Уламжлал ёсоор бол тодорхой багцуудыг ихэвчлэн тодорхой хил хязгаартай тойргоор дүрсэлсэн байдаг. Тодорхой бус олонлогууд нь бие даасан цэгүүдээс бүрдсэн тойрог юм: тойргийн төвд олон цэгүүд байдаг бөгөөд зах руу ойртох тусам нягт нь тэг болж буурдаг; тойрог нь ирмэг дээр сүүдэрлэсэн мэт харагдаж байна. Ийм "тодорхой багц"-ыг буудлагын талбай дээр - бай өлгөх ханан дээр харж болно. Сумны тэмдэг үүсдэг санамсаргүйматематик нь мэдэгдэж байгаа олонлогууд. Мэс засал хийх гэж байсан нь тогтоогдсон бүдэг олонлогуудСанамсаргүй олонлогийн удаан хугацаанд боловсруулсан төхөөрөмж тохиромжтой ...

Тодорхой бус байдлын тухай ойлголттогтоосон - оролдлого математикийн албан ёсны хэлбэрбүтээн байгуулалтад ашиглах зорилгоор тодорхой бус мэдээлэл математик загварууд нарийн төвөгтэй системүүд. Энэ үзэл баримтлал нь тухайн олонлогийг бүрдүүлэгч элементүүд болон байдаг гэсэн санаан дээр суурилдаг нийтлэг өмч, энэ шинж чанар нь янз бүрийн түвшинд байж болох ба тиймээс янз бүрийн зэрэгтэй өгөгдсөн олонлогт хамаарах болно.

Хамгийн энгийн аргуудын нэг математик тайлбар бүдэг олонлог– элементийн олонлогт гишүүнчлэлийн зэрэглэлийн шинж чанарыг тоогоор, жишээлбэл интервалаас. Болъё X- тодорхой элементүүдийн багц. Дараах зүйлд бид энэ багцын дэд бүлгүүдийг авч үзэх болно.

X дахь бүдэг олонлог Ахэлбэрийн хосуудын цуглуулга гэж нэрлэдэг ( x,м A(x)), Хаана xÎX,ба м А- функц x®, дуудсан гишүүнчлэлийн функцбүдэг олонлог А. м үнэ цэнэ A(x)Энэ функц нь тодорхой xЭнэ элементийн тодорхой бус олонлогийн гишүүнчлэлийн зэрэг гэж нэрлэдэг А.

Энэхүү тодорхойлолтоос харахад бүдэг олонлогийг гишүүнчлэлийн функцээр нь бүрэн дүрсэлсэн байдаг тул бид энэ функцийг бүдэг олонлогийн тэмдэглэгээ болгон ашиглах нь элбэг.

Энгийн олонлогууд нь ангийн дэд ангийг бүрдүүлдэг бүдэг олонлогууд. Үнэхээр энгийн олонлогийн гишүүнчлэлийн функц БÌ Xтүүнийх онцлог функц: м B(x)=1 бол xÎ Бба м B(x)=0 бол xÏ Б.Дараа нь тодорхой бус олонлогийн тодорхойлолтын дагуу энгийн олонлог INмөн маягтын хосуудын багц гэж тодорхойлж болно ( x,м B(x)). Тиймээс бүдэг олонлог нь илүү юм өргөн ойлголтэнгийн олонлогоос илүү, бүрхэг олонлогийн гишүүнчлэлийн функц нь ерөнхийдөө дурын функц эсвэл бүр дурын зураглал байж болно гэсэн утгаараа.

Бид ярьж байна бүдэг олонлог. Мөн олон юу?Хэрэв бид тууштай байвал тодорхой бус олонлогийн элемент нь ... шинэ бүдэг олонлогийн шинэ бүдэг олонлог гэх мэт болж хувирдаг гэдгийг хэлэх ёстой. -руу хандъя сонгодог жишээ- Хэнд овоо үр тариа. Энэхүү бүдэг олонлогийн элемент нь байх болно сая үр тариа, Жишээ нь. Гэтэл сая үр тариа огт тодорхойгүй байна элемент, мөн шинэ бүдэг олонлог. Эцсийн эцэст, үр тариа (гараар эсвэл автоматаар) тоолохдоо алдаа гаргах нь гайхах зүйл биш юм - жишээ нь 999,997 үр тариаг сая болгон авна. Энд бид 999,997-р элемент нь 0.999997-тэй тэнцэх "сая"-ын гишүүнчлэлийн функцийн утгатай гэж хэлж болно. Нэмж дурдахад үр тариа нь өөрөө элемент биш, харин шинэ бүдэг олонлог юм: бүрэн хэмжээний үр тариа, хоёр хайлсан үр тариа, хөгжөөгүй үр тариа эсвэл зүгээр л хальс байдаг. Тариа тоолохдоо хүн заримыг нь үгүйсгэж, хоёр тариаг нэг, өөр тохиолдолд нэг тариаг хоёр болгон авах ёстой. Бүдэг олонлогийг дижитал компьютерт сонгодог хэлээр оруулах нь тийм ч хялбар биш: массивын элементүүд (вектор) нь массивуудын шинэ массив байх ёстой (хэрэв бид энэ тухай ярих юм бол үүрлэсэн векторууд ба матрицууд) Mathcad). Сонгодог яруу олонлогийн математик (тооны онол, арифметик гэх мэт) нь дэгээ юм. ухаалаг хүнэргэн тойрон дахь гулгамтгай, тодорхой бус ертөнцөд өөрийгөө засдаг (тодорхойлдог). Таны мэдэж байгаагаар дэгээ нь наалдсан зүйлээ ихэвчлэн сүйтгэдэг нэлээд бүдүүлэг хэрэгсэл юм. Бүдэг олонлогуудыг илэрхийлдэг нэр томъёо - "маш их", "бага зэрэг", "бага зэрэг" гэх мэт. гэх мэт - үүнийг компьютерт "чихэх" хэцүү байдаг, учир нь тэд контекст хамааралтай. Нэг аяга үртэй хүнд “Үр өгөөч” гэж хэлэх нэг хэрэг, үртэй машины жолооны ард сууж буй хүнд хэлэх өөр хэрэг.

