Гурвалжин бол геометрийн үндсэн хэлбэрүүдийн нэг юм. Зөвхөн түүнд "сайхан" оноо бий. Үүнд: төв хүндийн хүч– зураг бүрийн жинг авчрах цэг. Энэ "сэтгэл татам" цэг хаана байна, яаж олох вэ?
Танд хэрэгтэй болно
- харандаа, захирагч
Заавар
1. Гурвалжинг өөрөө зур. Үүнийг хийхийн тулд захирагч аваад харандаагаар шугам зур. Дараа нь өмнөх нэг төгсгөлийн аль нэгээс эхлэн өөр сегментийг зур. Сегментүүдийн үлдсэн хоёр чөлөөт цэгийг нэгтгэн дүрсийг хаа. Үр дүн нь гурвалжин юм. Энэ бол түүнийх байсан төв хүндийн хүчолдох.
2. Захирагч аваад нэг талын уртыг хэмжинэ. Энэ талын дунд хэсгийг олоод харандаагаар тэмдэглээрэй. -аас сегмент зур эсрэг оройзаасан цэг рүү. Үүссэн сегментийг медиан гэж нэрлэдэг.
3. 2-р тал руу яв. Уртыг нь хэмжиж, хоёр тэнцүү хэсэгт хувааж, эсрэг талын оройноос медианыг зур.
4. Гуравдагч этгээдтэй ижил зүйлийг хий. Хэрэв та бүх зүйлийг зөв хийсэн бол медианууд нэг цэг дээр огтлолцох болно гэдгийг анхаарна уу. Ийм л зүйл болно төв хүндийн хүчэсвэл үүнийг бас нэрлэдэг төвгурвалжны масс.
5. Хэрэв танд даалгавар тулгарвал олж мэдээрэй төв хүндийн хүч тэгш талт гурвалжин, дараа нь зургийн бүх оройгоос өндрийг зурна. Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт болон талуудын аль нэгтэй захирагчийг авч, гурвалжны суурь дээр налж, нөгөөг нь эсрэг талын орой руу чиглүүлнэ. Бусад талуудтай ижил зүйлийг хий. Уулзвар цэг нь байх болно төвом хүндийн хүч. Адил талт гурвалжны онцлог нь ижил сегментүүд нь медиан, өндөр, биссектрис юм.
6. Төв хүндийн хүчдурын гурвалжны медиануудыг хоёр сегмент болгон хуваана. Дээрээс нь харахад тэдгээрийн харьцаа 2:1 байна. Хэрэв гурвалжинг ийм байдлаар зүү дээр байрлуулсан бол төвОид нь үзүүр дээрээ байвал унахгүй, харин тэнцвэртэй байх болно. Мөн төв хүндийн хүчгурвалжны орой дээр байрлуулсан масс бүрийг авчрах цэг юм. Энэ ур чадвараа дадлагажуулж, энэ цэгийг дэмий "амттай" гэж нэрлэхгүй байгаа эсэхийг шалгаарай.
Зөвлөгөө 2: Адил талт гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ
Адил талт гурвалжин гэдэг нь нэрнээс нь харахад талууд нь тэнцүү гурвалжин юм. Энэ онцлог нь үлдсэн параметрүүдийг олоход ихээхэн хялбар болгодог гурвалжин, түүний өндрийг оруулаад.
Танд хэрэгтэй болно
- Тэгш талт гурвалжны хажуугийн урт
Заавар
1. Тэгш талт гурвалжинд бүх өнцөг нь мөн тэнцүү байна. Тэгш талт өнцөг гурвалжин, цаашид 180/3 = 60 градустай тэнцүү байна. Харваас, учир нь энэ бүх тал, бүх өнцөг гурвалжинтэнцүү бол түүний бүх өндөр нь тэнцүү байх болно.
2. Тэгш талт ABC гурвалжинд дараахь зүйлийг зурж болно. өндөрА.Э. Учир нь тэгш талт гурвалжин байдаг онцгой тохиолдолтэгш өнцөгт гурвалжин, ба AB = AC. Үүний үр дүнд, ижил хажуугийн шинж чанараар гурвалжин AE өндөр нь медиантай ижил хугацаатай байх болно (өөрөөр хэлбэл BE = EC) гурвалжин ABC ба өнцгийн биссектриса BAC (өөрөөр хэлбэл BAE = CAE).
3. AE өндөр нь тэгш өнцөгтийн тал байх болно гурвалжинГипотенуз AB-тай BAE. AB = a – тэгш талт талын урт гурвалжин. Тэгвэл AE = AB*sin(ABE) = a*sin(60o) = sqrt(3)*a/2. Үүний үр дүнд тэгш өнцөгтийн өндрийг олох гурвалжин, зөвхөн түүний хажуугийн уртыг мэдэхэд хангалттай.
4. Адил хажуугийн медиан эсвэл биссектриса нь харагдаж байна гурвалжин, дараа нь энэ нь түүний өндөр байх болно.
Сэдвийн талаархи видео
Дурын гурвалжинд та хэд хэдэн сегментийг сонгож болох бөгөөд тэдгээрийн уртыг ихэвчлэн тооцоолох шаардлагатай байдаг. Эдгээр сегментүүд нь гурвалжны орой, түүний хажуугийн дунд цэгүүд, бичээстэй ба хүрээлэгдсэн тойргийн төвүүд, түүнчлэн гурвалжны геометрийн хувьд чухал ач холбогдолтой бусад цэгүүдийг холбодог. Евклидийн геометрийн ийм сегментийн уртыг тооцоолох зарим сонголтыг доор өгөв.
Заавар
1. Хэрэв таны илрүүлэхийг хүссэн сегмент нь дурын хоёр оройг холбодог дурын гурвалжин, тэгвэл тэр бол үүний нэг тал юм геометрийн дүрс. Хэрэв бид бусад 2 талын урт (А ба В) ба тэдгээрийн үүсгэсэн өнцгийн хэмжээг (?) мэдэж байвал косинусын теорем дээр үндэслэн энэ сегментийн уртыг (C) тооцоолж болно. Талуудын уртын квадратуудыг нэмж, ижил талуудын нийт хоёр уртыг өгөгдсөн өнцгийн косинусаар үржүүлж хасаад дараа нь олоорой. квадрат язгуурүр дүнгийн утгаас: C=?(A?+B?-2*A*B*cos(?)).
2. Хэрэв хэрчм нь гурвалжны оройн аль нэгээс эхэлж, эсрэг талд төгсөж, түүнд перпендикуляр байвал ийм сегментийг өндөр (h) гэж нэрлэдэг. Үүнийг илрүүлж болно, тухайлбал, өндрийг нь доошлуулсан талын талбай (S) ба урт (A) -ийг мэдэх замаар - давхарласан талбайг хажуугийн уртаар хуваана: h=2*S/A.
3. Хэрэв сегмент нь дурын гурвалжны тал бүрийн дунд цэг ба энэ талын эсрэг байрлах оройг холбовол үүнийг гэнэ. энэ сегментмедиан (м). Та түүний уртыг олох боломжтой, жишээ нь бүх талуудын уртыг (A, B, C) мэдэж болно - 2 талын уртын давхар квадратуудыг нэмж, үр дүнгээс дундах талын квадратыг хасна. сегмент дуусч, нийлбэр дүнгийн дөрөвний квадрат язгуурыг ол: m=?((2*A?+2*B?-C?)/4).
