Тригонометрийн таних тэмдэг- эдгээр нь нэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн хоорондох холбоог бий болгодог тэгшитгэлүүд бөгөөд эдгээр функцүүдийн аль нэгийг нь мэдэх боломжийг олгодог.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Энэ ижил төстэй байдал нь нэг өнцгийн синусын квадрат ба нэг өнцгийн косинусын квадратын нийлбэр нэгтэй тэнцүү гэж хэлдэг бөгөөд энэ нь практикт нэг өнцгийн синусыг косинус нь мэдэгдэж байх үед болон эсрэгээр нь тооцоолох боломжтой болгодог. .
Хөрвүүлэх үед тригонометрийн илэрхийллүүдЭнэ таних тэмдэг нь ихэвчлэн ашиглагддаг бөгөөд энэ нь нэг өнцгийн косинус ба синусын квадратуудын нийлбэрийг нэгээр сольж, солих үйлдлийг гүйцэтгэх боломжийг олгодог. урвуу дараалал.
Синус болон косинусыг ашиглан тангенс ба котангенсыг олох
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Эдгээр таних тэмдэг нь синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтоос үүсдэг. Эцсийн эцэст хэрэв та үүнийг харвал ординат у нь синус, абсцисса х нь косинус юм. Дараа нь шүргэгч байх болно харьцаатай тэнцүү байна \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), болон харьцаа \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- котангенс байх болно.
Зөвхөн тэдгээрт багтсан тригонометрийн функцууд нь утга учиртай \alpha өнцгүүдийн хувьд адилтгалууд хадгалагдана гэдгийг нэмж хэлье. ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Жишээ нь: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)-аас ялгаатай \alpha өнцөгт хүчинтэй \frac(\pi)(2)+\pi z, А ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z-ээс өөр \alpha өнцгийн хувьд z нь бүхэл тоо юм.
Тангенс ба котангенс хоорондын хамаарал
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Энэ таних нь зөвхөн өөр альфа өнцөгт хүчинтэй \frac(\pi)(2) z. Үгүй бол котангенс эсвэл тангенсыг тодорхойлохгүй.
Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн бид үүнийг олж авдаг tg \alpha = \frac(y)(x), А ctg \alpha=\frac(x)(y). Үүнийг дагадаг tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Иймд утга учиртай ижил өнцгийн тангенс ба котангенс нь харилцан урвуу тоонууд юм.
Тангенс ба косинус, котангенс ба синусын хоорондын хамаарал
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- \alpha ба 1 өнцгийн тангенсийн квадратын нийлбэр нь энэ өнцгийн косинусын урвуу квадраттай тэнцүү байна. Энэ таних тэмдэг нь бусад бүх \alpha-д хүчинтэй \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\альфа)- 1-ийн нийлбэр ба \alpha өнцгийн котангентын квадрат нь синусын урвуу квадраттай тэнцүү байна. өгөгдсөн өнцөг. Энэ таних тэмдэг нь \pi z-ээс өөр ямар ч \alpha-д хүчинтэй.
Тригонометрийн таних тэмдэг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх жишээ
Жишээ 1
\sin \alpha, tg \alpha бол ол \cos \alpha=-\frac12Тэгээд \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Шийдлийг харуулах
Шийдэл
\sin \alpha ба \cos \alpha функцууд нь томъёогоор хамааралтай \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Энэ томъёонд орлуулах \cos \alpha = -\frac12, бид авах:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Энэ тэгшитгэл нь 2 шийдэлтэй:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Нөхцөлөөр \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Хоёрдугаар улиралд синус эерэг байна, тиймээс \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
tan \alpha-г олохын тулд бид томъёог ашигладаг tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Жишээ 2
Хэрэв мөн бол \cos \alpha ба ctg \alpha-г ол \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Шийдлийг харуулах
Шийдэл
Томъёонд орлуулах \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1өгсөн дугаар \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), бид авдаг \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Энэ тэгшитгэл нь хоёр шийдэлтэй \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Нөхцөлөөр \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Хоёрдугаар улиралд косинус сөрөг байна, тиймээс \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
ctg \alpha-г олохын тулд бид томъёог ашиглана ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Бид тохирох утгыг мэддэг.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Энэ нийтлэлд бид цогцоор нь авч үзэх болно. Тригонометрийн үндсэн адилтгалууд нь нэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн хооронд холбоо тогтоож, эдгээр тригонометрийн функцүүдийн аль нэгийг нь мэдэгдэж буй нөгөө өнцгөөр олох боломжийг олгодог тэгшитгэлүүд юм.
