Įvertinti bet kokių matavimų tikslumą reiškia, remiantis gautais rezultatais, nustatyti palyginamas skaitines (kiekybines) charakteristikas, išreiškiančias pačių matavimų kokybinę pusę ir jų vykdymo sąlygas. Kiekybinės charakteristikos matavimai arba matavimų tikslumo vertinimo kriterijai nustatomi tikimybių teorijoje ir klaidų teorijoje (ypač metodu mažiausių kvadratų). Pagal šias teorijas matavimo rezultatų tikslumas vertinamas tik atsitiktinėmis paklaidomis.
Matavimo tikslumo rodikliai gali būti naudojami kaip:
Vidutinė kvadrato matavimo paklaida;
Santykinė matavimo paklaida;
Didžiausia matavimo paklaida.
Vidutinės kvadratinės paklaidos sąvoką įvedė Gaussas ir šiuo metu ji laikoma pagrindine geodezijos matavimo tikslumo charakteristika.
Vidutinė kvadratinė paklaida yra vidurkis kvadratinė vertė iš atskirų matavimų paklaidų kvadratų sumos. Jai apskaičiuoti naudojamos arba tikrosios matavimo paklaidos, arba matavimo rezultatų nuokrypiai nuo aritmetinio vidurkio.
Tikrąją išmatuoto dydžio reikšmę pažymėkime X, matavimo rezultatą – l i.
Tikrosios matavimo paklaidos Δ i vadinami matavimo rezultatų ir tikrųjų verčių skirtumais, t.y.
Šiuo atveju individualaus rezultato vidutinė kvadratinė paklaida m apskaičiuojama pagal formulę:
čia n yra vienodo tikslumo matavimų skaičius.
Tačiau daugeliu atvejų praktika, išskyrus retus atvejus specialus tyrimas, tikroji išmatuoto dydžio vertė ir todėl tikrosios paklaidos lieka nežinomos. Šiais atvejais galutinei išmatuoto dydžio reikšmei rasti ir matavimo rezultatų tikslumui įvertinti naudojamas aritmetinio vidurkio principas.
Leiskite l 1, l 2, .... l n rezultatus n vienodo tikslumo to paties dydžio matavimai. Tada koeficientas
vadinamas šio dydžio išmatuotų verčių aritmetiniu vidurkiu.
Skirtumas tarp kiekvieno atskiro matavimo rezultato ir aritmetinio vidurkio reikšmės vadinamas matavimo rezultatų nuokrypiu nuo aritmetinio vidurkio ir žymimas raide v:
v aš = l aš -.
Pavyzdys. Atskiras kampas buvo išmatuotas keturiais etapais ir gauti rezultatai:
l 1= 74° 17"42"; l 2= 74° 17"46"; l 3= 74° 17"43"; l 4= 74° 17"47".
Tada vidurkis aritmetinė vertė kampas bus = 74° 17 "44",5, o matavimo rezultatų nuokrypiai nuo aritmetinio vidurkio atitinkamai bus prieš 1= - 2",5; v 2= +1",5; v 3= - 1",5 ir v 4= +2",5.
Matavimo rezultatų nukrypimai nuo aritmetinio vidurkio turi dvi svarbias savybes:
Bet kuriai vienodo tikslumo matavimų serijai algebrinė suma nukrypimai lygūs nuliui [ v] = 0;
Bet kuriai vienodo tikslumo matavimų serijai nuokrypių kvadratų suma yra minimali, t. y. mažesnė už atskirų matavimų nuokrypių kvadratų sumą nuo bet kurios kitos vertės, paimtos vietoj aritmetinio vidurkio, [ v 2] = min.
Pirmoji nuokrypių savybė yra patikima kontrolė apskaičiuojant matavimo rezultatų aritmetinį vidurkį. Matavimo rezultatų tikslumui įvertinti naudojama antroji nuokrypių savybė.
