Хэрэв матрицыг квадрат гэж нэрлэдэг. §1

ODA. -аас бүрдсэн тэгш өнцөгт хүснэгт Тшугам ба nбаганууд бодит тоодуудсан матрицхэмжээ t×p. Матрицуудыг латин том үсгээр тэмдэглэдэг: A, B,..., тоонуудын массив нь дугуй эсвэл дөрвөлжин хаалтаар тусгаарлагдана.

Хүснэгтэд орсон тоонуудыг матрицын элементүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд давхар индекс бүхий жижиг латин үсгээр тэмдэглэдэг. би- мөрийн дугаар, j– элемент байрлаж буй уулзвар дээрх баганын дугаар. IN ерөнхий үзэлматрицыг дараах байдлаар бичнэ.

Хоёр матрицыг авч үздэг тэнцүү, хэрэв тэдгээрийн харгалзах элементүүд тэнцүү бол.

Хэрэв матрицын эгнээний тоо Ттүүний баганын тоотой тэнцүү байна n, дараа нь матрицыг дуудна дөрвөлжин(өөрөөр бол тэгш өнцөгт).

Хэмжээ матриц
эгнээ матриц гэж нэрлэдэг. Хэмжээ матриц

баганын матриц гэж нэрлэдэг.

Ижил индекстэй матрицын элементүүд (
гэх мэт), хэлбэр үндсэн диагональматрицууд. Нөгөө диагональыг хажуугийн диагональ гэж нэрлэдэг.

Квадрат матриц гэж нэрлэдэг диагональ, хэрэв түүний үндсэн диагональаас гадуур байрлах бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү бол.

Диагональ элементүүд нь нэгтэй тэнцүү диагональ матриц гэж нэрлэгддэг ганц биематриц бөгөөд стандарт E тэмдэглэгээтэй:

Хэрэв үндсэн диагональ дээрх (эсвэл доор) бүх матрицын элементүүд тэгтэй тэнцүү байвал матрицыг гурвалжин хэлбэртэй гэж үзнэ.

§2. Матриц дээрх үйлдлүүд

1. Матрицын шилжүүлэлт - матрицын мөрүүдийг дарааллыг нь хадгалан багана хэлбэрээр бичих хувиргалт. Квадрат матрицын хувьд энэ хувиргалт нь үндсэн диагоналын тэгш хэмтэй зураглалтай тэнцүү байна:

.

2. Ижил хэмжээтэй матрицуудыг нэгтгэж (хасах) боломжтой. Матрицуудын нийлбэр (ялгаа) нь элемент бүр нь ижил хэмжээтэй матриц юм нийлбэртэй тэнцүү байнаАнхны матрицын харгалзах элементүүдийн (ялгаанууд):

3. Аливаа матрицыг тоогоор үржүүлж болно. Матрицын үржвэр нь ижил дарааллын матриц бөгөөд түүний элемент бүр нь анхны матрицын харгалзах элементийн үржвэртэй тэнцүү байна.

.

4. Хэрэв нэг матрицын баганын тоо нөгөөгийн мөрийн тоотой тэнцүү бол та эхний матрицыг хоёр дахь матрицаар үржүүлж болно. Ийм матрицын үржвэр нь матриц бөгөөд түүний элемент бүр нь эхний матрицын харгалзах эгнээний элементүүд болон хоёр дахь матрицын харгалзах баганын элементүүдийн хос үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Үр дагавар. Матрицын экспоненциал руу>1 нь А матрицын үржвэр юм руунэг удаа. Зөвхөн квадрат матрицад зориулагдсан.

Жишээ.

Матриц дээрх үйлдлүүдийн шинж чанарууд.

1. (A+B)+C=A+(B+C);

   к(А+Б)=кА+кВ;

   A(B+C)=AB+AC;

   (A+B)C=AC+BC;

   k(AB)=(kA)B=A(kV);

   A(BC)=(AB)C;

2. (kA) T = kA T;

   (A+B) T =A T +B T;

   (AB) T =B T A T;

Дээр дурдсан шинж чанарууд нь тоон дээрх үйлдлүүдийн шинж чанаруудтай төстэй юм. Мөн матрицуудын тодорхой шинж чанарууд байдаг. Үүнд, жишээлбэл, матрицын үржүүлгийн өвөрмөц шинж чанар орно. Хэрэв AB бүтээгдэхүүн байгаа бол BA бүтээгдэхүүн байна

Байхгүй байж магадгүй

AB-аас ялгаатай байж болно.

