Nurodykite numanomos funkcijos teoremą. Būtinos kelių kintamųjų funkcijos ekstremumo sąlygos

Jei funkcija pateikiama lygtimi y=ƒ(x), išspręsta y atžvilgiu, tada funkcija pateikiama aiškia forma (eksplicitinė funkcija).

Pagal numanoma užduotis funkcijos supranta funkcijos apibrėžimą lygties F(x;y)=0 forma, neišspręstos y atžvilgiu.

Bet kuri aiškiai nurodyta funkcija y=ƒ (x) gali būti įrašyta kaip netiesiogiai duota pagal lygtį ƒ(x)-y=0, bet ne atvirkščiai.

Ne visada lengva, o kartais ir neįmanoma, išspręsti y lygtį (pavyzdžiui, y+2x+jaukus-1=0 arba 2 y -x+y=0).

Jei numanoma funkcija pateikiama lygtimi F(x; y) = 0, tai norint rasti y išvestinę x atžvilgiu, nereikia spręsti lygties y atžvilgiu: pakanka diferencijuoti šią lygtį x atžvilgiu, laikant y kaip x funkciją, ir tada išspręskite gautą y lygtį."

Netiesioginės funkcijos išvestinė išreiškiama argumentu x ir funkcija y.

Netiesiogiai apibrėžtos funkcijos egzistavimo ir diferenciacijos teorema

Tegul funkcija F(x,y) atitinka sąlygas

F(x 0,y 0) = 0 ;

daliniai dariniai F"x Ir F"y ištisinis tam tikroje taško kaimynystėje ( x 0,y 0) ;

F"y(x 0,y 0) ≠ 0 .

lygtis F(x,y) = 0 netiesiogiai apibrėžia tam tikroje taško kaimynystėje x 0 vienintelė nuolatinė funkcija y(x) tenkinantis sąlygą y(x 0) =y 0 .

funkcija y(x) turi išvestinę, kuri yra ištisinė taško kaimynystėje x 0 .

Išsiaiškinkime teoremos sąlygų reikšmę.

Nepertraukiamos numanomos funkcijos buvimas y=f(x) netoli taško ( x 0,y 0) išplaukia iš egzistavimo teoremos, nes:

1 sąlyga garantuoja taško, kurio koordinatės tenkina lygtį, egzistavimą F(x,y) = 0 ;

2 sąlyga reiškia funkcijos tęstinumą F(x,y) netoli taško ( x 0,y 0) , o iš 3 sąlygos - jo monotoniškumas atžvilgiu y už kiekvieną fiksuotą x iš šios apylinkės.

Vadinasi, 1–3 sąlygos užtikrina numanomos funkcijos egzistavimo sąlygų įvykdymą y(x) tenkinantis sąlygą y(x 0) =y 0 ir tęstinis taško kaimynystėje x 0.

1. Netiesiogiai nurodytos funkcijos dalinių išvestinių skaičiavimas.

Kai įvykdomos atitinkamos sąlygos, lygtis netiesiogiai apibrėžia funkciją. Ta pati lygtis gali netiesiogiai apibrėžti arba funkciją.

Netiesioginės funkcijos išvestinė. Skaičiuodami numanomos funkcijos išvestinę, naudosime sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę. Išskirkime lygtį: . Iš čia gauname netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinės formulę:. Lygiai taip pat nesunku gauti formules kelių kintamųjų funkcijos dalinėms išvestinėms, nurodytoms netiesiogiai, pavyzdžiui, lygtimi :,.

1. Būtinos sąlygos kelių kintamųjų funkcijos vietiniam ekstremumui. Kelių kintamųjų funkcijų lokalus ekstremumas. Būtinos sąlygos besąlyginiam vietiniam ekstremumui.

Apibrėžimas : Tegu duota funkcija n- kintamieji

Tegu taškas M 0 pateikiamas su koordinatėmis , taškas M 0 vadinamas vietiniu max(min), jei taško M 0   okr: x  okr galioja

(x   env), env vadinamas aibe (in n matmenų erdvė).

Vietinis taškasmaksarbaminvadinamas ekstremumo tašku.

Būtinos sąlygos kelių kintamųjų funkcijos ekstremumui.

Apibrėžimas: stacionarus taškas. Jei funkcija yra diferencijuojama taške M 0, tai būtina sąlyga ekstremumui egzistuoti šiame taške yra reikalavimas, kad ji būtų stacionari:

(, jei)

Stacionarus taškas – taškas, kuriame visos dalinės išvestinės visų argumentų atžvilgiu yra lygios 0.