Jei atskirų matavimų paklaidos skaičiuojamos lyginant su matavimo rezultatų aritmetiniu vidurkiu, individualaus rezultato vidutinė kvadratinė paklaida apskaičiuojama pagal formulę
Pavyzdys. Naudodamiesi ankstesnio pavyzdžio duomenimis, rasime vidutinę kvadratinę paklaidą matuojant kampą vienu žingsniu:
Nustatydami vidutines kvadratines matavimo paklaidas, turite vadovautis šiomis taisyklėmis:
1) sumos vidutinė kvadratinė paklaida arba išmatuotų verčių skirtumas yra lygi kvadratinei šaknims iš terminų vidutinių kvadratinių paklaidų sumos, t.y. išraiškai A = a + b - c + ...+ q vidutinė kvadratinė paklaida bus lygi
vienodo tikslumo matavimams, kai m a = m b = m c = ... = m q:
2) išmatuotos vertės sandaugos vidutinė kvadratinė paklaida pastovus skaičius yra lygus šios reikšmės vidutinės kvadratinės paklaidos sandaugai iš to paties skaičiaus, t.y. išraiškai L = kl;
3) vienodo tikslumo matavimų rezultatų vidutinė kvadratinė paklaida yra tiesiogiai proporcinga vieno matavimo m vidutinei kvadratinei paklaidai ir atvirkščiai proporcinga matavimų skaičiaus kvadratinei šaknei, t.y.
arba atsižvelgiant į (12) formulę:
Pavyzdžiai: 1. Kampas β gautas kaip dviejų krypčių skirtumas, nustatytas su paklaidomis m 1 = ± 3" ir m 2 = ± 4".
Pagal pirmąją taisyklę randame .
2. Apskritimo spindulys matuojamas su vidutine kvadratine paklaida m R = ±5 cm.
Naudodami antrąją taisyklę randame apskritimo vidutinę kvadratinę paklaidą
m 0 = 2πm R = 2 × 3,14 × 5 = ± 31 cm.
3. Vidutinė kvadratinė paklaida matuojant kampą vienu žingsniu yra m = ± 8". Koks yra kampo matavimo keturiais žingsniais tikslumas?
Pagal trečiąją taisyklę
.
4. Kampas β matuojamas penkiais žingsniais. Šiuo atveju nuokrypiai nuo aritmetinio vidurkio buvo: - 2", + 3", - 4", +4" ir -1". Koks galutinio rezultato tikslumas?
Pagal trečiąją taisyklę
Matavimų serijos aritmetinis vidurkis
Kai n didėja, vidutinė vertė
Gauso formulę galima išvesti iš šių prielaidų:
- matavimo paklaidos gali įgyti nuolatinę reikšmių seką;
- adresu didelis skaičius klaidų stebėjimai tokio pat dydžio, Bet skirtingas ženklas atsiranda vienodai dažnai;
- tikimybė, tai yra santykinis dažnis klaidų atsiradimas mažėja didėjant klaidų dydžiui. Kitaip tariant, didelių klaidų yra retesni nei maži.
Normalaus paskirstymo dėsnį apibūdina tokia funkcija:
čia σ yra vidutinė kvadratinė paklaida; σ2 – matavimo dispersija; Xist yra tikroji išmatuoto dydžio vertė.
(1.13) formulės analizė rodo, kad normaliojo skirstinio funkcija yra simetriška tiesės X = X šaltinio atžvilgiu ir turi maksimumą ties X = X šaltiniu. Šio maksimumo ordinatės reikšmę randame įdėdami dešinėje pusėje(1.13) lygtis X šaltinis vietoj X. Gauname
,
iš to išplaukia, kad mažėjant σ, y(X) didėja. Plotas po kreive
turi išlikti pastovus ir lygus 1, nes tikimybė, kad išmatuota X reikšmė bus intervale nuo -∞ iki +∞, yra lygi 1 (ši savybė vadinama tikimybių normalizavimo sąlyga).