Жишээ. Тус компани нь А, В гэсэн хоёр төрлийн бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг бөгөөд S 1, S 2, S 3 гэсэн гурван төрлийн түүхий эдийг ашигладаг. Түүхий эдийн хэрэглээний хэмжээг N= матрицаар тодорхойлно
, Хаана n ij- түүхий эдийн тоо хэмжээ j, нэгж бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэхэд зарцуулсан би. Үйлдвэрлэлийн төлөвлөгөөг C=(100 200) матрицаар, түүхий эдийн төрөл тус бүрийн нэгж өртгийг матрицаар тусгана. . Төлөвлөсөн үйлдвэрлэлд шаардагдах түүхий эдийн зардал, түүхий эдийн нийт өртгийг тодорхойлох.

Шийдэл. Бид түүхий эдийн зардлыг C ба N матрицын үржвэр гэж тодорхойлдог.

Бид түүхий эдийн нийт зардлыг S ба P-ийн бүтээгдэхүүнээр тооцдог.

Үндсэн диагональ дээр нэг нь байх ба бусад бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байх 3-р эрэмбийн квадрат матрицыг таних матриц гэж нэрлэж, эсвэл энгийнээр тэмдэглэнэ. "Нэгж матриц" нэр нь матрицын дараах шинж чанартай холбоотой: дурын хувьд тэгш өнцөгт матриц

тэгш байдал бий

.

Мэдээжийн хэрэг,

Квадрат матриц байцгаая. Дараа нь матрицын зэргийг ердийн аргаар тодорхойлно.

Матрицын үржүүлгийн хосолсон шинж чанараас дараах байдалтай байна.

Энд , дурын сөрөг бус бүхэл тоонууд байна.

Талбайн коэффициент бүхий олон гишүүнт (бүхэл бүтэн оновчтой функц) авч үзье.

Дараа нь бид матрицыг хэлнэ

Матриц дахь олон гишүүнт ийм байдлаар тодорхойлогддог.

Олон гишүүнт олон гишүүнтийн үржвэртэй тэнцүү байг ба:

.

Олон гишүүнтийг гишүүнээр нь үржүүлэх, багасгах замаар олж авна ижил төстэй гишүүд. Энэ тохиолдолд эрх мэдлийг үржүүлэх дүрмийг хэрэглэнэ: . Эдгээр бүх үйлдлүүд нь скаляр хэмжигдэхүүнийг матрицаар солиход хүчинтэй байдаг тул

Тиймээс, ялангуяа,

өөрөөр хэлбэл, нэг матрицын хоёр олон гишүүнт бие биетэйгээ үргэлж солигддог.

Тэгш өнцөгт матриц дахь супрадиагональ (дэд диагональ) нь (тус тусад нь) хэд хэдэн элемент гэдэгтэй санал нийлэе. Эхний супрадиагоналын элементүүд нь нэгтэй, бусад бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байх 3-р эрэмбийн квадрат матрицаар тэмдэглэе. Дараа нь

, гэх мэт;

Эдгээр тэгш байдлын дагуу, хэрэв:

Тиймээс олон гишүүнт харьцангуй юм

.

Үүний нэгэн адил, хэрэв эхний дэд диагональ бүх элементүүд нь нэгтэй, бусад нь тэгтэй тэнцүү байх дөрвөлжин матриц бол

.

Уншигч та бүхнийг шалгахыг урьж байна дараах шинж чанаруудматрицууд ба:

1° Үржүүлгийн үр дүнд дурын матрицзүүнээс 1-р эрэмбийн матриц (матриц) хүртэл матрицын бүх мөрийг нэг газар дээшээ (доошоо), матрицын эхний (сүүлийн) эгнээ алга болж, хамгийн сүүлийн (эхний) эгнээ алга болно. бүтээгдэхүүн нь тэгээр дүүрсэн байна. Тиймээс, жишээ нь,

,

.

2° Баруун талд байгаа дурын -матрицыг 3-р эрэмбийн матрицаар үржүүлсний үр дүнд матрицын бүх багана баруун тийш (зүүн) нэг газар шилжиж, матрицын сүүлчийн (эхний) багана алга болно. , мөн бүтээгдэхүүний эхний (сүүлийн) баганыг тэгээр дүүргэсэн байна. Тиймээс, жишээ нь,

.

.

2. Хэрэв бид квадрат матрицыг тусгай гэж нэрлэнэ. Үгүй бол квадрат матрицыг ганц биш гэж нэрлэдэг.

Ганц бус матриц () байг. Ингээд авч үзье шугаман хувиргалткоэффициент матрицтай

Тэгшитгэлийг (23) харьцангуй тэгшитгэл гэж үзэж, тэгшитгэлийн системийн тодорхойлогч нөхцөл (23) нь тэгээс ялгаатай болохыг тэмдэглэснээр бид мэдэгдэж буй томъёог ашиглан дараах байдлаар онцгойлон илэрхийлж болно.

