Atsitiktinis dydis, kurio visos tikrosios reikšmės. Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnis

Viena iš svarbiausių pagrindinių tikimybių teorijos sąvokų yra atsitiktinio dydžio sąvoka.

Atsitiktinis dydis – tai dydis, kuris eksperimento rezultatu gali įgyti vienokią ar kitokią reikšmę, o iš anksto nežinia kurią.

Atsitiktinių kintamųjų pavyzdžiai:

1) smūgių skaičius trimis šūviais;

2) gautų skambučių skaičius telefono stotis per dieną;

3) pataikymas su 10 metimų.

Visuose trijuose šiuose pavyzdžiuose atsitiktiniai dydžiai gali įgyti atskiras, izoliuotas reikšmes, kurias galima išvardyti iš anksto.

Taigi, 1 pavyzdyje šios reikšmės yra:

2 pavyzdyje):

3 pavyzdyje)

0; 0,1; 0,2; …; 1,0.

Tokie atsitiktiniai dydžiai, kurie turi tik atskiras reikšmes, kurias galima suskaičiuoti iš anksto, vadinami nenutrūkstamais arba diskrečiais atsitiktiniais dydžiais.

Yra ir kitų tipų atsitiktinių dydžių, pavyzdžiui:

1) smūgio taško abscisė šaudant;

2) paklaida sveriant kūną ant analitinių svarstyklių;

3) orlaivio greitis tuo metu, kai jis pasiekia nurodytą aukštį;

4) atsitiktinai paimto kviečių grūdo svoris.

Galimos tokių atsitiktinių dydžių reikšmės nėra atskirtos viena nuo kitos; jie nuolat užpildo tam tikrą spragą, kuri kartais turi aiškiai apibrėžtas, o dažniau – neaiškias, neaiškias ribas.

Tokie atsitiktiniai dydžiai galimas vertes kurie nuolat užpildo tam tikrą intervalą, vadinami nuolatiniais atsitiktiniais dydžiais.

Atsitiktinio dydžio sąvoka vaidina labai svarbų vaidmenį svarbus vaidmuo tikimybių teorijoje. Jei „klasikinė“ tikimybių teorija pirmiausia veikė su įvykiais, tai šiuolaikinė tikimybių teorija, kur tik įmanoma, teikia pirmenybę atsitiktiniams dydžiams.

Pateiksime tikimybių teorijai būdingų perėjimo nuo įvykių prie atsitiktinių dydžių metodų pavyzdžių.

Atliekamas eksperimentas, dėl kurio koks nors įvykis gali pasirodyti arba ne. Vietoj įvykio galime laikyti atsitiktinį kintamąjį, kuris yra lygus 1, jei įvykis įvyksta, ir lygus 0, jei įvykis neįvyksta. Atsitiktinis kintamasis akivaizdžiai yra nenutrūkstamas; jis turi dvi galimas reikšmes: 0 ir 1. Tai atsitiktinis kintamasis vadinamas būdingu įvykio atsitiktiniu dydžiu. Praktikoje dažnai pasirodo patogiau operuoti su jiems būdingais atsitiktiniais dydžiais, o ne įvykiais. Pavyzdžiui, jei atliekama serija eksperimentų, kurių kiekviename yra įmanomas įvykio įvykis, tai bendras įvykio įvykių skaičius yra lygus būdingų įvykio atsitiktinių dydžių sumai visuose eksperimentuose. Sprendžiant daugelį praktines problemas Naudoti šią techniką yra labai patogu.

Kita vertus, labai dažnai, norint apskaičiuoti įvykio tikimybę, šį įvykį patogu susieti su kokiu nors nuolatiniu atsitiktiniu dydžiu (arba nuolatinių kintamųjų sistema).

Pavyzdžiui, išmatuokite kokio nors objekto O koordinates, kad būtų sukurtas taškas M, vaizduojantis šį objektą vietovės panoramoje (scan). Mus domina, kad paklaida R taško M padėtyje neviršytų nurodytos reikšmės (2.4.1 pav.). Pažymime atsitiktines paklaidas matuojant objekto koordinates. Akivaizdu, kad įvykis yra lygiavertis atsitiktiniam taškui M, kurio koordinatės patenka į spindulio apskritimą, kurio centras yra taške O. Kitaip tariant, kad įvykis įvyktų, atsitiktiniai dydžiai ir turi atitikti nelygybę.

Įvykio tikimybė yra ne kas kita, kaip nelygybės (2.4.1) įvykdymo tikimybė. Šią tikimybę galima nustatyti, jei žinomos atsitiktinių dydžių savybės.

Toks organiškas įvykių ir atsitiktinių dydžių ryšys yra labai būdingas šiuolaikinė teorija tikimybės, kurios, kur tik įmanoma, iš „įvykių schemos“ pereina į „atsitiktinių dydžių schemą“. Pastaroji schema, lyginant su pirmąja, yra daug lankstesnis ir universalesnis aparatas su atsitiktiniais reiškiniais susijusioms problemoms spręsti.

Atsitiktinio dydžio apibrėžimas. Daugelis atsitiktinių įvykių gali būti kiekybiškai įvertinti atsitiktiniais dydžiais.

Atsitiktinis yra dydis, kurio reikšmės priklauso nuo atsitiktinių aplinkybių derinio.

Atsitiktiniai dydžiai yra: pacientų skaičius pas gydytoją, studentų skaičius auditorijoje, gimimų skaičius mieste, gyvenimo trukmė. individualus asmuo, molekulės greitis, oro temperatūra, paklaida matuojant bet kokį kiekį ir tt Jei urnoje esančius rutulius sunumeruosite maždaug taip, kaip jie daromi lošiant loterijoje, tada atsitiktinai išėmus rutulį iš urnos bus rodomas skaičius, kuris yra atsitiktinis kintamasis.

Yra diskretieji ir nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai.

Atsitiktinis kintamasis vadinamas diskrečiu, jei jis turi skaičiuojamą reikšmių rinkinį: raidžių skaičius savavališkame knygos puslapyje, elektrono energija atome, plaukų skaičius ant žmogaus galvos, grūdų skaičius kukurūzų varpose, molekulių skaičius tam tikrame dujų tūryje, ir tt

Nuolatinis atsitiktinis kintamasis tam tikrame intervale įgauna bet kokias reikšmes: kūno temperatūra, grūdų svoris V kviečių varpos, vietos, kur kulka pataikė į taikinį, koordinatė (kulką laikome kaip materialus taškas) ir kt.

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymas. Diskretusis atsitiktinis dydis laikomas duotu, jei nurodytos galimos jo reikšmės ir atitinkamos tikimybės. Pažymime diskrečiąjį atsitiktinį kintamąjį X, jo reikšmės x 1 x 2,…., ir tikimybės P(x 1)= p 1, P (x 2)= 2 p ir tt X kolekcija Ir P vadinamas diskretinio atsitiktinio dydžio skirstiniu(1 lentelė).

