Savųjų reikšmių savybės. Savosios reikšmės (skaičiai) ir savieji vektoriai sprendinių pavyzdžiai

Apibrėžimas 9.3. Vektorius X paskambino savasis vektorius matricos A, jei yra toks skaičius λ, kad lygybė galioja: A X= λ X, tai yra kreipimosi rezultatas X matricos nurodyta tiesinė transformacija A, yra šio vektoriaus padauginimas iš skaičiaus λ . Pats skaičius λ paskambino savoji vertė matricos A.

Keitimas į formules (9.3) x` j = λx j , gauname lygčių sistemą savojo vektoriaus koordinatėms nustatyti:

. (9.5)

Šis linijinis vienalytė sistema turėsiu ne trivialus sprendimas tik jei jo pagrindinis determinantas yra 0 (Cramerio taisyklė). Įrašę šią sąlygą formoje:

gauname savųjų reikšmių nustatymo lygtį λ , paskambino charakteristikos lygtis. Trumpai jį galima pavaizduoti taip:

| A - λE | = 0, (9.6)

nes jo kairėje pusėje yra matricos determinantas A-λE. Polinominis giminaitis λ | A - λE| paskambino būdingas daugianario matricos A.

Būdingojo daugianario savybės:

1) Tiesinės transformacijos charakteringas daugianomas nepriklauso nuo pagrindo pasirinkimo. Įrodymas. (žr. (9.4)), bet vadinasi,. Taigi tai nepriklauso nuo pagrindo pasirinkimo. Tai reiškia, kad | A-λE| nesikeičia persikėlus į naują pagrindą.

2) Jei matrica A tiesinė transformacija yra simetriškas(tie. ir ij =a ji), tada visos šaknys charakteristikos lygtis(9.6) yra realieji skaičiai.

Savųjų reikšmių ir savųjų vektorių savybės:

1) Jei pasirinksite pagrindą iš savųjų vektorių x 1, x 2, x 3 , atitinkančias savąsias reikšmes λ 1, λ 2, λ 3 matricos A, tada šiuo pagrindu tiesinė transformacija A turi įstrižainę matricą:

(9.7) Šios savybės įrodymas išplaukia iš savųjų vektorių apibrėžimo.

2) Jei transformacijos savosios reikšmės A yra skirtingi, tada atitinkami jų savieji vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi.

3) Jei būdingas daugianario matricos A turi tris skirtingas šaknis, tada tam tikru pagrindu yra matrica A turi įstrižą išvaizdą.

Raskime matricos savąsias reikšmes ir savuosius vektorius Sukurkime charakteringą lygtį: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Raskime kiekvieną rastą reikšmę atitinkančių savųjų vektorių koordinates λ. Iš (9.5) išplaukia, kad jeigu X (1) ={x 1, x 2, x 3) – atitinkamas savasis vektorius λ 1 =-2, tada

- bendradarbiaujanti, bet neapibrėžta sistema. Jo sprendimas gali būti parašytas formoje X (1) ={a,0,-a), kur a yra bet koks skaičius. Visų pirma, jei reikalaujame, kad | x (1) |=1, X (1) =

Pakeitimas į sistemą (9.5) λ 2 =3, gauname antrojo savojo vektoriaus koordinačių nustatymo sistemą - x (2) ={y 1 , y 2 , y 3}:

, kur X (2) ={b,-b,b) arba, jei | x (2) |=1, x (2) =

Dėl λ 3 = 6 raskite savąjį vektorių x (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, x (3) ={c,2c, c) arba normalizuotoje versijoje

x (3) = Galima pastebėti, kad X (1) X (2) = ab–ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = bc- 2bc + bc= 0. Taigi šios matricos savieji vektoriai yra poriniai stačiakampiai.

10 paskaita.

Kvadratinės formos ir jų ryšys su simetrinėmis matricomis. Simetrinės matricos savųjų vektorių ir savųjų reikšmių savybės. Kvadratinės formos redukavimas į kanoninę formą.

Apibrėžimas 10.1.Kvadratinė forma realūs kintamieji x 1, x 2,…, x n yra šių kintamųjų antrojo laipsnio daugianario, kuriame nėra laisvas narys ir pirmojo laipsnio nariai.

Pavyzdžiai kvadratinės formos:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Prisiminkime paskutinėje paskaitoje pateiktą simetrinės matricos apibrėžimą:

Apibrėžimas 10.2. Kvadratinė matrica vadinama simetriškas, jei , tai yra, jei matricos elementai, kurie yra simetriški pagrindinei įstrižai, yra lygūs.

Simetrinės matricos savųjų reikšmių ir savųjų vektorių savybės:

1) Visos simetrinės matricos savosios reikšmės yra tikros.

Įrodymas (dėl n = 2).

Tegul matrica A turi formą: . Sukurkime charakteringą lygtį:

(10.2) Raskime diskriminantą:

Todėl lygtis turi tik realias šaknis.

2) Simetrinės matricos savieji vektoriai yra stačiakampiai.

Įrodymas (dėl n= 2).

Savųjų vektorių koordinatės ir turi tenkinti lygtis.

Įstrižainės matricos turi paprasčiausią struktūrą. Kyla klausimas, ar įmanoma rasti pagrindą, kuriame tiesinio operatoriaus matrica turėtų įstrižainę. Toks pagrindas yra.
Tegul tai duota linijinė erdvė R n ir jame veikiantis tiesinis operatorius A; šiuo atveju operatorius A paima R n į save, tai yra A:R n → R n .

Apibrėžimas. Nenulinis vektorius x vadinamas savuoju operatoriaus A vektoriumi, jei operatorius A paverčia x kolineariniu vektoriumi, t. Skaičius λ vadinamas savąja operatoriaus A reikšme arba savąja reikšme, atitinkančia savąjį vektorių x.
Atkreipkime dėmesį į kai kurias savųjų reikšmių ir savųjų vektorių savybes.
1. Bet koks tiesinis savųjų vektorių derinys operatorius A, atitinkantis tą pačią savąją reikšmę λ, yra savasis vektorius, turintis tą pačią savąją reikšmę.
2. Savotieji vektoriai operatorius A su poromis skirtingomis savosiomis reikšmėmis λ 1 , λ 2 , …, λ m yra tiesiškai nepriklausomas.
3. Jei savosios reikšmės λ 1 =λ 2 = λ m = λ, tai savoji reikšmė λ atitinka ne daugiau kaip m tiesiškai nepriklausomų savųjų vektorių.

Taigi, jei yra n tiesiškai nepriklausomų savųjų vektorių , atitinkančias skirtingas savąsias reikšmes λ 1, λ 2, ..., λ n, tada jos yra tiesiškai nepriklausomos, todėl jas galima laikyti erdvės R n pagrindu. Raskime tiesinio operatoriaus A matricos formą jo savųjų vektorių pagrindu, kuriai veiksme su operatoriumi A remiantis baziniais vektoriais: Tada .
Taigi, tiesinio operatoriaus A matrica savo savųjų vektorių pagrindu turi įstrižainę, o operatoriaus A savosios reikšmės yra išilgai įstrižainės.
Ar yra dar vienas pagrindas, kuriame matrica turi įstrižinę formą? Atsakymą į šį klausimą duoda tokia teorema.

Teorema. Tiesinio operatoriaus A matrica bazėje (i = 1..n) turi įstrižainę tada ir tik tada, kai visi pagrindo vektoriai yra operatoriaus A savieji vektoriai.

Taisyklė, kaip rasti savąsias reikšmes ir savuosius vektorius

. (*)

(1)
Kur - tiesinė operatoriaus matrica.

Sistema (1) turi nulinį sprendinį, jei jos determinantas D lygus nuliui

12 pavyzdys. Tiesinis operatorius A veikia R 3 pagal dėsnį, kur x 1, x 2, .., x n yra pagrindo vektoriaus koordinatės , , . Raskite šio operatoriaus savąsias reikšmes ir savuosius vektorius.
Sprendimas. Sukuriame šio operatoriaus matricą:
.
Sukuriame savųjų vektorių koordinačių nustatymo sistemą:

Sudarome charakteringą lygtį ir ją išsprendžiame:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Sistemoje pakeitę λ = -1, gauname:
arba
Nes , tada yra du priklausomi kintamieji ir vienas laisvas kintamasis.
Tada tegul x 1 yra laisvas nežinomasis Šią sistemą išsprendžiame bet kokiu būdu ir randame bendras sprendimasši sistema: Fundamentali sistema sprendinius sudaro vienas sprendinys, nes n - r = 3 - 2 = 1.
Savųjų vektorių aibė, atitinkanti savąją reikšmę λ = -1, turi formą: , kur x 1 yra bet koks skaičius, išskyrus nulį. Pasirinkime vieną vektorių iš šios aibės, pavyzdžiui, įvesdami x 1 = 1: .
Panašiai samprotaudami, randame savąjį vektorių, atitinkantį savąją reikšmę λ = 3: .
Erdvėje R3 pagrindas susideda iš trijų tiesinių nepriklausomi vektoriai, gavome tik du tiesiškai nepriklausomus savuosius vektorius, iš kurių negalima sudaryti pagrindo R 3. Vadinasi, linijinio operatoriaus matricos A redukuoti į įstrižainę negalime.

13 pavyzdys. Duota matrica .
1. Įrodykite, kad vektorius yra matricos A savasis vektorius. Raskite šį savąjį vektorių atitinkančią savąją reikšmę.
2. Raskite pagrindą, kuriame matrica A turi įstrižainę.
Sprendimas.
1. Jei , tai x yra savasis vektorius

.
Vektorius (1, 8, -1) yra savasis vektorius. Savoji reikšmė λ = -1.
Matrica turi įstrižainę formą, sudarytą iš savųjų vektorių. Vienas iš jų yra žinomas. Suraskime likusius.
Mes ieškome savųjų vektorių iš sistemos:

Charakteristinė lygtis: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Raskime savąjį vektorių, atitinkantį savąją reikšmę λ = -3:

Šios sistemos matricos rangas yra du ir lygus skaičiui nežinomieji, todėl ši sistema turi tik nulinį sprendinį x 1 = x 3 = 0. x 2 čia gali būti bet kas kitas nei nulis, pavyzdžiui, x 2 = 1. Taigi vektorius (0,1,0) yra savasis vektorius , atitinkantis λ = -3. Patikrinkime:
.
Jei λ = 1, tada gauname sistemą
Matricos rangas yra du. Paskutinę lygtį nubraukiame.
Tegul x 3 yra laisvas nežinomasis. Tada x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Darant prielaidą, kad x 3 = 1, turime (-3,-9,1) - savąjį vektorių, atitinkantį savąją reikšmę λ = 1. Patikrinkite:

.
Kadangi savosios reikšmės yra tikros ir skirtingos, jas atitinkantys vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi, todėl juos galima paimti kaip pagrindą R 3 . Taigi, pagrinde , , A matrica turi tokią formą:
.
Ne kiekviena tiesinio operatoriaus A:R n → R n matrica gali būti redukuojama į įstrižainę, nes kai kuriems linijiniai operatoriai Tiesiškai nepriklausomų savųjų vektorių gali būti mažiau nei n. Tačiau, jei matrica yra simetriška, tada būdingos daugialypiškumo lygties šaknis atitinka m lygiai m tiesiškai nepriklausomų vektorių.

Apibrėžimas. Vadinama simetriška matrica kvadratinė matrica, kuriame simetriški pagrindinės įstrižainės elementai yra lygūs, tai yra, kuriame .
Pastabos. 1. Visos simetrinės matricos savosios reikšmės yra tikros.
2. Simetrinės matricos savieji vektoriai, atitinkantys poromis skirtingas savąsias reikšmes, yra ortogonalūs.
Kaip vieną iš daugelio tiriamo aparato pritaikymo būdų, svarstome antros eilės kreivės tipo nustatymo problemą.

9 paskaita.

Tiesinės koordinačių transformacijos. Matricos savieji vektoriai ir savosios reikšmės, jų savybės. Charakteristinis matricos polinomas, jo savybės.

Tai sakysime vektorių aibėjeRduota transformacija A , jei kiekvienas vektorius X R pagal kažkokią taisyklę vektorius A X R.

Apibrėžimas 9.1.Konversija A paskambino linijinis, jei bet kokiems vektoriams X Ir adresu ir bet kuriam realiam skaičiui λ galioja šios lygybės:

A( X + adresu )=A X+ A adresu ,A(λ X ) = λ A X. (9.1)

Apibrėžimas 9.2.Linijinė transformacija vadinama identiški, jei jis transformuoja bet kurį vektorių X į save.

Tapatybės transformacija žymima JOS X= X .

Apsvarstykite trimatę erdvę su pagrindu e 1 , e 2, e 3 , kuriame nurodyta tiesinė transformacija A. Pritaikę jį baziniams vektoriams, gauname vektorius A e 1, A e 2, A e 3 priklausančių šiai trimačiai erdvei. Todėl kiekvieną iš jų galima išskirtinai išplėsti į bazinius vektorius:

A e 1 = 11 e 1+ 21 e 2+a 31 e 3,

A e 2 = 12 e 1+ 22 e 2+ 32 e 3 ,(9.2)

A e 3= 13 e 1+ 23 e 2+ 33 e 3 .

Matrica paskambino tiesinės transformacijos matrica A pagrinde e 1 , e 2, e 3 . Šios matricos stulpeliai sudaryti iš bazinių transformacijų formulių (9.2) koeficientų.

komentuoti. Akivaizdu, kad tapatybės transformacijos matrica yra tapatybės matrica E.

Savavališkam vektoriui X =x 1 e 1+ x 2 e 2+ x 3 e 3 tiesinės transformacijos taikymo rezultatas A bus vektorius A X, kuriuos galima išplėsti į to paties pagrindo vektorius: A X =x` 1 e 1+ x 2 e 2+ x 3 e 3 , kur koordinatėsx` igalima rasti naudojant formules:

X` 1 = 11 x 1 + 12 x 2 + 13 x 3 ,

x` 2 = 21 x 1 + 22 x 2 + 23 x 3,(9.3)

x` 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 .

Šios tiesinės transformacijos formulėse esantys koeficientai yra matricos eilučių elementai A.

Tiesinės transformacijos matricos transformacija

pereinant prie naujo pagrindo.

Apsvarstykite tiesinę transformaciją A ir dvi bazes in trimatė erdvė: e 1, e 2, e 3 Ir e 1 , e 2 , e 3 . Tegul matrica C apibrėžia perėjimo iš pagrindo (e k) prie pagrindo ( e k). Jei pirmoje iš šių bazių pasirinkta tiesinė transformacija nurodoma matrica A, o antroje - matrica A, tada galime rasti ryšį tarp šių matricų, būtent:

A = C -1 A C(9.4)

Tikrai tada A . Kita vertus, tos pačios tiesinės transformacijos taikymo rezultatai A pagrindu (e k), t.y. , o pagrinde (e k ): atitinkamai - sujungta matrica SU: , iš kurio išplaukia, kad CA= A SU. Abi šios lygybės iš kairės pusės padauginimas iš SU-1, mes gauname SU -1 CA = = C -1 A SU, kas įrodo (9.4) formulės pagrįstumą.

Matricos savosios reikšmės ir savieji vektoriai.

Apibrėžimas 9.3.Vektorius X paskambino savasis vektorius matricos A, jei yra toks skaičius λ, kad lygybė galioja: A X= λ X, tai yra kreipimosi rezultatas X matricos nurodyta tiesinė transformacija A, yra šio vektoriaus padauginimas iš skaičiaus λ . Pats skaičius λ paskambino savoji vertė matricos A.

Keitimas į formules (9.3)x` j = λ x j, gauname lygčių sistemą savojo vektoriaus koordinatėms nustatyti:

.

Iš čia

.(9.5)

Tai linijinis vienalytis sistema turės netrivialų sprendimą tik tuo atveju, jei jos pagrindinis determinantas yra 0 (Cramerio taisyklė). Įrašę šią sąlygą formoje:

gauname savųjų reikšmių nustatymo lygtį λ , paskambino charakteristikos lygtis. Trumpai jį galima pavaizduoti taip:

| A -λ E | = 0,(9.6)

nes jo kairėje pusėje yra matricos determinantas A- λE. Polinominis giminaitis λ| A -λ E| paskambino būdingas daugianario matricos A.

Būdingojo daugianario savybės:

1) Būdingas tiesinės transformacijos polinomas nepriklauso nuo pagrindo pasirinkimo. (žr. (9.4)), bet vadinasi,. Taigi tai nepriklauso nuo pagrindo pasirinkimo. Tai reiškia, kad |A-λ E| nesikeičia persikėlus į naują pagrindą.

2) Jei matrica A tiesinė transformacija yra simetriškas(tie. A ij= a ji), tada visos charakteristikų lygties (9.6) šaknys yra realieji skaičiai.

Savųjų reikšmių ir savųjų vektorių savybės:

1) Jei pagrindą pasirinksime iš savųjų vektorių x 1, x 2, x 3 , atitinkančias savąsias reikšmes λ 1, λ 2, λ 3 matricos A, tada tiesinė transformacija A turi įstrižainės formos matricą:

(9.7)Šios savybės įrodymas išplaukia iš savųjų vektorių apibrėžimo.

2) Jei transformacijos savosios reikšmės A yra skirtingi, tada atitinkami jų savieji vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi.

3) Jei matricos charakteringasis daugianario A turi tris skirtingas šaknis, tada tam tikru pagrindu matrica A turi įstrižą išvaizdą.

Pavyzdys.

Raskime matricos C savąsias reikšmes ir savuosius vektorius ir palikime charakteringą lygtį: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Raskime kiekvieną rastą reikšmę atitinkančių savųjų vektorių koordinates λ. Iš (9.5) išplaukia, kad jeigu X (1) ={ x 1 , x 2 , x 3 ) – atitinkamas savasis vektorius λ 1 =-2, tada

- bendradarbiaujanti, bet neapibrėžta sistema. Jo sprendimas gali būti parašytas formoje X (1) ={ a,0,- a), kur a yra bet koks skaičius. Visų pirma, jei reikalaujame, kad |x (1) |=1, X (1) =

Pakeitimas į sistemą (9.5) λ 2 =3, gauname antrojo savojo vektoriaus koordinačių nustatymo sistemą -x (2) ={ y 1 , y 2 , y 3

Tiesinės koordinačių transformacijos. Matricos savieji vektoriai ir savosios reikšmės, jų savybės. Charakteristinis matricos polinomas, jo savybės.

Tai sakysime vektorių aibėje R duota transformacijaA , jei kiekvienas vektorius X R pagal kažkokią taisyklę vektorius AX R.

Apibrėžimas 9.1. Konversija A paskambino linijinis, jei bet kokiems vektoriams X Ir adresu ir bet kuriam realiam skaičiui λ galioja šios lygybės:

A(X + adresu )=AX + Aadresu ,A(λX ) =λ AX . (9.1)

Apibrėžimas 9.2. Linijinė transformacija vadinama identiški, jei jis transformuoja bet kurį vektorių X į save.

Tapatybės transformacija žymima JOSX = X .

Apsvarstykite trimatę erdvę su pagrindu e 1 , e 2 , e 3 , kuriame nurodyta tiesinė transformacija A. Pritaikę jį baziniams vektoriams, gauname vektorius Ae 1 , Ae 2 , Ae 3 priklausančių šiai trimačiai erdvei. Todėl kiekvieną iš jų galima išskirtinai išplėsti į bazinius vektorius:

Ae 1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 +a 31 e 3 ,

Ae 2 = a 12 e 1 + a 22 e 2 + a 32 e 3 , (9.2)

Ae 3 = a 13 e 1 + a 23 e 2 + a 33 e 3 .

Matrica
paskambino tiesinės transformacijos matricaA pagrinde e 1 , e 2 , e 3 . Šios matricos stulpeliai sudaryti iš bazinių transformacijų formulių (9.2) koeficientų.

komentuoti. Akivaizdu, kad tapatybės transformacijos matrica yra tapatybės matrica E.

Savavališkam vektoriui X =x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 tiesinės transformacijos taikymo rezultatas A bus vektorius AX , kuriuos galima išplėsti į to paties pagrindo vektorius: AX =x` 1 e 1 + x` 2 e 2 + x` 3 e 3 , kur koordinatės x` i galima rasti naudojant formules:

X` 1 =a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 =a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 , (9.3)

x` 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 .

Šios tiesinės transformacijos formulėse esantys koeficientai yra matricos eilučių elementai A.

Tiesinės transformacijos matricos transformacija

pereinant prie naujo pagrindo.

Apsvarstykite linijinę transformaciją A ir dvi bazes trimatėje erdvėje: e 1 , e 2 , e 3 Ir e 1 , e 2 , e 3 . Tegul matrica C apibrėžia perėjimo iš pagrindo ( e k Tegul matrica C apibrėžia perėjimo iš pagrindo ( e) prie pagrindo ( A). Jei pirmoje iš šių bazių pasirinkta tiesinė transformacija pateikiama matrica A, o antroje - matrica

A = C -1 A, tada galime rasti ryšį tarp šių matricų, būtent:

C (9,4)
tikrai, A
, Tada A. Kita vertus, tos pačios tiesinės transformacijos taikymo rezultatai Tegul matrica C apibrėžia perėjimo iš pagrindo ( e pagrindu ( ), t.y. Tegul matrica C apibrėžia perėjimo iš pagrindo ( e , o pagrinde ( ): atitinkamai SU:
- sujungta matrica , iš kurio išplaukia, kadA SU CA= SU-1, mes gauname SU - 1 . Abi šios lygybės iš kairės pusės padauginimas iš -1 A SU CA = = C

Savosios vertybės ir matricos savieji vektoriai.

Apibrėžimas 9.3. Vektorius X paskambino savasis vektorius matricos A, jei yra toks skaičius λ, kad lygybė galioja: AX = λ X , tai yra kreipimosi rezultatas X matricos nurodyta tiesinė transformacija A, yra šio vektoriaus padauginimas iš skaičiaus λ . Pats skaičius λ paskambino savoji vertė matricos A.

Keitimas į formules (9.3) x` j = λ x j , gauname lygčių sistemą savojo vektoriaus koordinatėms nustatyti:

.

. (9.5)

Ši tiesinė vienalytė sistema turės netrivialų sprendimą tik tuo atveju, jei jos pagrindinis determinantas yra 0 (Cramerio taisyklė). Įrašę šią sąlygą formoje:

gauname savųjų reikšmių nustatymo lygtį λ , paskambino charakteristikos lygtis. Trumpai jį galima pavaizduoti taip:

| A - λ E| = 0, (9.6)

nes jo kairėje pusėje yra matricos determinantas A-λE. Polinominis giminaitis λ | A - λ E| paskambino būdingas daugianario matricos A.

Būdingojo daugianario savybės:

Savųjų reikšmių ir savųjų vektorių savybės:

Jei pagrindą pasirinksime iš savųjų vektorių X 1 , X 2 , X 3 , atitinkančias savąsias reikšmes λ 1 , λ 2 , λ 3 matricos A, tada tiesinė transformacija A turi įstrižainės formos matricą:

(9.7) Šios savybės įrodymas išplaukia iš savųjų vektorių apibrėžimo.

Jei transformacijos savosios reikšmės A yra skirtingi, tada atitinkami jų savieji vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi.

Jei matricos charakteringasis daugianario A turi tris skirtingas šaknis, tada tam tikru pagrindu yra matrica A turi įstrižą išvaizdą.

Raskime matricos savąsias reikšmes ir savuosius vektorius Sukurkime charakteringą lygtį:
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

Raskime kiekvieną rastą reikšmę atitinkančių savųjų vektorių koordinates λ. Iš (9.5) išplaukia, kad jeigu X (1) ={x 1 , x 2 , x 3 ) – atitinkamas savasis vektorius λ 1 =-2, tada

- bendradarbiaujanti, bet neapibrėžta sistema. Jo sprendimas gali būti parašytas formoje X (1) ={a,0,-a), kur a yra bet koks skaičius. Visų pirma, jei reikalaujame, kad | x (1) |=1,X (1) =

Pakeitimas į sistemą (9.5) λ 2 =3, gauname antrojo savojo vektoriaus koordinačių nustatymo sistemą - x (2) ={y 1 , y 2 , y 3 }:

, kur X (2) ={b,- b, b) arba, jei | x (2) |=1,x (2) =

Dėl λ 3 = 6 raskite savąjį vektorių x (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:

,x (3) ={c,2 c, c) arba normalizuotoje versijoje

X (3) =
Galima pastebėti, kad X (1) X (2) =ab – ab = 0,x (1) x (3) =ak – ak = 0,x (2) x (3) =bc - 2bc + bc = 0. Taigi šios matricos savieji vektoriai yra poriniai stačiakampiai.