Variacinės paskirstymo serijos susideda iš dviejų variantų ir dažnių elementų.

Parinktys Pasiskirstymo serijos kiekybinės charakteristikos skaitinės reikšmės gali būti teigiamos ir neigiamos, absoliučios ir santykinės. Dažniai– tai atskirų variantų arba kiekvienos variacijų serijos grupės skaičiai. Visų dažnių suma vadinama populiacijos apimtimi ir lemia visos populiacijos elementų skaičių.

Paskirstymo eilutės gali būti formuojamos pagal kokybinius (atributinius) ir kiekybinius principus. Pirmuoju atveju jie vadinami. atributinis, o antrasis – variacinis.

Pasiskirstymo variacijų serija pagal konstrukciją gali būti diskretinė ir intervalinė:

Diskas. variantai. paskirstymo diapazonas - grupės yra pagrįstos charakteristika, kuri kinta diskretiškai ir priima tik sveikąsias reikšmes. Intervalas Vari. paskirstymo diapazonas - grupavimo ženklas, grupės būsena, tam tikru intervalu gali įgyti bet kokias reikšmes. Iškviečiamo int-la vieneto dažnio vienetų skaičius. pasiskirstymo tankis. Sukauptų dažnių skaičius (kaupiamasis) – parodo atvejų skaičių žemiau arba viršijant tam tikrą lygį. Grafinis pasiskirstymo serijos vaizdavimas: tiesinės, plokštumos diagramos, histogramos, kaupiamoji kreivė (vaizduojama sukauptų dažnių serija)

9. Svertinis aritmetinis vidurkis.

Skaičiuojant vidutines reikšmes, individualios charakteristikos vertės, kurios yra suvidurkintos, gali būti kartojamos, todėl apskaičiavimas vidutinis dydis pagaminti iš sugrupuotų duomenų. Šiuo atveju mes kalbame apie apie aritmetinio svertinio vidurkio naudojimą, kurio forma yra: X vidurkis = (EXi*fi)/ Efi

Skaičiuojant intervalo variacijų serijos vidurkį, norint atlikti reikiamus skaičiavimus, nuo intervalų pereinama į jų vidurio taškus.

Vidurkio apskaičiavimas momentų metodu. Remiantis aritmetinio vidurkio savybėmis. Vieno iš centrinių intervalų vidurys, kurio dažnis yra didžiausias, pasirenkamas kaip sąlyginis nulis – X0. Šis metodas naudojamas tik nuosekliai su vienodais intervalais.

10. Harmoninis vidurkis paprastas ir pasvertas.

Harmoninis vidurkis. Šis vidurkis vadinamas atvirkštiniu aritmetiniu vidurkiu, nes ši reikšmė naudojama, kai k = -1. Paprastas harmoninis vidurkis naudojamas, kai atributų reikšmių svoriai yra vienodi. Jo formulę galima išvesti iš pagrindinės formulės, pakeičiant k = -1:

KAM Pavyzdžiui, reikia apskaičiuoti vidutinį dviejų automobilių, įvažiavusių tą patį kelią, bet skirtingu greičiu, greitį: pirmasis – 100 km/h greičiu, antrasis – 90 km/h. Naudodami harmoninio vidurkio metodą, apskaičiuojame vidutinį greitį:

Statistikos praktikoje jis dažnai naudojamas harmoningai pasverti, katės formulė atrodo taip:

Ši formulė naudojama tais atvejais, kai kiekvieno požymio svoriai (arba reiškinių tūriai) nėra vienodi. Pradiniame santykyje skaičiuojant vidurkį skaitiklis žinomas, bet vardiklis nežinomas.

Pavyzdžiui, skaičiuodami vidutinę kainą, turime naudoti pardavimo sumos ir parduotų vienetų skaičiaus santykį. Nežinome parduotų vienetų skaičiaus (kalbame apie skirtingas prekes), tačiau žinome šių skirtingų prekių pardavimo sumas. Tarkime, reikia sužinoti vidutinę parduodamų prekių kainą: Prekės tipas Vieneto kaina, rub.

P gauname

E Jei čia naudosite aritmetinio vidurkio formulę, galite gauti vidutinę kainą, kuri bus nereali:

11. Supaprastintas vidurkio aritmo skaičiavimas. (plg. Ar.) (momentų metodas).

Naudojant Šv. ar., galima apskaičiuoti pėdsaką. būdas: 1) atimti variantą iš visų pastovus skaičius(vidutinio varianto vertė yra geresnė); 2) parinktis padalinti iš pastovaus skaičiaus – iš intervalo reikšmės; 3) išreikšti dažnius %. Skaičiavimo vid. ar. Pirmieji du metodai vadinami skaičiavimo nuo sąlyginės pradžios metodu (momentų metodu). Šis metodas naudojamas eilėmis skirtingais intervalais. trečia. ar. šiuo atveju def. pagal f-le:

kur m yra pirmosios eilės momentas; x 0 – atskaitos taškas; K – intervalo reikšmė.

12. Režimas ir mediana.

D Populiacijos struktūrai nustatyti naudojami specialūs vidutiniai rodikliai, kurie apima medianą ir modą, arba vadinamuosius struktūrinius vidurkius. Mediana(Me) yra vertė, atitinkanti parinktį, esančią reitinguojamos serijos viduryje. Reitinguotų serijų su nelyginiu atskirų reikšmių skaičiumi (pvz., 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10) mediana bus vertė, esanti stulpelio centre. serijos, t.y. penktasis dydis. Reitinguotų serijų su lyginiu atskirų verčių skaičiumi (pvz., 1, 5, 7, 10, 11, 14) mediana bus vidurkis aritmetinis dydis, kuris apskaičiuojamas iš dviejų gretimų verčių. Mūsų atveju mediana yra (7+10): 2 = 8,5. Tai yra, norėdami rasti medianą, pirmiausia turite nustatyti jos serijos numerį (jos vietą reitinguotoje serijoje) naudodami formulę Nme=(n+1)/2, kur n yra suvestinių vienetų skaičius. Skaitinė medianos reikšmė nustatoma iš sukauptų dažnių diskrečiųjų variacijų serijoje. Norėdami tai padaryti, pirmiausia turite nurodyti intervalą, kuriame yra mediana intervalo serija paskirstymus. Mediana yra pirmasis intervalas, kai sukauptų dažnių suma viršija pusę stebėjimų nuo bendro visų stebėjimų skaičiaus. Skaitinė medianos reikšmė dažniausiai nustatoma pagal formulę ----- čia xMe – apatinė medianos intervalo riba; i - intervalo reikšmė; S-1 yra sukauptas intervalo, einančio prieš medianą, dažnis; f – vidutinio intervalo dažnis.

