гэх мэт. ерөнхий боловсролын шинж чанартай бөгөөд байна их үнэ цэнэБҮХЭЛДСЭН сургалтанд хамрагдана дээд математик. Өнөөдөр бид "сургуулийн" тэгшитгэлийг давтах болно, гэхдээ зөвхөн "сургуулийн" тэгшитгэлийг биш, харин хаа сайгүй байдаг. янз бүрийн даалгаварвышмат. Ердийнх шигээ түүхийг хэрэглээний аргаар ярих болно, өөрөөр хэлбэл. Би тодорхойлолт, ангилалд анхаарлаа хандуулахгүй, харин тантай яг таг хуваалцах болно хувийн туршлагашийдлүүд. Мэдээлэл нь анхлан суралцагчдад зориулагдсан боловч илүү ахисан түвшний уншигчид өөрсдөдөө их зүйлийг олох болно. сонирхолтой мөчүүд. Тэгээд мэдээж байх болно шинэ материал, цааш явах ахлах сургууль.

Тэгэхээр тэгшитгэл .... Энэ үгийг олон хүн чичирсээр санаж байна. Үндэстэй "боловсронгуй" тэгшитгэл гэж юу вэ... ... тэдгээрийг март! Учир нь та энэ зүйлийн хамгийн хор хөнөөлгүй "төлөөлөгчид" -тэй уулзах болно. Эсвэл уйтгартай тригонометрийн тэгшитгэлолон арван шийдлийн аргуудтай. Үнэнийг хэлэхэд би тэдэнд үнэхээр дургүй байсан ... Бүү сандар! - тэгвэл ихэвчлэн 1-2 алхамаар тодорхой шийдэл бүхий "данделионууд" таныг хүлээж байна. Хэдийгээр "burdock" наалддаг ч гэсэн та энд бодитой хандах хэрэгтэй.

Хачирхалтай нь, дээд математикийн хувьд маш энгийн тэгшитгэлтэй харьцах нь илүү түгээмэл байдаг шугамантэгшитгэл

Энэ тэгшитгэлийг шийдэх нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь "x" (үндэс)-ийн ИЙМ утгыг олох бөгөөд үүнийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргана гэсэн үг юм. Тэмдгийг өөрчилснөөр "гурвыг" баруун тийш шидье.

"хоёр"-ыг дахин тохируулна уу баруун тал (эсвэл ижил зүйл - хоёр талыг үржүүлнэ) :

Шалгахын тулд хожсон цомоо сольж үзье анхны тэгшитгэл :

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь олсон утга нь үнэхээр үндэс мөн гэсэн үг юм өгөгдсөн тэгшитгэл. Эсвэл тэдний хэлснээр энэ тэгшитгэлийг хангадаг.

Үндэсийг мөн хэлбэрээр бичиж болно гэдгийг анхаарна уу аравтын:
Мөн энэ муу хэв маягийг баримтлахгүй байхыг хичээгээрэй! Би шалтгааныг нэгээс олон удаа давтсан, ялангуяа эхний хичээл дээр дээд алгебр.

Дашрамд хэлэхэд тэгшитгэлийг "араб хэлээр" шийдэж болно.

Хамгийн сонирхолтой нь юу вэ - энэ оруулгабүрэн хууль ёсны! Гэхдээ хэрэв та багш биш бол үүнийг хийхгүй байх нь дээр, учир нь оригинал нь энд шийтгэгддэг =)

Тэгээд одоо бага зэрэг

график шийдлийн арга

Тэгшитгэл нь хэлбэртэй, үндэс нь байна "X" координат уулзвар цэгүүд шугаман функцийн графикхуваарьтай шугаман функц (x тэнхлэг):

Жишээ нь маш энгийн тул энд задлан шинжлэх зүйл байхгүй, гэхдээ үүнээс өөр нэг гэнэтийн нюансыг "шахаж" болно: ижил тэгшитгэлийг хэлбэрээр танилцуулж, функцүүдийн графикийг байгуулъя.

Үүний зэрэгцээ, Энэ хоёр ойлголтыг битгий хольж хутгаарай: тэгшитгэл нь тэгшитгэл бөгөөд функц- энэ бол функц! Функцүүд зөвхөн туслахтэгшитгэлийн язгуурыг ол. Үүнээс хоёр, гурав, дөрөв, бүр хязгааргүй олон байж болно. Энэ утгаараа хамгийн ойрын жишээ бол олны танил юм квадрат тэгшитгэл, тусдаа догол мөрийг хүлээн авсан шийдлийн алгоритм "халуун" сургуулийн томъёо. Мөн энэ нь санамсаргүй биш юм! Хэрэв та квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадвал мэдэж байгаа бол Пифагорын теорем, тэгвэл "дээд математикийн тал нь таны халаасанд байна" гэж хэлж болно =) Мэдээжийн хэрэг хэтрүүлсэн, гэхдээ үнэнээс тийм ч хол биш!

Тиймээс залхуу байж, квадрат тэгшитгэлийг ашиглан шийдье стандарт алгоритм:

, энэ нь тэгшитгэл нь хоёр өөр байна гэсэн үг юм хүчинтэйүндэс:

Олдсон утгууд хоёулаа энэ тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

Хэрэв та шийдлийн алгоритмаа гэнэт мартаж, туслах хэрэгсэл байхгүй бол яах вэ? Ийм нөхцөл байдал, жишээлбэл, шалгалт эсвэл шалгалтын үеэр үүсч болно. Бид график аргыг ашигладаг! Мөн хоёр арга бий: та чадна цэгээр барихпарабол , ингэснээр тэнхлэгтэй хаана огтлолцож байгааг олж мэднэ (хэрэв огт гаталж байвал). Гэхдээ илүү зальтай зүйл хийх нь дээр: тэгшитгэлийг хэлбэрээр төсөөлж, илүү график зур. энгийн функцууд- Тэгээд "X" координатТэдний огтлолцох цэгүүд тод харагдаж байна!


Хэрэв шулуун шугам параболд хүрч байгаа бол тэгшитгэл нь хоёр тохирох (олон) үндэстэй байна. Хэрэв шулуун шугам нь параболыг огтлолцоогүй бол жинхэнэ үндэс байхгүй болно.

Үүнийг хийхийн тулд мэдээж бүтээн байгуулалт хийх чадвартай байх хэрэгтэй энгийн функцүүдийн графикууд, гэхдээ нөгөө талаас сургуулийн хүүхэд хүртэл эдгээр чадварыг хийж чадна.

Мөн дахин - тэгшитгэл нь тэгшитгэл бөгөөд функцууд нь функцууд юм зөвхөн тусалсантэгшитгэлийг шийд!

Энд, дашрамд хэлэхэд, бас нэг зүйлийг санах нь зүйтэй болов уу. Хэрэв тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлбэл түүний үндэс өөрчлөгдөхгүй..

Жишээлбэл, тэгшитгэл ижил үндэстэй. Энгийн "баталгаа" болгон би тогтмолыг хаалтнаас гаргана:
мөн би үүнийг өвдөлтгүй арилгах болно (Би хоёр хэсгийг "хасах хоёр" гэж хуваана):

ГЭХДЭЭ!Хэрэв бид функцийг авч үзвэл , тэгвэл та энд тогтмол байдлаас салж чадахгүй! Зөвхөн үржүүлэгчийг хаалтнаас гаргахыг зөвшөөрнө. .

Олон хүмүүс график шийдлийн аргыг дутуу үнэлж, үүнийг "үнэгүй" гэж үздэг бөгөөд зарим нь энэ боломжийг бүрмөсөн мартдаг. График зурах нь заримдаа нөхцөл байдлыг авардаг тул энэ нь үндсэндээ буруу юм!

Өөр нэг жишээ: та хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн үндсийг санахгүй байна гэж бодъё: . Ерөнхий томъёо нь сургуулийн сурах бичиг, бага ангийн математикийн бүх лавлах номонд байдаг, гэхдээ тэдгээр нь танд байхгүй. Гэсэн хэдий ч тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь маш чухал ("хоёр"). Гарах гарц байна! - функцүүдийн графикийг бүтээх:


Үүний дараа бид тэдгээрийн огтлолцлын цэгүүдийн "X" координатыг тайвнаар бичнэ.

Хязгааргүй олон үндэс байдаг бөгөөд алгебрт тэдгээрийн хураангуй тэмдэглэгээг хүлээн зөвшөөрдөг:
, Хаана ( – бүхэл тоонуудын багц) .

"Явахгүйгээр" нэг хувьсагчтай тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график аргын талаар хэдэн үг хэлье. Энэ зарчим нь адилхан. Жишээлбэл, тэгш бус байдлын шийдэл нь дурын "x" юм, учир нь Синусоид нь шулуун шугамын доор бараг бүрэн байрладаг. Тэгш бус байдлын шийдэл нь синусоидын хэсгүүд шулуун шугамаас яг дээгүүр байрлах интервалуудын багц юм. (х тэнхлэг):

эсвэл товчхондоо:

Гэхдээ тэгш бус байдлын олон шийдэл энд байна: хоосон, учир нь синусоидын ямар ч цэг шулуун шугамаас дээгүүр оршдоггүй.

Ойлгохгүй байгаа зүйл байна уу? тухай хичээлүүдийг яаралтай судлаарай багцТэгээд функцын графикууд!

Дулааццгаая:

Даалгавар 1

Дараах тригонометрийн тэгшитгэлийг графикаар шийд.