Įrodymas: Pataisykime visus kintamuosius, palikdami tik x 1,

taisydami bet kurį kitą kintamąjį gauname tą patį.

Apibrėžimas: būtina ekstremumo sąlyga.

Ekstremaliame funkcijos taške n-kintamieji, skirtumas eina į nulį.

Jei vietinis ekstremumas , jei- yra nepriklausomi

komentaras: jei tenkinama būtina ekstremumo sąlyga, tai nebūtinai yra ekstremumas.

Tiesa: jei taškas yra nejudantis, tai nebūtinai yra ekstremumas, KALBANT BENDRAI! Ekstremas visada yra stacionarus taškas!

Pavyzdys: (0,0),x>0, y>0  z>0, x<0, y<0 z<0, но dz =0.

Netiesioginės funkcijos teorema- bendras pavadinimas teoremoms, kurios garantuoja vietinį egzistavimą ir apibūdina savybes numanoma funkcija t.y. funkcijas

$y=f(x)$, $f:X\backslash į\; Y$,

pateikta lygtimi

$F(x,y)=z\_0$, $F:X\backslash kartas\; Y\backslash iki\; Z$

ir prasmė $z\_0\backslash in\; Z$ pataisyta.

Vienmatis korpusas

Paprasčiausia numanomos funkcijos teorema yra tokia.

Paprastai papildomai daroma prielaida, kad funkcija $F$ yra nuolat diferencijuojamas taško kaimynystėje $(x\_0,y\_0)$. Tokiu atveju iš sąlygos išplaukia griežtas monotoniškumas $F\_y"(x\_0,y\_0)\backslash ne\; 0\backslash quad$, Kur $F\_y"$žymi dalinę išvestinę $F$ Autorius $y$. Be to, šiuo atveju funkcija $f$ taip pat yra nuolat diferencijuojamas, o jo išvestinę galima apskaičiuoti naudojant formulę

$f"(x)\; =\; -\; \backslash frac(F\_x"(x,\; f(x)))(F\_y"(x,\; f(x))).$

Daugiamatis korpusas

Leiskite $\backslash R^n$ Ir $\backslash R^m$- tarpai su koordinatėmis $x=(x\_1,\backslash taškai,x\_n)$ Ir $y=(y\_1,\backslash taškai,y\_m)$, atitinkamai. Apsvarstykite žemėlapių sudarymą $F=(F\_1,\backslash ltaškai,F\_m),$ $F\_i\; =\; F\_i(x,y),$ kuriame rodoma kokia nors kaimynystė $W$ taškų $(x\_0,y\_0)\backslash in\backslash R^n\backslash times\backslash R^m$į erdvę $\backslash R^m$.

Natūralus ankstesnės teoremos apibendrinimas netolygaus atvaizdavimo atveju yra ši teoremaː

Taip pat žr

Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Numanoma funkcijos teorema"

Literatūra

• Zorichas V.A. Matematinė analizė, bet koks leidimas
• Iljinas V. A., Poznyak E. G. Matematinės analizės pagrindai, 3 leidimas, 1 dalis, M., 1971 m.
• Kolmogorovas A. N., Fominas S. V. Funkcijų teorijos elementai ir funkcinė analizė, 5 leid., M., 1981 m.
• Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Funkcinės analizės elementai, 2 leid., M., 1965 m
• Nikolskis S. M. Matematinės analizės kursas, 2 leid., t. 1-2, M., 1975 m
• Pontryagin L.S.Įprastosios diferencialinės lygtys, 4-asis leidimas, M., 1974 – §33
• Schwartz L. Analizė, vert. iš prancūzų k., 1 t., M., 1972 m