Энэ нийтлэлд дүн шинжилгээ хийх үндсэн тригонометрийн шинж чанаруудыг нэн даруй жагсаацгаая. Тэдгээрийг хүснэгтэд бичье, доор нь бид эдгээр томъёоны гаралтыг өгч, шаардлагатай тайлбарыг өгөх болно.
Хуудасны навигаци.
Нэг өнцгийн синус ба косинусын хамаарал
Заримдаа тэд дээрх хүснэгтэд жагсаасан үндсэн тригонометрийн таних тэмдгүүдийн тухай ярьдаггүй, харин нэг дан ганц зүйлийн тухай ярьдаг үндсэн тригонометрийн таних тэмдэгтөрөл 
. Энэ баримтын тайлбар нь маш энгийн: үндсэн тригонометрийн шинж чанараас түүний хоёр хэсгийг тус тусад нь хувааж, тэгш байдлыг олж авна. 
Тэгээд 
синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтоос дагана. Энэ талаар бид дараагийн догол мөрүүдэд илүү дэлгэрэнгүй ярих болно.
Энэ нь, онцгой сонирхолЭнэ нь үндсэн тригонометрийн ижил төстэй нэрийг өгсөн тэгш байдлыг яг таг илэрхийлдэг.
Тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг батлахын өмнө бид түүний томъёоллыг өгдөг: нэг өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр нь нэгтэй ижил байна. Одоо үүнийг баталъя.
Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг нь ихэвчлэн хэрэглэгддэг үед тригонометрийн илэрхийллийг хөрвүүлэх. Энэ нь нэг өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрийг нэгээр солих боломжийг олгодог. Тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг урвуу дарааллаар ашигладаг: нэгжийг аль ч өнцгийн синус ба косинусын квадратуудын нийлбэрээр солино.
Синус ба косинусын шүргэгч ба котангенс
Нэг харах өнцгийн синус ба котангенстай тангенс ба котангенсыг холбосон таних тэмдэг ба 
синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг шууд дагаж мөрдөөрэй. Үнэн хэрэгтээ, тодорхойлолтоор бол синус нь у-ийн ординат, косинус нь х-ийн абсцисса, тангенс нь ординатыг абсциссатай харьцуулсан харьцаа юм. 
, ба котангенс нь абсцисс ба ординатын харьцаа, өөрөөр хэлбэл, 
.
Ийм тодорхой байдлын ачаар таних тэмдэг болон Тангенс ба котангенсыг ихэвчлэн абсцисса ба ординатын харьцаагаар биш, харин синус ба косинусын харьцаагаар тодорхойлдог. Тэгэхээр өнцгийн тангенс нь синусыг энэ өнцгийн косинусын харьцаа, котангенс нь косинусын синустай харьцуулсан харьцаа юм.
Энэ зүйлийг дүгнэж хэлэхэд таних тэмдэг болон Эдгээрт багтсан тригонометрийн функцууд утга учиртай байх бүх өнцгийн хувьд явагдана. Тэгэхээр томъёо нь (эсвэл хуваагч нь тэг байх болно, тэгээр хуваахыг бид тодорхойлоогүй) болон томъёоноос өөр ямар ч тохиолдолд хүчинтэй байна. - for all , өөр , энд z нь дурын .
Тангенс ба котангенс хоорондын хамаарал
Бүр илүү ойлгомжтой тригонометрийн ижилсэлөмнөх хоёроос илүү нь хэлбэрийн нэг өнцгийн тангенс ба котангенсыг холбосон таних тэмдэг юм . -ээс бусад өнцөгт тохирох нь ойлгомжтой, эс бөгөөс шүргэгч эсвэл котангенс тодорхойлогдоогүй болно.