Хичээлийн төгсгөлд хариултууд

Таны харж байгаагаар суралцах нарийн шинжлэх ухаанТомьёо, лавлах номыг хавчих шаардлагагүй! Түүнээс гадна энэ нь үндсэндээ алдаатай арга юм.

Хичээлийн эхэнд би таныг тайвшруулж хэлсэнчлэн дээд математикийн стандарт курст тригонометрийн нийлмэл тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь маш ховор байдаг. Бүх нарийн төвөгтэй байдал нь дүрмээр бол тэгшитгэлээр төгсдөг бөгөөд тэдгээрийн шийдэл нь хамгийн энгийн тэгшитгэлээс гаралтай хоёр бүлэг үндэс юм. . Сүүлчийн асуудлыг шийдэх гэж бүү санаа зов - номноос хайж эсвэл интернетээс олоорой =)

График шийдлийн арга нь өчүүхэн жижиг тохиолдлуудад тусалж чадна. Жишээлбэл, дараах "ragtag" тэгшитгэлийг авч үзье.

Үүний шийдлийн хэтийн төлөв нь ... огтхон ч харагдахгүй байна, гэхдээ та тэгшитгэлийг хэлбэрээр төсөөлж, бүтээх хэрэгтэй. функцын графикуудтэгээд бүх зүйл гайхалтай энгийн болж хувирах болно. Өгүүллийн дундуур зураг байна хязгааргүй жижиг функцууд (дараагийн таб дээр нээгдэнэ).

Үүнтэй адил график аргатэгшитгэл нь аль хэдийн хоёр үндэстэй бөгөөд тэдгээрийн нэг нь байгааг олж мэдэх боломжтой тэгтэй тэнцүү, нөгөө нь бололтой, үндэслэлгүйсегментэд хамаарах ба . Өгөгдсөн үндэсойролцоогоор тооцоолж болно, жишээ нь, шүргэгч арга. Дашрамд хэлэхэд, зарим асуудалд үндсийг нь олох шаардлагагүй, харин олж мэдээрэй тэд ерөөсөө байдаг уу?. Энд ч гэсэн зураг нь тусалж чадна - хэрвээ графикууд огтлолцохгүй бол үндэс байхгүй болно.

Бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийн рационал үндэс.
Хорнерын схем

Одоо би та бүхнийг Дундад зууны үе рүү харцаа хандуулж, сонгодог алгебрийн өвөрмөц уур амьсгалыг мэдрэхийг урьж байна. Материалыг илүү сайн ойлгохын тулд бага ч гэсэн уншихыг зөвлөж байна нийлмэл тоо.

Тэд бол хамгийн шилдэг нь. Олон гишүүнт.

Бидний сонирхож буй объект нь хэлбэрийн хамгийн түгээмэл олон гишүүнтүүд байх болно бүхэлд нькоэффициентүүд Натурал тоодуудсан олон гишүүнтийн зэрэг, тоо – хамгийн дээд зэргийн коэффициент (эсвэл хамгийн өндөр коэффициент), мөн коэффициент нь байна чөлөөт гишүүн.

Би энэ олон гишүүнтийг товчоор тэмдэглэнэ.

Олон гишүүнтийн үндэстэгшитгэлийн язгуурыг дууд

Би төмөр логикт дуртай =)

Жишээлбэл, нийтлэлийн эхэнд очно уу:

1 ба 2-р зэрэглэлийн олон гишүүнтийн үндсийг олоход ямар ч асуудал байхгүй, гэхдээ та үүнийг нэмэгдүүлэх тусам энэ даалгавар улам бүр хэцүү болно. Хэдийгээр нөгөө талаас бүх зүйл илүү сонирхолтой юм! Хичээлийн хоёр дахь хэсгийг яг ийм зүйлд зориулах болно.

Нэгдүгээрт, онолын дэлгэцийн хагас нь:

1) Үр дүнгийн дагуу алгебрийн үндсэн теорем, зэрэгтэй олон гишүүнт яг байна цогцолборүндэс. Зарим үндэс (эсвэл бүр бүгд) нь ялангуяа байж болно хүчинтэй. Түүнээс гадна жинхэнэ үндэс дунд ижил (олон) үндэс байж болно (хамгийн багадаа хоёр, дээд тал нь).

Хэрэв олон гишүүнт ямар нэг нийлмэл тоо нь үндэс бол коньюгаттүүний тоо нь мөн энэ олон гишүүнтийн үндэс байх ёстой (холбоо нарийн төвөгтэй үндэсшиг харагдах).

Хамгийн энгийн жишээнь 8-д анх гарч ирсэн квадрат тэгшитгэл юм (дуртай)анги, бид эцэст нь уг сэдвийг "дуусгасан" нийлмэл тоо. Би танд сануулъя: квадрат тэгшитгэл нь хоёр өөр бодит язгууртай, эсвэл олон үндэстэй, эсвэл нийлмэл нийлмэл язгууртай.

2) -аас Безутын теоремХэрэв тоо нь тэгшитгэлийн язгуур бол харгалзах олон гишүүнтийг хүчин зүйлээр ангилж болно.
, энд зэрэгтэй олон гишүүнт байна .

Дахин хэлэхэд бидний хуучин жишээ: оноос хойш тэгшитгэлийн язгуур, тэгвэл . Үүний дараа алдартай "сургуулийн" өргөтгөлийг олж авах нь тийм ч хэцүү биш юм.

Безутын теоремын үр дагавар нь маш их практик ач холбогдолтой: хэрэв бид 3-р зэргийн тэгшитгэлийн язгуурыг мэддэг бол бид үүнийг хэлбэрээр илэрхийлж болно. ба -аас квадрат тэгшитгэлүлдсэн үндсийг танихад хялбар байдаг. Хэрэв бид 4-р зэргийн тэгшитгэлийн язгуурыг мэддэг бол зүүн талыг бүтээгдэхүүн болгон өргөжүүлэх боломжтой.

Мөн энд хоёр асуулт байна:

Асуулт нэг. Энэ үндсийг хэрхэн олох вэ? Юуны өмнө түүний мөн чанарыг тодорхойлъё: дээд математикийн олон асуудалд үүнийг олох шаардлагатай байна оновчтой, ялангуяа бүхэлд ньолон гишүүнтийн үндэс, үүнтэй холбогдуулан цаашид бид тэдгээрийг голчлон сонирхох болно.... ... тэд маш сайн, маш сэвсгэр тул та зүгээр л тэднийг олохыг хүсч байна! =)

Хамгийн түрүүнд санаанд орж ирдэг зүйл бол сонгон шалгаруулах арга юм. Жишээлбэл, тэгшитгэлийг авч үзье. Энд байгаа зүйл бол чөлөөт нэр томъёо юм - хэрэв тэгтэй тэнцүү байсан бол бүх зүйл сайхан болно - бид "X" тэмдгийг хаалтнаас гаргаж, үндэс нь өөрөө гадаргуу дээр "унадаг".

Гэхдээ бидний чөлөөт нэр томъёо нь "гурван" -тай тэнцүү тул бид тэгшитгэлд орлуулж эхэлдэг өөр өөр тоо, "үндэс" гэж мэдэгдэв. Юуны өмнө, нэг утгыг орлуулах нь өөрийгөө санал болгож байна. Орлуулж үзье:

Хүлээн авсан буруутэгш байдал, ингэснээр нэгж "тохирохгүй". За, орлуулъя:

Хүлээн авсан үнэнтэгш байдал! Өөрөөр хэлбэл, утга нь энэ тэгшитгэлийн үндэс юм.

3-р зэргийн олон гишүүнтийн үндсийг олохын тулд байдаг аналитик арга (Кардано томъёо гэж нэрлэгддэг), гэхдээ одоо бид арай өөр даалгавар сонирхож байна.

- нь манай олон гишүүнтийн язгуур учир олон гишүүнт хэлбэрт дүрслэгдэж, үүсдэг Хоёр дахь асуулт: "дүү" яаж олох вэ?

Хамгийн энгийн алгебрийн санаанууд үүнийг хийхийн тулд бид -д хуваах хэрэгтэйг харуулж байна. Олон гишүүнтийг олон гишүүнт хэрхэн хуваах вэ? Үүнтэй адил сургуулийн аргахуваалцсан энгийн тоонууд- "багананд"! Энэ аргаХичээлийн эхний жишээн дээр би үүнийг нарийвчлан авч үзсэн Цогцолбор хязгаар, одоо бид өөр аргыг авч үзэх болно, үүнийг гэж нэрлэдэг Хорнерын схем.

Эхлээд бид "хамгийн өндөр" олон гишүүнт бичнэ хүн бүртэй , үүнд тэг коэффициентүүд орно:
, үүний дараа бид эдгээр коэффициентүүдийг (хатуу дарааллаар) хүснэгтийн дээд мөрөнд оруулна.

Бид зүүн талд үндсийг бичнэ:

Хэрэв "улаан" тоо байвал Хорнерын схем ч бас ажилладаг гэдгийг би даруй анхааруулах болно Үгүйолон гишүүнтийн үндэс юм. Гэсэн хэдий ч яарах хэрэггүй.

Дээрхээс бид тэргүүлэх коэффициентийг хасдаг.

Доод нүдийг дүүргэх үйл явц нь хатгамалыг зарим талаар санагдуулдаг бөгөөд "хасах нэг" нь дараагийн алхмуудыг нэвт шингээдэг нэг төрлийн "зүү" юм. Бид "зөөгдсөн" тоог (-1)-ээр үржүүлж, дээд нүдэнд байгаа тоог бүтээгдэхүүнд нэмнэ.