1 lentelė

Atsitiktinis dydis yra žaidimo „Sportlo-10“ sporto šakos numeris. Bendras skaičius rūšis yra 49. Nurodykite šio atsitiktinio dydžio pasiskirstymą (3 lentelė).

3 lentelė

Nuo kada l = 1 taip pat įvyksta du kiti sudėtingi įvykiai: (A ir A ir A) ir (A ir A ir A), tada, naudojant tikimybių sudėjimo teoremą (2.4), reikia gauti bendrą tikimybę l = 1, tris kartus pridedant ankstesnę išraišką:

Reikšmė aš = 2 atitinka atvejį, kai įvykis A įvyko dviejuose iš trijų bandymų. Motyvuodami panašius į aukščiau pateiktus argumentus gauname visa tikimybe ad hoc:

At 1 = 3 įvykis A pasirodo visuose trijuose bandymuose. Naudodamiesi tikimybių daugybos teorema, randame

Remiantis daugelio metų stebėjimais, gydytojo iškvietimas į tam tikrus namus yra įvertintas 0,5 tikimybe. Raskite tikimybę, kad per šešias dienas bus iškviesti keturi gydytojai; P(A)= 0,5, n = 6,1 = 4. T Naudokime formulę (2.10):

Skaitmeninės charakteristikos diskrečiųjų atsitiktinių dydžių. Daugeliu atvejų kartu su atsitiktinio dydžio pasiskirstymu arba vietoj jo informaciją apie šiuos dydžius galima pateikti skaitiniais parametrais, vadinamais atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos. Pažvelkime į dažniausiai pasitaikančius iš jų.

Atsitiktinio dydžio matematinė lūkestis (vidutinė vertė) yra visų jo galimų dydžių sandaugų suma
apie šių verčių tikimybes:

Leiskite prie didelis skaičius bandymai n diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X paima vertybes x v x 2,..., x n atitinkamai m 1, m g,..., t p vieną kartą. Vidurkis yra

Jeigu n tada yra puiku santykiniai dažniai t 1 / p, t 2 / p,... sieks tikimybių, ir vidutinė vertė- į matematinius lūkesčius. Štai kodėl matematinis lūkestis dažnai tapatinamas su vidurkiu.

Raskite matematinį diskretinio atsitiktinio kintamojo lūkestį, kurį išduoda skaičius, esantis krašte, kai mesti kauliukai(žr. 2 lentelę).

Mes naudojame formulę (2.11):

Raskite matematinį diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestį, kurį lemia Sportloto cirkuliacija (žr. 3 lentelę). Pagal (2.11) formulę randame

Galimos diskretinio atsitiktinio dydžio reikšmės yra išsklaidytos aplink jo matematinius lūkesčius, kai kurios iš jų viršija M(X), dalis – mažiau M(X). Kaip įvertinti atsitiktinio dydžio sklaidos laipsnį, palyginti su jo vidutine verte? Gali atrodyti, kad norint išspręsti tokią problemą, reikia apskaičiuoti visų atsitiktinių dydžių nuokrypius nuo jo matematinio lūkesčio X – M(X), ir tada suraskite šių nuokrypių matematinį lūkestį (vidutinę vertę): M[X - M(X)]. Atsižvelgdami į įrodymą, pažymime, kad ši reikšmė lygi nuliui, nes atsitiktinių dydžių nuokrypiai nuo matematinio lūkesčio yra ir teigiami, ir neigiamos reikšmės. Todėl patartina atsižvelgti į bet kurį absoliučios vertės nukrypimai M[X - M(X)] arba jų kvadratus M[X - M(X)] 2 . Antrasis variantas yra priimtinesnis, ir taip pasiekiame atsitiktinio dydžio sklaidos sąvoką.

Atsitiktinio dydžio dispersija yra matematinė atsitiktinio dydžio nuokrypio kvadratu nuo jo matematinio lūkesčio tikėtis:

Tai reiškia, kad dispersija yra lygi skirtumui tarp matematinio atsitiktinio dydžio kvadrato lūkesčio X ir jo matematinio lūkesčio kvadratas.

Raskite atsitiktinio dydžio dispersiją, kurią suteikia skaičius ant briaunos metant kauliuką (žr. 2 lentelę).

Šio skirstinio matematinė lūkestis yra 3,5. Užrašykime atsitiktinių dydžių nuokrypio nuo matematinio lūkesčio kvadratų reikšmes: (1 - 3,5) 2 = 6,25; (2 - 3,5) 2 = 2,25; (3 - 3,5) 2 = 0,25; (4 - 3,5) 2 = 0,25; (5 - 3,5) 2 = 2,25; (6 - 3,5) 2 = 6,25. Naudodami (2.12) formulę, atsižvelgdami į (2.11), randame dispersiją:

Kaip matyti iš (2.12), dispersija turi atsitiktinio dydžio matmenų kvadrato matmenį. Norint įvertinti atstumą nuo atsitiktinio dydžio tos pačios dimensijos vienetais, įvedama sąvoka standartinis nuokrypis, kuri suprantama kaip kvadratinė šaknis iš dispersijos:

Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymas ir charakteristikos. Ištisinio atsitiktinio dydžio negalima nurodyti pagal tą patį pasiskirstymo dėsnį kaip ir diskrečiųjų. Tokiu atveju elkitės taip.

Tegul dP yra tolydžio atsitiktinio dydžio tikimybė X paima vertes tarp X Ir X+ dx. Akivaizdu, kad Irm yra ilgesnis intervalas dx, tuo didesnė tikimybė dP: dP ~ dx. Be to, tikimybė taip pat turi priklausyti nuo paties atsitiktinio kiekio, šalia kurio yra intervalas

Kur f(x)- tikimybių tankis, arba tikimybių pasiskirstymo funkcija. Tai parodo, kaip keičiasi su intervalu susijusi tikimybė dx atsitiktinis kintamasis, priklausomai nuo paties šio kintamojo reikšmės:

Integruodami išraišką (2.15) atitinkamose ribose, randame tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis įgaus bet kokią reikšmę intervale (ab):

Nepertraukiamo atsitiktinio dydžio normalizavimo sąlyga turi tokią formą

Kaip matyti iš (2.19), ši funkcija yra lygi tikimybei, kad atsitiktinis kintamasis įgis reikšmes, mažesnes nei X:

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui matematinė tikėtis ir dispersija atitinkamai užrašomos formoje

Atsitiktinis dydis – tai dydis, kurio reikšmė gaunama perskaičiavus ar išmatavus ir negali būti vienareikšmiškai nustatoma pagal jo atsiradimo sąlygas.

Tai reiškia, kad atsitiktinis dydis reiškia skaitinius atsitiktinius įvykius.

Atsitiktiniai kintamieji skirstomi į dvi klases:

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai – šių kintamųjų reikšmės natūraliuosius skaičius, su kuriais dažniai ir tikimybės yra susieti kaip atskiri įvykiai.

Nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai – gali paimti bet kokią reikšmę iš tam tikro intervalo (intervalo). Atsižvelgiant į tai, kad intervale nuo X1 iki X2 skaitinės reikšmės begalinis rinkinys, tada tikimybė, kad atsitiktinis dydis ХiЄ(Х1,Х2) įgis tam tikrą reikšmę, yra be galo maža. Atsižvelgiant į tai, kad neįmanoma išvardyti visų nuolatinio atsitiktinio dydžio reikšmių, praktiškai naudojama vidutinė intervalo reikšmė (X1,X2).

Diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams funkcija y=P(x) vadinama atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija ir turi grafiką – ji vadinama skirstinio daugiakampiu.

Išskiriamos šios skaitinių charakteristikų grupės: padėties charakteristikos (matematinis lūkestis, moda, mediana, kvantilis ir kt.), sklaida (dispersija, standartinis nuokrypis ir kt.), pasiskirstymo tankio formos charakteristikos (asimetrijos rodiklis, kurtozė ir kt.).

Matematinis lūkestis (vidutinė skirstinio reikšmė) yra realusis skaičius, nustatomas priklausomai nuo SV X tipo pagal formulę:

Matematinis lūkestis egzistuoja, jei eilutė (atitinkamai integralas) dešinėje formulės pusėje absoliučiai suartėja. Jei mX = 0, tai CB X vadinamas centruotu (žymimas ).

Matematinės lūkesčių savybės:

kur C yra konstanta;

M = C × M[X];

M = M[X] + M[Y],

bet kuriam CB X ir Y;

M = M[X] × M[Y] + KXY,

kur KXY = M – SV X ir Y kovariacija.

SV X skirstinio pradinis k-osios eilės momentas (k = 0, 1, 2, ...) yra realusis skaičius, nustatomas pagal formulę:

nk = M =

SV X pasiskirstymo k-osios eilės centrinis momentas yra skaičius, nustatytas pagal formulę:

mk = M[(X-mX)k] =

Visų pirma iš momentų apibrėžimų matyti, kad: n0 = m0 = 1, n1 = mX, m2 = DX = sX2.

SVNT režimas yra tikrasis skaičius Mo(X) = x*, apibrėžtas kaip didžiausias PR f(x) taškas. Režimas gali turėti vieną reikšmę (vienmodinis pasiskirstymas) arba turėti kelias reikšmes (multimodalinis pasiskirstymas).

SVNT mediana yra realusis skaičius Me(X) = x0, kuris tenkina sąlygą: P(X< x0} = P{X ³ x0} или F(x0) = 0,5.

P lygio kvantilis yra realusis skaičius tp, kuris tenkina lygtį: F(tp) = p. Visų pirma, iš medianos apibrėžimo matyti, kad x0 = t0,5.

CB X dispersija yra neneigiamas skaičius D[X] = DХ, apibrėžtas pagal formulę:

DX = M[(X-mX)2] = M - mX2 =

Dispersija egzistuoja, jei eilutė (atitinkamai integralas) dešinėje lygybės pusėje suartėja. Dispersijos savybės:

D[C] = 0, kur C yra konstanta;

D = C2 × D[X];

dispersija akivaizdžiai nesikeičia priklausomai nuo SV X poslinkio;

D = D[X] + D[Y] + 2 × KXY,

kur KXY = M – SV X ir Y kovariacija;

Neneigiamas skaičius sХ = vadinamas standartinis nuokrypis SV X. Jis turi matmenį SV X ir apibrėžia tam tikrą standartinį vidutinės kvadratinės dispersijos intervalą, simetrišką matematinio lūkesčio atžvilgiu. (reikšmė sХ kartais vadinama standartinis nuokrypis). SV X vadinamas standartizuotu, jei mX = 0 ir sX = 1. Jei reikšmė X = const (t.y. X nėra atsitiktinė), tai D[X] = 0.

PR asimetrijos rodiklis yra pasiskirstymo asimetrijos („kreipumo“) koeficientas: A = m3/s3X. PR kurtozės rodiklis yra pasiskirstymo kurtozės („smailumo“) koeficientas: E = (m4/s4X)-3. Ypač dėl normalusis pasiskirstymas E = 0.

Tvarkingas n atsitiktinių dydžių (RV) X1, X2, ..., Xn rinkinys, kartu nagrinėjamas šią patirtį, vadinamas n-mačiu SV arba atsitiktiniu vektoriumi ir žymimas = (X1, X2, ..., Xn).

N-mačio atsitiktinio vektoriaus pasiskirstymo funkcija (DF) yra n realių kintamųjų x1, x2, ..., xn funkcija, apibrėžiama kaip n nelygybių bendro išsipildymo tikimybė: F(x1, x2, ... xn) = P( X1< x1, X2 < x2,..., Xn < xn}. В частности, для двумерного случайного вектора (X, Y) по определению ФР имеем: F(x, y) = P{X < x, Y < y}. ФР F (х, у) обладает šias savybes:

1 0 £ F(x, y) £ 1;

2 F(x, y) yra nemažėjanti jo argumentų funkcija;

4.

4 savybė paprastai vadinama nuoseklumo sąlyga. Tai reiškia, kad atskirų atsitiktinio vektoriaus komponentų PDF galima rasti perėjus į ribą iš funkcijos bendras paskirstymasšie komponentai. Paspauskite Tikimybę atsitiktinis taškas plokštumoje (X, Y) į stačiakampį, kurio kraštinės lygiagrečios koordinačių ašims, galima apskaičiuoti naudojant DF naudojant formulę:

P(x1 £ X< x2, y1 £ Y < y2} = F(x1, y1)+ F(x2, y2)- F(x1, y2)- F(x2, y1).

Dvimatis atsitiktinis vektorius (X,Y) vadinamas diskretinio tipo atsitiktiniu vektoriumi (DRV), jei jo galimų reikšmių aibė G(x, y) yra daugiausia skaičiuojama. Jo pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti dvimatėje lentelėje iš galimų komponentų porų verčių sąrašo ((хi, yi) | (хi, yi) О G(x, y)) ir atitinkanti kiekvieną tokią porą tikimybių pij = P(X = xi, Y = yj ), tenkinantis sąlygą

Dvimatis atsitiktinis vektorius (X, Y) vadinamas tolydžio tipo atsitiktiniu vektoriumi (CVNT), jei yra tokia neneigiama funkcija f(x, y), vadinama atsitiktinio vektoriaus tikimybių pasiskirstymo tankiu (PD). kad:

f(x, y) = , tada F(x, y) = .

PR tikimybės turi šias savybes:

f(x, y)³ 0, (x, y) О R2;

- normalizavimo būsena.

Atsitiktinio vektoriaus atskirų komponentų PR tikimybės išreiškiamos integralais sąnario tankis:

f(x) = f(y) = .

Tikimybę, kad atsitiktinis taškas pateks į savavališką kvadratinį plotą S plokštumoje, nustatoma pagal formulę

P((X, Y) О S)= .