Mada (pirm.) Jie vadina charakteristikos reikšmę, kuri dažniausiai pasitaiko populiacijos vienetuose. Atskirai serijai režimas bus parinktis su didžiausiu dažniu. Norėdami nustatyti intervalų serijos režimą, pirmiausia nustatykite modalinį intervalą (intervalas, turintis didžiausias dažnis). Tada šiame intervale randama funkcijos reikšmė, kuri gali būti režimas. Norėdami rasti konkrečią režimo reikšmę, turite naudoti formulę

čia xMo yra apatinė modalinio intervalo riba; iMo yra modalinio intervalo reikšmė; fMo - modalinio intervalo dažnis; fMo-1 - intervalo dažnis prieš modalinį; fMo+1 – intervalo dažnis po modalinio.

Mada plačiai paplitusi rinkodaros veikloje tiriant vartotojų paklausą, ypač nustatant populiariausius drabužių ir batų dydžius bei reguliuojant kainų politiką.

13. Vidutinio aritmo savybės. (plg. Ar.)

1.Jei tarp visų serijos parinkčių (-) arba visų parinkčių (+) yra pastovus skaičius, žr. ar. atitinkamai sumažės arba padidės šiuo skaičiumi.
.2.Jei visi serijos variantai padauginami arba dalijami iš pastovaus skaičiaus, tai plg. ar. atitinkamai padidės arba sumažės tiek kartų.
3. Jei visi dažniai didinami arba mažinami pastoviu skaičiumi kartų, tai vidurkis nepasikeis.
.

4. Visų serijos variantų nuokrypių nuo vidurkio suma. ar. = 0. (Nulinė vidurkio savybė). . 5. Σf i =Σfix i . Vidurkio sandauga iš dažnių sumos visada lygi varianto sandaugų pagal dažnius sumai.

6. Visų eilutės variantų nuokrypių kvadratu suma nuo vidurkio. ar.

Ši savybė yra metodo pagrindas mažiausių kvadratų, katė. plačiai naudojamas statistiniuose tyrimuose. santykius.

14. Dispersijų rūšys. Jų pridėjimo taisyklė .

R Yra trys dispersijų tipai: bendrieji; vidutinis grupės viduje; tarpgrupinis. Bendra dispersija ( 2 O ) apibūdina visos populiacijos charakteristikos kitimą, veikiant visiems veiksniams, kurie sukėlė šį kitimą. Ši reikšmė nustatoma pagal formulę  2 о =  (X – Xо vidurkis) 2 *f / f, kur Xо vidurkis yra bendras visos tiriamos populiacijos aritmetinis vidurkis. Vidutinė dispersija grupės viduje ( 2 vidutinis) nurodo atsitiktinį pokytį, kuris gali atsirasti veikiant bet kokiems neatsižvelgtiems veiksniams ir kuris nepriklauso nuo veiksnio požymio, sudarančio grupavimo pagrindą. Ši dispersija apskaičiuojama taip: pirma, dispersijos apskaičiuojamos atskiroms grupėms (  2 i), tada apskaičiuojama vidutinė dispersija grupės viduje (  2 i vidurkis): čia ni yra vienetų skaičius grupėje. Tarpgrupinė dispersija charakterizuojamas sisteminis kitimas, t.y. tiriamos charakteristikos vertės skirtumai, atsirandantys veikiant veiksniui-ženklui, kuris yra grupavimo pagrindas. Ši dispersija apskaičiuojama naudojant formulę

G de – atskiros grupės vidutinė vertė. Visi trys dispersijos tipai yra tarpusavyje susiję: bendra dispersija lygi vidutinės dispersijos grupės viduje ir dispersijos tarp grupių sumai:

Šis ryšys atspindi dėsnį, kuris vadinamas dispersijų pridėjimo taisykle. Pagal šį dėsnį (taisyklę) bendra dispersija, atsirandanti veikiant visiems veiksniams, yra lygi dispersijų sumai, kuri atsiranda tiek veikiant veiksnio požymiui, kuris sudaro grupavimo pagrindą, tiek veikiant kitų veiksnių. Dėl dispersijų pridėjimo taisyklės galima nustatyti, kuriai bendros dispersijos daliai įtakos turi veiksnys-atributas, sudarantis grupavimo pagrindą.

15 . Vidurkių tipai. Jų skaičiavimas .

16. Statistikoje naudojami kitimo rodikliai.

Variacija, t.y. neatitikimas tarp to paties rodiklio lygių skirtingi objektai, turi objektyvų pobūdį ir padeda suprasti tiriamo reiškinio esmę. Statistikos skirtumams matuoti naudojami keli metodai. Paprasčiausias būdas apskaičiuoti rodiklį yra variacijos diapazonas H kaip skirtumas tarp Xmax ir Xmin: H = Xmax - Xmin. Tačiau variacijos apimtis rodo tik kraštutines bruožo vertes. Čia neatsižvelgiama į tarpinių verčių pakartojamumą. Vidutinis tiesinis nuokrypis d – charakteristikos absoliučių nuokrypių nuo jos vidutinio lygio aritmetinis vidurkis: d =  (Xi – X vidurkis) / n. Kai pakartojamos atskiros X reikšmės, naudojama svertinio aritmetinio vidurkio formulė. Statistiniuose tyrimuose variacijai matuoti dažniausiai naudojamas rodiklis dispersijos:δ =  (Xi – X vidurkis) 2 / n. Rodiklis s, lygus √δ 2, vadinamas vidurkiu kvadratinis nuokrypis. Reikšmė Mx = √(δ 2 /n) yra vidutinė atrankos paklaida ir yra imties vidutinės vertės nuokrypio nuo tikrosios vidutinės vertės charakteristika. Rodiklis vidutinė klaida naudoti vertinant imčių stebėjimų rezultatų patikimumą. Koefas svyravimai atspindi charakteristikos kraštutinių verčių svyravimą aplink vidurkį: Ko = (R/X vidurkis)*100%. Santykinis tiesinis išjungimas apibūdina absoliučių nuokrypių nuo vidutinės reikšmės ženklo vidutinės reikšmės dalį Kd = (d vidurkis / X vidurkis) * 100%. Variacijos koeficientas: V = (δ/X vidurkis)*100 %

17. Paprasčiausios dinamikos eilučių apdorojimo technikos.

Paprasčiausi apdorojimo laiko eilučių tipai yra šie: intervalų padidinimas, slankiojo vidurkio metodas, analitinis derinimas, ekstrapoliacija ir interpoliacija.

