Тооны дараалал. III

Зорилго: Дарааллын тухай ойлголт, тодорхойлолт, төгсгөлтэй, төгсгөлгүй, дарааллыг тодорхойлох янз бүрийн арга замууд, тэдгээрийн ялгаа, жишээг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийг хэрхэн ашиглахыг заах.

Тоног төхөөрөмж: Хүснэгт.

Хичээлийн явц

I. Зохион байгуулалтын мөч.

II. Урд талын шалгалтгэрийн даалгавар:

1) 2.636 дугаартай самбар дээрх сурагч ("9-р ангийн бичгийн шалгалтын даалгаврын цуглуулга" II хэсгээс)

2) оюутан. График байгуулах

3) бүхэл бүтэн анги № 2.334 (а) урд талдаа.

III. Шинэ материалын тайлбар.

Сургуулийн лекц нь тодорхой сэдвийг судлахдаа оюутнуудыг гол зүйлд чиглүүлдэг боловсролын үйл явцыг зохион байгуулах хэлбэр бөгөөд багш, оюутнуудын боловсролын материалд хандах хувийн хандлагыг өргөнөөр харуулах явдал юм. Учир нь Хичээл-лекц нь багшийн материалыг том блокоор танилцуулах боломжийг олгодог бөгөөд дараа нь багш, оюутнуудын хоорондох аман харилцаа нь түүний технологийн гол зүйл юм. Багшийн үг сэтгэл хөдлөл, гоо зүйн нөлөө үзүүлж, тухайн хичээлд тодорхой хандлагыг бий болгодог. Лекцийн тусламжтайгаар анги дахь оюутны янз бүрийн үйл ажиллагааг удирдан чиглүүлж, мэдлэг, чадвар, чадвараар дамжуулан танин мэдэхүйг боловсролын үйл ажиллагааны үндэс болгон бүрдүүлдэг.

I. 3-аар төгссөн хоёр оронтой тоог өсөх дарааллаар бич.

13; 23; 33;………….93.

1-ээс 9 хүртэлх серийн дугаар бүрийг тодорхой хоёр оронтой тоогоор тааруулна уу:

1->13; 2->23;………9->93.

Эхний есөн натурал тооны олонлог ба олонлогийн хооронд хоёр оронтой тоо 3-ын тоогоор төгссөн тоглолт боллоо. Энэ захидал харилцаа нь функц юм.

Тодорхойлолтын домэйн нь (1; 2; 3;……..9)

Олон утга (13; 23; 33;…….93).

Хэрэв захидал харилцааг f гэж тэмдэглэвэл

Энэ дарааллыг par.

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

б) 1; 0; 1; 0; 1; 0

Хүснэгт №1

A)

б)

II.

О.о.ф. (1; 2; 3; 4;…..)

M.z.f. g(1) =;

g(3) =;

...

g(60) =

Натурал тооны олонлог дээр тодорхойлогдсон функцийг хязгааргүй дараалал гэнэ.

в) 2; 4; 6; 8; 10;……….

1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n

f(1); f(2); f(3)… …..f(n)

- дарааллын гишүүд.

Жич: олонлог ба дараалал гэсэн ойлголтыг ялгах шаардлагатай.

a) (10; 20; 30; 40)

{40; 30; 20; 10}

Үүнтэй ижил багц.

b) гэхдээ 10-р дараалал; 20; 30; 40

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

Төрөл бүрийн:

III. Дарааллыг анхаарч үзээрэй:

1) 3; 5; 7; 9; 11;……. -> хязгааргүй, нэмэгддэг

2) 10; 9; 8; 7; 6. -> эцсийн, буурах.

Хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байвал дарааллыг нэмэгдүүлэх гэж нэрлэдэг.

б)

Буурах дарааллын тодорхойлолтыг өгсөн болно.

Өсөх, буурах дарааллыг монотон гэж нэрлэдэг.

1; 0; 1; 0; 1; 0. - хэлбэлзэлтэй;

5; 5; 5; 5; ….. - тогтмол.

IV. Дарааллыг геометрийн хэлбэрээр дүрсэлж болно. Учир нь дараалал гэдэг нь функцийн тодорхойлолтын муж нь N олонлог, дараа нь график нь хавтгай (x; y) цэгүүдийн олонлог юм.

