Kūgis. nupjautas kūgis

Kūginis paviršius yra paviršius, sudarytas iš visų tiesių, einančių per kiekvieną duotosios kreivės tašką ir tašką už kreivės ribų (32 pav.).

Ši kreivė vadinama vadovas , tiesus - formuojantis , taškas – viršuje kūginis paviršius.

Tiesus apskritas kūgio formos paviršius yra paviršius, sudarytas iš visų tiesių, einančių per kiekvieną tam tikro apskritimo tašką, ir taško tiesėje, kuri yra statmena apskritimo plokštumai ir eina per jo centrą. Toliau trumpai pavadinsime šį paviršių kūginis paviršius (33 pav.).

Kūgis (tiesus apskritas kūgis ) vadinamas geometrinis kūnas, ribojamas kūginiu paviršiumi ir plokštuma, kuri lygiagreti kreipiamojo apskritimo plokštumai (34 pav.).

Ryžiai. 32 pav. 33 pav. 34

Kūgis gali būti laikomas kūnu, gautu sukimosi būdu stačiakampis trikampis aplink ašį, kurioje yra viena iš trikampio kojelių.

Apskritimas, gaubiantis kūgį, vadinamas jo pagrindu . Kūginio paviršiaus viršūnė vadinama viršuje kūgis Atkarpa, jungianti kūgio viršūnę su jo pagrindo centru, vadinama aukščio kūgis Segmentų susidarymas kūginis paviršius, yra vadinami formuojantis kūgis Ašis kūgio yra tiesi linija, einanti per kūgio viršūnę ir jo pagrindo centrą. Ašinė sekcija vadinama atkarpa, einanti per kūgio ašį. Šoninio paviršiaus vystymasis kūgio yra sektorius, kurio spindulys lygus ilgiui kūgio generatrix, o sektoriaus lanko ilgis lygus kūgio pagrindo perimetrui.

Tinkamos kūgio formulės yra šios:

Kur R– pagrindo spindulys;

H- aukštis;

l– generatrix ilgis;

S bazė– bazinis plotas;

S pusė

S pilnas

V– kūgio tūris.

Nupjautas kūgis vadinama kūgio dalimi, esančia tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečiai pagrindui kūgis (35 pav.).

Nupjautas kūgis gali būti laikomas kūnu, gautu sukimosi būdu stačiakampė trapecija aplink ašį, kurioje yra pusėje trapecija statmena pagrindams.

Du apskritimai, gaubiantys kūgį, vadinami jo priežasčių . Aukštis nupjauto kūgio atstumas tarp jo pagrindų. Atkarpos, sudarančios nupjauto kūgio kūginį paviršių, vadinamos formuojantis . Tiesi linija, einanti per pagrindų centrus, vadinama ašį nupjautas kūgis. Ašinė sekcija vadinama pjūvis, einantis per nupjauto kūgio ašį.

Nupjauto kūgio teisingos formulės yra šios:

(8)

Kur R– apatinio pagrindo spindulys;

r– viršutinio pagrindo spindulys;

H– aukštis, l – generatoriaus ilgis;

S pusė– šoninio paviršiaus plotas;

S pilnas- kvadratas viso paviršiaus;

V– nupjauto kūgio tūris.

1 pavyzdys. Kūgio skerspjūvis lygiagretus pagrindui padalija aukštį santykiu 1:3, skaičiuojant nuo viršūnės. Raskite nupjauto kūgio šoninio paviršiaus plotą, jei pagrindo spindulys ir kūgio aukštis yra 9 cm ir 12 cm.

Sprendimas. Padarykime piešinį (36 pav.).

Norėdami apskaičiuoti nupjauto kūgio šoninio paviršiaus plotą, naudojame formulę (8). Raskime pagrindų spindulius Apie 1 A Ir Apie 1 V ir formavimas AB.

Pasvarstykime panašūs trikampiai SO2B Ir SO 1 A, panašumo koeficientas, tada

Iš čia

Nuo tada

Nupjauto kūgio šoninio paviršiaus plotas yra lygus:

Atsakymas: .

2 pavyzdys. Ketvirtadalis spindulio apskritimas sulankstytas į kūginį paviršių. Raskite pagrindo spindulį ir kūgio aukštį.