Бид олсон утгыг "улаан зүү" -ээр үржүүлж, бүтээгдэхүүнд дараахь тэгшитгэлийн коэффициентийг нэмнэ.

Эцэст нь, үүссэн утгыг "зүү" ба дээд коэффициентээр дахин "боловсруулна".

Сүүлчийн нүдэн дэх тэг нь олон гишүүнт хуваагдаж байгааг хэлдэг ул мөргүй (байх ёстой шиг), тэлэлтийн коэффициентүүд хүснэгтийн доод мөрөөс шууд "арилгасан" бол:

Тиймээс бид тэгшитгэлээс ижил тэгшитгэл рүү шилжсэн бөгөөд үлдсэн хоёр үндэстэй бүх зүйл тодорхой болсон. (В энэ тохиолдолдБид хосолсон цогц үндэсийг авдаг).

Дашрамд хэлэхэд тэгшитгэлийг графикаар шийдэж болно: график "аянга" График нь х тэнхлэгийг огтолж байгааг харна уу () цэг дээр. Эсвэл ижил "зальтай" заль мэх - бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичиж, зурна анхан шатны графиктэдгээрийн огтлолцлын цэгийн "X" координатыг илрүүлнэ.

Дашрамд дурдахад, аливаа 3-р зэргийн олон гишүүнт функцийн график нь тэнхлэгийг дор хаяж нэг удаа огтолж байгаа бөгөөд энэ нь харгалзах тэгшитгэлтэй байна гэсэн үг юм. ядажнэг хүчинтэйүндэс. Энэ баримтсондгой зэрэгтэй олон гишүүнт функцэд хүчинтэй.

Энд би бас энд анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна чухал цэг нэр томьёотой холбоотой: олон гишүүнтТэгээд олон гишүүнт функц – энэ нь ижил зүйл биш юм! Гэхдээ практик дээр тэд ихэвчлэн "олон гишүүнтийн график" гэж ярьдаг бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг хайхрамжгүй байдал юм.

Гэсэн хэдий ч Хорнерын схем рүү буцъя. Би саяхан дурьдсанчлан энэ схем нь бусад тоонуудад ажилладаг, гэхдээ хэрэв тоо бол ҮгүйЭнэ нь тэгшитгэлийн язгуур бол бидний томъёонд тэг биш нэмэлт (үлдэгдэл) гарч ирнэ.

Хорнерын схемийн дагуу "амжилтгүй" утгыг "ажиллуулъя". Энэ тохиолдолд ижил хүснэгтийг ашиглах нь тохиромжтой - зүүн талд шинэ "зүү" бичиж, тэргүүлэх коэффициентийг дээрээс нь хөдөлгө. (зүүн ногоон сум), тэгээд бид явлаа:

Шалгахын тулд хашилтыг нээж танилцуулъя ижил төстэй нэр томъёо:
, За.

Үлдэгдэл ("зургаан") нь олон гишүүнтийн яг ижил утгатай болохыг анзаарахад хялбар байдаг. Үнэн хэрэгтээ энэ нь юу вэ:
, бүр илүү сайхан - иймэрхүү:

Дээрх тооцооллуудаас харахад Хорнерын схем нь олон гишүүнтийг хүчин зүйлээр тооцох төдийгүй үндсийг "соёл иргэншсэн" сонгох боломжийг олгодог гэдгийг ойлгоход хялбар юм. Тооцооллын алгоритмыг жижиг даалгавраар бие даан нэгтгэхийг би танд санал болгож байна.

Даалгавар 2

Хорнерын схемийг ашиглан ол бүх үндэстэгшитгэл болон харгалзах олон гишүүнт хүчин зүйл

Өөрөөр хэлбэл, энд та 1, –1, 2, –2, ... – гэсэн тоог сүүлийн баганад тэг үлдэгдэл “зурах” хүртэл дараалан шалгах хэрэгтэй. Энэ нь энэ шугамын "зүү" нь олон гишүүнтийн үндэс болно гэсэн үг юм

Тооцооллыг нэг хүснэгтэд хийх нь тохиромжтой. Хичээлийн төгсгөлд дэлгэрэнгүй шийдэл, хариулт.

Үндэс сонгох арга нь харьцангуй сайн байдаг энгийн тохиолдлууд, гэхдээ хэрэв олон гишүүнтийн коэффициент ба/эсвэл зэрэг нь их байвал процесс удаан үргэлжилж болно. Эсвэл ижил жагсаалтаас 1, –1, 2, –2 гэсэн утгууд байгаа бөгөөд авч үзэх нь утгагүй юм болов уу? Үүнээс гадна үндэс нь бутархай болж хувирах бөгөөд энэ нь шинжлэх ухааны үндэслэлгүй нудрахад хүргэдэг.

Аз болоход, оновчтой язгуурын "нэр дэвшигч" утгыг хайхыг эрс багасгах хоёр хүчирхэг теорем байдаг.

Теорем 1Ингээд авч үзье бууруулж боломгүйбутархай , хаана . Хэрэв тоо нь тэгшитгэлийн үндэс бол чөлөөт гишүүнийг хувааж, тэргүүлэх коэффициентийг хуваана.

Ялангуяа, хэрэв тэргүүлэх коэффициент нь бол энэ оновчтой үндэс нь бүхэл тоо болно:

Мөн бид теоремыг зөвхөн энэ амттай нарийн ширийн зүйлээр ашиглаж эхэлдэг.

Тэгшитгэл рүү буцъя. Түүний тэргүүлэх коэффициент нь , тэгвэл таамагласан рационал язгуур нь зөвхөн бүхэл тоо байж болох бөгөөд чөлөөт нэр томъёог эдгээр үндэст үлдэгдэлгүйгээр хуваах ёстой. Мөн "гурав" -ыг зөвхөн 1, -1, 3, -3 гэж хувааж болно. Өөрөөр хэлбэл, манайд ердөө 4 “үндсэн нэр дэвшигч” байна. Тэгээд дагуу Теорем 1, бусад рационал тоозарчмын хувьд энэ тэгшитгэлийн үндэс байж болохгүй.

Тэгшитгэлд арай илүү "өрсөлдөгчид" байна: чөлөөт нэр томъёо нь 1, –1, 2, – 2, 4, –4-т хуваагдана.

1, –1 тоонууд нь боломжит язгууруудын жагсаалтын "ердийн" тоо гэдгийг анхаарна уу (теоремын тодорхой үр дагавар)болон ихэнх нь хамгийн сайн сонголтдавуу эрх шалгах зорилгоор.

Илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилжье:

Асуудал 3

Шийдэл: тэргүүлэх коэффициент нь , учир нь таамагласан рационал язгуур нь зөвхөн бүхэл тоо байж болох бөгөөд тэдгээр нь хуваагч байх ёстой. чөлөөт гишүүн. "Хасах дөч" нь дараах хос тоонд хуваагдана.
– нийт 16 “нэр дэвшигч”.

Эндээс нэн даруй нэгэн сэтгэл татам бодол гарч ирнэ: бүх сөрөг эсвэл бүгдийг арилгах боломжтой юу эерэг үндэс? Зарим тохиолдолд боломжтой! Би хоёр тэмдгийг томъёолох болно:

1) Хэрэв БүгдХэрэв олон гишүүнтийн коэффициентүүд нь сөрөг биш бол эерэг үндэстэй байж болохгүй. Харамсалтай нь энэ нь бидний тохиолдол биш юм (Одоо, хэрэв бидэнд тэгшитгэл өгсөн бол - тийм ээ, олон гишүүнтийн аль нэг утгыг орлуулах үед олон гишүүнтийн утга нь хатуу эерэг байна, энэ нь бүх зүйл гэсэн үг юм. эерэг тоонууд (мөн үндэслэлгүй)тэгшитгэлийн үндэс байж болохгүй.

2) Хэрэв коэффициентүүд нь үед сондгой градуссөрөг биш бөгөөд бүх эрх мэдлийн хувьд (үнэгүй гишүүн орно)сөрөг байвал олон гишүүнт байж болохгүй сөрөг үндэс. Энэ бол бидний хэрэг! Жаахан ойроос харвал тэгшитгэлд дурын сөрөг "X"-г орлуулахад үүнийг харж болно зүүн талхатуу сөрөг байх болно, энэ нь гэсэн үг сөрөг үндэсалга болно

Ингээд судалгаа явуулахад 8 тоо үлдлээ.

Бид тэднийг Хорнерын схемийн дагуу байнга "цэнэглэдэг". Та сэтгэцийн тооцооллыг аль хэдийн эзэмшсэн гэж найдаж байна:

"Хоёр" -ыг туршиж үзэхэд биднийг аз хүлээж байв. Тиймээс авч үзэж буй тэгшитгэлийн үндэс, ба

Тэгшитгэлийг судлах л үлдлээ . Үүнийг ялгаварлан гадуурхах замаар хийхэд хялбар байдаг, гэхдээ би ижил схемийг ашиглан заагч тест хийх болно. Нэгдүгээрт, чөлөөт нэр томъёо нь 20-той тэнцэх бөгөөд энэ нь гэсэн үг юм Теорем 1 8 ба 40 тоо нь боломжит язгууруудын жагсаалтаас хасагдаж, судалгааны утгыг үлдээдэг (Нэг нь Хорнерын схемийн дагуу хасагдсан).