Жишээ нь: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

Энэ дарааллыг зурцгаая

Зураг 1.

Жишээ: Энэ хэлбэрээр өгөгдсөн дарааллыг батал

99; 74; 49; 24; -1;……………

буурч байна.

V. Дараалалыг тодорхойлох аргууд.

Учир нь Дараалал нь N олонлог дээр тодорхойлогдсон функц бөгөөд дарааллыг тодорхойлох таван арга байдаг.

I. Хүснэгт

II. Тодорхойлолтын арга

III. Аналитик

IV. График

V. Дахин давтагдах

I. Хүснэгттэй - маш тохиромжгүй. Бид хүснэгтийг зурж, аль гишүүнийг тодорхойлоход ашигладаг. тэр ямар газар эзэлдэг ......

II. Тайлбарлах арга.

Жишээ нь: Гишүүн бүрийг 4-ийн тоог ашиглан бичих дараалал, цифрүүдийн тоо нь дарааллын тоотой тэнцүү байна.

III. Аналитик арга(томъёо ашиглан).

Дарааллын гишүүн бүрийг n тоогоор нь илэрхийлэх томьёог дарааллын n гишүүний томьёо гэнэ.

Жишээ нь:

мөн оюутнууд эдгээр дарааллыг бүрдүүлдэг ба эсрэгээр: дарааллын нөхцлийн томъёог сонгоно уу:

a) 1; ;
б) ...
;……………..
V)
G)

д) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. IV.График арга

- бас тийм ч тохиромжтой биш, тэд үүнийг ихэвчлэн ашигладаггүй..

Тооны дараалал Байгалийн тооны цуврал нь өөрөө үзэсгэлэнтэй: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .... Энэ нь өсөх эрэмбийг хамгийн цэвэр хэлбэрээр харуулдаг. Дараагийн тооны хэлхээг бий болгох зарчим нь тийм ч тодорхой биш юм: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., гэхдээ тэдгээр нь санамсаргүй биш ч гэсэн: гурав дахь тооноос эхлэн тоо бүр нь байна. өмнөх хоёрын нийлбэртэй тэнцүү. Энэ цуврал нь өөрийн гэсэн натурал тоо юмтүүхэн нэр

- Фибоначчийн цуврал нь өөрийн гэсэн логик, гоо үзэсгэлэнтэй бөгөөд үүнийг ойлгох нь зөвхөн зорилтот судалгаагаар боломжтой юм. ФИБОНАЧЧИ ДУГААР. Леонардо Фибоначчи (). Италийн нэрт математикч, "Абакусын ном" номын зохиогч. Энэхүү ном нь хэдэн зууны турш арифметик, алгебрийн талаархи мэдээллийн гол сан хэвээр байв. Л.Фибоначчийн бүтээлээр дамжуулан бүх Европыг эзэмшсэн, тоолох систем, түүнчлэн практик геометр. Тэд бараг Декартын эрин үе хүртэл ширээний сурах бичиг хэвээр байсан (мөн энэ бол аль хэдийн 17-р зуун!).

Дарааллын дүрмийг илэрхийлнэ аман тайлбар. Жишээ. 1) 50-аас бага энгийн хоёр оронтой тоонуудын дараалал нь төгсгөлтэй дараалал юм: 11, 13, 17, 19, 23, 43, 47; 2) Ойролцоогоор хязгааргүй дараалал иррационал тоо= =1, ...: 2, 1.7, 1.73, 1.732, 1, 7321, ... Амаар

Өмнөх бүх гишүүд нь мэдэгдэж байгаа бол өгөгдсөн дарааллын n-р гишүүнийг тооцоолох боломжтой дүрмийг зааж өгсөн. Жишээ. Y 1 = 1, y n = y n-1 n, хэрэв n2 бол. Энэ дарааллын эхний хэдэн гишүүнийг тооцоолъё: 1, 2, 6, 24, 120, .... Та энэ дарааллын n-р гишүүн гэдгийг шалгаж болно бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнаэхний n натурал тоо: y n = n ! Дахин давтагдах