Intervalų padidinimas. Dinamikos serija yra padalinta į pakankamai daug vienodų intervalų. Jei vidutiniai intervalų lygiai neleidžia matyti vystymosi tendencijos, pereikite prie lygių skaičiavimo dideliems laikotarpiams, padidindami kiekvieno intervalo ilgį (mažinant intervalų skaičių). Slenkantis vidurkis. Taikant šį metodą, pradiniai serijos lygiai pakeičiami vidutinėmis reikšmėmis, kurios gaunamos iš tam tikro lygio ir kelių jį simetriškai supančių. Visas lygių skaičius, per kurį apskaičiuojama vidutinė vertė, vadinamas išlyginimo intervalu. Norint sukurti modelį, kuris išreiškia pagrindinę dinaminės serijos lygių pokyčių laikui bėgant tendenciją, jis naudojamas analitinis derinimas dinamikos serija. Paprasčiausi modeliai, išreiškiantys raidos tendenciją: tiesinė funkcija, eksponentinė funkcija, parabolė, n eilės parabolė, hiperbolė, eksponentinė. Kartais tampa būtina numatyti būsimą dinamikos serijos lygį. Tokiais atvejais jie naudojasi dinamikos serijų apdorojimo technika, vadinama ekstrapoliacija: y n +1 = y n + ∆y n +∆∆y n, kur y n +1 yra nežinomas serijos lygis, y n yra paskutinis žinomas serijos lygis, ∆y n yra grandinės absoliutus padidėjimas paskutiniame serijos lygyje (∆y n = y n - y n -1), ∆∆y n - paskutinio serijos lygio padidėjimo pokytis. Kartu su ekstrapoliacija kartais naudojama tokia laiko eilučių apdorojimo technika, pvz interpoliacija- dirbtinis trūkstamų elementų radimas dinaminėje serijoje. Nežinomas serijos lygis randamas pagal formulę: y i = (y i +1 + y i -1) / 2. Kur: y i yra nežinomas serijos lygis, y i +1 yra kitas serijos lygis, y i - 1 yra ankstesnis serijos lygis.

1. turi abstraktų pobūdį, nes yra apibendrinanti reikšmė, ji ištrina

atsitiktiniai svyravimai

2.užima vidurinę padėtį eilėje (griežtai simetriškoje eilėje)

3. visų variantų nuokrypių nuo vidutinės reikšmės suma lygi nuliui. Ši savybė yra vidutinė

reikšmės yra naudojamos norint patikrinti vidutinės vertės apskaičiavimo teisingumą.

Vidurkių tipai

1. Režimas (Mo) – variantas, kuris dažniausiai randamas variacijų serijoje.

2. Mediana (Me) – variantas, užimantis vidurį variacijų serijoje

padėtis, t.y., centrinis variantas, padalijimas variacijų serija dviem

lygiomis dalimis.

M o ir M e – sąlyginiai vidurkiai.

3. Aritmetinis vidurkis:

a) Paprastasis aritmetinis vidurkis

b).Svertinis aritmetinis vidurkis

V). Aritmetinis vidurkis, apskaičiuojamas momentų metodu.

Aritmetinio vidurkio skaičiavimas, paprastas ir svertinis

Tais atvejais, kai turime paprastą variacijų seriją, kurioje kiekviena parinktis

atitinka dažnį (P), lygų 1, paprastas aritmetinis vidurkis apskaičiuojamas pagal

čia M yra aritmetinis vidurkis  - V sumavimo ženklas - parinktis, n - stebėjimų skaičius

Taigi paprastasis aritmetinis vidurkis yra lygus visų variantų sumai, padalytai iš skaičiaus

pastebėjimai.

Pavyzdys: apibrėžimas vidutinis svoris 18 metų berniukų kūnai (kg)

Tačiau dažniausiai reikia skaičiuoti svertinį aritmetinį vidurkį, kuris

yra gaunamas iš svertinių eilučių, kur kiekviena parinktis pasitaiko įvairiais laikais

arba, kaip sakoma, turi skirtingą svorį.

Aritmetinis svertinis vidurkis apskaičiuojamas pagal formulę:

M =  VP,

n kur M yra aritmetinis vidurkis  - sumavimo ženklas, V - parinktis,

P – pasireiškimo dažnis, n – stebėjimų skaičius

Taigi svertinis aritmetinis vidurkis yra lygus opciono sandaugų sumai jų

dažnis padalytas iš visų stebėjimų skaičiaus.

Pavyzdys: 18 metų berniukų vidutinio kūno svorio (kg.) nustatymas

Aritmetinio vidurkio apskaičiavimas momentų metodu

At didelis skaičius stebėjimai arba su dideliais skaitinė reikšmė taikomas variantas

Supaprastintas būdas apskaičiuoti aritmetinį vidurkį yra momentų metodas.

M = A+ i ar

kur M yra aritmetinis vidurkis; A - sąlyginis vidurkis; i - intervalo tarp grupių parinktis;

 - sumavimo ženklas.; a - kiekvieno pasirinkimo sąlyginis nuokrypis nuo sąlyginio vidurkio;

p - varianto atsiradimo dažnis; n yra stebėjimų skaičius.

Aritmetinio vidurkio apskaičiavimo momentų metodu pavyzdys (vidutinis kūno svoris

18 metų berniukai)

Vidurkio apskaičiavimo momentų metodu veiksmai:

2) nustatome „a“ - sąlyginį variantų nuokrypį nuo sąlyginio vidurkio, tam iš kiekvieno varianto atimame sąlyginį vidurkį: a = V - A, (pavyzdžiui, a = 64 - 62 = +2 ir tt .).

3) sąlyginį nuokrypį „a“ padauginame iš kiekvieno varianto dažnio „p“ ir gauname sandaugą a p;

4) raskite sumą a. p = - 10 kg

5) apskaičiuokite aritmetinį vidurkį momentų metodu:

M = A + i  aP= 62 - 10,4 = 61,6 kg

Taigi galime daryti išvadą, kad mūsų tirtoje jaunų vyrų grupėje vidutinis kūno svoris

Pats aritmetinis vidurkis nieko nesako apie variacijų eilutę, iš kurios

buvo paskaičiuota. Jo tipiškumui (patikimumui) įtakos turi nagrinėjamojo homogeniškumas

medžiagos ir eilių kintamumas.

Pavyzdys: pateikiamos dvi variacijų eilutės su tuo pačiu stebėjimų skaičiumi, kuriose

pateikiami galvos apimties išmatavimai vaikams nuo 1 iki 2 metų

Turėdamas tas pats numeris stebėjimai ir tie patys aritmetiniai vidurkiai (M = 46 cm), serijos

paskirstymas viduje skiriasi. Taigi, pirmosios eilutės parinktys paprastai skiriasi nuo

aritmetinis vidurkis su mažesne reikšme nei antros eilės parinktys, kurios suteikia

galimybė manyti, kad aritmetinis vidurkis (46 cm) labiau būdingas pirmajam

eilutę nei už antrą.

