Išvestinės geometrinė reikšmė yra išvestinė tam tikrame taške. Geometrinė išvestinės reikšmė

Norėdami sužinoti geometrinė vertė išvestinę, apsvarstykite funkcijos y = f(x) grafiką. Paimkime savavališkas taškas M su koordinatėmis (x, y) ir tašku N arti jo (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Nubrėžkime ordinates $\overline(M_(1) M)$ ir $\overline(N_(1) N)$, o iš taško M - tiesę, lygiagrečią OX ašiai.

Santykis $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ yra kampo $\alpha $1, sudaryto iš sekantinės MN su teigiama OX ašies kryptimi, liestinė. Kadangi $\Delta $x linkęs į nulį, taškas N priartės prie M, o sekanto MN ribinė padėtis bus taške M kreivės liestinė MT. Taigi išvestinė f`(x) yra lygi liestine kampo $\alpha $ kreivės liestinės suformuoto taške M (x, y) su teigiama kryptimi į OX ašį - liestinės kampinis koeficientas (1 pav.).

1 pav. Funkcijų grafikas

Skaičiuojant reikšmes naudojant formules (1), svarbu nepadaryti klaidų ženkluose, nes prieaugis gali būti ir neigiamas.

Taškas N, esantis kreivėje, gali būti linkęs į M iš bet kurios pusės. Taigi, jei 1 paveiksle liestinė duota priešinga kryptimi, kampas $\alpha $ pasikeis dydžiu $\pi $, o tai reikšmingai paveiks kampo liestinę ir atitinkamai kampo koeficientą.

Išvada

Iš to seka, kad išvestinės egzistavimas yra susijęs su kreivės y = f(x) liestinės egzistavimu, o kampinis koeficientas - tg $\alpha $ = f`(x) yra baigtinis. Todėl liestinė neturėtų būti lygiagreti OY ašiai, kitaip $\alpha $ = $\pi $/2, o kampo liestinė bus begalinė.

Kai kuriuose taškuose ištisinė kreivė gali neturėti liestinės arba turėti liestinę, lygiagrečią OY ašiai (2 pav.). Tada funkcija šiose reikšmėse negali turėti išvestinės. Funkcijos kreivėje gali būti bet koks skaičius panašių taškų.

2 pav. Išskirtiniai kreivės taškai

Apsvarstykite 2 paveikslą. Tegul $\Delta $x yra nulis nuo neigiamų arba teigiamų verčių:

\[\Delta x\to -0\begin(masyvas)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(masyvas)\]

Jei į šiuo atveju santykiai (1) turi galutinę ribą, ji žymima taip:

Pirmuoju atveju išvestinė yra kairėje, antruoju – išvestinė dešinėje.

Ribos buvimas rodo kairiosios ir dešiniosios išvestinių lygiavertiškumą ir lygybę:

Jei kairioji ir dešinioji išvestinės yra nelygios, tai duotame taške yra liestinės, nelygiagrečios OY (taškas M1, 2 pav.). Taškuose M2, M3 santykiai (1) linkę į begalybę.

Taškams N, esantiems kairėje nuo M2, $\Delta $x $

$M_2$ dešinėje $\Delta $x $>$ 0, bet išraiška taip pat yra f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Taškui $M_3$ kairėje $\Delta $x $$ 0 ir f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, t.y. išraiškos (1) tiek kairėje, tiek dešinėje yra teigiamos ir linkusios į +$\infty $, kai $\Delta $x artėja prie -0 ir +0.

Išvestinės nebuvimo atvejis konkrečių taškų tiesi linija (x = c) parodyta 3 paveiksle.

3 pav. Jokių išvestinių priemonių

1 pavyzdys

4 paveiksle pavaizduotas funkcijos grafikas ir grafiko liestinė abscisių taške $x_0$. Raskite funkcijos išvestinės reikšmę abscisėje.

Sprendimas. Išvestinė taške yra lygi funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykiui. Pasirinkime du liestinės taškus su sveikosiomis koordinatėmis. Pavyzdžiui, tai gali būti taškai F (-3,2) ir C (-2,4).

Geometrinė reikšmė išvestinė. Su šia tema susijusios egzamino užduotys abiturientams kelia tam tikrų sunkumų. Daugelis jų iš tikrųjų yra labai paprasti.Šiame straipsnyje analizuosime užduotis, kuriose reikia rasti išvestinę kada duotu grafiku funkcija ir grafiko liestinė tam tikrame taške

* Be to, šiose problemose eskize aiškiai pažymėti bent du taškai, per kuriuos eina ši liestinė. Ką reikia žinoti norint išspręsti?