Тодорхой бус дэд олонлог Абагц Xгишүүнчлэлийн функцээр тодорхойлогддог m А:X→, элемент бүрийг хуваарилдаг xÎ Xтоо m A(x)элементийн гишүүнчлэлийн зэргийг тодорхойлсон интервалаас Xдэд олонлог А. Түүнчлэн, 0 ба 1 нь хамгийн бага ба тус тусыг илэрхийлнэ хамгийн дээд зэрэгтодорхой дэд бүлэгт хамаарах элемент.

Үндсэн тодорхойлолтуудыг өгье.

· Нэмэлт үнэ цэнэ м А(x) дуудсан өндөр бүдэг олонлог А. Тодорхой бус багц А Сайн байна , хэрэв түүний өндөр бол 1 , өөрөөр хэлбэл дээд хязгааргишүүнчлэлийн функц нь тэнцүү байна 1. Орой байхдаа мА(x)<1 бүдэг олонлог гэж нэрлэдэг хэвийн бус.

Тодорхой бус олонлог гэж нэрлэдэг хоосон, хэрэв түүний гишүүнчлэлийн функц нь бүх багц дээр тэгтэй тэнцүү бол X, өөрөөр хэлбэл м 0 (x)= 0 " xÎ X.

Тодорхой бус багц хоосон , Хэрэв " xÎ Эм А ( x)=0 . Хоосон бус дэд хэвийн олонлогийг томъёогоор хэвийн болгож болно

(Зураг 1).

Зураг 1. Гишүүнчлэлийн функц бүхий бүдэг олонлогийг хэвийн болгох. .

Тээвэрлэгчбүдэг олонлог А(тэмдэглэл нэмэлт А) гишүүнчлэлийн функцтэй m A(x)маягтын багц гэж нэрлэдэг нэмэлт А={x|xÎ X,м A(x)> 0). Учир нь практик хэрэглээтодорхой бус олонлогийн тээвэрлэгчид үргэлж хязгаарлагдмал байдаг. Иймээс системийн зөвшөөрөгдөх горимуудын бүдэг багцын тээвэрлэгч нь зөвшөөрөгдөх зэрэг нь тэгтэй тэнцүү биш тодорхой дэд олонлог (интервал) байж болно (Зураг 2).

Цагаан будаа. 3. Гол, тээвэрлэгч ба α- бүдэг олонлогийн хэсэг

Утга α дуудсан α - түвшин. Тээвэрлэгч (цөм) нь тэг (нэгж) дээр тогтсон бүдэг олонлогийн хэсэг гэж үзэж болно. α - түвшин.

Цагаан будаа. 3-т тодорхойлолтыг харуулав тээвэрлэгч, гол,α - хэсгүүд баα - түвшинбүдэг олонлог.

БҮСГҮЙ олонлог, хэл шинжлэлийн хувьсагчийн ОНОЛЫН ҮНДСЭН ОЙЛГОЛТ

1. Тодорхой бус олонлогийн тухай ойлголт ба үндсэн шинж чанарууд

Тодорхойлолт 1.1. X нь бүх нийтийн олонлог байг. Тодорхой бус олонлог А X олонлог дээрх (X олонлогийн тодорхой бус дэд олонлог А) нь хосуудын цуглуулга юм

A = (<μ A (x ),x >}, (1.1)

Энд x X ,μ A (x ) .X гэж нэрлэдэг тодорхойлолтын домэйнбүдэг олонлогA, ба μ A – гишүүнчлэлийн функцэнэ олон хүнээс. Тодорхой х X элементийн гишүүнчлэлийн μ A (x) функцийн утгыг нэрлэнэ харьяаллын зэрэгэнэ элементийг тодорхой бус олонлогт А.

Гишүүнчлэлийн функцийн тайлбар нь x X элемент нь ойлголттой хэр зэрэг нийцэж байгааг харуулах субъектив хэмжүүр бөгөөд түүний утгыг бүдэг бадаг А олонлогоор албан ёсоор илэрхийлдэг. Энэ тохиолдолд 1-тэй тэнцэх утга нь бүрэн (үнэмлэхүй) нийцэж байгааг, 0-тэй тэнцэх утга нь бүрэн (үнэмлэхүй) зөрүү гэсэн үг юм.

Тодорхойлолт 1.2. Тодорхойлолтын салангид домэйн бүхий тодорхой бус олонлогуудыг нэрлэнэ салангид бүдэг олонлогууд, Үгүй-

тодорхой багцууд тасралтгүй талбайтодорхойлолтууд - тасралтгүй

тодорхой бус олонлогууд.

Энгийн (шаржиг) олонлогуудыг мөн тодорхой бус контекстээр авч үзэж болно. Энгийн олонлогийн гишүүнчлэлийн функц нь зөвхөн хоёр утгыг авч болно: хэрэв тухайн элемент олонлогт харьяалагдахгүй бол 0, хэрэв тухайн элемент түүнд хамаарах бол 1.

Уран зохиолоос та олж болно янз бүрийн хэлбэрүүдбүдэг олонлогийн бичлэгүүд. Учир нь салангид талбайтодорхойлолт X =(x 1 ,x 2 , …,x n ) (n = ∞ тохиолдол бас боломжтой) дараах хэлбэрүүд байна:

j = 1

интеграл тэмдэг нь утга учиртай цэгийн нэгдэл onX. Нэмж дурдахад, салангид болон тасралтгүй тохиолдлуудын хувьд тэмдэглэгээний ерөнхий хэлбэрийг ашигладаг.

B = (x x ≈ 2) – бодит тоонуудын багц, ойролцоогоор тэнцүү 2 ба C = (x x >> 1) – бодит тооны олонлог, дээр-

олон том 1. Боломжит хэлбэрүүдЭдгээр олонлогуудын гишүүнчлэлийн функцийг 1.1-р зураг, 1.2-р зурагт тус тус схемээр үзүүлэв.