4. Хэрэв хэрчм нь дурын гурвалжинд сийлсэн тойргийн төв болон энэ тойргийн шүргэгч цэгүүдийн аль нэгийг гурвалжны талуудтай холбосон бол түүний уртыг тухайн тойргийн радиусыг (r) тооцоолох замаар тодорхойлж болно. Үүнийг хийхийн тулд гурвалжны талбайг (S) периметрээр нь (P) хуваана: r=S/P.
5. Хэрэв сегмент нь дурын гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төвийг энэ зургийн орой бүртэй холбосон бол түүний уртыг тойргийн радиусыг (R) олох замаар тооцоолж болно. Хэрэв бид ийм гурвалжны аль нэг талын урт (A) ба түүний эсрэг байрлах өнцгийг (?) мэдэж байвал танд хэрэгтэй сегментийн уртыг тооцоолохын тулд хажуугийн уртыг давхар болгон хуваах хэрэгтэй. өнцгийн синус: R=A/(2*sin(? )).
Сэдвийн талаархи видео
Зөвлөгөө 4: Тэгш талт гурвалжны медианыг хэрхэн олох вэ
Медиан гурвалжин- энэ нь гурвалжны оройг эсрэг талын голд холбосон сегмент юм. Тэгш талт гурвалжинд медиан нь биссектриса ба өндөр юм. Тиймээс шаардлагатай сегментийг хэд хэдэн аргыг ашиглан барьж болно.
Танд хэрэгтэй болно
- - харандаа;
- - захирагч;
- - протектор;
- - луужин.
Заавар
1. Захирагч, харандаа ашиглан ижил талт гурвалжны талыг хагасаар хуваа. Илэрсэн цэгийг холбосон шугамыг зурах ба эсрэг талын булангурвалжин. Дараагийн хоёр хэсгийг ижил аргаар хойш тавь. Та тэгш талт гурвалжны медиануудыг зурсан.
2. Тэгш талт гурвалжны өндрийг зур. Квадрат ашиглан гурвалжны оройгоос перпендикулярыг доошлуул эсрэг тал. Та тэгш талт гурвалжны өндрийг барьсан. Энэ нь бас түүний дундаж үзүүлэлт юм.
3. Тэгш талт гурвалжны биссектрисаг байгуул. Тэгш талт гурвалжны өнцөг бүр 60°-тай тэнцүү байна. Лавлах цэг нь гурвалжны оройтой давхцаж байхаар протекторыг гурвалжны аль нэг талд холбоно. Түүний нэг тал нь хэмжих хэрэгслийн шугамыг зөв дагаж, нөгөө тал нь хагас тойргийг 60? гэж тэмдэглэсэн цэгээр огтлох ёстой.
4. 30 гэсэн хэсгийг цэгээр тэмдэглэнэ үү? Илэрсэн цэг ба гурвалжны оройг холбосон туяа зур. Цацраг гурвалжны талыг огтолж буй цэгийг ол. Үүссэн сегмент нь тэгш талт гурвалжны биссектриса бөгөөд энэ нь түүний медиан юм.
5. Хэрэв тэгш талт гурвалжинг тойрог дотор бичсэн бол түүний оройг тойргийн төвтэй холбосон шулуун шугамыг зур. Энэ шугамын огтлолцох цэгийг гурвалжны талтай тэмдэглэ. Гурвалжны орой ба түүний талыг холбосон сегмент нь тэгш талт гурвалжны медиан болно.
Сэдвийн талаархи видео
Хэрэгтэй зөвлөгөө
Өнцгийн биссектрисийг байгуулах уу? луужин ашиглан тэгш талт гурвалжинг хийхийг зөвшөөрдөг. Үүнийг хийхийн тулд гурвалжны бусад 2 орой дээр төвтэй, радиустай хоёр тойрог байгуул. талтай тэнцүүгурвалжин. Тойрог 2 цэг дээр огтлолцох болно: булангийн орой дээр? ба N цэг дээр эдгээр цэгүүдийг хооронд нь холбоно. Та өнцгийн биссектрисийг барьсан уу?
Зургийн төвийг аль хэдийн мэдэгдэж байгаа өгөгдөлөөс хамааран хэд хэдэн аргаар илрүүлж болно. Тойргийн төвийг олох талаар бодож үзэх нь зүйтэй бөгөөд энэ нь дээр байрладаг цэгүүдийн нийгэмлэг юм тэнцүү зайтөвөөс, учир нь энэ зураг нь хамгийн түгээмэл тоонуудын нэг юм.
Танд хэрэгтэй болно
- - дөрвөлжин;
- - захирагч.
Заавар
1. Тойргийн төвийг олох энгийн арга бол зурсан цаасыг нугалж, завсарыг нь хараад дундуур нь зөв нугалж байгаа эсэхийг шалгах явдал юм. Үүний дараа хуудсыг эхний нугалахад перпендикуляр нугалав. Ингэснээр та диаметрийг авах болно, огтлолцох цэг нь зургийн төв юм.
2. эргэлзээгүй, энэ аргаЗөвхөн нимгэн цаасан дээр тойрог зурсан тохиолдолд л төгс болно, ингэснээр хуудас зөв эсэхийг гэрлээр харж болно.
3. Энэ дүрсийг хатуу, уян хатан бус гадаргуу дээр зурсан эсвэл нугалж болохгүй тусдаа хэсэг байж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд тойргийн төвийг олохын тулд танд захирагч хэрэгтэй.
4. Диаметр нь тойрог дээрх 2 цэгийг холбосон хамгийн урт шугамын хэсэг юм. Таны мэдэж байгаагаар энэ нь төвийг дайран өнгөрдөг тул тойргийн төвийг олох ажил нь голч ба дунд цэгийг олоход чиглэгддэг.
5. Захирагчийг тойрог дээр байрлуулж, дараа нь зургийн цэг бүр дээр тэг тэмдгийг тогтооно. Захирагчийг тойрог дээр холбож, секант олж аваад зургийн төв рүү шилжинэ. Секантын урт нь оргил цэгт хүрэх хүртэл нэмэгдэнэ. Та диаметрийг олж авах бөгөөд түүний дундыг олсны дараа та тойргийн төвийг олох болно.
6. Аливаа гурвалжны тойргийн төв нь медиан перпендикуляруудын огтлолцол дээр байрладаг. Хэрэв гурвалжин тэгш өнцөгт байвал түүний төв нь гипотенузын дунд үргэлж давхцах болно. Өөрөөр хэлбэл, шийдэл нь тойрог дотор барихад оршино зөв гурвалжинтойрог дээр хэвтэж буй оройнуудтай.
7. Stencil for зөв өнцөгСургууль эсвэл барилгын талбай, захирагч, тэр ч байтугай цаас / картон хуудас ч үйлчилж болно. Тойргийн аль ч цэг дээр тэгш өнцөгтийн оройг байрлуулж, өнцгийн талууд нь тойргийн хилийг огтолж байгаа газруудад тэмдэглэгээ хийж, тэдгээрийг нэгтгэнэ. Та диаметртэй - гипотенуз.