Statistikoje, norėdami apibūdinti variacijų serijų įvairovę, jie naudoja vidutinis

standartinis nuokrypis()

Yra du būdai apskaičiuoti standartinį nuokrypį: aritmetinis vidurkis

akimirkų būdas ir būdas. Taikant aritmetinio vidurkio skaičiavimo metodą, naudojama formulė:

čia d – tikrasis kiekvieno varianto nuokrypis nuo tikrojo vidurkio M. Formulė naudojama, kai

nedidelis stebėjimų skaičius (n30)

 nustatymo momentų metodu formulė:

kur a yra sąlyginis variantų nuokrypis nuo sąlyginio vidurkio
;

antrojo laipsnio momentas ir
pirmojo laipsnio momentas kvadratu.

Teoriškai ir praktiškai įrodyta, kad jei, atlikus daug stebėjimų, iki vidurkio

aritmetiškai pridėkite ir atimkite iš jo 1(M1), tada gautų verčių ribose

Bus rasta 68,3% visų variacijų serijos variantų. Jei į aritmetinį vidurkį

pridėti ir atimti 2(M2), tada 95,5% bus gautų verčių ribose

visas variantas. M 3 apima 99,7% visų variacijų serijos variantų.

Remdamiesi šia pozicija, galime patikrinti aritmetinio vidurkio tipiškumą

variacijų serija, iš kurios ji buvo apskaičiuota. Norėdami tai padaryti, turite apskaičiuoti vidurkį

pridėkite aritmetinį ir iš jo atimkite trigubą (M3). Jei gautose ribose

duotos variacijų eilutės tinka, tada aritmetinis vidurkis yra tipinis, t.y. ji

išreiškia pagrindinį serijos modelį ir gali būti naudojamas.

Ši nuostata plačiai naudojama kuriant įvairius standartus (drabužių,

batai, mokykliniai baldai ir tt).

Įvairovės laipsnis variacijų serijos charakteristikas galima įvertinti pagal koeficientas

variacijos(standartinio nuokrypio ir aritmetinio vidurkio santykis,

padauginta iš 100 proc.

Su v =  x 100

Kai C v yra mažesnis nei 10%, pastebima silpna įvairovė, kai C v yra 10-20% - vidutinis, o kai didesnis nei 20% -

stipri bruožų įvairovė.

Aritmetinis vidurkis turi tam tikrų savybių, nulemiančių platų jo naudojimą ekonominiuose skaičiavimuose ir statistinių tyrimų praktikoje.

1 nuosavybė. Aritmetinis vidurkis pastovią vertę lygus šiai konstantai:

2 nuosavybė (nulinė). Algebrinė suma tiesiniai nuokrypiai charakteristikos individualių verčių (skirtumai) nuo aritmetinio vidurkio yra lygus nuliui:

pirminei eilutei ir sugrupuotiems duomenims (d i - tiesiniai (individualūs) nuokrypiai nuo vidurkio, t. y. x i - ).

Šią savybę galima suformuluoti taip: teigiamų nukrypimų nuo vidurkio suma lygi neigiamų nuokrypių sumai.

Logiškai tai reiškia, kad visi nukrypimai nuo vidurkio viena ar kita kryptimi dėl atsitiktinių priežasčių vienas kitą panaikina.

3 turtas (minimalus). Atskirų charakteristikos verčių nuokrypių kvadratu suma nuo aritmetinio vidurkio yra mažiausias skaičius:

o tai reiškia: kiekvieno populiacijos vieneto charakteristikos individualių verčių nuokrypių kvadratu suma nuo aritmetinio vidurkio visada yra mažesnė nei charakteristikos variantų nuokrypių kvadratu suma nuo bet kurios reikšmės (A) , kad ir kaip mažai skirtųsi nuo pasirinkto tiriamos populiacijos vieneto vidurkio.

Sugrupuotiems duomenims turime:

Rodyklės vidutinio lygio apskaičiavimo teisingumui patikrinti naudojamos aritmetinio vidurkio minimalios ir nulinės savybės; tiriant dinamikos serijos lygių pokyčių modelius; tiriant rasti regresijos lygties parametrus koreliacinis ryšys tarp ženklų.

Nagrinėjamos savybės išreiškia esminius aritmetinio vidurkio požymius. Taip pat yra aritmetinio vidurkio skaičiavimo savybių, kurios turi taikoma vertė:

• jei kiekvieno populiacijos vieneto charakteristikos vertės (visi suvidurkinti variantai) sumažinamos arba padidinamos ta pačia reikšme A, tada panašūs pokyčiai įvyks ir su aritmetiniu vidurkiu;
• jei kiekvieno populiacijos vieneto charakteristikos vertės yra padalintos arba padaugintos iš bet kurio pastovaus skaičiaus A, tada aritmetinis vidurkis sumažės arba padidės A kartų;
• Jei kiekvienos požymio reikšmės svorį (dažnį) padalinsime iš kažkokio pastovaus skaičiaus A, tai aritmetinis vidurkis nepasikeis.

Šiuo metu aritmetinio vidurkio skaičiavimo savybės prarado savo aktualumą dėl kompiuterių naudojimo apibendrinimui. statistiniai rodikliai.

18. Supaprastintas aritmetinio vidurkio skaičiavimo metodas.

Akimirkų metodas

Dažnai susiduriame su aritmetinio vidurkio skaičiavimu supaprastintu būdu. Šiuo atveju naudojamos vidutinės vertės savybės. Supaprastintas skaičiavimo metodas vadinamas momentų metodu arba skaičiavimo nuo sąlyginio nulio metodu.

Momentų metodas daro prielaidą tolesni žingsniai :

1) Jei įmanoma, svoriai mažinami.

2) Pasirinktas pradinis taškas – sąlyginis nulis. Dažniausiai pasirenkama taip, kad pasirinkta atributo reikšmė būtų kuo arčiau skirstinio vidurio. Jei pasiskirstymas savo forma artimas normaliam, bet pradiniu tašku pasirenkamas didžiausią svorį turintis požymis.

3) Rasti variantų nuokrypiai nuo sąlyginio nulio.

4) Jei šiuose nuokrypiuose yra bendras daugiklis, tada apskaičiuoti nuokrypiai dalijami iš šio koeficiento.

5) Vidutinė charakteristikos reikšmė randama pagal tokią formulę

▲ 19 Režimas ir mediana bei jų naudojimas statistikoje.

