Алгебрийн нэмэлт ба багачууд. Урвуу матрицын шинж чанарууд

Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогч нь тоо юм зөрүүтэй тэнцүү байнаүндсэн ба хоёр дахь диагональуудын элементүүдийн бүтээгдэхүүн:

Дараах илэрхийллийг гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогч гэж нэрлэдэг.

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг харгалзан үзвэл тооцоолоход хялбар байдаг дараагийн дүрэм: нэмэх тэмдэгтэй нь матрицын үндсэн диагональ дээр байрлах гурвалсан тоонуудын үржвэрүүд ба энэ диагональтай параллель суурьтай гурвалжны орой, матрицын эсрэг буланд орой нь байрладаг. Хасах тэмдгээр хоёр дахь диагональ болон энэ диагональтай харьцуулахад гурвалжин гурвалжин гурвалсан байна. Дараах диаграмм нь гурвалжингийн дүрэм гэж нэрлэгддэг энэ дүрмийг харуулж байна. Диаграммд цэнхэр (зүүн талд) бүтээгдэхүүн нь нэмэх тэмдэгтэй, ногоон (баруун талд) хасах тэмдэг бүхий элементүүдийг заана.

Аливаа захиалгын тодорхойлогч хүчин зүйлүүд. Тодорхойлогчдын шинж чанарууд.

Эхлээд бид матрицын хувиргалттай холбоотой тодорхойлогчдын үндсэн шинж чанарыг тайлбарлах болно. Эдгээр шинж чанаруудыг мэдэх нь тооцооллыг хялбарчилж, дурын дарааллын тодорхойлогчдыг олоход тусална.

Өмч 1. Шилжилтийн үед тодорхойлогч өөрчлөгддөггүй. Энэ нь матрицын тодорхойлогч нь шилжүүлсэн матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү байна гэсэн үг (мөрүүдийг харгалзах баганаар сольсон матриц).

Эхний шинж чанарт үндэслэн бид үлдсэн шинж чанаруудад зөвхөн мөрийн тухай ярьж болох бөгөөд эдгээр шинж чанарууд нь баганад хамаарна гэсэн үг юм.

Өмч 2. Тодорхойлогчийн нэг мөр нь тэгээс тогтвол тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна..

Property 3. Хоёр эгнээ дахин байрлуулахад тодорхойлогч тэмдэгээ өөрчилнө.

Property 4. Хоёр ижил мөр агуулсан тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү.

Өмч 5. Тодорхой мөрийн бүх элементүүдийг тодорхой тоогоор үржүүлбэл тодорхойлогч өөрөө энэ тоогоор үржигдэнэ..

Өмч 6. Пропорциональ хоёр мөр агуулсан тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү байна.

Property 7. Хэрэв бүх элементүүд i-р мөр n-р эрэмбийн тодорхойлогчийг хоёр гишүүний нийлбэр хэлбэрээр үзүүлэв: a ij =b j +c j , j = 1, ..., n, дараа нь тодорхойлогч нийлбэртэй тэнцүү байна i-рээс бусад бүх мөр нь өгөгдсөн тодорхойлогчтой ижил байх хоёр тодорхойлогч ба i-р мөрНэг нэр томъёо нь b j элементээс, нөгөөд нь c j элементээс бүрдэнэ.

Өмч 8. Тодорхойлогчийн нэг мөр нь бусад эгнээнүүдийн шугаман хослол бол тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна..

Property 9. Аль нэг мөрөнд бусад мөрүүдийн шугаман хослолыг нэмбэл тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй..

Теорем (мөр дэх тодорхойлогчийн тэлэлтийн тухай): тодорхойлогч нь аль ч эгнээний бүх элементүүдийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. алгебрийн нэмэлтүүд . Энэ нь n×n матрицын тодорхойлогч нь тэнцүү байна гэсэн үг (алгебрийн нэмэлт A ij =(-1) i+j M ij . Энд бага M ij нь үндсэн тодорхойлогчоос i--г устгаснаар олж авсан тодорхойлогч юм. th мөр ба j-р багана)

Мөр тэлэлтийн теорем нь n×n матрицын тодорхойлогчийн тооцоог (n-1)×(n-1) матрицын n тодорхойлогчийн тооцоонд буулгах боломжийг бидэнд олгодог. Тиймээс гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчдын нийлбэрт задаргаа болж гуравны нэгээс дээш эрэмбийн тодорхойлогчдын тооцоо буурна.