Бид гурвалсан тооны коэффициентийг дээд мөрөнд бичнэ шинэ ширээТэгээд Бид ижил "хоёр" -оор шалгаж эхэлдэг.. Яагаад? Үндэс нь үржвэр байж болох тул: - энэ тэгшитгэлд 10 байна ижил үндэс. Гэхдээ анхаарал сарниулахгүй байцгаая:

Энд мэдээжийн хэрэг үндэс нь оновчтой гэдгийг мэдсээр байж жаахан худлаа хэлсэн. Эцсийн эцэст, хэрэв тэдгээр нь үндэслэлгүй эсвэл төвөгтэй байсан бол би үлдсэн бүх тоог амжилтгүй шалгахтай тулгарах болно. Тиймээс практик дээр ялгаварлагчаар удирдуулах хэрэгтэй.

Хариулах: оновчтой үндэс: 2, 4, 5

Шинжилсэн асуудалд бид азтай байсан, учир нь: a) тэд шууд унасан сөрөг утгууд, ба б) бид үндсийг маш хурдан олсон (мөн онолын хувьд бид бүх жагсаалтыг шалгаж болно).

Гэвч бодит байдал дээр нөхцөл байдал хамаагүй муу байна. Би таныг "Гэдэг" нэртэй сонирхолтой тоглоом үзэхийг урьж байна. Сүүлчийн баатар»:

Асуудал 4

Тэгшитгэлийн рационал язгуурыг ол

Шийдэл: By Теорем 1таамаглалын тоологч оновчтой үндэснөхцөлийг хангасан байх ёстой (бид "арван хоёрыг элээр хуваадаг" гэж уншдаг), мөн хуваагч нь нөхцөлтэй тохирч байна. Үүний үндсэн дээр бид хоёр жагсаалтыг авна.

"list el":
болон "жагсаалт": (Аз болоход энд байгаа тоонууд нь байгалийн юм).

Одоо бүх боломжит язгууруудын жагсаалтыг гаргацгаая. Эхлээд бид "el list" -ийг хуваана. Яг ийм тоо гарах нь туйлын тодорхой. Тохиромжтой болгохын тулд тэдгээрийг хүснэгтэд оруулъя:

Олон тооны фракцууд буурч, үр дүнд нь "баатрын жагсаалт" -д аль хэдийн орсон утгууд бий болсон. Бид зөвхөн "шинэхэн"-ийг нэмнэ:

Үүний нэгэн адил бид ижил "жагсаалтыг" дараахь байдлаар хуваана.

тэгээд эцэст нь

Ийнхүү манай тоглоомд оролцогчдын баг бүрдэв.


Харамсалтай нь, энэ асуудлын олон гишүүнт нь "эерэг" эсвэл "сөрөг" шалгуурыг хангахгүй байгаа тул бид дээд эсвэл доод эгнээнээс татгалзаж чадахгүй. Та бүх тоонуудтай ажиллах хэрэгтэй болно.

Таны сэтгэл ямар байна вэ? Алив, толгойгоо өргө - "алуурчин теорем" гэж нэрлэж болох өөр нэг теорем бий. ..."нэр дэвшигчид", мэдээжийн хэрэг =)

Гэхдээ эхлээд та Хорнерын диаграммыг дор хаяж нэгийг нь гүйлгэх хэрэгтэй бүхэлд ньтоо. Уламжлал ёсоор бол нэгийг нь авч үзье. Дээд мөрөнд бид олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг бичдэг бөгөөд бүх зүйл ердийнх шиг байна.

Дөрөв нь тэг биш нь тодорхой тул утга нь тухайн олон гишүүнтийн үндэс биш юм. Гэхдээ тэр бидэнд маш их туслах болно.

Теорем 2Зарим хүмүүсийн хувьд бол ерөнхийдөөолон гишүүнтийн утга тэгээс ялгаатай: , дараа нь түүний рационал үндэс (хэрэв байгаа бол)нөхцөлийг хангана

Манай тохиолдолд, тиймээс бүх боломжит үндэс нь нөхцөлийг хангах ёстой (Нөхцөл No1 гэж нэрлэе). Энэ дөрөв олон “нэр дэвшигч”-ийн “алуурчин” болно. Үзүүлэн болгон би хэд хэдэн шалгалтыг авч үзэх болно:

"Нэр дэвшигч"-ийг шалгая. Үүнийг хийхийн тулд үүнийг бутархай хэлбэрээр зохиомлоор илэрхийлье, үүнээс тодорхой харагдаж байна. Туршилтын зөрүүг тооцоолъё: . Дөрөвийг "хасах хоёр" гэж хуваана: , энэ нь боломжит үндэс нь шалгалтыг давсан гэсэн үг юм.

Утгыг шалгацгаая. Тестийн ялгаа энд байна: . Мэдээжийн хэрэг, хоёр дахь "субъект" нь жагсаалтад хэвээр байна.

Үүнийг ашиглаж байна математикийн програмолон гишүүнтүүдийг баганаар хувааж болно.
Олон гишүүнтийг олон гишүүнт хуваах програм нь зөвхөн асуудлын хариултыг өгдөггүй бөгөөд энэ нь тайлбар бүхий нарийвчилсан шийдлийг өгдөг. Математик ба/эсвэл алгебрийн мэдлэгийг шалгах шийдлийн процессыг харуулдаг.

Энэ хөтөлбөр нь ахлах ангийн сурагчдад хэрэг болох юм дунд сургуулиуд-д бэлтгэж байна туршилтуудболон шалгалтууд, Улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгийг шалгахдаа эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах боломжтой. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу?гэрийн даалгавар

Математик эсвэл алгебр дээр үү? Энэ тохиолдолд та нарийвчилсан шийдэл бүхий манай програмуудыг ашиглаж болно. Ингэснээр та өөрийн сургалт болон/эсвэл сургалтаа явуулах боломжтой.дүү нар

эсвэл эгч нар, харин шийдэж байгаа асуудлын талбарт боловсролын түвшин нэмэгддэг. Хэрэв танд хэрэгтэй бол эсвэлолон гишүүнтийг хялбарчлах эсвэлолон гишүүнтүүдийг үржүүлэх

Олон гишүүнт хуваах
Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй байгаа бөгөөд програм ажиллахгүй байж магадгүй юм.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.

Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээгээрэй сек...

Хэрэв та шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Бүү март ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Бага зэрэг онол.

Олон гишүүнтийг олон гишүүнт (хоёр гишүүн) болгон хуваах нь баганаар (булан)

Алгебр дээр олон гишүүнтийг баганаар хуваах (булан)- олон гишүүнт f(x)-ийг олон гишүүнт (хос гишүүн) g(x)-д хуваах алгоритмын зэрэг нь f(x) олон гишүүнтээс бага буюу тэнцүү байна.

Олон гишүүнт хуваах алгоритм нь гараар хялбархан хэрэгжүүлэх боломжтой тоонуудыг баганад хуваах ерөнхий хэлбэр юм.

\(f(x) \) ба \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \) олон гишүүнтийн хувьд \(q(x) \) ба \(r() олон гишүүнт байдаг. x ) \) ийм байна
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
ба \(r(x)\) нь \(g(x)\)-аас бага зэрэгтэй байна.

Олон гишүүнтийг баганад (буланд) хуваах алгоритмын зорилго нь өгөгдсөн ногдол ашгийн \(f(x) \) хэсгийн \(q(x) \) ба үлдэгдлийг \(r(x) \) олох явдал юм. ба тэг бус хуваагч \(g(x) \)

Жишээ

Багана (булан) ашиглан нэг олон гишүүнийг өөр олон гишүүнт (хоёр гишүүн) хувацгаая:
\(\том \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

Дараах алхмуудыг хийснээр эдгээр олон гишүүнтүүдийн хуваалт ба үлдэгдлийг олж болно.
1. Ногдол ашгийн эхний элементийг хуваагчийн хамгийн дээд элементэд хувааж, үр дүнг \((x^3/x = x^2)\) мөрийн доор байрлуулна.

3. Үржүүлгийн дараа гарсан олон гишүүнтийг ногдол ашгаас хасаад үр дүнг \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x-) мөрийн доор бичнэ. 42) \)

4. Шугамын доор бичигдсэн олон гишүүнтийг ногдол ашиг болгон ашиглан өмнөх 3 алхмыг давтана.

5. 4-р алхамыг давт.

6. Алгоритмын төгсгөл.
Тиймээс \(q(x)=x^2-9x-27\) олон гишүүнт нь олон гишүүнт хуваагдах хэсэг, \(r(x)=-123\) нь олон гишүүнт хуваагдлын үлдэгдэл юм.

Олон гишүүнт хуваах үр дүнг хоёр тэгшитгэлийн хэлбэрээр бичиж болно.
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
эсвэл
\(\том(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \том(\frac(-123)(x-3)) \)

Буцах Урагшаа

Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та сонирхож байгаа бол энэ ажил, бүрэн хувилбарыг нь татаж авна уу.

Хичээлийн төрөл: Анхан шатны мэдлэгийг эзэмших, нэгтгэх хичээл.

Хичээлийн зорилго:

• Оюутнуудад олон гишүүнтийн язгуурын тухай ойлголтыг танилцуулж, тэдгээрийг хэрхэн олохыг заах.
• Олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваах Хорнерийн схемийг ашиглах чадварыг сайжруулах.
• Хорнерын схемийг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг олж сурах.
• Хийсвэр сэтгэлгээг хөгжүүлэх.
• Тооцооллын соёлыг төлөвшүүлэх.