Дискрет бүдэг олонлогийн жишээ болгон бид D = (n n ≈ 1) – 1-тэй ойролцоо бүхэл тоонуудын багцыг авч үзэж болно.

боломжит хэлбэр нь дараах байдалтай байна.

N = (0.2/-3; 0.4/-2; 0.6/-1; 0.8/0; 1/1; 0.8/2; 0.6/3; 0.4/4; 0.2/5) (үлдсэн цэгүүд нь тэг градустай байна. гишүүнчлэл).

Гишүүнчлэлийн функцийн тодорхой хэлбэр нь тухайн нөхцөл байдалд албан ёсны ойлголтод оруулсан утгаас хамаарна тодорхой даалгавар, ихэвчлэн субъектив шинж чанартай байдаг. Гишүүнчлэлийн функцийг бий болгох ихэнх аргууд нь нэг хэмжээгээр шинжээчийн аргаар олж авсан мэдээллийг боловсруулахад үндэслэдэг.

Тайлбар 1. Энд sup (supremum) нь яг тодорхой байна дээд ирмэггишүүнчлэлийн функцууд. Хэрэв X олонлог (тодорхойлолтын домэйн) хаалттай бол функцийн дээд хэмжээ нь түүний хамгийн их утгатай давхцдаг.

Тодорхойлолт 1.5. Хэрэв h A = 1 бол бүдэг А олонлогийг дуудна

хэвийн харагдаж байна, үгүй ​​бол (hA< 1) – субнормальным.

Тодорхойлолт 1.6. А бүдэг олонлогийн зөөгч нь олонлог юм

Тодорхойлолтын хүрээний элементүүд, наад зах нь тодорхой хэмжээгээр албан ёсны ойлголттой нийцдэг.

Тайлбар 2: sup болон Supp гэсэн тэмдэглэгээг андуурч болохгүй. Эхнийх нь supremum гэсэн үгийн товчлол, хоёр дахь нь дэмжлэг гэсэн үг.

Тодорхойлолт 1.7. Бүдэг α (α -зүсмэл) түвшний багц

Бүдэг олонлогийн цөм нь албан ёсны үзэл баримтлалд бүрэн нийцсэн тодорхойлолтын хүрээний бүх элементүүдийг агуулдаг.

эндээс энэ нь элемент юм олон талтα түвшин нь β ≤α жижиг түвшний бүх багцад хамаарна.

Тодорхойлолт 1.9. X олонлог дээр μ A ба μ B гишүүнчлэлийн функцтэй А ба В бүдэг олонлог байг. Гово-

А нь B(B)-ийн тодорхой бус дэд олонлог юм

A), хэрэв дараах нөхцөл хангагдсан бол:

Тодорхойлолтын тоон мужтай бүдэг олонлогуудын дунд мөн тодорхой бус тоо болон тодорхой бус интервалууд. Энэ ангиллыг тодорхойлохын тулд бүдэг олонлогийн гүдгэр ойлголтыг оруулсан болно.

Тодорхойлолт 1.11. Дараах нөхцөл хангагдсан тохиолдолд бодит тэнхлэгийн тодорхой бус А дэд олонлогийг гүдгэр гэж нэрлэдэг.

Зураг дээр. Зураг 1.3-д гүдгэр (зүүн) ба гүдгэр бус (баруун) бүдэг олонлогийн жишээг үзүүлэв.

Цагаан будаа. 1.3. Тодорхой бус олонлогийн гүдгэр байдлын тодорхойлолт руу

Тодорхойлолт 1.12. Тодорхой бус интервал дээр гүдгэр хэвийн бүдэг олонлог гэж нэрлэдэг тоон домэйнбайгаа тодорхойлолтууд тасралтгүй функцэд зүйлс болон хоосон бус цөм.Тодорхой бус тоо цөм нь яг нэг элемент агуулсан тодорхой бус интервал юм.

Бүдэг интервал болон тоонуудын хувьд төлөөллийн теорем байдаг бөгөөд үүний дагуу бодит тэнхлэгийн тодорхой бус дэд олонлог А нь бүрхэг интервал болно, хэрэв гишүүнчлэлийн функц нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэх боломжтой бол:

L A ба R A функцийг бүдэг тооны гишүүнчлэлийн функцийн зүүн ба баруун салбар гэж нэрлэдэг. Эдгээр функцууд тасралтгүй байх ба сегмент дээрх L A нь L A (a 0 ) = 0-ээс нэмэгддэг

L A (a 1 ) = 1, сегмент дээрх R A нь R A (b 1 ) = 1-ээс R A (b 0 ) = 0 хүртэл буурдаг (Зураг 1.4).

Цагаан будаа. 1.4. Тодорхой бус интервалын тодорхойлолт руу

Тодорхойлолт 1.13. A = (A 1 ,A 2 ,… ,A n ) байг – X .Ã тодорхойлолтын домайн дээр тодорхойлогдсон бүдэг олонлогуудын бүлгийг гэнэ. тодорхой бус хуваалт Xα параметртэй (0<α ≤ 1), если все множестваA j являются выпуклыми и нормальными, и выполняется условие:

(өөрөөр хэлбэл, тодорхойлолтын домэйны аль ч элемент нь α-аас багагүй зэрэгтэй Ã гэр бүлийн дор хаяж нэг багцад хамаарна - Зураг 1.5).

Харъяаллын тухай ойлголтын ерөнхий ойлголт. Харгалзан үзсэн жишээнүүдэд шинж чанарын функц нь 0 эсвэл 1 утгыг авсан. Шинж чанар функц нь -ээс ямар ч утгыг авдаг гэж үзье. Тэгвэл тухайн элемент олонлогт хамаарахгүй, тодорхой хэмжээгээр хамаарахгүй, олонлогийн элемент байж болно.