Pastabos

Ištrauka, apibūdinanti numanomos funkcijos teoremą

Kai žmogus juda, jis visada sugalvoja šio judėjimo tikslą. Norėdamas nueiti tūkstantį mylių, žmogus turi galvoti, kad už šių tūkstančio mylių yra kažkas gero. Jums reikia idėjos apie pažadėtąją žemę, kad turėtumėte jėgų judėti.
Pažadėtoji žemė prancūzų veržimosi metu buvo Maskva, traukimosi metu tai buvo tėvynė. Tačiau tėvynė buvo per toli, ir žmogui, einamam tūkstantį mylių, jis tikrai turi pasakyti sau, pamiršdamas apie galutinį tikslą: „Šiandien aš ateisiu keturiasdešimt mylių į poilsio ir nakvynės vietą“. o pirmoje kelionėje ši poilsio vieta užgožia galutinį tikslą ir sutelkia į save visus norus ir viltis. Tie siekiai, kurie išreiškiami individe, visada didėja minioje.
Prancūzams, grįžusiems senuoju Smolensko keliu, galutinis tėvynės tikslas buvo per tolimas, o artimiausias tikslas, į kurį veržėsi visi troškimai ir viltys, milžiniškomis proporcijomis stiprėjant minioje, buvo Smolenskas. Ne todėl, kad žmonės žinojo, kad Smolenske yra daug aprūpinimo ir šviežios kariuomenės, ne todėl, kad jiems tai buvo pasakyta (priešingai, aukščiausi kariuomenės laipsniai ir pats Napoleonas žinojo, kad ten mažai maisto), o todėl, kad vien tai. galėtų suteikti jiems jėgų judėti ir ištverti tikrus sunkumus. Jie, tiek žinantys, tiek nežinantys, vienodai apgaudinėdami save dėl pažadėtosios žemės, siekė Smolensko.
Aukštą kelią pasiekę prancūzai su nuostabia energija ir negirdėtu greičiu bėgo savo įsivaizduojamo tikslo link. Be šios bendros troškimo priežasties, sujungusios minias prancūzų į vieną visumą ir suteikusios šiek tiek energijos, juos siejo dar viena priežastis. Priežastis buvo jų skaičius. Pati didžiulė jų masė, kaip ir pagal fizikinį traukos dėsnį, pritraukė atskirus žmonių atomus. Jie persikėlė su savo šimtatūkstantine masė kaip visa valstybė.
Kiekvienas iš jų norėjo tik vieno – būti užfiksuotas, atsikratyti visų baisybių ir negandų. Bet, viena vertus, bendro Smolensko tikslo troškimo stiprybė kiekvieną nuvedė ta pačia kryptimi; kita vertus, korpusui buvo neįmanoma pasiduoti kuopai kaip nelaisvei ir, nepaisant to, kad prancūzai pasinaudojo kiekviena proga atsikratyti vieni kitų ir, esant menkiausiam padoriam pretekstu, pasiduoti į nelaisvę, šių pretekstų pasitaikydavo ne visada. Labai didelis jų skaičius ir artimas, greitas judėjimas atėmė iš jų šią galimybę ir padarė rusams ne tik apsunkintą, bet ir neįmanomą sustabdyti šį judėjimą, į kurį buvo nukreipta visa prancūzų masės energija. Mechaninis kūno plyšimas negalėjo pagreitinti skilimo proceso per tam tikrą ribą.

IMPLICITŲJŲ FUNKCIJŲ TEORIJA IR JOS TAIKYMAS

§ 1. Netiesioginės funkcijos samprata

Matematikoje ir jos taikymuose tenka spręsti problemas, kai kintamasis u, kuris problemos prasme yra argumentų funkcija X, adresu, ... , nurodo funkcinė lygtis

F(u, x, y, ...) = 0. (1)

Šiuo atveju jie taip sako u kaip argumentų funkcija x, y,... nurodytas netiesiogiai . Taigi, pavyzdžiui, funkcija u = - , žiūrima ratu x 2 + y 2 ≤ 1 , gali būti netiesiogiai nurodyta funkcine lygtimi

F(u, x, y) = u2+x 2 + y 2 – 1 = 0. (2)

Natūralu, kad kyla klausimas, kokiomis sąlygomis funkcinė lygtis (1) būtinai sprendžiamas atžvilgiu u, t.y. būtinai apibrėžia aiškią funkciją u= φ(x, y, ...) ir subtilesnis klausimas, kokiomis sąlygomis yra ši aiški funkcija nuolatinis ir diferencijuotas . Šie klausimai nėra paprasti. Taigi, funkcinė lygtis (2), paprastai apibrėžiama apskritime x 2 + y 2 ≤ 1 , išskyrus aukščiau pateiktą aiškią funkciją u = - , be galo daug kitų funkcijų. Tai yra funkcija u = + , taip pat bet kokia funkcija u, lygus + kai kuriems taškams (x, y) iš rato x 2 + y 2 ≤ 1 ir lygus - likusiems šio apskritimo taškams. Išaiškinti klausimą dėl sąlygų, užtikrinančių nedviprasmišką (2) lygties išsprendžiamumą, atsižvelgiant į u, pereikime prie geometrinės iliustracijos. (2) lygtis apibrėžiama erdvėje (u, x, y) sfera S spindulys 1, kurio centras yra ištakoje (1 pav.). Paimkime tai į sferą S tašką M 0 (u 0 , x 0 , y 0), neguli lėktuve Oho, t.y. vienas, kuriam u 0 ≠ 0. Akivaizdu, kad sferos dalis S, esantis pakankamai mažoje taško kaimynystėje M 0 , unikaliai suprojektuotas į Oxy plokštumą . Analitiškai tai reiškia, kad jei atsižvelgsime į funkciją F(u, x, y) =u 2 + x 2 + y 2 – 1 tik nurodytoje punkto kaimynystėje M 0 , tada (2) lygtis yra vienareikšmiškai išsprendžiama atsižvelgiant į u ir apibrėžia vieną aiškią funkciją u = + adresu u 0 > 0 ir u = - adresu u 0 < 0