Салбар хоорондын холбоог хөгжүүлэх.

Хичээлийн явц

1. Зохион байгуулалтын мөч.

Хичээлийн сэдвийг мэдээлэх, зорилгоо тодорхойлох.

2. Гэрийн даалгавраа шалгах.

3. Шинэ материал судлах. = Fn(x) байг - a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 a 0 , a 1 ,...,a n тоонууд өгөгдсөн бөгөөд 0 нь 0-тэй тэнцүү биш n зэрэгтэй х олон гишүүнт. Хэрэв F n (x) олон гишүүнт үлдэгдэлд хуваагдвалбином х-а , тэгвэл хэсэг (бүрэн бус хэсэг) нь n-1 зэрэгтэй Q n-1 (x) олон гишүүнт, R үлдэгдэл нь тоо, тэгш байдал нь үнэн болно. F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.

Олон гишүүнт F n (x) нь зөвхөн R=0 тохиолдолд хоёр гишүүнд (х-а) хуваагдана. Безутын теорем: F n (x) олон гишүүнт хоёр гишүүнд (x-a) хуваагдахад R үлдэнэ.утгатай тэнцүү байна

олон гишүүнт F n (x) нь x=a, i.e. R=Pn(a).

Жаахан түүх. Безоутын теорем нь хэдийгээр энгийн бөгөөд ойлгомжтой боловч олон гишүүнтийн онолын үндсэн теоремуудын нэг юм. Энэ теорем нь олон гишүүнтийн алгебрийн шинж чанарыг (энэ нь олон гишүүнтийг бүхэл тоо гэж үзэх боломжийг олгодог) тэдгээрийн функциональ шинж чанартай (энэ нь олон гишүүнтийг функц гэж үзэх боломжийг олгодог) холбодог. Дээд зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдэх нэг арга бол тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа олон гишүүнтийг хүчинжүүлэх явдал юм. Олон гишүүнт болон үлдэгдлийн коэффициентүүдийн тооцоог Horner схем гэж нэрлэгддэг хүснэгт хэлбэрээр бичнэ. Хорнерийн схем нь олон гишүүнт хуваах алгоритм бөгөөд энэ нь хоёр гишүүнтэй тэнцүү байх тохиолдолд тусгай тохиолдлоор бичигдсэн байдаг..

х–а Хорнер Уильям Жорж (1786 - 1837), Английн математикч. Суурь судалгаа нь онолтой холбоотойалгебрийн тэгшитгэл

. Аль ч зэрэгтэй тэгшитгэлийг ойролцоогоор шийдэх аргыг боловсруулсан. 1819 онд тэрээр олон гишүүнтийг x - a (Хорнерийн схем) хоёр гишүүнээр хуваах алгебрийн чухал аргыг нэвтрүүлсэн. Дүгнэлтерөнхий томъёо

f(x) олон гишүүнт үлдэгдлийг хоёр гишүүнд (x-c) хуваана гэдэг нь f(x)=(x-c)q(x)+r олон гишүүнт q(x) ба r тоог олно гэсэн үг.

Энэ тэгш байдлыг дэлгэрэнгүй бичье:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2) x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

Коэффициентийг ижил зэрэгтэй тэнцүүлж үзье.

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1.

Хорнерын хэлхээг жишээ ашиглан үзүүлэх.

Даалгавар 1.Хорнерын схемийг ашиглан бид олон гишүүнт f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 үлдэгдэлтэй хоёр гишүүнт x-2-т хуваана.

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, энд g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 үлдэгдэл.

Олон гишүүнийг хоёр гишүүний зэрэглэлээр өргөтгөх.

Хорнерын схемийг ашиглан бид олон гишүүнийг f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 хоёр гишүүний (x+2) зэрэглэлээр өргөжүүлэв.

Үүний үр дүнд бид f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) өргөтгөлийг авах ёстой. )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12

Хорнерын схемийг ихэвчлэн гурав, дөрөв, түүнээс дээш зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд олон гишүүнтийг хоёр гишүүнт x-a болгон өргөжүүлэхэд тохиромжтой үед ашигладаг. Тоо адуудсан олон гишүүнтийн үндэс F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, хэрэв үед бол x=a F n (x) олон гишүүнтийн утга тэгтэй тэнцүү байна: F n (a)=0, өөрөөр хэлбэл. олон гишүүнт x-a хоёр гишүүнд хуваагддаг бол.

Жишээлбэл, F 3 (2)=0 тул 2 тоо нь F 3 (x)=3x 3 -2x-20 олон гишүүнтийн үндэс болно. гэсэн үг. Энэ олон гишүүнтийг үржүүлэх нь x-2 хүчин зүйлийг агуулна.

F 3 (х)=3х 3 -2х-20=(х-2)(3х 2 +6х+10).

Аливаа олон гишүүнт F n(x) зэрэгтэй n 1 илүү байж болохгүй nжинхэнэ үндэс.

Бүхэл тооны коэффициент бүхий тэгшитгэлийн бүхэл язгуур нь түүний чөлөөт гишүүний хуваагч юм.

Хэрэв тэгшитгэлийн тэргүүлэх коэффициент нь 1 бол тэгшитгэлийн бүх рационал язгуурууд нь бүхэл тоо болно.

Судалсан материалыг нэгтгэх.

Шинэ материалыг нэгтгэхийн тулд оюутнуудыг сурах бичгийн 2.41 ба 2.42 (х. 65) дугааруудыг бөглөхийг урьж байна.

(2 сурагч самбар дээр шийдэж, үлдсэн нь шийдээд дэвтэр дээрх даалгавруудыг самбар дээрх хариултуудтай хамт шалгана).

Дүгнэж байна.

Хорнер схемийн бүтэц, үйл ажиллагааны зарчмыг ойлгосны дараа үүнийг аравтын тооллын системээс бүхэл тоонуудыг хоёртын систем рүү хөрвүүлэх асуудлыг авч үзэхэд компьютерийн шинжлэх ухааны хичээлд ашиглаж болно. Нэг тооллын системээс нөгөөд шилжих үндэс нь дараах ерөнхий теорем юм

Теорем.Бүхэл тоог хөрвүүлэхийн тулд Ап-аас х-арь тооллын системээс суурь тооллын систем гшаардлагатай Апүлдэгдлийг тоогоор дараалан хуваана г, ижил хэлбэрээр бичсэн хүр дүнгийн коэффициент тэгтэй тэнцэх хүртэл -ary систем. Хэсгийн үлдэгдэл нь байх болно г- тоон цифрүүд Зар, хамгийн залуу ангиллаас эхлээд хамгийн ахмад хүртэл. Бүх үйлдлийг дотор хийх ёстой х-ари тооллын систем. Хүний хувьд энэ дүрэмзөвхөн үед тохиромжтой х= 10, өөрөөр хэлбэл. орчуулах үед -аасаравтын систем. Компьютерийн хувьд эсрэгээр, хоёртын системд тооцоолол хийх нь "илүү тохиромжтой" юм. Тиймээс "2-оос 10"-ыг хөрвүүлэхийн тулд хоёртын системд араваар дараалан хуваахыг ашигладаг бөгөөд "10-аас 2" нь аравын хүчийг нэмэх явдал юм. "10-д 2" процедурын тооцоог оновчтой болгохын тулд компьютер нь Horner-ийн хэмнэлттэй тооцоолох схемийг ашигладаг.

Гэрийн даалгавар. Хоёр ажлыг гүйцэтгэхийг санал болгож байна.

1-р. Хорнерын схемийг ашиглан f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд (х-3) хуваа.

2 дахь. f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 олон гишүүнтийн бүхэл язгуурыг ол (бүхэл тоон коэффициенттэй тэгшитгэлийн бүхэл язгуур нь чөлөөт гишүүний хуваагч гэдгийг харгалзан).

Уран зохиол.

1. Курош A.G. "Дээд алгебрийн курс."
2. Никольский С.М., Потапов М.К. 10-р анги "Алгебр ба математикийн анализын эхлэл".
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.

Вэбсайт " мэргэжлийн багшМатематикт" циклийг үргэлжлүүлж байна арга зүйн нийтлэлбагшлах тухай. Би сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийн хамгийн төвөгтэй, асуудалтай сэдвүүдээр хийсэн ажлынхаа аргын тайлбарыг нийтэлдэг. Энэхүү материал нь 8-11-р ангийн сурагчидтай ажилладаг математикийн багш, багш нарт ердийн хөтөлбөр болон математикийн хичээлийн хөтөлбөрт тустай байх болно.

Математикийн багш сурах бичигт тааруухан оруулсан материалыг үргэлж тайлбарлаж чаддаггүй. Харамсалтай нь ийм сэдвүүд улам олширч, гарын авлагыг зохиогчдын араас илтгэх алдаанууд бөөнөөр гарч байна. Энэ нь математикийн анхан шатны багш, цагийн багш нарт (багш нь оюутнууд, их сургуулийн багш нар) төдийгүй туршлагатай багш, мэргэжлийн багш, туршлага, ур чадвар бүхий багш нарт хамаарна. Чадварлаг барзгар засуулагчийн авьяас сургуулийн сурах бичигМатематикийн багш болгонд ийм зүйл байдаггүй. Эдгээр залруулга (эсвэл нэмэлт) шаардлагатай гэдгийг хүн бүр ойлгодоггүй. Цөөн тооны хүүхдүүд материалыг чанарын хувьд хүүхдийн ойлголтод нийцүүлэн тохируулах ажилд оролцдог. Харамсалтай нь математикийн багш нар арга зүйч, нийтлэл зохиогчидтой хамтран сурах бичгийн үсэг болгоныг бөөнөөр нь хэлэлцдэг цаг өнгөрсөн. Өмнө нь сурах бичгийг сургуулиудад гаргахаас өмнө сургалтын үр дүнгийн талаар нухацтай дүн шинжилгээ хийж, судалгаа хийдэг байсан. Сурах бичгийг математикийн хичээлийн стандартад тохируулан бүх нийтийнх болгохыг эрмэлздэг сонирхогчдын цаг иржээ.

