Сегмент дээрх функцийн хамгийн бага утга. Функцийн хамгийн бага утгыг хэрхэн олох вэ? Функцийн хамгийн бага утгыг хэрхэн олох вэ: заавар

Энэ нийтлэлд би ярих болно Хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритмфункцууд, хамгийн бага ба хамгийн их цэгүүд.

Онолын хувьд энэ нь бидэнд ашигтай байх нь гарцаагүй дериватив хүснэгтТэгээд ялгах дүрэм. Энэ бүх зүйл энэ хавтан дээр байна:

Хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритм.

Энэ нь надад тайлбарлахад илүү тохиромжтой тодорхой жишээ. Үүнд:

Жишээ:Хай хамгийн өндөр үнэ цэнэ[–4;0] интервал дээр y=x^5+20x^3–65x функцууд.

1-р алхам.Бид деривативыг авдаг.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Алхам 2.Экстремум цэгүүдийг олох.

Экстремум цэгФункц хамгийн их буюу хамгийн бага утгад хүрэх цэгүүдийг бид гэж нэрлэдэг.

Экстремум цэгүүдийг олохын тулд та функцийн деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх хэрэгтэй (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Одоо үүнийг шийдье биквадрат тэгшитгэлмөн олсон үндэс нь бидний экстремум цэгүүд юм.

Би ийм тэгшитгэлийг t = x^2, дараа нь 5t^2 + 60t - 65 = 0 гэж сольж шийддэг.

Тэгшитгэлийг 5-аар бууруулъя: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Бид урвуу өөрчлөлтийг хийнэ x ^ 2 = t:

X_(1 ба 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 ба 4) = ±sqrt(-13) (бид хассан, байж болохгүй. сөрөг тоонууд, мэдээжийн хэрэг бид нарийн төвөгтэй тоонуудын тухай яриагүй бол)

Нийт: x_(1) = 1 ба x_(2) = -1 - эдгээр нь бидний экстремум цэгүүд юм.

Алхам 3.Хамгийн агуу, хамгийн ихийг тодорхойл бага утга.

Орлуулах арга.

Нөхцөл байдалд бид [b][–4;0] сегментийг өгсөн. x=1 цэгийг энэ сегментэд оруулаагүй болно. Тиймээс бид үүнийг авч үзэхгүй байна. Гэхдээ x=-1 цэгээс гадна бид сегментийнхээ зүүн ба баруун хилийг, өөрөөр хэлбэл -4 ба 0 цэгүүдийг авч үзэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид эдгээр гурван цэгийг бүгдийг нь анхны функц болгон орлуулна. Анхдагч нь (y=x^5+20x^3–65x) нөхцөлд өгөгдсөнийг анхаарна уу, зарим хүмүүс үүнийг дериватив болгон орлуулж эхэлдэг...

Ү(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
у(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Энэ нь функцийн хамгийн том утга нь [b]44 бөгөөд энэ нь [b]-1 цэгт хүрнэ гэсэн үг бөгөөд үүнийг сегмент дээрх функцийн хамгийн их цэг гэж нэрлэдэг [-4; 0].

Бид шийдэж, хариулт авсан, бид гайхалтай байна, та амарч болно. Гэхдээ боль! y(-4)-ийг тооцоолох нь ямар нэгэн байдлаар хэтэрхий хэцүү гэж та бодохгүй байна уу? Хязгаарлагдмал цаг хугацааны нөхцөлд өөр аргыг ашиглах нь дээр, би үүнийг ингэж нэрлэдэг.

Тэмдгийн тогтмол байдлын интервалаар.

Эдгээр интервалууд нь функцийн дериватив, өөрөөр хэлбэл биквадрат тэгшитгэлийн хувьд олддог.

Би үүнийг ингэж хийдэг. Би чиглэсэн сегмент зурдаг. Би цэгүүдийг байрлуулна: -4, -1, 0, 1. Өгөгдсөн сегментэд 1 ороогүй ч тэмдгийн тогтмол байдлын интервалыг зөв тодорхойлохын тулд үүнийг тэмдэглэх хэрэгтэй. 1-ээс хэд дахин их, жишээ нь 100 гэсэн тоог аваад 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 гэсэн биквадрат тэгшитгэлдээ оюун ухаанаараа орлуулъя. Юуг ч тоолоогүй ч 100-д байгаа нь тодорхой болно. функц нь нэмэх тэмдэгтэй байна. Энэ нь 1-ээс 100 хүртэлх зайд нэмэх тэмдэгтэй байна гэсэн үг юм. 1-ээр дамжин өнгөрөх үед (бид баруунаас зүүн тийш явдаг) функц нь тэмдгийг хасах болгон өөрчлөх болно. 0 цэгээр дамжин өнгөрөх үед функц нь тэмдэгээ хадгалах болно, учир нь энэ нь тэгшитгэлийн үндэс биш зөвхөн сегментийн хил хязгаар юм. -1-ээр дамжих үед функц дахин тэмдгийг нэмэх болгон өөрчилнө.