Бодлого 2 Дахин өгөгдсөн дарааллын эхний таван гишүүнийг ол: y 1 = 2, y n = y n Хариулт: 2, 7, 12, 17, 22. Сургалтын диктантСонголт 1 (2) 1. 1200 тооны хуваагчдын дараалал төгсгөлтэй юу, төгсгөлгүй юу? (8-ын үржвэр үү?) 2. 6-ын үржвэртэй тоонуудын дараалал төгсгөлтэй юу, төгсгөлгүй юу? (2400 тооны хуваагч?) 3. Дарааллыг a n =5n+2 (b n =n 2 -3) томъёогоор олно. Түүний гурав дахь гишүүн юутай тэнцүү вэ? 4. Гурван оронтой (хоёр оронтой) бүх тооны дарааллын сүүлчийн гишүүнийг бич. 5. a n+1 =a n -4, 1 =5 (b n+1 =b n /4, b 1 =8) дарааллын давтагдах томьёо өгөгдсөн. 2 (b 2) -г ол.

Эцсийн сонголт. 2. Infinite Option Infinite. 2. Эцсийн

Хуудас 2

Үндсэн тэмдгүүдийн төгсгөлтэй дарааллыг S онолын илэрхийлэл гэж нэрлэдэг.  

Үсгийн тэмдэгтүүдийн дурын төгсгөлтэй дарааллыг (хоосон тэмдэгтүүдийг оруулаад) гинж гэж нэрлэдэг - бүх боломжит гинжин хэлхээний дурын дэд олонлог LA -, чекийг А-аас дээш хэл гэж нэрлэдэг.  

SPD нь пакет шилжих горимыг хэрэгжүүлдэг бөгөөд энэ нь хэрэглэгчийн мессежийн өгөгдлийг тусдаа пакетуудад хувааж, сүлжээн дэх эх үүсвэрээс хүлээн авагч хүртэлх дамжуулах замыг пакетууд байгаа хяналтын төв бүрт тодорхойлдог дамжуулах арга юм. хүлээн авдаг. Мессежийг семантик агуулгатай тэмдэгтүүдийн хязгаарлагдмал дараалал гэж ойлгодог. Пакет гэдэг нь тодорхой форматаар танилцуулсан толгойтой, хязгаарлагдмал хэмжээтэй өгөгдлийн блок юм хамгийн их урт. Өгөгдлийн дамжуулалтын элементүүдэд хэт ачаалал, гэмтэл гарсан тохиолдолд өгөгдөл дамжуулах замыг (маршрут) хурдан өөрчлөх чадвартай тул пакет шилжүүлэгчтэй өгөгдөл дамжуулах систем нь өндөр үр ашигтай байдаг гэдгийг анхаарна уу. Мэдээлэл дамжуулах систем ба түүний хэсгүүдийг бий болгох янз бүрийн хувилбаруудын үр нөлөөг хэрэглэгчдэд өгөгдөл дамжуулах дундаж хугацаа, хэрэглэгчийн шаардлагатай холболтыг бий болгохгүй байх магадлалаар үнэлдэг. одоогоорцаг.  

Мэдээжийн хэрэг, тэмдгийн төгсгөлтэй дараалал бүр нь мэдэгдэл биш юм; жишээ нь (S0 L (55)) нь мэдэгдэл боловч l l) S3 ба S0 l нь тийм биш.  

F нь үүсгэгч буюу тэдгээрийн урвуу тэмдэгтүүдийн бүх төгсгөлтэй дарааллын багц юм. F-ийн бүх үгсийг дараах байдлаар ангилдаг: хэрвээ Wi ба W2 нь F-ийн дүйцэх үгс бол Wi ба W2 нь нэг ангилалд хамаарна; хэрэв Wi ба W2 нь F-ийн дүйцэх үг биш бол Wi ба W2 нь нэг ангид хамаарахгүй. Өөрөөр хэлбэл, Wi, W2 гэсэн үгнүүд нь зөвхөн тэнцүү байх тохиолдолд нэг ангилалд багтана. Нийтлэг асуудал, хэргийг шийдвэрлэхээс бүрдэнэ дур зоргоороо бүлэгхоёр үг тэнцэх эсэх нь маш хэцүү байдаг.  