Томъёоны баталгаа маш энгийн. Тодорхойлолтоор, хаанаас 
. Нотлох баримтыг арай өөрөөр хийж болох байсан. Түүнээс хойш , Тэр 
.
Тэгэхээр тэдгээрийн утга учиртай ижил өнцгийн тангенс ба котангенс нь .
Бууруулах томьёо нь `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) өнцгөөр синус, косинус, тангенс, котангенсаас шилжих боломжийг олгодог хамаарал юм. 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` нь эхний улиралд байгаа `\alpha` өнцгийн ижил функцүүдэд нэгж тойрог. Тиймээс багасгах томъёо нь биднийг 0-ээс 90 градусын өнцөгтэй ажиллахад "хөтөлдөг" бөгөөд энэ нь маш тохиромжтой юм.
Бүгд нийлээд 32 бууруулах томъёо байдаг. Тэд Улсын нэгдсэн шалгалт, шалгалт, шалгалтын үеэр хэрэг болох нь дамжиггүй. Гэхдээ тэдгээрийг цээжлэх шаардлагагүй гэдгийг нэн даруй анхааруулъя! Та бага зэрэг цаг зарцуулж, тэдгээрийн хэрэглээний алгоритмыг ойлгох хэрэгтэй, тэгвэл энэ нь танд хэцүү биш байх болно. зөв мөчшаардлагатай тэгш байдлыг олж авна.
Эхлээд бүх бууруулах томъёог бичье.
Өнцгийн хувьд (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) эсвэл (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Өнцгийн хувьд (`\pi \pm \alpha`) эсвэл (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Өнцгийн хувьд (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) эсвэл (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Өнцгийн хувьд (`2\pi \pm \alpha`) эсвэл (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Та өнцгийг радианаар бичсэн хүснэгт хэлбэрээр багасгах томъёог ихэвчлэн олж болно.
Үүнийг ашиглахын тулд бидэнд хэрэгтэй функц бүхий мөр, хүссэн аргумент бүхий баганыг сонгох хэрэгтэй. Жишээлбэл, хүснэгт ашиглан ` sin(\pi + \alpha)` нь хэдтэй тэнцүү болохыг мэдэхийн тулд ` sin \beta` мөр ба ` \pi + баганын уулзвараас хариултыг олоход хангалттай. \альфа`. Бид `sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`-г авна.
Хоёрдахь ижил төстэй хүснэгтэд өнцгийг градусаар бичсэн болно.
Багасгах томьёо эсвэл тэдгээрийг хэрхэн санах тухай мнемоник дүрэм
Өмнө дурьдсанчлан дээрх бүх харилцааг цээжлэх шаардлагагүй. Хэрэв та тэдгээрийг анхааралтай ажиглавал зарим хэв маягийг анзаарсан байх. Тэд бидэнд мнемоник дүрмийг (мнемоник - санах) томъёолох боломжийг олгодог бөгөөд үүний тусламжтайгаар бид ямар ч бууруулах томъёог хялбархан олж авах боломжтой.
Энэ дүрмийг хэрэгжүүлэхийн тулд та нэгж тойргийн янз бүрийн хэсэгт тригонометрийн функцүүдийн шинж тэмдгүүдийг сайн тодорхойлох (эсвэл санах) хэрэгтэй гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. 
Вакцин өөрөө 3 үе шаттай:
- Функцийн аргументыг `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ хэлбэрээр илэрхийлэх ёстой. pm \alpha`, `\alpha` шаардлагатай хурц өнцөг(0-ээс 90 градус хүртэл).
- Аргументуудын хувьд `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` тригонометрийн функцхувиргаж буй илэрхийлэл нь кофункц болж өөрчлөгдөнө, өөрөөр хэлбэл эсрэгээр (синус косинус, тангенс котангенс ба эсрэгээр). `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` аргументуудын хувьд функц өөрчлөгдөхгүй.
- Анхны функцийн тэмдгийг тодорхойлно. Баруун талд байгаа функц нь ижил тэмдэгтэй байх болно.
Энэ дүрмийг практикт хэрхэн ашиглаж болохыг харахын тулд хэд хэдэн илэрхийлэлийг хувиргацгаая.
1. `cos(\pi + \alpha)`.