Atsitiktinės komponentės X sąlyginis tikimybės tankio skirstinys, su sąlyga, kad komponentas Y turi tam tikrą reikšmę y, yra tikrojo kintamojo x О R funkcija f(x/y): f(x/y) = f(x) , y)/f(y) . Apibrėžiama panašiai sąlyginis tankis atsitiktinės komponentės Y tikimybių skirstinys, su sąlyga, kad komponentas X įgavo tam tikrą reikšmę x: f(y/x) = f(x, y)/f(x). SV X1, X2, ..., Xn vadinami nepriklausomais (kartu), jei įvykiams (Xi О Bi) i = 1, 2, ..., n, kur B1, B2, ... Bn yra poaibiai skaitinė tiesė, lygybė galioja: P(X1 Î B1, X2 Î B2, ... Xn Î Bn) = P(X1 Î B1) × P(X2 Î B2) × ... × P (Xn Î Bn) .

Teorema: SV X1, X2, .... Xn yra nepriklausomi tada ir tik tada, kai bet kuriame taške x = (x1, x2, ..., xn) galioja lygybė: F(x1, x2, ..., xn ) = F(x1) × F (x2) × ... × F (xn) (arba f(x1, x2, ..., xn) = f(x1) × f(x2) × ... × f ( xn)).

Dvimačiam atsitiktiniam vektoriui (X, Y) pateikiamos šios skaitinės charakteristikos.

Atsitiktinio vektoriaus (X, Y) pradinis eilės r + s momentas yra realusis skaičius nr,s, apibrėžtas formule:

nr,s = M =

Pradinis momentas nr,s egzistuoja, jei integralas (atitinkamai serija) dešinėje lygybės pusėje absoliučiai suartėja. Visų pirma, nr,0 = M - atitinkamas pradines akimirkas X komponentai. Vektorius su neatsitiktinėmis koordinatėmis (mX, mY) = (n1,0, n0,1) vadinamas atsitiktinio vektoriaus (X, Y) arba dispersijos centro matematiniu lūkesčiu.

Atsitiktinio vektoriaus (X, Y) centrinis momentas r + s yra realusis skaičius mr,s, apibrėžtas formule

mr,s = M[(X-mX)r (Y-mY)s] =

Centrinis momentas mr,s egzistuoja, jei integralas (atitinkamai serija) dešinėje lygybės pusėje absoliučiai suartėja. Vektorius su neatsitiktinėmis koordinatėmis (DX, DY) = (m2,0, m0,2) vadinamas atsitiktinio vektoriaus dispersija.

Centrinis momentas m1,1 vadinamas koreliacijos momentas(pagal kovariaciją): KXY = M = M[(X-mX) × (Y-mY)] = M-mX mY.

Atsitiktinio vektoriaus dviejų atsitiktinių komponentų X ir Y koreliacijos koeficientas yra normalizuota kovariacija

rXY = KXY/(sXsY).

Kovariacijos (ir koreliacijos koeficiento) savybės.

Atsitiktinio dydžio samprata

Atsitiktinis yra dydis, kuris dėl testavimo įgauna vienokią ar kitokią (bet tik vieną) galimą reikšmę, iš anksto nežinomą, kintančią nuo testo iki testo ir priklausomai nuo atsitiktinių aplinkybių. Skirtingai nei atsitiktinis įvykis, kuris yra kokybines savybes atsitiktinis rezultatas testą, atsitiktinis dydis kiekybiškai apibūdina testo rezultatą. Atsitiktinio dydžio pavyzdžiai yra ruošinio dydis, bet kurio gaminio ar aplinkos parametro matavimo rezultato paklaida. Tarp praktikoje sutinkamų atsitiktinių dydžių galima išskirti du pagrindinius tipus: diskretuosius ir tęstinius.

Diskretus yra atsitiktinis kintamasis, kuris turi baigtinę arba begalinę skaičiuojamą reikšmių rinkinį. Pavyzdžiui: pataikymas trimis šūviais; nekokybiškų gaminių skaičius n vienetų partijoje; per dieną telefono stotyje gautų skambučių skaičius; įrenginio elementų gedimų skaičius per tam tikrą laikotarpį, kai tikrinamas jo patikimumas; šūvių skaičius iki pirmojo pataikymo į taikinį ir kt.

Nuolatinis yra atsitiktinis kintamasis, kuris gali gauti bet kokią reikšmę iš kokio nors baigtinio ar begalinio intervalo. Akivaizdu, kad nuolatinio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius yra begalinis. Pavyzdžiui: klaida matuojant radaro atstumą; mikroschemos veikimo laikas; dalių gamybos klaida; druskos koncentracija jūros vanduo ir tt

Atsitiktiniai dydžiai paprastai žymimi raidėmis X,Y ir t.t., o galimos jų reikšmės – x,y ir t.t. Atsitiktiniam dydžiui apibrėžti neužtenka išvardyti visas galimas jo reikšmes. Taip pat būtina žinoti, kaip dažnai tam tikros jo reikšmės gali atsirasti atlikus bandymus tomis pačiomis sąlygomis, t.y., reikia nustatyti jų atsiradimo tikimybę. Visų galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir jas atitinkančių tikimybių rinkinys sudaro atsitiktinio dydžio pasiskirstymą.

Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniai

Paskirstymo dėsnis Atsitiktinis dydis yra galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir jų atitinkamų tikimybių atitikimas. Sakoma, kad atsitiktinis kintamasis paklūsta šis įstatymas paskirstymus. Vadinami du atsitiktiniai dydžiai nepriklausomas, jei vieno iš jų pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo to, kokias galimas vertes įgavo kitas dydis. Kitu atveju vadinami atsitiktiniais dydžiais priklausomas. Vadinami keli atsitiktiniai dydžiai tarpusavyje nepriklausomi, jei bet kurio jų skaičiaus pasiskirstymo dėsniai nepriklauso nuo to, kokias galimas vertes turėjo kiti dydžiai.

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelės, pasiskirstymo funkcijos arba pasiskirstymo tankio pavidalu. Lentelė, kurioje yra galimos atsitiktinio dydžio reikšmės ir atitinkamos tikimybės paprasčiausia forma nurodantis atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį.

\begin(masyvas)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_(n-1)&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_(n-1) )&p_n\\\hline\end(masyvas)

Pasiskirstymo dėsnio lentelės specifikacija gali būti naudojama tik diskrečiam atsitiktiniam dydžiui su baigtinis skaičius galimas vertes. Atsitiktinių dydžių dėsnio patikslinimo lentelės forma dar vadinama skirstinio seka.

Aiškumo dėlei platinimo serija pateikiama grafiškai. At grafinis vaizdas V stačiakampė sistema koordinates, visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės brėžiamos išilgai abscisių ašies, o atitinkamos tikimybės – išilgai ordinačių ašies. Vadinami taškai (x_i,p_i), sujungti tiesių atkarpomis paskirstymo daugiakampis(5 pav.). Reikėtų prisiminti, kad taškų (x_i,p_i) sujungimas atliekamas tik aiškumo sumetimais, nes intervaluose tarp x_1 ir x_2, x_2 ir x_3 ir tt nėra reikšmių, kurias atsitiktinis dydis X gali gauti , todėl jo atsiradimo tikimybė šiuose intervaluose yra lygi nuliui.