Онолоос бид функцийн дериватив хаана байгааг мэддэг (мөн бид үүнийг яг үүнд зориулж зурсан) тэмдгийг нэмэхээс хасах болгон өөрчилнө (манай тохиолдолд -1 цэг)функц хүрдэг түүний орон нутгийн дээд хэмжээ (Өмнө нь тооцоолсны дагуу у(-1)=44)дээр энэ сегмент(энэ нь логикийн хувьд маш ойлгомжтой, функц нь дээд цэгтээ хүрч, буурч эхэлсэн тул нэмэгдэхээ больсон).

Үүний дагуу функцийн дериватив хаана байна тэмдгийг хасахаас нэмэх рүү өөрчилнө, хүрч байна функцийн орон нутгийн хамгийн бага. Тийм ээ, тийм ээ, бид бас санааг олсон орон нутгийн доод хэмжээнь 1 ба y(1) нь хамгийн бага утгасегмент дээрх функцуудыг -1-ээс +∞ хүртэл гэж үзье. Энэ нь зөвхөн ОРОН НУТГИЙН MINIMUM, өөрөөр хэлбэл тодорхой сегмент дэх хамгийн бага хэмжээ гэдгийг анхаарна уу. Функцийн бодит (дэлхий) хамгийн бага нь хаа нэгтээ -∞-д хүрэх тул.

Миний бодлоор эхний арга нь онолын хувьд энгийн, хоёр дахь нь үзэл бодлоос илүү хялбар байдаг арифметик үйлдлүүд, гэхдээ онолын үүднээс хамаагүй илүү төвөгтэй. Эцсийн эцэст, заримдаа тэгшитгэлийн язгуураар дамжих үед функц нь тэмдэг өөрчлөгдөхгүй байх тохиолдол байдаг бөгөөд ерөнхийдөө эдгээр орон нутгийн, дэлхийн максимум, минимумуудтай андуурч болно, гэхдээ та үүнийг сайн эзэмших хэрэгтэй болно. элсэхээр төлөвлөж байна техникийн их сургууль(Өөр яагаад үүнийг авах вэ? Профайл Улсын нэгдсэн шалгалтмөн энэ асуудлыг шийдэх). Гэхдээ дадлага, зөвхөн дадлага нь ийм асуудлыг нэг удаа, бүрмөсөн шийдвэрлэхийг танд заах болно. Мөн та манай вэбсайтаар хичээллэх боломжтой. Энд.

Хэрэв танд асуулт байгаа эсвэл тодорхойгүй зүйл байвал асуухаа мартуузай. Би танд хариулж, нийтлэлд нэмэлт, өөрчлөлт оруулахдаа баяртай байх болно. Бид энэ сайтыг хамтдаа хийж байгаагаа санаарай!

Функцийг зөвшөөр у =е(X)интервал дээр тасралтгүй байна [ а, б]. Мэдэгдэж байгаагаар ийм функц нь энэ сегмент дээрх хамгийн их ба хамгийн бага утгуудад хүрдэг. Функц нь эдгээр утгыг хоёуланг нь авч болно дотоод цэгсегмент [ а, б], эсвэл сегментийн хил дээр.

Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олохын тулд [ а, б] шаардлагатай:

1) олох чухал цэгүүдинтервал дахь функцууд ( а, б);

2) олсон чухал цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоолох;

3) сегментийн төгсгөлд байгаа функцын утгыг тооцоолох, өөрөөр хэлбэл хэзээ x=Аба x = б;

4) функцийн бүх тооцоолсон утгуудаас хамгийн том, хамгийн жижигийг сонгоно уу.

Жишээ.Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол

сегмент дээр.

Чухал цэгүүдийг олох:

Эдгээр цэгүүд сегмент дотор байрладаг; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

цэг дээр x= 3 ба цэг дээр x= 0.

Гүдгэр ба гулзайлтын цэгийн функцийн судалгаа.

Чиг үүрэг y = е (x) дуудсан гүдгэрхооронд (а, б) , хэрэв түүний график нь энэ интервалын аль ч цэгт зурсан шүргэгчийн доор орвол түүнийг дуудна гүдгэр доош (гүдгэр), хэрэв түүний график шүргэгчээс дээш байвал.