Мэдээллийн хэмжээг нэмэгдүүлэх уралдаан нь зөвхөн түүнийг шингээх чанар буурч, үүний үр дүнд математикийн бодит мэдлэгийн түвшин буурахад хүргэдэг. Гэвч хэн ч үүнийг анхаарч үздэггүй. Манай хүүхдүүд аль хэдийн 8-р ангид байхдаа институтэд сурч байсан зүйлээ судлахыг албаддаг: магадлалын онол, тэгшитгэл шийдвэрлэх өндөр зэрэгтэйбас өөр зүйл. Номын материалыг хүүхдэд бүрэн ойлгуулахын тулд дасан зохицох нь маш их зүйлийг хүсдэг бөгөөд математикийн багш үүнийг ямар нэгэн байдлаар шийдвэрлэхээс өөр аргагүй болдог.

Насанд хүрэгчдийн математикт "Безутын теорем ба Хорнерын схем" гэж илүү сайн мэддэг "олон гишүүнийг олон гишүүнт булангаар хуваах" гэх мэт тодорхой сэдвийг заах арга зүйн талаар ярилцъя. Хэдэн жилийн өмнө энэ асуулт математикийн багшийн хувьд тийм ч хэцүү биш байсан, учир нь энэ нь үндсэн асуултын нэг хэсэг биш байв. сургуулийн сургалтын хөтөлбөр. Одоо Теляковскийн найруулсан сурах бичгийн нэр хүндтэй зохиогчид миний бодлоор хамгийн шилдэг сурах бичиг болох хамгийн сүүлийн хэвлэлд өөрчлөлт оруулсан бөгөөд үүнийг бүрэн сүйтгэж, багшид шаардлагагүй санаа зовнилыг л нэмсэн. Математикийн статусгүй сургууль, ангийн багш нар зохиолчдын шинэлэг зүйлд анхаарлаа хандуулж, хичээлдээ нэмэлт догол мөр оруулах болсон бол сониуч хүүхдүүд математикийн сурах бичгийнхээ үзэсгэлэнтэй хуудсыг үзэж, Багш: "Энэ юун булангаар хуваагдах вэ? Бид үүнийг даван туулах гэж байна уу? Хэрхэн булангаа хуваалцах вэ? Ийм шууд асуултаас нуух зүйл алга. Багш нь хүүхдэд ямар нэгэн зүйл хэлэх ёстой.

Яаж? Сурах бичигт тухайн сэдэвтэй хэрхэн ажиллах аргыг зөв тайлбарласан бол би бичихгүй байсан байх. Бидэнтэй хамт бүх зүйл хэрхэн явагдаж байна вэ? Сурах бичгийг хэвлэж борлуулах хэрэгтэй. Үүний тулд тэдгээрийг байнга шинэчилж байх шаардлагатай. Их сургуулийн багш нар хүүхдүүдтэй хамт ирдэг гэж гомдоллодог хоосон толгой, мэдлэг чадваргүй юу? -д тавигдах шаардлага математикийн мэдлэгөсөх үү? Гайхалтай! Зарим дасгалуудыг хасаад оронд нь бусад хөтөлбөрт судлагдсан сэдвүүдийг оруулъя. Манай сурах бичиг яагаад муу байна вэ? Бид нэмэлт бүлгүүдийг оруулах болно. Сургуулийн хүүхдүүд буланг хуваах дүрмийг мэдэхгүй байна уу? Энэ ч мөн адил анхан шатны математик. Энэ догол мөрийг "илүү ихийг мэдэхийг хүссэн хүмүүст" гэсэн гарчигтай нэмэлтээр оруулах ёстой. Багш нар үүнийг эсэргүүцэж байна уу? Ер нь бид яагаад багш нарт санаа тавьдаг вэ? Арга зүйч, сургуулийн багш нар ч үүнийг эсэргүүцэж байна? Бид материалыг хүндрүүлэхгүй бөгөөд түүний хамгийн энгийн хэсгийг авч үзэх болно.

Эндээс л эхэлдэг. Сэдвийн энгийн байдал, түүнийг шингээх чанар нь юуны түрүүнд сурах бичгийн зохиогчдын зааврын дагуу бие биентэйгээ тодорхой холбоогүй тодорхой үйлдлүүдийг хийхдээ бус харин түүний логикийг ойлгоход оршдог. . Үгүй бол оюутны толгойд манан үүснэ. Хэрэв зохиогчид харьцангуй хүчирхэг оюутнуудад (гэхдээ ердийн хөтөлбөрт суралцаж байгаа) онилсон бол та сэдвийг команд хэлбэрээр танилцуулах ёсгүй. Сурах бичигт бид юу харж байна вэ? Хүүхдүүд ээ, бид энэ дүрмийн дагуу хуваах ёстой. Өнцгийн доорх олон гишүүнтийг авна уу. Тиймээс анхны олон гишүүнт хүчин зүйлчлэгдэх болно. Гэсэн хэдий ч булангийн доорх нэр томъёог яагаад яг ингэж сонгосон, яагаад тэдгээрийг булангийн дээрх олон гишүүнтээр үржүүлж, дараа нь одоогийн үлдэгдэлээс хасах ёстойг ойлгох нь тодорхойгүй байна. Хамгийн гол нь сонгосон мономиалуудыг яагаад эцэст нь нэмэх ёстой, яагаад үүссэн хаалт нь анхны олон гишүүнтийн өргөтгөл болох нь тодорхойгүй байна. Ямар ч чадварлаг математикч сурах бичигт өгсөн тайлбар дээр тод асуултын тэмдэг тавина.

Би багш, математикийн багш нарын анхааралд сурах бичигт заасан бүх зүйлийг оюутнуудад ойлгомжтой болгодог асуудлынхаа шийдлийг хүргэж байна. Үнэн хэрэгтээ бид Безоутын теоремыг батлах болно: хэрэв a тоо нь олон гишүүнтийн үндэс бол энэ олон гишүүнт хүчин зүйл болгон задалж болно, тэдгээрийн нэг нь x-a, хоёр дахь нь анхныхаас гурван аргын аль нэгээр гарна. хувиргах замаар шугаман хүчин зүйлийг тусгаарлах, булангаар хуваах эсвэл Хорнерийн схемээр. Энэ томъёолол нь математикийн багш ажиллахад хялбар байх болно.

Сургалтын арга зүй гэж юу вэ? Юуны өмнө энэ нь математикийн дүгнэлтийг гаргахад үндэслэсэн тайлбар, жишээнүүдийн дарааллаар тодорхой дараалал юм. Энэ сэдэвүл хамаарах зүйл байхгүй. Математикийн багш хүүхдэд Безутын теоремыг танилцуулах нь маш чухал юм булангаар хуваахаас өмнө. Энэ бол маш чухал! Ойлголтод хүрэх хамгийн сайн арга бол тодорхой жишээ. Сонгогдсон язгууртай олон гишүүнтийг авч, 7-р ангиасаа эхлэн сургуулийн сурагчдад танил болсон аргаар хүчин зүйлд хуваах аргачлалыг үзүүлье. таних тэмдгийн өөрчлөлтүүд. Математикийн багшийн зохих тайлбар, онцлон, зөвлөмжийг авснаар материалыг ямар ч ерөнхий математик тооцоолол, дурын коэффициент, зэрэггүйгээр дамжуулах бүрэн боломжтой.

Математикийн багш нарт өгөх чухал зөвлөгөө- зааврыг эхнээс нь дуустал дагаж мөрдөж, энэ дарааллыг бүү өөрчил.

Тэгэхээр бидэнд олон гишүүнт байна гэж бодъё. Хэрэв бид X-ийн оронд 1-ийн тоог орлуулбал олон гишүүнтийн утга тэгтэй тэнцүү болно. Тиймээс x=1 нь түүний үндэс юм. Нэг нь шугаман илэрхийлэл ба зарим нэг мономиалын үржвэр, хоёр дахь нь -ээс нэг зэрэгтэй байхаар хоёр гишүүнд задлахыг оролдъё. Өөрөөр хэлбэл, үүнийг хэлбэрээр илэрхийлье

Бид улаан талбарт мономиалыг сонгодог бөгөөд ингэснээр тэргүүлэгч гишүүнээр үржүүлэхэд энэ нь анхны олон гишүүнтийн тэргүүлэх гишүүнтэй бүрэн давхцдаг. Хэрэв сурагч хамгийн сул нь биш бол математикийн багшид шаардлагатай илэрхийлэлийг хэлэх чадвартай байх болно. Багшаас нэн даруй улаан талбарт оруулахыг хүсэх хэрэгтэй бөгөөд тэдгээрийг нээхэд юу болохыг харуулах хэрэгтэй. Энэхүү виртуал түр зуурын олон гишүүнтийг сумны доор (жижиг зургийн доор) гарын үсэг зурж, зарим өнгөөр, жишээлбэл, цэнхэр өнгөөр ​​тодруулах нь хамгийн сайн арга юм. Энэ нь сонголтын үлдсэн хэсэг гэж нэрлэгддэг улаан талбарт нэр томъёог сонгоход тусална. Энэ үлдэгдлийг хасах замаар олж болно гэдгийг энд онцлон хэлэхийг багш нарт зөвлөж байна. Энэ үйлдлийг хийснээр бид дараахь зүйлийг авна.