Тодорхой бус багц . Тодорхой бус дэд олонлоголонлогийн (тодорхой бус олонлог) нь тухайн олонлогийн элементийн гишүүнчлэлийн функц, энэ олонлогт элементийн гишүүнчлэлийн зэрэг, өөрөөр хэлбэл нийцлийн хэмжүүрийг илэрхийлдэг дараалсан хосуудын багц юм. тодорхой бус олонлогийн шинж чанартай универсал олонлогийн элемент. Тасралтгүй олонлогийн хувьд тодорхой бус олонлогийг тодорхойлохдоо дараах тэмдэглэгээг ашиглана: .

Маш олон дагалдах хэрэгсэл. Гишүүнчлэлийн функцийн утгуудын багцыг дууддаг Маш олон дагалдах хэрэгсэл. Хэрэв , тэгвэл энгийн олонлог, өөрөөр хэлбэл тод олонлогийг бүдэг олонлогийн хязгаарлах тохиолдол гэж үзэж болно. Энэ зааварчилгааны дараа маш олон хангамж.

Тодорхой бус олонлогийн хүч. Бүх нийтийн олонлог дээр бүдэг олонлогийг зааж өгье. Хүчтодорхой бус олонлог эсвэл түүний Кардинал тоодараах байдлаар тодорхойлогддог: .

Жишээ 28.Бүх нийтийн олонлог дээр бид дараах бүдэг олонлогийг тодорхойлно.

Тодорхой бус олонлогийн үндсэн дугаарыг тодорхойлъё:

Тодорхой бус олонлогт элемент хамаарахыг мөн дараах байдлаар тэмдэглэж болно.

Тодорхой бус олонлогийн элементийн гишүүнчлэлийн зэргийг тодорхойлохын тулд тусгай нэр томъёо байдаг. Тиймээс тодорхой бус олонлогийг тодорхойлсон Жишээ 28,бага хэмжээгээр элементийг агуулдаг, агуулаагүй, бага хэмжээгээр агуулагддаг, их хэмжээгээр - ба, мөн элементийг агуулдаг.

Жишээ 29.Жижиг натурал тоонуудын тодорхой бус багцыг дараах байдлаар тодорхойлж болно.

Сэтгэгдэл. Үнэт зүйлсийг субъектив байдлаар өгдөг.

Тодорхой бус олонлогийн тээвэрлэгч. ТээвэрлэгчТодорхой бус олонлогийн (дэмжлэг) нь элементүүдийн багц юм.

түүний дэмжлэг нь хоосон багц бол хоосон. Тодорхой бус олонлогийн цөм. Гол

Тодорхой бус олонлог () нь элементүүдийн багц юм. . Тодорхой бус олонлогийн өндөр Хэмжигдэхүүнийг (дискрет бүх нийтийн багцын хувьд) гэж нэрлэдэгӨндөр

бүдэг олонлог (). . Хэвийн ба хэвийн бус бүдэг олонлогууд Тодорхой бус багцСайн байна , хэрэв түүний өндөр нь 1. Хэрэв өндөр нь 1-ээс бага бол бүдэг олонлогийг нэрлэнэХэвийн бус

. Ямар ч хоосон бус дэд хэвийн бүдэг олонлогийг гишүүнчлэлийн функцийг хэвийн болгосноор хэвийн болгон хувиргаж болно. Unimodal бүдэг олонлогууд. Тодорхой бус олонлог гэж нэрлэдэг Unimodal

, хэрэв зөвхөн нэг . Тодорхой бус олонлогуудын шилжилтийн цэгүүд. гэж нэрлэдэг элементүүдШилжилтийн цэгүүд

бүдэг олонлог. . Unimodal бүдэг олонлогууд. Гүдгэр бүдэг олонлогуудГүдгэр

, Хэрэв:Жишээ 30.

Бүх нийтийн олонлог нь бодит тоонуудын олонлог байг, өөрөөр хэлбэл. Тодорхой бус олонлогийг тоотой ойролцоо тооны олонлог гэж тодорхойлъё (Зураг 4).

Зураг 4

Гишүүнчлэлийн функцийг дараах байдлаар тодорхойлж болно: , энд . Экспонентийг ойролцоох зэргээс хамаарч сонгоно. Жишээлбэл, -тэй маш ойрхон тооны багцыг дүрслэхийн тулд та ; -аас тийм ч холгүй тооны багцын хувьд , .Жишээ 31. Бүх нийтийн багц дээрТодорхой бус олонлог өгөгдсөн. Тодорхой бус олонлогийн хувьд: 1) түүний үндсэн байдлыг тодорхойлох; 2) тээвэрлэгч, гол ба өндрийг тодорхойлох; 3) хэвийн эсвэл хэвийн бус эсэхийг олж мэдэх. Хэрэв дэд хэвийн бол түүнийг хэвийн болгох; 4) үүссэн багц нь unimodal эсэхийг шалгах; 5) шилжилтийн цэгүүдийг тодорхойлох.

1. Тодорхойлолтоор хязгаарлагдмал универсал олонлог дээр тодорхойлогдсон бүдэг олонлогийн хүчийг (кардинал тоо) дараах томъёогоор тодорхойлно.

2. Тодорхой бус олонлогийн тулгуур, цөм, өндрийн тодорхойлолтыг ашиглая. Мэдээжийн хэрэг, , , .

3. Өгөгдсөн бүдэг олонлог нь хэвийн бус байна. Түүнд тохирох бүдэг хэвийн олонлогийг байгуулъя. Үүнийг хийхийн тулд бид элементийн гишүүнчлэлийн функцийн утгыг томъёогоор тооцоолно.

Бидэнд: , төстэй: , , , , . Тиймээс бүдэг бадаг нормчлогдсон олонлог.

4. Олонлог нь зөвхөн нэг элементийг агуулж байгаа тул unimodal байна.

5. Олонлог нь өвөрмөц шилжилтийн цэгтэй – , учир нь зөвхөн .

Тодорхой бус олонлогийг тоогоор үржүүлэх. Хэрэв эерэг тоо байвал тодорхой бус олонлогийн гишүүнчлэлийн функцийг дараах байдлаар тодорхойлно: .

Тодорхой бус олонлогуудын харьцуулалт. Бүх нийтийн олонлог дээр тодорхойлсон хоёр бүдэг бадаг олонлогийг авч үзье.