Гүдгэр байдал нь хотгор эсвэл эсрэгээр солигдох цэгийг нэрлэдэг гулзайлтын цэг.

Гүдгэр ба гулзайлтын цэгийг шалгах алгоритм:

1. Хоёрдахь төрлийн эгзэгтэй цэгүүдийг ол, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдийг ол.

2. Тооны шулуун дээр эгзэгтэй цэгүүдийг интервалд хувааж зур. Интервал бүр дээр хоёр дахь деривативын тэмдгийг ол; хэрэв , функц нь дээшээ гүдгэр, хэрэв бол функц нь доошоо гүдгэр байна.

3. Хоёр дахь төрлийн эгзэгтэй цэгээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэг нь өөрчлөгдөж, энэ үед хоёр дахь дериватив нь тэгтэй тэнцүү бол энэ цэг нь гулзайлтын цэгийн абсцисса болно. Түүний ординатыг ол.

Функцийн графикийн асимптотууд. Асимптотуудын функцийг судлах.

Тодорхойлолт.Функцийн графикийн асимптотыг нэрлэнэ Чигээрээ, энэ нь график дээрх цэг эх цэгээс тодорхойгүй хугацаагаар шилжих үед графикийн аль ч цэгээс энэ шулуун хүртэлх зай тэг болох хандлагатай байдаг.

Гурван төрлийн асимптот байдаг: босоо, хэвтээ, налуу.

Тодорхойлолт.Шулуун шугам гэж нэрлэдэг босоо асимптотфункциональ график у = f(x), хэрэв энэ цэг дэх функцийн нэг талт хязгаарын ядаж нэг нь хязгааргүйтэй тэнцүү бол энэ нь

функцийн тасрах цэг хаана байна, өөрөөр хэлбэл энэ нь тодорхойлолтын мужид хамаарахгүй.

Жишээ.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - таслах цэг.

Тодорхойлолт.Чигээрээ у =Адуудсан хэвтээ асимптотфункциональ график у = f(x)үед, хэрэв

Жишээ.

x
y

Тодорхойлолт.Чигээрээ у =кx +б (к≠ 0) гэж нэрлэдэг ташуу асимптотфункциональ график у = f(x)хаана

Функцийг судлах, график байгуулах ерөнхий схем.

Функцийн судалгааны алгоритму = f(x) :

1. Функцийн мужийг ол Д (y).

2. Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг (боломжтой бол) ол x= 0 ба цагт y = 0).

3. Функцийн тэгш ба сондгой байдлыг шалгана уу ( y (‒ x) = y (x) ‒ тэгш байдал; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ сондгой).

4. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол.

5. Функцийн монотон байдлын интервалуудыг ол.

6. Функцийн экстремумыг ол.

7. Функцийн графикийн гүдгэр (гүдгэр) ба гулзайлтын цэгүүдийн интервалыг ол.

8. Хийсэн судалгаанд үндэслэн функцийн графикийг байгуул.

Жишээ.Функцийг судалж, графикийг нь байгуул.

1) Д (y) =

x= 4 - таслах цэг.

2) Хэзээ x = 0,

(0; ‒ 5) – огтлолцох цэг өө.

At y = 0,

3) y(‒ x)= функц ерөнхий үзэл(тэгш биш, сондгой биш).

4) Бид асимптотуудыг шалгадаг.

а) босоо

б) хэвтээ

в) ташуу асимптотуудыг хаанаас ол

‒ташуу асимптот тэгшитгэл

5) Б өгөгдсөн тэгшитгэлфункцийн монотон байдлын интервалыг олох шаардлагагүй.

Эдгээр чухал цэгүүд нь функцийг тодорхойлох бүх мужийг (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ба (10; +∞) интервалд хуваадаг. Хүлээн авсан үр дүнг дараах хүснэгт хэлбэрээр танилцуулах нь тохиромжтой.

Асуудлын мэдэгдэл 2:

Тодорхой интервалд тодорхойлогдсон, тасралтгүй үргэлжлэх функц өгөгдсөн. Та энэ интервал дээрх функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олох хэрэгтэй.

Онолын үндэслэл.
Теорем (Вейерштрассын хоёрдугаар теорем):

Хэрэв функц нь хаалттай интервалд тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй байвал энэ интервалд хамгийн их ба хамгийн бага утгад хүрнэ.

Функц нь интервалын дотоод цэгүүд эсвэл түүний хил хязгаарт хамгийн том, хамгийн бага утгуудад хүрч болно. Бүх боломжит хувилбаруудыг тайлбарлая.

