Дериватив f x 1 2. Ялгааны дериватив нь деривативуудын зөрүүтэй тэнцүү байна.

Өргөдөл

Оюутан, сургуулийн сурагчдын хамрагдсан материалыг нэгтгэхийн тулд сайт дээрх деривативыг шийдвэрлэх. Хэрэв та манай онлайн асуудал шийдвэрлэх үйлчилгээг ашигладаг бол хэдхэн секундын дотор функцийн деривативыг тооцоолох нь тийм ч хэцүү биш юм шиг санагддаг. Тэргүүлэх нарийвчилсан шинжилгээталаар сайтар судлах практик хичээлГурав дахь оюутан бүр боломжтой болно. Математикийг сурталчлах холбогдох хэлтсийн хэлтэс ихэвчлэн ажилладаг боловсролын байгууллагуудулс орнууд. Энэ тохиолдолд бид деривативыг онлайнаар шийдвэрлэх талаар дурдахгүй байхын аргагүй юм хязгаарлагдмал орон зай тооны дараалал. Олон чинээлэг хүмүүс эргэлзэж байгаагаа илэрхийлэхийг зөвшөөрдөг. Гэтэл энэ хооронд математикчид зүгээр суугаад байдаггүй. Дериватив тооцоолуур нь шоо дөрвөлжин буурах байрлалын дээд хэмжээнээс шалтгаалан шугаман шинж чанарт үндэслэн оролтын параметрийн өөрчлөлтийг хүлээн авна. Үр дүн нь гадаргуу шиг зайлшгүй юм. Анхны өгөгдлийн хувьд онлайн дериватив нь шаардлагагүй алхам хийх шаардлагагүй болно. Зохиомол гэрийн ажлаас бусад нь. Үүнээс гадна деривативыг онлайнаар шийдвэрлэх нь зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд чухал талМатематикийн чиглэлээр суралцаж байгаа оюутнууд ихэвчлэн өнгөрсөн асуудлуудыг санахгүй байна. Оюутан залхуу амьтан болохоор үүнийг ойлгодог. Гэхдээ оюутнууд - хөгжилтэй хүмүүс! Үүнийг дүрмийн дагуу хийх эсвэл функцийг дериватив хэлбэрээр хийх налуу хавтгайматериаллаг цэгт хурдатгал өгч чадна. Доош чиглэсэн орон зайн цацрагийн векторыг хаа нэгтээ чиглүүлье. Шаардлагатай хариултанд деривативыг олох нь хийсвэр мэт санагдаж байна онолын чиглэлматематикийн системийн тогтворгүй байдлаас үүдэлтэй. Тоонуудын хамаарлыг ашиглагдаагүй сонголтуудын дараалал гэж үзье. Харилцаа холбооны сувгийг кубын хаалттай салаалсан цэгээс буурч буй векторын дагуу тав дахь шугамаар дүүргэв. Муруй орон зайн хавтгайд деривативыг онлайнаар шийдэх нь өнгөрсөн зуунд биднийг бодсон дүгнэлтэд хүргэж байна. хамгийн агуу оюун ухаангаригууд. Математикийн салбар дахь үйл явдлын явцад үндсэндээ таван чухал хүчин зүйлүүд, хувьсагчийн сонголтын байрлалыг сайжруулахад тусалдаг. Тиймээс онооны тухай хуульд онлайн деривативыг тохиолдол бүрт нарийвчлан тооцдоггүй бөгөөд цорын ганц үл хамаарах зүйл бол үнэнч дэвшилтэт мөч юм. Урьдчилан таамаглал биднийг авчирсан шинэ тойрогхөгжил. Бидэнд үр дүн хэрэгтэй. Математикийн налуугийн шугамд гадаргуугийн доор өнгөрч, горимын дериватив тооцоолуур нь гулзайлтын багц дээрх бүтээгдэхүүний огтлолцлын хэсэгт байрладаг. Эпсилон хөршийн ойролцоох бие даасан цэг дээрх функцын ялгааг шинжлэхэд л үлддэг. Үүнийг практик дээр хүн бүр баталж чадна. Үүний үр дүнд програмчлалын дараагийн шатанд шийдэх зүйл бий болно. Хийж буй хийсвэр судалгаанаас үл хамааран оюутанд онлайн дериватив үргэлж хэрэгтэй байдаг. Тогтмол тоогоор үржүүлсэн функц нь деривативын шийдлийг онлайнаар өөрчлөхгүй нь харагдаж байна ерөнхий чиглэлхөдөлгөөн материаллаг цэг, гэхдээ шулуун шугамын хурдны өсөлтийг тодорхойлдог. Энэ утгаараа манай дериватив тооцоолуурыг ашиглаж, түүний тодорхойлолтын бүх багц дээр функцийн бүх утгыг тооцоолох нь ашигтай байх болно. Хүчний долгионыг судлах таталцлын талбарзүгээр л шаардлага байхгүй. Деривативыг онлайнаар шийдэх нь ямар ч тохиолдолд гарч буй цацрагийн налууг харуулахгүй, гэхдээ зөвхөн ховор тохиолдолд, энэ нь үнэхээр шаардлагатай үед их сургуулийн оюутнууд үүнийг төсөөлж чаддаг. Захирлыг нь шалгая. Хамгийн бага роторын үнэ цэнийг урьдчилан таамаглах боломжтой. Бөмбөгийг дүрсэлсэн баруун тийш харсан мөрүүдийн үр дүнд хэрэглэнэ, гэхдээ онлайн тооцоолуурдериватив, энэ нь тусгай хүч ба шугаман бус хамаарлын тоонуудын үндэс юм. Математикийн төслийн тайлан бэлэн боллоо. Хувийн шинж чанарын ялгаа хамгийн бага тоонуудординатын тэнхлэгийн дагуух функцийн дериватив нь ижил функцийн хонхорыг өндөрт хүргэнэ. Чиглэл бий - дүгнэлт бий. Онолыг практикт хэрэгжүүлэхэд илүү хялбар байдаг. Оюутнууд хичээл эхлэх цагтай холбоотой саналтай байна. Багшийн хариулт хэрэгтэй байна. Дахин хэлэхэд, өмнөх байрлалын нэгэн адил математик систем нь деривативыг олоход туслах үйл ажиллагааны үндсэн дээр зохицуулагдаагүй болно. Доод хагас шугаман хувилбарын нэгэн адил онлайн дериватив нь доройтлын үндсэн дээр шийдлийг тодорхойлохыг нарийвчлан зааж өгөх болно. нөхцөлт хууль. Томьёог тооцоолох санаа саяхан гарч ирэв. Функцийн шугаман ялгаа нь шийдлийн үнэнийг зүгээр л хамааралгүй эерэг өөрчлөлтүүдийг гаргахад чиглүүлдэг. Харьцуулах тэмдгүүдийн ач холбогдлыг тэнхлэгийн дагуух функцийн тасралтгүй тасалдал гэж үзэх болно. Энэ нь онлайн дериватив нь математик шинжилгээний үнэнч жишээнээс өөр зүйл болох оюутны үзэж байгаагаар хамгийн ухамсартай дүгнэлтийн ач холбогдол юм. Евклидийн орон зай дахь муруй тойргийн радиусыг эсрэгээр деривативын тооцоолуур өгсөн. байгалийн төлөөлөлтогтвортой байдлын төлөөх шийдвэрлэх сорилтуудыг солилцох. Хамгийн сайн аргаолдсон. Даалгаврыг шат ахихад илүү хялбар байсан. Бие даасан ялгавартай пропорцийг ашиглах боломж нь деривативыг онлайнаар шийдвэрлэхэд хүргэдэг. Уг уусмал нь абсцисса тэнхлэгийг тойрон эргэлдэж, тойргийн дүрсийг дүрсэлдэг. Гарах арга зам байгаа бөгөөд энэ нь их сургуулийн оюутнуудын онолын хувьд дэмжигдсэн судалгаанд үндэслэсэн бөгөөд хүн бүр суралцдаг, тэр ч байтугай тухайн мөчид ч гэсэн функцийн дериватив байдаг. Бид ахиц дэвшил гаргах арга замыг олсон бөгөөд оюутнууд үүнийг баталсан. Математикийн системийг хувиргах байгалийн бус аргаас хэтрүүлэхгүйгээр бид деривативыг олох боломжтой. Зүүн пропорциональ тэмдэг нь нэмэгдэнэ геометрийн дараалалХэрхэн математик дүрслэлулмаас онлайн дериватив тооцоолуур үл мэдэгдэх нөхцөл байдал шугаман үржүүлэгчхязгааргүй ординатын тэнхлэг дээр. Дэлхий даяар математикчид үйлдвэрлэлийн үйл явцын онцгой шинж чанарыг нотолсон. Идэх хамгийн бага квадратонолын тайлбарын дагуу тойрог дотор. Дахин хэлэхэд, онлайн дериватив нь онолын хувьд боловсронгуй үзэл бодолд юу нөлөөлж болох талаар бидний таамаглалыг нарийвчлан илэрхийлэх болно. Бидний өгсөн дүн шинжилгээ хийсэн тайлангаас өөр шинж чанартай санал бодол байсан. Онцгой анхааралЭнэ нь манай факультетийн оюутнуудад тохиолдохгүй байж болох ч функцийг ялгах нь зүгээр л шалтаг болсон ухаалаг, технологийн дэвшилтэт математикчдад тохиолдохгүй. Деривативын механик утга нь маш энгийн. Өргөх хүчийг цаг хугацааны хувьд дээшээ доошлох тогтвортой орон зайн онлайн дериватив гэж тооцдог. Илэрхий дериватив тооцоолуур нь зохиомол хувиргалтын доройтлын асуудлыг тайлбарлах нарийн үйл явц юм. аморф бие. Эхний дериватив нь материаллаг цэгийн хөдөлгөөний өөрчлөлтийг илэрхийлдэг. гурван хэмжээст орон зайДеривативыг онлайнаар шийдвэрлэх тусгайлан бэлтгэгдсэн технологийн хүрээнд ажиглагдсан нь үнэн хэрэгтээ энэ нь математикийн сэдвээр коллоквиум бүрт байдаг. Хоёрдахь дериватив нь материалын цэгийн хурдны өөрчлөлтийг тодорхойлж, хурдатгалыг тодорхойлдог. Ашиглалтын үндсэн дээр меридиан хандлага аффины хувиралдээр харуулна шинэ түвшинЭнэ функцийн тодорхойлолтын мужаас тухайн цэг дэх функцийн дериватив. Онлайн үүсмэл тооцоолуур нь даалгаварт байгаа зүйлсийн хувиргах зохицуулалтаас гадна зарим тохиолдолд зөв гүйцэтгэх агшинд тохирсон тоо, бэлгэдлийн тэмдэглэгээгүйгээр оршин тогтнох боломжгүй юм. Гайхалтай нь материаллаг цэгийн хоёр дахь хурдатгал байдаг бөгөөд энэ нь хурдатгалын өөрчлөлтийг тодорхойлдог. Богино хугацаанд бид дериватив шийдлийг онлайнаар судалж эхлэх боловч мэдлэгийн тодорхой үе шатанд хүрмэгц манай оюутан энэ үйл явцыг түр зогсоох болно. Хамгийн сайн эмхолбоо тогтоох нь шууд харилцах явдал юм математикийн сэдэв. Хичнээн хэцүү ажил байсан ч ямар ч нөхцөлд зөрчиж болохгүй зарчмууд байдаг. Деривативыг цаг тухайд нь, алдаагүй онлайнаар олох нь ашигтай. Энэ нь шинэ нөхцөл байдалд хүргэнэ математик илэрхийлэл. Систем тогтвортой байна. Физик утгадериватив нь механик шиг алдартай биш юм. Онлайн дериватив нь абсцисса тэнхлэгтэй зэргэлдээх гурвалжингаас хэвийн функцийн шугамын тоймыг хавтгай дээр хэрхэн нарийвчлан харуулсаныг хэн ч санахгүй байх магадлалтай. Өнгөрсөн зууны судалгаанд хүн томоохон үүрэг гүйцэтгэх ёстой. Функцийг тодорхойлолтын мужаас болон хязгааргүйд байрлах цэгүүд дээр гурван үндсэн үе шаттайгаар ялгаж үзье. Орох болно бичихзүгээр л судалгааны талбарт, гэхдээ онлайн дериватив тооцоолуурыг асуудалтай холбосон тохиолдолд математик, тооны онолын үндсэн векторын байр суурийг эзэлж чадна. Шалтгаан байсан бол тэгшитгэл үүсгэх шалтгаан байх байсан. Бүх оролтын параметрүүдийг санаж байх нь маш чухал юм. Шилдэгийг үргэлж шууд хүлээн зөвшөөрдөггүй; үүний цаана асар их шаргуу хөдөлмөр байдаг хамгийн сайн оюун ухаан, онлайн деривативыг орон зайд хэрхэн тооцдогийг хэн мэддэг байсан. Түүнээс хойш гүдгэрийг өмч гэж үздэг тасралтгүй функц. Гэсэн хэдий ч эхлээд деривативыг онлайнаар шийдэх асуудлыг тавих нь дээр аль болох түргэн. Ингэснээр шийдэл бүрэн болно. Энэ нь биелэгдээгүй стандартыг эс тооцвол хангалттай гэж үзэхгүй байна. Эхлээд бараг бүх оюутан функцийн дериватив нь маргаантай өсгөх алгоритмыг бий болгох энгийн аргыг санал болгодог. Өсөх цацрагийн чиглэлд. Энэ нь утга учиртай юм ерөнхий нөхцөл байдал. Өмнө нь бид тодорхой математикийн үйлдлийг дуусгах эхлэлийг тэмдэглэж байсан бол өнөөдөр энэ нь эсрэгээрээ байх болно. Үүсмэл хэлбэрийг онлайнаар шийдчихвэл дахин асуудал сөхөгдөж, багш нарын хурлаар хэлэлцүүлэх явцад үүнийг хэвээр үлдээх нэгдсэн санал гаргана. Уулзалтад оролцогч талууд харилцан ойлголцоно гэж найдаж байна. Логик утга нь өнгөрсөн зуунд дэлхийн томоохон эрдэмтэд хариулж байсан асуудлын талаархи бодлыг танилцуулах дарааллын талаархи тоонуудын резонанс дахь үүсмэл тооцоолуурын тайлбарт оршдог. Энэ нь хувиргасан илэрхийллээс нийлмэл хувьсагчийг гаргаж авах, ижил төрлийн томоохон үйлдлийг гүйцэтгэх үүсмэлийг онлайнаар олоход тусална. Үнэн бол таамаглалаас хэд дахин дээр. Хамгийн бага утгачиг хандлагад байна. Нарийвчлалтай тодорхойлох өвөрмөц үйлчилгээг ашиглахад үр дүн нь удахгүй гарахгүй бөгөөд үүний төлөө онлайнаар деривативын мөн чанар байдаг. Шууд бус, гэхдээ нэг мэргэн хүний хэлсэнчлэн олон оюутнуудын хүсэлтээр онлайн дериватив тооцоолуур бүтээгдсэн. өөр өөр хотууднэгдэл. Хэрэв ялгаа байгаа бол яагаад хоёр удаа шийдэх вэ. Векторыг тохируулахердийнхтэй ижил талд байрладаг. Өнгөрсөн зууны дундуур чиг үүргийн ялгааг өнөөдрийнх шиг огт хүлээж авдаггүй байсан. Хөгжил дэвшлийн ачаар онлайн математик гарч ирэв. Цаг хугацаа өнгөрөх тусам оюутнууд математикийн хичээлд зохих үнэлгээ өгөхөө мартдаг. Деривативыг онлайнаар шийдвэрлэх нь дэмжсэн онолын хэрэглээнд үндэслэн бидний диссертацийг зөвтгөх болно практик мэдлэг. Цаашид явдаг одоо байгаа үнэ цэнэтанилцуулах хүчин зүйл болон томьёог функцийн тодорхой хэлбэрээр бичнэ. Та ямар ч тооны машин ашиглахгүйгээр шууд онлайнаар дериватив олох хэрэгтэй болдог, гэхдээ та үргэлж оюутны заль мэхийг ашиглаж, вэбсайт гэх мэт үйлчилгээг ашиглаж болно. Тиймээс оюутан бүдүүлэг дэвтэр дээрх жишээг эцсийн хэлбэрт хуулж авахад ихээхэн цаг хэмнэх болно. Хэрэв зөрчилдөөн байхгүй бол үйлчилгээг ашиглана уу алхам алхмаар шийдэлийм нарийн төвөгтэй жишээнүүд.

Тодорхойлолт.$y = f(x)$ функцийг доторх $x_0$ цэгийг агуулсан тодорхой интервалаар тодорхойл. Аргументад энэ интервалаас гарахгүй байхаар $\Delta x $ нэмэгдэл өгье. $\Delta y $ ($x_0 $ цэгээс $x_0 + \Delta x $ цэг рүү шилжих үед) функцийн харгалзах өсөлтийг олж $\frac(\Delta) хамаарлыг байгуулъя. y)(\Дельта x) $. Хэрэв энэ харьцаа $\Дельта х \баруун сум 0$ дээр хязгаар байгаа бол заасан хязгаарыг дуудна. функцийн дериватив$y=f(x) $ цэг дээр $x_0 $ ба $f"(x_0) $ гэж тэмдэглэнэ.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Ү тэмдгийг ихэвчлэн деривативыг илэрхийлэхэд ашигладаг." y" = f(x) гэдгийг анхаарна уу. шинэ шинж тэмдэг, гэхдээ дээрх хязгаар байгаа бүх x цэгүүдэд тодорхойлогдсон y = f(x) функцтэй угаасаа холбоотой. Энэ функцийг ингэж нэрлэдэг: y = f(x) функцийн дериватив.

Деривативын геометрийн утгадараах байдалтай байна. Хэрэв y = f(x) функцийн графикт у тэнхлэгтэй параллель биш абсцисса x=a цэгт шүргэгч зурах боломжтой бол f(a) шүргэлтийн налууг илэрхийлнэ. :
$k = f"(a)$

$k = tg(a) $ тул $f"(a) = tan(a) $ тэгш байдал үнэн болно.

Одоо деривативын тодорхойлолтыг ойролцоо тэгш байдлын үүднээс тайлбарлая. $y = f(x)$ функц нь деривативтай байг тодорхой цэг$x$:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Энэ нь x цэгийн ойролцоо $\frac(\Delta y)(\Delta x) \prox f"(x) $, өөрөөр хэлбэл $\Delta y \prox f"(x) \cdot\ гэсэн ойролцоо тэнцүү байна гэсэн үг. Delta x$. Үүний үр дүнд үүссэн ойролцоо тэгш байдлын утга учир нь дараах байдалтай байна: функцийн өсөлт нь аргументийн өсөлттэй "бараг пропорциональ" бөгөөд пропорциональ байдлын коэффициент нь деривативын утга юм. өгсөн оноо X. Жишээлбэл, $y = x^2$ функцийн хувьд ойролцоогоор $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $ хүчинтэй байна. Хэрэв бид деривативын тодорхойлолтыг сайтар судалж үзвэл түүнийг олох алгоритмыг агуулсан болохыг олж мэдэх болно.

Үүнийг томъёолъё.

y = f(x) функцийн деривативыг хэрхэн олох вэ?

1. $x$ утгыг засаад $f(x)$-г ол.
2. $x$ аргументад $\Дельта x$ нэмэгдэл өг. шинэ цэг$x+ \Delta x $, олох $f(x+ \Delta x) $
3. Функцийн өсөлтийг ол: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ хамаарлыг үүсгэ.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$-г тооцоол.
Энэ хязгаар нь х цэг дээрх функцийн дериватив юм.

Хэрэв y = f(x) функц нь x цэг дээр деривативтай бол түүнийг x цэг дээр дифференциалагдах гэж нэрлэдэг. y = f(x) функцийн деривативыг олох процедурыг нэрлэнэ ялгах y = f(x) функцууд.

Дараах асуултын талаар ярилцъя: цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдал ба дифференциал байдал хоорондоо хэрхэн холбоотой вэ?

y = f(x) функцийг x цэг дээр дифференциалагдах гэж үзье. Дараа нь M(x; f(x)) цэг дээрх функцын график руу шүргэгчийг зурж болох ба шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь f "(x) -тэй тэнцүү гэдгийг санаарай. Ийм график "эвдэж" чадахгүй. М цэг дээр, өөрөөр хэлбэл функц нь x цэг дээр тасралтгүй байх ёстой.

Эдгээр нь "гар" аргументууд байсан. Илүү хатуу үндэслэлийг хэлье. Хэрэв y = f(x) функц нь x цэг дээр дифференциалагдах боломжтой бол $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x$ ойролцоо тэнцүү байна. Хэрэв энэ тэгшитгэлд $\Delta x) $ тэг болох хандлагатай бол $\Delta y $ тэг болох хандлагатай байх ба энэ нь тухайн цэг дэх функцийн тасралтгүй байдлын нөхцөл юм.

Тэгэхээр, хэрэв функц нь x цэг дээр дифференциал болох юм бол энэ нь тухайн цэг дээр тасралтгүй байна.

Урвуу мэдэгдэл нь үнэн биш юм. Жишээ нь: функц y = |x| хаа сайгүй, тухайлбал x = 0 цэг дээр үргэлжилдэг боловч “холболтын цэг” (0; 0) дээрх функцийн графикт шүргэгч байхгүй. Хэрэв аль нэг цэгт шүргэгчийг функцийн графикт зурах боломжгүй бол тухайн үед дериватив байхгүй болно.

Бас нэг жишээ. $y=\sqrt(x)$ функц нь x = 0 цэгийг оруулаад бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна. Мөн функцийн графикт шүргэгч нь x = 0 цэгийг оруулаад аль ч цэгт оршдог. Гэхдээ энэ үед шүргэгч нь у тэнхлэгтэй давхцдаг, өөрөөр хэлбэл, абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр, түүний тэгшитгэл нь x = 0 хэлбэртэй байна. Ийм шулуун нь өнцгийн коэффициентгүй бөгөөд энэ нь $f гэсэн үг юм. "(0)$ байхгүй байна.

Тиймээс бид функцийн шинэ шинж чанар болох дифференциалтай танилцсан. Функцийн графикаас ялгах боломжтой гэж яаж дүгнэх вэ?

Хариултыг үнэндээ дээр өгөв. Хэрэв аль нэг цэгт абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр биш функцийн графикт шүргэгч зурах боломжтой бол энэ үед функц дифференциал болно. Хэрэв аль нэг цэгт функцийн графикт шүргэгч байхгүй эсвэл абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр байвал энэ үед функц ялгах боломжгүй болно.

Ялгах дүрэм

Деривативыг олох үйлдлийг гэнэ ялгах. Энэ үйлдлийг гүйцэтгэхдээ та ихэвчлэн координат, нийлбэр, функцын бүтээгдэхүүнүүд, түүнчлэн "функцийн функцүүд", өөрөөр хэлбэл нарийн төвөгтэй функцүүдтэй ажиллах шаардлагатай болдог. Деривативын тодорхойлолт дээр үндэслэн бид энэ ажлыг хөнгөвчлөх ялгах дүрмийг гаргаж авч болно. Хэрэв C - тогтмол тооба f=f(x), g=g(x) нь зарим дифференциалагдах функцүүд байвал дараах нь үнэн болно ялгах дүрэм:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \баруун) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac) (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Зарим функцийн деривативын хүснэгт

$$ \left(\frac(1)(x) \баруун) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ доллар

Деривативыг олох үйлдлийг дифференциал гэж нэрлэдэг.

Үүсмэлийг аргументийн өсөлтийн өсөлтийн харьцааны хязгаар гэж тодорхойлох замаар хамгийн энгийн (мөн тийм ч энгийн биш) функцүүдийн деривативыг олох асуудлыг шийдсэний үр дүнд деривативын хүснэгт гарч ирэв. тодорхой дүрэмялгах. Дериватив олох чиглэлээр хамгийн анх ажиллаж байсан хүмүүс бол Исаак Ньютон (1643-1727), Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) нар юм.

Тиймээс бидний үед аливаа функцийн деривативыг олохын тулд дээр дурдсан функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулах харьцааны хязгаарыг тооцох шаардлагагүй бөгөөд зөвхөн хүснэгтийг ашиглахад хангалттай. дериватив ба ялгах дүрэм. Дараах алгоритм нь деривативыг олоход тохиромжтой.

Деривативыг олохын тулд, танд үндсэн тэмдгийн доор илэрхийлэл хэрэгтэй энгийн функцуудыг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хуваанаямар үйлдэл хийхийг тодорхойлох (бүтээгдэхүүн, нийлбэр, коэффициент)Эдгээр функцүүд нь хоорондоо холбоотой байдаг. Цаашдын деривативууд үндсэн функцуудбид деривативын хүснэгтээс олж, үржвэрийн дериватив, нийлбэр ба хуваалтын томъёог ялгах дүрэмд оруулсан болно. Дериватив хүснэгт болон ялгах дүрмийг эхний хоёр жишээний дараа өгөв.

Жишээ 1.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Ялгах дүрмээс бид функцийн нийлбэрийн дериватив нь функцын деривативын нийлбэр болохыг олж мэдсэн, өөрөөр хэлбэл.

Деривативын хүснэгтээс бид "x"-ийн дериватив нь нэгтэй, синусын дериватив нь косинустай тэнцүү болохыг олж мэдэв. Бид эдгээр утгыг деривативын нийлбэрт орлуулж, асуудлын нөхцөлд шаардагдах деривативыг олно.

Жишээ 2.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Хоёр дахь гишүүн нь тогтмол хүчин зүйлтэй нийлбэрийг дериватив тэмдгээс гаргаж авч болно гэж бид ялгадаг;

Хэрэв ямар нэгэн зүйл хаанаас ирсэн талаар асуултууд гарч ирвэл тэдгээрийг деривативын хүснэгт болон ялгах хамгийн энгийн дүрмүүдтэй танилцсаны дараа ихэвчлэн арилгадаг. Бид яг одоо тэдэн рүү шилжиж байна.

Энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт

1. Тогтмол (тоо)-ын дериватив. Функцийн илэрхийлэлд байгаа дурын тоо (1, 2, 5, 200...). Үргэлж тэгтэй тэнцүү. Үүнийг санах нь маш чухал бөгөөд энэ нь маш олон удаа шаардлагатай байдаг
2. Бие даасан хувьсагчийн дериватив. Ихэнхдээ "X". Үргэлж нэгтэй тэнцүү. Үүнийг удаан хугацаанд санах нь бас чухал юм
3. Зэрэглэлийн дериватив. Асуудлыг шийдэхдээ квадрат бус язгуурыг хүч болгон хувиргах хэрэгтэй.
4. Хувьсагчийн дериватив -1 зэрэглэл
5. Квадрат язгуурын дериватив
6. Синусын дериватив
7. Косинусын дериватив
8. Шүргэгчийн дериватив
9. Котангенсийн дериватив
10. Арксинусын дериватив
11. Нумын косинусын дериватив
12. Арктангенсын дериватив
13. Нумын котангенсын дериватив
14. Натурал логарифмын дериватив
15. Логарифм функцийн дериватив
16. Экспонентийн дериватив
17. Экспоненциал функцийн дериватив

Ялгах дүрэм

1. Нийлбэр буюу зөрүүний дериватив
2. Бүтээгдэхүүний дериватив
2а. Тогтмол хүчин зүйлээр үржүүлсэн илэрхийллийн дериватив
3. Хэсгийн дериватив
4. Комплекс функцийн дериватив

Дүрэм 1.Хэрэв функцууд

аль нэг цэг дээр дифференциалагдах боломжтой, дараа нь функцүүд нэг цэг дээр дифференциал болно

болон

тэдгээр. функцүүдийн алгебрийн нийлбэрийн дериватив нь тэнцүү байна алгебрийн нийлбэрЭдгээр функцүүдийн деривативууд.

Үр дагавар. Хэрэв дифференциал болох хоёр функц тогтмол гишүүнээр ялгаатай бол тэдгээрийн дериватив нь тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл

Дүрэм 2.Хэрэв функцууд

Хэзээ нэгэн цагт ялгах боломжтой, дараа нь тэдгээрийн бүтээгдэхүүн нь ижил цэг дээр ялгагдах боломжтой

болон

тэдгээр. Хоёр функцийн үржвэрийн дериватив нь эдгээр функц тус бүрийн үржвэрийн нийлбэр ба нөгөө функцийн деривативтай тэнцүү байна.

Дүгнэлт 1. Тогтмол хүчин зүйлийг деривативын тэмдгээс гаргаж авч болно:

Дүгнэлт 2. Хэд хэдэн дифференциалагдах функцүүдийн үржвэрийн дериватив нь хүчин зүйл тус бүрийн болон бусад бүх зүйлийн деривативын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээлбэл, гурван үржүүлэгчийн хувьд:

Дүрэм 3.Хэрэв функцууд

хэзээ нэгэн цагт ялгах боломжтой Тэгээд , тэгвэл энэ үед тэдгээрийн коэффициент нь бас дифференциал болноu/v , ба

тэдгээр. хоёр функцийн хуваагчийн дериватив нь бутархайтай тэнцүү бөгөөд хуваагч нь хуваагч ба хувагчийн дериватив ба хуваагч болон хуваагчийн деривативын зөрүү, хуваагч нь -ийн квадрат юм. өмнөх тоологч.

Бусад хуудсан дээрх зүйлсийг хаанаас хайх вэ

Бүтээгдэхүүний дериватив ба хуваалтыг олохдоо бодит асуудлуудТиймээс хэд хэдэн ялгах дүрмийг нэгэн зэрэг хэрэглэх шаардлагатай байдаг илүү олон жишээЭдгээр деривативуудын хувьд - нийтлэлд"Үйлдвэрийн дериватив ба функцүүдийн quotient".

Сэтгэгдэл.Тогтмол (өөрөөр хэлбэл тоо)-ийг нийлбэр дэх нэр томъёо, тогтмол хүчин зүйл гэж андуурч болохгүй! Нэр томъёоны хувьд түүний дериватив нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд тохиолдолд тогтмол хүчин зүйлдериватив тэмдгээс хасагдсан. Энэ ердийн алдаа, дээр тохиолддог эхний шатДеривативуудыг судалж байгаа боловч нэг ба хоёр хэсгээс бүрдсэн хэд хэдэн жишээг шийдэж байгаа тул дундаж оюутан ийм алдаа гаргахаа больсон.

Мөн хэрэв бүтээгдэхүүн эсвэл хэсгийг ялгахдаа танд нэр томъёо байгаа бол у"v, аль нь у- тоо, жишээлбэл, 2 эсвэл 5, өөрөөр хэлбэл тогтмол, дараа нь энэ тооны дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх тул бүхэл бүтэн нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү байх болно (энэ хэргийг жишээ 10-д авч үзэх болно).

Бусад нийтлэг алдаа - механик шийдэлнийлмэл функцийн дериватив нь энгийн функцийн дериватив. Тийм ч учраас нийлмэл функцийн деривативтусдаа өгүүлэл зориулагдсан болно. Гэхдээ эхлээд бид деривативуудыг олж сурах болно энгийн функцууд.

Замдаа та илэрхийлэлийг өөрчлөхгүйгээр хийж чадахгүй. Үүнийг хийхийн тулд та гарын авлагыг шинэ цонхонд нээх хэрэгтэй. Эрх мэдэл, үндэстэй үйлдлүүдТэгээд Бутархайтай үйлдлүүд .

Хэрэв та зэрэглэлийн болон үндэстэй бутархайн деривативын шийдлийг хайж байгаа бол функц нь иймэрхүү харагдах үед. , дараа нь "Бутархайн нийлбэрийн дериватив ба үндэстэй" хичээлийг дагана уу.

Хэрэв танд ийм даалгавар байгаа бол , дараа нь та "Энгийн тригонометрийн функцын дериватив" хичээлийг авна.

Алхам алхмаар жишээ - деривативыг хэрхэн олох

Жишээ 3.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Бид функцийн илэрхийлэлийн хэсгүүдийг тодорхойлдог: бүхэл бүтэн илэрхийлэл нь бүтээгдэхүүнийг илэрхийлдэг бөгөөд түүний хүчин зүйлүүд нь нийлбэр бөгөөд хоёр дахь нэр томъёоны нэг нь тогтмол хүчин зүйлийг агуулдаг. Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг бид ашигладаг: хоёр функцийн үржвэрийн дериватив нь эдгээр функц тус бүрийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Дараа нь бид нийлбэрийг ялгах дүрмийг хэрэглэнэ: функцүүдийн алгебрийн нийлбэрийн дериватив нь эдгээр функцүүдийн деривативуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Манай тохиолдолд нийлбэр бүрт хоёр дахь гишүүн нь хасах тэмдэгтэй байдаг. Нийлбэр бүрт бид дериватив нь нэгтэй тэнцүү бие даасан хувьсагч ба дериватив нь тэгтэй тэнцүү тогтмол (тоо) хоёуланг нь хардаг. Тиймээс "X" нэг болж, хасах 5 нь тэг болж хувирна. Хоёр дахь илэрхийлэлд "x" нь 2-оор үржигддэг тул бид хоёрыг "x"-ийн деривативтай ижил нэгжээр үржүүлнэ. Бид авдаг дараах утгууддеривативууд:

Бид олдсон деривативуудыг бүтээгдэхүүний нийлбэрт орлуулж, асуудлын нөхцөлд шаардлагатай бүх функцийн деривативыг олж авна.

Жишээ 4.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Бид хуваалтын деривативыг олохыг шаарддаг. Бид хуваагчийг ялгах томъёог ашигладаг: хоёр функцийн хуваалтын дериватив нь бутархайтай тэнцүү бөгөөд хуваагч нь хуваагч ба хуваагч ба хуваагчийн дериватив ба үржвэрийн деривативын зөрүү юм. хуваагч, хуваагч нь өмнөх тоологчийн квадрат юм. Бид авах:

Бид 2-р жишээн дэх тоологчийн хүчин зүйлсийн деривативыг аль хэдийн олсон. Одоогийн жишээн дэх тоологчийн хоёр дахь хүчин зүйл болох үржвэрийг хасах тэмдгээр авсан гэдгийг мартаж болохгүй.

Хэрэв та үргэлжилсэн үндэс ба хүчнүүдийн овоо байдаг функцийн деривативыг олох шаардлагатай асуудлын шийдлийг хайж байгаа бол жишээ нь: , тэгвэл хичээлдээ тавтай морил "Бутархайн нийлбэрийн дериватив ба үндэстэй" .

Хэрэв та синус, косинус, тангенс болон бусад деривативуудын талаар илүү ихийг мэдэх шаардлагатай бол тригонометрийн функцууд, өөрөөр хэлбэл функц нь харагдах үед , тэгвэл танд сургамж "Энгийн тригонометрийн функцүүдийн дериватив" .

Жишээ 5.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Энэ функцэд бид үржвэрийг харж байна, үүний нэг хүчин зүйл нь бие даасан хувьсагчийн квадрат язгуур бөгөөд деривативын хүснэгтэд бид танилцсан. Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийн дагуу ба хүснэгтийн утгаквадрат язгуурын деривативыг бид олж авна:

Жишээ 6.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл. Энэ функцэд бид ногдол ашиг нь бие даасан хувьсагчийн квадрат язгуур болох хуваарийг харж байна. Бид 4-р жишээн дээр давтан хэрэглэж байсан хуваалтыг ялгах дүрэм болон квадрат язгуурын деривативын хүснэгтийн утгыг ашиглан бид олж авна.

-ийн деривативыг олох асуудал өгөгдсөн функцматематикийн үндсэн хичээлүүдийн нэг юм ахлах сургуульболон дээд боловсролын байгууллагуудад. Функцийг бүрэн судалж, түүний уламжлалыг авахгүйгээр түүний графикийг байгуулах боломжгүй юм. Хэрэв та ялгах үндсэн дүрэм, мөн үндсэн функцүүдийн деривативын хүснэгтийг мэддэг бол функцийн деривативыг хялбархан олох боломжтой. Функцийн деривативыг хэрхэн олохыг үзье.

Аргументийн нэмэгдэл тэг болох хандлагатай үед функцын нэмэгдлийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаарыг функцийн дериватив гэнэ.

Хязгаарын тухай ойлголтыг сургуульд бүрэн судлаагүй тул энэ тодорхойлолтыг ойлгоход нэлээд хэцүү байдаг. Гэхдээ дериватив олохын тулд янз бүрийн функцууд, тодорхойлолтыг ойлгох шаардлагагүй, үүнийг математикчдад үлдээж, деривативыг олоход шууд шилжье.

Деривативыг олох үйл явцыг дифференциал гэж нэрлэдэг. Функцийг ялгах үед бид шинэ функцийг олж авах болно.

Тэдгээрийг тэмдэглэхийн тулд бид ашиглах болно үсэг f, g гэх мэт.

Деривативын хувьд олон янзын тэмдэглэгээ байдаг. Бид цус харвалт хэрэглэх болно. Жишээлбэл, g" гэж бичих нь g функцийн деривативыг олох болно гэсэн үг юм.

Деривативын хүснэгт

Деривативыг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултад хариулахын тулд үндсэн функцүүдийн деривативын хүснэгтийг өгөх шаардлагатай. Энгийн функцүүдийн деривативыг тооцоолохын тулд үүнийг хийх шаардлагагүй нарийн төвөгтэй тооцоо. Деривативын хүснэгтээс түүний утгыг харахад л хангалттай.

(нүгэл x)"=cos x
(cos x)"= –sin x
(x n)"=n x n-1
(e x)"=e x
(ln x)"=1/x
(a x)"=a x ln a
(log a x)"=1/x ln a
(tg x)"=1/cos 2 x
(ctg x)"= – 1/sin 2 x
(arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
(arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
(arctg x)"= 1/(1+x 2)
(arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Жишээ 1. y=500 функцийн деривативыг ол.

Энэ нь тогтмол гэдгийг бид харж байна. Деривативын хүснэгтээс тогтмолын дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна (томъёо 1).

Жишээ 2. y=x 100 функцийн деривативыг ол.

Энэ эрчим хүчний функцилтгэгч нь 100 бөгөөд түүний деривативыг олохын тулд функцийг илтгэгчээр үржүүлж, 1-ээр багасгах хэрэгтэй (томъёо 3).

(x 100)"=100 x 99

Жишээ 3. y=5 x функцийн деривативыг ол

Энэ экспоненциал функц, 4-р томъёог ашиглан түүний деривативыг тооцоолъё.

Жишээ 4. y= log 4 x функцийн деривативыг ол

Бид 7-р томъёог ашиглан логарифмын деривативыг олно.

(лог 4 x)"=1/x ln 4

Ялгах дүрэм

Хүснэгтэд байхгүй бол функцийн деривативыг хэрхэн олохыг үзье. Судлагдсан функцүүдийн ихэнх нь энгийн биш боловч энгийн үйлдлүүд (нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, тоогоор үржүүлэх) ашиглан энгийн функцүүдийн хослолууд юм. Тэдний деривативыг олохын тулд ялгах дүрмийг мэдэх хэрэгтэй. Доорх f ба g үсэг нь функцийг илэрхийлэх ба C нь тогтмол юм.

1. Тогтмол коэффициентийг деривативын тэмдгээс гаргаж авч болно

Жишээ 5. y= 6*x 8 функцийн деривативыг ол

Бид үүнийг гаргаж авдаг тогтмол коэффициент 6 ба зөвхөн x 4-ийг ялгана. Энэ бол деривативын хүснэгтийн 3-р томъёог ашиглан деривативыг олдог чадлын функц юм.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Нийлбэрийн дериватив нь деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна

(f + g)"=f" + g"

Жишээ 6. y= x 100 +sin x функцийн деривативыг ол

Функц нь хоёр функцийн нийлбэр бөгөөд тэдгээрийн уламжлалыг хүснэгтээс олж болно. Учир нь (x 100)"=100 x 99 ба (sin x)"=cos x. Нийлбэрийн дериватив нь эдгээр деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. Зөрүүний дериватив нь деривативуудын зөрүүтэй тэнцүү байна

(f – g)"=f" – g"

Жишээ 7. y= x 100 – cos x функцийн деривативыг ол

Энэ функц нь хоёр функцийн ялгаа бөгөөд тэдгээрийн деривативуудыг бид хүснэгтээс олж болно. Дараа нь ялгаварын дериватив нь деривативуудын зөрүүтэй тэнцүү байх ба (cos x)"= – sin x тул тэмдгийг өөрчлөхөө бүү мартаарай.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

Жишээ 8. y=e x +tg x– x 2 функцийн деривативыг ол.

Энэ функц нь нийлбэр ба зөрүүтэй байна.

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Тэгвэл анхны функцийн дериватив нь:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Бүтээгдэхүүний дериватив

(f * g)"=f" * g + f * g"

Жишээ 9. y= cos x *e x функцийн деривативыг ол

Үүнийг хийхийн тулд бид эхлээд хүчин зүйл бүрийн деривативыг олно (cos x)"=–sin x ба (e x)"=e x. Одоо бүх зүйлийг бүтээгдэхүүний томъёонд орлъё. Бид эхний функцийн деривативыг хоёр дахь функцээр үржүүлж, эхний функцийн үржвэрийг хоёр дахь функцийн деривативаар нэмнэ.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Хэсгийн дериватив

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Жишээ 10. y= x 50 /sin x функцийн деривативыг ол

Хэсгийн деривативыг олохын тулд эхлээд хуваагч ба хувагчийн деривативыг тус тусад нь олно: (x 50)"=50 x 49 ба (sin x)"= cos x. Хэсгийн деривативыг томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив

Нарийн төвөгтэй функц гэдэг нь хэд хэдэн функцийн бүрэлдэхүүнээр илэрхийлэгдэх функц юм. Мөн нийлмэл функцийн деривативыг олох дүрэм байдаг.

(u (v))"=u"(v)*v"

Ийм функцийн деривативыг хэрхэн олохыг үзье. y= u(v(x)) - нарийн төвөгтэй функц. Функцийг u гадаад, v - дотоод гэж нэрлэе.

Жишээлбэл:

y=sin (x 3) нь нийлмэл функц юм.

Тэгвэл y=sin(t) нь гадаад функц болно

t=x 3 - дотоод.

Энэ функцийн деривативыг тооцоолохыг хичээцгээе. Томъёоны дагуу та дотоод болон гадаад функцүүдийн деривативуудыг үржүүлэх хэрэгтэй.

(sin t)"=cos (t) - гадаад функцийн дериватив (энд t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - дотоод функцийн дериватив

Тэгвэл (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 нь нийлмэл функцийн дериватив юм.

Дериватив тооцоо- хамгийн чухал үйл ажиллагааны нэг дифференциал тооцоо. Энгийн функцүүдийн деривативыг олох хүснэгтийг доор харуулав. Илүү нарийн төвөгтэй дүрэмялгах, бусад хичээлүүдийг үзнэ үү:

Экспоненциал ба логарифм функцүүдийн деривативын хүснэгт

Өгөгдсөн томьёог жишиг утгыг ашиглана уу. Тэд танд шийдвэр гаргахад тань туслах болно дифференциал тэгшитгэлболон даалгавар. Зураг дээр энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгтэд ашиглахад ойлгомжтой хэлбэрээр дериватив олох үндсэн тохиолдлуудын "хууран мэхлэх хуудас" байгаа бөгөөд үүний хажууд тохиолдол бүрийн тайлбарыг оруулсан болно.

Энгийн функцүүдийн деривативууд

1. Тооны дериватив нь тэг байна
с´ = 0
Жишээ:
5´ = 0

Тайлбар:
Дериватив нь аргумент өөрчлөгдөхөд функцийн утга өөрчлөгдөх хурдыг харуулдаг. Тоо нь ямар ч нөхцөлд өөрчлөгддөггүй тул түүний өөрчлөлтийн хурд үргэлж тэг байдаг.

2. Хувьсагчийн деривативнэгтэй тэнцүү
x´ = 1

Тайлбар:
Аргумент (x) нэгээр нэмэгдэх тусам функцийн утга (тооцооллын үр дүн) ижил хэмжээгээр нэмэгддэг. Иймд y = x функцийн утгын өөрчлөлтийн хурд нь аргументийн утгын өөрчлөлтийн хурдтай яг тэнцүү байна.

3. Хувьсагч ба хүчин зүйлийн дериватив нь энэ хүчин зүйлтэй тэнцүү байна
сx´ = с
Жишээ:
(3x)´ = 3
(2х)´ = 2
Тайлбар:
IN энэ тохиолдолд, функцийн аргумент өөрчлөгдөх бүрт ( X) түүний утга (y) нэмэгдэнэ -тайнэг удаа. Тиймээс аргументийн өөрчлөлтийн хурдтай харьцуулахад функцийн утгын өөрчлөлтийн хурд нь утгатай яг тэнцүү байна. -тай.

Хаанаас үүнийг дагадаг
(cx + b)" = c
өөрөөр хэлбэл дифференциал шугаман функц y=kx+b нь тэнцүү байна налуушулуун шугамын налуу (k).

4. Хувьсагчийн модулийн деривативэнэ хувьсагчийн модулийн коэффициенттэй тэнцүү байна
|x|"= x / |x| x ≠ 0 байх тохиолдолд
Тайлбар:
Хувьсагчийн дериватив (томьёо 2-ыг үзнэ үү) нь нэгдэлтэй тэнцүү тул модулийн дериватив нь зөвхөн гарал үүслийн цэгийг гатлах үед функцийн өөрчлөлтийн хурдны утга эсрэгээр өөрчлөгддөгт л ялгаатай (график зурж үзээрэй). y = |x| гэсэн утгатай бөгөөд энэ нь яг ямар утгатай болохыг хараарай. x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - нэг. Энэ нь хэзээ сөрөг утгууд x хувьсагч, аргумент нэмэгдэх бүрд функцийн утга яг ижил утгаар буурч, эерэг утгуудын хувьд эсрэгээр өсдөг, гэхдээ яг ижил утгаараа.

5. Хувьсагчийн дериватив хүчин чадалэнэ чадлын тооны үржвэртэй тэнцүү ба нэгээр буурсан чадлын хувьсагч
(x c)"= cx c-1, x c ба cx c-1 тодорхойлогдсон ба c ≠ 0 байвал
Жишээ:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Томьёог санахын тулд:
Хувьсагчийн зэрэглэлийг хүчин зүйл болгон доош шилжүүлж, дараа нь градусыг өөрөө нэгээр бууруулна. Жишээлбэл, x 2-ийн хувьд - хоёр нь x-ээс түрүүлж байсан бөгөөд дараа нь багассан хүч (2-1 = 1) нь бидэнд 2x-ийг өгсөн. X 3-ийн хувьд ижил зүйл тохиолдсон - бид гурвалсан хэсгийг "доошоо" нэгээр багасгаж, шоо дөрвөлжингийн оронд 3x 2 байна. Бага зэрэг "шинжлэх ухаангүй" боловч санахад маш хялбар.

6.Бутархайн дериватив 1/х
(1/x)" = - 1 / x 2
Жишээ:
Бутархайг өсгөх замаар төлөөлж болох тул сөрөг зэрэг
(1/x)" = (x -1)", дараа нь деривативын хүснэгтийн 5-р дүрмийн томъёог хэрэглэж болно.
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Бутархайн дериватив дурын градусын хувьсагчтайхуваарьт
(1 / х в)" = - c / x c+1
Жишээ:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Үндэсний дериватив(доорх хувьсагчийн дериватив квадрат язгуур)
(√x)" = 1 / (2√x)эсвэл 1/2 x -1/2
Жишээ:
(√x)" = (x 1/2)" гэдэг нь 5-р дүрмийн томъёог хэрэглэж болно гэсэн үг
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Дурын зэргийн язгуур дор байгаа хувьсагчийн дериватив
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)