Метаматематик бол албан ёсны математик онолыг судалдаг онол юм. Албан ёсны онол нь томьёо, нэр томьёо гэж нэрлэгддэг тодорхой тооны хязгаарлагдмал дараалсан тэмдэгтүүдийн багц ба зарим нэг багц онол юм. энгийн үйлдлүүд, эдгээр дараалал дээр үйлдвэрлэсэн. Бялууг ашиглан олж авсан томъёо, нэр томъёо - хэдэн энгийн дүрэм, зөн совингийн санал, функцийг орлуулах болно математикийн онол. Томъёо дээрх үйлдлүүд нь математикийн үндэслэлийн хасалтын үндсэн үе шатуудтай тохирч байна. Зөн совингийн онолын аксиомд тохирсон томъёонууд тоглодог онцгой үүрэг- тэдгээр нь албан ёсны онолын аксиомууд юм. Батлагдсан үйлдлүүдийн тусламжтайгаар аксиомуудаас гаргаж болох томьёо нь онолын теоремуудтай тохирч байна.  

Метаматематик бол албан ёсны математик онолыг судалдаг онол юм. Албан ёсны онол гэдэг нь томьёо, нэр томьёо гэж нэрлэгдэх тэмдэгтүүдийн хязгаарлагдмал дараалал, эдгээр дараалал дээр хийгдсэн зарим энгийн үйлдлүүдийн багц юм. Хэд хэдэн энгийн дүрмээс үүссэн томьёо, нэр томьёо нь интуитив математикийн онолын санал, функцийг орлуулдаг. Томъёо дээрх үйлдлүүд нь математикийн үндэслэлийн хасалтын үндсэн үе шатуудтай тохирч байна. Зөн совингийн онолын аксиомуудад тохирсон томъёонууд нь онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг - тэдгээр нь албан ёсны онолын аксиомууд юм.  

Хоёрдугаарт, гарын үсгийг тоолох боломжтой гэсэн шаардлагаас татгалзаж, ингэж хэлж болно: A C M дэд олонлог бүрд үндсэн чанар нь NQ-ийн дээд хэмжээ, А багцын үндсэн байдал, гарын үсгийн үндсэн чанараас хэтрэхгүй A агуулсан үндсэн дэд бүтэц M C M байдаг. . Үнэн хэрэгтээ, гарын үсэг зурах үйл ажиллагааны хувьд хаалтын бүтээн байгуулалт, оршин тогтнох хаалтын бүтээн байгуулалт, өсөн нэмэгдэж буй гинжин хэлхээний тоолж болох нэгдэл нь хоёулаа заасан дээд хэмжээнээс илүү хүчийг авдаггүй, учир нь томьёо болон нэр томъёо хоёулаа гарын үсгийн тэмдгийн төгсгөлтэй дараалал юм. болон тоолж болох тооны бусад тэмдэгтүүд (дэлгэрэнгүй мэдээллийг -ээс үзнэ үү); параметрийн утгуудын боломжит багцын талаар ижил зүйлийг хэлж болно.  

Судалгаанд хамрагдсан IVS-д пакет солих горим хэрэгждэг бөгөөд энэ нь хэрэглэгчийн мессежийн өгөгдлийг тусдаа багц болгон хуваах дамжуулах аргыг өгдөг. Сүлжээнд байгаа пакетуудыг эх үүсвэрээс хүлээн авагч руу дамжуулах замыг тэдний ирсэн удирдлагын компани бүрт тодорхойлдог. Мессежийг семантик агуулгатай тэмдэгтүүдийн хязгаарлагдмал дараалал гэж ойлгодог. Пакет гэдэг нь тодорхой форматаар танилцуулсан, дээд тал нь хязгаарлагдмал урттай толгойтой өгөгдлийн блок юм. Пакет шилжүүлэгчтэй IVS нь хэт ачаалал болон IVS элементүүдэд гэмтэл гарсан тохиолдолд өгөгдөл дамжуулах замыг (маршрут) хурдан өөрчлөх чадвартай тул өндөр үр ашигтай гэдгийг анхаарна уу. IVS болон түүний хэсгүүдийг бий болгох янз бүрийн хувилбаруудын үр нөлөөг хэрэглэгчдэд өгөгдөл дамжуулах дундаж хугацаа, тухайн үед хэрэглэгчийн шаардсан холболтыг үүсгэж чадахгүй байх магадлалаар үнэлдэг.  

(Хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй) тоолж болох олонлогийг авч үзэхдээ зарим тогтмол хувиргалт дахь түүний элементүүдэд тохирох тоог эдгээр элементүүдийн бие даасан тэмдэглэгээ эсвэл нэр болгон ашиглаж болно. Харин эсрэгээр, хэрэв урьдчилан өгөгдсөн хоёрдмол утгагүй тэмдэглэгээний систем дэх нэр эсвэл тодорхой илэрхийлэл байж болно. тус тусад ньТодорхой олонлогийн элемент бүртэй холбоотой байвал энэ олонлогийг (хязгааргүй эсвэл хязгааргүй) тоолох боломжтой бөгөөд нэр эсвэл илэрхийлэл нь бидний ашиглах боломжтой тэмдэгтүүдийн өгөгдсөн хязгаарлагдмал цагаан толгойноос сонгосон тэмдэгтүүдийн төгсгөлтэй дараалал байх ёстой. Жишээлбэл, алгебрийн тэгшитгэлбүхэл тооны магадлалыг магадлал болон илтгэгчийн аравтын бутархай тэмдэглэгээ ашиглан бичиж болно. Дээд талд илтгэгчийг бичих нь бидний тэмдэглэгээний чухал биш шинж чанар бөгөөд үүнийг тохирох конвенцоор арилгаж болно.  

Жишээлбэл, бүхэл тооны коэффициент бүхий хоёр олон гишүүнтийг үржүүлэх асуудлыг авч үзье. Эдгээр олон гишүүнтүүдийг компьютерт оруулахын тулд хэрхэн бичих вэ гэдэг асуудал юм. Бидний доор авч үзэх Тьюрингийн машинууд нь зөвхөн хязгаарлагдмал тэмдэгтүүдийн дарааллыг (үг) ойлгодог. хязгаарлагдмал олонлог A, гадаад цагаан толгой гэж нэрлэдэг. Тиймээс тооцооллын асуудлын нарийн томъёолол нь цагаан толгойн үсэг, оролтын өгөгдлийг кодлох аргыг агуулсан байх ёстой.  

Цагаан толгойн үсгийн оператор бүр нь түүний нарийн төвөгтэй байдлын талаархи зөн совинтой холбоотой байдаг. Хамгийн энгийн нь тэмдэгт тус бүрээр зураглал хийдэг цагаан толгойн операторууд юм. Тэмдэгт тус бүрээр дүрслэх нь оролтын А үгийн s тэмдэгт бүрийг гаралтын цагаан толгойн В үсгийн зарим тэмдэгтээр солихоос бүрдэнэ. Их үнэ цэнэкодчилол гэж нэрлэгддэг зураглалтай. Оролтын цагаан толгойн тэмдэг бүрийг код гэж нэрлэгддэг гаралтын цагаан толгойн тэмдэгтүүдийн тодорхой төгсгөлтэй дараалалтай холбосон захидал харилцааг кодчиллын газрын зураг гэж ойлгодог.  

Тэд тоолж баршгүй олонлогийг бүрдүүлдэг. Тооцоолох функцууд нь бидний судалж эхэлсэн маш чухал дэд бүлгийг бүрдүүлдэг. Үнэн хэрэгтээ аливаа алгоритмын хэлийг ашиглахдаа програм бүр дараахь зүйлсээс бүрдэнэ төгсгөлтэй дараалалхязгаарлагдмал эсвэл тоолж болох цагаан толгойн тэмдэгтүүд. Үүнээс үзэхэд програмуудын багц нь тоолж баршгүй хязгааргүй юм.  

Индуктив дүгнэлтийн бодлогуудын арай өөр хэлбэрийг авч үзье. Бидэнд хангалттай урт тэмдэгт дараалал өгөгдсөн бөгөөд даалгавар нь энэ дарааллын дараагийн тэмдэгтүүдийг урьдчилан таамаглах явдал юм гэж бодъё. Энэ ердийн ажилмагадлалыг индукцийн аргаар тооцоолох шаардлагатай тохиолдолд. Энэ даалгаврыг танилцуулгад бага зэрэг шинэчилсэн болно орчин үеийн үзэл баримтлалбүх нийтийн компьютермөн түүнд зориулан эмхэтгэсэн програмчлалын хэл. Програмыг хүлээн авсны дараа машин өгөгдсөн тэмдэгтүүдийн төгсгөлтэй дарааллаар эхэлсэн дарааллыг, бүр хязгааргүйг ч хэвлэж байвал програмыг хүчинтэй гэж нэрлэдэг. Тиймээс хүчин төгөлдөр хөтөлбөр бүр таамаглал дэвшүүлдэг.  