Fig. 1.1 parodyta trijų normalaus pasiskirstymo funkcijų grafikai trims σ reikšmėms (σ 3 > σ 2 > σ 1) ir vienam X šaltiniui. Normalus pasiskirstymas kuriai būdingi du parametrai: vidutinė vertė atsitiktinis kintamasis, kuris skirtas begalybei dideli kiekiai matavimai (n → ∞) sutampa su tikrąja jo verte ir dispersija σ. Reikšmė σ apibūdina klaidų sklaidą, palyginti su vidutine verte, kuri laikoma teisinga. Esant mažoms σ reikšmėms, kreivės tampa statesnės ir didelės vertėsΔХ yra mažiau tikėtini, tai yra matavimo rezultatų nukrypimas nuo tikroji prasmėšiuo atveju vertės yra mažesnės.
Norėdami įvertinti vertę atsitiktinė klaida Yra keli matavimo būdai. Dažniausias įvertinimas yra standartinė arba vidutinė kvadratinė paklaida. Kartais naudojama aritmetinio vidurkio paklaida.
Vidurkio standartinė paklaida (kvadratinė šaknis) n matavimų serijoje nustatoma pagal formulę:
Jei stebėjimų skaičius yra labai didelis, tada reikšmė Sn, priklausomai nuo atsitiktinių atsitiktinių svyravimų, linkusi į tam tikrą pastovią vertęσ, kuri vadinama statistine riba Sn:
Būtent ši riba vadinama vidutine kvadratine paklaida. Kaip minėta aukščiau, šio dydžio kvadratas vadinamas matavimo dispersija, kuri įtraukta į Gauso formulę (1.13).
σ reikšmė didelė praktinę reikšmę. Tegul dėl matavimų kai kurių fizinis kiekis rado aritmetinį vidurkį<Х>ir tam tikra klaida ΔX. Jei išmatuotame dyde yra atsitiktinė paklaida, negalima besąlygiškai manyti, kad tikroji išmatuoto dydžio vertė yra intervale (<Х>– ΔХ,<Х>+ ΔХ) arba (<Х>– ΔХ)< Х < (<Х>+ ΔХ)). Visada yra tam tikra tikimybė, kad tikroji vertė yra už šio intervalo ribų.
Pasitikėjimo intervalas yra reikšmių intervalas (<Х>– ΔХ,<Х>+ ΔХ) reikšmės X, į kurią pagal apibrėžimą su nurodyta tikimybe patenka tikroji X šaltinio reikšmė.
Matavimų serijos rezultato patikimumas yra tikimybė, kad tikroji išmatuotos vertės vertė patenka į tam tikrą pasikliautinąjį intervalą. Matavimo rezultato patikimumas arba pasitikėjimo tikimybė išreikštas vieneto trupmenomis arba procentais.
Tegul α reiškia tikimybę, kad matavimo rezultatas nuo tikrosios vertės skirsis ne didesniu kaip ΔХ. Paprastai tai rašoma tokia forma:
R((<Х>– ΔХ)< Х < (<Х>+ ΔХ)) = α
Išraiška (1.16) reiškia, kad esant tikimybei, lygiai α, matavimo rezultatas neperžengia ribų pasitikėjimo intervalas iš<Х>– ΔХ iki<Х>+ ΔХ. Kuo didesnis pasikliautinasis intervalas, tai yra, kuo didesnė nurodyta matavimo rezultato paklaida ΔX, tuo patikimiau norima X reikšmė patenka į šį intervalą. Natūralu, kad α reikšmė priklauso nuo atliktų matavimų skaičiaus n. ir taip pat ant nurodytos klaidos ΔХ.
Taigi, norint apibūdinti atsitiktinės klaidos dydį, būtina nustatyti du skaičius, būtent:
- pačios klaidos dydis (arba pasikliautinasis intervalas);
- pasitikėjimo tikimybės (patikimumo) reikšmė.