Тэд ингэж хэлдэг Агуулсан-д, өөрөөр хэлбэл, хэрэв байгаа бол . Графикийн хувьд энэ нь бүдэг олонлогийг тодорхойлсон муруй нь тодорхой бус олонлогийн ижил төстэй муруйгаас дээгүүр байрлана гэсэн үг юм. Хэрэв хамрагдах нөхцөл нь хүн бүрт сэтгэл хангалуун бус байвал бид ярилцах болно Оруулсан зэрэг-д, гэж тодорхойлогддог, оруулах нөхцөл хангагдсан олонлог хаана байна.

Хоёр бүдэг олонлог ба Тэнцүү, хэрэв тэдгээр нь бие биедээ агуулагдаж байгаа бол, өөрөөр хэлбэл, хэрэв байгаа бол .

Дэд багц - түвшин. Тодорхой бус олонлогийн -түвшний дэд олонлог , , нь тодорхой элементүүдийн дэд олонлог юм. Энэ багцыг мөн нэрлэдэг - тодорхой бус олонлогийн хэсэг. Энэ тохиолдолд хэрэв , дараа нь бид хүчтэй хэсгийн тухай, хэрэв , дараа нь бид сул хэсгийн тухай ярьдаг. явагддаг Чухал өмч : хэрэв, тэгвэл.

Тодорхой бус олонлогийн шинжилгээ, синтезийн хувьд тэд ашигладаг Задаргааны теорем: тодорхой бус олонлогийг өөрийн түвшний олонлогт дараах байдлаар задалж болно: , энд тоо ба олонлогийн үржвэр байна.

Жишээ 32.Бүх нийтийн олонлог дээр бид бүдэг олонлогийг тодорхойлдог. Тодорхой бус олонлогийн бүх дэд олонлогуудыг олъё:

Тодорхой бус олонлогийн задралын теоремын дагуу бид өгөгдсөн бүдэг олонлогийг дараах байдлаар төлөөлдөг.

В.Я.Пивкин, Е.П.Бакулин, Д.И.Коренков

Хяналтын систем дэх бүдэг олонлогууд

Засварласан
Техникийн шинжлэх ухааны доктор, профессор Ю.Н. Золотухина

Өмнөх үг. 3

ТАНИЛЦУУЛГА.. 4

1. FUZZY SETS... 5

Тодорхой бус олонлог бичих жишээ. 5

Тодорхой бус олонлогийн үндсэн шинж чанарууд. 5

Тодорхой бус олонлогуудын жишээ. 6

Тодорхой бус олонлогийн гишүүнчлэлийн функцийг байгуулах аргуудын тухай. 7

Тодорхой бус олонлог дээрх үйлдлүүд. 8

Тодорхой бус олонлог дээрх үйлдлүүдийн дүрслэл. 9

È ба Ч үйл ажиллагааны шинж чанарууд. 9

Тодорхой бус олонлог дээрх алгебрийн үйлдлүүд. 10

Тодорхой бус олонлогуудын хоорондын зай, тодорхой бус индекс. 13

Ерөнхий болгох зарчим. 16

2. БҮДГҮЙ ХАРИЛЦАА.. 17

Тодорхой бус харилцааны үйлдлүүд. 18

Хоёр бүдэг харилцааны найрлага. 21

Нөхцөлт тодорхой бус дэд олонлогууд. 23

3. БҮСГҮЙ БОЛОН ХЭЛНИЙ ХУВЬСАГЧИД... 27

Тодорхой бус тоо. 28

Тодорхой бус тоон дээрх үйлдлүүд. 28

Тодорхой бус тоо (L-R) төрлийн. 29

4. ТОГТОЛЦООНЫ БҮДГҮЙ МЭДЭГДЭЛ БОЛОН СИСТЕМИЙН БҮДГҮЙ ЗАГВАР... 32

Тодорхой бус мэдэгдлийг хувиргах дүрэм. 33

Тодорхой бус нөлөөллийг тодорхойлох аргууд. 33

Системийн логик хэл шинжлэлийн тайлбар, бүдэг бадаг загвар. 35

Уурын зуухны удирдлагын загвар.. 36

Удирдлагын дүрмийн бүрэн байдал, тууштай байдал. 39

Уран зохиол. 40

Өмнөх үг

Хүний оюун ухааны хамгийн гайхалтай шинж чанар нь бүрэн бус, тодорхой бус мэдээллийн өмнө зөв шийдвэр гаргах чадвар юм. Ойролцоогоор хүний ​​сэтгэхүйн загварыг бий болгох, хойч үеийнхний компьютерийн системд ашиглах нь өнөөгийн шинжлэх ухааны хамгийн чухал асуудлын нэг юм.

Энэ чиглэлд 30 жилийн өмнө Калифорнийн Их Сургуулийн (Беркли) профессор Лотфи А.Задех томоохон ахиц дэвшил гаргасан юм. Түүний 1965 онд Мэдээлэл ба Хяналтын ╬ 8 сэтгүүлд хэвлэгдсэн "Тодорхой багц" бүтээл нь хүний ​​оюуны үйл ажиллагааг загварчлах үндэс суурийг тавьж, математикийн шинэ онолыг хөгжүүлэх анхны түлхэц болсон юм.

Заде юу санал болгосон бэ? Нэгдүгээрт, тэрээр сонгодог канторын үзэл баримтлалыг өргөжүүлсэн багц, шинж чанарын функц (элементийн олонлогийн гишүүнчлэлийн функц) нь зөвхөн 0 эсвэл 1 утгыг бус (0;1) интервалд дурын утгыг авч болно гэж үзвэл ийм олонлогуудыг тэр дуудсан. тодорхойгүй (бүдэг). Л.Заде мөн тодорхой бус олонлог дээр хэд хэдэн үйлдлүүдийг тодорхойлж, сайн мэддэг логик дүгнэлтийн арга барил, модуль толленсын ерөнхий дүгнэлтийг санал болгов.