Pasiskirstymo daugiakampis, kaip ir skirstinio serija, yra viena iš diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnio patikslinimo formų. Jie gali turėti skirtinga forma tačiau kiekvienas turi vieną bendra nuosavybė: pasiskirstymo daugiakampio viršūnių ordinačių suma, kuri yra visų galimų atsitiktinio dydžio dydžių tikimybių suma, visada yra lygi vienetui. Ši savybė išplaukia iš to, kad susidaro visos galimos atsitiktinio dydžio X reikšmės pilna grupė nesuderinami įvykiai, tikimybių suma lygi vienetui.

Tikimybių skirstinio funkcija ir jos savybės

Paskirstymo funkcija yra labiausiai bendra forma nustatantis platinimo įstatymą. Jis naudojamas tiek diskretiesiems, tiek nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams nurodyti. Paprastai jis žymimas F(x) . Paskirstymo funkcija nustato tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X įgis reikšmes, mažesnes už fiksuotą reikšmę realus skaičius x , t.y. F(x)=P\(X kumuliacinio pasiskirstymo funkcija.

Geometrinis skirstymo funkcijos aiškinimas yra labai paprastas. Jeigu atsitiktinis dydis laikomas atsitiktiniu Ox ašies tašku X (6 pav.), kuris bandymo rezultate gali užimti vieną ar kitą ašies padėtį, tai pasiskirstymo funkcija F(x) yra tikimybė, kad atsitiktinis taškas X dėl bandymo nukris į kairiuosius taškus x.

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui X, kuris gali turėti reikšmes, pasiskirstymo funkcija turi formą

F(x)=\sum\limits_(x_i
kur nelygybė x_i

Ištisinis atsitiktinis dydis turi ištisinio skirstinio funkciją, šios funkcijos grafikas turi lygiosios kreivės formą (8 pav.).

Panagrinėkime bendrąsias paskirstymo funkcijų savybes.

Savybė 1. Paskirstymo funkcija yra neneigiama, funkcija tarp nulio ir vieneto:

0\leqslant(F(x))\leqslant1

Šios savybės pagrįstumas išplaukia iš to, kad pasiskirstymo funkcija F(x) apibrėžiama kaip atsitiktinio įvykio tikimybė, susidedanti iš to, kad X

Savybė 2. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą [\alpha;\beta), yra lygi skirtumui tarp skirstinio funkcijos reikšmių šio intervalo galuose, t.y.

P\(\alpha\leqslant(X)<\beta\}=F(\beta)-F(\alpha)

Iš to išplaukia, kad bet kurios nuolatinio atsitiktinio dydžio individualios reikšmės tikimybė yra lygi nuliui.

Savybė 3. Atsitiktinio dydžio skirstinio funkcija yra nemažėjanti funkcija, t.y. F(\beta)\geqslant(F(\alpha)).

Savybė 4. Esant minus begalybei pasiskirstymo funkcija lygi nuliui, o pliusinėje begalybėje lygi vienetui, t.y. \lim_(x\to-\infty)F(x)=0 Ir \lim_(x\to+\infty)F(x)=1.

Pavyzdys 1. Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija pateikiama išraiška

F(x)=\begin(cases)0,&x\leqslant1\\a(x-1)^2,&1 0\end(atvejai).

Raskite koeficientą a ir nubrėžkite F(x) . Nustatykite tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X atlikus eksperimentą įgis intervalo reikšmę.

Sprendimas. Kadangi nuolatinio atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija yra tolydi, tai esant x=3 gauname a(3-1)^2=1. Taigi a=\frac(1)(4) . Funkcijos F(x) grafikas parodytas pav. 9.

Remdamiesi antrąja paskirstymo funkcijos savybe, turime

P\(1\leqslant(X)<2\}=F(2)-F(1)=\frac{1}{4}.

Tikimybių pasiskirstymo tankis ir jo savybės

Ištisinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija yra jo tikimybinė charakteristika. Tačiau jis turi trūkumą, kad iš jo sunku spręsti apie atsitiktinio dydžio pasiskirstymą mažoje vieno ar kito skaitinės ašies taško kaimynystėje. Aiškesnę idėją apie nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo pobūdį suteikia funkcija, vadinama tikimybės pasiskirstymo tankiu arba atsitiktinio dydžio diferencinio pasiskirstymo funkcija.

Pasiskirstymo tankis f(x) lygus skirstinio funkcijos F(x) išvestinei, t.y.

F(x)=F"(x).

Pasiskirstymo tankio f(x) reikšmė yra ta, kad jis parodo, kaip dažnai atsitiktinis dydis X atsiranda kokioje nors taško x kaimynystėje kartojant eksperimentus. Kreivė, vaizduojanti atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankį f(x), vadinama pasiskirstymo kreivė.

Pasvarstykime pasiskirstymo tankio savybės.

Savybė 1. Pasiskirstymo tankis yra neneigiamas, t.y.

F(x)\geqslant0.

Savybė 2. Atsitiktinio dydžio skirstinio funkcija lygi tankio integralui intervale nuo -\infty iki x, t.y.

F(x)=\int\limits_(-\infty)^(x)f(x)\,dx.

Savybė 3. Tikimybė, kad ištisinis atsitiktinis dydis X pateks į atkarpą (\alpha;\beta), lygi šios atkarpos perimtam pasiskirstymo tankio integralui, t.y.

P\(\alpha\leqslant(X)\leqslant\beta\)=\int\limits_(\alpha)^(\beta)f(x)\,dx.

Savybė 4. Integralas virš begalinių pasiskirstymo tankio ribų yra lygus vienybei:

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=1.

2 pavyzdys. Atsitiktiniam kintamajam X taikomas tankio pasiskirstymo dėsnis

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\a\sin{x},&0\pi\end(atvejai)

Nustatykite koeficientą a; sudaryti pasiskirstymo tankio grafiką; rasti tikimybę atsitiktiniam dydžiui patekti į sritį nuo 0 iki \frac(\pi)(2), nustatyti skirstinio funkciją ir sudaryti jos grafiką.

\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(\pi)\sin(x)\,dx=\Bigl.(- a\cos(x))\Bigl|_(0)^(\pi)=2a.

Atsižvelgdami į pasiskirstymo tankio 4 savybę, randame a=\frac(1)(2) . Todėl pasiskirstymo tankis gali būti išreikštas taip:

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}\sin{x},&0\pi\end(atvejai).

Pasiskirstymo tankio grafikas pav. 10. Pagal 3 savybę mes turime

P\!\left\(0

Norėdami nustatyti paskirstymo funkciją, naudojame 2 savybę:

F(x)=\frac(1)(2)\int\limits_(0)^(x)\sin(x)\,dx=\Bigl.(\-\frac(1)(2)\cos( x))\Bigl|_(0)^(x)=\frac(1)(2)-\frac(1)(2)\cos(x).