Хэрэв хүн бүр натурал тоо n заримд нь оноогдсон байна бодит тоо x n , тэгвэл өгөгдсөн гэж хэлдэг тооны дараалал

x 1 , x 2 , … x n , …

Тоо x 1-ийг дарааллын гишүүн гэж нэрлэдэг 1 дугаартай эсвэл дарааллын эхний гишүүн, тоо x 2 - дарааллын гишүүн 2 дугаартай эсвэл дарааллын хоёр дахь гишүүн гэх мэт. x n тоог дууддаг тоо бүхий дарааллын гишүүн n.

Тооны дарааллыг тодорхойлох хоёр арга байдаг - хамт болон хамт давтагдах томъёо.

Ашиглах дараалал дарааллын ерөнхий гишүүний томьёо- Энэ бол дараалсан даалгавар юм

x 1 , x 2 , … x n , …

x n нэр томъёоны n тооноос хамаарах хамаарлыг илэрхийлсэн томъёог ашиглан.

Жишээ 1. Тооны дараалал

1, 4, 9, … n 2 , …

нийтлэг нэр томъёог ашиглан өгсөн

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Өмнөх тоо бүхий дарааллын гишүүдээр дамжуулан x n-ийг илэрхийлсэн томьёо ашиглан дарааллыг зааж өгөхийг давтагдах томъёо.

x 1 , x 2 , … x n , …

дуудсан нэмэгдэж буй дарааллаар, илүүөмнөх гишүүн.

Өөрөөр хэлбэл хүн бүрт n

x n + 1 >x n

Жишээ 3. Натурал тоонуудын дараалал

1, 2, 3, … n, …

байна өсөх дараалал.

Тодорхойлолт 2. Тооны дараалал

x 1 , x 2 , … x n , …

дуудсан буурах дараалалхэрэв энэ дарааллын гишүүн бүр багаөмнөх гишүүн.

Өөрөөр хэлбэл хүн бүрт n= 1, 2, 3, … тэгш бус байдал хангагдсан

x n + 1 < x n

Жишээ 4. Дараалал

томъёогоор өгөгдсөн

байна буурах дараалал.

Жишээ 5. Тооны дараалал

1, - 1, 1, - 1, …

томъёогоор өгөгдсөн

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

тийм биш өсөх ч үгүй, буурах ч үгүйдараалал.

Тодорхойлолт 3. Өсөх, буурах тоон дарааллыг гэнэ монотон дараалал.

Хязгаарлагдмал ба хязгааргүй дараалал

Тодорхойлолт 4. Тооны дараалал

x 1 , x 2 , … x n , …

дуудсан дээрээс хязгаарласан,хэрвээ энэ дарааллын гишүүн бүр байхаар M тоо байвал багатоо М.

Өөрөөр хэлбэл хүн бүрт n= 1, 2, 3, … тэгш бус байдал хангагдсан

Тодорхойлолт 5. Тооны дараалал

x 1 , x 2 , … x n , …

дуудсан доор хязгаарлагдсан,хэрвээ энэ дарааллын гишүүн бүр байхаар m тоо байвал илүүтоо m.

Өөрөөр хэлбэл хүн бүрт n= 1, 2, 3, … тэгш бус байдал хангагдсан

Тодорхойлолт 6. Тооны дараалал

x 1 , x 2 , … x n , …

бол хязгаарлагдмал гэж нэрлэдэг дээр болон доор аль алинд нь хязгаарлагдсан.

Өөрөөр хэлбэл, бүгдэд зориулагдсан M ба m тоонууд байдаг n= 1, 2, 3, … тэгш бус байдал хангагдсан

м< x n < M

Тодорхойлолт 7. Тоон дараалал гэж хязгаарлагдахгүй, дуудсан хязгааргүй дараалал.

Жишээ 6. Тооны дараалал

1, 4, 9, … n 2 , …

томъёогоор өгөгдсөн

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

доор хязгаарлагдсан, жишээ нь, тоо 0. Гэсэн хэдий ч, энэ дараалал дээрээс нь хязгааргүй.