Дээр дурдсан тодорхойлогчдын шинж чанарыг ашиглан та цаашдын тооцооллыг хөнгөвчлөх урьдчилсан матрицын хувиргалтыг хийж болно. Жишээлбэл, хэрэв n-р эрэмбийн тодорхойлогчийг нэг мөрөнд тэлэхээс өмнө тэр мөрөнд тэг хуримтлагдвал тэлэлт нь n-1 эрэмбийн тодорхойлогчдын тоог цөөхөн болгоно. Доорх жишээнд хоёр дахь мөрийг эхний эгнээнээс хассан (энэ тохиолдолд хоёр тэг гарч ирдэг), дараа нь өргөтгөл нь эхний эгнээний дагуу хийгддэг (хоёр тэг байгаа тул гурав дахь эрэмбийн дөрвөн тодорхойлогч биш юм. авсан, гэхдээ зөвхөн хоёр):

Лекц 2.шалгуур хангагчид

Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогч

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч

Алгебрийн нэмэлт ба багачууд

Тодорхойлогчийг мөр, баганаар тэлэх

Тодорхойлогчдын шинж чанарууд

Урвуу матриц

Урвуу матрицын шинж чанарууд

1. Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогч

Тодорхойлогч гэсэн ойлголтыг танилцуулж байна зөвхөн квадрат матрицын хувьд.

Тодорхойлогчтодорхой дүрмийн дагуу тооцдог тоо юм. Тодорхойлогч дараалалквадрат матрицын дараалал юм. Хэрэв матрицыг тодорхойлохын тулд дугуй хаалт ашигласан бол тодорхойлогчийн онолд шулуун хаалт ашигладаг.

Бид дөрвөлжин матриц бүрийг тодорхой тоотой холбож өгье матрицын тодорхойлогч,мөн түүнийг тооцоолох дүрмийг зааж өгнө. Тэмдэглэлүүд :

.

Жишээ 1.
.

2. Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч

Бүтээгдэхүүн бүр нэг багана эсвэл нэг эгнээний тоог агуулаагүй болно.

Тодорхойлогч дахь нэр томъёог олж авах дарааллыг санах диаграммыг өгье.

Нэг диагональ дээрх тоонуудын үржвэрийг "+" тэмдгээр (энэ нь матрицын гол диагональ), нөгөө талд нь эсрэг тэмдгээр авдаг.

Жишээ 2.

3. Алгебрийн нэмэлт ба багачууд

Гурваас дээш эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолохын тулд бусад тооцооны аргыг ашигладаг.

Жишээ 3.Бага
тодорхойлогч Байна.

.

Үүнийг санах нь ашигтай
Тэгээд
.

Жишээ 4.Жишээ 3-т алгебрийн нэмэгдэл

4. Тодорхойлогчийг мөр, баганад өргөжүүлэх

Тодорхойлогчийн тооцоо th эрэмбэ дарааллыг тодорхойлогчдыг тооцоолох хүртэл багасгаж болно
дараах томъёог ашиглана.

Энэ тоо нь бүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү байна элементүүдямар ч thшугамууд дээр тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүд.

Жишээ 5. Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоол
эхний эгнээний дагуу өргөтгөл.

Шийдэл

Энэ тоо нь аливаа элементийн бүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү байна th баганад тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүд.

Задрах аргаас үл хамааран ижил хариултыг үргэлж авдаг.

5. Тодорхойлогчдын шинж чанарууд

1. Квадрат матрицыг шилжүүлэх үед түүний тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй:
.

Дүгнэлт.Мөрүүдэд томъёолсон тодорхойлогчдын шинж чанарууд нь баганад мөн хүчинтэй байна.

2. Хоёр мөрийг дахин зохион байгуулах үед (баганууд) тодорхойлогч тэмдэг нь эсрэгээр өөрчлөгдөнө. Жишээлбэл,
.

3. Тодорхойлогч нь тэг байна , Хэрэв:

a) тэг мөртэй (багана)
;

б) пропорциональ (ижил) мөрүүдтэй (баганууд)
.

4. Мөр дэх нийтлэг хүчин зүйл (багана) тодорхойлох тэмдэг болгон авч болно. Жишээлбэл,
.