Taip mes turime

F(x)=\begin(cases)0,&x<0\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos{x},&0\pi\end(atvejai).

Pasiskirstymo funkcijos grafikas parodytas fig. 11

Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos

Pasiskirstymo dėsnis visiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį tikimybiniu požiūriu. Tačiau sprendžiant daugybę praktinių problemų, nereikia žinoti visų galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir atitinkamų tikimybių, bet patogiau naudoti kai kuriuos kiekybinius rodiklius. Tokie rodikliai vadinami skaitiniais atsitiktinio dydžio charakteristikos. Pagrindiniai yra matematinis lūkestis, sklaida, įvairios eilės momentai, režimas ir mediana.

Matematinis lūkestis kartais vadinamas vidutine atsitiktinio dydžio verte. Apsvarstykite diskrečiąjį atsitiktinį kintamąjį X, paimtą reikšmes x_1,x_2,\ldots,x_n atitinkamai su tikimybėmis p_1,p_2,\ldots,p_n Nustatykime atsitiktinio dydžio reikšmių aritmetinį vidurkį, įvertintą pagal jų atsiradimo tikimybes. Taigi apskaičiuojame atsitiktinio dydžio vidutinę reikšmę arba jo matematinę lūkesčius M(X) :

M(X)=\frac(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)(p_1+p_2+\cdots+p_n)=\frac(\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i)(\sum\limits_( i=1)^(n)p_i).

Atsižvelgiant į tai \sum\limits_(i=1)^(n)p_i=1 gauname

M(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)x_ip_i).~~~~~~~(4.1)

Taigi, matematinis lūkestis Diskretusis atsitiktinis dydis yra visų jo galimų reikšmių ir atitinkamų tikimybių sandaugų suma.

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui matematinis lūkestis

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)xf(x)\,dx.

Ištisinio atsitiktinio dydžio tikėjimasis X, kurio galimos reikšmės priklauso segmentui,

M(X)=\int\limits_(a)^(b)xf(x)\,dx.~~~~~~~(4.2)

Naudojant tikimybių skirstinio funkciją F(x), atsitiktinio dydžio matematinį lūkestį galima išreikšti taip:

M(X)=\int\limits_(-\infty)^(\infty)x\,d(F(x)).

Matematinės lūkesčių savybės

Savybė 1. Dviejų atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Savybė 2. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:

M(XY)=M(X)M(Y).

Savybė 3. Matematinis pastovios reikšmės lūkestis yra lygus pačiai konstantai:

M(c)=c.

Savybė 4. Atsitiktinio dydžio pastovųjį daugiklį galima paimti iš matematinio lūkesčio ženklo:

M(cX)=cM(X).

Savybė 5. Atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo matematinio lūkesčio matematinis lūkestis yra lygus nuliui:

M(X-M(X))=0.

3 pavyzdys. Raskite sugedusių gaminių skaičiaus matematinį lūkestį penkių gaminių imtyje, jei atsitiktinis dydis X (produktų su trūkumais skaičius) pateikiamas pasiskirstymo eilute.

\begin(masyvas)(|c|c|c|c|c|c|c|)\hline(X)&0&1&2&3&4&5\\\hline(P)&0,\!2373&0,\!3955&0,\!2637&0,\ !0879&0,\!0146&0,\!0010\\\hline\end(masyvas)

Sprendimas. Naudodami (4.1) formulę randame

M(X)=0\cdot0,\!2373+1\cdot0,\!3955+2\cdot0,\!2637+3\cdot0,\!0879+4\cdot0,\!0146+5\cdot0,\ !0010 =1,\!25.

Diskretaus atsitiktinio dydžio M_0 režimas vadinama labiausiai tikėtina jo vertė.

Nuolatinio atsitiktinio dydžio režimas M_0 vadinama jo reikšmė, kuri atitinka didžiausią pasiskirstymo tankio reikšmę. Geometriškai režimas interpretuojamas kaip globalinio maksimalaus pasiskirstymo kreivės taško abscisė (12 pav.).

Atsitiktinio dydžio mediana M_e jo vertė vadinama, kuriai lygybė yra teisinga

P\(X M_e\).

Geometriniu požiūriu mediana yra taško, kuriame figūros plotas, apribotas tikimybių pasiskirstymo kreivės ir abscisių ašies, abscisė yra padalinta per pusę (12 pav.). Kadangi visas plotas, kurį riboja pasiskirstymo kreivė ir x ašis, yra lygus vienetui, pasiskirstymo funkcija taške, atitinkančiame medianą, lygi 0,5, t.y.

F(M_e)=P\(X

Naudojant dispersiją ir standartinį nuokrypį, galima spręsti apie atsitiktinio dydžio sklaidą pagal matematinį lūkestį. Kaip atsitiktinio dydžio sklaidos matas naudojamas atsitiktinio dydžio kvadratinio nuokrypio nuo jo matematinio lūkesčio matematinis lūkestis, kuris vadinamas atsitiktinio dydžio dispersija X ir žymi D[X]:

D[X]=M((X-M(X))^2).

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui dispersija yra lygi atsitiktinio dydžio reikšmių nuokrypių nuo jo matematinių lūkesčių kvadratų sandaugų ir atitinkamų tikimybių sumai:

D[X]=\suma\ribos_(i=1)^(n)(x_i-M(X))^2p_i.

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui, kurio pasiskirstymo dėsnį nurodo tikimybių pasiskirstymo tankis f(x), dispersija

D[X]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(x-M(X))^2f(x)\,dx.

Dispersijos matmuo yra lygus atsitiktinio dydžio matmenų kvadratui, todėl negali būti interpretuojamas geometriškai. Atsitiktinio dydžio standartinis nuokrypis, kuris apskaičiuojamas pagal formulę, šių trūkumų neturi

\sigma=\sqrt(D[X]).

Atsitiktinių dydžių sklaidos savybės

Savybė 1. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija yra lygi šių kintamųjų dispersijų sumai:

D=D[X]+D[Y].

Savybė 2. Atsitiktinio dydžio dispersija yra lygi skirtumui tarp atsitiktinio dydžio X kvadrato matematinio lūkesčio ir jo matematinio lūkesčio kvadrato:

D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~~(4,3).

3 savybė. Pastovios reikšmės dispersija lygi nuliui:

D[c]=0.

Savybė 4. Atsitiktinio dydžio pastovųjį daugiklį galima išimti iš dispersijos ženklo, pirmiausia jį padalijus kvadratu:

D=c^2D[X].

Savybė 5. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių X ir Y sandaugos dispersija nustatoma pagal formulę

D=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].

4 pavyzdys. Apskaičiuokite nekokybiškų gaminių skaičiaus dispersiją 3 pavyzdžio paskirstymui.

Sprendimas. Pagal dispersijos apibrėžimą

Atsitiktinio dydžio pagrindinių skaitmeninių charakteristikų apibendrinimas yra atsitiktinio dydžio momentų samprata.