Sukurkime savavališką tam tikros funkcijos y = f (x) grafiką įjungta koordinačių plokštuma, sukonstruoti liestinę taške x o, pažymėkime kampą tarp tiesės ir ašies kaip α (alfa)

Iš algebros kurso žinome, kad tiesės lygtis turi tokią formą:

Tai yra funkcijos išvestinėy = f(x) taške x 0 lygus liestinės nuolydžiui:

Ir kampo koeficientas savo ruožtu lygus tangentei kampas α (alfa), tai yra:

Kampas α (alfa) gali būti mažesnis nei, didesnis nei 90 laipsnių arba lygus nuliui.

Iliustruojame du atvejus:

1. Tangento kampas yra didesnis nei 90 laipsnių (bukukampis).

2. Liestinės pasvirimo kampas lygus nuliui laipsnių (liestinė lygiagreti ašiai Oi).

Tai reiškia, kad uždaviniai, kuriuose duotas funkcijos grafikas, šio grafiko liestinė tam tikrame taške ir reikia rasti išvestinę liestinės taške, yra sumažinamos iki liestinės nuolydžio (arba liestinės polinkio kampo liestinė, kuri yra tas pats).

Žemiau mes apsvarstysime, kaip išspręsti tokias problemas, surandant kampo tarp liestinės ir abscisių ašies liestinę (ašisOi), artimiausiu metu svarstysime kitą sprendimo būdą (išvestinės radimą pagal kampinį koeficientą). Taip pat nagrinėsime problemas, kai norint nuskaityti funkcijos grafiką, reikia žinoti išvestinės savybes. Nepraleiskite!

Atkreipkite dėmesį, kad koordinačių plokštumoje yra du taškai, per kuriuos eina liestinė - tai labai svarbus punktas(galima sakyti, raktas į šias užduotis).

Ko dar reikia?- tai bukojo kampo liestinės žinios.

y = f(x) x 0 y = f(x) taške x 0 .

Išvestinės reikšmė liesties taške yra lygi liestinės nuolydžiui, kuri savo ruožtu yra lygi šios liestinės polinkio kampo liestine su abscisių ašimi. Norėdami rasti šio kampo liestinę, sukonstruosime statųjį trikampį, kuriame dviejų taškų ribojama atkarpa grafike bus hipotenuzė, o kojos lygiagrečios ašims. Šioje užduotyje tai yra taškai (–5; –4), (1; 5).

Leiskite jums priminti: tangentas aštrus kampas V stačiakampis trikampis vadinamas santykiu priešinga kojaį gretimą.

Kojos nustatomos pagal ląstelių skaičių.

Abscisių ašies liestinės polinkio kampas lygus kampui BAC , Oi. Reiškia

Atsakymas: 1.5

y = f(x) x 0 y = f(x) taške x 0 .

Užduotis yra panaši į ankstesnę. Taip pat statome stačiakampį trikampį, kuriame atkarpa, ribojama dviejų grafiko taškų, bus hipotenuzė. Šioje užduotyje tai yra taškai (–5; –7), (3; 3).

Kojas taip pat lemia ląstelių skaičius.

X ašies liestinės polinkio kampas lygus kampui BAC , kadangi kintamosios srovės kojelė lygiagreti ašiai Oi. Reiškia

Atsakymas: 1.25

Paveikslėlyje parodytas funkcijos grafikasy = f(x) o jo liestinė abscisių taškex 0 . Raskite funkcijos išvestinės reikšmęy = f(x) taške x 0 .

Sukonstruojame stačiąjį trikampį, kur atkarpa, ribojama dviejų grafiko taškų, bus hipotenuzė. Šioje užduotyje tai yra taškai (–3; 3) ir (5; 11). Iš taško (5;11) sukonstruojame kojos tęsinį taip, kad gautume išorinį kampą.

Kadangi CD yra lygiagreti x ašiai, kampas ABD yra lygus x ašies liestinės polinkio kampui. Taigi apskaičiuosime kampo ABD liestinę. Atkreipkite dėmesį, kad jis yra didesnis nei 90 laipsnių, todėl čia reikia naudoti liestinės mažinimo formulę:

Reiškia

*Kojelių ilgiai skaičiuojami pagal ląstelių skaičių.