Функц нь урвуу биш. `\pi + \alpha` өнцөг нь 3-р улиралд, энэ улирлын косинус нь "-" тэмдэгтэй тул хувирсан функц нь мөн "-" тэмдэгтэй байна.
Хариулт: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.
Мнемоник дүрмийн дагуу функц нь урвуу болно. `\frac (3\pi)2 - \alpha` өнцөг нь гуравдугаар улиралд, энд байгаа синус нь "-" тэмдэгтэй тул үр дүн нь мөн "-" тэмдэгтэй байх болно.
Хариулт: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\альфа))`. `3\pi`-г `2\pi+\pi` гэж илэрхийлье. `2\pi` нь функцийн үе юм.
Анхаарах зүйл: `cos \alpha` болон `sin \alpha` функцууд нь `2\pi` эсвэл `360^\circ`-ийн хугацаатай бөгөөд хэрэв аргументыг эдгээр утгуудаар нэмэгдүүлж эсвэл багасгавал тэдгээрийн утга өөрчлөгдөхгүй.
Үүний үндсэн дээр бидний илэрхийллийг дараах байдлаар бичиж болно: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Мнемоник дүрмийг хоёр удаа ашигласнаар бид: `cos (\pi+(\frac(\) болно. pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Хариулт: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
Морины дүрэм
Дээр дурдсан мнемоник дүрмийн хоёр дахь цэгийг мөн бууруулах томъёоны морины дүрэм гэж нэрлэдэг. Би гайхаж байна, яагаад морь гэж?
Тэгэхээр бидэнд `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ аргументтай функцүүд байна. pm \alpha`, `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` цэгүүд нь түлхүүр бөгөөд тэдгээр нь координатын тэнхлэгүүд дээр байрладаг. `\pi` болон `2\pi` асаалттай хэвтээ тэнхлэг abscissa болон `\frac (\pi)2` болон `\frac (3\pi)2` дээр босоо тэнхлэгординат
Бид өөрөөсөө "Функц кофункц болж хувирдаг уу?" Гэсэн асуултыг өөрөөсөө асуудаг. Энэ асуултад хариулахын тулд та гол цэг байрладаг тэнхлэгийн дагуу толгойгоо хөдөлгөх хэрэгтэй.
Өөрөөр хэлбэл, хэвтээ тэнхлэгт байрлах гол цэгүүдтэй маргахдаа бид "үгүй" гэж толгойгоо хажуу тийш нь сэгсэрнэ. Босоо тэнхлэгт байрлах гол цэгүүдтэй булангийн хувьд бид морь шиг дээрээс доош толгойгоо дохиж "тийм" гэж хариулдаг :)
Зохиогч нь багасгах томъёог цээжлэхгүйгээр хэрхэн санах талаар дэлгэрэнгүй тайлбарласан видео хичээлийг үзэхийг зөвлөж байна.
Бууруулах томъёог ашиглах практик жишээ
Бууруулах томъёог 9, 10-р ангиас эхэлдэг. Тэдгээрийг ашиглахтай холбоотой олон асуудлыг Улсын нэгдсэн шалгалтанд оруулсан. Эдгээр томьёог хэрэглэхэд танд тохиолдох зарим асуудлууд энд байна:
- тэгш өнцөгт гурвалжныг шийдвэрлэх асуудлууд;
- тоон болон цагаан толгойн тригонометрийн илэрхийлэлийг хувиргах, тэдгээрийн утгыг тооцоолох;
- стереометрийн даалгавар.
Жишээ 1. Бууруулах томьёог ашиглан тооцоолно уу a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Шийдэл: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
б) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
в) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
Жишээ 2. Бууруулах томьёо ашиглан косинусыг синусаар илэрхийлсний дараа тоонуудыг харьцуулна уу: 1) `sin \frac (9\pi)8` ба `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` ба `cos \frac (3\pi)10`.