Тайлбар:
1) Функц нь цэг дээрх интервалын зүүн хил дээр хамгийн их утга, цэг дээрх интервалын баруун хил дээр хамгийн бага утгад хүрнэ.
2) Функц нь цэг дээр хамгийн их утгад (энэ нь хамгийн их цэг), хамгийн бага утга нь цэг дээрх интервалын баруун хил дээр хүрдэг.
3) Функц нь цэг дээрх интервалын зүүн хязгаарт хамгийн их утга, цэг дээрх хамгийн бага утгад хүрдэг (энэ нь хамгийн бага цэг юм).
4) Функц нь интервал дээр тогтмол байна, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь интервалын аль ч цэгт хамгийн бага ба хамгийн их утгууддаа хүрдэг бөгөөд хамгийн бага ба хамгийн их утга нь хоорондоо тэнцүү байна.
5) Функц нь цэг дээр хамгийн их утга, цэг дээрх хамгийн бага утгад хүрдэг (энэ интервалд функц нь хамгийн их ба хамгийн бага хоёулаа хоёулаа байдаг).
6) Функц нь цэг дээр хамгийн их утга (энэ нь хамгийн их цэг), хамгийн бага утга нь цэг дээр (энэ нь хамгийн бага цэг) хүрдэг.
Сэтгэгдэл:

"Хамгийн их" ба " хамгийн их утга- Янз бүрийн зүйл. Энэ нь дээд зэргийн тодорхойлолт ба "хамгийн их үнэ цэнэ" гэсэн хэллэгийн зөн совингийн ойлголтоос үүдэлтэй.

2-р асуудлыг шийдэх алгоритм.

4) Хүлээн авсан утгуудаас хамгийн том (хамгийн жижиг) -ийг сонгоод хариултыг бичнэ үү.

Жишээ 4:

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлно уу сегмент дээр.
Шийдэл:
1) Функцийн деривативыг ол.

2) Тэгшитгэлийг шийдэх замаар хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг (мөн экстремумын сэжигтэй цэгүүдийг) ол. Хоёр талт төгсгөлтэй дериватив байхгүй цэгүүдэд анхаарлаа хандуулаарай.

3) Функцийн утгыг тооцоолох суурин цэгүүдмөн интервалын хил дээр.

4) Хүлээн авсан утгуудаас хамгийн том (хамгийн жижиг) -ийг сонгоод хариултыг бичнэ үү.

Энэ сегмент дээрх функц нь координаттай цэг дээр хамгийн их утгад хүрдэг.

Энэ сегмент дээрх функц нь координаттай цэг дээр хамгийн бага утгадаа хүрдэг.

Та судалж буй функцийн графикийг хараад тооцооллын зөв эсэхийг шалгаж болно.

Сэтгэгдэл:Функц нь хамгийн их цэг дээр хамгийн их утга, сегментийн хил дээр хамгийн багадаа хүрдэг.

Онцгой тохиолдол.

Та сегмент дээрх зарим функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг олох хэрэгтэй гэж бодъё. Алгоритмын эхний цэгийг дуусгасны дараа, i.e. үүсмэл тооцоо, энэ нь тодорхой болж байна, жишээ нь, энэ нь зөвхөн авдаг сөрөг утгуудавч үзсэн сегментийг бүхэлд нь хамарна. Хэрэв дериватив сөрөг байвал функц буурна гэдгийг санаарай. Функц бүхэлдээ сегмент дээр буурч байгааг бид олж мэдсэн. Энэ нөхцөл байдлыг өгүүллийн эхэнд №1 графикт үзүүлэв.

Функц нь сегмент дээр буурдаг, i.e. түүнд хэт туйлшрал байхгүй. Зургаас харахад функц нь сегментийн баруун талын хамгийн бага утгыг, зүүн талд байгаа хамгийн том утгыг авах болно. хэрвээ сегмент дээрх дериватив хаа сайгүй эерэг байвал функц нэмэгдэнэ. Хамгийн бага утга нь сегментийн зүүн хил дээр, хамгийн том нь баруун талд байна.

Энэ нийтлэлд би функцийг судлахдаа олох чадварыг хэрхэн ашиглах талаар ярих болно: түүний хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг олох. Дараа нь бид B15 даалгавраас хэд хэдэн асуудлыг шийдэх болно Нээлттэй банк-д зориулсан даалгавар.

Ердийнх шигээ эхлээд онолыг санацгаая.

Функцийн аливаа судалгааны эхэнд бид үүнийг олдог

Функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг олохын тулд функц аль интервалд нэмэгдэж, аль үед буурч байгааг шалгах хэрэгтэй.

