skirtas pradžios taškas o kūno atskyrimo taškas turi formą . Kai kūno aukštis ir atsiskyrimo nuo pusrutulio greitis yra lygūs, .

Atskyrus kūną nuo pusrutulio, keičiasi tik jo transliacinė kinetinė energija, todėl kūno atsiskyrimo ir kritimo į žemę taškų energijos tvermės dėsnis turi formą . Kur, atsižvelgiant į tai, gauname . Kūnui, slystančiam pusrutulio paviršiumi be trinties, k=0 ir , , .

Atsakymas: , , .

Pirmiausia panagrinėkime standųjį kūną, besisukantį aplink fiksuotą ašį OZ kampiniu greičiu ω (5.6 pav.). Suskaidykime kūną į elementarias mases. Elementariosios masės tiesinis greitis lygus , kur yra jos atstumas nuo sukimosi ašies. Kinetinė energija i-tai elementarioji masė bus lygi

.

Viso kūno kinetinė energija susideda iš jo dalių kinetinės energijos, todėl

.

Atsižvelgiant į tai, kad suma, esanti dešinėje šio ryšio pusėje, reiškia kūno inercijos momentą sukimosi ašies atžvilgiu, galiausiai gauname

. (5.30)

Besisukančio kūno kinetinės energijos formulės (5.30) panašios atitinkamas formules kūno transliacinio judėjimo kinetinei energijai. Jie gaunami iš pastarųjų formaliai pakeičiant .

Įprastu atveju standaus kūno judėjimas gali būti pavaizduotas kaip judesių suma – transliacijos greičiu, lygiu kūno masės centro greičiui, ir sukimosi kampiniu greičiu aplink akimirkinę ašį, einančią per kūno masės centrą. masės centras. Šiuo atveju kūno kinetinės energijos išraiška įgauna formą

.

Dabar suraskime darbą, kurį atlieka išorinių jėgų momentas kieto kūno sukimosi metu. Elementarus išorinių jėgų darbas laike dt bus lygus kūno kinetinės energijos pokyčiui

Paėmę skirtumą iš sukimosi judesio kinetinės energijos, randame jo prieaugį

.

Pagal pagrindinę sukamojo judėjimo dinamikos lygtį

Atsižvelgdami į šiuos ryšius, pateikiame išraišką pagrindinis darbasį protą

kur yra susidariusio išorinių jėgų momento projekcija sukimosi ašies kryptimi OZ, yra kūno sukimosi kampas per nagrinėjamą laikotarpį.

Integruodami (5.31) gauname besisukantį kūną veikiančių išorinių jėgų darbo formulę

Jei , tada formulė supaprastėja

Taigi išorinių jėgų darbas sukant standųjį kūną fiksuotos ašies atžvilgiu yra nulemtas šių jėgų momento projekcijos į šią ašį.

Giroskopas

Giroskopas – tai greitai besisukantis simetriškas kūnas, kurio sukimosi ašis gali keisti kryptį erdvėje. Kad giroskopo ašis galėtų laisvai suktis erdvėje, giroskopas dedamas į vadinamąją kardaninę pakabą (5.13 pav.). Giroskopo smagratis sukasi vidiniame žiede aplink ašį C1C2, einantį per jo svorio centrą. Vidinis žiedas savo ruožtu gali suktis išoriniame žiede aplink ašį B 1 B 2, statmeną C 1 C 2. Galiausiai, išorinė skriemulys gali laisvai suktis statramsčio guoliuose aplink ašį A 1 A 2, statmeną ašims C 1 C 2 ir B 1 B 2. Visos trys ašys tam tikru momentu susikerta fiksuotas taškas O, vadinamas gimbalo centru arba giroskopo atramos tašku. Giroskopas, esantis gimbale, turi tris laisvės laipsnius, todėl gali suktis aplink kardaninio veleno centrą. Jei giroskopo pakabos centras sutampa su jo sunkio centru, tai gautas visų giroskopo dalių sunkio momentas pakabos centro atžvilgiu yra lygus nuliui. Toks giroskopas vadinamas subalansuotu.