Pradinis q-osios eilės momentas atsitiktinis kintamasis yra matematinė reikšmės X^q tikėtis:

Pirmosios eilės pradinis momentas reiškia matematinį lūkestį, o centrinis antrosios eilės momentas – atsitiktinio dydžio dispersiją.

Trečiosios eilės normalizuotas centrinis momentas apibūdina skirstinio iškrypimą arba asimetriją ( asimetrijos koeficientas):

A_s=\frac(\mu_(()_3))(\sigma^3).

Normalizuotas ketvirtos eilės centrinis momentas yra pasiskirstymo smailumo ar plokštumo charakteristika ( perteklius):

E=\frac(\mu_(()_4))(\sigma^4)-3.

5 pavyzdys. Atsitiktinis kintamasis X nurodomas tikimybių pasiskirstymo tankiu

F(x)=\begin(cases)0,&x<0;\\ax^2,&02.\end(atvejai).

Raskite koeficientą a, matematinį lūkestį, sklaidą, pasvirumą ir kurtozę.

Sprendimas. Pasiskirstymo kreivės ribojamas plotas yra skaitiniu būdu lygus

\int\limits_(0)^(2)f(x)\,dx=a\int\limits_(0)^(2)x^2\,dx=\left.(a\,\frac(x^ 3)(3))\right|_(0)^(2)=\frac(8)(3)\,a.

Atsižvelgiant į tai, kad ši sritis turėtų būti lygi vienetui, randame a=\frac(3)(8) . Naudodami (4.2) formulę randame matematinį lūkestį:

M(X)=\int\limits_(0)^(2)xf(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^3\,dx= \left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^4)(4))\right|_(0)^(2)=1,\!5.

Dispersiją nustatykime pagal (4.3) formulę. Norėdami tai padaryti, pirmiausia randame matematinį atsitiktinio dydžio kvadrato lūkestį:

M(X^2)=\int\limits_(0)^(2)x^2f(x)\,dx=\frac(3)(8)\int\limits_(0)^(2)x^4 \,dx=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^5)(5))\right|_(0)^(2)=2,\!4.

Taigi,

\begin(lygiuotas)D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,\!4-(1,\!5)^2=0,\!15;\ \ \sigma(X)&=\sqrt(D(X))=\sqrt(0,\!15)\approx0,\!3873.\end(sulygiuotas)

Naudodami pradinius momentus apskaičiuojame trečios ir ketvirtos eilės centrinius momentus:

\begin(lygiuotas)\nu_1&=M(X)=1,\!5;\quad\nu_2=M(X^2)=2,\!4.\\ \nu_3&=M(X^3)=\ int\limits_0^2(x^3f(x)\,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^5\,dx)=\left.(\frac(3)( 8)\cdot\frac(x^6)(6))\right|_0^2=4;\\ \nu_4&=M(X^4)=\int\limits_0^2(x^4f(x)\ ,dx)=\frac(3)(8)\int\limits_0^2(x^6\,dx)=\left.(\frac(3)(8)\cdot\frac(x^7)(7 ))\right|_0^2\approx6,\!8571;\\ \mu_3&=\nu_3-3\nu_1\nu_2+2\nu_1^3=4-3\cdot1,\!5\cdot2,\!4 +2\cdot(1,\!5)^3=-0,\!05.\\ \mu_4&=\nu_4-4\nu_1\nu_3+6\nu_1^2\nu_2-3\nu_1^4=\ \&=6,\!8571-4\cdot1,\!5\cdot4+6\cdot(1,\!5)^2\cdot2,\!4-3\cdot(1,\!5)^4 =0,\!0696.\\ A_s&=\frac(\mu_3)(\sigma^3)=-\frac(0,\!05)((0,\!3873)^3)=-0,\ !86.\\ E&=\frac(\mu_4)(\sigma^4)-3=\frac(0,\!0696)((0,\!3873)^4)-3=-0,\! 093.\pabaiga (sulygiuota)

N nepriklausomų atsitiktinių dydžių aritmetinio vidurkio skaitinės charakteristikos

Leiskite x_1,x_2,\ldots,x_n- atsitiktinio dydžio X reikšmės, gautos atliekant n nepriklausomų testų. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis yra M(X) , o jo dispersija D[X] . Šios reikšmės gali būti laikomos nepriklausomais atsitiktiniais dydžiais X_1,X_2,\ltaškai,X_n su tais pačiais matematiniais lūkesčiais ir dispersijomis:

M(X_i)=M(X); \quad D=D[X],~~i=1,2,\ldots,n.

Šių atsitiktinių dydžių aritmetinis vidurkis

\overline(X)=\sum\limits_(i=1)^(n)\frac(X_i)(n).

Naudodamiesi matematinio lūkesčio ir atsitiktinio dydžio sklaidos savybėmis, galime parašyti:

\begin(lygiuotas)M(\overline(X))&=M\!\left(\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right)=\frac( 1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\\ D[\overline(X)]&= D\!\left[\frac(1)(n)\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\frac(1)(n^2)\sum\limits_(i=1) )^(n)D=\frac(D[X])(n).~~~~~~~(4.5)\pabaiga (sulygiuota)

Jeigu klasikinis tikimybių teorija daugiausia tyrė įvykius ir jų atsiradimo (įvykimo) tikimybę, tada modernus tikimybių teorija tiria atsitiktinius reiškinius ir jų modelius, naudodama atsitiktinius dydžius. Taigi atsitiktinio dydžio sąvoka yra esminė tikimybių teorijoje. Dar anksčiau buvo rengiami renginiai, susidedantys iš vieno ar kito numerio pasirodymo. Pavyzdžiui, metant kauliuką, gali pasirodyti skaičiai 1, 2, 3, 4, 5, 6. Neįmanoma iš anksto nustatyti rodomų taškų skaičiaus, nes tai priklauso nuo daugelio atsitiktinių priežasčių, kurių negalima visiškai paimti atsižvelgti. Šia prasme taškų skaičius yra atsitiktinė reikšmė, o skaičiai 1, 2, 3, 4, 5 ir 6 yra galimas vertesšią vertę.

Atsitiktinis kintamasis yra dydis, kuris eksperimento rezultatu įgauna vienokią ar kitokią (ir vieną ir tik vieną) galimą skaitinę reikšmę, iš anksto nežinomą ir priklausomą nuo atsitiktinių priežasčių, į kurias iš anksto negalima atsižvelgti.

Atsitiktiniai kintamieji paprastai žymimi didžiosiomis raidėmis, o galimos jų reikšmės - atitinkamomis mažosiomis raidėmis. Pavyzdžiui, jei atsitiktinis kintamasis turi tris galimas reikšmes, jie atitinkamai žymimi taip: Patogumui parašysime: .

1 PAVYZDYS. Berniukų, gimusių tarp šimto naujagimių, skaičius yra atsitiktinė reikšmė, kurios galimos reikšmės yra 0, 1, 2, ..., 100.