Математикийн багш сурагчийн анхаарлыг энэ тэгшитгэлд нэгийг орлуулснаар зүүн талд нь тэг авах баталгаатай (1 нь анхны олон гишүүнтийн үндэс учир), харин баруун талд нь мэдээжийн хэрэг байх ёстой. мөн эхний хугацааг тэглэх болно. Энэ нь ямар ч баталгаагүйгээр "ногоон үлдэгдэл"-ийн үндэс гэж хэлж болно гэсэн үг юм.

Үүнийг анхны олон гишүүнттэй адилтгаж, түүнээс тусгаарлаж авч үзье шугаман үржүүлэгч. Математикийн багш сурагчийн өмнө хоёр жааз зурж, зүүнээс баруун тийш бөглөхийг хүснэ.

Сурагч багшдаа зориулж улаан талбарт мономиал сонгох бөгөөд ингэснээр шугаман илэрхийллийн хамгийн дээд гишүүнээр үржүүлбэл тэлэх олон гишүүнтийн хамгийн дээд гишүүнийг өгнө. Бид үүнийг хүрээнд суулгаж, хаалтыг нэн даруй нээж, нугалах хэсгээс хасах шаардлагатай илэрхийлэлийг цэнхэр өнгөөр ​​тодруулна. Энэ үйлдлийг хийснээр бид олж авдаг

Эцэст нь, сүүлчийн үлдэгдэлтэй ижил зүйлийг хий

бид үүнийг эцэст нь авах болно

Одоо илэрхийллийг хаалтнаас гаргаж авъя, бид анхны олон гишүүнт хүчин зүйл болгон задралыг харах болно, тэдгээрийн нэг нь "х хассан язгуур" юм.

Сүүлчийн "ногоон үлдэгдэл" нь санамсаргүйгээр шаардлагатай хүчин зүйлүүдэд задарсан гэж сурагчийг бодохоос сэргийлэхийн тулд математикийн багш зааж өгөх ёстой. чухал өмчбүх ногоон үлдэгдлүүдийн - тус бүр нь 1 үндэстэй. Эдгээр үлдэгдлийн зэрэг нь багасч, анхны олон гишүүнтийн аль зэрэг нь бидэнд өгөгдсөнөөс үл хамааран бид эрт орой хэзээ нэгэн цагт язгуур 1-тэй шугаман "ногоон үлдэгдэл" авах болно. тиймээс энэ нь бүтээгдэхүүнд тодорхой тоо, илэрхийлэлийг заавал задлах болно.

Үүний дараа бэлтгэл ажилМатематикийн багш сурагчдад булангаар хуваахад юу болдгийг тайлбарлахад хэцүү биш байх болно. Энэ нь ижил төстэй үйл явц бөгөөд зөвхөн богино бөгөөд илүү нягт хэлбэрээр, ижил тэмдэггүй, тодруулсан нэр томъёог дахин бичихгүй. Шугаман хүчин зүйлийг гаргаж авсан олон гишүүнийг булангийн зүүн талд бичиж, сонгосон улаан мономиалуудыг өнцгөөр цуглуулж (одоо тэд яагаад нэмэгдэх ёстой нь тодорхой болсон), "цэнхэр олон гишүүнт", "улаан" -ийг олж авна. ” нэгийг x-1-ээр үржүүлээд одоо сонгогдсоноос хасах хэрэгтэй. энгийн хэлтэсбаганад байгаа тоонууд (энд өмнө нь судалж байсан зүйлтэй аналоги байна). Үүссэн "ногоон үлдэгдэл" нь "улаан мономиал" -ыг шинээр тусгаарлаж, сонгон авдаг. Ингээд "ногоон баланс"-ыг тэглэх хүртэл үргэлжилнэ. Хамгийн гол нь оюутан ойлгодог байх ёстой цаашдын хувь заяаөнцгийн дээр ба доор бичсэн олон гишүүнтүүд. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр нь үржвэр нь анхны олон гишүүнттэй тэнцүү хаалтууд юм.

Математикийн багшийн ажлын дараагийн үе шат бол Безутын теоремыг томъёолох явдал юм. Үнэн хэрэгтээ, багшийн ийм хандлагаар түүний томъёолол тодорхой болж байна: хэрэв a тоо нь олон гишүүнтийн үндэс бол түүнийг хүчин зүйлчлэх боломжтой, нэг нь , нөгөөг нь анхныхаас гурван аргын аль нэгээр авна. :

• шууд задрал (бүлэглэх аргын адил)
• булангаар хуваах (багананд)
• Хорнерын хэлхээгээр

Математикийн багш нар бүгдээрээ биш, харин оюутнуудад хорнер диаграмыг үзүүлдэггүй гэдгийг хэлэх ёстой сургуулийн багш нар(Аз болоход багш нар өөрсдөө) хичээлийн үеэр тэд сэдвийг маш гүнзгийрүүлдэг. Гэсэн хэдий ч оюутны хувьд математикийн хичээлБи урт хуваагдал дээр зогсох ямар ч шалтгаан олж харахгүй байна. Түүнээс гадна, хамгийн тохиромжтой, хурданЗадрах техник нь яг Хорнерын схем дээр суурилдаг. Хүүхдэд энэ нь хаанаас ирснийг тайлбарлахын тулд буланд хуваах жишээг ашиглан ногоон үлдэгдэлд илүү өндөр коэффициент гарч ирснийг ажиглахад хангалттай. Анхны олон гишүүнтийн тэргүүлэх коэффициентийг эхний "улаан мономиал" -ын коэффициент, цаашлаад одоогийн дээд олон гишүүнтийн хоёр дахь коэффициентээс авах нь тодорхой болж байна. хасагдсан“улаан мономиал”-ын одоогийн коэффициентийг үржүүлсний үр дүн. Тиймээс боломжтой нэмэх-ээр үржүүлсний үр дүн. Оюутны анхаарлыг коэффициент бүхий үйлдлүүдийн онцлогт төвлөрүүлсний дараа математикийн багш хувьсагчдыг өөрөө бүртгэхгүйгээр эдгээр үйлдлүүд хэрхэн хийгддэгийг харуулж чадна. Үүнийг хийхийн тулд анхны олон гишүүнтийн үндэс ба коэффициентийг дараах хүснэгтэд эрэмбэлэх дарааллаар оруулах нь тохиромжтой.

Хэрэв олон гишүүнт аль нэг зэрэг байхгүй бол түүний тэг коэффициентийг хүснэгтэд оруулах болно. "Улаан олон гишүүнт" -ийн коэффициентийг "дэгээ" дүрмийн дагуу доод мөрөнд нэг нэгээр нь оруулна.

Үндэсийг сүүлчийн улаан коэффициентээр үржүүлж, дээд мөрөнд дараагийн коэффициент дээр нэмж, үр дүнг доод мөрөнд бичнэ. Сүүлийн баганад бид сүүлчийн "ногоон үлдэгдэл" -ийн хамгийн өндөр коэффициентийг, өөрөөр хэлбэл тэг авах баталгаатай болно. Процесс дууссаны дараа тоонууд тохирсон үндэс болон тэг үлдэгдэл хооронд хавчуулагдсанхоёр дахь (шугаман бус) хүчин зүйлийн коэффициентүүд болж хувирна.

А үндэс нь доод мөрийн төгсгөлд тэг өгдөг тул Хорнерийн схемийг олон гишүүнтийн язгуурын гарчгийн тоог шалгахад ашиглаж болно. Хэрэв тусгай сонголтын теорем оновчтой үндэс. Түүний тусламжтайгаар олж авсан энэ цолыг авах бүх нэр дэвшигчдийг зүгээр л зүүнээс Horner-ийн диаграммд оруулав. Бид тэгийг авмагц шалгасан тоо нь язгуур байх бөгөөд үүний зэрэгцээ анхны олон гишүүнтийг түүний мөрөнд хуваах коэффициентийг авах болно. Маш тохиромжтой.

Эцэст нь хэлэхэд, Хорнерын схемийг үнэн зөв нэвтрүүлэх, мөн сэдвийг практикт нэгтгэхийн тулд математикийн багш өөрийн мэдэлд байх ёстой гэдгийг тэмдэглэхийг хүсч байна. хангалттай тоо хэмжээцаг. "Долоо хоногт нэг удаа" горимоор ажилладаг багш нь булангийн хуваагдалд оролцох ёсгүй. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалт, Улсын Математикийн Академийн хувьд эхний хэсэгт ийм аргаар шийдэж болох гурав дахь зэрэгтэй тэгшитгэлтэй тулгарах магадлал багатай юм. Хэрэв багш хүүхдийг Москвагийн Улсын Их Сургуульд математикийн шалгалтанд бэлдэж байгаа бол тухайн сэдвийг судлах шаардлагатай болно. Их сургуулийн багш нар Улсын нэгдсэн шалгалтыг эмхэтгэгчдээс ялгаатай нь өргөдөл гаргагчийн мэдлэгийн гүнийг шалгах дуртай байдаг.