Dabar apsvarstykime labiausiai svarbios savybės giroskopas, plačiai pritaikytas įvairiose srityse.

1) Stabilumas.

Sukant bet kokį atsvarinį giroskopą, jo sukimosi ašis laboratorinės atskaitos sistemos atžvilgiu lieka nepakitusi. Taip yra dėl to, kad visų išorinių jėgų momentas, lygus trinties jėgų momentui, yra labai mažas ir praktiškai nesukelia giroskopo kampinio momento pokyčio, t.y.

Kadangi kampinis momentas nukreiptas išilgai giroskopo sukimosi ašies, jo orientacija turi išlikti nepakitusi.

Jei išorinė jėga veikia trumpai, integralas, lemiantis kampinio momento prieaugį, bus mažas

. (5.34)

Tai reiškia, kad net ir esant trumpalaikėms pozicijoms didelės jėgos subalansuoto giroskopo judesys mažai keičiasi. Atrodo, kad giroskopas priešinasi bet kokiems bandymams pakeisti savo kampinio impulso dydį ir kryptį. Taip yra dėl nepaprasto stabilumo, kurį giroskopas įgyja po jo įjungimo greitas sukimasis. Ši giroskopo savybė plačiai naudojama automatiškai valdyti orlaivių, laivų, raketų ir kitų prietaisų judėjimą.

Jei veikiate giroskopu ilgą laiką Jei išorinių jėgų momentas yra pastovus kryptimi, tada giroskopo ašis galiausiai nustatoma išorinių jėgų momento kryptimi. Šis reiškinys naudojamas girokompase. Šis prietaisas yra giroskopas, kurio ašis gali laisvai suktis horizontalioje plokštumoje. Dėl dienos rotacijaŽemė ir akimirkos veiksmai išcentrinės jėgos Giroskopo ašis pasukama taip, kad kampas tarp ir taptų minimalus (5.14 pav.). Tai atitinka giroskopo ašies padėtį dienovidinio plokštumoje.

2). Giroskopinis efektas.

Jei sukamam giroskopui taikoma jėgų pora, linkusi pasukti jį apie ašį, statmeną sukimosi ašiai, tada jis pradės suktis aplink trečią ašį, statmeną pirmiesiems dviem (5.15 pav.). Toks neįprastas giroskopo elgesys vadinamas giroskopinis efektas. Tai paaiškinama tuo, kad jėgų poros momentas nukreiptas išilgai O 1 O 1 ašies, o vektoriaus pokytis pagal dydį laikui bėgant bus ta pati kryptis. Dėl to naujasis vektorius pasisuks O 2 O 2 ašies atžvilgiu. Taigi iš pirmo žvilgsnio nenatūralus giroskopo elgesys visiškai atitinka sukimosi judėjimo dinamikos dėsnius.

3). Giroskopo precesija.

Giroskopo precesija yra kūgio formos jo ašies judėjimas. Tai atsiranda tuo atveju, kai išorinių jėgų momentas, išlikdamas pastovus, sukasi kartu su giroskopo ašimi, visą laiką sudarydamas su ja stačiu kampu. Precesijai demonstruoti gali būti naudojamas dviračio ratas su pailginta ašimi, nustatytas į greitą sukimąsi (5.16 pav.).

Jei ratas pakabinamas už pailginto ašies galo, jo ašis, veikiama savo svorio, pradės suktis aplink vertikalią ašį. Greitai besisukantis viršus taip pat gali pasitarnauti kaip precesijos demonstravimas.

Išsiaiškinkime giroskopo precesijos priežastis. Panagrinėkime nesubalansuotą giroskopą, kurio ašis gali laisvai suktis aplink tam tikrą tašką O (5.16 pav.). Giroskopui taikomas gravitacijos momentas yra lygus

kur giroskopo masė, atstumas nuo taško O iki giroskopo masės centro, giroskopo ašies sudarytas kampas su vertikale. Vektorius nukreiptas statmenai vertikaliai plokštumai, einančiai per giroskopo ašį.