Pasiskirstymo režimas – tai tiriamos charakteristikos reikšmė, kuri dažniausiai pasitaiko tam tikroje populiacijoje, t.y. vienas iš charakteristikos variantų kartojasi dažniau nei visi kiti. Režimas yra kintančios charakteristikos, kurios dažnis yra didžiausias, reikšmė. Režimas intervalų pasiskirstymo serijoje su vienodais intervalais.
Mo=xMo+iMo*(fMo-f(Mo-1))/((fMo-f(Mo-1))+(fMo-f(Mo-1)) Režimas intervalų serijoje su nelygiais intervalais.
100-120 10 0,5
120-140 30 1,5 <- Mo (мода)
140-180 40 1
180-220 20 0,5
Iš viso: 100
Užsakytos diskrečios paskirstymo serijos režimas, kuris yra variacijų serijos charakteristika, nustatomas pagal parinkčių dažnius ir atitinka didžiausio dažnio parinktis.
Mediana yra to populiacijos vieneto, kuris yra nuomojamos serijos viduryje, kintamos charakteristikos vertė.
Mediana atskiroje eilutėje: 23 28 30 35 37 (30 mediana)
Mediana intervalų pasiskirstymo eilutėje: Me = xMe+iMe*(sumf/2-fisc)/fsc
Diskrečioje paskirstymo serijoje režimas nustatomas vizualiai. Pagrindinė medianos savybė yra ta, kad absoliučių požymių reikšmių nuokrypių suma nuo medianos yra mažesnė nei nuo bet kurios kitos vertės. Kvartiliai reiškia charakteristikos vertę, kuri padalija reitinguojamą populiaciją į keturias lygias dalis. Kvartilių skaičiavimas panašus į medianos skaičiavimą. Deciliai – tai vertės variantai, padalijantys reitinguojamą eilutę į dešimt lygių dalių: 1-asis decilis padalija populiaciją santykiu nuo 1/10 iki 9/10, 2-asis decilis – santykiu nuo 2/10 iki 8/10 ir tt Deciliai apskaičiuojami taip pat, kaip mediana ir kvartiliai.

▲ 20 priežasčių, dėl kurių skiriasi statistiniai duomenys. Būtinybė tirti variaciją.

18 Priežastys, dėl kurių skiriasi statistiniai duomenys. Būtinybė tirti variaciją.
Tirdama socialinio gyvenimo reiškinius ir procesus, statistika susiduria su įvairiais bruožų variacijomis (kintamumu), apibūdinančiais atskirus populiacijos vienetus. Charakteristikos keičiasi veikiant įvairiems veiksniams. Akivaizdu, kad kuo įvairesnės sąlygos, turinčios įtakos tam tikro bruožo dydžiui, tuo didesnis jo kitimas. Pavyzdžiui, darbuotojų darbo užmokestis priklauso nuo kelių veiksnių: specialybės, rango, darbo stažo, išsilavinimo, sveikatos būklės ir kt. Kuo didesni faktorių verčių skirtumai, tuo didesnis darbo užmokesčio lygis.
Charakterizuojant charakteristikos kintamumą, naudojama absoliučių ir santykinių rodiklių sistema.
Tirdama socialinio gyvenimo reiškinius ir procesus, statistika susiduria su įvairiais bruožų variacijomis (kintamumu), apibūdinančiais atskirus populiacijos vienetus.
Variacija yra tam tikros charakteristikos verčių skirtumas tarp skirtingų tam tikros populiacijos vienetų tuo pačiu metu. Charakteristikos keičiasi veikiant įvairiems veiksniams. Ir todėl kuo įvairesnės sąlygos, turinčios įtakos tam tikro bruožo dydžiui, tuo didesnis jo kitimas. Statistikos kitimo tyrimas yra labai svarbus, nes padeda ištirti reiškinio esmę. Matuojant variaciją, išsiaiškinant jos priežastį, identifikuojant atskirų veiksnių įtaką, gaunama svarbi informacija (gyvenimo trukmė, gyventojų pajamos ir išlaidos ir kt.) moksliškai pagrįstiems valdymo sprendimams priimti.

▲ 21 Variacijos rodikliai, absoliutūs ir santykiniai, bendrieji, grupės viduje ir tarpgrupiniai, jų reikšmė ir reikšmė. Nuokrypių pridėjimo taisyklė.

(122,51 KB) Atsisiuntimai: 0

▲ 22 Vidutinis tiesinis nuokrypis, vidutinis kvadratinis nuokrypis (dispersija), standartinis nuokrypis, variacijos koeficientas.

23. Matematinės dispersijos savybės. Supaprastinti dispersijos skaičiavimo metodai

Dispersija yra vidutinis atskirų charakteristikos verčių nuokrypių nuo jų vidutinės vertės kvadratas ir apskaičiuojama naudojant paprastos ir svertinės dispersijos formules (priklausomai nuo šaltinio duomenų):

standartinis nuokrypis (σ):

(paprastas standartinis nuokrypis),

(svertinis standartinis nuokrypis).

Standartinis nuokrypis yra bendra charakteristikos pokyčio dydžio charakteristika visumoje. Jis išreiškiamas tais pačiais vienetais kaip ir ženklas.

Dispersijos skaičiavimas gali būti supaprastintas. Esant vienodiems intervalams skirstinio variacijų eilutėje, naudojamas skaičiavimo nuo sąlyginio nulio metodas (momentų metodas). Norėdami tai suprasti, turite žinoti šiuos dalykus dispersinės savybės:
1 nuosavybė . Pastovios reikšmės dispersija lygi nuliui.
2 nuosavybė . Sumažinus visas charakteristikos reikšmes ta pačia reikšme A, dispersijos vertė nekeičiama . Tai reiškia, kad vidutinį nuokrypių kvadratą galima apskaičiuoti ne iš pateiktų charakteristikos verčių, o pagal jų nuokrypius nuo bet kurio pastovaus skaičiaus.
3 nuosavybė . Sumažinus visas charakteristikos reikšmes K kartų, dispersija sumažėja K 2 kartus, o standartinis nuokrypis - K kartų . Tai reiškia, kad visas atributo reikšmes galima padalyti iš tam tikro pastovaus skaičiaus, pavyzdžiui, iš serijos intervalo reikšmės, apskaičiuoti standartinį nuokrypį ir padauginti jį iš pastovaus skaičiaus: .
4 nuosavybė . Jei apskaičiuosite vidutinį nuokrypių kvadratą nuo bet kurios vertės A, kuri vienu ar kitu laipsniu skiriasi nuo aritmetinio vidurkio (), tada jis visada bus didesnis už vidutinį nuokrypių kvadratą, apskaičiuotą iš aritmetinio vidurkio. . Vidutinis nuokrypių kvadratas bus didesnis (– A) 2:
.
Tai reiškia, kad nuokrypis nuo vidutinės reikšmės visada yra mažesnis už dispersijas, apskaičiuotas iš bet kokių kitų reikšmių, t.y. jis turi minimalumo savybę.
Metodai, kurie supaprastina jo skaičiavimą, yra pagrįsti šiomis matematinėmis dispersijos savybėmis. Pavyzdžiui, dispersijos apskaičiavimas naudojant momentų metodą arba skaičiavimo nuo sąlyginio nulio metodas naudojamas variacijų eilutėse su vienodais intervalais. Skaičiavimas atliekamas naudojant formulę:

,
čia K yra intervalo plotis;
A – sąlyginis nulis, kurį patogu naudoti kaip didžiausio dažnio intervalo vidurį;
– antrojo užsakymo momentas.
Tarp tiesinio vidurkio ir standartinio nuokrypio yra apytikslis ryšys jei tikrasis pasiskirstymas artimas normaliajam.
Normalaus pasiskirstymo sąlygomis tarp standartinio nuokrypio vertės ir stebėjimų skaičiaus yra toks ryšys:
1) 68,3 % stebėjimų yra ± 1σ ribose;
2) ± 2σ ribose – 95,4 %;
3) ± 3σ ribose – 99,7 %;
Tiesą sakant, praktikoje beveik nėra nuokrypių, viršijančių ±3σ. 3σ nuokrypis gali būti laikomas didžiausiu įmanomu. Ši nuostata vadinama „trijų sigmų taisykle“.

▲ 24 Alternatyvios charakteristikos dispersija.

21 Alternatyvios charakteristikos dispersija.
Alternatyvus ženklas – tai ženklas, apibūdinantis kažko turėjimą ar neturėjimą (žr. 1.2. pastraipą).
Statistikoje, tiriant alternatyvių tiriamo požymio buvimo požymių variantus, jie žymimi „1“, o jo nebuvimas – „0“.
Vienetų, turinčių tiriamą požymį – „p“, ir neturinčių jos „q“, dalis populiacijoje, todėl p + q = 1
Alternatyvios charakteristikos dispersija yra lygi dalies ir skaičių, papildančio šią dalį iki vieneto, sandaugai. Šio rodiklio kvadratinė šaknis atitinka standartinį alternatyvios charakteristikos nuokrypį.
Alternatyvių charakteristikų kitimo rodikliai plačiai naudojami statistikoje, ypač rengiant imčių stebėjimus, apdorojant sociologinių tyrimų duomenis, statistiškai kontroliuojant produktų kokybę ir daugeliu kitų atvejų.

▲ 25 Atrankinis stebėjimas, prasmė ir naudojimo sąlygos.

22 Atrankinis stebėjimas, prasmė ir naudojimo sąlygos.
statistinis stebėjimas, kurio metu tiriami ne visi tiriamos populiacijos elementai (vadinami „bendraisiais“), o tik tam tikra jų dalis atrenkama tam tikru būdu. Pasirinkta populiacijos elementų dalis (imtis) reprezentuos visą populiaciją priimtinu tikslumu esant dviem sąlygoms: jos turi būti pakankamai daug, kad joje atsirastų populiacijoje esantys modeliai; imties elementai turi būti parinkti objektyviai, nepriklausomai nuo tyrėjo valios, kad kiekvienas iš jų turėtų vienodą galimybę būti atrinktam arba kad šie šansai būtų žinomi tyrėjui. Šias sąlygas nustato matematinė atrankos metodo teorija. Jis pagrįstas daugybe svarbiausių tikimybių teorijos teoremų, kurios sudaro vadinamąjį didelių skaičių dėsnį (žr. Didelių skaičių dėsnį). Tik įvykdžius šias sąlygas, tampa objektyviai įmanoma įvertinti imties stebėjimo tikslumą remiantis pačiais imties duomenimis. Tikslumas Mėginio stebėjimas matuojamas naudojant vidutinę atrankos paklaidą, kurios dydis yra tiesiogiai proporcingas tiriamų charakteristikų kitimo laipsniui ir atvirkščiai proporcingas imties dydžiui. Atrankinis stebėjimas gali būti atliktas greičiau nei nuolatinis stebėjimas, mažesnėmis sąnaudomis ir gauti rezultatai, kurių tikslumas nėra daug prastesnis už nuolatinio stebėjimo rezultatus ir atsižvelgiant į galimybę atlikti išsamesnį stebėjimą, netgi dažnai pranašesnis už juos.

▲ 26 Atrankinio stebėjimo klaidos.

23 Atrankinio stebėjimo klaidos.
Paprastai tarp imties visumos charakteristikų ir bendrosios visumos charakteristikų yra tam tikras neatitikimas, kuris vadinamas statistinio stebėjimo klaida. Masinio stebėjimo metu klaidų neišvengiama, tačiau jos atsiranda dėl įvairių priežasčių. Imties charakteristikos galimos paklaidos dydis susideda iš registravimo klaidų ir reprezentatyvumo klaidų. Registracijos klaidos, arba techninės klaidos, yra susijusios su nepakankama stebėtojų kvalifikacija, netiksliais skaičiavimais, netobulais instrumentais ir kt.
Reprezentatyvumo klaida suprantama kaip neatitikimas tarp imties charakteristikos ir numatomos bendrosios visumos charakteristikos. Reprezentatyvumo klaidos gali būti atsitiktinės arba sisteminės.
Sisteminės klaidos yra susijusios su nustatytų atrankos taisyklių pažeidimu. Atsitiktinės klaidos paaiškinamos nepakankamai vienodu skirtingų kategorijų vienetų vaizdavimu bendrojoje imtyje.
. Dėl pirmosios priežasties imtį galima lengvai pakreipti, nes pasirenkant kiekvieną vienetą padaroma klaida, visada nukreipta ta pačia kryptimi. Ši klaida vadinama poslinkio klaida. Jo dydis gali viršyti atsitiktinės klaidos reikšmę. Poslinkio paklaidos ypatumas yra tas, kad, būdama nuolatinė reprezentatyvumo paklaidos dalis, ji didėja didėjant imties dydžiui. Atsitiktinė klaida mažėja didėjant imties dydžiui. Be to, galima nustatyti atsitiktinės paklaidos dydį, o poslinkio paklaidos dydį yra labai sunku ir kartais neįmanoma tiesiogiai nustatyti praktiškai. Todėl svarbu žinoti priežastis, kurios sukelia kompensavimo klaidą, ir imtis priemonių jai pašalinti.