Дараа нь үзэл баримтлалыг танилцуулсан хэл шинжлэлийн хувьсагчмөн бүдэг олонлогууд түүний утга (нэр томъёо) болж ажилладаг гэж үзвэл Л.Заде илэрхийллийн бүдэг ба тодорхой бус байдал зэрэг оюуны үйл ажиллагааны үйл явцыг дүрслэх аппаратыг бүтээжээ.

Профессор Л.Заде болон түүний дагалдагчдын цаашдын ажил нь шинэ онолын бат бөх суурийг тавьж, тодорхой бус удирдлагын аргуудыг инженерийн практикт нэвтрүүлэх урьдчилсан нөхцөлийг бүрдүүлсэн.

Сүүлийн 5-7 жил үйлдвэрлэлд шинэ арга, загвар хэрэглэж эхэлсэн. Бүдэг удирдлагын системийг анх удаа Европт хэрэглэж байсан ч Японд ийм системийг хамгийн эрчимтэй хэрэгжүүлж байна. Тэдгээрийн хэрэглээний хүрээ өргөн: метроны галт тэрэгний хөдлөх, зогсох үйл явцыг хянах, ачааны цахилгаан шат, тэсэлгээний зуухыг удирдахаас эхлээд угаалгын машин, тоос сорогч, богино долгионы зуух хүртэл. Үүний зэрэгцээ бүдэг бадаг системүүд нь уламжлалт автомат удирдлагын системтэй харьцуулахад нөөц ба эрчим хүчний зардлыг бууруулахын зэрэгцээ бүтээгдэхүүний чанарыг сайжруулах боломжийг олгодог бөгөөд хөндлөнгийн хүчин зүйлүүдэд илүү өндөр эсэргүүцэл үзүүлдэг.

Өөрөөр хэлбэл, шинэ хандлага нь автоматжуулалтын системийн хэрэглээний цар хүрээг сонгодог онолын хэрэглэгдэхүүнээс илүү өргөжүүлэх боломжийг олгодог. Энэ талаар Л.Задегийн үзэл бодол сонирхолтой байна: “Нягт нямбай байх хэт их хүсэл нь энэ чиглэлийн судалгааг бодитой болгоход хүргэж байгаа тул хяналтын онол, системийн онолыг хүчингүй болгож эхэлсэн гэж би үзэж байна. Зөвхөн нарийн шийдвэрлэх боломжтой асуудлууд дээр анхаарлаа төвлөрүүлсэн тул өгөгдөл, зорилго, хязгаарлалт нь нарийн математикийн шинжилгээ хийх боломжийг олгоход хэтэрхий төвөгтэй эсвэл буруу тодорхойлогдсон чухал асуудлуудын олон ангиллыг орхиж, орхисон. Тэд математикийн анализ хийх боломжгүй тул ийм төрлийн асуудлын талаар ямар нэг чухал зүйл хэлэхийн тулд бид нарийвчлалын шаардлагаас татгалзаж, тодорхой бус эсвэл тодорхойгүй үр дүнг зөвшөөрөх ёстой."

Бүдэг системийн судалгааны анхаарлын практик хэрэглээ рүү шилжсэнээр тодорхой бус тооцоололд зориулсан шинэ компьютерийн архитектур, бүдэг компьютер ба хянагчийн элементийн суурь, хөгжүүлэлтийн хэрэгслүүд, бүдэг бадаг тооцоололыг тооцоолох, хөгжүүлэх инженерийн аргууд зэрэг олон асуудлыг боловсруулахад хүргэсэн. хяналтын систем болон бусад олон.

Энэхүү сурах бичгийн гол зорилго нь оюутнууд, аспирантууд, залуу судлаачдын анхаарлыг тодорхой бус бодлогод татах, орчин үеийн шинжлэх ухааны хамгийн сонирхолтой чиглэлүүдийн нэгийг хүртээмжтэй танилцуулах явдал юм.

Профессор Ю.Н.Золотухин

ТАНИЛЦУУЛГА

-ийн дэвшүүлсэн бүдэг олонлогийн математикийн онол Л.Задедөрөвний нэг зуун гаруй жилийн өмнөх энэ нь бүдэг бадаг ойлголт, мэдлэгийг дүрслэх, энэ мэдлэгээр ажиллах, тодорхой бус дүгнэлт гаргах боломжийг олгодог. Энэхүү онол дээр үндэслэн компьютерийн бүдэг бадаг системийг бий болгох аргууд нь компьютерийн хэрэглээний хамрах хүрээг ихээхэн өргөжүүлдэг. Сүүлийн үед бүдэг бадаг хяналт нь тодорхой бус олонлогын онолын хэрэглээний судалгааны хамгийн идэвхтэй, үр бүтээлтэй чиглэлүүдийн нэг болоод байна. Технологийн үйл явц нь ердийн тоон аргуудыг ашиглан дүн шинжилгээ хийхэд хэтэрхий төвөгтэй, эсвэл байгаа мэдээллийн эх сурвалжийг чанарын хувьд, тодорхой бус эсвэл бүрхэг тайлбарласан тохиолдолд бүдэг бадаг хяналт нь ялангуяа ашигтай байдаг. Уламжлалт хяналтын алгоритмтай харьцуулахад бүдэг бадаг хяналт нь илүү сайн үр дүнг өгдөг болохыг туршилтаар харуулсан. Бүдэг аргууд нь тэсэлгээний зуух, цувих тээрэм, машин, галт тэрэг зэргийг удирдах, яриа, дүрсийг таних, мэдрэгчтэй, хараатай робот зохион бүтээхэд тусалдаг. Бүрхэг удирдлага дээр суурилдаг бүдэг логик нь уламжлалт логик системээс илүү хүний ​​сэтгэлгээ, байгалийн хэлтэй ойр байдаг. Бүдэг логик нь үндсэндээ бодит ертөнцийн тодорхой бус байдал, тодорхой бус байдлыг илэрхийлэх үр дүнтэй арга хэрэгсэл болдог. Анхны мэдээллийн тодорхой бус байдлыг тусгах математик хэрэгсэл байгаа нь бодит байдалд тохирсон загварыг бий болгох боломжийг бидэнд олгодог.