Sprendimas. Apskritimo kvadrantas yra kūgio šoninio paviršiaus raida. Pažymėkime r- jo pagrindo spindulys, H – aukščio. Apskaičiuokime šoninio paviršiaus plotą pagal formulę: . Jis lygus ketvirčio apskritimo plotui: . Gauname lygtį su dviem nežinomaisiais r Ir l(sudaro kūgį). IN šiuo atveju generatorius lygus ketvirčio apskritimo spinduliui R, tada gauname sekančią lygtį: , iš kur, žinodami pagrindo ir generatoriaus spindulį, randame kūgio aukštį:

Atsakymas: 2 cm,.

3 pavyzdys. Stačiakampė trapecija su aštrus kampas 45 Oh mažesniu pagrindu 3 cm, o pasvirusi kraštinė lygi , sukasi aplink šoną, statmeną pagrindams. Raskite gauto sukimosi kūno tūrį.

Sprendimas. Padarykime piešinį (37 pav.).

Dėl sukimosi gauname nupjautą kūgį, kad surastume jo tūrį, apskaičiuojame spindulį didesnė bazė ir aukščio. Trapecijoje O 1 O 2 AB mes diriguosime AC^O 1 B. B turime: tai reiškia, kad šis trikampis yra lygiašonis A.C.=B.C.= 3 cm.

Atsakymas:

4 pavyzdys. Trikampis, kurio kraštinės yra 13 cm, 37 cm ir 40 cm, sukasi aplink išorinę ašį, kuri yra lygiagreti didesnė pusė ir yra 3 cm atstumu nuo jo (ašis yra trikampio plokštumoje). Raskite gauto apsisukimo kūno paviršiaus plotą.

Sprendimas . Padarykime piešinį (38 pav.).

Susidariusio apsisukimo kūno paviršius susideda iš dviejų nupjautų kūgių šoninių paviršių ir cilindro šoninio paviršiaus. Norint apskaičiuoti šiuos plotus, reikia žinoti kūgių ir cilindro pagrindų spindulius ( BE Ir O.C.), formuojant kūgius ( B.C. Ir A.C.) ir cilindro aukštis ( AB). Vienintelis nežinomas yra CO. tai atstumas nuo trikampio kraštinės iki sukimosi ašies. Mes surasime DC. Kvadratas trikampis ABC vienoje pusėje yra lygi pusės kraštinės AB ir į ją nubrėžto aukščio sandaugai DC, kita vertus, žinodami visas trikampio kraštines, apskaičiuojame jo plotą pagal Herono formulę.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų surinkta asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Paskaita: Kūgis. Pagrindas, aukštis, šoninis paviršius, generatrix, vystymasis

Kūgis- tai kūnas, susidedantis iš apskritimo, esančio pagrinde, nuo taško, vienodu atstumu nuo visų apskritimo taškų, taip pat iš tiesių linijų, jungiančių šį tašką (viršūnę) su visais taškais, esančiais ant apskritimo.

Keliais klausimais anksčiau pažvelgėme į piramidę. Taigi kūgis yra ypatingas atvejis piramidė, kurios pagrindas yra apskritimas. Beveik visos piramidės savybės taikomos kūgiui.

Kaip galite gauti kūgį? Prisimink paskutinis klausimas ir kaip mes gavome cilindrą. Dabar imk lygiašonis trikampis ir pasukite aplink savo ašį – gausite kūgį.

Kūgio generatoriai- tai atkarpos, uždarytos tarp apskritimo taškų ir kūgio viršūnės. Kūgio generatoriai yra lygūs vienas kitam.

Norėdami sužinoti generatoriaus ilgį, turėtumėte naudoti formulę:

Jei visi generatoriai yra sujungti vienas su kitu, galime gauti šoninis paviršius kūgis Bendras jo paviršius susideda iš šoninio paviršiaus ir apskritimo formos pagrindo.

Kūgis turi aukščio. Norėdami jį gauti, pakanka nuleisti statmeną iš viršaus tiesiai į pagrindo centrą.

Norėdami rasti šoninio paviršiaus plotą, naudokite formulę:

Norėdami rasti pilnas plotas kūgio paviršiaus, naudokite šią formulę.

Nupjautas kūgis gaunamas, jei kūgis nupjaunamas mažesnis kūgis plokštuma, lygiagreti pagrindui (8.10 pav.). Nupjautas kūgis turi du pagrindus: "apatinį" - pradinio kūgio pagrindą - ir "viršutinį" - nupjauto kūgio pagrindą Pagal kūgio pjūvio teoremą, nupjauto kūgio pagrindai yra panašūs .