8. Үүнтэй ижил аргыг ашиглан өөр диаметрийг олоорой, ийм 2 сегментийн огтлолцол нь тойргийн төв болно.
Сэдвийн талаархи видео
Анхаар!
Даалгаврууд нь та хүндийн төв, массын төв эсвэл төвийг илрүүлэх шаардлагатай байгааг харуулж болно. Гурван нэр бүгд ижил утгатай.
Хүндийн төв(эсвэл массын төв) тухайн биеийг энэ цэгээс түдгэлзүүлбэл байр сууриа хадгалж үлдэх шинж чанартай цэг юм.
Доор бид янз бүрийн массын төвүүдийг хайхтай холбоотой хоёр хэмжээст ба гурван хэмжээст асуудлуудыг голчлон тооцооллын геометрийн үүднээс авч үзье.
Доор хэлэлцсэн шийдлүүдэд хоёр үндсэн зүйлийг ялгаж салгаж болно. баримт. Эхнийх нь материаллаг цэгүүдийн системийн массын төв нь тэдгээрийн масстай пропорциональ коэффициентээр авсан координатын дундажтай тэнцүү байна. Хоёрдахь баримт бол хэрэв бид огтлолцдоггүй хоёр дүрсийн массын төвүүдийг мэддэг бол тэдгээрийн нэгдлийн массын төв нь эдгээр хоёр төвийг холбосон сегмент дээр байх бөгөөд үүнийг масстай ижил харьцаагаар хуваана. хоёр дахь зураг нь эхнийхний масстай холбоотой.
Хоёр хэмжээст тохиолдол: олон өнцөгт
Үнэн хэрэгтээ хоёр хэмжээст дүрсийн массын төвийн тухай ярихдаа нэгийг хэлж болно дараагийн гурав даалгавар:
- Цэгийн системийн массын төв - i.e. бүх масс нь зөвхөн олон өнцөгтийн оройн хэсэгт төвлөрдөг.
- Хүрээний массын төв - өөрөөр хэлбэл. Олон өнцөгтийн масс нь түүний периметр дээр төвлөрдөг.
- Хатуу дүрсийн массын төв - өөрөөр хэлбэл. Олон өнцөгтийн масс нь түүний бүх талбайд тархсан.
Эдгээр даалгавар тус бүрд байдаг бие даасан шийдвэр, мөн доор тусад нь хэлэлцэх болно.
Цэгийн системийн массын төв
Энэ бол хамгийн энгийн нь гурван даалгавар, түүний шийдэл нь материаллаг цэгүүдийн системийн массын төвийн алдартай физик томъёо юм.
цэгүүдийн масс хаана байна, тэдгээрийн радиус векторууд (эх цэгтэй харьцуулахад тэдний байрлалыг зааж өгнө), массын төвийн хүссэн радиус вектор байна.
Ялангуяа бүх цэгүүд ижил масстай бол массын төвийн координатууд нь ижил байна арифметик дундажцэгүүдийн координат. Учир нь гурвалжинэнэ цэг гэж нэрлэдэг төвмедиануудын огтлолцох цэгтэй давхцаж байна:
Учир нь нотлох баримтЭдгээр томьёо нь бүх хүчний моментуудын нийлбэр тэгтэй тэнцүү байх үед тэнцвэрт байдалд хүрдэг гэдгийг санахад хангалттай. IN энэ тохиолдолдЭнэ нь тухайн цэгтэй холбоотой бүх цэгүүдийн радиус векторуудын нийлбэрийг харгалзах цэгүүдийн массаар үржүүлсэн нь тэгтэй тэнцүү байх нөхцөл болж хувирна.
мөн эндээс илэрхийлснээр бид шаардлагатай томьёог олж авна.
Хүрээний массын төв
Гэхдээ дараа нь олон өнцөгтийн тал бүрийг нэг цэгээр сольж болно - энэ сегментийн дунд (учир нь нэг төрлийн сегментийн массын төв нь энэ сегментийн дунд байдаг), масстай. урттай тэнцүүэнэ сегмент.
Одоо бидэнд материаллаг цэгүүдийн системийн тухай асуудал тулгараад байгаа бөгөөд өмнөх догол мөрийн шийдлийг түүнд хэрэглэснээр бид дараахь зүйлийг оллоо.
олон өнцөгтийн i-р талын дунд цэг хаана байна, i-р талын урт, периметр, i.e. талуудын уртын нийлбэр.
Учир нь гурвалжинүзүүлж болно дараагийн мэдэгдэл: энэ цэг биссектрисын огтлолцлын цэганхны гурвалжны талуудын дунд цэгүүдээс үүссэн гурвалжин. (Үүнийг харуулахын тулд та дээрх томьёог ашиглах хэрэгтэй бөгөөд дараа нь үүссэн гурвалжны талуудыг эдгээр талуудын массын төвүүдтэй ижил харьцаагаар хуваахыг анзаарах хэрэгтэй).
Хатуу дүрсийн массын төв
Масс нь зураг дээр жигд тархсан гэдэгт бид итгэдэг, i.e. зургийн цэг бүрийн нягт нь ижил тоотой тэнцүү байна.
Гурвалжин хайрцаг
Гурвалжингийн хувьд хариулт нь адилхан байх болно гэж маргадаг төв, өөрөөр хэлбэл оройнуудын координатын арифметик дундажаар үүссэн цэг:
Гурвалжингийн хэрэг: нотолгоо
Энд бид интегралын онолыг ашиглаагүй энгийн нотолгоо өгдөг.
Ийм цэвэр геометрийн нотолгоог анх Архимед өгсөн боловч энэ нь маш төвөгтэй, их тоо геометрийн байгууламжууд. Энд өгсөн нотолгоог Мнацаканян Апостолын "Центроидуудыг хялбар аргаар олох нь" өгүүллээс авсан болно.
Гурвалжны массын төв нь медиануудын аль нэгэнд оршдог болохыг нотолж байна; Энэ процессыг дахин хоёр удаа давтснаар бид массын төв нь төв цэг болох медиануудын огтлолцлын цэг дээр байгааг харуулах болно.
Үүнийг задлаад үзье өгөгдсөн гурвалжинЗурагт үзүүлсэн шиг хажуугийн дунд хэсгийг холбосон дөрөв болгон хуваана.
Үүссэн дөрвөн гурвалжин нь коэффициент бүхий гурвалжинтай төстэй.
1 ба 2 дугаар гурвалжнууд хамтдаа параллелограммыг үүсгэдэг бөгөөд массын төв нь диагональуудын огтлолцлын цэг дээр байрладаг (учир нь энэ нь диагональуудын аль алиных нь хувьд тэгш хэмтэй зураг, тиймээс түүний төв нь масс нь хоёр диагональ тус бүр дээр байх ёстой). Гол нь дунд нь байна нийтлэг талгурвалжнууд №1 ба №2, мөн гурвалжны медиан дээр байрладаг:
1-р гурвалжны оройноос массын төв хүртэл татсан векторыг вектор, цэгээс нь зурсан вектор (энэ нь түүний байрлах талын дунд хэсэг гэдгийг санаарай) гэж үзье. :
Бидний зорилго бол векторууд ба коллинеар гэдгийг харуулах явдал юм.