Šio momento įtakoje giroskopo kampinis impulsas (jo pradžia yra taške O) gaus prieaugį laike, o vertikali plokštuma, einanti per giroskopo ašį, pasisuks kampu. Vektorius visada yra statmenas , todėl nesikeičiant dydžiui, vektorius keičiasi tik kryptimi. Tačiau po kurio laiko santykinė padėtis vektoriai ir bus tokie patys kaip ir pradžios momentas. Dėl to giroskopo ašis nuolat suksis aplink vertikalę, apibūdindama kūgį. Šis judėjimas vadinamas precesija.

Nustatykime precesijos kampinį greitį. Pagal 5.16 pav., plokštumos, einančios per kūgio ašį ir giroskopo ašį, sukimosi kampas lygus

kur yra giroskopo kampinis impulsas ir jo padidėjimas laikui bėgant.

Padalijus iš , atsižvelgiant į pažymėtus ryšius ir transformacijas, gauname precesijos kampinį greitį

. (5.35)

Technologijoje naudojamų giroskopų precesijos kampinis greitis yra milijonus kartų mažesnis už giroskopo sukimosi greitį.

Baigdami pažymime, kad precesijos reiškinys stebimas ir atomuose dėl orbitos judėjimas elektronų.

Dinamikos dėsnių taikymo pavyzdžiai

Sukamojo judėjimo metu

1. Panagrinėkime keletą kampinio momento išsaugojimo įstatymo pavyzdžių, kuriuos galima įgyvendinti naudojant Žukovskio suolą. Paprasčiausiu atveju Žukovskio suolas yra disko formos platforma (kėdė), kuri ant rutulinių guolių gali laisvai suktis aplink vertikalią ašį (5.17 pav.). Demonstrantas sėdi arba atsistoja ant suolo, po to jis pradedamas suktis. Dėl to, kad trinties jėgos dėl guolių naudojimo yra labai mažos, sistemos, susidedančios iš stendo ir demonstratoriaus, kampinis impulsas sukimosi ašies atžvilgiu laikui bėgant negali pasikeisti, jei sistema paliekama savieigai. . Jei demonstrantas rankose laiko sunkius hantelius ir išskleis rankas į šonus, tai padidins sistemos inercijos momentą, todėl sukimosi kampinis greitis turi sumažėti, kad kampinis momentas išliktų nepakitęs.

Pagal kampinio momento išsaugojimo dėsnį sukuriame lygtį ši byla

kur yra asmens ir suolo inercijos momentas ir hantelių inercijos momentas pirmoje ir antroje padėtyse ir yra sistemos kampiniai greičiai.

Kampinis sistemos sukimosi greitis keliant hantelius į šoną bus lygus

.

darbas, padarė žmogus judinant hantelius, galima nustatyti keičiant sistemos kinetinę energiją

2. Atlikime dar vieną eksperimentą su Žukovskio suolu. Demonstrantas sėdi arba atsistoja ant suoliuko ir jam įteikiamas greitai besisukantis ratas su vertikaliai nukreipta ašimi (5.18 pav.). Tada demonstrantas pasuka vairą 180 0 . Šiuo atveju rato kampinio momento pokytis visiškai perkeliamas į stendą ir demonstratorių. Dėl to suoliukas kartu su demonstratoriumi pradeda suktis kampiniu greičiu, nustatytu remiantis kampinio momento išsaugojimo dėsniu.

Sistemos kampinį momentą pradinėje būsenoje lemia tik rato kampinis momentas ir yra lygus

kur yra rato inercijos momentas ir jo sukimosi kampinis greitis.

Pasukus ratą 180 0 kampu, sistemos kampinį momentą lems suoliuko su žmogumi ir rato kampinio momento suma. Atsižvelgdami į tai, kad rato kampinio momento vektorius pakeitė savo kryptį į priešingą, o jo projekcija į vertikalią ašį tapo neigiama, gauname

,

kur yra „asmens-platformos“ sistemos inercijos momentas ir suoliuko su žmogumi sukimosi kampinis greitis.