Atsakymas: -1,75

Paveikslėlyje parodytas funkcijos grafikas y = f(x) o jo liestinė abscisių taške x 0 . Raskite funkcijos išvestinės reikšmę y = f(x) taške x 0 . x 0

Tai viskas! Sėkmės tau!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Pamokos tikslai:

Mokiniai turėtų žinoti:

• kas vadinama nuolydis tiesioginis;
• kampas tarp tiesės ir Ox ašies;
• kokia geometrinė išvestinės reikšmė;
• funkcijos grafiko liestinės lygtis;
• parabolės liestinės sudarymo metodas;
• galėtų kreiptis teorinių žinių praktikoje.

Pamokos tikslai:

Edukacinis: sudaryti sąlygas studentams įsisavinti žinių, įgūdžių ir gebėjimų sistemą su išvestinės mechaninės ir geometrinės reikšmės sąvokomis.

Ugdomasis: formuoti mokiniuose mokslinę pasaulėžiūrą.

Ugdomasis: ugdyti mokinių pažintinį susidomėjimą, kūrybiškumą, valią, atmintį, kalbą, dėmesį, vaizduotę, suvokimą.

Edukacinės ir pažintinės veiklos organizavimo būdai:

• vizualinis;
• praktiška;
• Autorius protinė veikla: indukcinis;
• pagal medžiagos asimiliaciją: iš dalies paieškos, dauginimosi;
• pagal savarankiškumo laipsnį: laboratoriniai darbai;
• skatinantis: padrąsinimas;
• kontrolė: žodinė priekinė apklausa.

Pamokos planas

1. Burnos pratimai (raskite išvestinį)
2. Studentų pranešimas tema „Priežastys matematinė analizė”.
3. Naujos medžiagos mokymasis
4. Fizik. Tik minutę.
5. Užduočių sprendimas.
6. Laboratoriniai darbai.
7. Apibendrinant pamoką.
8. Namų darbų komentavimas.

Įranga: multimedijos projektorius (prezentacija), kortelės ( laboratoriniai darbai).

„Žmogus ką nors pasiekia tik ten, kur tiki savo jėgomis“

L. Feuerbachas

Klasės organizavimas visos pamokos metu, mokinių pasirengimas pamokai, tvarka ir drausmė.

Mokymosi tikslų nustatymas mokiniams tiek visai pamokai, tiek atskiriems jos etapams.

Nustatykite studijuojamos medžiagos reikšmę tiek šioje temoje, tiek visame kurse.

Skaičiavimas žodžiu

1. Raskite išvestines:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Loginis testas.

a) Įterpkite trūkstamą išraišką.

Bendrąją mokslo raidos kryptį galiausiai lemia žmogaus veiklos praktikos reikalavimai. Senovės valstybių su sudėtinga hierarchine valdymo sistema egzistavimas būtų buvęs neįmanomas be pakankamai išplėtotos aritmetikos ir algebros, nes reikėjo surinkti mokesčius, organizuoti kariuomenės aprūpinimą, statyti rūmus ir piramides, sukurti drėkinimo sistemas. sudėtingi skaičiavimai. Renesanso laikais plėtėsi ryšiai tarp skirtingų viduramžių pasaulio dalių, vystėsi prekyba, amatai. Prasideda spartus gamybos techninio lygio kilimas, pramoniniu būdu naudojami nauji energijos šaltiniai, nesusiję su žmonių ar gyvūnų raumenų pastangomis. XI-XII amžiais pasirodė pynimo ir audimo mašinos, o XV viduryje - spaustuvė. Dėl sparčios socialinės gamybos raidos poreikio šiuo laikotarpiu pasikeitė nuo senų laikų aprašomųjų gamtos mokslų esmė. Gamtos mokslų tikslas yra nuodugnus gamtos procesų, o ne objektų tyrimas. Matematika, kuri operavo pastoviais dydžiais, atitiko aprašomąjį antikos gamtos mokslą. Reikėjo sukurti matematinį aparatą, kuris apibūdintų ne proceso rezultatą, o jo tėkmės pobūdį ir jam būdingus modelius. Dėl to iki XII amžiaus pabaigos Niutonas Anglijoje ir Leibnicas Vokietijoje baigė pirmąjį matematinės analizės kūrimo etapą. Kas yra „matematinė analizė“? Kaip galima apibūdinti ir numatyti bet kokio proceso ypatybes? Naudoti šias funkcijas? Giliau įsiskverbti į konkretaus reiškinio esmę?