Гурвалжны No3 ба No4-ийн массын төв болох цэгүүдийг багаар тэмдэглэе. Дараа нь эдгээр хоёр гурвалжны багцын массын төв нь сегментийн дунд хэсэг болох цэг байх нь ойлгомжтой. Түүнээс гадна цэгээс цэг хүртэлх вектор нь вектортой давхцдаг.
Гурвалжны массын хүссэн төв нь сегментийг холбосон цэгүүдийн дунд байрладаг (бид гурвалжинг тэнцүү талбайн хоёр хэсэгт хуваасан тул: №1-№2 ба №3-№4):
Тиймээс оройноос төв рүү чиглэсэн вектор нь . Нөгөөтэйгүүр, учир нь гурвалжин No1 нь коэффициенттэй гурвалжинтай төстэй бол ижил вектор нь -тэй тэнцүү байна. Эндээс бид тэгшитгэлийг олж авна.
бид хаанаас олдог:
Тиймээс бид ба векторууд нь коллинеар гэдгийг нотолсон бөгөөд энэ нь хүссэн центроид нь оройноос гарч буй медиан дээр байрладаг гэсэн үг юм.
Түүгээр ч зогсохгүй бид центроид нь голч бүрийг оройноос нь тоолох харьцаагаар хуваадаг болохыг нотолсон.
Олон өнцөгт хэрэг
Одоо ерөнхий тохиолдол руу шилжье - өөрөөр хэлбэл. тохиолдуулан олон өнцөгт. Түүний хувьд ийм үндэслэлийг ашиглах боломжгүй болсон тул бид асуудлыг гурвалжин болгон багасгаж, тухайлбал, бид олон өнцөгтийг гурвалжин болгон хувааж (өөрөөр хэлбэл гурвалжин болгож), гурвалжин бүрийн массын төвийг олоод дараа нь гурвалжингийн төвийг олно. гурвалжингийн массын төвүүдийн масс.
Эцсийн томъёо нь дараах байдалтай байна.
гурвалжингийн 3-р гурвалжны төв хаана байна олон өнцөгт өгөгдсөн, нь гурвалжин гурвалжны талбай бөгөөд бүхэл бүтэн олон өнцөгтийн талбай юм.
Гурвалжлах гүдгэр олон өнцөгт- өчүүхэн даалгавар: үүний тулд, жишээлбэл, та гурвалжин авч болно, хаана .
Олон өнцөгт тохиолдол: өөр арга
Нөгөөтэйгүүр, дээрх томъёог ашиглах нь тийм ч тохиромжтой биш юм гүдгэр бус олон өнцөгт, учир нь тэдгээрийг гурвалжин болгох нь өөрөө амар ажил биш юм. Гэхдээ ийм олон өнцөгтүүдийн хувьд та илүү энгийн арга замыг гаргаж чадна. Тухайлбал, дурын олон өнцөгтийн талбайг хэрхэн хайж болох талаар зүйрлэе: сонгох дурын цэг, дараа нь энэ цэгээс үүссэн гурвалжны тэмдгийн талбай болон олон өнцөгтийн цэгүүдийг нэгтгэн гаргана: . Үүнтэй төстэй аргыг массын төвийг олоход ашиглаж болно: зөвхөн одоо бид гурвалжны массын төвүүдийг тэдгээрийн талбайтай пропорциональ коэффициентээр нэгтгэн дүгнэх болно, жишээлбэл. Массын төвийн эцсийн томъёо нь:
Энд дурын цэг, олон өнцөгтийн цэгүүд, гурвалжны төв хэсэг, энэ гурвалжны тэмдэгт хэсэг, бүхэл бүтэн олон өнцөгтийн тэмдэглэгдсэн талбай (жишээ нь).
Гурван хэмжээст тохиолдол: олон талт
Хоёр хэмжээст тохиолдлын нэгэн адил 3D дээр бид асуудлын дөрвөн боломжит томъёоны талаар шууд ярьж болно.
- Цэгүүдийн системийн массын төв нь олон өнцөгтийн орой юм.
- Хүрээний массын төв нь олон өнцөгтийн ирмэг юм.
- Гадаргуугийн массын төв - өөрөөр хэлбэл. масс нь олон талт гадаргуугийн талбайд тархсан.
- Хатуу олон өнцөгтийн массын төв - i.e. масс нь олон өнцөгт даяар тархсан.
Цэгийн системийн массын төв
шиг хоёр хэмжээст хэрэг, бид өргөдөл гаргаж болно физик томъёомөн ижил үр дүнг авна:
ямар тохиолдолд тэнцүү массбүх цэгийн координатын арифметик дундаж болж хувирна.
Полиэдрон хүрээний массын төв
Хоёр хэмжээст тохиолдлын нэгэн адил бид зүгээр л олон өнцөгтийн ирмэг бүрийг энэ ирмэгийн дунд байрлах материаллаг цэгээр сольж, энэ ирмэгийн урттай тэнцүү массаар солино. Материаллаг цэгүүдийн асуудлыг хүлээн авсны дараа бид эдгээр цэгүүдийн координатын жигнэсэн нийлбэрээр шийдлийг хялбархан олдог.
Полиэдрон гадаргуугийн массын төв
Полиэдрийн гадаргуугийн нүүр бүр нь хоёр хэмжээст дүрс бөгөөд массын төвийг бид хэрхэн хайхаа мэддэг. Эдгээр массын төвүүдийг олж, нүүр бүрийг массын төвөөр сольсны дараа бид асуудалтай тулгардаг материаллаг цэгүүд, үүнийг шийдвэрлэхэд аль хэдийн хялбар болсон.
Хатуу олон өнцөгтийн массын төв
Тетраэдрийн тохиолдол
Хоёр хэмжээст тохиолдлын нэгэн адил эхлээд шийдье хамгийн энгийн даалгавар- тетраэдрийн асуудал.
Тетраэдрийн массын төв нь түүний медиануудын огтлолцох цэгтэй давхцдаг гэж заасан байдаг (тетраэдрийн медиан нь оройноос массын төв хүртэл татсан сегмент юм). эсрэг талын нүүр; Тиймээс тетраэдрийн медиан нь оройгоор дамжин өнгөрч, гурвалжин нүүрний медиануудын огтлолцлын цэгээр дамжин өнгөрдөг).
Яагаад ийм байна вэ? Энд хоёр хэмжээст тохиолдолтой төстэй үндэслэл хүчинтэй байна: хэрвээ бид тетраэдрийг хоёр тетраэдр болгон хуваавал тетраэдрийн орой ба эсрэг талын зарим медианыг дайран өнгөрдөг бол үүссэн тетраэдр хоёулаа ижил эзэлхүүнтэй байх болно. гурвалжин нүүрДундажаар хоёр гурвалжинд хуваагдана тэнцүү талбай, мөн хоёр тетраэдрийн өндөр өөрчлөгдөхгүй). Эдгээр аргументуудыг хэд хэдэн удаа давтаж, бид массын төв нь тетраэдрийн медиануудын огтлолцлын цэг дээр оршдог болохыг олж мэдэв.
Энэ цэгийг - тетраэдрийн медиануудын огтлолцох цэгийг түүний цэг гэж нэрлэдэг төв. Энэ нь үнэндээ тетраэдрийн оройн координатын арифметик дундажтай тэнцүү координаттай болохыг харуулж болно.