▲ 27 Vidurkio ir dažnio atrankos paklaidos nustatymo metodai, įvairūs atrankos metodai ir metodai.

24 Vidurkio ir dažnio atrankos paklaidos nustatymo metodai, įvairūs atrankos metodai ir metodai.
-Rezultatų, gautų naudojant imties stebėjimą, nukrypimas nuo tikrųjų bendrosios populiacijos duomenų.
Yra dviejų tipų atrankos klaidų – statistinės ir sisteminės. Statistinė paklaida priklauso nuo imties dydžio. Kuo didesnis imties dydis, tuo jis mažesnis.

▲ 28 Imties dydžio nustatymas.

25 Imties dydžio nustatymas.
Reikiamo imties dydžio nustatymas yra svarbi užduotis, su kuria susiduria tyrėjas, organizuojantis imties stebėjimą.
Kartu jis, kaip taisyklė, žino: kokias bendrosios populiacijos charakteristikas norėtų įvertinti, kokį paklaidos dydį laikytų nereikšminga, kokį duomenų atrankos metodą taiko. Taip pat žinoma populiacijos vieta ir dažnai (bet ne visada) elementų skaičius joje.
Imties dydžio apskaičiavimas yra pagrįstas statistiniu duomenų apdorojimo metodu ir yra daug skaičiavimų, tačiau paprastumo dėlei žemiau pateiksime formulę, pagal kurią galima pasiekti gerų rezultatų.

Statistikos formulės

1 tema: Statistikos grupavimas

Grupių skaičiaus nustatymas(jei grupavimas yra tęstinis arba atskiras su daugybe verčių)

Vienodo intervalo reikšmės nustatymas:

2 tema: Absoliutūs ir santykiniai dydžiai

Santykinės vertybės :

1) susiję vel-on konstrukcijos:

2) susiję veda prie suplanuotos užduoties:

3) susiję plano vykdymo instrukcijas:

4) susiję Vel-on dinamika arba augimo tempas:

5) susiję vel-palyginti

6) susiję Vel-on intensyvumas(pavyzdys: kapitalo produktyvumas = apimtis / sąnaudos (vieneri metai))

3 tema: vidutinės reikšmės ir kitimo rodikliai

Aritmetinis vidurkis

paprastas :

svertinis :

Harmoninis vidurkis

paprastas :

svertinis : , charakteristikų reikšmių suma pagal grupę

Savybės vidutinės aritmetika:

jei gaminsite kiekvieną X sumažinti arba padidinti tuo pačiu skaičiumi, tada žr.

jei gaminsite kiekvieną X padidėjo arba sumažėjo tuo pačiu skaičiumi;

įgūdis arba padidėti tiek pat kartų, tada plg. padidėja arba sumažėja tiek pat kartų; jei kiekvienas dažnis f

įgūdžių arba padidėti tiek pat kartų, tada plg. vel-na nepasikeis. trečia. vel-na priklausoX nuo var-jūs ir samtelių konstrukcijos , katė. pasižymi akcijomis.

d Platinimo serija turi:

1) 3 centrai ;

2) trečia arimet-kažkas mada

3) – labiausiai paplitusi var-ta; mediana

– var-ta, stovintis paskirstymo eilės viduryje. Pirmiausia suraskite N medianą, kat. yra lygus n/2, jei kaušelio vienetų skaičius n lygus, arba jei kaušelio vienetų skaičius nelyginis.:

1) Pagrindinis ar dar yra variacijų?:

2) variacijos diapazonas trečia tiesinis nuokrypis

(plg. aritmą nuo absoliutaus atskirų reikšmių nuokrypio)

Nesugrupuotiems duomenys:

3) Sugrupuotiems duomenys: trečia standartinis nuokrypis

(har-et vid. absoliutus var-ty nuokrypis nuo vid. vel-ny):

Nesugrupuotiems duomenis:

4) Sugrupuotiems duomenis Sklaida

(har-et vid. absoliutus var-ty nuokrypis nuo vid. vel-ny):

Nesugrupuotiems duomenis:

– vidutinio kvadratinio nuokrypio kvadratas Bendra dispersija: (grupėms)

– (ne grupėms.)

trečia vel-na rezul. prizas yra nuoseklumas - dažnumas (iš viso!) Skirtumas grupės viduje: i

- pasirinkimų skaičius grupėje Skirtumas grupės viduje: i

Skirtumas tarp grupių:

Nukrypimų pridėjimo taisyklė:

5) Neturi matavimo vienetų. Variacijos koeficientas

har-et plg. susiję nukrypimas nuo trečiadienio. vel-ny.

Akimirkų metodas

Dažnai susiduriame su aritmetinio vidurkio skaičiavimu supaprastintu būdu.

Šiuo atveju naudojamos vidutinės vertės savybės. Supaprastintas skaičiavimo metodas vadinamas momentų metodu arba skaičiavimo nuo sąlyginio nulio metodu. Momentų metodas daro prielaidą :

tolesni žingsniai 1) Pasirinkite kilmę (X iš ) – sąlyginis nulis ( A

). Paprastai kuo arčiau paskirstymo vidurio.

2) Rasti variantų nuokrypiai nuo sąlyginio nulio (). 4) Jei šiuose nuokrypiuose yra bendras veiksnys ( k

), tada apskaičiuota

har-et plg. susiję nukrypimas nuo trečiadienio. vel-ny. :

nukrypimai dalijami iš šio koeficiento.

Vidutinis:

Sklaida:

4 tema: Atrankinis stebėjimas

Gen. vidurkis: nuo duoto. tikimybės lygis P(t)

– atrankos klaida vid. vel-ny

, t– patikimumo kriterijus, jis grindžiamas nurodytu lygiu. tikimybė P(t)

Jeigu 1) P(t) = 0,683, tadat=1 ; 2) P(t) = 0,954, tadat=2 ; 3) P(t) = 0,997, tadat=3

– rms atrankos klaida

– teisinga pakartotinai atrankai imtyje.

- nesikartojančiam atrankai

Įrodyta: su duota. tikimybės lygis P(t)

– akcijos atrankos klaida

, – rms. dalinimosi atrankos klaida

– perrinkimui

- nesikartojančiam atrankai

5 tema: Dinaminė serija

Analitikas. kol kas:

1) Absoliutus. padidinti(lygio skirtumas)

(grandinė);

2) (pagrindinis)

(grandinė);

3) Augimo tempas (lygio santykis)

Padidėjimo greitis (grandinė);

4) (pagrindinis)

Absoliuti vertė padidėja 1%. (grandinė);

(grandinė);

1) Vidurkiai: ;

2) trečia dinaminiai lygiai eilė .

trečia analitinis parodė tai pranešėjams. eilė

Skaičiavimo vid. vadovo lygis, priklausomai nuo riedėjimo kelio tipo: A) – už interv. RD su lygiu. laikotarpiais

trečia aritmetas. paprastas b) – už interv. Riedėjimo kelias su nelygiu laikotarpiais

trečia aritmetas. svertinis V) – momentiniams riedėjimo keliams su vienodo atstumo datomis

trečia chronologinis G) – už interv. Riedėjimo kelias su nelygiu laikotarpiais

momentiniams riedėjimo keliams su nevienodu atstumu išdėstytomis datomis

Skaičiavimo vid. vadovo lygis, priklausomai nuo riedėjimo kelio tipo: Skaičiavimo vid. analitė rodyti:

trečia aritmetas. paprastas trečia absoliutus. padidinti

trečia aritmetas. svertinis trečia augimo tempas

trečia didėjimo tempas

Riedėjimo tako uždarymas

Norint atlikti RD uždarymą uždarose eilutėse, randamas laikas (data, laikotarpis), kai jie turi informacijos apie tiriamą charakteristiką tiek ankstesnėmis, tiek naujomis sąlygomis. Skaičiuojamas koeficientas, toliau. skaičiavimai – uždaryti. eilė.

Apdorojimo metu RD yra svarbi. Užduotis yra nustatyti pagrindinius dalykus. reiškinio (tendencijos) raidos tendencijos ir atsitiktinių įvykių išlyginimas. dvejonės. Norėdami išspręsti šią problemą, yra specialūs metodai, kat. vadinami derinimo metodais.

3 pagrindiniai būdas apdoroti laiko eilutes:

a) riedėjimo kelių intervalų padidinimas ir kiekvieno vidurkio apskaičiavimas. padidintas intervalas;

(perėjimas nuo mažiau tęstinių intų prie labiau tęstinių. Vidurkis, skaičiuojamas naudojant padidintus intus, leidžia nustatyti pagrindinės raidos krypties kryptį ir pobūdį (pagreitėjimą ar lėtėjimą). Vidurkis apskaičiuojamas naudojant paprastas aritmetinio vidurkio formules.

b) slankiojo vidurkio metodas;

(vidutinis lygis skaičiuojamas nuo tam tikro skaičiaus, dažniausiai nelyginio, pirmųjų serijos lygių. Tada - nuo vienodo lygių skaičiaus, bet pradedant nuo antrojo, tada - pradedant nuo trečio ir pan. T/o, vidurkis tarsi „slenka“ laiko eilute nuo jos pradžios iki pabaigos, kiekvieną kartą atmesdamas vieną lygį pradžioje ir pridėdamas kitą.

c) analitinis derinimas.

Sezoniškumo indeksai yra faktinio metinio lygio procentinis santykis su pastoviu arba kintamu vidurkiu. Šių rodiklių derinys atspindi sezoninę bangą.

Norėdami nustatyti sezoną. svyravimams dažniausiai naudojami kelių metų duomenys, paskirstyti pagal mėnesius. Kiekvienam mėnesiui skaičiuojamas vidutinis lygis, pavyzdžiui, 3 metams ( ), tada pagal juos apskaičiuojamas visos serijos vidutinis lygis ( ), tada nustatomas kiekvieno mėnesio vidurkių procentinis santykis su bendru vidutiniu eilučių mėnesio lygiu:

kur yra kiekvieno mėnesio vidutinis lygis;

Vidutinis visos serijos mėnesio lygis.

Sezoninei bangai vizualiai pavaizduoti sezoniškumo indeksai pavaizduoti grafikų pavidalu.

Individualūs indeksai:

Bendrieji indeksai:

Ryšys tarp indeksų

Bendrasis gamybos kaštų indeksas

• Aritmetinio vidurkio savybės. Aritmetinio vidurkio apskaičiavimas „momentų“ metodu
• Siekiant sumažinti skaičiavimų sudėtingumą, naudojamos pagrindinės vidutinio aritmo savybės:
• 1. Jei visi vidutinės charakteristikos variantai didinami/sumažinami pastovia reikšme A, tai aritmetinis vidurkis atitinkamai padidės/sumažės.
• 2. Jei visos duotosios charakteristikos parinktys padidinamos/sumažinamos n kartų, tai vidutinis aritmas padidės/sumažins n kartų.

3. Jei visi vidutinės charakteristikos dažniai didinami/sumažinami pastoviu skaičiumi kartų, tai vidutinis aritmas išliks nepakitęs.

18. Harmoninis vidurkis paprastas ir svertinis

Harmoninis vidurkis – naudojamas, kai statistinėje informacijoje nėra duomenų apie atskirų populiacijos variantų svorius, tačiau yra žinomos kintančios charakteristikos verčių sandaugai pagal atitinkamus svorius.

Bendra svertinio harmoninio vidurkio formulė yra tokia:

Pavyzdžiui, buvo įsigytos trys produkto A partijos skirtingomis kainomis (20, 25 ir 40 rublių. Bendra pirmosios partijos kaina buvo 2000 rublių, antros partijos - 5000 rublių, trečios - 6000 rublių). Turime nustatyti vidutinę produkto A vieneto kainą.

Vidutinė kaina nustatoma kaip bendros kainos dalinys, padalytas iš viso perkamų prekių kiekio. Naudojant harmoninį vidurkį, gauname norimą rezultatą:

Tuo atveju, kai bendri reiškinių tūriai, t.y. savybių reikšmių ir jų svorių sandaugai yra lygūs, tada taikomas harmoninis paprastas vidurkis:

x - individualios charakteristikos reikšmės (parinktys),

n – bendras variantų skaičius.

Pavyzdys. Du automobiliai įveikė tą patį kelią: vienas 60 km/h greičiu, o antrasis 80 km/h. Kiekvieno automobilio nuvažiuoto kelio ilgį laikome vienu. Tada vidutinis greitis bus:

Harmoninis vidurkis turi sudėtingesnę struktūrą nei aritmetinis vidurkis. Harmoninis vidurkis naudojamas skaičiavimams, kai kaip svoriai naudojami ne populiacijos vienetai – charakteristikos nešėjai, o šių vienetų sandauga su charakteristikos reikšmėmis (t.y. m = Xf). Vidutinė harmonika turėtų būti naudojama nustatant, pavyzdžiui, vidutines darbo, laiko, medžiagų sąnaudas produkcijos vienetui, vienai daliai dviem (trims, keturioms ir kt.) įmonėms, gamyba užsiimantiems darbuotojams. tos pačios rūšies gaminio, tos pačios dalies, gaminio.