Eikime Niutono ir Leibnizo keliu ir pažiūrėkime, kaip galime analizuoti procesą, vertindami jį kaip laiko funkciją.

Leiskite pristatyti keletą sąvokų, kurios mums padės toliau.

Tiesinės funkcijos y=kx+ b grafikas yra tiesė, vadinamas skaičius k tiesios linijos nuolydis. k=tg, kur yra tiesės kampas, tai yra kampas tarp šios tiesės ir teigiamos Ox ašies krypties.

1 pav

Panagrinėkime funkcijos y=f(x) grafiką. Nubrėžkime sekantą per bet kuriuos du taškus, pavyzdžiui, sekantą AM. (2 pav.)

Sekanto kampinis koeficientas k=tg. Stačiame trikampyje AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

2 pav

3 pav

Pats terminas „greitis“ apibūdina vieno kiekio pokyčio priklausomybę nuo kito kiekio pasikeitimo, o pastarasis nebūtinai turi būti laikas.

Taigi, sekanto polinkio kampo liestinė tg = .

Mus domina kiekių pokyčių priklausomybė per trumpesnį laiką. Nukreipkime argumento prieaugį į nulį. Tada dešinioji formulės pusė yra funkcijos taške A išvestinė (paaiškinkite kodėl). Jei x –> 0, tai taškas M grafike juda į tašką A, o tai reiškia, kad tiesė AM artėja prie kokios nors tiesės AB, kuri yra funkcijos y = f(x) grafiko liestinė taške A. (3 pav.)

Sekanto pasvirimo kampas yra linkęs į liestinės pasvirimo kampą.

Geometrinė išvestinės reikšmė ta, kad išvestinės reikšmė taške yra lygi funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui taške.

Mechaninė vedinio reikšmė.

Liestinės kampo liestinė yra reikšmė, rodanti momentinį funkcijos pasikeitimo greitį tam tikrame taške, tai yra nauja tiriamo proceso charakteristika. Leibnicas pavadino šį kiekį išvestinė, o Niutonas sakė, kad pati išvestinė yra vadinama momentine greitis.

Nr.91(1) 91 psl. parodyti lentoje.

Kreivės liestinės f(x) = x 3 kampinis koeficientas taške x 0 – 1 yra šios funkcijos išvestinės reikšmė x = 1. f’(1) = 3x 2 ; f’(1) = 3.

Nr.91 (3.5) – diktantas.

Nr.92(1) – jei pageidaujama, lentoje.

92 (3) – savarankiškai su testavimu žodžiu.

Nr.92 (5) – prie valdybos.

Atsakymai: 45 0, 135 0, 1,5 e 2.

Tikslas: sukurti koncepciją “ mechaninis pojūtis išvestinė“.

Darinių taikymas mechanikai.

Įstatymas nustatytas tiesinis judėjimas taškai x = x(t), t.

1. Vidutinis judėjimo greitis per tam tikrą laikotarpį;
2. Greitis ir pagreitis momentu t 04
3. Sustojimo akimirkos; ar taškas po sustojimo momento toliau juda ta pačia kryptimi, ar pradeda judėti priešinga kryptimi;
4. Didžiausias greitis judesiai per tam tikrą laikotarpį.

Darbas atliekamas pagal 12 variantų, užduotys diferencijuojamos pagal sunkumo laipsnį (pirmas variantas – žemiausias sunkumo lygis).

Prieš pradedant darbą, pokalbis šiais klausimais:

1. Ką fizinę reikšmę poslinkio išvestinė? (Greitis).
2. Ar įmanoma rasti greičio išvestinę?
3. Ar šis dydis naudojamas fizikoje? kaip tai vadinasi? (Pagreitis). Momentinis greitis
4. lygus nuliui. Ką galima pasakyti apie kūno judėjimą šiuo metu? (Tai yra sustojimo momentas).

Kokią fizinę reikšmę turi šie teiginiai: judėjimo išvestinė lygi nuliui taške t 0; ar išvestinė keičia ženklą, eidama per tašką t 0? (Kūnas sustoja; judėjimo kryptis pasikeičia į priešingą).

Studentų darbų pavyzdys.

4 pav

IN priešinga kryptimi.

Nubraižykime greičio schemą. Didžiausias greitis pasiekiamas taške

t = 10, v (10) = 3 · 10 2 -4 · 10 = 300–40 = 260

5 pav

1) Kokia geometrinė išvestinės reikšmė?
2) Kokia mechaninė vedinio reikšmė?
3) Padarykite išvadą apie savo darbą.