Жишээ 7. Дараалал

томъёогоор өгөгдсөн

байна хязгаарлагдмал дараалал, учир нь хүн бүрт n= 1, 2, 3, … тэгш бус байдал хангагдсан

Манай вэбсайтаас та Математикийн улсын нэгдсэн шалгалт, улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх зорилгоор Ресолвента сургалтын төвийн багш нарын боловсруулсан сургалтын материалтай танилцах боломжтой.

Бэлтгэлээ сайн хийгээд тэнцэх хүсэлтэй сургуулийн сурагчдад зориулав Математик эсвэл орос хэлний улсын нэгдсэн шалгалтдээр өндөр оноо, сургалтын төв"Resolventa" явуулдаг

Дараалал бол математикийн үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Дараалал нь тоо, цэг, функц, вектор гэх мэт зүйлсээс бүрдэж болно. Натурал тоо бүр нь тодорхой олонлогийн элементтэй холбоотой байх хуулийг зааж өгсөн бол дарааллыг өгсөн гэж үзнэ. Дараалал нь хэлбэрээр эсвэл товчоор бичигдсэн байдаг. Элементүүдийг дарааллын гишүүд, - эхний, - хоёр дахь, - дарааллын нийтлэг (дах) гишүүн гэж нэрлэдэг.

Тоон дарааллыг ихэвчлэн авч үздэг, i.e. гишүүд нь тоо байдаг дараалал. Аналитик арга нь тоон дарааллыг тодорхойлох хамгийн энгийн арга юм. Үүнийг дарааллын 3-р гишүүнийг дугаараар нь илэрхийлэх томьёог ашиглан гүйцэтгэнэ. Жишээлбэл, хэрэв

Өөр нэг арга бол давтагдах ( Латин үг recurrens - "буцах"), дарааллын эхний хэдэн гишүүн болон дараагийн гишүүн бүрийг өмнөх гишүүдийг ашиглан тооцоолох боломжтой дүрмийг зааж өгсөн үед. Жишээ нь:

Тооны дарааллын жишээ - арифметик прогрессба геометрийн прогресс.

Тоо тодорхойгүй өсөхөд дарааллын гишүүдийн зан төлөвийг судлах нь сонирхолтой юм (тодорхойгүй өсөхийг "хязгааргүйд хүрэх хандлагатай" гэсэн хэлбэрээр бичээд уншина).

-ийн дарааллыг анхаарч үзээрэй нийтлэг гишүүн: , , , …, , …. Энэ дарааллын бүх нөхцөл тэгээс ялгаатай боловч их байх тусам тэгээс бага ялгаатай байна. Энэ дарааллын нөхцлүүд нь тодорхойгүй хугацаагаар нэмэгдэх тусам тэг болох хандлагатай байдаг. Тэд тэг тоо нь энэ дарааллын хязгаар гэж хэлдэг.

Өөр нэг жишээ: - дарааллыг тодорхойлно

Энэ дарааллын нөхцөлүүд нь мөн тэглэх хандлагатай байдаг, гэхдээ тэдгээр нь тийм юм тэгээс их, дараа нь тэгээс бага - түүний хязгаар.

Өөр нэг жишээг харцгаая: . Хэрэв маягтаар дүрслэгдсэн бол

дараа нь энэ дараалал нь нэгдмэл байх хандлагатай болох нь тодорхой болно.

Дарааллын хязгаарыг тодорхойлъё. Аливаа эерэг тооны хувьд тэгш бус байдал нь бүгдэд нийцэх тоог зааж өгч чадвал тоог дарааллын хязгаар гэнэ.

Хэрэв дараалалд хязгаарлалт байгаа бол тэд бичнэ, эсвэл (Латин үгийн эхний гурван үсэг - "хязгаар").

Энэ тодорхойлолтыг өгвөл илүү тодорхой болно геометрийн утга. Тоогоо интервалд оруулъя (Зураг 1). Хэрэв интервалын жижиг байхаас үл хамааран заримаас их тоотой дарааллын бүх гишүүд энэ интервалд оршдог бол тоо нь дарааллын хязгаар юм. Өөрөөр хэлбэл, дарааллын зөвхөн хязгаарлагдмал тооны гишүүн аль ч интервалаас гадуур байж болно.

Үзэж буй дарааллын хувьд 0 цэгийн -neighborhood at-д эхний араваас бусад дарааллын бүх гишүүн, at - эхний зуугаас бусад дарааллын бүх гишүүн орно.