Jei sferoje S imk tašką M 1 (0, x 1, y 1), guli lėktuve Oho(žr. 1 pav.), tuomet akivaizdu, kad sferos dalis S, guli bet koks kaimynystėje M 1 yra dviprasmiškai projektuojamas į Oxy plokštumą. Analitiškai tai reiškia, kad jei atsižvelgsime į funkciją F(u, x, y) =u 2 + x 2 + y 2 – 1 bet kurioje taško kaimynystėje M 1 , tada (2) lygtis nėra vienareikšmiškai išsprendžiama atsižvelgiant į u.

Pastebėkime, kad dažna funkcijos išvestinė F(u, x, y) =u 2 + x 2 + y 2 – 1 neišnyksta taške M 0 ir dingsta taške M 1. Žemiau mes nustatysime, kad taško kaimynystėje yra unikalus sprendimas M 0 bendroji funkcinė lygtis (1) atžvilgiu u vaidina pagrindinį vaidmenį neišnykstanti dalinės išvestinės M 0 taške . Pakeliui mes nustatysime sąlygas, kurioms esant aiški funkcija, kuri atstovauja vienintelis sprendimas lygtis (1), yra nuolatinis ir diferencijuotas .

Toliau pažymėsime kintamųjų erdvę (u, x, y, ...) simbolis R ir kintamųjų erdvė (x, y, ...) simbolis R". Trumpumo dėlei ir geometrinės iliustracijos patogumui apsvarstysime du kintamuosius x, y.

§ 2. Egzistencijos ir diferencialumo teorema

numanoma funkcija ir kai kurios jos programos

1. Numanomos funkcijos egzistavimo ir diferencijavimo teorema.

1 teorema. Tegul funkcija F(u, x, y) yra diferencijuojamas tam tikroje taško kaimynystėjeM 0 (u 0 , x 0 , y 0) erdvės R, o dalinė išvestinė yra ištisinė taškeM 0 . Tada, jei taškeM 0 Funkcija F išnyksta, bet dalinė išvestinė neišnyksta, tada bet kuriam pakankamai mažam teigiamam skaičiui ε yra tokia taško kaimynystėM 0 „(x 0 , y 0) erdvės R“, kad šioje kaimynystėje yra unikali funkcijau= φ(x, y), kuri tenkina sąlygą |u - u 0 | < ε ir yra lygties sprendimas

F(u, x, y) = 0 (3)

1 pastaba. 1 teoremos sąlygomis dalinės išvestinės tęstinumo reikalavimo galime praleisti taške M 0 , bet tada turėsime papildomai reikalauti, kad ši išvestinė neišnyktų ne tik pačiame taške M 0 , bet ir tam tikroje šio taško kaimynystėje ir išlaikė tam tikrą ženklą šioje kaimynystėje.

1 teoremos įrodymas.

1.Pirmiausia įrodome, kad pakankamai mažiems ε>0 taško apylinkėseM 0 '(x 0 , y 0) yra viena funkcijau= φ(x, y), kuri tenkina sąlygą |u - u 0 | < ε ir yra (3) lygties sprendimas. Kad įrodymas būtų vizualesnis, jį palydėsime geometrine iliustracija. Nuo analitinė geometrijažinoma, kad (3) lygtis apibrėžiama erdvėje R tam tikras paviršius S(2 pav.), ir, dėl būklės F(M 0 ) = 0 , taškas M 0 guli ant šio paviršiaus. SU geometrinis taškas Mūsų požiūriu, vienareikšmiškas (3) lygties išsprendžiamumas atsižvelgiant į u reiškia tą paviršiaus dalį S, esantis arti taško M 0 , gali būti vienareikšmiškai projektuojamas į koordinačių plokštumą Oho.