Nurodyti tik klaidos dydį, nenurodant atitinkamos pasitikėjimo tikimybės, iš esmės yra beprasmiška, nes šiuo atveju nežinome, kiek patikimi mūsų duomenys. Žinodami pasitikėjimo tikimybę, galite įvertinti gauto rezultato patikimumo laipsnį.
Reikiamą patikimumo laipsnį lemia atliekamų pakeitimų pobūdis. Vidutinė kvadratinė paklaida S n atitinka 0,68 pasikliautinumo tikimybę, dviguba vidutinė kvadratinė paklaida (2σ) atitinka 0,95, o triguba (3σ) – 0,997.
Jei pasikliautinuoju intervalu pasirenkamas intervalas (X – σ, X + σ), tai galima teigti, kad iš šimto matavimo rezultatų 68 būtinai bus šiame intervale (1.2 pav.). Jei matavimo metu absoliuti paklaida ∆Х > 3σ, šis matavimas turėtų būti klasifikuojamas kaip didelė paklaida arba praleidimas. 3σ reikšmė paprastai laikoma ribine verte absoliuti klaida atskiras matavimas (kartais vietoj 3σ imama absoliuti matavimo prietaiso paklaida).
Bet kuriai pasikliautinojo intervalo reikšmei atitinkamą pasikliovimo tikimybę galima apskaičiuoti naudojant Gauso formulę. Šie skaičiavimai buvo atlikti ir jų rezultatai apibendrinti lentelėje. 1.1.
Pasikliautinojo intervalo patikimumo tikimybės α, išreikštos vidutinės kvadratinės paklaidos ε = ΔX/σ dalimis.
Vidutinė kvadratinė paklaida statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. vidutinė kvadratinė paklaida vok. mittlerer quadratischer Fehler, m rus. vidutinė kvadratinė paklaida, f pranc. écart quadratique moyen, m; erreur quadratique moyenne, f … Automatikos terminų žodynas
sumažinta vidutinė kvadratinė paklaida- [A.S. Goldbergas. Anglų-rusų energetikos žodynas. 2006] Energijos temos apskritai EN normalizuotos vidutinės kvadratinės paklaidosNMSE ... Techninis vertėjo vadovas
RMS fazės klaida- 1. Vidutinė kvadratinė fazės paklaidos reikšmė visuose pavyzdžiuose Naudota dokumente: RD 45.301 2002 GSM 900/1800 standarto mobiliojo ryšio tinklų telekomunikacijų matavimo priemonės. Techniniai reikalavimai... Telekomunikacijų žodynas
standartinė klaida- 2,56. standartinė klaida; vidutinė kvadratinė paklaida Standartinis nuokrypis sąmatos Šaltinis: GOST R 50779.10 2000: Statistiniai metodai. Tikimybė ir pagrindinė statistika. Terminai ir apibrėžimai...
STATISTINĖ ANALIZĖ- STATISTINĖ ANALIZĖ Verslo vadovai, priimdami sprendimus ar analizuodami spręstinas problemas, dažnai naudoja statistinius metodus. IN šį skyrių Aptariami kai kurie pagrindiniai statistiniai metodai. Aritmetika...... Bankininkystės ir finansų enciklopedija
GOST R 50779.10-2000: Statistiniai metodai. Tikimybė ir pagrindinė statistika. Terminai ir apibrėžimai- Terminija GOST R 50779.10 2000: Statistiniai metodai. Tikimybė ir pagrindinė statistika. Terminai ir apibrėžimai originalaus dokumento: 2.3. (bendra) populiacija Visų nagrinėjamų vienetų rinkinys. Pastaba Atsitiktiniam dydžiui ... ... Norminės ir techninės dokumentacijos terminų žodynas-žinynas
Radijo navigacijos sistema- kelių panašių arba skirtingų tipų radijo navigacijos prietaisų, sąveikaujančių tarpusavyje (radijo kanalais arba viename). blokinė schema) ir teikiant dirbant kartu vietos nustatymas...... Didžioji sovietinė enciklopedija
Standartinė kvantinė riba - Kvantinė mechanika... Vikipedija
PROPORCINĖ KAMERA- (žr. PROporcinį skaitiklį). Fizinis enciklopedinis žodynas. M.: Sovietinė enciklopedija. Vyriausiasis redaktorius A. M. Prokhorovas. 1983. PROPORCINĖ KAMERA... Fizinė enciklopedija
Infraraudonųjų spindulių astronomija- stebėjimo astrofizikos sritis, jungianti astrų ir objektų spinduliuotės IR diapazone (0,7 μm 1 mm) tyrimų metodus ir rezultatus. Kartais kaip dalis I. a. atskirti submilimetrinę astronomiją (0,1 1 mm). Pirmasis žingsnis istorijoje I. a. buvo…… Fizinė enciklopedija
ATSITIKTINIO PROCESO INTERPOLIACIJA- reikšmių įvertinimo problema atsitiktinis procesas X(t) tam tikrame intervale a
Vidutinė paklaida ir vidutinė kvadratinė paklaida. Kuo mažesnės šių kriterijų reikšmės, tuo didesnis prognozės modelio patikimumas.
tiesinės koreliacijos koeficientas nustatomas pagal formulę
S įvertinimo vidutinė kvadratinė paklaida (standartinis nuokrypis) ir prognozės pasikliautinasis intervalas
Tiesą sakant, problema kyla dėl vidutinio elastingumo įvertinimo per daugiau ar mažiau ilgą laiką. Išanalizuokime konkrečių kainų elastingumo (jungtinio elastingumo) įverčius įvairiais lygiais, t.y. rūšių struktūra, elevatoriniams grūdams, grūdams biržoje ir miltams. Gauti įverčiai apibendrinti lentelėje. 14.5 kartu su jų standartinėmis šaknies kvadratinėmis paklaidomis – įvertinimo paklaidomis arba elastingumo rodiklių pasikliautinųjų intervalų ribomis.
Norėdami patikrinti koreliacijos koeficientų reikšmingumą, apskaičiuojame koreliacijos koeficientų r vidutines kvadratines paklaidas
Kelių statistinių ryšių artumo laipsnis ir vieno kintamojo prognozės (aproksimacijos) vidutinė kvadratinė paklaida, pagrįsta kitų visuma. Intuityviai ir iš aukščiau aptartų statistinio ryšio artumo laipsnio charakteristikų reikšmės aišku, kad kuo glaudesnis šis ryšys, tuo daugiau informacijos vienas kintamasis turi kito atžvilgiu, tuo tiksliau jį galima atkurti (nuspėti, apytiksliai). ) nežinoma vieno kintamojo reikšmė iš kito kintamojo.
Taigi mes vėl (kaip B.5 ir 1.1.1 punktuose) priėjome prie regresijos funkcijos f (X) = E (m] = X), šį kartą kaip p kintamųjų (1>, c (2) funkciją) ,.., x(p) tiksliausiai (vidutinės kvadratinės paklaidos prasme) atkuriant tiriamo rezultatinio rodiklio m] (X) sąlyginę reikšmę duotai aiškinamųjų kintamųjų X reikšmei.
Kombinuotosios prognozės vidutinė kvadratinė paklaida yra atitinkamai lygi
Jei kintamojo sklaidai apibūdinti naudojamas terminas standartinis nuokrypis, tai panašaus statistinio parametro apibūdinimui naudojamas terminas vidutinė kvadratinė paklaida.
Gerai žinoma, kad optimalus algoritmas dinaminės sistemos būsenos (dabartinės, praeities ir ateities) įvertinimo minimalios vidutinės kvadratinės paklaidos požiūriu vadinamas R. Kalmano filtru. Visi kiti vertinimo algoritmai gali pasiekti tik Kalmano filtro pateiktą įvertinimo tikslumą. Nurodytu filtru pasiekiamas potencialiai galimas įvertinimo tikslumas užtikrinamas dėl to, kad nurodyto algoritmo struktūra ir parametrai yra iš anksto pritaikyti prie vertinamos dinaminės sistemos statistinio portreto. Štai kodėl būtina atlikti preliminarius statistinius finansų rinkos tyrimus, norint gauti rinkai adekvatų matematinį modelį diferencialinių (diferencinių) lygčių sistemos pavidalu ir tik tada pritaikyti atitinkamą Kalmano filtrą prie gauto. matematinis finansų rinkos modelis.
Taigi, naudojant formules (1.13)-(1.16) atsiranda prieštaravimas nustatant išlyginimo parametrą, nes mažėja ir vidutinė kvadratinė paklaida, tačiau tuo pačiu didėja pradinių sąlygų paklaida, o tai savo ruožtu daro įtaką prognozės tikslumas.
Šis faktas leidžia naudoti ryšius (1.81) skaičiuojant analizuojamų laiko eilučių prognozines reikšmes 1 laiko žingsniui į priekį. Teorinį pagrindą šiam prognozavimo metodui suteikia gerai žinomas rezultatas, pagal kurį geriausia (vidutinės kvadratinės paklaidos prasme) tiesinė prognozė momentu t su 1 persvara yra sąlyginė matematinė atsitiktinumo prognozė. kintamasis xt+i, apskaičiuojamas su sąlyga, kad visos xt reikšmės iki momento laiko t. Šis rezultatas yra ypatingas bendrosios prognozavimo teorijos atvejis (žr.).
Bet kokiam tam tikro laipsnio pilno polinomo padalijimui į dalinius daugianorius, minimalios vidutinės kvadratinės paklaidos, nustatytos mokymo sekoje, kriterijus (pirmasis kriterijus) leidžia vienareikšmiškai nustatyti optimalius visų koeficientų įverčius, jei taškų skaičius mokymo seka yra didesnė už kiekvieno dalinio polinomo narių skaičių bent vienu .
Tam tikram viso daugianario laipsniui yra daug variantų, kaip jį padalyti į dalinius daugianario. Išsami visų derinių paieška pagal vidutinės kvadratinės paklaidos kriterijų, išmatuotą pagal atskirą bandymo duomenų seką, leidžia rasti vienintelį geriausią atskyrimą.
Vadinasi, kaip ir suporuotos priklausomybės atveju, gauto rodiklio m] pokytis (atsitiktinė sklaida) susideda iš regresijos funkcijos / (X), kurią mes valdome (pagal prognozuojamojo kintamojo X reikšmę), ir nuo atsitiktinė reikšmių r (X) sklaida, kuri nėra mūsų kontroliuojama) (fiksuotam X), palyginti su regresijos funkcija / (X). Būtent šis nekontroliuojamas sklaida (apibūdinama reikšme o (X)), kuri tuo pačiu metu nustato ir gauto rodiklio r vertės prognozės (arba apytikslės) vidutinės kvadratinės paklaidos, remiantis prognozuotojo reikšmėmis. kintamieji X ir ryšio, egzistuojančio tarp reikšmės r ir reikšmių, artimumo laipsnį.
X. Theil šiuo atveju pasiūlė naudoti standartinę vidutinę kvadratinę paklaidą
Ši koreliacija nelabai sumažina neapibrėžtumą. Iš tiesų, prognozės vidutinė kvadratinė paklaida sumažinama tik 1%. Taigi, nors NASDAQ indekse buvo aptikta keletas silpnų autokoreliacijos požymių, praktikoje jie mažai naudingi. Visos kitos koreliacijos yra atsitiktinės ir statistiškai nereikšmingos. Atsižvelgiant į tai, kiek koreliacijų išanalizavome, kad rastume tik vieną, kuri buvo net iš tolo statistiškai reikšminga, labai tikėtina, kad ši vienintelė koreliacija greičiausiai yra atsitiktinis rezultatas, panašus į tai, kad metant monetą gaunamos kelios galvelės iš eilės.