Nupjauto kūgio aukštis yra statmuo, nubrėžtas iš vieno pagrindo taško į kito plokštumą. Visi tokie statmenai yra lygūs (žr. 3.5 skyrių). Aukštis taip pat vadinamas jų ilgiu, ty atstumu tarp pagrindų plokštumų.

Nupjautasis sukimosi kūgis gaunamas iš apsisukimo kūgio (8.11 pav.). Todėl jo pagrindai ir visos joms lygiagrečios atkarpos yra apskritimai, kurių centrai yra toje pačioje tiesėje – ašyje. Nupjautas sukimosi kūgis gaunamas sukant stačiakampę trapeciją aplink jos šoną statmenai pagrindams arba sukant

lygiašonė trapecija aplink simetrijos ašį (8.12 pav.).

Nupjauto apsisukimo kūgio šoninis paviršius

Tai yra sukimosi kūgio, iš kurio jis yra kilęs, šoninio paviršiaus dalis. Nupjauto sukimosi kūgio paviršių (arba visą jo paviršių) sudaro jo pagrindai ir šoninis paviršius.

8.5. Revoliucijos kūgių ir nupjautų revoliucijos kūgių vaizdai.

Taip nupieštas tiesus apskritas kūgis. Pirmiausia nubrėžkite elipsę, vaizduojančią pagrindo apskritimą (8.13 pav.). Tada jie suranda pagrindo centrą – tašką O ir nubrėžia vertikalią atkarpą PO, kuri vaizduoja kūgio aukštį. Iš taško P nubrėžkite elipsės liestinės (atskaitos) linijas (praktiškai tai daroma akimis, naudojant liniuotę) ir pasirinkite šių linijų atkarpas RA ir PB nuo taško P iki liesties taškų A ir B. Atkreipkite dėmesį, kad atkarpa AB nėra pagrindo kūgio skersmuo, o trikampis ARV nėra kūgio ašinė pjūvis. Ašinė kūgio pjūvis yra trikampis APC: atkarpa AC eina per tašką O. Nematomos linijos brėžiamos brūkšniais; Atkarpa OP dažnai nenubrėžiama, o tik mintyse apibrėžiama, kad kūgio P viršus būtų pavaizduotas tiesiai virš pagrindo centro - taško O.

Vaizduojant nupjautą sukimosi kūgį, patogu pirmiausia nubrėžti kūgį, iš kurio gaunamas nupjautasis kūgis (8.14 pav.).

8.6. Kūginės sekcijos. Jau sakėme, kad plokštuma kerta sukimosi cilindro šoninį paviršių išilgai elipsės (6.4 skyrius). Taip pat sukimosi kūgio šoninio paviršiaus pjūvis plokštuma, kuri nekerta jo pagrindo, yra elipsė (8.15 pav.). Todėl elipsė vadinama kūgio pjūviu.

Į kūginius pjūvius įeina ir kitos gerai žinomos kreivės – hiperbolės ir parabolės. Panagrinėkime neribotą kūgį, gautą pratęsus sukimosi kūgio šoninį paviršių (8.16 pav.). Sukirsime jį su plokštuma a, kuri nekerta viršūnės. Jei a kerta visus kūgio generatorius, tai atkarpoje, kaip jau minėta, gauname elipsę (8.15 pav.).

Sukdami OS plokštumą, galite užtikrinti, kad ji kerta visas kūgio K generatricas, išskyrus vieną (kuriai OS yra lygiagreti). Tada skerspjūvyje gauname parabolę (8.17 pav.). Galiausiai, toliau sukdami plokštumą OS, perkeliame į tokią padėtį, kad a, susikertanti dalis kūgio K generatrijų, nebesikirstų begalinis rinkinys kitų jo sudedamųjų dalių ir lygiagrečiai dviem iš jų (8.18 pav.). Tada kūgio K pjūvyje su plokštuma a gauname kreivę, vadinamą hiperbole (tiksliau, viena iš jos „šakos“). Taigi, hiperbolė, kuri yra funkcijos grafikas, yra ypatingas hiperbolės atvejis – lygiakraštė hiperbolė, kaip ir apskritimas yra ypatingas elipsės atvejis.

Bet kokias hiperboles galima gauti iš lygiašonių hiperbolių naudojant projekciją, panašiai kaip gaunama elipsė lygiagretus dizainas apskritimai.