Tikslumo dėlei manysime, kad dalinė išvestinė teigiamas taške M 0 . Tada nuo nurodytos išvestinės tęstinumo in M 0 o iš ženklo stabilumo teoremos nuolatinė funkcija iš to išplaukia yra tokia taško kaimynystė M 0 , visur, kur teigiamas . Šią apylinkę galime paimti kaip pakankamai mažo spindulio rutulį Ω, kurio centras yra taške M 0 . Taisome toliau teigiamas skaičius ε toks mažas, kad kiekvienas iš taškų M 1 (u 0 – ε, x 0, y 0) Ir M 2 (u 0 + ε, x 0, y 0) padėkite rutulio viduje Ω (tam pakanka paimti ε mažesnis už rutulio spindulį Ω). Pabrėžkime tai tuo pačiu iš apačios ε ribojamas tik nuliu, ir mes galime jį paimti tiek, kiek norime - tai naudosime žemiau.

Apsvarstykite funkciją F(u, x 0 , y 0) po vieną kintamąjį segmente u 0 – ε ≤ u ≤ u 0 + ε . Geometriniu požiūriu tai reiškia, kad mes svarstome trijų kintamųjų funkciją F(u, x, y) palei segmentą M 1 M 2(2 pav.). Kadangi vedinys (u, x 0 , y 0) teigiamas segmente u 0 – ε ≤ u ≤ u 0 + ε tada funkcija F(u, x 0 , y 0) didėja šiame segmente. Bet tada, kadangi ši funkcija nurodyto segmento viduryje yra nulis (t. y. kada u = u 0 ), tai F(u, x 0 , y 0) turi neigiama reikšmė kairiajame gale ir teigiama reikšmė nurodyto segmento dešiniajame gale, t.y.

F(M 1 ) < 0, F(M 2) > 0

Toliau pažvelkime į funkcijas F(u - ε, x, y) Ir F(u + ε, x, y) du kintamieji X Ir adresu, t.y., kalbėdami geometrine kalba, apsvarstykite funkciją F(u, x, y) dviejose plokštumose, lygiagrečiose koordinačių plokštumai Oho, kurių pirmasis eina per tašką M 1 o antrasis – per tašką M 2 . Kadangi F(M 1 ) < 0, F(M 2 ) > 0 ir funkcija F(u, x, y) yra ištisinis visur rutulyje Ω, tai pagal teoremą apie tolydžios funkcijos ženklo stabilumą nurodytose plokštumose yra tokia aplinka taškų M 1 Ir M 2 , kurioje funkcija F išlaiko tokius pačius ženklus kaip ir taškuose M 1 Ir M 2 . Šiuos rajonus galime paimti kaip atvirus kvadratus su centrais taškuose M 1 Ir M 2 ir su gana maža kraštine 2δ (2 pav. nurodyti kvadratai nuspalvinti). Analitiškai tai, kad funkcija F(u, x, y) ant nurodytų kvadratų išlaiko pastovų ženklą, išreikštą nelygybėmis

F(u 0 – ε, x, y)< 0

At | x – x 0 | < δ , | y – y 0 | < δ (4)

F(u 0 + ε, x, y) > 0

Šių kvadratų kraštinės pasirinkimą siesime su dar viena sąlyga: Paimkime δ tokį mažą, kad abu nurodyti kvadratai yra rutulio Ω viduje (tai tikrai galima padaryti, nes kvadratų centrai M 1 Ir M 2 yra vidiniai rutulio taškai Ω). Pasirinkus δ, bet kuris erdvės taškas (u, x, y), kurio koordinatės tenkina nelygybes

| x – x 0 |< δ , | y – y 0 |< δ , | u – u 0 |< ε (5)

gulės rutulio viduje Ω. Geometriniu požiūriu nelygybės (5) apibrėžia atvirumą stačiakampis centruojamas taške M 0 ir kurių kraštinės lygiagrečios koordinačių ašims u, x, y ir atitinkamai lygus 2ε, 2δ ir 2δ. Šį gretasienį žymėsime simboliu P. Kadangi gretasienis P yra rutulio Ω viduje, tada visur gretasienyje P (įskaitant atvirus kvadratus, esančius jo pagrinduose) išvestinė teigiamas . Be to, dėl nelygybių (4) funkcija F( u , x, y) yra neigiamas apatinėje bazėje ir teigiamas viršutinėje bazėje P .