1. FUZZY SETS

Болъё Э- бүх нийтийн багц, x - элемент Э, А Р- зарим өмч. Тогтмол (цэвэр) дэд хэсэг Абүх нийтийн багц Э, түүний элементүүд нь өмчийг хангадаг Р, эрэмбэлэгдсэн хосуудын багц гэж тодорхойлогддог A = ( м А ( X)/X } , Хаана

м А ( X) - онцлог функц, утгыг авч байна 1 , Хэрэв x эд хөрөнгийг хангадаг R,Тэгээд 0 - өөрөөр.

Тодорхой бус дэд олонлог нь энгийн дэд олонлогоос элементүүдийн хувьд ялгаатай байдаг x -аас Этодорхой хариулт алга байна "Үнэхээр биш"эд хөрөнгийн талаар Р. Үүнтэй холбогдуулан тодорхой бус дэд олонлог Абүх нийтийн багц Ээрэмбэлэгдсэн хосуудын багц гэж тодорхойлогддог A = ( м А ( X)/X } , Хаана

м А ( X) - онцлог гишүүнчлэлийн функц(эсвэл зүгээр л гишүүнчлэлийн функц) тодорхой дараалсан багц дахь утгыг авах М(Жишээ нь, М =). Гишүүнчлэлийн функц нь харуулж байна зэрэгэлементийн гишүүнчлэлийн (эсвэл түвшин). x дэд олонлог А. Олон Мдуудсан олон дагалдах хэрэгсэл. Хэрэв M = (0,1), дараа нь тодорхой бус дэд олонлог Аэнгийн эсвэл яруу багц гэж үзэж болно.

Бүрхэг(эсвэл бүдэг, тодорхойгүй) олон- олонлогийн сонгодог (Кантор) үзэл баримтлалыг өргөжүүлсэн Л.Задегийн танилцуулсан үзэл баримтлал нь шинж чанарын функц (элементийн олонлогийн гишүүнчлэлийн функц) зөвхөн интервалд бус ямар ч утгыг авч болно гэдгийг хүлээн зөвшөөрсөн. 0 эсвэл 1 утгууд.

Тодорхойлолт: бүдэг олонлог(тодорхой багц)

Болъё Cзарим нэг бүх нийтийн багц (орчлон ертөнц) байдаг. Дараа нь бүдэг олонлог АВ Cнь эрэмблэгдсэн хосуудын багц гэж тодорхойлогддог

Үүнийг элементийн гишүүнчлэлийн функц (MF) гэж нэрлэдэг Xбүдэг олонлог руу А.

FP нь элемент бүрт оноодог Cгэж нэрлэгддэг интервалаас авсан утга гишүүнчлэлийн зэрэг xруу Аэсвэл тодорхой бус хэмжүүр.

Тодорхой бус хэмжигдэхүүнийг тухайн элементийн үнэний зэрэг гэж үзэж болно Xхарьяалагддаг А.

Тодорхойлолт: тодорхой бус олонлогийн суурь(fuzzyset-ийн дэмжлэг)

Тодорхой бус олонлогийн үндэс Агэсэн бүх цэгүүдийн олонлог юм.

Тиймээс бүдэг олонлогийн тодорхойлолт нь шинж чанар нь 0 ба 1-ийн хооронд тасралтгүй утгыг авч чаддаг сонгодог олонлогийн тодорхойлолтын өргөтгөл юм. Cсалангид эсвэл тасралтгүй олонлог байж болно.

Хэд хэдэн төрлийн параметрийн функцийг ихэвчлэн FP-ийг төлөөлөхөд ашигладаг.

FP-ийн ердийн төлөөлөл

Гурвалжин PT (Зураг 2.2, a) гурван параметрээр тодорхойлогддог ( a, b, c), тодорхойлдог xГурвалжны гурван булангийн координатууд дараах байдалтай байна.

Трапец хэлбэртэй PT (Зураг 2.2, в) дөрвөн параметрээр тодорхойлогддог ( a,b,c,d), тодорхойлдог xТрапецын дөрвөн булангийн координатууд дараах байдалтай байна.

Цагаан будаа. 2.2. Гурвалжин ба трапец хэлбэрийн AF

Гаусс FP (Зураг 2.3) нь хоёр параметрээр тодорхойлогдсон бөгөөд дараах функцийг илэрхийлнэ. .

Цагаан будаа. 2.3. Гауссын PT

Хэл шинжлэлийн хувьсагчид

Л.Задегийн мөн танилцуулсан суурь ойлголтуудын нэг бол хэл шинжлэлийн хувьсагчийн тухай ойлголт юм.

Тодорхойлолт: хэл шинжлэлийн хувьсагч(LP) нь дараах тавыг илэрхийлнэ, энд хувьсагчийн нэр нь хэл шинжлэлийн илэрхийлэл (синтагм) болох LP утгуудын багцыг тодорхойлсон нэр томъёо юм. X- орчлон ертөнц, Г- синтагма үүсгэж болох синтакс дүрэм, М– орчлон ертөнц дэх тодорхой бус олонлог болох синтагм бүр өөрийн утгыг илэрхийлдэг семантик дүрэм. X.

LP-ийн жишээ нь, жишээлбэл, хувьсагч = "нас" байж болно. Түүний нэр томъёо нь жишээлбэл, дараахь байж болно.

(нас) = ( маш залуу, залуу, их бага залуу, дунд насны, хуучин, маш хөгшин}.

Өгөгдсөн LP-ийн орчлон ертөнц нь тодорхой тооны бодит тоо, жишээлбэл интервал байж болно. Семантик дүрэм М-аас нэр томъёоны шинж чанарууд Т(нас) утгууд нь бүдэг олонлогийн янз бүрийн өөрчлөлтүүд юм.

Машины хөдөлгөөнийг хянах жишээ рүүгээ буцаж, дээр дурдсан дүрмийн хэл шинжлэлийн утгыг бүдэг олонлог ашиглан тайлбарлая. Дараах хэл шинжлэлийн хувьсагчдыг анхаарч үзээрэй.

x – займашинуудын хооронд;

y– хурдурд машин;

z- жолоодож буй тээврийн хэрэгслийн хурдатгал.