(энэ нь центроид нь медиануудыг харьцаагаар хуваадаг гэсэн дүгнэлтээс харж болно)
Тиймээс тетраэдр ба гурвалжны тохиолдлуудын хооронд үндсэн ялгаа байхгүй: оройнуудын арифметик дундажтай тэнцүү цэг нь асуудлын хоёр томъёололд массын төв юм: масс нь зөвхөн оройн хэсэгт байрлах үед хоёулаа, мөн массыг бүхэлд нь талбай/эзэлхүүнээр хуваарилах үед. Үнэн хэрэгтээ энэ үр дүн нь дурын хэмжигдэхүүнд ерөнхийлдөг: дурын массын төв. энгийн(simplex) нь оройнуудын координатын арифметик дундаж юм.
Дурын олон өнцөгтийн тохиолдол
Одоо ерөнхий тохиолдол буюу дурын олон өнцөгтийн тохиолдол руу шилжье.
Дахин хэлэхэд, хоёр хэмжээст тохиолдлын нэгэн адил бид энэ асуудлыг аль хэдийн шийдэгдсэн асуудал болгон бууруулж байна: бид полиэдроныг тетраэдр болгон хувааж (өөрөөр хэлбэл бид үүнийг тетраэдрлэдэг), тэдгээрийн массын төвийг олж, эцсийн хариултыг авна. олдсон төвүүдийн жигнэсэн нийлбэр хэлбэрээр асуудал Wt.
Барицентрийн байршлыг нэгтгэх замаар тодорхойлох
Barycenter дэд олонлог Xорон зай R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))интеграл ашиглан тооцоолж болно
G = ∫ x g (x) d x ∫ g (x) d x , (\displaystyle G=(\frac (\int xg(x)\;dx)(\int g(x)\;dx)),)Барицентрийн координатыг тооцоолох өөр нэг томъёо:
G k = ∫ z S k (z) d z ∫ S k (z) d z , (\displaystyle G_(k)=(\frac (\int zS_(k)(z)\;dz)(\int S_(k) )(z)\;dz)))Хаана Г кбайна к-р координат Г, А С к (z) - огтлолцлын хэмжүүр Xтэгшитгэлээр тодорхойлогдсон гипер хавтгайтай x к = z. Дахин хэлэхэд хуваагч нь олонлогийн хэмжүүр юм X.
Учир нь хавтгай дүрсбарицентрийн координатууд байх болно
G x = ∫ x S y (x) d x A ; (\ displaystyle G_ (\ mathrm (x) ) = (\ frac (\ int xS_ (\ mathrm (y) ) (x) \; dx) (A));)Хаана G y = ∫ y S x (y) d y A , (\displaystyle G_(\mathrm (y) )=(\frac (\int yS_(\mathrm (x) )(y)\;dy)(A)) ,)А X, С- зургийн талбай x) - у ( [уулзварын урт ] Xүл мэдэгдэх нэр томъёо x, Сабсцисс бүхий босоо шугамтай x ( y
) - тэнхлэг солилцох үед ижил утгатай.
Тасралтгүй функцүүдийн графикаар хязгаарлагдсан талбайн барицентрийн байршлыг тодорхойлох Барицентрийн координатууд(x ¯ , y ¯) (\ displaystyle ((\bar (x)),\;(\bar (y)))) газар нутаг,хуваарийн дагуу хязгаарлагддаг тасралтгүй функцуудТэгээд g (\displaystyle g), ийм f (x) ≥ g (x) (\displaystyle f(x)\geq g(x))интервал дээр [ a , b ] (\displaystyle), a ≤ x ≤ b (\displaystyle a\leq x\leq b), илэрхийллээр өгөгдсөн
x ¯ = 1 A ∫ a b x [ f (x) − g (x) ] d x (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(A))\int _(a)^(b) x\left\;dx) . y ¯ = 1 A ∫ a b [ f (x) + g (x) 2 ] [ f (x) − g (x) ] d x , (\displaystyle (\bar (y))=(\frac (1)() A))\int _(a)^(b)\left[(\frac (f(x)+g(x))(2))\баруун]\зүүн\;dx,)Хаана A (\displaystyle A)- бүсийн талбай (томъёогоор тооцоолно ∫ a b [ f (x) − g (x) ] d x (\displaystyle \int _(a)^(b)\left\;dx)) .
L хэлбэрийн объектын барицентрийн байршлыг тодорхойлох
L хэлбэрийн дүрсний төвийг олох арга.
Гурвалжин ба тетраэдрийн төвүүд
G = 1 a: 1 b: 1 c = b c: c a: a b = csc A: csc B: csc C (\displaystyle G=(\frac (1)(a)):(\frac (1) (б)):(\frac (1)(c))=bc:ca:ab=\csc A:\csc B:\csc C) = cos A + cos B ⋅ cos C: cos B + cos C ⋅ cos A: cos C + cos A ⋅ cos B (\displaystyle =\cos A+\t \cos\s C:\cos B+\cos C\cdot \cos A:\cos C+\cos A\cdot \cos B) = сек A + сек B ⋅ сек C: сек B + сек C ⋅ сек А: сек C + сек A ⋅ сек В.(\displaystyle =\sec A+\sec B\cdot \sec C:\sec B+\sec C\cdot \sec A:\sec C+\sec A\cdot \sec B.) Барицентр нь бие махбодийн хувьд жигд хуудас материалаар хийгдсэн гурвалжингийн массын төв бөгөөд хэрэв бүх масс нь оройн хэсэгт төвлөрч, тэдгээрийн хооронд тэнцүү хуваагдсан бол. Хэрэв масс нь периметрийн дагуу жигд тархсан бол массын төв нь Спикер цэг (дунд гурвалжны төв) дээр байрладаг.ерөнхий тохиолдол
) нь бүхэл гурвалжны төвтэй давхцахгүй.
Гурвалжны талбай нь аль ч талын уртыг төвөөс тал хүртэлх зайгаар үржүүлсэн 3/2-тай тэнцүү байна. Гурвалжны төв нь Эйлерийн шулуун шугаман дээр ортоцентрийн хооронд байрладагХ ба түүний тойргийн төвО
, эхнийхээс хоёр дахь нь яг хоёр дахин ойр:G H = 2 G O. (\displaystyle GH=2GO.)Үүнээс гадна, төвлөрсөн Iмөн есөн цэгийн төв
Н , бидэнд байна G H = 4 G N , (\displaystyle GH=4GN,)< H G , {\displaystyle IGБи Г
Гурвалжны голч нь суурийн зэрэгцээ хөвчийг хоёр хуваасан диаметр тул гурвалжны талбайн хүндийн төв (n° 217) түүн дээр байрладаг. Үүний үр дүнд гурвалжны гурван медиан огтлолцож, гурвалжны талбайн хүндийн төвийг тодорхойлно.
Гурвалжны медианууд нь харгалзах оройноос тус бүрийн уртын гуравны хоёртой тэнцэх цэгээр огтлолцдогийг анхан шатны дүгнэлтээс харж болно. Тиймээс гурвалжны талбайн хүндийн төв нь оройноос уртынхаа гуравны хоёрын зайд түүний аль нэг медиан дээр байрладаг.