Dabar įrodykime, kad (3) lygtis yra vienareikšmiškai išsprendžiama atsižvelgiant į u, jei funkcija F(u, x, y) atsižvelgti tik į vertybes u, x, y, esantis gretasienio P viduje. Supraskime, ką reikia įrodyti. Leiskite M“(x, y) – bet kuriame erdvės taške R", kurio koordinatės tenkina nelygybes

| x – x 0 | < δ , | y – y 0 | < δ (6)

Kitaip tariant, tegul M'(x, y)- bet kuris taškas lėktuve Oho, esantis kvadrato, kurio centras yra taškas, viduje M 0 '(x 0, y 0) ir kurių kraštinės lygios 2δ. Tai būtina įrodyti koordinatėms x, y taškų M" bus, ir be to vienintelis dalykas , numeris u nuo intervalo u 0 – ε < u < u 0 + ε toks kad F(u, x, y) = 0. (Geometriniu požiūriu tai reiškia, kad bet kuri tiesi linija, lygiagreti ašiai u o kertantis gretasienį P, kerta paviršių S gretasienio P viduje tik viename taške.)

Nustatę vertybes X Ir adresu tenkinant nelygybes (6), apsvarstykite funkciją F(u, x, y) argumentas u segmente u 0 – ε ≤ u ≤ u 0 + ε , t.y. apsvarstykite funkciją F(u, x, y) segmente M 1 ’ M 2 ’ Kur M 1 ’ Ir M 2 ’ - tiesės, einančios per tašką, susikirtimo taškai M'(x, y) ir lygiagrečiai ašiai Ou, su gretasienio P pagrindais (žr. 2 pav.). Kadangi vedinys (u, x, y) teigiamas segmente u 0 – ε ≤ u ≤ u 0 + ε , tada funkcija F(u, x, y) padidėja šiame segmente (arba, kas yra tas pats, didėja segmente M 1 ’ M 2 ’ ). Bet tada nuo sąlygų F(M 1 ’) < 0, F(M 2 ’) > 0 iš to seka, kad segmento viduje u 0 – ε ≤ u ≤ u 0 + ε yra tik viena prasmė u toks kad F(u, x, y) = 0(arba, geometriškai kalbant, segmento viduje M 1 ’ M 2 ’ yra tik vienas taškas M, guli ant paviršiaus S).

Leiskite dabar funkcijai u= φ(x, y) simbolizuoja taisyklę, pagal kurią kiekvienas taškas M'(x, y) iš kaimynystės (6) priskiriamas vienas numeris u nuo intervalo u 0 – ε < u < u 0 + ε, už kurį F(u, x, y) = 0. Mes įrodėme, kad (6) kaimynystėje yra unikali funkcija u= φ(x, y), atitinkančią sąlygą | u – u 0 | < ε ir kuris yra (3) lygties sprendinys.

2. Dabar tai įrodykime funkcija u = φ(x, y) yra tolydis bet kuriame taške M „(x, y) kaimynystė (6) . Nuo bet kurio taško M'(x, y) iš kaimynystės (6) tenkinamos tos pačios sąlygos (būtent į bet kurį tašką). M '(x, y) iš kaimynystės (6) atitinka tašką M(u, x, y) erdvė R tokia, kad funkcija F(u, x, y) dingsta taške M, skiriasi tam tikroje taško kaimynystėje M ir šioje kaimynystėje turi nulinę dalinę išvestinę ) kalbant apie esmę M 0 '(x 0, y 0), tada pakanka įrodyti funkcijos tęstinumą u= φ(x, y) tik tam tikru momentu M 0 '(x 0, y 0). Turime tai įrodyti bet kuriam pakankamai mažam teigiamam ε yra teigiamas skaičius δ toks, kad bet kuriam X Ir adresu, tenkinantis nelygybes | x – x 0 | < δ , | y – y 0 | < δ , nelygybė yra tiesa | u – u 0 | < ε Kur u= φ(x, y), u 0 = φ(x 0, y 0). Jei laikysime ε skaičių, kuris buvo pasirinktas aukščiau, nagrinėjant tašką 1, tada egzistavimas δ užtikrina nelygybės (5). Belieka pastebėti, kad 1 punkto samprotavimuose galima paimti teigiamą skaičių ε toks mažas, koks tau patinka (tai buvo pažymėta 1 dalyje).