. (24)

Бид (23)-ын "урвуу" хувиргалтыг олж авлаа. Энэ хувиргалтын коэффициент матриц

бид матрицын урвуу матрицыг дуудах болно. (24)-ээс үүнийг харахад хялбар байдаг

, (25)

тодорхойлогч дахь элементийн алгебрийн нэмэлт (нэмэлт) хаана байна .

Тиймээс, жишээлбэл, хэрэв

Мөн ,

.

Энэ хувиргалтаас (23) болон урвуу (24) нэг ба нөгөө дарааллаар нийлмэл хувиргалтыг бий болгосноор бид хоёр тохиолдолд олж авна. таних тэмдгийн хувирал(нэгж коэффициентийн матрицтай); Тийм ч учраас

. (26)

Тэнцүү байдлын (26) үнэн зөвийг мөн матрицуудыг шууд үржүүлэх замаар шалгаж болно. Үнэхээр, (25)-ын ачаар

.

Үүний нэгэн адил

.

Матрицын тэгшитгэлийг харахад хялбар байдаг

Тэдэнд шийдлээс өөр шийдэл байхгүй. Үнэн хэрэгтээ, эхний тэгшитгэлийн хоёр талыг зүүн талаас, хоёр дахь талыг баруун талаас үржүүлж, ашиглана. хамтын өмчматрицын үржвэр, түүнчлэн тэгш байдал (26) хоёр тохиолдолд бид дараахь зүйлийг олж авна.

Үүнтэй адилаар матрицын тэгшитгэл тус бүр нь батлагдсан

тэгш өнцөгт матрицууд хаана байна тэнцүү хэмжээтэй, нь тохирох хэмжээтэй квадрат матриц бөгөөд нэг бөгөөд цорын ганц шийдэлтэй:

Үүний дагуу (29)

Матрицууд (29) нь матрицыг матрицад "хуваах" хэсгийн "зүүн" ба "баруун" хэсэг юм. (28) ба (29)-аас (22-р хуудсыг үзнэ үү) ба , өөрөөр хэлбэл . (28)-тай харьцуулбал бид:

Тэгш өнцөгт матрицыг зүүн эсвэл баруун талаас ганц бус матрицаар үржүүлэхэд анхны матрицын зэрэглэл өөрчлөгдөхгүй.

(26)-аас дараах зүйлийг тэмдэглэе.

Хоёр ганц бус матрицын үржвэрийн хувьд бид:

. (30)

3. 3-р эрэмбийн бүх матрицууд нь таних элементтэй цагираг үүсгэдэг. Энэ цагирагт талбараас авсан тоогоор үржүүлэх үйлдлийг тодорхойлж, шугаман бие даасан матрицуудын суурь байгаа бөгөөд түүгээр дамжуулан 1-р эрэмбийн бүх матрицууд шугаман илэрхийлэгддэг тул 2-р эрэмбийн матрицуудын цагираг нь алгебр болно.

Бүгд квадрат матрицууд---р тушаал нь нэмэх үйлдлийн хувьд шилжих бүлэг үүсгэдэг. 1-р эрэмбийн бүх ганц биш матрицууд үржүүлэх үйлдлээс хамааран (коммутатив бус) бүлэг үүсгэдэг.

Хэрэв үндсэн диагональ дор (үндсэн диагональ дээр) байрлах бүх матрицын элементүүд тэгтэй тэнцүү байвал дөрвөлжин матрицыг дээд гурвалжин (доод гурвалжин) гэж нэрлэдэг.

, .

Диагональ матриц нь дээд ба доод гурвалжин матрицын онцгой тохиолдол юм.

Гурвалжин матрицын тодорхойлогч нь түүний диагональ элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү тул гурвалжин (ялангуяа диагональ) матриц нь зөвхөн диагональ элементүүд нь тэгээс ялгаатай тохиолдолд ганц биш байна.

Хоёр диагональ (дээд гурвалжин, доод гурвалжин) матрицын нийлбэр ба үржвэр нь диагональ (дээд гурвалжин, доод гурвалжин тус тус) матриц болохыг шалгахад хялбар байдаг. урвуу матрицГанц бус диагональ (дээд гурвалжин, доод гурвалжин) матрицын хувьд ижил төрлийн матриц юм. Тийм ч учраас

1° Бүх диагональ, бүх дээд гурвалжин, бүгд доод гурвалжин матрицууд th дараалал нь нэмэх үйлдлийн хувьд гурван шилжих бүлгийг бүрдүүлдэг.

2° Бүх ганц бус диагональ матрицууд үржүүлгийн үед шилжих бүлэг үүсгэдэг.

3° Бүх цорын ганц биш дээд (доод) гурвалжин матрицууд үржүүлгийн үед бүлэг (коммутатив бус) үүсгэдэг.

4. Энэ хэсгийг дуусгахын тулд бид матрицын хоёр чухал үйлдлийг онцлон тэмдэглэв - матрицын шилжүүлэг ба коньюгат матриц руу шилжих.

Хэрэв квадрат матриц нь түүний транспозтой () давхцаж байвал ийм матрицыг тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. Хэрэв квадрат матриц нь түүний коньюгаттай () давхцаж байвал түүнийг Гермит гэж нэрлэдэг. Тэгш хэмтэй матрицад үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байрлалтай элементүүд тэнцүү байдаг боловч Гермит матрицад тэдгээр нь хоорондоо нийлмэл байдлаар нийлдэг. Гермитийн матрицын диагональ элементүүд үргэлж бодит байдаг. Хоёр тэгш хэмтэй (Гермитийн) матрицын үржвэр нь ерөнхийдөө тэгш хэмтэй (Гермит) матриц биш гэдгийг анхаарна уу. 3°-ын ачаар энэ нь зөвхөн өгөгдсөн хоёр тэгш хэмтэй эсвэл Гермит матрицууд хоорондоо солигдох үед л тохиолддог.

Тэгш байдлыг дэмжинэ.

Хэрэв квадрат матриц нь транспозоос () -1 дахин ялгаатай бол ийм матрицыг хазайлттай тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. Налуу тэгш хэмтэй матрицад үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байрлалтай дурын хоёр элемент нь бие биенээсээ -1 дахин ялгаатай бөгөөд диагональ элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байна. 3°-аас харахад өөр хоорондоо солигдсон хоёр налуу тэгш хэмтэй матрицын үржвэр нь тэгш хэмтэй матриц болно.

Математик дахь матрицууд нь тэдгээрийн нэг юм хамгийн чухал объектуудбайх ашигласан утга. Ихэнхдээ матрицын онол руу аялах нь: "Матриц бол энэ юм тэгш өнцөгт ширээ..." Бид энэ аялалыг арай өөр чиглэлээс эхлүүлэх болно.

Ямар ч хэмжээтэй, ямар ч хэмжээний захиалагчийн мэдээлэл бүхий утасны дэвтэр нь матрицаас өөр зүйл биш юм. Ийм матрицууд ойролцоогоор дараах байдалтай байна.

Бид бүгд ийм матрицыг бараг өдөр бүр ашигладаг нь ойлгомжтой. Эдгээр матрицууд нь өөр өөр тооны мөртэй ирдэг (тэдгээр нь утасны компаниас гаргасан лавлах шиг өөр өөр байдаг бөгөөд энэ нь мянга, зуун мянга, бүр сая сая мөртэй байж болно, мөн таны дөнгөж эхлүүлсэн шинэ). дэвтэр, арав хүрэхгүй мөртэй) ба багана (албан тушаал, албан тушаалын дугаар, таны ижил дэвтэр зэрэг багана агуулсан байж болох зарим байгууллагын албан тушаалтны лавлах, энд нэрээс өөр мэдээлэл байхгүй байж болно. Тиймээс , энэ нь зөвхөн хоёр баганатай - нэр, утасны дугаар).

Бүх матрицуудыг нэмж, үржүүлж болохоос гадна бусад үйлдлүүдийг түүн дээр хийж болно, гэхдээ нэмэх, үржүүлэх шаардлагагүй. утасны лавлахууд, үүнээс ямар ч ашиг байхгүй, үүнээс гадна та оюун ухаанаа хөдөлгөж чадна.

Гэхдээ олон матрицыг нэмж, үржүүлж, улмаар янз бүрийн тулгамдсан асуудлыг шийдэж болно. Ийм матрицуудын жишээг доор харуулав.

Матрицууд нь тодорхой төрлийн бүтээгдэхүүний нэгжийн үйлдвэрлэл, мөрүүд нь энэ бүтээгдэхүүний үйлдвэрлэлийг бүртгэсэн жилүүд юм.

Салбарын хураангуй мэдээллийг авахын тулд та өөр өөр аж ахуйн нэгжүүдийн ижил төстэй бүтээгдэхүүний гарцыг харгалзан үзсэн ийм төрлийн матрицуудыг нэмж болно.

Эсвэл жишээ нь нэг баганаас бүрдэх матрицууд, тэдгээрийн мөрүүд нь тодорхой төрлийн бүтээгдэхүүний дундаж өртөг юм.

Сүүлийн хоёр төрлийн матрицыг үржүүлж болох бөгөөд үр дүн нь бүх төрлийн бүтээгдэхүүний өртөгийг жилээр нь агуулсан эгнээний матриц юм.

Матрицууд, үндсэн тодорхойлолтууд

Тоон дотор байрлуулсан тоонуудаас бүрдсэн тэгш өнцөгт хүснэгт мшугам ба nбагана гэж нэрлэдэг mn-матриц (эсвэл зүгээр л матриц ) мөн дараах байдлаар бичигдсэн байна.

(1)

(1) матриц дахь тоонуудыг түүний гэж нэрлэдэг элементүүд (тодорхойлогчийн нэгэн адил эхний индекс нь эгнээний дугаарыг, хоёр дахь нь элементийн уулзвар дээрх багана гэсэн үг юм; би = 1, 2, ..., м; j = 1, 2, n).

Матриц гэж нэрлэдэг тэгш өнцөгт , Хэрэв .

Хэрэв м = n, дараа нь матрицыг дуудна дөрвөлжин , мөн n тоо нь түүний байна дарааллаар .

Квадрат матрицын тодорхойлогч А нь элементүүд нь матрицын элементүүд болох тодорхойлогч юм А. Энэ нь | тэмдгээр илэрхийлэгдэнэ А|.

Квадрат матриц гэж нэрлэдэг онцгой биш (эсвэл доройтдоггүй , дан бус ), хэрэв түүний тодорхойлогч нь тийм биш бол тэгтэй тэнцүү, Мөн онцгой (эсвэл доройтох , ганц бие ) хэрэв түүний тодорхойлогч нь тэг байвал.

Матрицуудыг дууддаг тэнцүү хэрэв тэдэнд байгаа бол ижил тоомөр, багана болон харгалзах бүх элементүүд таарч байна.

Матриц гэж нэрлэдэг null , хэрэв түүний бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү бол. Бид тэг матрицыг тэмдгээр тэмдэглэнэ 0 эсвэл .

Жишээлбэл,

Матриц-мөр (эсвэл жижиг үсгээр ) 1 гэж нэрлэдэг n- матриц, ба матриц багана (эсвэл багана хэлбэртэй ) – м 1-матриц.

Матриц А", матрицаас олж авсан Адоторх мөр, баганыг солих гэж нэрлэдэг шилжүүлсэн матрицтай харьцуулахад А. Тиймээс (1) матрицын хувьд шилжүүлсэн матриц нь байна

Матрицын шилжилтийн үйл ажиллагаа А" матрицын хувьд шилжүүлсэн А, матрицын шилжүүлэг гэж нэрлэдэг А. Учир нь mn-матриц шилжүүлсэн байна nm- матриц.

Матрицтай холбоотойгоор шилжүүлсэн матриц нь байна А, тэр нь

(А")" = А .

Жишээ 1.Матрицыг ол А" , матрицын хувьд шилжүүлсэн

эх ба шилжүүлсэн матрицуудын тодорхойлогч тэнцүү эсэхийг олж мэд.

Үндсэн диагональ Дөрвөлжин матриц нь түүний элементүүдийг холбосон төсөөллийн шугам бөгөөд хоёр индекс нь ижил байна. Эдгээр элементүүдийг нэрлэдэг диагональ .

Үндсэн диагональ дээрх бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байх квадрат матриц гэж нэрлэдэг диагональ . Диагональ матрицын бүх диагональ элементүүд заавал тэгээс өөр байх албагүй. Тэдний дунд тэгтэй тэнцүү байж болно.

Үндсэн диагональ дээрх элементүүд нь ижил тоотой тэнцүү, тэг биш, бусад нь тэгтэй тэнцүү байх квадрат матрицыг гэнэ. скаляр матриц .

Таних матриц бүх диагональ элементүүд нь нэгтэй тэнцүү байх диагональ матриц гэж нэрлэгддэг. Жишээлбэл, гурав дахь эрэмбийн таних матриц нь матриц юм

Жишээ 2.Өгөгдсөн матрицууд:

Шийдэл. Эдгээр матрицуудын тодорхойлогчдыг тооцоолъё. Гурвалжингийн дүрмийг ашиглан бид олдог

Матрицын тодорхойлогч Бтомъёогоор тооцоолъё

Бид үүнийг амархан олж авдаг

Тиймээс матрицууд Аба дан бус (муудаагүй, ганц бие биш), матриц Б– онцгой (муудсан, ганцаарчилсан).

Аливаа эрэмбийн таних матрицыг тодорхойлогч нь ойлгомжтой нэгтэй тэнцүү.

Матрицын асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлийг хар

Жишээ 3.Өгөгдсөн матрицууд

,

,

Тэдгээрийн аль нь ганц бие биш (мууддаггүй, ганц бие биш) болохыг тодорхойлох.

Матрицыг математик, эдийн засгийн загварчлалд ашиглах

Тодорхой объектын тухай бүтэцлэгдсэн өгөгдлийг матриц хэлбэрээр энгийн бөгөөд хялбархан тэмдэглэдэг. Матрицын загваруудыг зөвхөн энэхүү бүтэцлэгдсэн өгөгдлийг хадгалахаас гадна шийдвэрлэх зорилгоор бүтээдэг янз бүрийн даалгаварЭдгээр өгөгдсөн шугаман алгебрийн хэрэгслүүдийн тусламжтайгаар.

Ийнхүү эдийн засгийн алдартай матриц загвар бол орос гаралтай Америкийн эдийн засагч Василий Леонтьевын танилцуулсан оролт-гаралтын загвар юм. Энэ загвар нь эдийн засгийн үйлдвэрлэлийн салбарыг бүхэлд нь хуваасан гэсэн таамаглал дээр суурилдаг nцэвэр үйлдвэрүүд. Салбар бүр зөвхөн нэг төрлийн бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг бөгөөд өөр өөр салбарууд үйлдвэрлэдэг төрөл бүрийн бүтээгдэхүүн. Салбар хоорондын хөдөлмөрийн ийм хуваарилалтаас шалтгаалан салбар хоорондын уялдаа холбоо бий болж, үүний утга нь салбар бүрийн үйлдвэрлэлийн нэг хэсэг нь үйлдвэрлэлийн нөөц болгон бусад үйлдвэрүүдэд шилждэг.

Бүтээгдэхүүний хэмжээ би-Тайлангийн хугацаанд үйлдвэрлэсэн салбарыг (тодорхой хэмжүүрээр хэмждэг) гэж тэмдэглэж, бүрэн бүтээгдэхүүн гэж нэрлэдэг. би-р салбар. Асуудлыг тав тухтай байрлуулж болно n-матрицын бүрэлдэхүүн хэсэг.

Нэгжийн тоо би-зарцуулах шаардлагатай салбар j-Бүтээгдэхүүнийхээ нэгжийг үйлдвэрлэх үйлдвэрийг шууд зардлын коэффициент гэж нэрлэдэг.

Матриц дээрх үйлдлүүд ба тэдгээрийн шинж чанарууд.

Хоёр ба гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийн тухай ойлголт.Тодорхойлогчдын шинж чанар, тэдгээрийн тооцоо.

3. Ерөнхий тайлбардаалгавар.

4. Даалгавруудыг гүйцэтгэх.

5. Лабораторийн ажлын тайлан бэлтгэх.

Тайлбар толь

Дараах тодорхойлолтуудыг мэдэж аваарай нөхцөл:

ХэмжээМатриц гэдэг нь түүний мөрүүдийн тоо m, баганын тоо n-ээс бүрдэх хоёр тооны цуглуулга юм.

Хэрэв m = n бол матрицыг дуудна дөрвөлжинэрэмбийн матриц n.

Матриц дээрх үйлдлүүд: матрицыг шилжүүлэх, матрицыг тоогоор үржүүлэх (хуваах), нэмэх хасах, матрицыг матрицаар үржүүлэх.

Мөр нь багана, багана нь А матрицын мөрүүд болох А матрицаас А м матриц руу шилжих шилжилтийг гэнэ. шилжүүлэн суулгахматрицууд А.

Жишээ: A =, A t =.

руу матрицыг тоогоор үржүүлэх, та матрицын элемент бүрийг энэ тоогоор үржүүлэх хэрэгтэй.

Жишээ: 2A= 2· = .

Нийлбэр (ялгаа)ижил хэмжээстэй А ба В матрицыг элементүүд нь тэнцүү C=A B матриц гэнэ ij = a ij b ij-тэйхүн бүрт биТэгээд j.

Жишээ: A = ; B =. A+B= = .

ажил B n k матрицаар A m n матрицыг C m k матриц гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний элемент бүр нь c ij нь А матрицын i-р эгнээний элементүүдийн үржвэрийн нийлбэр j-р баганын харгалзах элементтэй тэнцүү байна. B матрицын:

c ij = a i1 · b 1j + a i2 ·b 2j +…+ a in ·b nj .

Матрицыг матрицаар үржүүлэхийн тулд тэдгээр нь байх ёстой тохиролцсонүржүүлэх, тухайлбал баганын тооэхний матрицад тэнцүү байх ёстой мөрийн тоохоёр дахь матрицад.

Жишээ нь: A= ба B=.

А·В—боломжгүй, учир нь тэд тууштай биш байна.

VA=. = = .

Матрицыг үржүүлэх үйлдлийн шинж чанарууд.

1. А матриц хэмжээстэй бол м н,Б матриц нь хэмжээс юм н к, тэгвэл A·B бүтээгдэхүүн байна.

BA бүтээгдэхүүн зөвхөн тухайн үед оршин тогтнох боломжтой m=k.

2. Матрицын үржүүлэх нь солигддоггүй, i.e. Хоёр бүтээгдэхүүн тодорхойлогдсон ч A·B нь үргэлж BA·A-тай тэнцүү байдаггүй. Харин А·В=В·А харьцаа хангагдвал А ба В матрицуудыг гэнэ. солигдох боломжтой.

Жишээ. Тооцоол.

Багаэлемент нь баганын 3-р мөрийг устгаснаар олж авсан эрэмбийн матрицын тодорхойлогч юм.

Алгебрийн нэмэлтэлемент гэж нэрлэдэг.

Лапласын тэлэлтийн теорем:

Квадрат матрицын тодорхойлогч нь аль ч эгнээний (баганын) элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ. Тооцоол.

Шийдэл. .

n-р эрэмбийн тодорхойлогчдын шинж чанарууд:

1) Мөр, баганыг сольсон тохиолдолд тодорхойлогчийн утга өөрчлөгдөхгүй.

2) Тодорхойлогч нь зөвхөн тэгээс бүрдэх мөр (багана) агуулж байвал тэгтэй тэнцүү байна.

3) Хоёр эгнээ (багана) дахин байрлуулахад тодорхойлогч тэмдэг өөрчлөгдөнө.

4) Хоёр ижил мөр (багана) бүхий тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү байна.

5) Нийт үржүүлэгчТодорхойлогч тэмдгийн гадна аль ч эгнээний (баганын) элементүүдийг авч болно.

6) Хэрэв тодорхой мөр (багана) -ын элемент бүр нь хоёр гишүүний нийлбэр бол тодорхойлогч нь хоёр тодорхойлогчийн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд эдгээрээс бусад бүх мөр (багана) нь ижил байна. энэ тодорхойлогч, мөн дурдсан мөрөнд ( Багана) эхний тодорхойлогчийн эхний нөхцлүүд, хоёр дахь нь хоёр дахь нь байна.

7) Тодорхойлогчийн хоёр мөр (багана) пропорциональ байвал тэгтэй тэнцүү байна.

8) Тодорхой эгнээний (баганын) элементүүдэд өөр эгнээний (баганын) харгалзах элементүүдийг нэмж, ижил тоогоор үржүүлбэл тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.

9) Гурвалжин ба диагональ матрицын тодорхойлогч нь үндсэн диагональын элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Тодорхойлогчийг тооцоолох тэгийг хуримтлуулах арга нь тодорхойлогчдын шинж чанарт суурилдаг.

Жишээ. Тооцоол.

Шийдэл. Эхний эгнээнээс гуравны хоёрыг хасаад эхний баганад тэлэлтийн теоремыг ашиглана.

~ .

Аюулгүй байдлын асуултууд(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :

1. Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогч гэж юу вэ?

2. Тодорхойлогчдын үндсэн шинж чанарууд юу вэ?

3. Элементийн минор гэж юу вэ?

4. Тодорхойлогчийн элементийн алгебрийн нэмэлт гэж юу вэ?

5. Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг эгнээний (баганын) элемент болгон хэрхэн өргөжүүлэх вэ?

6. Тодорхойлогч аль нэг мөр (эсвэл баганын) элементүүдийн үржвэрийн нийлбэр хэд вэ? алгебрийн нэмэлтүүдөөр мөр (эсвэл баганын) харгалзах элементүүд?

7. Гурвалжны дүрэм гэж юу вэ?

8. Дээд эрэмбийн тодорхойлогчдыг захиалгын бууралтын аргаар хэрхэн тооцдог вэ?

10. Аль матрицыг квадрат гэж нэрлэдэг вэ? Үгүй юу? Мөр матриц, баганын матриц гэж юу вэ?

11. Аль матрицыг тэнцүү гэж нэрлэдэг вэ?

12. Матрицыг нэмэх, үржүүлэх, матрицыг тоогоор үржүүлэх үйлдлүүдийн тодорхойлолтыг өг.

13. Нэмэх ба үржүүлэхэд матрицын хэмжээ ямар нөхцөлийг хангасан байх ёстой вэ?

14. Алгебрийн үйлдлүүдийн шинж чанарууд юу вэ: коммутатив, ассоциатив, тархалт? Тэдгээрийн аль нь матрицын хувьд нэмэх, үржүүлэх явцад биелдэг, аль нь биелдэггүй вэ?

15. Урвуу матриц гэж юу вэ? Энэ нь ямар матрицад зориулагдсан бэ?

16. Урвуу матрицын оршихуй ба өвөрмөц байдлын тухай теоремыг томъёол.

17. Матрицын үржвэрийн шилжүүлгийн тухай лемма томъёол.

Ерөнхий практик даалгавар(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :

№1. А ба В матрицуудын нийлбэр ба зөрүүг ол :

A)

б)

V)

№2. Эдгээр алхмуудыг дагана уу :

в) Z= -11A+7B-4C+D

Хэрэв

№3. Эдгээр алхмуудыг дагана уу :

V)

№4. Квадрат матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох дөрвөн аргыг ашиглан дараах матрицуудын тодорхойлогчийг ол. :

№5. Баганын (мөр) элементүүдэд үндэслэн n-р эрэмбийн тодорхойлогчдыг ол. :

A) б)

№6. Тодорхойлогчдын шинж чанарыг ашиглан матрицын тодорхойлогчийг ол:

A) б)

Сансар дахь цэгүүд, бүтээгдэхүүн Rvэргэлтийн дараах цэгийн байрлалыг тодорхойлох өөр векторыг өгдөг. Хэрэв vнь эгнээний вектор бөгөөд ижил хувиргалтыг ашиглан авч болно vRТ, хаана Р T - шилжүүлсэн Рматриц.

Нэвтэрхий толь бичиг YouTube

1 / 5

C# - Консол - Олимпиад - Дөрвөлжин спираль

Матриц: тодорхойлолт ба үндсэн ойлголтууд

Хүч чадал, урам зоригийг хаанаас авах вэ 4 квадрат матрицыг цэнэглэж байна

Матрицын нийлбэр ба ялгаа, матрицыг тоогоор үржүүлэх

Transposed matrix / Transposed matrix

Хадмал орчуулга

Үндсэн диагональ

Элементүүд а ii (би = 1, ..., n) квадрат матрицын үндсэн диагональ үүсгэнэ. Эдгээр элементүүд нь зүүн талаас төсөөлөгдөж буй шулуун шугам дээр байрладаг дээд буланматрицын баруун доод буланд. Жишээлбэл, зураг дээрх 4х4 матрицын гол диагональ нь элементүүдийг агуулна а 11 = 9, а 22 = 11, а 33 = 4, а 44 = 10.

Зүүн доод ба баруун дээд булангуудыг дайран өнгөрөх квадрат матрицын диагональ гэж нэрлэдэг тал.

Тусгай төрлүүд

Диагональ ба гурвалжин матрицууд

Хэрэв үндсэн диагональ дээрх бүх элементүүд тэг байвал, Адиагональ гэж нэрлэдэг. Хэрэв үндсэн диагональ дээрх (доор) бүх элементүүд тэг байвал, Адоод (дээд) гурвалжин матриц гэж нэрлэдэг.

Таних матриц

зөвхөн хүлээн зөвшөөрдөг эерэг утгууд(тус тус, сөрөг утгуудэсвэл хоёулаа). Хэрэв квадрат хэлбэрзөвхөн сөрөг бус (зөвхөн эерэг бус) утгыг авдаг бол тэгш хэмт матрицыг эерэг хагас тодорхой (тус тус бүр сөрөг хагас тодорхой) гэж нэрлэдэг. Хэрэв матриц эерэг эсвэл сөрөг хагас тодорхой биш байвал тодорхойгүй болно.

Тэгш хэмтэй матриц нь бүх зүйл байвал эерэг тодорхой байна хувийн үнэ цэнээерэг байна. Баруун талын хүснэгт нь хоёрыг харуулж байна боломжит тохиолдлууд 2х2 матрицын хувьд.

Хэрэв бид хоёр өөр векторыг ашиглавал үүнтэй холбоотой хоёр шугаман хэлбэрийг олж авна А:

Ортогональ матриц

Ортогональ матрицнь багана болон мөрүүд нь ортогональ нэгж векторууд (жишээ нь, ортонормаль) болох бодит элементүүдтэй квадрат матриц юм. Та мөн тодорхойлж болно ортогональ матрицурвуу нь шилжүүлсэнтэй тэнцүү матрицын хувьд:

хаанаас ирдэг юм

Ортогональ матриц Аүргэлж буцах боломжтой ( А −1 = А T), нэгдмэл ( А −1 = А*), болон хэвийн ( А*А = А.А.*). Аливаа ортонормаль матрицын тодорхойлогч нь +1 эсвэл -1 байна. Шугаман зураглалын хувьд тодорхойлогч +1-тэй аливаа ортонормаль матриц нь энгийн эргэлт, харин −1 тодорхойлогчтой аливаа ортонормаль матриц нь энгийн тусгал эсвэл тусгал, эргэлтийн бүрэлдэхүүн юм.

Үйл ажиллагаа

Зам

Тодорхойлогч det( А) эсвэл | А| квадрат матриц Аматрицын зарим шинж чанарыг тодорхойлдог тоо юм. Матриц нь тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай тохиолдолд л урвуу болно.