Үүнийг хийхийн тулд функцийн деривативыг олж, түүний тогтмол тэмдэгтийн интервалууд, өөрөөр хэлбэл үүсмэл тэмдэг нь тэмдэгээ хадгалах интервалуудыг шалгах хэрэгтэй.

Функцийн дериватив эерэг байх интервалууд нь функцийн өсөлтийн интервалууд юм.

Функцийн дериватив сөрөг байх интервалууд нь буурах функцийн интервалууд юм.

1 . В15 даалгаврыг шийдье (No 245184)

Үүнийг шийдэхийн тулд бид дараах алгоритмыг баримтална.

a) Функцийн тодорхойлолтын мужийг ол

б) Функцийн деривативыг олъё.

в) Үүнийг тэгтэй тэнцүүлье.

г) Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалуудыг олъё.

e) Функц хамгийн их утгыг авах цэгийг ол.

f) Энэ цэг дэх функцийн утгыг ол.

Би энэ даалгаврын нарийвчилсан шийдлийг ВИДЕО СУРГАЛТ-д өгсөн болно.

Таны хөтөч дэмжигдээгүй байж магадгүй. Дасгалжуулагч ашиглахын тулд " Улсын нэгдсэн шалгалтын цаг", татаж аваад үзээрэй
Firefox

2. В15 даалгаврыг шийдье (No 282862)

Функцийн хамгийн том утгыг ол сегмент дээр

Функц нь х=2-ийн хамгийн их цэг дээр сегментийн хамгийн их утгыг авдаг нь тодорхой байна. Энэ үед функцийн утгыг олъё:

Хариулт: 5

3. В15 (No245180) даалгаврыг шийдье:

Функцийн хамгийн том утгыг ол

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Учир нь анхны функцийн тодорхойлолтын домэйны дагуу title="4-2x-x^2>0)">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Тоологч тэгтэй тэнцүүцагт. Энэ нь хамаарах эсэхийг шалгацгаая ODZ функцууд. Үүнийг хийхийн тулд нөхцөлийн title="4-2x-x^2>0) эсэхийг шалгая."> при .!}

Гарчиг="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

Энэ нь цэг нь ODZ функцэд хамаарна гэсэн үг юм

Цэгийн баруун ба зүүн талд байгаа деривативын тэмдгийг шалгая:

Функц тухайн цэг дээр хамгийн их утгыг авч байгааг бид харж байна. Одоо дараах функцийн утгыг олъё:

Тайлбар 1. Энэ асуудалд бид функцийн тодорхойлолтын мужийг олоогүй болохыг анхаарна уу: бид зөвхөн хязгаарлалтуудыг засч, үүсмэл нь тэгтэй тэнцүү байх цэг нь функцийн тодорхойлолтын мужид хамаарах эсэхийг шалгасан. Энэ нь энэ даалгаварт хангалттай байсан. Гэсэн хэдий ч энэ нь үргэлж тийм байдаггүй. Энэ нь даалгавараас хамаарна.

Тайлбар 2. Зан төлөвийг судлахдаа нарийн төвөгтэй функцТа энэ дүрмийг ашиглаж болно:

Хэрэв нийлмэл функцийн гадаад функц нэмэгдэж байгаа бол тухайн үед функц хамгийн их утгыг авна дотоод функцхамгийн их үнэ цэнийг авдаг. Энэ нь өсөн нэмэгдэж буй функцийн тодорхойлолтоос үүдэлтэй: хэрэв функц I интервал дээр нэмэгддэг илүү өндөр үнэ цэнээнэ интервалын аргумент нь функцийн том утгатай тохирч байна.
Хэрэв нийлмэл функцийн гадаад функц буурч байвал дотоод функц хамгийн бага утгыг авах үед функц хамгийн том утгыг авна. . Энэ нь буурах функцийн тодорхойлолтоос үүдэлтэй: хэрэв энэ интервал дахь аргументийн том утга нь функцийн бага утгатай тохирч байвал функц I интервал дээр буурдаг.

Бидний жишээн дээр гадаад функц нь бүхэл бүтэн тодорхойлолтын хүрээнд нэмэгддэг. Логарифмын тэмдгийн дор илэрхийлэл байна - квадрат гурвалжин, сөрөг тэргүүлэх коэффициенттэй нь тухайн цэг дээр хамгийн их утгыг авдаг . Дараа нь бид х-ийн энэ утгыг функцийн тэгшитгэлд орлуулна мөн түүний хамгийн том үнэ цэнийг олох.