Шийдэл: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Эхлээд `\frac (\pi)2 + \alpha` аргументийн синус ба косинусын хоёр томьёог баталъя: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` ба ` cos (\ frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Үлдсэн хэсэг нь тэднээс гаралтай. Нэгж тойрог аваад түүн дээр координаттай (1,0) А цэгийг авъя. Эргэсний дараа зөвшөөрнө үү Шүргэгч ба котангенсийн тодорхойлолтоос бид ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\) гэсэн утгыг олж авна. pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` ба ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\) frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha` бөгөөд энэ нь `\frac (\pi)2 + \alpha` өнцгийн тангенс ба котангенсийн бууралтын томьёо. `\frac (\pi)2 - \alpha` аргумент бүхий томьёог батлахын тулд үүнийг `\frac (\pi)2 + (-\альфа)` гэж төлөөлж, дээрхтэй ижил замаар явахад хангалттай. Жишээ нь, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`. `\pi + \alpha` болон `\pi - \alpha` өнцгүүдийг `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` болон `\frac (\pi) хэлбэрээр илэрхийлж болно. ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` тус тус. Мөн `\frac (3\pi)2 + \alpha` ба `\frac (3\pi)2 - \alpha`-г `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` болон `\pi гэж бичнэ. +(\frac (\pi)2-\альфа)`. Синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн үндсэн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарлыг өгөв. тригонометрийн томъёо. Тригонометрийн функцүүдийн хооронд маш олон холболт байдаг тул энэ нь тригонометрийн томъёоны элбэг дэлбэг байдлыг тайлбарлаж байна. Зарим томьёо нь ижил өнцгийн тригонометрийн функцуудыг холбодог, бусад нь олон өнцгийн функцуудыг холбодог, бусад нь градусыг багасгах боломжийг олгодог, дөрөвдүгээрт - бүх функцийг хагас өнцгийн тангенсаар илэрхийлэх гэх мэт. Энэ нийтлэлд бид тригонометрийн ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай бүх үндсэн тригонометрийн томьёог дарааллаар нь жагсаах болно. Цээжлэх, ашиглахад хялбар болгох үүднээс бид тэдгээрийг зориулалтын дагуу бүлэглэж, хүснэгтэд оруулна. Хуудасны навигаци. Тригонометрийн үндсэн шинж чанаруудНэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс хоорондын хамаарлыг тодорхойлох. Эдгээр нь синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолт, мөн нэгж тойргийн тухай ойлголтоос үүдэлтэй. Эдгээр нь нэг тригонометрийн функцийг өөр ямар ч хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог. Эдгээр тригонометрийн томьёо, тэдгээрийн гарал үүсэл, хэрэглээний жишээнүүдийн дэлгэрэнгүй тайлбарыг нийтлэлээс үзнэ үү. Бууруулах томъёоСинус, косинус, тангенс, котангенсийн шинж чанаруудаас дагах, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн үечилсэн шинж чанар, тэгш хэмийн шинж чанар, түүнчлэн өгөгдсөн өнцгөөр шилжих шинж чанарыг тусгадаг. Эдгээр тригонометрийн томъёонууд нь дурын өнцгөөр ажиллахаас тэгээс 90 градусын өнцөгтэй ажиллахад шилжих боломжийг олгодог. Эдгээр томъёоны үндэслэл, тэдгээрийг цээжлэх мнемоник дүрэм, тэдгээрийн хэрэглээний жишээг нийтлэлээс судалж болно. Тригонометрийн нэмэх томъёоХоёр өнцгийн нийлбэр эсвэл зөрүүний тригонометрийн функцууд тэдгээр өнцгийн тригонометрийн функцээр хэрхэн илэрхийлэгдэж байгааг харуул. Эдгээр томьёо нь дараах тригонометрийн томьёог гаргах үндэс болдог. Давхар, гурвалсан гэх мэт томьёо. өнцөг (тэдгээрийг олон өнцгийн томъёо гэж нэрлэдэг) нь