5. Тодорхойлогч нь өөрчлөгдөхгүй , хэрэв та өөр эгнээний харгалзах элементүүдийг мөрийн элементүүдэд нэмэх (хасах) бол дурын тоогоор үржүүлнэ.

Жишээлбэл,
.

6. Тодорхойлогч бүрд байвал мөрийн элемент нь нийлбэр юм хоёр гишүүн бол энэ тодорхойлогч нь хоёр тодорхойлогчийн нийлбэртэй тэнцүү байна:

.

7. Хоёр квадрат матрицын үржвэрийг тодорхойлогч ижил дарааллаар бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнаЭдгээр матрицуудын тодорхойлогч хүчин зүйлүүд:

.

8. Квадрат гурвалжин матрицын тодорхойлогч үндсэн диагональ дээрх элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна:

.

6. Урвуу матриц

Матриц хуваах үйлдлүүдийн оронд уг ойлголтыг нэвтрүүлсэн урвуу матриц.

Урвуу матрицаар тэмдэглэнэ
, Энэ нь .

Тоотой зүйрлэл нь ойлгомжтой: 2-ын хувьд ½ тоо нь урвуу утгатай тул
. Тийм ч учраас матрицыг А-тай урвуу гэж тэмдэглэсэн
.

Теорем “Орших зайлшгүй ба хангалттай нөхцөл урвуу матриц». Квадрат матриц үүсгэхийн тулд урвуу матрицтай байсан
, матрицын тодорхойлогч байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай тэгтэй тэнцүү биш байсан.

Урвуу матрицыг олох дүрэм

0) Матриц квадрат эсэхийг харцгаая. Хэрэв тийм биш бол урвуу матриц байхгүй болно; Хэрэв дөрвөлжин бол 1-р алхам руу очно уу.

1) Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох
: хэрэв тэг биш бол урвуу матриц байна:
; Хэрэв тэгтэй тэнцүү бол урвуу матриц байхгүй болно.

2) Матрицын элемент бүрийн хувьд Бид түүний алгебрийн нэмэлтийг тооцоолно .

3) Бид алгебрийн нэмэлтүүдийн матрицыг бүрдүүлж, дараа нь шилжүүлнэ:
.

4) Матрицын элемент бүр
тодорхойлогчоор хуваана :
Бид үүний урвуу матрицыг олж авдаг.

7. Хоёрдугаар эрэмбийн матрицын урвуу матрицыг олох

Жишээ 6.Матриц өгөгдсөн
. Урвуу матрицыг ол.

Шийдэл.

Шалгалт.Урвуу матриц үнэхээр олдсон эсэхийг шалгацгаая. Матрицуудын үржвэрийг олцгооё Тэгээд
.

8. Урвуу матрицын шинж чанарууд

1.
,

Энд A ба B нь ижил дарааллын цорын ганц биш квадрат матрицууд юм.

2.
.

3.
.

4.
.

Аюулгүй байдлын асуултууд

Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогч гэж юу вэ?

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Гурвалжингийн дүрмийг ашиглан 3-р эрэмбийн тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Тодорхойлогчийн элементийн алгебрийн нэмэлт гэж юу вэ? 2 ба 3-р эрэмбийн тодорхойлогчдын жишээг өг.

Дурын мөр ба дурын баганын элементүүд дээр гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийн өргөтгөлийг бич.

Практикт судлаачид ямар ч томьёогоор илэрхийлж болох тодорхой урьдчилан тодорхойлсон хамаарлаар холбогдсон үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнтэй ажиллах шаардлагатай болдог. Хэрэв хэд хэдэн нөхцөл хангагдсан бол:

1. Томьёоны коэффициентүүд тогтмол,
2. Үл мэдэгдэх зүйлийг зөвхөн эхний зэрэглэлд оруулсан болно.
3. үл мэдэгдэх зүйлсийн хооронд ямар ч бүтээл байхгүй,

тэгвэл ийм хамаарлыг шугаман гэж нэрлэдэг.

Жишээ. Лабораторид 10 дээж нийт 280 гр жинтэй байдаг дундаж жиннэг дээж, хэрэв сав нь 15 гр жинтэй бол.

Шийдэл. Асуултанд хариулахын тулд бид энгийн тэгшитгэлийг ашиглана:

нэг дээжийн дундаж жинг х-ээр тэмдэглэнэ. Эмхэтгэсэн тэгшитгэлийн шийдэл нь 26.5 г болно.

Жишээ. Лабораторид 1-р тасгаас ирсэн 10 дээж, 2-р тасгаас ирсэн 10 дээж нийт 280 гр, эхний багцаас 5, хоёрдугаар багцаас 2 дээж нийт 128 гр жинтэй байна багц тус бүрийн дээжийн дундаж жин.

Шийдэл. Асуултанд хариулахын тулд чулуулгийн дээж 1-ийн дундаж жинг x-ээр, 2-р чулуулгийн дээжийн дундаж жинг y-ээр тэмдэглэсэн хоёр тэгшитгэл байгуулъя.

10x+10y=280; 5x+2y=128,

аль нийлээд шийдвэл x=24 г; у=4 гр.

Бид авч үзсэн хоёр жишээн дээр харьцаж байсан шугаман хамаарал: эхний тохиолдолд – шугаман тэгшитгэл, хоёрдугаарт - шугаман тэгшитгэлийн систем.

Коэффициентийг үсгээр сольж, тэгшитгэлийн шугаман системийг авцгаая.

Тодорхойлолт 1. Матриц бид хэнийг ч дуудах болно тэгш өнцөгт ширээтооноос бүрддэг a ij

Тодорхойлолт 2. Элементүүд a ij матрицаас бүрдэхийг энэ матрицын элементүүд гэж нэрлэдэг

Тодорхойлолт 3. Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогч эсвэл тодорхойлогч, матрицтай харгалзах (1.2) дугаар руу залгаяД тиймэрхүү

Тодорхойлогчийг D эсвэл үсгээр тэмдэглэж, бичнэ

Тодорхойлогч нь тоо хэдий ч тодорхойлолтоор 3 боловч түүний утгыг ганц тоо хэлбэрээр олох хүртэл (1.2 томьёо эсвэл бусад хүчинтэй аргыг ашиглан) хүснэгт хэлбэрээр бичдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Дараа нь бид жишээлбэл, энэ хүснэгтийн мөр, баганыг дахин зохион байгуулах талаар хэлж болно. Энэ тохиолдолд "матрицад тохирох тодорхойлогч" гэж хэлэх хэрэгтэй. Гэхдээ практик дээр ихэвчлэн энэ хэллэгийн хоёр дахь хэсгийг энгийн байх үүднээс орхигдуулдаг бөгөөд дараа нь зөвхөн нэг үг үлддэг - тодорхойлогч. Юу гэсэн үг болохыг ялгахын тулд тодорхойлогч өөрөө хүснэгт хэлбэрээр эсвэл түүний олсон утгыг хоёр дахь тохиолдолд тодорхойлогч гэдэг үгийг ашигладаг. Тиймээс, хэрэв тэд жишээлбэл, "тодорхойлогч дахь эгнээний тоо ..." гэж хэлбэл, матрицад тохирох тодорхойлогчийг хэлнэ, гэхдээ нэг тоогоор тооцоологдоогүй байна. Хэрэв тэд тодорхойлогч гэж хэлбэл энэ тодорхойлогчийг төлөөлдөг гэсэн үг юм ганц бие, томъёогоор эсвэл бусад хүлээн зөвшөөрөгдсөн аргаар тооцоолно.

Жишээ. Тэгшитгэлийн системийг өгсөн

Системийн матрицыг бүрдүүлж, тодорхойлогчийг тооцоол.

Шийдэл. -аас системийн коэффициентүүдматриц үүсгэцгээе: ба түүний харгалзах тодорхойлогч

Томъёо (2) ашиглан тооцоо хийцгээе, бид олж авна

Тодорхойлолт 4. Тодорхойлогч дахь мөрүүдийн (эсвэл баганын) тоог дуудна тодорхойлогчийн дарааллаар

Жишээн дээр хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолсон.

Тодорхойлогч нь дараах шинж чанартай байдаг.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1. Мөрүүдийг баганаар солих ба эсрэгээр нь тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.

Үүнийг үзүүлье. Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогчийг өгье

Мөрүүдийг баганаар сольж, үүссэн тодорхойлогчийг дахин тооцоолъё

D -г D * -тай харьцуулбал D = D * болохыг харж болно.

Тодорхойлолт 5. Тодорхойлогч дахь мөрүүдийг баганаар (эсвэл эсрэгээр) солих үйлдлийг транспозиция гэнэ.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2. Хоёр мөр эсвэл баганыг дахин байрлуулах үед тодорхойлогч тэмдэгээ өөрчилдөг.

Бид 1-р өмчийн хувьд жишээн дээр энэ өмчийг шалгах болно. Тодорхойлогчийг өгье

Энд байгаа багануудыг сольж, үүссэн тодорхойлогчийг тооцоолъё.

Үр дүнг харьцуулж үзвэл тодорхойлогч нь үнэхээр тэмдэгээ өөрчилсөн гэдэгт бид итгэлтэй байна. Одоо мөрүүдийг сольж, энэ өмчийн хүчинтэй эсэхийг дахин шалгацгаая.

ХИЧЭЭЛ 2

2.1 ХОЁРДУГААР ЗАХИАЛГЫН ТОДОРХОЙЛОГЧИД

Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогч(энэ матрицтай тохирч байна

) тоо гэж нэрлэдэг

Жишээ 1: Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолъё

Жишээ 2.Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогчдыг тооцоолох:

2(-4) - 5(-3) = -8 + 15 = 7

=

2.2 ГУРАВДУГААР ЗАХИАЛГА ТОГТООГЧИД

Гурав дахь эрэмбийн квадрат матрицыг өгье.

А=

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч (эсвэл тодорхойлогч).өгөгдсөн матрицад тохирох тоо

detА = =

Жишээ 3

Эхний шийдэл:

Томъёо нь урт бөгөөд хайхрамжгүй байдлаас болж алдаа гаргахад хялбар байдаг. Ядаргаатай алдаанаас хэрхэн зайлсхийх вэ? Энэ зорилгоор тодорхойлогчийг тооцоолох хоёр дахь аргыг зохион бүтээсэн бөгөөд энэ нь үнэндээ эхнийхтэй давхцдаг. Үүнийг Саррусын арга буюу "зэрэгцээ туузны" арга гэж нэрлэдэг. Хамгийн гол нь тодорхойлогчийн баруун талд эхний болон хоёр дахь баганыг хуваарилж, харандаагаар сайтар зур.

"Улаан" диагональ дээр байрлах үржүүлэгчийг "нэмэх" тэмдгээр томьёонд оруулсан болно. "Цэнхэр" диагональ дээр байрлах үржүүлэгчийг хасах тэмдэг бүхий томъёонд оруулсан болно.

Жишээ 3

Хоёр дахь шийдэл:

Хоёр шийдлийг харьцуул. Энэ нь ижил зүйл гэдгийг харахад хялбар байдаг, хоёр дахь тохиолдолд томъёоны хүчин зүйлүүд бага зэрэг өөрчлөгддөг бөгөөд хамгийн чухал нь алдаа гаргах магадлал хамаагүй бага байдаг.

Жишээ 4

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоол.

Жишээ 5

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоол

ПРАКТИКУМ 2

ДААЛГАВАР N 1, Тэр…

Шийдэл:

Тэр

Нөхцөлөөр , Дараа нь

ДААЛГАВАР N 2Сэдэв: Хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогчХоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогч бол

, Тэр…

Шийдэл:

Манай тохиолдолд бидэнд байгаа

Нөхцөлөөр , Дараа нь

ДААЛГАВАР N 3

Сэдэв: Хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогчХоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогч бол

, Тэр…

Шийдэл:Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогчоос хойш тоотой тэнцүү байна, үүнийг дүрмийн дагуу олж авна:

Тэр

Нөхцөлөөр , Дараа нь

ДААЛГАВАР № 4Сэдэв: Хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогчХэрэв тодорхойлогч хоёр дахь эрэмбийн байвал...

Шийдэл:Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогч нь дүрмээр олж авсан тоотой тэнцүү гэдгийг бид танд сануулж байна.

Манай тохиолдолд бидэнд байгаа

Нөхцөлөөр , Дараа нь

ДААЛГАВАР N 5Сэдэв: Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчГурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийн утгыг "гурвалжингийн дүрэм" -ийг ашиглан тооцоолж болно, үүнийг зурагт схемийн дагуу зааж өгсөн болно. Дараа нь тодорхойлогч нь ...

Шийдэл:

ДААЛГАВАР № 6

Сэдэв: Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчГурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийн утгыг "гурвалжингийн дүрэм" -ийг ашиглан тооцоолж болно, үүнийг зурагт схемийн дагуу зааж өгсөн болно. Дараа нь тодорхойлогч нь ...

Шийдэл:Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч нь зургаан гишүүний нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд үүнээс гурвыг нь “+” тэмдгээр, гурвыг нь “-” тэмдгээр авна. "+" тэмдэг бүхий нэр томъёог тооцоолох дүрмийг Зураг дээр схемийн дагуу үзүүлэв. 1. Нэг гишүүн нь үндсэн диагональ дээр байрлах тодорхойлогчийн элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна. Нөгөө хоёр нь тус бүрийг тодорхойлогчийн эсрэг талын булангаас гуравдахь хүчин зүйл нэмснээр энэ диагональтай параллель байрлах элементүүдийн үржвэрээр олддог. "-" тэмдэгтэй нэр томъёог ижил аргаар олж авсан боловч хоёр дахь диагональтай харьцуулахад (Зураг 2). Дараа нь

БИЕ ДААН АЖИЛ 2

ДААЛГАВАР N 1Сэдэв: Хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогчХоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогч бол , Тэр…

2. ТОДОРХОЙЛОГЧИД БА КРАМЕРИЙН ДҮРЭМ

2.1. Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогч

Тодорхойлогч Хоёрдахь эрэмбийн матрицыг дараах байдлаар олно:

(2.1)
Энэ нь матрицын үндсэн диагоналын элементүүдийн үржвэрээс хоёр дахь диагональын элементүүдийн үржвэрийг хассантай тэнцүү байна..

Жишээлбэл,


Матриц нь тоон хүснэгт, харин тодорхойлогч нь квадрат матрицын элементүүдээр тодорхойлогддог тоо гэдгийг дахин онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй.

Одоо хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

2-р эрэмбийн тодорхойлогчийн тухай ойлголтыг ашиглан энэ системийн шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.

(2.2)

Тэнд байна Крамерын дүрэм 0 байвал хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Жишээ 2.1.Крамерын дүрмийг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд.

Шийдэл . Тодорхойлогчдыг олцгооё:



Түүхэн мэдээлэл. Үзэл баримтлалын санаа "тодорхойлогч"харьяалагдаж болно Г.Лейбниц(1646-1716), хэрэв тэрээр 1693 онд олж авсан тодорхойлогчдын талаархи санаагаа боловсруулж, нийтэлсэн бол шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх тодорхойлогчдын аргыг боловсруулахад тэргүүлэх ач холбогдол өгдөг. Г.Крамер(1704-1752), 1750 онд энэ сэдвээр судалгаагаа хэвлүүлсэн боловч Крамер бүтээгээгүй. бүрэн онолшалгуур үзүүлэлтүүд үүнээс гадна энэ нь тохиромжтой тэмдэглэгээгүй байв. Тодорхойлогчдод зориулсан анхны өргөн хүрээтэй судалгаа А.Вандермонде(1735-1796) 1772 онд тодорхойлогчийн онолыг логикоор тайлбарлаж, тодорхойлогчийг багачууд ашиглан задлах дүрмийг нэвтрүүлсэн. Тодорхойлогчдын онолын бүрэн тайлбарыг зөвхөн 1812 онд өгсөн.
Ж.Бинет(1786-1856) ба О.Коши(1789-1858). Хугацаа "тодорхойлогч" ("тодорхойлогч") орчин үеийн утгаар нь Коши нэвтрүүлсэн (өмнө нь энэ нэр томъёог К. Гаусс квадрат хэлбэрийн ялгаварлагчийг илэрхийлэхэд ашигладаг байсан).

2.2. Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч

(2.3)

Мэдээжийн хэрэг, энэ томъёог санах нь нэлээд хэцүү байдаг. Гэхдээ 3-р эрэмбийн тодорхойлогчийн илэрхийлэл бичихэд хялбар дүрмүүд байдаг.

Гурвалжингийн дүрэм : Нэмэх тэмдэг бүхий анхны илэрхийлэлд орсон гурван нэр томъёо нь үндсэн диагональ буюу гурвалжны элементүүдийн үржвэр бөгөөд суурь нь энэ диагональтай параллель байна. Хасах тэмдгээр орсон үлдсэн гурван нэр томъёог ижил аргаар олдог боловч хоёр дахь диагональтай харьцуулахад.

Саррусын засаглал : баруун талд байгаа матрицад эхний ба дараа нь хоёр дахь баганыг нэмнэ. Дараа нь "эерэг" нөхцөлүүд нь үндсэн диагональтай параллель шугамууд дээр, "сөрөг" нь үндсэн диагональтай параллель шугамууд дээр байх болно. хоёр дахь параллельдиагональ.

2.3. Крамерын дүрэм

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчдыг ашиглан ийм системийн шийдлийг хоёр тэгшитгэлийн системтэй ижил хэлбэрээр бичиж болно, жишээлбэл.

(2.4)

хэрэв 0. Энд

Тэнд байна Крамерын дүрэм Гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Жишээ 2.3.Крамерын дүрмийг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд.

Шийдэл . Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогчийг олох

0 тул системийн шийдлийг олохын тулд бид Крамерын дүрмийг хэрэглэж болох боловч эхлээд гурван тодорхойлогчийг тооцоолно.

Шалгалт:

Тиймээс шийдлийг зөв олсон. 

Крамерын дүрэмд зориулж гаргасан шугаман системүүд 2 ба 3-р дарааллын дагуу ямар ч дарааллын шугаман системд ижил дүрмийг томъёолж болно. Үнэхээр болдог

Крамерын теорем. Дөрвөлжин системсистемийн үндсэн матрицын тэгээс өөр тодорхойлогчтой шугаман тэгшитгэл (0) нь нэг бөгөөд цорын ганц шийдэлтэй бөгөөд энэ шийдлийг томъёогоор тооцоолно

(2.5)

Хаана  – үндсэн матрицын тодорхойлогч,  би – матриц тодорхойлогч, үндсэн нэгээс авсан, орлуулахбичөлөөт нэр томъёоны багана.

Хэрэв =0 бол Крамерын дүрэм үйлчлэхгүй гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь системд ямар ч шийдэл байхгүй эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй гэсэн үг юм.

Крамерын теоремыг томъёолсны дараа дээд эрэмбийн тодорхойлогчдыг тооцоолох асуулт гарч ирнэ.

2.4. n-р эрэмбийн тодорхойлогч

Жишээлбэл, элементүүдийн бага ба алгебрийн нэмэлтүүдийг олъё а 23 ба а 31 шалгуур

Бид авдаг



Алгебрийн нэмэлт ойлголтыг ашиглан бид томъёолж болно тодорхойлогч тэлэлтийн теоремn-мөр, баганаар эрэмбэлнэ.

Теорем 2.1.Матрицын тодорхойлогчАнь тодорхой эгнээний (эсвэл баганын) бүх элементүүдийн үржвэрийн нийлбэрийг тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүдтэй тэнцүү байна.

(2.6)

Энэ теорем нь тодорхойлогчийг тооцоолох үндсэн аргуудын нэгийг үндэслэдэг. захиалга бууруулах арга. Тодорхойлогчийн тэлэлтийн үр дүнд nАливаа мөр эсвэл баганын дарааллаар бид n тодорхойлогчийг авна ( n-1)-р захиалга. Ийм тодорхойлогч цөөн байхын тулд хамгийн их тэгтэй мөр эсвэл баганыг сонгох нь зүйтэй. Практикт тодорхойлогчийн өргөтгөлийн томъёог ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг.

тэдгээр. алгебрийн нэмэгдлүүд нь насанд хүрээгүй хүмүүсийн хувьд тодорхой бичигдсэн байдаг.

Жишээ 2.4.Тодорхойлогчдыг эхлээд зарим мөр эсвэл баганад ангилж тооцоол. Ихэвчлэн ийм тохиолдолд хамгийн их тэгтэй багана эсвэл мөрийг сонгоно. Сонгосон мөр эсвэл баганыг сумаар зааж өгнө.



2.5. Тодорхойлогчдын үндсэн шинж чанарууд

Үл хөдлөх хөрөнгө 1. Хэрэв доторх мөр, баганыг солих юм бол тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй, өөрөөр хэлбэл. матрицыг шилжүүлэх үед:

.

Энэ шинж чанар нь тодорхойлогчийн мөр, баганын тэгш байдлыг илэрхийлдэг. Өөрөөр хэлбэл тодорхойлогчийн баганын талаарх аливаа мэдэгдэл нь түүний мөрүүдийн хувьд мөн үнэн бөгөөд эсрэгээр.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2. Хоёр мөр (багана) солигдох үед тодорхойлогч тэмдэг өөрчлөгддөг.

Үр дагавар. Хэрэв тодорхойлогч нь хоёр ижил мөр (багана) байвал энэ нь тэгтэй тэнцүү байна.

Эд хөрөнгө 3. Нийт үржүүлэгчаль ч мөр (багана) дахь бүх элементүүдийг тодорхойлогч тэмдэгээс хасаж болно.

Жишээлбэл,

Үр дагавар. Тодорхойлогчийн тодорхой эгнээний (баганын) бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү бол тодорхойлогч өөрөө тэгтэй тэнцүү байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө 4. Нэг мөр (баганын) элементүүдийг өөр эгнээний (баганын) элементүүдэд нэмж, тодорхой тоогоор үржүүлбэл тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.

Жишээлбэл,

Эд хөрөнгө 5. Матрицын үржвэрийн тодорхойлогч нь матрицын тодорхойлогчдын үржвэртэй тэнцүү байна.

2.6.

Анхан шатны өөрчлөлтүүд матрицыг дараах хувиргалт гэж нэрлэдэг: 1) мөрийг (багана) тоогоор үржүүлэх, тэгтэй тэнцүү; 2) нэг мөр (багана) нөгөө рүү нэмэх; 3) хоёр эгнээ (багана) дахин зохион байгуулах.

Анхан шатны хувиргах арга матрицыг багасгахын тулд тодорхойлогчдын шинж чанарыг харгалзан энгийн хувиргалтуудыг ашиглах явдал юм гурвалжин үзэмж.

Жишээ 2.5.Анхан шатны хувиргалтыг ашиглан тодорхойлогчийг тооцоолж, гурвалжин хэлбэрт оруулна.



Жишээ 2.6.Тодорхойлогчийг тооцоолох:

.

Шийдэл . Энэ тодорхойлогчийг хялбарчилж, дараа нь тооцоолъё:

. 
Жишээ 2.7.Тодорхойлогчийг тооцоолох
.

Шийдэл . Арга 1 .Тодорхойлогчдын шинж чанарыг харгалзан матрицын анхан шатны хувиргалтыг ашигласнаар бид дурын мөр, баганад тэгийг олж авах ба дараа нь гарсан тодорхойлогчийг энэ мөр эсвэл баганын дагуу өргөжүүлнэ.

–6

2

-2


.
Арга 2 .Тодорхойлогчдын шинж чанарыг харгалзан матрицын элементар хувиргалтыг ашиглан бид матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулна.

. 

Анхан шатны хувиргалтыг ашиглан тодорхойлогчийг гурвалжин хэлбэрт оруулах замаар тооцоолох нь хамгийн түгээмэл аргуудын нэг юм. Энэ нь компьютер дээр тодорхойлогчийг тооцоолох үндсэн арга байдагтай холбоотой юм. Илүү нарийн, энэ нь өөрчлөлтүүдийн нэг юм Гауссын арга шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.

Жишээ 2.8.Гауссын аргыг ашиглан тодорхойлогчийг тооцоол.

Шийдэл. Эхний баганыг авч үзээд 1-ийг агуулсан мөрийг сонгоно уу. Хэрэв нэгж байхгүй бол та энэ нэгжийг энгийн хувиргалтуудыг ашиглан үүсгэх хэрэгтэй: мөр, баганыг дахин цэгцлэх, тэдгээрийг хооронд нь нэмэх, хасах, тэдгээрийг үржүүлэх эсвэл хуваах. тоо (мэдээж тодорхойлогчдын шинж чанарыг харгалзан үзэх). Хоёрдахь мөрийг үндэс болгон авч эхний баганад тэгийг авахын тулд ашиглацгаая.

Үүний дараа бид эхний мөрөнд анхаарлаа хандуулахаа больсон. 2-р баганыг харцгаая.

Үр дүн нь гурвалжин матриц юм. Тодорхойлогчийг тооцоолохын тулд үндсэн диагональ дээр байрлах матрицын элементүүдийг үржүүлэхэд л үлддэг. Тиймээс бид хариултыг авна: –2(–1)(–1)1334 = –264. 