219. Дөрвөн өнцөгт.
Дөрвөн өнцөгтийн талбайн хүндийн төвийг таталцлын төвүүдийн тархалтын шинж чанарыг ашиглах замаар олж авсан хоёр шулуун шугамын огтлолцолоор тодорхойлно (213-р зүйл).
Нэгдүгээрт, дөрвөн өнцөгтийг диагональ байдлаар хоёр гурвалжин болгон хуваа. Дөрвөн өнцөгтийн хүндийн төв нь эдгээр гурвалжны хүндийн төвүүдийг холбосон шулуун шугам дээр байрладаг. Энэ шулуун шугам нь шаардлагатай хоёр шулуун шугамын эхнийх нь юм.
Бид хоёр дахь шулуун шугамыг ижил аргаар олж авч, өөр диагональ ашиглан дөрвөн өнцөгтийг хоёр гурвалжинд (өмнөхөөс ялгаатай) хуваана.
220. Олон өнцөгт.
Бид гурвалжин ба дөрвөлжингийн талбайн хүндийн төвүүдийг хэрхэн олохыг мэддэг. Дурын тооны талтай олон өнцөгтийн талбайн төвийг тодорхойлохын тулд бид цөөн тооны талтай олон өнцөгтийн талбайн төвийг хэрхэн олохыг мэддэг гэж бодъё.
Дараа нь та дөрвөн өнцөгттэй адил зүйлийг хийж болно. Өгөгдсөн олон өнцөгтийн талбайг диагональ зурах замаар хоёр өөр аргаар хоёр хэсэгт хуваадаг. Хоёр тохиолдол бүрт бие даасан хэсгүүдийн хүндийн төвүүд шууд холбогддог. Эдгээр хоёр шугам нь хүссэн хүндийн төвөөр огтлолцоно.
221. Тойргийн нум.
s урттай AB дугуй нумын хүндийн төвийг тодорхойлох шаардлагатай. Тойрог OX ба OY хоёр харилцан перпендикуляр диаметртэй холбож үзье, тэдгээрийн эхнийх нь AB нумын дунд С дундуур дамждаг. Хүндийн төв нь тэгш хэмийн тэнхлэг болох OX тэнхлэг дээр байрладаг. Тиймээс 5-ыг тодорхойлоход хангалттай. Үүний тулд бид дараах томьёотой байна.
Үүнд: a - тойргийн радиус, c - хөвчний урт AB, - OX тэнхлэг ба AB нумын төгсгөлд тохирсон элементийн утгуудад татсан радиусын хоорондох өнцөг. Бидэнд:
Дараа нь В-г интеграцийн хувьсагч болгон авч, AB нумын дагуу интеграцийг хийснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.
Үүний үр дүнд дугуй нумын хүндийн төв нь нумын дундуур татсан радиус дээр байрладаг бөгөөд тойргийн төвөөс зай нь нумын урт, радиус ба хөвчний дөрөв дэх пропорциональ цэг юм.
222. Тойрог салбар.
Тойргийн нум ба OA ба OB хоёр радиусын хооронд хүрээлэгдсэн секторыг завсрын радиусуудаар өөр хоорондоо тэнцүү хязгааргүй жижиг секторуудад задалж болно. Эдгээр энгийн салбаруудыг хязгааргүй нарийн гурвалжин гэж үзэж болно; Тэдний тус бүрийн хүндийн төв нь өмнөх хэсгийн дагуу энэ хэсгийн анхан шатны нумын дундуур зурсан радиус дээр, тойргийн төвөөс радиусын уртын гуравны хоёрын зайд байрладаг. . Таталцлын төвүүд дээр төвлөрсөн бүх энгийн гурвалжнуудын ижил массууд нь радиус нь секторын нумын радиусын гуравны хоёртой тэнцүү тойрог хэлбэртэй жигд нум үүсгэдэг. Тиймээс авч үзэж буй хэрэг нь энэхүү нэгэн төрлийн нумын хүндийн төвийг олоход, өөрөөр хэлбэл өмнөх догол мөрөнд шийдсэн асуудал руу буурсан болно.
223. Тетраэдр.
Тетраэдрийн эзэлхүүний хүндийн төвийг тодорхойлъё. Нэг ирмэгээр дамжин эсрэг талын ирмэгийн дундуур дамждаг хавтгай нь энэ сүүлчийн ирмэгтэй параллель хөвчийг хоёр хуваасан диаметраль хавтгай бөгөөд энэ нь тетраэдрийн эзэлхүүний хүндийн төвийг агуулдаг. Үүний үр дүнд тетраэдрийн зургаан хавтгай, тус бүр нь нэг ирмэгээр, эсрэг талын ирмэгийн дундуур дамжин өнгөрч, нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд энэ нь тетраэдрийн эзэлхүүний хүндийн төвийг илэрхийлдэг.
ABCD тетраэдрийг авч үзье (Зураг 37); А оройг BCD суурийн I хүндийн төвтэй холбоно; шулуун шугам AI нь диаметраль хавтгайнуудын огтлолцол юм
AB ирмэгээр дамжих тул хүссэн хүндийн төвийг агуулна. Цэг нь В оройноос BH медианы гуравны хоёрын зайд байрладаг. Үүнтэй адилаар оройноос уртынхаа гуравны хоёрын зайд байрлах AH медиан дээрх K цэгийг авъя. B шугам нь тетраэдрийн таталцлын төвд А шугамыг огтолно. ABN ба JN гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас харахад IK нь AB-ийн гурав дахь хэсэг болох нь тодорхой байна), дараа нь гурвалжин ба BGA-ийн ижил төстэй байдлаас бид гурав дахь хэсэг байна гэж дүгнэж байна.
Иймээс тетраэдрийн эзэлхүүний хүндийн төв нь тетраэдрийн аль ч оройг эсрэг талын хүндийн төвтэй холбосон сегмент дээр, оройноос энэ сегментийн уртын дөрөвний гурвын зайд байрладаг.
Хоёр эсрэг талын ирмэгийн R ба L дунд цэгүүдийг холбосон шулуун шугам (Зураг 38) нь эдгээр ирмэгийг дайран өнгөрөх диаметраль хавтгайн огтлолцол бөгөөд энэ нь мөн тетраэдрийн хүндийн төвөөр дамжин өнгөрдөг гэдгийг анхаарна уу; Ийнхүү тетраэдрийн эсрэг талын ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг холбосон гурван шулуун шугам нь түүний хүндийн төвд огтлолцдог.
Нэг хос эсрэг талын ирмэгийн дунд цэгүүдийг H гэж үзье (Зураг 38), нөгөө хоёр эсрэг талын ирмэгийн дунд цэгийг M, N гэж үзье. HNLM зураг нь талууд нь бусадтай параллель байдаг параллелограмм юм
хоёр хавирга. Эсрэг хоёр ирмэгийн дунд цэгүүдийг холбосон HL ба MN шулуун шугамууд нь энэ параллелограммын диагональууд бөгөөд энэ нь огтлолцох цэг дээр хагас хуваагдсан гэсэн үг юм. Тиймээс тетраэдрийн хүндийн төв нь тетраэдрийн хоёр эсрэг талын ирмэгийн дунд цэгүүдийг холбосон сегментийн дунд байрладаг.