ТБ-ийг авч үзэж буй удирдлагын нөхцөл байдлын дагуу тодорхойлох ёстой. Жишээлбэл, 70 км/цагийн хурд нь хотын замаар явахад "өндөр", хурдны зам дээр явахад "жижиг" гэж тооцогдох болно.

Бидний жишээн дээр бид дараах орчлон ертөнцийг тодорхойлдог.

[м], [км/ц],

[км/цаг 2 ].

Зураг дээр. Зураг 2.4-т хурдны хувьд “жижиг” (удаан), “том” (хурдан), зайны хувьд “ойрын” (богино), “том” (урт) гэсэн хэллэг утгыг тайлбарлах FP-ийг үзүүлэв.

Цагаан будаа. 2.4. Машины хамгийн энгийн хөдөлгөөнийг удирдах асуудалд зориулсан бүдэг бадаг багц

Сонгодог ба бүдэг олонлогийн дүрслэлийн ялгаа

Дараах жишээг ашиглан эдгээр ялгааг авч үзье. "Богино" (зайны хувьд) гэсэн хэлний утгыг тайлбарлахын тулд сонгодог болон бүдэг олонлогийн дүрслэлийг авч үзье.

Зураг дээр. 2.5-д олонлогийн сонгодог болон бүдэг бадаг дүрслэлийн ялгааг харуулав Аэнэ жишээний хувьд.

Цагаан будаа. 2.5. А олонлогийн сонгодог ба бүдэг дүрслэл

Олонлогийн сонгодог дүрслэлийг тодорхойлъё АЗурагт үзүүлсэн шиг. зүүн талд 2.5. Энэ тохиолдолд функц нь дараах байдалтай байна.

Тодорхой бус олонлогийн төлөөлөл АЗурагт үзүүлэв. 2.5 баруун талд. Энэ тохиолдолд FP гишүүнчлэлийн функц дараах байдалтай байна.

Одоо дараах асуултыг асууя: m цэг эсвэл m цэг олонлогт хамаарах эсэх А?

Сонгодог өнцгөөс харвал "үгүй" гэсэн хариулт байна. Хүний ойлголтын үүднээс "үгүй" гэхээсээ илүү "тийм" гэж хариулдаг. Тодорхой бус өнцгөөс харахад хариулт нь тийм юм.

Иймд бүдэг бадаг хандлага нь байгалийн, хүний ​​хандлагад ойр, сонгодог арга барилаас илүү уян хатан байдгийг энэхүү энгийн жишээ тодорхой харуулж байна.

Тодорхой бус олонлогийн тусламжтайгаар бид тодорхой бус хил хязгаарыг тодорхойлж чадна.

Тодорхой бус олонлогийн онолын үндсэн үйлдлүүд

Үндсэн тодорхой бус үйлдлүүдийг дараах байдлаар тодорхойлъё.

Тодорхойлолт: бүдэг дэд олонлог(Fuzzy Containment эсвэл Fuzzy Subset). Тодорхой бус багц Атодорхой бус олонлогт агуулагддаг Б(эсвэл түүнтэй адилтгах Адэд олонлог юм Б) зөвхөн хүн бүрт зориулсан тохиолдолд . Бэлгэдлийн хэлбэрээр:

Тодорхойлолт:бүдэг олонлогуудын эквивалент(Тодорхой бус олонлогуудын тэгш байдал). Тодорхой бус олонлогуудын эквивалент (тэнцүү байдал). АТэгээд Бдараах байдлаар тодорхойлогддог.

Хүн бүрт.

Тодорхойлолт:тодорхой бус нэгдэл эсвэл бүдэг дизьюнкц(Fuzzy Union) хоёр бүдэг олонлогийн нэгдэл АТэгээд Б(билэгдлийн хэлбэрээр эсвэл гэж бичнэ АЭСВЭЛ Бэсвэл A B) нь тодорхой бус олонлог бөгөөд PT нь дараах байдлаар тодорхойлогддог.

Тодорхойлолт:бүдэг огтлолцол(Fuzzy Intersection) Хоёр бүдэг олонлогийн огтлолцол АТэгээд Б(бэлэгдлийн хэлбэрээр , эсвэл гэж бичнэ C=AБА Б, эсвэл C= A B) нь тодорхой бус олонлог бөгөөд PT нь дараах байдлаар тодорхойлогддог.

Тодорхойлолт:бүдэг нэмэлт.Нэмэлт А(бидэгдэл хэлбэрээр эсвэл гэж бичсэн) нь бүдэг бадаг бөгөөд PT нь дараах байдлаар тодорхойлогддог.

Зураг 2.6-д бүдэг олонлог дээрх бүдэг үйлдлүүдийн жишээг үзүүлэв.

Цагаан будаа. 2.6. Тодорхой бус олонлог дээрх бүдэг үйлдлүүдийн жишээ

Тодорхой бус олонлогийн онцлог

Тодорхой бус олонлогийн онолын чухал шинж чанаруудыг тэмдэглэе.

1) Оруулсан дундын хуульТэгээд зөрчилдөөний хууль, хаана байна хоосон олонлог нь сонгодог олонлогийн онолд үнэн байдаг бол бүдэг олонлогийн онолд ерөнхий тохиолдолд тэдгээр нь биелээгүй байна.

Бүдэг онолын хасагдсан дундын хууль ба зөрчилдөөний хууль нь дараах байдалтай байна: ба .

2) Сонгодог олонлогийн онолдбагцаас цэг Ахоёр боломжийн аль нэгтэй байж болно: эсвэл . Тодорхой бус онолд цэг нь олонлогт хамаарах боломжтой Амөн тэр үед хамаарахгүй А(өөрөөр хэлбэл олонлогт хамаарах) гишүүнчлэлийн функцүүдийн өөр өөр утгатай ба Зураг дээр үзүүлсэн шиг. 2.7.