Pagal kampinio momento išsaugojimo dėsnį

Ir .

Dėl to randame suoliuko sukimosi greitį

3. Plonas masės strypas Smagračio masė ir ilgis l sukasi kampiniu greičiu ω=10 s -1 horizontalioje plokštumoje aplink vertikalią ašį, einančią per strypo vidurį. Toliau sukdamasis toje pačioje plokštumoje, strypas juda taip, kad sukimosi ašis dabar eina per strypo galą. Antruoju atveju raskite kampinį greitį.

Šiame uždavinyje dėl to, kad kinta strypo masės pasiskirstymas sukimosi ašies atžvilgiu, kinta ir strypo inercijos momentas. Pagal izoliuotos sistemos kampinio momento išsaugojimo dėsnį turime

Čia yra strypo inercijos momentas ašies, einančios per strypo vidurį, atžvilgiu; yra strypo inercijos momentas ašies, einančios per jo galą ir randamas pagal Steinerio teoremą, atžvilgiu.

Pakeitę šias išraiškas į kampinio momento išsaugojimo dėsnį, gauname

,

.

4. Strypo ilgis L=1,5 m ir masė m 1= 10 kg pakabinama vyriais nuo viršutinio galo. Kulka, kurios masė m 2=10 g, skrenda horizontaliai =500 m/s greičiu ir įstringa meškerėje. Kokiu kampu strypas pasisuks po smūgio?

Įsivaizduokime pav. 5.19. sąveikaujančių kūnų sistema „stypas-kulka“. Išorinių jėgų (gravitacijos, ašies reakcijos) momentai smūgio momentu yra lygūs nuliui, todėl galime naudoti kampinio momento išsaugojimo dėsnį.

Sistemos kampinis impulsas prieš smūgį yra lygus kulkos kampiniam momentui pakabos taško atžvilgiu

Sistemos kampinis momentas po neelastingas poveikis bus nustatyta pagal formulę

,

kur yra strypo inercijos momentas pakabos taško atžvilgiu, yra kulkos inercijos momentas, yra strypo kampinis greitis su kulka iškart po smūgio.

Išspręsdami gautą lygtį po pakeitimo, randame

.

Dabar pasinaudokime mechaninės energijos tvermės dėsniu. Sulyginkime strypo kinetinę energiją po to, kai kulka į jį pataikė potenciali energija V aukščiausias taškas liftas:

,

kur yra šios sistemos masės centro aukščio aukštis.

Atlikę reikiamas transformacijas gauname

Strypo įlinkio kampas yra susijęs su santykiu

.

Atlikę skaičiavimus gauname =0,1p=18 0 .

5. Nustatykite Atwood stakl kūnų pagreitį ir sriegio įtempimą, darydami prielaidą, kad (5.20 pav.). Bloko inercijos momentas sukimosi ašies atžvilgiu lygus aš, bloko spindulys =5kg ir spindulys. Nepaisykite sriegio masės.

Išdėstykime visas apkrovas ir bloką veikiančias jėgas ir sudarykime joms dinamines lygtis

Jei sriegis neslysta išilgai bloko, tai tiesinis ir kampinis pagreitis yra susiję vienas su kitu ryšiu

Išspręsdami šias lygtis, gauname

Tada randame T 1 ir T 2.

6. Prie Oberbeko kryžiaus skriemulio (5.21 pav.) pritvirtinamas sriegis, nuo kurio sveria krovinys. M= 0,5 kg. Nustatykite, per kiek laiko krovinys nukrenta iš aukščio h=1 m iki apatinės padėties. Skriemulio spindulys =5kg ir spindulys= 3 cm sveria keturi svoriai Smagračio masė= po 250 g atstumu R= 30 cm nuo savo ašies. Kryžiaus ir paties skriemulio inercijos momentas yra nepaisomas, palyginti su apkrovų inercijos momentu.