224. Олон өнцөгт суурьтай пирамид.
Пирамидын хүндийн төв нь пирамидын дээд хэсгийг суурийн хүндийн төвтэй холбосон сегмент дээр, дээд хэсгээс энэ сегментийн уртын дөрөвний гурвын зайд байрладаг.
Энэ теоремыг батлахын тулд бид пирамидын орой болон ABCD суурийн диагональуудаар татсан хавтгайгаар пирамидыг тетраэдр болгон задалдаг (жишээлбэл, 39-р зурагт BD).
Дээрээс нь тэдгээрийн уртын дөрөвний гурвын зайд ирмэгүүдийг огтолж буй хавтгайг зурцгаая. Энэ хавтгайд тетраэдрүүдийн хүндийн төвүүд, улмаар пирамидууд байдаг. Бидний таамаглаж буй тетраэдрүүдийн масс нь тэдгээрийн хүндийн төвүүдэд төвлөрч байгаа бөгөөд тэдгээрийн эзлэхүүнтэй пропорциональ, тиймээс суурийн талбайнуудтай (Зураг 39) эсвэл гурвалжны талбайнууд муу, ор,..., ижил төстэй байна. өмнөх болон секант хавтгайд байрласан abcd... Ийнхүү хүссэн хүндийн төв нь abcd олон өнцөгтийн хүндийн төвтэй давхцаж байна. Сүүлийнх нь пирамидын S оройг суурийн олон өнцөгтийн хүндийн төвтэй (ижил байрлалтай) холбосон шулуун шугам дээр байрладаг.
225. Призм. Цилиндр. Конус.
Тэгш хэм дээр үндэслэн призм ба цилиндрийн хүндийн төвүүд суурийн хүндийн төвүүдийг холбосон сегментийн дунд байрладаг.
Конусыг ижил оройтой дотор нь бичээстэй пирамидын хязгаар гэж үзвэл конусын хүндийн төв нь конусын оройг суурийн хүндийн төвтэй холбосон сегмент дээр хол зайд байрладаг гэдэгт бид итгэлтэй байна. оройноос энэ сегментийн уртын дөрөвний гурвын . Мөн конусын хүндийн төв нь конусын хэсгийн хүндийн төвтэй суурьтай параллель хавтгайгаар давхцаж, конусын өндрөөс дөрөвний нэгийн зайд зурсан гэж хэлж болно.
Дээр олж авсан ерөнхий томъёонд үндэслэн биеийн хүндийн төвүүдийн координатыг тодорхойлох тусгай аргуудыг зааж өгөх боломжтой.
1. Тэгш хэм.Хэрэв нэгэн төрлийн бие нь хавтгай, тэнхлэг эсвэл тэгш хэмийн төвтэй бол (Зураг 7) түүний хүндийн төв нь тэгш хэмийн хавтгай, тэгш хэмийн тэнхлэг эсвэл тэгш хэмийн төвд тус тус байрладаг.
Зураг 7
2. Хагалах.Биеийг хязгаарлагдмал тооны хэсгүүдэд хуваадаг (Зураг 8), тэдгээрийн хувьд хүндийн төв ба талбайн байрлалыг мэддэг.
Зураг 8
3.Сөрөг бүсийн арга.Хуваах аргын онцгой тохиолдол (Зураг 9). Энэ нь зүсэлтгүй биеийн хүндийн төвүүд болон зүсэгдсэн хэсэг нь мэдэгдэж байгаа бол зүсэлттэй биед хамаарна. Зүсэлт бүхий хавтан хэлбэртэй биеийг S 1 талбайтай цул хавтанг (тайралтгүй) ба S 2 зүссэн хэсгийн талбайн хослолоор дүрсэлдэг.
Зураг 9
4.Бүлэглэх арга.Энэ нь сүүлийн хоёр аргын сайн нэмэлт юм. Дүрсийг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хуваасны дараа энэ бүлгийн тэгш хэмийг харгалзан шийдлийг хялбарчлахын тулд тэдгээрийн заримыг дахин нэгтгэх нь тохиромжтой.
Зарим нэгэн төрлийн биетүүдийн хүндийн төвүүд.
1) Дугуй нумын хүндийн төв.Нуманыг анхаарч үзээрэй ABрадиус Ртөв өнцөгтэй. Тэгш хэмийн улмаас энэ нумын хүндийн төв нь тэнхлэг дээр байрладаг Үхэр(Зураг 10).
Зураг 10
Томъёог ашиглан координатыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд нуман дээр сонгоно уу ABэлемент ММ'урт, байрлал нь өнцгөөр тодорхойлогддог. Координат Xэлемент ММ'болно. Эдгээр утгыг орлуулах Xболон г лИнтеграл нь нумын бүхэл бүтэн уртын дагуу үргэлжлэх ёстойг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.
Хаана Л- нумын урт AB, тэнцүү байна.
Эндээс бид эцэст нь дугуй нумын хүндийн төв нь түүний тэгш хэмийн тэнхлэг дээр төвөөс хол зайд оршдог болохыг олж мэдэв. ТУХАЙ, тэнцүү
Энд өнцгийг радианаар хэмждэг.
2) Гурвалжны талбайн хүндийн төв.Онгоцонд хэвтэж буй гурвалжинг авч үзье Окси, оройнуудын координатууд нь мэдэгдэж байна: А и(x i,y i), (би= 1,2,3). Гурвалжинг хажуу талдаа параллель нарийн тууз болгон хуваана А 1 А 2-т гурвалжны хүндийн төв нь голч байх ёстой гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. А 3 М 3 (Зураг 11).
Зураг.11
Гурвалжинг хажуу талдаа параллель тууз болгон хуваах А 2 А 3, энэ нь медиан дээр байх ёстой гэдгийг бид шалгаж болно А 1 М 1. Тиймээс, гурвалжны хүндийн төв нь түүний медиануудын огтлолцлын цэг дээр байрладаг, энэ нь мэдэгдэж байгаагаар, харгалзах талаас нь тоолох медиан тус бүрээс гурав дахь хэсгийг тусгаарладаг.
Ялангуяа дунд зэргийн хувьд А 1 М 1 цэгийн координатыг харгалзан бид олж авна М 1 нь оройнуудын координатын арифметик дундаж юм А 2 ба А 3:
х в = x 1 + (2/3)∙(х М 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.
Тиймээс гурвалжны хүндийн төвийн координатууд нь түүний оройн координатуудын арифметик дундаж юм.
x в =(1/3)Σ x i ; y в =(1/3)Σ y i.
3) Дугуй секторын талбайн хүндийн төв.Радиустай тойргийн салбарыг авч үзье Ртэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрлалтай 2α-ийн төв өнцөгтэй Үхэр(Зураг 12) .
Энэ нь ойлгомжтой y в = 0 бөгөөд энэ салбарыг огтолж буй тойргийн төвөөс хүндийн төв хүртэлх зайг дараах томъёогоор тодорхойлж болно.