Колпаков Александр Николаевич, математикийн багш Москва, Строгино

Тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ ихэвчлэн гурав ба түүнээс дээш зэрэгтэй олон гишүүнт хүчин зүйл хийх шаардлагатай болдог. Энэ нийтлэлд бид үүнийг хийх хамгийн хялбар аргыг авч үзэх болно.

Ердийнх шигээ тусламж авахын тулд онол руу хандъя.

Безутын теоремолон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваахад үлдэгдэл нь .

Гэхдээ бидний хувьд чухал зүйл бол теорем өөрөө биш, харин үүнээс гарсан үр дүн:

Хэрэв тоо нь олон гишүүнтийн үндэс бол олон гишүүнт хоёр гишүүнд үлдэгдэлгүй хуваагдана.

Бид олон гишүүнтийн ядаж нэг язгуурыг олох, дараа нь олон гишүүнтийг -д хуваах, олон гишүүнтийн үндэс хаана байна гэсэн даалгавартай тулгарч байна. Үүний үр дүнд бид зэрэг нь анхныхаас нэгээр бага олон гишүүнтийг олж авдаг. Дараа нь шаардлагатай бол процедурыг давтаж болно.

Энэ даалгавар нь хоёр хэсэгт хуваагдана: олон гишүүнтийн үндсийг хэрхэн олох, олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хэрхэн хуваах.

Эдгээр цэгүүдийг нарийвчлан авч үзье.

1. Олон гишүүнтийн язгуурыг хэрхэн олох вэ.

Эхлээд бид 1 ба -1 тоо нь олон гишүүнтийн үндэс мөн эсэхийг шалгана.

Дараахь баримтууд энд бидэнд туслах болно.

Хэрэв олон гишүүнтийн бүх коэффициентүүдийн нийлбэр тэг байвал уг тоо нь олон гишүүнтийн үндэс болно.

Жишээлбэл, олон гишүүнтэд коэффициентүүдийн нийлбэр тэг байна: . Олон гишүүнтийн үндэс нь юу болохыг шалгахад хялбар байдаг.

Хэрэв олон гишүүнт тэгш тоот коэффициентүүдийн нийлбэр нь сондгой зэрэглэлийн коэффициентүүдийн нийлбэртэй тэнцүү бол тухайн тоо нь олон гишүүнтийн үндэс болно., a нь тэгш тоо тул чөлөөт нэр томъёог тэгш хэмийн коэффициент гэж үзнэ.

Жишээлбэл, олон гишүүнт тэгш байдлын коэффициентүүдийн нийлбэр нь: , сондгой тооны коэффициентүүдийн нийлбэр нь: . Олон гишүүнтийн үндэс нь юу болохыг шалгахад хялбар байдаг.

Хэрэв 1 ба -1 нь олон гишүүнтийн үндэс биш бол бид цаашаа явна.

Багасгасан зэрэгтэй олон гишүүнтийн хувьд (өөрөөр хэлбэл тэргүүлэх коэффициент нь - дахь коэффициент болох олон гишүүнт) нэгтэй тэнцүү) Виетийн томъёо хүчинтэй байна:

Олон гишүүнтийн үндэс хаана байна.

Олон гишүүнтийн үлдсэн коэффициентүүдийн талаархи Виетийн томъёо байдаг, гэхдээ бид үүнийг сонирхож байна.

Энэхүү Вьета томъёоноос ийм зүйл гарч ирнэ хэрэв олон гишүүнтийн язгуурууд бүхэл тоо бол тэдгээр нь түүний чөлөөт гишүүний хуваагч бөгөөд энэ нь мөн бүхэл тоо юм.

Үүнд үндэслэн, бид олон гишүүнтийн чөлөөт гишүүнийг хүчин зүйл болгож, багаас том руу дараалан аль хүчин зүйл нь олон гишүүнтийн үндэс болохыг шалгах хэрэгтэй.

Жишээлбэл, олон гишүүнтийг авч үзье

Чөлөөт нэр томъёоны хуваагч: ;

;

;

Олон гишүүнтийн бүх коэффициентүүдийн нийлбэр нь -тэй тэнцүү тул 1-ийн тоо нь олон гишүүнтийн үндэс биш юм.

Тэгш чадлын коэффициентүүдийн нийлбэр:

Сондгой зэрэглэлийн коэффициентүүдийн нийлбэр:

Тиймээс -1 тоо нь олон гишүүнтийн үндэс биш юм.

2-ын тоо олон гишүүнтийн үндэс мөн эсэхийг шалгая: тиймээс 2-ын тоо нь олон гишүүнтийн үндэс мөн. Энэ нь Безутын теоремийн дагуу олон гишүүнт үлдэгдэлгүй хоёр гишүүнд хуваагддаг гэсэн үг юм.

2. Олон гишүүнтийг хоёр гишүүнт хэрхэн хуваах вэ.

Олон гишүүнтийг хоёр гишүүнт баганаар хувааж болно.

Баганыг ашиглан олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваа. Олон гишүүнтийг хоёр гишүүнээр хуваах өөр нэг арга бий - Хорнерийн схем.

Үүнийг ойлгохын тулд энэ видеог үзээрэй

олон гишүүнтийг баганатай хоёр гишүүнд хэрхэн хуваах, Хорнерын диаграммыг ашиглах.

Хэрэв баганаар хуваахдаа анхны олон гишүүнт үл мэдэгдэх зүйлийн тодорхой хэмжээгээр дутуу байвал түүний оронд 0 гэж бичнэ, энэ нь Хорнерын схемийн хүснэгтийг эмхэтгэхтэй адилаар гэдгийг би тэмдэглэж байна. Тиймээс, хэрэв бид олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваах шаардлагатай бол хуваагдлын үр дүнд олон гишүүнтийг олж авбал Хорнерийн схемийг ашиглан олон гишүүнтийн коэффициентийг олж болно.Бид бас ашиглаж болно Хорнерын схембайгаа эсэхийг шалгахын тулд

өгсөн дугаар

олон гишүүнтийн үндэс: хэрэв тоо нь олон гишүүнтийн язгуур бол олон гишүүнтийг хуваахад үлдэгдэл нь тэгтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл Хорнерын диаграммын хоёр дахь эгнээний сүүлчийн баганад бид 0-ийг авна.Хорнерын схемийг ашиглан бид "хоёр шувууг нэг чулуугаар ална": бид энэ тоо нь олон гишүүнтийн үндэс мөн эсэхийг нэгэн зэрэг шалгаж, энэ олон гишүүнтийг хоёр гишүүнээр хуваадаг.

Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд:

1. Чөлөөт гишүүний хуваагчдыг бичиж, олон гишүүнтийн язгуурыг чөлөөт гишүүний хуваагчдаас хайцгаая.

24-ийг хуваагч:

2. 1-ийн тоо олон гишүүнтийн үндэс мөн эсэхийг шалгая.

Олон гишүүнтийн коэффициентүүдийн нийлбэр тул 1-ийн тоо нь олон гишүүнтийн үндэс болно.

Агуулсан нэр томъёо байхгүй тул коэффициентийг бичих хүснэгтийн баганад бид 0 гэж бичнэ. Зүүн талд бид олсон язгуурыг бичнэ: 1-ийн тоо.

B) Хүснэгтийн эхний мөрийг бөглөнө үү.

Сүүлчийн баганад хүлээгдэж байгаачлан бид анхны олон гишүүнтийг үлдэгдэлгүй хоёр гишүүнээр хуваасан. Хуваалтын үр дүнд бий болсон олон гишүүнтийн коэффициентийг хүснэгтийн хоёр дахь мөрөнд цэнхэр өнгөөр ​​үзүүлэв.

1 ба -1 тоо нь олон гишүүнтийн үндэс биш гэдгийг шалгахад амархан

B) Хүснэгтийг үргэлжлүүлье. 2 тоо нь олон гишүүнтийн үндэс мөн эсэхийг шалгацгаая.

Тиймээс нэгээр хуваагдсаны үр дүнд олж авсан олон гишүүнтийн зэрэг нь анхны олон гишүүнтийн зэргээс бага тул коэффициентийн тоо, баганын тоо нэгээр бага байна.

Сүүлийн баганад бид -40-ыг авсан - тэгтэй тэнцүү биш тоо, тиймээс олон гишүүнт нь үлдэгдэлтэй хоёр гишүүнд хуваагддаг бөгөөд 2 тоо нь олон гишүүнтийн үндэс биш юм.

C) -2 тоо олон гишүүнтийн үндэс мөн эсэхийг шалгая. Өмнөх оролдлого бүтэлгүйтсэн тул коэффициентүүдтэй андуурахгүйн тулд би энэ оролдлогод тохирох мөрийг арилгах болно.

Гайхалтай! Бид тэгийг үлдэгдэл болгон авсан тул олон гишүүнт үлдэгдэлгүй хоёр гишүүнд хуваагдсан тул -2 тоо нь олон гишүүнтийн үндэс юм. Олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваах замаар олж авсан олон гишүүнтийн коэффициентийг хүснэгтэд ногоон өнгөөр ​​үзүүлэв.

Хуваалтын үр дүнд бид авсан квадрат гурвалжин , түүний үндсийг Виетийн теоремыг ашиглан хялбархан олох боломжтой:

Тиймээс анхны тэгшитгэлийн үндэс нь:

{}

Хариулт: ( }