90 psl. Nr.91(2,4,6), Nr.92(2,4,6,), 92 Nr.112.

Naudota literatūra

• Vadovėlis Algebra ir analizės pradžia.
  Autoriai: Yu.M. Kolyaginas, M.V. Tkačiova, N.E. Fedorova, M.I. Šabunina.
  Redagavo A. B. Žižčenko.
• Algebra 11 klasė. Pamokų planai pagal vadovėlį Sh. Alimov, Yu M. Kolyagin, Yu. 1 dalis.
• Interneto šaltiniai:

Paskaita: Funkcijos išvestinės samprata, geometrinė išvestinės reikšmė

Panagrinėkime kokią nors funkciją f(x), kuri bus ištisinė per visą svarstymo intervalą. Aptariamame intervale pasirenkame tašką x 0, taip pat funkcijos reikšmę šiame taške.

Taigi, pažiūrėkime į grafiką, kuriame pažymime savo tašką x 0, taip pat tašką (x 0 + ∆x). Prisiminkite, kad ∆х yra atstumas (skirtumas) tarp dviejų pasirinktų taškų.

Taip pat verta suprasti, kad kiekvienas x atitinka savoji vertė funkcijos y.

Skirtumas tarp funkcijos reikšmių taškuose x 0 ir (x 0 + ∆x) vadinamas šios funkcijos prieaugiu: ∆у = f(x 0 + ∆x) - f(x 0).

Atkreipkime dėmesį į papildomos informacijos, kuris yra grafike, yra sekantas, vadinamas KL, taip pat trikampis, kurį jis sudaro intervalais KN ir LN.

Kampas, kuriuo yra sekantas, vadinamas jo pasvirimo kampu ir žymimas α. Tai galima nesunkiai nustatyti laipsnio matas kampas LKN taip pat lygus α.

Dabar prisiminkime ryšius stačiakampiame trikampyje tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

Tai yra, sekanto pasvirimo kampo liestinė lygus santykiui funkcijos padidėjimas iki argumentų padidėjimo.

Vienu metu išvestinė yra funkcijos prieaugio santykio su argumento prieaugiu be galo mažuose intervaluose riba.

Išvestinė apibrėžia greitį, kuriuo funkcija keičiasi tam tikroje srityje.

Geometrinė išvestinės reikšmė

Jei tam tikrame taške rasite bet kurios funkcijos išvestinę, galite nustatyti kampą, kuriame bus grafiko liestinė tam tikroje srovėje OX ašies atžvilgiu. Atkreipkite dėmesį į grafiką – tangentinio polinkio kampas žymimas raide φ ir nustatomas koeficientu k tiesės lygtyje: y = kx + b.

Tai yra, galime daryti išvadą, kad geometrinė išvestinės reikšmė yra liestinės kampo liestinė tam tikrame funkcijos taške.

Tema. Darinys. Geometrinė ir mechaninė išvestinės reikšmė

Jei ši riba egzistuoja, tada sakoma, kad funkcija taške yra diferencijuojama. Funkcijos išvestinė žymima (2 formulė).

1. Geometrinė išvestinės reikšmė. Pažiūrėkime į funkcijos grafiką. Iš 1 pav. aišku, kad bet kuriems dviem funkcijos grafiko taškams A ir B galima parašyti 3) formulę. Jame yra sekanto AB pasvirimo kampas.

Taigi skirtumo santykis yra lygus sekanto nuolydžiui. Jei fiksuosite tašką A ir perkelsite tašką B link jo, tada jis mažėja be apribojimų ir artėja prie 0, o sekantas AB artėja prie liestinės AC. Todėl skirtumo santykio riba lygi liestinės nuolydžiui taške A. Tai leidžia daryti išvadą.

Funkcijos išvestinė taške yra šios funkcijos grafiko liestinės nuolydis tame taške. Tai geometrinė išvestinės reikšmė.

1. Tangento lygtis . Išveskime funkcijos grafiko liestinės lygtį taške. IN bendras atvejis tiesės su kampiniu koeficientu lygtis turi tokią formą: . Norėdami rasti b, pasinaudojame tuo, kad liestinė eina per tašką A: . Iš to seka: . Pakeitę šią išraišką vietoj b, gauname liestinės lygtį (4 formulė).