2 PAVYZDYS. Atstumas, kurį sviedinys nuvažiuos, kai šaunamas iš ginklo, taip pat yra atsitiktinė reikšmė. Išties, atstumas priklauso ne tik nuo taikiklio įrengimo, bet ir nuo daugelio kitų priežasčių (vėjo stiprumo ir krypties, temperatūros ir kt.), į kurias negalima visiškai atsižvelgti. Galimos šio dydžio reikšmės akivaizdžiai priklauso tam tikram intervalui (intervalui).

Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienas atsitiktinis įvykis gali būti susietas su tam tikru atsitiktiniu kintamuoju, kuris gauna reikšmes iš R. Pavyzdžiui, patirtį - šauta į taikinį; renginys - pataikyti į taikinį; atsitiktinis kintamasis - smūgių į taikinį skaičius.

Grįžkime prie aukščiau pateiktų pavyzdžių. Pirmajame atsitiktinis dydis gali turėti vieną iš šių galimų reikšmių: 0, 1, 2,..., 100. Šios reikšmės viena nuo kitos atskirtos intervalais, kuriuose nėra galimų reikšmių. Taigi, šiame pavyzdyje atsitiktinis dydis įgauna individualias, izoliuotas, galimas reikšmes.

Antrajame pavyzdyje atsitiktinis kintamasis gali turėti bet kurią intervalo reikšmes. Čia neįmanoma atskirti vienos galimos reikšmės nuo kitos intervalu, kuriame nėra galimų atsitiktinio dydžio reikšmių.

Jau iš to, kas pasakyta, galime daryti išvadą, kad patartina atskirti atsitiktinius dydžius, kurie ima tik atskiras, izoliuotas reikšmes, ir atsitiktinius dydžius, kurių galimos reikšmės visiškai užpildo tam tikrą spragą.

Diskretus ( su pertrūkiais ) Atsitiktinis dydis yra atsitiktinis dydis, kuris įgyja baigtinę arba skaičiuojamą 1 skirtingos reikšmės rinkinį. Kitaip tariant, tai yra atsitiktinis kintamasis, kuris su tam tikromis tikimybėmis įgauna atskiras, izoliuotas galimas reikšmes.

Diskretaus atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius gali būti baigtinis arba begalinis.

Nuolatinis vadinamas atsitiktiniu dydžiu, kuris gali paimti visas reikšmes iš kurio nors baigtinio arba begalinio tikrojo skaičiaus ašies intervalo.

Akivaizdu, kad, pirma, nuolatinio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius yra begalinis. Antra, diskretusis atsitiktinis dydis yra ypatingas nuolatinio atsitiktinio dydžio atvejis.

Tikimybių skirstymo dėsnis

aš.

Diskretinio atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinio dėsnis

Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad norint apibrėžti diskrečiąjį atsitiktinį kintamąjį, pakanka išvardyti visas galimas jo reikšmes. Iš tikrųjų taip nėra: skirtingi atsitiktiniai dydžiai kartais gali turėti tuos pačius galimų reikšmių sąrašus, tačiau atitinkamos šių reikšmių tikimybės gali būti skirtingos. Todėl norint visapusiškai apibūdinti, neužtenka žinoti atsitiktinio dydžio reikšmes, taip pat reikia žinoti, kaip dažnai šios reikšmės atsiranda eksperimente, kai jis kartojamas, t.y. taip pat reikia nurodyti jų atsiradimo tikimybę. Apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį

, . . . , ,

. Kiekvienos galimos jų reikšmės atsiradimas rodo, kad įvyko vienas iš įvykių, sudarančių visą 2 grupę. Tarkime, kad šių įvykių tikimybė yra žinoma: Tada:vadinamas atitikmuo, nustatantis ryšį tarp galimų atsitiktinio dydžio reikšmių ir jų tikimybių atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinio dėsnis

, arba tiesiog – atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis.

Duoto atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelėmis (paskirstymo eilutėmis), analitiškai (formulės pavidalu) ir grafiškai.

Lentelėje nurodant diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį, pirmoje lentelės eilutėje pateikiamos galimos reikšmės, o antroje – jų tikimybės, t.y.

Aiškumo sumetimais diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnį taip pat galima pavaizduoti grafiškai, kurio taškai sudaromi stačiakampėje koordinačių sistemoje ir sujungiami tiesių atkarpomis. Gauta figūra vadinama pasiskirstymo daugiakampiu. Šiuo atveju sudaryto daugiakampio ordinačių suma lygi vienetui.

,

kas lemia tam tikro atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį.

II. Ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinio dėsnis

Prisiminkite, kad diskretinis atsitiktinis kintamasis nurodomas visų galimų jo reikšmių ir jų tikimybių sąrašu. Šis nustatymo metodas nėra bendras: jis netaikomas, pavyzdžiui, nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams.

Iš tiesų, apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį, kurio galimos reikšmės visiškai užpildo intervalą. Ar galima išvardyti visas galimas vertybes? Akivaizdu, kad to padaryti negalima. Šis pavyzdys rodo, kad patartina pateikti bendrą būdą bet kokio tipo atsitiktiniams dydžiams nurodyti (kaip jau buvo pažymėta, diskretusis atsitiktinis dydis yra ypatingas nuolatinio atsitiktinio dydžio atvejis). Šiuo tikslu jie pristato integrali funkcija paskirstymus.

Tegul yra kintamasis, kuris įgauna savavališkas realias reikšmes (ašyje:). Apsvarstykite įvykį, kai atsitiktinis kintamasis įgis mažesnę reikšmę. Tada tikimybė įvykis priklauso nuo, t.y. yra funkcija.

Ši funkcija paprastai žymima ir vadinama atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija arba, taip pat, integraliąja pasiskirstymo funkcija. Kitaip tariant: kumuliacinio pasiskirstymo funkcija

.

vadinama funkcija, kuri kiekvienai reikšmei R nustato tikimybę, kad atsitiktinis dydis įgis mažesnę reikšmę, t.y.

Geometriškai ši lygybė gali būti aiškinama taip: yra tikimybė, kad atsitiktinis dydis įgis reikšmę, kuri skaičių ašyje atvaizduojama tašku, esančiu kairėje nuo taško.

Integralinės funkcijos savybės:

Šios savybės įrodymas išplaukia iš integralinės funkcijos kaip tikimybės apibrėžimo: tikimybė visada yra neneigiamas skaičius, neviršijantis vieneto.
Iš tiesų, tegul atsitiktinis kintamasis įgauna mažesnę reikšmę; panašiai,

arba, kuris yra tas pats:

Tai ir reikėjo parodyti. Ši savybė yra gana akivaizdi. Taigi, jei - patikimas renginys ir

Apsvarstykite šiuos įvykius:. Matome, kad – t.y. įvykiai nesuderinami. Tada ,Bet

Dėl to galime parašyti:, ką mums ir reikėjo parodyti.

.

Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui akivaizdžiau ne integralas, o diferencinio pasiskirstymo funkcija arba vadinamasis atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankis.