Болъё у=е(X) D(f) домэйнтэй функц ба let С - D(f) дахь дэд олонлог (жишээ нь. Снь D(f)-ийн хэсэг юм. Цэг Ахарьяалагддаг Снөхцөлт цэг гэж нэрлэдэг хамгийн бага функце, Хэрэв А цэг ба S олонлогийн аль алинд нь нэгэн зэрэг орших В цэгийн хувьд тэгш бус байдал үнэн болно. е(А)е(Б).

Үүнтэй адил оноо Ахарьяалагддаг Сцэг гэж нэрлэдэг функцийн нөхцөлт дээд хэмжээе, нэг цэгийн ийм хөрш байгаа бол А,Энэ хөрш ба S-д байрлах В цэгийн хувьд тэгш бус байдал үнэн байна е(А)>= е(Б).

Нөхцөлт доод ба дээд хязгаарын ерөнхий нэр - нөхцөлт туйлшрал.

^ 47. Лагранжийн арга.

Функцуудыг зөвшөөреТэгээдg 1 … g с тодорхойлогдсон бөгөөд x* цэг болон векторуудын ойролцоо тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай байна

шугаман бие даасан. Хэрэв x* нь цэг бол нөхцөлт экстремумфункцууденөхцөлд

дараа нь ʎ тоонууд байна 1 …ʎ с үүний төлөөx* - хөдөлгөөнгүй цэгфункцууд

Чиг үүрэг Лдуудсан Лагранж функц,болон тоонууд Лагранжийн үржүүлэгч.
^ 48. Хамгийн агуу ба хамгийн бага утгахаалттай хязгаарлагдмал олонлог дээрх тасралтгүй функц.

Олон С дуудсан хязгаарлагдмал,Хэрэв энэ нь тойрог дотор (онгоц дээрх багцын хувьд) эсвэл бөмбөгний дотор (сансарт байгаа багцын хувьд) хангалттай байвал том радиус. багц гэж нэрлэдэг хаалттай,Хэрэв энэ нь түүний бүх хязгаарыг багтаасан бол.

Тасралтгүй функцүүдийн чухал шинж чанар нь дараах байдалтай байна.

Болъё z= е(x,у) - тасралтгүй функц, a С - хаалттай ба хязгаарлагдмал багц, функцийн тодорхойлолтын мужид хэвтэж байна f. Дараа нь ВСфункц хамгийн их ба хамгийн бага утгуудаа авдаг цэгүүд байдаг,утгын багц нь сегмент юм.
^ 49. Олон тооны интеграл ба тэдгээрийн шинж чанарууд. Функцийн интегралчлах нөхцөл.

Тодорхойлолт.Хэрэв байгаа бол эцсийн хязгаарʎ->0-ийн интеграл нийлбэр дараа нь функц е(x; y) дуудсан нэгтгэх боломжтойбүс нутагт Д.

шинж чанарууд давхар интеграл.

1. Хэрэв функц бол е(x; y) хэсгүүдэд нэгтгэх боломжтой Д, дараа нь дурын тооны хувьд рууфункц kf(x; y) мөн нэгтгэдэг Д Тэгээд

2. Хэрэв функцууд е(x; y) Тэгээд g(x; y) бүсүүдэд нэгтгэсэн Д, дараа нь тэдний алгебрийн нийлбэрмөн энэ талбарт нэгтгэх боломжтой ба

3. Хэрэв функцууд е(x; y) Тэгээд g(x; y) бүсүүдэд нэгтгэсэн Д Тэгээд е(x; у) g(x; у)бүх цэг дээр Д, Тэр

4. Хэрэв функц бол е(x; y) тэг талбайтай Г олонлог дээр хязгаарлагдана, тэгвэл

5. ^ Интегралын нэмэлт чанар. Хэрэв интеграцийн домайн бол Д нийтлэг байдаггүй D 1 ба D 2 гэсэн хоёр хэсэгт хувааж болно дотоод цэгүүд, ингэснээр D=D 1 нь D 2 , ба нэгдэл юм е(x; y) -д нэгтгэдэг Д 1 Тэгээд Д 2 , дараа нь тухайн бүсэд Д Энэ функц нь мөн интегралдах боломжтой бөгөөд

6. Теорем О дундаж Хэрэв функц бол е(x; y) бүс нутагт тасралтгүй Д, тэгвэл энэ бүс нутагт ийм цэг байдаг (ξ, ς ) , Юу

^Хэрэв функце(x, у)P = тэгш өнцөгт дэх тодорхой ба үргэлжилсэна=x= б, c= г), тэгвэл давхар интеграл байнаП
БолъёГ- хязгаарлагдмал талбай,е- хязгаарлагдмал функцдээрГ, Г- хилийн нэгдэлГболон таслах цэгүүдийн багцедээрГ. талбай гэж үзьеГтэгтэй тэнцүү. Дараа нь

интеграл байдагГ

^ 50. Олон тооны интегралыг давтагдсан интеграл болгон багасгах.

Хэрэв функц боле(x, y) нь домэйнд нэгтгэгдэх боломжтойГба [a,б] интеграл байдаг томъёо хүчинтэй байна

^ 51. Давхар интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх томьёо. Давхар интегралыг тооцоолохдоо туйлын координат ашиглах.

IN туйлын координат:

^ 52. Геометрийн хэрэглээдавхар интеграл: талбайг тооцоолох хавтгай дүрсүүдболон орон зайн биетүүдийн эзлэхүүн.

Тодорхойлолт.ʎ->0 хувьд интеграл нийлбэрийн хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол функц е(x; y) дуудсан нэгтгэх боломжтойбүс нутагт Д. Энэ хязгаарын утгыг D муж дээрх давхар интеграл гэнэ

^ Геометрийн утгадавхар интеграл.

Үргэлжилсэн сөрөг бус функцийг авч үзье z = е(x; y)>=0 D-д хамаарах дурын утгын хувьд (x,y) Түүний график нь орон зайн гадаргуу болно OXYZ. Дараа нь давхар интеграл Д бүсээр хязгаарлагдсан шулуун цилиндр хэлбэртэй биеийн эзэлхүүнийг илэрхийлнэ Д, ба гадаргуугаас дээш z= е(x; y).

Хэрэв интеграл е(x; y) бүс нутгийн нэгтэй ижил тэнцүү байна Д, Дараа нь давхар интегралын утга нь интеграцийн бүсийн талбайтай давхцдаг.

^ 53. Буруу олон интеграл. Эйлер-Пуассоны интеграл.

БолъёGсR 2 - хязгааргүй тоо,е(x, у)- аль ч дэд олонлог дээр интегралдах функцГтөрлийнГ∩ Д, ХаанаД- тэг талбайн хил бүхий хязгаарлагдмал олонлог. Зөвшөөрөгдсөн гэр бүлийн хувьд{ Д т } хязгаар

байдаг бөгөөд гэр бүлийн сонголтоос хамаардаггүй{ Д т }, тэгээд энэ

хязгаарыг зааж өгсөн болноГ гэж нэрлэдэгбуруу давхар интеграл -аасеBy Г.
^ 54. Тооны цуваа.

Тодорхойлолт.Тооны дарааллыг өгье 1 , А 2 , А 3 …. а n . Маягтын илэрхийлэл

дуудсантооны цуврал, эсвэл зүгээр лойролцоо.

Тоонууд А 1 , А 2 , А 3 ,…. а n дуудсан цувралын гишүүдтоо А n дундын өрөөтэй nдуудсан цувралын нийтлэг гишүүн.

Цувралын эхний гишүүний төгсгөлтэй тооны нийлбэр

дуудсан цувралын хэсэгчилсэн нийлбэр. Цувралын гишүүний тоо хязгааргүй тул хэсэгчилсэн нийлбэрүүд үүсдэг тооны дараалал

^ 55. Дараалал хэсэгчилсэн дүн. Цувралын нийлбэр. Нэгтгэх цуврал.

Зарим дарааллыг өгье бодит тоо А n. Дараа нь хэмжээ хязгааргүй тооэнэ дарааллын гишүүд

дуудсан тооны цуврал,болон тоо А n (n = 1,2,...) - цувралын гишүүн.Хэрэв цувралын гишүүн бол А n функц, байгалийн аргумент болгон танилцуулсан А n = е (p), дараа нь үүнийг дууддаг цувралын нийтлэг гишүүн.Үүний зэрэгцээ, хэмжээ С n = a 1 + А 2 +...+ А n эхлээд nцувралын гишүүдийг nth гэж нэрлэдэг хэсэгчилсэн дүн.Тиймээс бид бүрдүүлж чадна шинэ дараалал- хэсэгчилсэн нийлбэрийн дараалал С 1 = а 1 , С 2 = а 1 + а 2 , С 3 = а 1 + а 2 + а 3 , С n = а 1 + а 2 +...+а n . Хэрэв энэ дараалал нь хязгаарлагдмал хязгаартай бол С = лим С n n-> үеддутуу байдал, дараа нь тооны цуваа дуудагдана төстэйүргэлжилж байнаболон тоо С- цувралын нийлбэр.Үгүй бол цувралыг дуудна ялгаатай.
^ 56. Нийлмэл цувааны шинж чанарууд.

1. Хэрэв (l) цуваа нийлбэл төгсгөлтэй тооны гишүүнийг хаяснаар түүнээс олж авсан аливаа цуваа мөн нийлнэ. Мөр

эхнийхийг нь хаяснаар олж авсан

nнийлбэрийн нөхцөл (l) гэж нэрлэдэг n-m үлдэгдэлэгнээ. Тиймээс (l) цуваа ба түүний үлдэгдэл нь нэгэн зэрэг нийлж эсвэл салдаг.

2. Хэрэв нийлбэр нийлбэр нь тэнцүү (l) нийлмэл цувааны гишүүн бүр
С, зарим тоогоор үржүүлнэ к, дараа нь гарсан цуврал
мөн нийлдэг бөгөөд нийлбэр нь тэнцүү байна кС.

3. Хоёр нийлэх цуваа өгөгдсөн бол

Тэгээд
хэмжээгээр С Тэгээд ТҮүний дагуу анхны цувааг улирал бүрээр нэмэх замаар олж авсан шинэ цувралууд нь нийлдэг бөгөөд нийлбэр нь тэнцүү байна. С + Т.

4. Хэрэв (1) цуваа нийлдэг бол түүнээс бүлгүүдийг бүлэглэн олж авсан аль ч цуваа мөн нийлдэг ба цувааны нийлбэр нь ижил байна.

^ 57. Тооны цувааг нэгтгэх зайлшгүй нөхцөл.

Теорем 5.1 (шаардлагатай тэмдэгнэгдэх). Хэрэв цуврал нийлбэл түүний нийтлэг гишүүний хязгаар тэг болно.

Ижил томъёолол: Хэрэв цувралын нийтлэг гишүүний хязгаар тэгтэй тэнцүү биш эсвэл байхгүй бол энэ цувралялгаатай.

Баталгаа. Энэ цуваа нийлж, нийлбэр нь тэнцүү байг С. Аливаа байгалийн хувьд nбидэнд байгаа С n = С n - 1 + a n эсвэл

А n = С n - С n -1

At n-> хязгааргүй хэсэгчилсэн нийлбэр хоёулаа С n Тэгээд С n -1 хязгаар хүртэл хичээ С, тиймээс энэ нь тэгш байдлаас гарах болно

Бид цувааг нэгтгэхэд шаардлагатай нөхцөлийг л бий болгосон гэдгийг дахин нэг удаа онцолж хэлье. нөхцөл, хэрэв зөрчигдсөн бол цуваа нийлэх боломжгүй. Энэ шалгуурыг ашигласнаар та зөвхөн цувралын зөрүүг баталж чадна

^ 58. Сөрөг бус гишүүнтэй тооны цуваа.

Хэрэв эерэг нөхцлийн хажууд тооны цуваа дуудагдана нийтлэг гишүүнэгнээ А n >0, дурын n=1,2,.... Ийм цувааны нийлэх шалгуур нь цувааны хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дарааллын хязгаарлагдмал байдал юм.

Цувралуудын нийлэгжилтийн асуудлыг шийдэхдээ эхний алхам нь эсэхийг шалгах явдал юм шаардлагатай нөхцөлнэгдэх, өөрөөр хэлбэл.

^ 59. Сөрөг бус гишүүнтэй тооны цувааг нэгтгэх шалгуур.

Теорем 5.2.Эерэг нөхцөлтэй цуваа нийлэхийн тулд түүний хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дарааллыг хязгаарлах нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.
^ 60. Харьцуулах тест, д'Аламбер ба Коши тест, сөрөг бус гишүүнтэй тооны цувааны интеграл тест.

Олон тооны интегралыг тооцоолох гол арга бол хувьсагч бүр дээр дараалан интеграл хийх явдал юм.

Хавтгай талбай Дтөрлийн

хаана болон үргэлжилдэг [ а, б] функцийг бид тэнхлэгийн чиглэлд зөв гэж нэрлэдэг Өө(Зураг 25). функц гэж үзье е(x, y) ийм бүсэд тасралтгүй байна Д. Аливаа тогтмол хувьд x = x 0, функцийг авч үзье е(x 0 , y) нэг хувьсагчаас y, сегмент дээр тасралтгүй . Түүний хувьд байдаг тодорхой интеграл. Мэдээжийн хэрэг, энэ интеграл нь тухайн цэгээс хамаарна x 0 . Үүнийг тэмдэглэе. Интервал дээр тодорхойлсон функц нь [ а, б], үүн дээр тасралтгүй байна. Энэ функцийн интеграл гэж нэрлэдэг функцийн давтагдах интегралаар е(x, y) бүс нутгаар Д , болон тэмдэглэгдсэн байна

.

Теорем 2. Хэрэв функц бол е(x, y) нь бүс нутагт тасралтгүй , тэгвэл

,

тэдгээр. давхар интеграл нь давтагдсан интегралтай тэнцүү. Тиймээс тэнхлэгийн зөв чиглэлийн дагуу давхар интегралыг тооцоолох Өөталбай нь эхлээд тоолох ёстой xтогтмол, хувьсагч дээр функцийг нэгтгэнэ y, дараа нь хувьсагчийн үр дүнгийн функцийг нэгтгэнэ x. Хэрэв гадаад интеграл дахь хязгаарууд тогтмол байвал дотоод интегралд тэдгээр нь ерөнхийдөө хамааралтай болохыг анхаарна уу. x.

Хэрэв талбай Дтэнхлэгийн чиглэлд зөв Үхэр: , тэгвэл давхар интеграл нь давтагдсан интегралтай тэнцүү байна .

Жишээ 1. Хязгаарлагдмал муж дээрх функцийн давхар интегралыг тооцоол Д, парабол болон шулуун шугамаар хязгаарлагдсан y= 1 (Зураг 26).

Шийдэл. Бидэнд:

Тийм ч учраас .

Хэрэв та тэнхлэгийн аль ч чиглэлд тогтмол биш бүс нутагт интегралыг тооцоолох шаардлагатай бол Үхэр, тэнхлэгийн чиглэлд ч биш Өө, бид талбайг хуваахыг хичээх ёстой эцсийн тоохэсгүүд, тэдгээр нь тус бүр нь аль хэдийн координатын тэнхлэгийн чиглэлд аль хэдийн зөв байх болно (Зураг 27). Хэрэв үүнийг хийж чадвал интегралын нэмэлт чанараас шалтгаалан энэ интегралын тооцоог заасан хэсгүүдийн интегралын тооцоолол болгон бууруулж, тус бүрийг давталт хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Одоо гурвалсан интегралыг тооцоолох асуулт руу орцгооё.

Гурван хэмжээст бүсийг Оз тэнхлэгтэй харьцуулахад зөв гэж нэрлэдэг Гтөрлийн

Хаана jТэгээд y- хязгаарлагдмал хугацаанд тасралтгүй хаалттай талбай Донгоц xOyфункцууд (Зураг 28). функц гэж үзье е(x, y, z) ийм бүсэд тасралтгүй байна Г. Цэгийг дурын аргаар тогтоосны дараа нэг хувьсагчийн функцийг авч үзье z, сегмент дээр тасралтгүй . Энэ функцээс тодорхой интеграл авъя (энэ нь функцын тасралтгүй байдлын улмаас оршин байдаг). Энэ интеграл нь цэгээс хамаарна ( x 0 , y 0). Үүнийг тэмдэглэе. Тодорхойлогдсон Дхоёр хувьсагчийн функц тасралтгүй байх болно Д. Интеграл гэж нэрлэдэг давтагдсан интегралболон тэмдэглэнэ . Гурвалсан интегралын хувьд теорем 2-той төстэй мэдэгдэл нь: хэрэв функц байвал е(x, y, z) нь бүс нутагт тасралтгүй , тэгвэл

,

тэдгээр. гурвалсан интеграл нь давтагдсан интегралтай тэнцүү.

Тиймээс муж дээрх гурвалсан интегралыг тэнхлэгийн чиглэлд зөв тооцоолох хэрэгтэй Оз, дараа нь эхлээд тоолох xТэгээд yтогтмолууд, хувьсагч дээр интеграл z, дараа нь хувьсагчийн үр дүнгийн функцээс xТэгээд yХавтгай дээрх домэйны проекц дээр давхар интеграл авна xOy.

дараа нь талбай дээр давхар интеграл бичнэ Ддавтан хэлбэрээр бид дараах байдалтай байна:

.

Хэрэв бид -ээр тэмдэглэвэл Э(x 0) талбайн хэсэг Гонгоц x = x 0 , , дараа нь баруун талд байгаа интегралд хувьсагчид дээрх хоёр дотоод интегралыг нэгтгэх yТэгээд z, бид томъёог авна:

.

Бидний харж байгаагаар гурвалсан интегралын хувьд үүнийг давтагдсан интеграл болгон бууруулах хоёр арга бий.

Тодорхой тохиолдолд бид эзлэхүүнийг олох томъёог олж авдаг Вбүс нутаг Г.

Цэс

6.2.1. Олон тооны интегралыг давтсан интеграл болгон бууруулахад үндэслэсэн кубын томъёо

Тэгш өнцөгт домэйн дээрх давтагдсан интеграл Муруй трапецын дээрх интеграл

Тэгш өнцөгт талбайд дахин нэгтгэх

Шинжилгээний явцад мэдэгдэж байгаагаар олон интегралын тооцоог нэг интегралыг давтан тооцоолох замаар хийж болно. Иймд дээр дурьдсанчлан олон интегралыг ойролцоогоор тооцоолох томъёог олж авах хамгийн энгийн аргуудын нэг бол бидний өмнө нь олж авсан квадратын томьёог нэг интегралыг тооцоолохдоо дахин ашиглах явдал юм.

Тэгш өнцөгт дээрх давхар интегралыг тооцоолох жишээгээр үүнийг тайлбарлая:

Гадаад интегралыг тооцоолохдоо дундаж тэгш өнцөгтүүдийн квадрат томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Одоо дундаж тэгш өнцөгтийн томъёог ашиглан үлдсэн интегралыг тооцоолсны дараа бид эцэст нь олж авна:

III хэсэг. Онолын материал

Бүлэг 6. Интегралын ойролцоо тооцоолол 6.2. Олон тооны интегралын тооцоо

Цэс 6.2.1. Олон тооны интегралыг давтагдах болгон бууруулж байнаДээш Буцах Урагшаа Өмнөх. Зам. Тусламжийн дэлгэц

Бусад жишээнүүдийн хувьд давтан интеграцийн үед квадрат томьёоны бусад сайн мэддэг хувилбаруудыг ашигласны үндсэн дээр олж авсан кубын томъёоны хувилбаруудыг авч үзье.

∙ Трапецын кубын томъёо:

= ∫ ∫ (,) ≈− ∫ (,) +∫ (,) ≈

≈ − 2 ·[ − 2 ((,) + (,)) +− 2 ((,) + (,))] ≈

≈ 4 · [ (,) + (,) + (,) + (,)] .

∙ Симпсоны куб томьёо:

Ерөнхий схемдавтан интерполяцийн томъёог ашиглан тодорхой төрлийн кубын томьёо бүтээх боломжтой. Жишээлбэл, харгалзах дүрслэлийг ашиглан интерполяцийн олон гишүүнтЛагранж хэлбэрээр

III хэсэг. Онолын материал

Бүлэг 6. Интегралын ойролцоо тооцоолол 6.2. Олон тооны интегралын тооцоо

Цэс 6.2.1. Олон тооны интегралыг давтагдах болгон бууруулж байнаДээш Буцах Урагшаа Өмнөх. Зам. Тусламжийн дэлгэц

Муруй трапецын дээрх интегралууд

Интегралчлалын домэйн Ω нь тэгш өнцөгт биш, харин давтагдсан интеграл руу бууруулалтыг дэд домайнуудад хуваахгүйгээр гүйцэтгэх нөхцөлийг хангаж байгаа тохиолдлыг авч үзье (үүнд домэйны контур нь хангалттай байх болно). параллель шулуун шугамаар огтлолцоно координатын тэнхлэгүүд, зөвхөн хоёр цэг дээр).

Тиймээс интегралыг тооцоолох дүрмийг сонгохдоо функцийн шинж чанарууд (,), хоёрдугаарт, интегралын Ω домэйны шинж чанаруудтай нийцэж байх ёстой.

Хэрэв бид (,) нь Ω-ийн хаа сайгүй жигд жигд байна гэж үзвэл интеграл ()-ийг тогтмол жинтэй сайн мэддэг дүрмүүдийн аль нэгийг, жишээлбэл, Гаусс, Симпсон гэх мэт дүрмийг ашиглан тооцоолж болно. Бүс нутгийн хэлбэр нь зөвхөн 1 () ба 2 () интеграцийн хил хязгаарт нөлөөлдөг. Сегментийг каноник болгон бууруулж болно, жишээлбэл, орлуулалт ашиглан сегмент болгон бууруулж болно

1 () + (2 () −1 ()) . Дараа нь

() = (2 () −1 ()) (,1 () + (2 () −1 ())) = (2 () −1 ()) Φ () .

= ∫ () интеграл дахь орлуулалтаар тусгаарлагдсан коэффициент 2 ()−1 () нь натурал жингийн функц юм. Иймд =∫ (2 () −1 ()) Φ () интегралыг тооцоолохдоо () =2 () −1 () жинд зориулж бүтээсэн ямар ч квадрат томъёог ашиглаж болно, жишээлбэл, квадратын томъёог ашиглаж болно. хамгийн өндөр алгебрийн зэрэгнарийвчлал.

III хэсэг. Онолын материал

Бүлэг 6. Интегралын ойролцоо тооцоолол 6.2. Олон тооны интегралын тооцоо

Цэс 6.2.1. Олон тооны интегралыг давтагдах болгон бууруулж байнаДээш Буцах Урагшаа Өмнөх. Зам. Тусламжийн дэлгэц

Бүс нутгийн Ω нь өөрийн гэсэн жинтэй () байх тул тухайн бүс нутгийн хэлбэрийг бүрэн тооцоолох нь үндэслэлгүй байж магадгүй юм. их тоозангилаа ба коэффициент.

Та дараах энгийн санаан дээр үндэслэн асуудлыг хялбарчилж болно. [ , ] интеграцийн сегмент дээр арилдаггүй нэлээн гөлгөр хүчин зүйлээр бие биенээсээ ялгаатай хоёр жингийн функцийг авч үзье: () = () (). Дараа нь бид эдгээр жингийн () ба () хоёр функцэд тохирох квадрат томьёо нь ойролцоо нарийвчлалтай байх болно гэж бид хүлээх ёстой.

А одоо эргэн санацгааяЯкоби жингийн функц() = (−) (−) . Энэ нь хоёр параметрээс хамаарна

ба тэдгээр нь ихэвчлэн ийм байдлаар сонгож болно харьцаа

дээр болон доор хязгаарлагдмал байсан эерэг тоонууд. Энэ тохиолдолд интегралыг хэлбэрт хувиргах замаар Жакоби жинг ашиглаж болно

= (−) (−) () .

Жишээлбэл, хэрэв интеграцийн муж нь Зураг 6.5-д үзүүлсэн хэлбэртэй, контуртай бол

(6.60), (6.61) томъёог ашиглан тооцоолж болно.

Үүний нэгэн адил хэрэв интеграцийн муж нь Зураг 6.6-д үзүүлсэн хэлбэр ба контуртай бол

Эхний эрэмбийн = ба = шугамуудтай харьцаж байвал жингийн функцийг авч болно

() = (−) (−), интегралын тооцоололд

= (−) (−) · ()

(6.60), (6.61) томъёог мөн хэрэглэнэ.