Norint gauti abi hiperbolės šakas, reikia paimti kūgio atkarpą, turinčią dvi „ertmes“, tai yra kūgį, sudarytą ne spinduliais, o tiesiomis linijomis, kuriose yra kūgio šoninių paviršių generatricos. revoliucija (8.19 pav.).

Kūginius pjūvius tyrinėjo senovės graikų geometrijos, o jų teorija buvo viena iš senovės geometrijos viršūnių. Dauguma pilnas tyrimas Kūginius pjūvius senovėje atliko Apolonijus Pergietis (III a. pr. Kr.).

Yra skaičius svarbios savybės, sujungiant elipses, hiperboles ir paraboles į vieną klasę. Pavyzdžiui, jie išnaudoja „neišsigimusias“, t. Dekarto koordinatės formos lygtys

Žaidžia kūgines dalis svarbus vaidmuo gamtoje: gravitaciniame lauke kūnai juda elipsinėmis, parabolinėmis ir hiperbolinėmis orbitomis (prisiminkime Keplerio dėsnius). Įspūdingos savybės kūginės sekcijos dažnai naudojamos moksle ir technikoje, pavyzdžiui, gaminant kai kurias optiniai instrumentai arba prožektoriai (veidrodžio paviršius prožektoriuje gaunamas sukant parabolės lanką aplink parabolės ašį). Kaip apvalių šviestuvų gaubtų šešėlio ribas galima pastebėti kūginius pjūvius (8.20 pav.).

Kūgis (iš graikų „konos“)- kankorėžis. Kūgis žmonėms buvo žinomas nuo seniausių laikų. 1906 m. buvo atrasta Archimedo (287-212 m. pr. Kr.) knyga „Apie metodą“, kurioje sprendžiama susikertančių cilindrų bendros dalies tūrio problema. Archimedas sako, kad šis atradimas priklauso senovės graikų filosofui Demokritui (470-380 m. pr. Kr.), kuris, padedamas šis principas gautos piramidės ir kūgio tūrio skaičiavimo formulės.

Kūgis (apvalus kūgis) yra kūnas, susidedantis iš apskritimo - kūgio pagrindo, taško, nepriklausančio šio apskritimo plokštumai - kūgio viršūnės ir visų atkarpų, jungiančių kūgio viršūnę ir jo taškus. bazinis ratas. Atkarpos, jungiančios kūgio viršūnę su pagrindo apskritimo taškais, vadinamos kūgio generatoriais. Kūgio paviršius susideda iš pagrindo ir šoninio paviršiaus.

Kūgis vadinamas tiesiu, jei tiesi linija, jungianti kūgio viršūnę su pagrindo centru, yra statmena pagrindo plokštumai. Statusis apskritas kūgis gali būti laikomas kūnu, gautu sukant stačiakampį trikampį aplink jo koją kaip ašį.

Kūgio aukštis yra statmenas, nusileidęs nuo jo viršaus iki pagrindo plokštumos. Tiesiam kūgiui aukščio pagrindas sutampa su pagrindo centru. Dešiniojo kūgio ašis yra tiesi linija, kurioje yra jo aukštis.

Kūgio pjūvis plokštuma, einanti per kūgio generatrix ir statmena jam ašinis skyrius nubrėžta per šią generatricą, vadinama kūgio liestinės plokštuma.

Kūgio ašiai statmena plokštuma kerta kūgį apskritime, o šoninis paviršius kerta apskritimą, kurio centras yra kūgio ašyje.

Kūgio ašiai statmena plokštuma nupjauna nuo jo mažesnį kūgį. Likusi dalis vadinama nupjautu kūgiu.

Kūgio tūris yra lygus trečdaliui pagrindo aukščio ir ploto sandaugos. Taigi visi kūgiai, esantys ant tam tikro pagrindo ir turintys viršūnę, esančią tam tikroje plokštumoje, lygiagrečioje pagrindui, turi vienodo tūrio, nes jų aukščiai yra vienodi.

Kūgio šoninio paviršiaus plotą galima rasti pagal formulę:

S pusė = πRl,

Bendras kūgio paviršiaus plotas randamas pagal formulę:

S con = πRl + πR 2,

kur R yra pagrindo spindulys, l yra generatrix ilgis.

Apvalaus kūgio tūris lygus

V = 1/3 πR 2 H,

kur R yra pagrindo spindulys, H yra kūgio aukštis

Nupjauto kūgio šoninio paviršiaus plotą galima rasti pagal formulę: