Kvadratinė forma n kintamųjų f(x 1, x 2,...,x n) yra suma, kurios kiekvienas narys yra arba vieno iš kintamųjų kvadratas, arba dviejų skirtingų kintamųjų sandauga, paimta su tam tikru koeficientu: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Iš šių koeficientų sudaryta matrica A vadinama kvadratinės formos matrica. Tai visada simetriškas matrica (t. y. pagrindinei įstrižainei simetriška matrica, a ij =a ji).

IN matricos žymėjimas kvadratinė forma yra f(X) = X T AX, kur

Tikrai

Pavyzdžiui, įsirašykime matricos forma kvadratine forma.

Norėdami tai padaryti, randame kvadratinės formos matricą. Jo įstrižainės yra lygūs kvadratinių kintamųjų koeficientams, o likę elementai lygūs kvadratinės formos atitinkamų koeficientų pusėms. Štai kodėl

Tegu kintamųjų X matrica-stulpelis gaunamas nedegeneruota tiesine matricos-stulpelio Y transformacija, t.y. X = CY, kur C yra n-osios eilės vienaskaita matrica. Tada kvadratinė forma f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Taigi su neišsigimusia tiesine transformacija C kvadratinės formos matrica įgauna tokią formą: A * =C T AC.

Pavyzdžiui, suraskime kvadratinę formą f(y 1, y 2), gautą iš kvadratinės formos f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 tiesine transformacija.

Kvadratinė forma vadinama kanoninis(turi kanoninis požiūris), jei visi jo koeficientai ij = 0, kai i≠j, t. y. f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Jo matrica yra įstrižainė.

Teorema(įrodymas čia nepateiktas). Bet kuri kvadratinė forma gali būti sumažinta iki kanoninės formos, naudojant neišsigimusią tiesinę transformaciją.

Pavyzdžiui, veskime prie kanoninė forma kvadratinė forma f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Norėdami tai padaryti, pirmiausia pasirenkame tobulas kvadratas su kintamuoju x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 x 2 2 – x 2 x 3.

Dabar pasirenkame visą kvadratą su kintamuoju x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 2 – 2* x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) – (5/100) x 3 2 = = 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 – (1/10) x 3) 2 – (1/20) x 3 2.

Tada neišsigimęs tiesinė transformacija y 1 = x 1 + x 2 , y 2 = x 2 – (1/10) x 3 ir y 3 = x 3 suteikia šią kvadratinę formą į kanoninę formą f(y 1 , y 2 , y 3) = 2y 1 2 – 5 m. 2 2 – (1/20) m 3 2 .

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinės formos kanoninė forma nustatoma dviprasmiškai (ta pati kvadratinė forma gali būti sumažinta iki kanoninės formos įvairiais būdais 1). Tačiau gautas įvairiais būdais kanoninės formos turi nemažai bendrųjų savybių. Visų pirma, dėmenų, turinčių teigiamus (neigiamus) kvadratinės formos koeficientus, skaičius nepriklauso nuo formos sumažinimo iki šios formos metodo (pavyzdžiui, nagrinėjamame pavyzdyje visada bus du neigiami ir vienas teigiamas koeficientas). Ši savybė vadinama kvadratinių formų inercijos dėsnis.

Patikrinkime tai, perkeldami tą pačią kvadratinę formą į kanoninę formą kitu būdu. Transformaciją pradėkime nuo kintamojo x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3 (x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2) /3) x 1) 2) – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3 (x 2 – (1/6) x 3 – (2) /3) x 1) 2 – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2, kur y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 ir y 3 = x 1 . Čia yra teigiamas koeficientas 2 y 3 ir du neigiami koeficientai (-3) y 1 ir y 2 (ir naudojant kitą metodą, mes gavome teigiamą koeficientą 2 y 1 ir du neigiamus - (-5) y 2 ir (-1/20) y 3).

Taip pat reikia pažymėti, kad kvadratinės formos matricos rangas, vadinamas kvadratinės formos rangas, lygus skaičiui nenulinių koeficientų kanoninė forma ir nesikeičia tiesinių transformacijų metu.

Vadinama kvadratinė forma f(X). teigiamai(neigiamas)tam tikras, jei visoms kintamųjų reikšmėms, kurios vienu metu nėra lygios nuliui, jis yra teigiamas, t. y. f(X) > 0 (neigiamas, t. y. f(X)< 0).

Pavyzdžiui, kvadratinė forma f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 yra teigiama apibrėžtoji, nes yra kvadratų suma, o kvadratinė forma f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 yra neigiama apibrėžtoji, nes reiškia, kad jis gali būti pavaizduotas kaip f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Daugumoje praktinių situacijų yra šiek tiek sunkiau nustatyti kvadratinės formos apibrėžtąjį ženklą, todėl tam naudojame vieną iš šių teoremų (suformuluosime jas be įrodymų).

Teorema. Kvadratinė forma yra teigiama (neigiama) apibrėžta tada ir tik tada, kai viskas savąsias reikšmes jo matricos yra teigiamos (neigiamos).

Teorema (Sylvesterio kriterijus). Kvadratinė forma yra teigiama apibrėžta tada ir tik tada, kai visi šios formos matricos pirmaujantys minorai yra teigiami.

Pagrindinis (kampinis) nepilnametis An-osios eilės k-osios eilės matricos vadinamos matricos determinantu, sudarytą iš pirmųjų k matricos A () eilučių ir stulpelių.

Atkreipkite dėmesį, kad neigiamoms apibrėžtinėms kvadratinėms formoms kaitaliojasi pagrindinių nepilnamečių ženklai, o pirmos eilės minorinis turi būti neigiamas.

Pavyzdžiui, panagrinėkime kvadratinę formą f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 ženklų apibrėžtumui.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 – 2- 3+ 2) – 4 = 2 – 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Todėl kvadratinė forma yra teigiama.

2 metodas. Matricos pirmos eilės pagrindinis minoras A  1 =a 11 = 2 > 0. Antrosios eilės pagrindinis minoras  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Todėl pagal Sylvesterio kriterijų kvadratinis forma yra teigiama.

Panagrinėkime kitą kvadratinę ženklo apibrėžtumo formą, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

1 būdas. Sukurkime kvadratinės formos A = matricą. Charakteristinė lygtis atrodys = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Todėl kvadratinė forma yra neigiama apibrėžta.

2 metodas. Matricos A  1 =a 11 = = -2 pirmosios eilės pagrindinis minoras< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Vadinasi, pagal Sylvesterio kriterijų kvadratinė forma yra neigiama apibrėžtoji (pagrindinių nepilnamečių ženklai kaitaliojasi, pradedant minusu).

Ir kaip kitą pavyzdį nagrinėjame ženklo nulemtą kvadratinę formą f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

1 būdas. Sukurkime kvadratinės formos A = matricą. Būdingoji lygtis turės formą = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Vienas iš šių skaičių yra neigiamas, o kitas – teigiamas. Savųjų reikšmių ženklai yra skirtingi. Vadinasi, kvadratinė forma negali būti nei neigiamai, nei teigiamai apibrėžta, t.y. ši kvadratinė forma nėra apibrėžta ženklu (ji gali turėti bet kurio ženklo reikšmes).

2 metodas. Matricos A pirmos eilės pagrindinis minoras  1 =a 11 = 2 > 0. Antrosios eilės pagrindinis minoras 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1 Apsvarstytą kvadratinės formos redukavimo į kanoninę metodą patogu naudoti, kai su kintamųjų kvadratais susiduriama su nuliniais koeficientais. Jei jų nėra, vis tiek galima atlikti konversiją, tačiau turite naudoti kitus metodus. Pavyzdžiui, tegul f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2 x 1 x 2 = (x 1) + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 – x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, kur y 1 = x 1 + x 2, аy 2 = x 1 – x 2.

Vienalytis kelių kintamųjų 2 laipsnio daugianomas vadinamas kvadratine forma.

Kvadratinė kintamųjų forma susideda iš dviejų tipų terminų: kintamųjų kvadratų ir jų porinių sandaugų su tam tikrais koeficientais. Kvadratinė forma paprastai rašoma kaip tokia kvadratinė diagrama:

Poros panašių narių rašomi su vienodais koeficientais, kad kiekvienas iš jų sudarytų pusę koeficiento su atitinkama kintamųjų sandauga. Taigi kiekviena kvadratinė forma yra natūraliai susieta su jos koeficientų matrica, kuri yra simetriška.

Kvadratinę formą patogu pavaizduoti tokia matricos žyma. X pažymėkime kintamųjų stulpelį per X - eilutę, t. y. matricą, transponuotą X. Tada

Kvadratinės formos randamos daugelyje matematikos šakų ir jos pritaikymų.

Apsvarstykite skaičių teoriją ir kristalografiją kvadratinės formos darant prielaidą, kad kintamieji turi tik sveikąsias reikšmes. IN analitinė geometrija kvadratinė forma yra eilės kreivės (arba paviršiaus) lygties dalis. Atrodo, kad mechanikoje ir fizikoje kvadratinė forma išreiškiama kinetinė energija sistemas per apibendrintų greičių dedamąsias ir pan. Bet, be to, kvadratinių formų tyrimas būtinas ir analizuojant daugelio kintamųjų funkcijas, kurių sprendimui svarbu išsiaiškinti, kaip šią funkciją esantis šalia nurodyto taško nukrypsta nuo artėjančio prie jo tiesinė funkcija. Tokio tipo problemos pavyzdys yra funkcijos maksimalaus ir minimumo tyrimas.

Apsvarstykite, pavyzdžiui, dviejų kintamųjų funkcijos, turinčios nuolatines dalines išvestines, didžiausio ir minimumo tyrimo problemą. Būtina sąlyga Kad taškas duotų funkcijos maksimumą arba minimumą, taško eilės dalinės išvestinės yra lygios nuliui. Suteikime kintamiesiems x ir y mažus prieaugius ir k ir apsvarstykime atitinkamą funkcijos prieaugį. Pagal Taylor formulę šis prieaugis iki mažų aukštesnių laipsnių yra lygus kvadratinei formai, kur yra antrųjų išvestinių reikšmės. apskaičiuojamas taške Jei ši kvadratinė forma yra teigiama visoms ir k reikšmėms (išskyrus ), tada funkcija taške turi minimumą, jei ji yra neigiama, tada ji turi maksimumą. Galiausiai, jei forma įgauna ir teigiamą, ir neigiamos reikšmės, tada nebus nei maksimumo, nei minimumo. Funkcijos iš daugiau kintamieji.

Kvadratinių formų tyrimas daugiausia susideda iš formų lygiavertiškumo vienos ar kitos kintamųjų tiesinių transformacijų rinkinio atžvilgiu problemos. Sakoma, kad dvi kvadratinės formos yra lygiavertės, jei vieną iš jų galima paversti kita per vieną iš tam tikros aibės transformacijų. Su lygiavertiškumo problema glaudžiai susijusi ir formos redukavimo problema, t.y. paverčiant jį kokia nors galbūt paprasčiausia forma.

IN įvairių klausimų siejami su kvadratinėmis formomis, taip pat nagrinėjamos įvairios leistinų kintamųjų transformacijų rinkiniai.

Analizės klausimais naudojamos bet kokios neypatingos kintamųjų transformacijos; analitinės geometrijos tikslais didžiausias susidomėjimas yra stačiakampės transformacijos, ty tie, kurie atitinka perėjimą iš vienos kintamųjų sistemos Dekarto koordinatėsį kitą. Galiausiai skaičių teorijoje ir kristalografijoje nagrinėjamos tiesinės transformacijos su sveikųjų skaičių koeficientais ir determinantu, lygiu vienybei.

Išnagrinėsime dvi iš šių problemų: klausimą dėl kvadratinės formos redukavimo į paprasčiausią formą naudojant bet kokias nevienaskaites transformacijas ir tą patį klausimą dėl stačiakampių transformacijų. Pirmiausia išsiaiškinkime, kaip tiesinės kintamųjų transformacijos metu transformuojama kvadratinės formos matrica.

Tegu , kur A yra simetrinė formos koeficientų matrica, X yra kintamųjų stulpelis.

Atlikime tiesinę kintamųjų transformaciją, sutrumpintą užrašydami kaip . Čia C žymi šios transformacijos koeficientų matricą, X – naujų kintamųjų stulpelį. Tada ir todėl transformuotos kvadratinės formos matrica yra tokia

Matrica automatiškai pasirodo simetriška, kurią lengva patikrinti. Taigi kvadratinės formos redukavimo iki paprasčiausios formos problema yra lygiavertė simetrinės matricos redukavimo į paprasčiausią formą problemai, padauginus ją kairėje ir dešinėje iš tarpusavyje perkeltų matricų.

Funkcijų įvedimo taisyklės:

Du kartus tolydžio diferencijuojama funkcija f(x) yra išgaubta (įgaubta) tada ir tik tada Heseno matrica funkcija f(x) x atžvilgiu yra teigiama (neigiama) pusiau apibrėžta visiems x (žr. kelių kintamųjų funkcijos lokalių ekstremalių taškus).

Funkciniai kritiniai taškai:

• jei Hesenas yra teigiamas apibrėžtasis, tai x 0 yra taškas vietinis minimumas funkcijos f(x) ,
• jei Hesenas yra neigiamas apibrėžtasis, tada x 0 yra funkcijos f(x) maksimalus lokalus taškas,
• jei Hesenas nėra apibrėžiamasis (priima ir teigiamas, ir neigiamas reikšmes) ir yra neišsigimęs (det G(f) ≠ 0), tai x 0 yra funkcijos f(x) balno taškas.

Matricos apibrėžtumo kriterijai (Sylvesterio teorema)

• visi matricos įstrižainės elementai turi būti teigiami;
• visi pirmaujantys pagrindiniai kvalifikaciniai rodikliai turi būti teigiami.

Teigiamas pusiau apibrėžtumas:

• visi įstrižainės elementai yra neneigiami;
• visi pagrindiniai determinantai yra neneigiami.

Kvadratinė simetrinė n eilės matrica, kurios elementai yra dalinės išvestinės objektyvią funkciją antra tvarka vadinama Heseno matrica ir yra nurodyta:

Kad simetrinė matrica būtų teigiama apibrėžtoji, būtina ir pakanka, kad visos jos įstrižainės minorinės būtų teigiamos, t.y.


matricai A = (a ij) yra teigiami.

Neigiamas tikrumas.
Kad simetrinė matrica būtų neigiama apibrėžta, būtina ir pakanka, kad įvyktų šios nelygybės:
(-1) k D k > 0, k=1,..., n.
Kitaip tariant, kad kvadratinė forma būtų neigiamas apibrėžtas, būtina ir pakanka, kad kvadratinės formos matricos kampinių minorų ženklai keistųsi, pradedant minuso ženklu. Pavyzdžiui, dviem kintamiesiems D 1< 0, D 2 > 0.

Jei Hesenas yra pusiau apibrėžtas, tai taip pat gali būti vingio taškas. Reikalingas papildomų tyrimų, kuris gali būti atliktas pagal vieną iš šių parinkčių:

1. Mažėjanti tvarka. Atliekamas kintamųjų pakeitimas. Pavyzdžiui, dviejų kintamųjų funkcijai tai yra y=x, todėl gauname vieno kintamojo x funkciją. Toliau nagrinėjame funkcijos elgseną tiesėse y=x ir y=-x. Jei pirmuoju atveju funkcija tiriamame taške turės minimumą, o kitu atveju maksimumą (arba atvirkščiai), tai tiriamas taškas yra balno taškas.
2. Heseno savųjų verčių radimas. Jei visos reikšmės yra teigiamos, funkcija tiriamame taške turi minimumą, jei visos vertės yra neigiamos, yra maksimumas.
3. Funkcijos f(x) taško ε kaimynystėje tyrimas. Kintamieji x pakeičiami x 0 +ε. Toliau reikia įrodyti, kad vieno kintamojo ε funkcija f(x 0 +ε), arba didesnis už nulį(tada x 0 yra mažiausias taškas), arba mažiau nei nulis(tada x 0 yra didžiausias taškas).

Pastaba. Norėdami rasti atvirkštinis Hesenas pakanka rasti atvirkštinę matricą.

1 pavyzdys. Kuris iš šias funkcijas yra išgaubtos arba įgaubtos: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2.
Sprendimas. 1. Raskime dalines išvestines.


2. Išspręskime lygčių sistemą.
-4x 1 +4x 2 +2 = 0
4x 1 -6x 2 +6 = 0
Mes gauname:
a) Iš pirmosios lygties išreiškiame x 1 ir pakeičiame ją antrąja lygtimi:
x 2 = x 2 + 1/2
-2x 2 +8 = 0
kur x 2 = 4
Šias reikšmes x 2 pakeičiame į x 1 išraišką. Gauname: x 1 = 9/2
Kritinių taškų skaičius yra 1.
M 1 (9/2 ;4)
3. Raskime antros eilės dalines išvestines.



4. Apskaičiuokime šių antros eilės dalinių išvestinių reikšmę in kritinius taškus M(x0;y0).
Apskaičiuojame taško M 1 reikšmes (9 / 2 ;4)



Mes sukuriame Heseno matricą:

D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
Kadangi įstrižainės nepilnamečiai turi įvairių ženklų, tada nieko negalima pasakyti apie funkcijos išgaubtumą ar įgaubtumą.

Kvadratinės formos samprata. Kvadratinės formos matrica. Kvadratinės formos kanoninė forma. Lagranžo metodas. Normalus vaizdas kvadratine forma. Kvadratinės formos rangas, rodyklė ir parašas. Teigiama apibrėžtoji kvadratinė forma. Keturkampiai.

Kvadratinės formos samprata: vektoriaus erdvės funkcija, apibrėžta vektoriaus koordinatėse antrojo laipsnio vienalyčiu polinomu.

Kvadratinė forma nuo n nežinomas vadinama suma, kurios kiekvienas narys yra arba vieno iš šių nežinomųjų kvadratas, arba dviejų skirtingų nežinomųjų sandauga.

Kvadratinė matrica: Matrica vadinama kvadratinės formos matrica šiuo pagrindu. Jei lauko charakteristika nėra lygi 2, galime manyti, kad kvadratinės formos matrica yra simetriška, t.

Parašykite kvadratinės formos matricą:

Vadinasi,

Vektorinės matricos formoje kvadratinė forma yra:

A, kur

Kanoninė kvadratinės formos forma: Kvadratinė forma vadinama kanonine, jei viskas t.y.

Bet kuri kvadratinė forma gali būti sumažinta iki kanoninės formos naudojant tiesines transformacijas. Praktikoje dažniausiai naudojami šie metodai.

Lagranžo metodas : nuoseklus pilnų kvadratų pasirinkimas. Pavyzdžiui, jei

Tada panaši procedūra atliekama su kvadratine forma tt Jei kvadratine forma viskas yra bet tada po išankstinio pakeitimo reikalas pereina prie svarstytos procedūros. Taigi, jei, pavyzdžiui, tada darome prielaidą

Įprasta kvadratinės formos forma: Normalioji kvadratinė forma yra kanoninė kvadratinė forma, kurios visi koeficientai yra lygūs +1 arba -1.

Kvadratinės formos rangas, indeksas ir parašas: Kvadratinės formos rangas A vadinamas matricos rangu A. Kvadratinės formos rangas nesikeičia dėl neišsigimusių nežinomųjų transformacijų.

Neigiamų koeficientų skaičius vadinamas neigiamos formos indeksu.

Teigiamų narių skaičius kanoninėje formoje vadinamas teigiamu kvadratinės formos inercijos indeksu, neigiamų narių skaičius vadinamas neigiamu indeksu. Skirtumas tarp teigiamų ir neigiamų indeksų vadinamas kvadratinės formos parašu

Teigiama apibrėžta kvadratinė forma: Tikra kvadratinė forma vadinamas teigiamu apibrėžtuoju (neigiamu apibrėžtuoju), jei bet kurioms tikrosioms kintamųjų reikšmėms, kurios vienu metu nėra nulis,

. (36)

Šiuo atveju matrica taip pat vadinama teigiama apibrėžta (neigiama apibrėžta).

Teigiamų apibrėžtųjų (neigiamų apibrėžtųjų) formų klasė yra neneigiamų (resp. neteigiamų) formų klasės dalis.

Keturkampiai: Keturkampis - n-dimensinis hiperpaviršius n+1-matė erdvė, apibrėžiama kaip antrojo laipsnio daugianario nulių aibė. Jei įvesite koordinates ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (euklido arba giminingoje erdvėje), bendroji lygtis keturkampiai turi formą

Šią lygtį galima kompaktiškiau perrašyti matricos žymėjimu:

kur x = ( x 1 , x 2 , x n+1) – eilutės vektorius, x T yra perkeltas vektorius, K- dydžio matrica ( n+1)×( n+1) (manoma, kad bent vienas jo elementas yra ne nulis), P yra eilutės vektorius ir R- pastovus. Dažniausiai svarstomi keturkampiai prieš tikrus kompleksiniai skaičiai. Apibrėžimas gali būti išplėstas iki keturkampių projekcinėje erdvėje, žr. toliau.

Apskritai, sistemos nulių rinkinys daugianario lygtysžinoma kaip algebrinė atmaina. Taigi keturkampis yra (afininė arba projekcinė) antrojo laipsnio ir 1 kodimens algebrinė atmaina.

Plokštumos ir erdvės transformacijos.

Plokštumos transformacijos apibrėžimas. Judesio aptikimas. judėjimo savybės. Dviejų tipų judesiai: pirmosios rūšies judesiai ir antrosios rūšies judesiai. Judesių pavyzdžiai. Analitinė išraiška judesiai. Plokštumos judesių klasifikacija (priklausomai nuo buvimo fiksuoti taškai ir nekintamos linijos). Plokštumos judesių grupė.

Plokštumos transformacijos apibrėžimas: Apibrėžimas. Vadinama plokštumos transformacija, kuri išsaugo atstumą tarp taškų judėjimas(arba judėjimas) lėktuvu. Plokštumos transformacija vadinama afininis, jei jis bet kuriuos tris taškus, esančius toje pačioje tiesėje, paverčia trimis taškais, taip pat esančiais toje pačioje tiesėje, ir tuo pačiu išsaugant paprastą trijų taškų ryšį.

Judesio apibrėžimas: Tai formų transformacijos, išsaugančios atstumus tarp taškų. Jei dvi figūros yra tiksliai sulygiuotos viena su kita per judesį, tai šios figūros yra vienodos, lygios.

Judėjimo savybės: Kiekvienas orientaciją išsaugantis plokštumos judesys yra arba lygiagretus poslinkis, arba kiekvienas orientaciją keičiantis plokštumos judesys yra arba ašinė simetrija, arba slystanti simetrija. Judant taškai, esantys tiesioje linijoje, virsta taškais, esančiais tiesioje linijoje, ir išlaikoma jų tvarka. santykinė padėtis. Judant išsaugomi kampai tarp puslinijų.

Dviejų tipų judesiai: pirmosios rūšies judesiai ir antrojo tipo judesiai: Pirmosios rūšies judesiai yra tie judesiai, kurie išsaugo tam tikros figūros pagrindų orientaciją. Juos galima realizuoti nuolatiniais judesiais.

Antrosios rūšies judesiai yra tie judesiai, kurie keičia pagrindų orientaciją į priešingą pusę. Jų negalima realizuoti nuolatiniais judesiais.

Pirmosios rūšies judesių pavyzdžiai yra vertimas ir sukimas aplink tiesią liniją, o antrosios rūšies judesiai yra centrinė ir veidrodinė simetrija.

Bet kokio skaičiaus pirmosios rūšies judesių kompozicija yra pirmosios rūšies judesiai.

Antrosios rūšies nelyginio judesių skaičiaus kompozicija yra 1-osios rūšies judesiai, o nelyginio skaičiaus 2-osios rūšies judesių kompozicija yra 2-osios rūšies judesiai.

Judesių pavyzdžiai:Lygiagretus perdavimas . Tegu a yra duotas vektorius. Lygiagretus perkėlimas į vektorių a yra plokštumos susiejimas su savimi, kuriame kiekvienas taškas M yra susietas su tašku M 1, kuris yra vektorius MM 1 lygus vektoriui A.

Lygiagretusis vertimas yra judėjimas, nes tai yra plokštumos susiejimas su savimi, išsaugant atstumus. Šis judėjimas gali būti vizualiai pavaizduotas kaip visos plokštumos poslinkis kryptimi duotas vektorius bet dėl ​​jo ilgio.

Pasukti. Pažymime tašką O plokštumoje ( posūkio centras) ir nustatykite kampą α ( sukimosi kampas). Plokštumos pasukimas aplink tašką O kampu α yra plokštumos susiejimas su savimi, kai kiekvienas taškas M yra susietas su tašku M 1 taip, kad OM = OM 1 ir kampas MOM 1 lygus α. Šiuo atveju taškas O lieka savo vietoje, t. y. jis yra atvaizduojamas ant savęs, o visi kiti taškai sukasi aplink tašką O ta pačia kryptimi – pagal laikrodžio rodyklę arba prieš laikrodžio rodyklę (paveikslėlyje parodytas sukimasis prieš laikrodžio rodyklę).

Sukimasis yra judėjimas, nes jis reiškia plokštumos susiejimą su savimi, kai atstumai išsaugomi.

Analitinė judesio išraiška: analitinis ryšys tarp pirminio vaizdo koordinačių ir taško vaizdo turi formą (1).

Plokštumos judesių klasifikacija (priklausomai nuo fiksuotų taškų ir nekintamų linijų buvimo): Apibrėžimas:

Plokštumos taškas yra nekintamas (fiksuotas), jei po tam tikros transformacijos jis transformuojasi į save.

Pavyzdys: Kada centrinė simetrija simetrijos centro taškas yra nekintamas. Sukant sukimosi centro taškas yra nekintamas. At ašinė simetrija tiesi linija yra nekintama – simetrijos ašis yra nekintamų taškų tiesė.

Teorema: Jei judėjimas neturi nei vieno kintamo taško, tai jis turi bent vieną nekintamą kryptį.

Pavyzdys: lygiagretus perdavimas. Iš tiesų, tiesės, lygiagrečios šiai krypčiai, yra nekintamos kaip visuma, nors ji ir nesusideda iš nekintamų taškų.

Teorema: Jei koks nors spindulys juda, spindulys virsta savimi, tada šis judėjimas yra arba tapatybės transformacija, arba simetrija tiesės, kurioje yra nurodytas spindulys, atžvilgiu.

Todėl, remiantis nekintamų taškų ar figūrų buvimu, galima klasifikuoti judesius.

Lėktuvų judėjimo grupė: Geometrijoje svarbus vaidmuožaidžia savarankiškai besijungiančių figūrų grupės. Jei plokštumoje (ar erdvėje) yra tam tikra figūra, tai galime laikyti aibę visų tų plokštumos (ar erdvės) judesių, kurių metu figūra virsta savimi.

Šis rinkinys yra grupė. Pavyzdžiui, už lygiakraštis trikampis plokštumos judesių grupė, perkelianti trikampį į save, susideda iš 6 elementų: sukimosi kampais aplink tašką ir simetrijos apie tris tiesias linijas.

Jie parodyti pav. 1 su raudonomis linijomis. Savarankiško derinio grupės elementai taisyklingas trikampis galima nurodyti skirtingai. Norėdami tai paaiškinti, sunumeruokime taisyklingo trikampio viršūnes skaičiais 1, 2, 3. Bet koks trikampio savaiminis išsilyginimas paima taškus 1, 2, 3 į tuos pačius taškus, bet paimtus kita tvarka, t.y. galima sąlygiškai parašyti vieno iš šių skliaustų forma:

ir tt

kur skaičiai 1, 2, 3 rodo skaičius tų viršūnių, į kurias dėl nagrinėjamo judėjimo patenka viršūnės 1, 2, 3.

Projektyvios erdvės ir jų modeliai.

Projekcinės erdvės samprata ir projekcinės erdvės modelis. Pagrindiniai projekcinės geometrijos faktai. Tiesių krūva, kurios centras yra taške O, yra projekcinės plokštumos modelis. Projekciniai taškai. Išplėstinė plokštuma yra projekcinės plokštumos modelis. Išplėstinė trimatė afininė arba euklidinė erdvė yra projekcinės erdvės modelis. Lygiagretaus dizaino plokščių ir erdvinių figūrų vaizdai.

Projektinės erdvės samprata ir projekcinės erdvės modelis:

Projekcinė erdvė virš lauko – tai erdvė, susidedanti iš tiesinės erdvės virš tam tikro lauko linijų (vienmatės suberdvės). Tiesioginės erdvės vadinamos taškais projekcinė erdvė. Šis apibrėžimas gali būti apibendrintas pagal savavališką kūną

Jei jis turi dimensiją , tada projekcinės erdvės matmuo vadinamas skaičiumi , o pati projekcinė erdvė žymima ir vadinama susieta (norint tai nurodyti, priimamas žymėjimas).

Perėjimas iš vektorinė erdvė matmuo į atitinkamą projekcinę erdvę vadinamas projektavimas erdvė.

Taškai gali būti apibūdinti naudojant vienarūšės koordinatės.

Pagrindiniai projekcinės geometrijos faktai: Projekcinė geometrija yra geometrijos šaka, tirianti projekcines plokštumas ir erdves. Pagrindinė savybė Projektinė geometrija pagrįsta dvilypumo principu, kuris daugeliui dizainų suteikia grakščios simetrijos. Projekcinę geometriją galima studijuoti tiek grynai geometrinis taškas požiūrio, tiek analitiniu (naudojant vienarūšes koordinates), tiek salgebriniu požiūriu, projekcinę plokštumą vertinant kaip struktūrą virš lauko. Dažnai ir istoriškai tikroji projekcinė plokštuma laikoma Euklido plokštuma, pridedant „liniją begalybėje“.

Tuo tarpu figūrų, su kuriomis susiduria Euklido geometrija, savybės metrinė(konkrečios kampų, atkarpų, plotų vertės), o figūrų lygiavertiškumas yra lygiavertis jiems sutapimas(t. y. kai figūras galima paversti viena į kitą judant išsaugant metrines savybes), yra daugiau „giliai esančių“ savybių geometrines figūras, kurie išsaugomi transformacijų metu daugiau nei bendras tipas nei judėjimas. Projekcinė geometrija nagrinėja figūrų, kurios klasėje yra nekintamos, savybių tyrimą projekcinės transformacijos , kaip ir pačios šios transformacijos.

Projektyvioji geometrija papildo euklido, suteikdama gražių ir paprasti sprendimai daugeliui problemų, kurias apsunkina lygiagrečių linijų buvimas. Projekcinė kūginių pjūvių teorija ypač paprasta ir elegantiška.

Yra trys pagrindiniai projekcinės geometrijos būdai: nepriklausoma aksiomatizacija, Euklido geometrijos papildymas ir struktūra per lauką.

Aksiomatizacija

Projektinė erdvė gali būti apibrėžta naudojant skirtingą aksiomų rinkinį.

Coxeter suteikia:

1. Yra tiesi linija, o taškas nėra joje.

2. Kiekviena eilutė turi bent tris taškus.

3. Per du taškus galite nubrėžti tiksliai vieną tiesią liniją.

4. Jei A, B, C, Ir D- įvairūs taškai ir AB Ir CD susikerta, tada A.C. Ir BD susikerta.

5. Jeigu ABC yra plokštuma, tada plokštumoje yra bent vienas taškas ABC.

6. Du skirtingos plokštumos susikerta bent dviejuose taškuose.

7. Trys pilno keturkampio įstrižainės taškai nėra kolinearūs.

8. Jei trys taškai yra tiesėje X X

Projekcinė plokštuma (be trečiojo matmens) apibrėžiama šiek tiek skirtingomis aksiomomis:

1. Per du taškus galite nubrėžti tiksliai vieną tiesią liniją.

2. Bet kurios dvi tiesės susikerta.

3. Yra keturi taškai, iš kurių trys nėra kolinearūs.

4. Trys įstrižainės taškai pilni keturkampiai ne kolinearinis.

5. Jei trys taškai yra tiesėje X yra nekintamieji φ projekcingumo atžvilgiu, tada visi taškai yra X nekintamas φ atžvilgiu.

6. Desargueso teorema: Jei du trikampiai yra perspektyvūs per tašką, tai jie yra perspektyvūs per tiesę.

Esant trečiajai dimensijai, Desargueso teorema gali būti įrodyta neįvedus idealūs taškai ir tiesiai.

Išplėstinė plokštuma – projekcinės plokštumos modelis: Afininėje erdvėje A3 paimame pluoštą tiesių S(O), kurių centras yra taške O ir plokštuma Π, kuri nekerta pluošto centro: O 6∈ Π. Linijų pluoštas afininėje erdvėje yra projekcinės plokštumos modelis. Apibrėžkime plokštumos Π taškų aibės susiejimą su jungiamosios S tiesių aibės aibę (Vik, melskis, jei turi šį klausimą, atleisk man)

Išplėstinė trimatė afininė arba euklido erdvė – projekcinės erdvės modelis:

Kad atvaizdavimas būtų surjektyvus, pakartojame afininės plokštumos Π formalaus išplėtimo iki projekcinės plokštumos Π procesą, plokštumą Π papildydami netinkamų taškų rinkiniu (M∞), kad: ((M∞)) = P0(O). Kadangi žemėlapyje atvirkštinis kiekvienos plokštumų pluošto S(O) plokštumos vaizdas yra plokštumos d tiesė, akivaizdu, kad visų netinkamų išplėstinės plokštumos taškų aibė: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), reiškia netinkamą išplėstinės plokštumos tiesę d∞, kuri yra atvirkštinis vienaskaitos plokštumos Π0 vaizdas: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Sutikime, kad čia ir nuo šiol paskutinę lygybę P0(O) = Π0 suprasime taškų aibių lygybės prasme, bet apdovanotą kitokia struktūra. Pridedama afininė plokštuma neteisinga linija, pasiekėme, kad atvaizdavimas (I.21) tapo bijektyvus visų išplėstinės plokštumos taškų aibėje:

Lygiagretaus dizaino plokščių ir erdvinių figūrų vaizdai:

Stereometrijoje tiriamos erdvinės figūros, bet piešinyje jos vaizduojamos kaip plokščios figūros. Kaip plokštumoje turėtų būti pavaizduota erdvinė figūra? Paprastai geometrijoje tam naudojamas lygiagretusis dizainas. Tegul p yra kažkokia plokštuma, l- ją kertanti tiesė (1 pav.). Per savavališkas taškas A, nepriklausantis linijai l, nubrėžkite liniją, lygiagrečią linijai l. Šios tiesės susikirtimo su plokštuma p taškas vadinamas lygiagrečia taško projekcija Aį plokštumą p tiesės kryptimi l. Pažymėkime tai A“. Jei taškas A priklauso linijai l, tada lygiagrečia projekcija A tiesės susikirtimo taškas laikomas plokštumoje p l su lėktuvu p.

Taigi, kiekvienas taškas A erdvė lyginama jos projekcija A“ į lėktuvą p. Šis susirašinėjimas vadinamas lygiagretus dizainasį plokštumą p tiesės kryptimi l.

Projekcinių transformacijų grupė. Taikymas problemų sprendimui.

Plokštumos projekcinės transformacijos samprata. Plokštumos projekcinių transformacijų pavyzdžiai. Projekcinių transformacijų savybės. Homologija, homologijos savybės. Projekcinių transformacijų grupė.

Plokštumos projekcinės transformacijos samprata: Projekcinės transformacijos samprata apibendrina centrinės projekcijos sampratą. Jei taip centrinė projekcija plokštuma α į kokią nors plokštumą α 1, tada α 1 projekcija į α 2, α 2 projekcija į α 3, ... ir galiausiai kažkokia plokštuma α n vėl ant α 1, tada visų šių projekcijų sudėtis yra plokštumos α projekcinė transformacija; Į tokią grandinę gali būti įtrauktos ir lygiagrečios projekcijos.

Projekcinių plokštumų transformacijų pavyzdžiai: Projekcinė užbaigtos plokštumos transformacija yra jos vienas su vienu atvaizdavimas į save, kai išsaugomas taškų kolineariškumas, arba, kitaip tariant, bet kurios linijos vaizdas yra tiesi linija. Kiekviena projekcinė transformacija yra centrinės ir grandinės kompozicija lygiagrečios projekcijos. Afininė transformacija- Tai ypatingas atvejis projekcinė, kurioje be galo nutolusi tiesė virsta savimi.

Projekcinių transformacijų savybės:

Projekcinės transformacijos metu trys taškai, esantys ne tiesėje, paverčiami trimis ne tiesėje esančiais taškais.

Projekcinės transformacijos metu kadras tampa rėmeliu.

Projekcinės transformacijos metu linija pereina į tiesią liniją, o pieštukas – į pieštuką.

Homologija, homologijos savybės:

Plokštumos, turinčios nekintamų taškų liniją, taigi ir nekintamų tiesių pieštuką, projekcinė transformacija vadinama homologija.

1. Tiesė, einanti per nesutampančius atitinkamus homologijos taškus, yra nekintama tiesė;

2. Linijos, einančios per nesutampančius atitinkamus homologijos taškus, priklauso tam pačiam pieštukui, kurio centras yra nekintamas taškas.

3. Taškas, jo vaizdas ir homologijos centras yra toje pačioje tiesėje.

Projektinių transformacijų grupė: apsvarstykite projekcinės plokštumos P 2 projekcinį atvaizdavimą į save, tai yra šios plokštumos projekcinę transformaciją (P 2 ’ = P 2).

Kaip ir anksčiau, projekcinės plokštumos P 2 projekcinių transformacijų f 1 ir f 2 sudėtis yra nuoseklaus transformacijų f 1 ir f 2 vykdymo rezultatas: f = f 2 °f 1 .

1 teorema: projekcinės plokštumos P 2 visų projekcinių transformacijų aibė H yra grupė projekcinių transformacijų sudėties atžvilgiu.

Kvadratinės formos

Kvadratinė forma n kintamųjų f(x 1, x 2,...,x n) yra suma, kurios kiekvienas narys yra arba vieno iš kintamųjų kvadratas, arba dviejų skirtingų kintamųjų sandauga, paimta su tam tikru koeficientu: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Iš šių koeficientų sudaryta matrica A vadinama kvadratinės formos matrica. Tai visada simetriškas matrica (t. y. pagrindinei įstrižainei simetriška matrica, a ij = a ji).

Matricos žymėjime kvadratinė forma yra f(X) = X T AX, kur

Tikrai

Pavyzdžiui, kvadratinę formą parašykime matricos forma.

Norėdami tai padaryti, randame kvadratinės formos matricą. Jo įstrižainės yra lygūs kvadratinių kintamųjų koeficientams, o likę elementai lygūs kvadratinės formos atitinkamų koeficientų pusėms. Štai kodėl

Tegu kintamųjų X matrica-stulpelis gaunamas nedegeneruota tiesine matricos-stulpelio Y transformacija, t.y. X = CY, kur C yra n-osios eilės vienaskaita matrica. Tada kvadratinė forma
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Taigi su neišsigimusia tiesine transformacija C kvadratinės formos matrica įgauna tokią formą: A * = C T AC.

Pavyzdžiui, suraskime kvadratinę formą f(y 1, y 2), gautą iš kvadratinės formos f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 tiesine transformacija.

Kvadratinė forma vadinama kanoninis(turi kanoninis požiūris), jei visi jo koeficientai a ij = 0, kai i ≠ j, t.y.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Jo matrica yra įstrižainė.

Teorema(įrodymas čia nepateiktas). Bet kuri kvadratinė forma gali būti sumažinta iki kanoninės formos, naudojant neišsigimusią tiesinę transformaciją.

Pavyzdžiui, kvadratinę formą sumažinkime iki kanoninės formos
f(x 1, x 2, x 3) = 2 x 1 2 + 4 x 1 x 2 – 3 x 2 2 – x 2 x 3.

Norėdami tai padaryti, pirmiausia pasirinkite visą kvadratą su kintamuoju x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 x 2 2 – x 2 x 3.

Dabar pasirenkame visą kvadratą su kintamuoju x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 2 – 2* x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) – (5/100) x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 – (1/10) x 3) 2 – (1/20) x 3 2.

Tada neišsigimusi tiesinė transformacija y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 ir y 3 = x 3 perkelia šią kvadratinę formą į kanoninę formą f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinės formos kanoninė forma nustatoma dviprasmiškai (ta pati kvadratinė forma gali būti įvairiai redukuojama į kanoninę formą). Tačiau įvairiais metodais gautos kanoninės formos turi nemažai bendrosios savybės. Visų pirma, dėmenų, turinčių teigiamus (neigiamus) kvadratinės formos koeficientus, skaičius nepriklauso nuo formos sumažinimo iki šios formos metodo (pavyzdžiui, nagrinėjamame pavyzdyje visada bus du neigiami ir vienas teigiamas koeficientas). Ši savybė vadinama kvadratinių formų inercijos dėsnis.

Patikrinkime tai, perkeldami tą pačią kvadratinę formą į kanoninę formą kitu būdu. Pradėkime transformaciją nuo kintamojo x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3 (x 2 2 –
– 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3 (x 2 – (1/6) x 3 – (2/3) x 1) 2 – 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, kur y 1 = – (2/3) x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 ir y 3 = x 1 . Čia yra teigiamas koeficientas 2 ties y 3 ir du neigiami koeficientai (-3), esant y 1 ir y 2 (ir naudojant kitą metodą, mes gavome teigiamą koeficientą 2 ties y 1 ir du neigiamus koeficientus - (-5) y 2 ir (-1 /20) y 3).

Taip pat reikia pažymėti, kad kvadratinės formos matricos rangas, vadinamas kvadratinės formos rangas, yra lygus kanoninės formos nulinių koeficientų skaičiui ir nesikeičia atliekant tiesines transformacijas.

Vadinama kvadratinė forma f(X). teigiamai (neigiamas) tam tikras, jei visoms kintamųjų reikšmėms, kurios vienu metu nėra lygios nuliui, jis yra teigiamas, t.y. f(X) > 0 (neigiamas, t.y.
f(X)< 0).

Pavyzdžiui, kvadratinė forma f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 yra teigiama apibrėžtoji, nes yra kvadratų suma, o kvadratinė forma f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 yra neigiama apibrėžtoji, nes reiškia, kad jis gali būti pavaizduotas kaip f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Daugumoje praktinių situacijų yra šiek tiek sunkiau nustatyti kvadratinės formos apibrėžtąjį ženklą, todėl tam naudojame vieną iš šių teoremų (suformuluosime jas be įrodymų).

Teorema. Kvadratinė forma yra teigiama (neigiama) apibrėžta tada ir tik tada, kai visos jos matricos savosios reikšmės yra teigiamos (neigiamos).

Teorema (Sylvesterio kriterijus). Kvadratinė forma yra teigiama apibrėžta tada ir tik tada, kai visi šios formos matricos pirmaujantys minorai yra teigiami.

Pagrindinis (kampinis) nepilnametis N-osios eilės k-os eilės matrica A vadinama matricos determinantu, sudaryta iš pirmųjų k matricos A () eilučių ir stulpelių.

Atkreipkite dėmesį, kad neigiamoms apibrėžtinėms kvadratinėms formoms kaitaliojasi pagrindinių nepilnamečių ženklai, o pirmos eilės minorinis turi būti neigiamas.

Pavyzdžiui, panagrinėkime kvadratinę formą f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 ženklų apibrėžtumui.

= (2 - l)*
*(3 – l) – 4 = (6 – 2l – 3l + l 2) – 4 = l 2 – 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Todėl kvadratinė forma yra teigiama.

2 metodas. Matricos A pirmosios eilės pagrindinis minoras D 1 = a 11 = 2 > 0. Antrosios eilės pagrindinis minoras D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Todėl pagal Sylvesterio kriterijų kvadratinė forma yra teigiamas apibrėžtas.

Panagrinėkime kitą kvadratinę ženklo apibrėžtumo formą, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

1 būdas. Sukurkime kvadratinės formos A = matricą. Būdingoji lygtis turės formą = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Todėl kvadratinė forma yra neigiama apibrėžta.