3. Belieka įrodyti diferencialumas funkcijas u= φ(x, y) bet kuriuo metu M'(x, y) aplinka (6). Remiantis 2 dalyje pateikta pastaba, pakanka įrodyti funkcijos skirtingumą u= φ(x, y) pačiame taške M 0 '(x 0, y 0). Norėdami tai padaryti, apskaičiuokime bendrą prieaugį Δ u funkcijas u= φ(x, y) taške M 0 '(x 0, y 0) Δ x Ir Δ y. Kadangi F(u 0 , x 0 , y 0) = 0 Ir F(u 0 + Δ u, x 0 + Δx, у 0 + Δy) = 0 , Tai bendras prieaugis Δ F funkcijos F(u, x, y) taške M 0 '(x 0, y 0), atitinkantys argumentų žingsnius Δ u, Δ x Ir Δ y, lygus nuliui . Bet dėl ​​funkcijos diferencijavimo sąlygos F(u, x, y) taške M 0 (u 0 , x 0 , y 0)šis bendras prieaugis turi formą

Čia visos dalinės išvestinės , ir yra paimti taške M 0 (u 0 , x 0, y 0); α, β ir γ→0 adresu

Taigi gauname

Pagal funkcijos tęstinumo sąlygos skirtingą formą u= φ(x, y) taške M 0 '(x 0, y 0) Δ u→ 0 val. Taigi galima teigti, kad α, β ir γ→0 tik su sąlyga .

Pagal teoremos sąlygas dalinė išvestinė taške nėra lygi nuliui M 0 . Kadangi γ→0 tada pakankamai mažam Δ x ir Δ y išraiška neišnyksta . Šiuo atveju formulė (7) gali būti padalinta iš kurios gauname

Pagal teoremą apie dviejų funkcijų dalinio ribinę vertę galime teigti, kad

kur μ ir υ→0 at.

Palyginę (8) ir (9) formules, galiausiai gauname

(10) formulė įrodo funkcijos diferencijavimą u= φ(x, y) taške M 0 '(x 0, y 0). Taigi 1 teorema yra visiškai įrodyta.

2 pastaba. Aukščiau pateiktą įrodymą galima be jokių sunkumų perkelti į numanomos funkcijos, kuri priklauso ne nuo dviejų, o nuo bet kurios baigtinis skaičius argumentai x 1 , x 2 , …,x m(ir ypač iš vieno argumento). Dviejų argumentų atvejis X Ir adresu turi tik privalumą, kad leidžia vizualiai geometriškai iliustruoti erdvėje (u, x, y) .

2. Netiesioginis dalinių išvestinių skaičiavimas suteikta funkcija. Pabandykime skaičiuoti funkcijos, netiesiogiai nurodytos (3) lygtimi, dalinių išvestinių. Tegu tenkinamos 1 teoremos sąlygos u= φ(x, y) atstovavimas (10) galioja. Šis vaizdavimas leidžia teigti, kad funkcijos dalinės išvestinės u= φ(x, y) nustatomi pagal formules

Panašios formulės galioja tuo atveju, kai netiesiogiai nurodyta funkcija priklauso ne nuo dviejų, o nuo bet kokio baigtinio argumentų skaičiaus x 1 , x 2 , …,x m. Šiuo atveju (k = 1, 2, …, m)

Jeigu norime užtikrinti netiesiogiai apibrėžtos funkcijos egzistavimą u= φ(x, y) daliniai dariniai antra tvarka, tada, žinoma, turime sugriežtinti funkcijai keliamus reikalavimus F(u, x, y) 1 teoremoje būtina papildomai reikalauti, kad funkcija F(u, x, y) buvo du kartus diferencijuotas nagrinėjamu momentu. Remdamiesi šiomis prielaidomis, mes sutelksime dėmesį į skaičiavimą antros eilės daliniai išvestiniai .

Pagal diferenciacijos taisyklę sudėtinga funkcija gauname tokias nurodytų suminių dalinių išvestinių formules:

Pereikime prie netiesiogiai pateiktos funkcijos antros eilės dalinių išvestinių skaičiavimo. Tikslumo dėlei apskaičiuokime išvestinę. Pirmosios iš (11) formulių diferencijavimas atsižvelgiant į adresu ir atsižvelgiant į tai, kad kiekviena iš dalinių išvestinių ir priklauso nuo trijų argumentų u, x, y, kurių pirmoji pati yra funkcija X Ir adresu, turėsime

Į gautą formulę įterpę išraišką, kurią nustato antra iš formulių (11), pagaliau turėsime

Dalinės išvestinės ir yra apskaičiuojamos lygiai taip pat. Trečiojo ir vėlesnių pavedimų dalinės išvestinės išvestinės gali būti apskaičiuojamos naudojant panašų metodą (su sąlyga, kad funkcija F(u, x, y) diferencijuojamas tam tikrame taške atitinkamą skaičių kartų).

PAVYZDŽIAI. 1) Apskaičiuokite funkcijos dalinę išvestinę u= φ(x, y), pateikta lygtimi x + y + u – e - (x + y + u) = 0 .

Visų pirma, naudodami (11) formules, apskaičiuojame pirmos eilės dalines išvestines. Be to, akivaizdu, kad = 0 .