Хязгаарлалттай дарааллыг конвергент, хязгааргүй дарааллыг дивергент гэнэ. Дивергент дарааллын жишээ энд байна: . Түүний гишүүд ээлжлэн тэнцүү бөгөөд ямар ч хязгаарлалт тавьдаггүй.

Хэрэв дараалал нийлж байвал энэ нь хязгаарлагдмал, өөрөөр хэлбэл. дарааллын бүх гишүүн нөхцөлийг хангадаг тоонууд байдаг. Үүнээс үзэхэд бүх хязгааргүй дараалал нь ялгаатай байна. Эдгээр нь дараалал юм:

"Байгалийг нарийн, гүнзгий судлах нь математикийн хамгийн үр өгөөжтэй нээлтүүдийн эх сурвалж юм." Ж. Фурье

Тэг рүү чиглэсэн дарааллыг хязгааргүй жижиг гэж нэрлэдэг. Хязгааргүй жижиг гэсэн ойлголтыг үндэс болгон ашиглаж болно ерөнхий тодорхойлолтдарааллын хязгаар нь зөвхөн нийлбэрээр илэрхийлэгдэх тохиолдолд дарааллын хязгаар тэнцүү байх тул хязгааргүй бага байна.

Харгалзан үзэх дараалал нь хязгааргүй бага байна. Дараалал нь (2) -ын дагуу 1-ээс хязгааргүй тоогоор ялгаатай тул энэ дарааллын хязгаар нь 1 байна.

Их үнэ цэнэ математик шинжилгээмөн хязгааргүй том дараалал гэсэн ойлголттой. Хэрэв дараалал нь хязгааргүй жижиг бол дарааллыг хязгааргүй том гэж нэрлэдэг. Хязгааргүй том дарааллыг , эсвэл хэлбэрээр бичдэг бөгөөд "хязгааргүйд хүрэх хандлагатай" гэж хэлдэг. Хязгааргүй том дарааллын жишээ энд байна:

Хязгааргүй том дараалалд хязгаар байхгүй гэдгийг бид онцолж байна.

ба дарааллыг авч үзье. , , ба (хэрэв бол) нийтлэг нэр томъёо бүхий дарааллыг тодорхойлох боломжтой. Дараах теорем нь үнэн бөгөөд үүнийг ихэвчлэн тухай теорем гэж нэрлэдэг арифметик үйлдлүүдхязгаартай: хэрвээ дараалал нь нийлдэг бол , , , , мөн дараалал нь нийлэх ба дараах тэгшитгэлүүд биелнэ.

Сүүлчийн тохиолдолд дарааллын бүх нөхцлөөс гадна тэгээс ялгаатай байхыг шаардах шаардлагатай.

Энэ теоремыг хэрэглэснээр олон хязгаарыг олж болно. Жишээлбэл, нийтлэг болон өсөхгүй нэр томъёо бүхий дарааллын хязгаарыг олъё. Энэ дараалал нь -ээс бага эсвэл тэнцүү тоо руу чиглэдэг нь тодорхой юм. Математикийн шинжилгээний явцад буурахгүй, хязгаарлагдмал дээрх дараалал нь хязгаартай байдаг нь теоремоор нотлогддог (үүнтэй төстэй мэдэгдэл нь өсөхгүй, доод хязгаарлагдмал дарааллын хувьд үнэн юм). Энэ гайхалтай теоремыг өгдөг хангалттай нөхцөлхязгаар байгаа эсэх. Жишээлбэл, нэгж радиусын тойрогт дүрслэгдсэн тогтмол гурвалжны талбайн дараалал нь хязгаартай байдаг, учир нь энэ нь монотон нэмэгдэж, дээрээс хязгаарлагддаг. Энэ дарааллын хязгаарыг .

Монотон хязгаарыг ашиглах хязгаарлагдмал дараалалМатематик шинжилгээнд томоохон үүрэг гүйцэтгэдэг тоог тодорхойлсон - натурал логарифмын суурь:

.

Өмнө дурьдсанчлан (1) дараалал нь монотон бөгөөд дээрээс нь хязгаарлагдмал байдаг. Үүнд хязгаар бий. Бид энэ хязгаарыг хялбархан олох боломжтой. Хэрэв энэ нь тэнцүү бол тоо нь тэгш байдлыг хангах ёстой. Энэ тэгшитгэлийг шийдснээр бид .