Зураг.12
Энэ интегралыг тооцоолох хамгийн хялбар арга бол интеграцийн домайныг өнцгөөр энгийн секторуудад хуваах явдал юм. гφ. Нэгдүгээр эрэмбийн хязгааргүй тоо хүртэл нарийвчлалтай ийм секторыг суурьтай тэнцүү гурвалжингаар сольж болно. Р× гφ ба өндөр Р. Ийм гурвалжны талбай dF=(1/2)Р 2 ∙гφ, түүний хүндийн төв нь 2/3 зайд байна Роройноос, тиймээс бид (5)-д тавьдаг x = (2/3)Р∙cosφ. (5)-д орлуулж байна Ф= α Р 2, бид авна:
Сүүлийн томъёог ашиглан бид, ялангуяа хүндийн төв хүртэлх зайг тооцоолно хагас тойрог.
(2) -д α = π/2-г орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна. x в = (4Р)/(3π) ≅ 0.4 Р .
Жишээ 1.Зураг дээр үзүүлсэн нэгэн төрлийн биеийн хүндийн төвийг тодорхойлъё. 13.
Зураг.13
Бие нь нэгэн төрлийн, тэгш хэмтэй хоёр хэсгээс бүрддэг. Тэдний хүндийн төвүүдийн координатууд:
Тэдний хэмжээ:
Тиймээс биеийн хүндийн төвийн координатууд
Жишээ 2.Зөв өнцгөөр муруйсан хавтангийн хүндийн төвийг олцгооё. Хэмжээ нь зураг дээр байна (Зураг 14).
Зураг 14
Хүндийн төвүүдийн координатууд:
Газар нутаг:
|
Зураг 15
Энэ асуудалд биеийг том дөрвөлжин, дөрвөлжин нүх гэсэн хоёр хэсэгт хуваах нь илүү тохиромжтой. Зөвхөн нүхний талбайг сөрөг гэж үзэх хэрэгтэй. Дараа нь нүхтэй хуудасны хүндийн төвийн координатууд:
зохицуулах 
учир нь бие нь тэгш хэмийн тэнхлэгтэй (диагональ).
Жишээ 4.Утасны бэхэлгээ (Зураг 16) нь ижил урттай гурван хэсгээс бүрдэнэ л.
Зураг 16
Хэсгийн хүндийн төвүүдийн координатууд:
Тиймээс бүхэл хаалтны хүндийн төвийн координатууд нь:
Жишээ 5.Бүх саваа нь ижил шугаман нягттай фермийн хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлно (Зураг 17).
Физикийн хувьд биеийн нягт ρ ба түүний хувийн жин g нь: γ= ρ харьцаатай байдгийг эргэн санацгаая. g, Хаана g- чөлөөт уналтын хурдатгал. Ийм нэгэн төрлийн биеийн массыг олохын тулд нягтыг эзлэхүүнээр нь үржүүлэх хэрэгтэй.
Зураг 17
"Шугаман" эсвэл "шугаман" нягт гэдэг нэр томъёо нь фермийн савааны массыг тодорхойлохын тулд шугаман нягтыг энэ саваагийн уртаар үржүүлэх шаардлагатай гэсэн үг юм.
Асуудлыг шийдэхийн тулд та хуваах аргыг ашиглаж болно. Өгөгдсөн фермийг 6 бие даасан савааны нийлбэрээр төлөөлүүлэн бид дараахь зүйлийг олж авна.
Хаана Л иурт би th фермийн саваа, ба x i, y i- түүний хүндийн төвийн координатууд.
Дотоод сүлжээний сүүлийн 5 баарыг бүлэглэх замаар энэ асуудлын шийдлийг хялбаршуулж болно. Энэ бүлгийн савааны хүндийн төв байрладаг дөрөв дэх бариулын дунд байрлах тэгш хэмийн төвтэй дүрсийг бүрдүүлж байгааг харахад хялбар байдаг.
Тиймээс, өгөгдсөн фермийг зөвхөн хоёр бүлгийн саваагаар төлөөлж болно.
Эхний бүлэг нь эхний саваагаас бүрдэнэ Л 1 = 4 м, x 1 = 0 м, x ( 1 = 2 м хоёр дахь бүлгийн саваа нь таван саваагаас бүрдэнэ Л 2 = 20 м, x 2 = 3 м, x ( 2 = 2 м.
Дотоод сүлжээний хүндийн төвийн координатыг дараахь томъёогоор олно.
x в = (Л 1 ∙x 1 +Л 2 ∙x 2)/(Л 1 + Л 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 м;
y в = (Л 1 ∙x ( 1 +Л 2 ∙x ( 2)/(Л 1 + Л 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 м.
төв гэдгийг анхаарна уу ХАМТхолбосон шулуун шугам дээр байрладаг ХАМТ 1 ба ХАМТ 2 ба сегментийг хуваана ХАМТ 1 ХАМТ 2 талаар: ХАМТ 1 ХАМТ/SS 2 = (x в - x 1)/(x 2 - x в ) = Л 2 /Л 1 = 2,5/0,5.
Өөрийгөө шалгах асуултууд
Зэрэгцээ хүчний төвийг юу гэж нэрлэдэг вэ?
Зэрэгцээ хүчний төвийн координатыг хэрхэн тодорхойлох вэ?
Үр дүн нь тэг болох параллель хүчний төвийг хэрхэн тодорхойлох вэ?
Зэрэгцээ хүчний төв ямар шинж чанартай вэ?
Зэрэгцээ хүчний төвийн координатыг ямар томъёогоор тооцоолох вэ?
Биеийн хүндийн төв гэж юу вэ?
Биеийн цэг дээр үйлчлэх дэлхийн таталцлын хүчийг яагаад параллель хүчний систем гэж үзэж болох вэ?
Нэг төрлийн ба нэгэн төрлийн биетүүдийн хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлох томъёо, хавтгай хэсгүүдийн хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлох томъёог бичнэ үү?
Тэгш өнцөгт, гурвалжин, трапец, хагас тойрог гэсэн энгийн геометрийн хэлбэрийн хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлох томъёог бичнэ үү?
Талбайн статик момент гэж юу вэ?
Хүндийн төв нь биеийн гадна байрладаг биеийн жишээг өг.
Биеийн хүндийн төвийг тодорхойлоход тэгш хэмийн шинж чанарыг хэрхэн ашигладаг вэ?
Сөрөг жингийн аргын мөн чанар юу вэ?
Дугуй нумын хүндийн төв хаана байдаг вэ?
Гурвалжны хүндийн төвийг олохын тулд ямар график бүтцийг ашиглаж болох вэ?
Дугуй секторын хүндийн төвийг тодорхойлох томъёог бич.
Гурвалжин ба дугуй секторын хүндийн төвүүдийг тодорхойлох томъёог ашиглан дугуй сегментийн ижил төстэй томъёог гарга.
Нэг төрлийн биет, хавтгай дүрс, шугамын хүндийн төвүүдийн координатыг ямар томъёогоор тооцоолох вэ?
Онгоцны дүрсийн талбайн тэнхлэгтэй харьцуулахад статик момент гэж юу вэ, үүнийг хэрхэн тооцдог, ямар хэмжээстэй вэ?
Хэрэв түүний бие даасан хэсгүүдийн хүндийн төвүүдийн байрлал мэдэгдэж байгаа бол тухайн талбайн хүндийн төвийн байрлалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?
Таталцлын төвийн байрлалыг тодорхойлоход ямар туслах теоремуудыг ашигладаг вэ?