2) Tas pats klausimas lygties pateiktai funkcijai u 2 + x 2 + y 2 - a 2 = 0 . Naudodami (11) formules gauname, . Toliau turėsime

3. Paviršiaus ir plokštumos kreivės vienaskaitos taškai. Apsvarstykite tam tikrą paviršių S(plokščia kreivė L), apibrėžtą tam tikroje Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje lygtimi F(x, y,z)=0 (F(x, y,) = 0). Kalbant apie funkciją F(x, y,z) (F(x, y,)) tarkime, kad jis turi pirmos eilės ištisines dalines išvestines visų argumentų atžvilgiu visur, bet kurio paviršiaus taško kaimynystėje S(kreivas L). Šį paviršiaus tašką vadinsime S(kreivas L) specialus, jei šioje vietoje išnyksta visos funkcijos pirmosios eilės dalinės išvestinės F(x, y,z) (F(x, y,)). Netoli vienaskaitos taško jis negali būti taikomas lygčiai F(x, y,z)=0 (F(x, y,) = 0) 1 teorema, t.y. negalima teigti, kad ši lygtis yra išsprendžiama bent vieno iš kintamųjų atžvilgiu x, y, z (x, y). Taigi paviršiaus plotas S(kreivas L), esantis greta vienaskaitos taško, gali neleisti unikalios projekcijos į bet kurį iš koordinačių plokštumos(ne vienoje iš koordinačių ašių). Paviršiaus struktūra S(kreivas L) šalia vienaskaitos taško gali būti labai sudėtinga ir reikalauja papildomų tyrimų.

Paviršiaus taškai S(kreivas L), kurie nėra ypatingi, dažniausiai vadinami įprastas . Įprasto taško kaimynystėje taikoma 1 teorema, kad paviršiaus dalis, esanti šalia įprasto taško S(kreivas L) leidžia vienareikšmiškai projektuoti bent į vieną iš koordinačių plokštumų (bent į vieną iš koordinačių ašių), o tai žymiai palengvina šios srities tyrimą.

PAVYZDŽIAI. 1) Rasti vienetiniai taškai apskritas kūgis x 2 + y 2 – z 2 = 0.

Kadangi F(x, y,z) = x 2 + y 2 – z 2 , Tai,. Vienintelis išskirtinis taškas yra kilmė. Gerai žinoma, kad šalia šio taško kūgio paviršius negali būti vienareikšmiškai projektuojamas į kurią nors koordinačių plokštumą (15.3 pav.).

2) Tas pats klausimas dėl plokščios kreivės x 2 - y 2 + x 3 = 0 .

Daliniai dariniai turi formą, . Abi dalinės išvestinės išnyksta dviejuose plokštumos taškuose (0, 0) Ir (- , 0) . Iš šių dviejų taškų tik pirmasis priklauso nagrinėjamai kreivei, tai yra, jis yra ypatingas. Sukūręs kreivę x 2 - y 2 + x 3 = 0 netoli taško (0, 0) , įsitikinsime, kad šis taškas yra grafiko savaiminio susikirtimo taškas (15.4 pav.). Akivaizdu, kad šalia šio taško kreivė negali būti vienareikšmiškai projektuojama į ašį Oi, ne ant ašies Oi.

4. Funkcijos egzistavimą užtikrinančios sąlygos y=f(x) atvirkštinė funkcija. Taikykime 1 teoremą, kad išsiaiškintume sąlygas, kurioms esant funkcija y=f(x) turi taškų kai kuriose apylinkėse x 0 atvirkštinė funkcija x=f -1 (y), apibrėžtas tam tikroje taško kaimynystėje y 0 , Kur y 0 = f(x 0). Mes apsvarstysime funkciją y=f(x) kaip funkcija, apibrėžta formos funkcine lygtimi F(x, y) = f(x) – y = 0.

Tada atvirkštinės funkcijos egzistavimo klausimas sutampa su sprendžiamumo klausimu X nurodytą funkcinę lygtį. Dėl 1 teoremos ir 1 pastabos prieš šios teoremos įrodymą gauname kitas pareiškimas: jei funkcija y=f(x) turi nulinę išvestinę kurioje nors taško x 0 kaimynystėje, tai šiai funkcijai šalia x 0 yra atvirkštinė funkcija x=f -1 (y), apibrėžtas ir diferencijuojamas tam tikroje taško y 0 kaimynystėje, kur y 0 = f(x 0). Nurodytos atvirkštinės funkcijos taške išvestinė y 0 pagal antrąją iš (11) formulių yra lygus .