давхар, гурвалсан гэх мэт тригонометрийн функцуудыг хэрхэн харуулдаг. өнцөг () нь нэг өнцгийн тригонометрийн функцээр илэрхийлэгдэнэ. Тэдний гарал үүсэл нь нэмэлт томъёонд суурилдаг. Илүү нарийвчилсан мэдээллийг нийтлэлийн томъёонд давхар, гурав дахин гэх мэтээр цуглуулсан болно. өнцөг Хагас өнцгийн томъёоХагас өнцгийн тригонометрийн функцүүд бүхэл өнцгийн косинусаар хэрхэн илэрхийлэгдэж байгааг харуул. Эдгээр тригонометрийн томьёо нь давхар өнцгийн томъёоноос гардаг. Тэдний дүгнэлт, хэрэглээний жишээг нийтлэлээс олж болно. Зэрэг бууруулах тригонометрийн томъёоЭдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн байгалийн хүчнээс эхний зэрэгтэй, гэхдээ олон өнцөгт синус ба косинус руу шилжих шилжилтийг хөнгөвчлөх зорилготой юм. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн хүчийг эхнийх хүртэл багасгах боломжийг олгодог. Гол зорилго тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны томъёоТригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлахад маш хэрэгтэй функцүүдийн бүтээгдэхүүн рүү очих явдал юм. Эдгээр томьёог мөн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг бөгөөд тэдгээр нь синусын болон косинусын нийлбэр, зөрүүг хүчин зүйлээр тооцох боломжийг олгодог. Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрээс нийлбэр эсвэл зөрүү рүү шилжих шилжилтийг синус, косинус, синусыг косинусаар үржүүлэх томъёог ашиглан гүйцэтгэнэ. cleverstudents зохиогчийн эрх Бүх эрх хуулиар хамгаалагдсан. Тодорхойлолт.
Бууруулах томьёо нь хэлбэрийн тригонометрийн функцээс аргументийн функц рүү шилжих боломжийг олгодог томьёо юм. Тэдгээрийн тусламжтайгаар дурын өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсыг 0-ээс 90 градусын (0-ээс радиан хүртэл) өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс болгон бууруулж болно. Тиймээс багасгах томъёо нь 90 градусын өнцөгтэй ажиллахад шилжих боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь эргэлзээгүй маш тохиромжтой юм. Бууруулах томъёо: Бууруулах томъёог ашиглах хоёр дүрэм байдаг.
1.
Хэрэв өнцгийг (π/2 ±a) эсвэл (3*π/2 ±a) хэлбэрээр илэрхийлж болох юм бол функцийн нэр өөрчлөгдөнө sin to cos, cos to sin, tg to ctg, ctg to tg. Хэрэв өнцгийг (π ±a) эсвэл (2*π ±a) хэлбэрээр дүрсэлж чадвал Функцийн нэр өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Доорх зургийг хараарай, энэ нь тэмдгийг хэзээ өөрчлөх, хэзээ өөрчлөхгүй байхыг схемээр харуулав 2. Буурсан функцийн тэмдэг
хэвээрээ байна. Хэрэв анхны функц нь нэмэх тэмдэгтэй байсан бол багасгасан функц нь нэмэх тэмдэгтэй байна. Хэрэв анхны функц нь хасах тэмдэгтэй байсан бол багасгасан функц нь мөн хасах тэмдэгтэй байна. Доорх зурагт улирлаас хамааран үндсэн тригонометрийн функцүүдийн тэмдгүүдийг харуулав. Жишээ:
Тооцоол Бууруулах томъёог ашиглая: Нүгэл(150˚) нь хоёрдугаар улиралд байгаа бөгөөд энэ дөрөв дэх нүглийн тэмдэг нь "+"-тэй тэнцүү байна. Энэ нь өгөгдсөн функц мөн "+" тэмдэгтэй байна гэсэн үг юм. Бид хоёр дахь дүрмийг ашигласан. Одоо 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ нь π/2. Өөрөөр хэлбэл, бид π/2+60 тохиолдлыг авч үзэж байгаа тул эхний дүрмийн дагуу функцийг sin-аас cos болгон өөрчилдөг. Үүний үр дүнд бид Sin(150˚) = cos(60˚) = ½-ийг авна.
өнцөг `\alpha` нь `A_1(x, y)` цэг рүү очих ба `\frac (\pi)2 + \alpha` өнцгөөр эргүүлсний дараа `A_2(-y, x)` цэг рүү шилжих болно. Эдгээр цэгээс OX шулуун руу перпендикуляруудыг буулгавал `OA_1H_1` ба `OA_2H_2` гурвалжин тэнцүү байна, учир нь тэдгээрийн гипотенуз ба зэргэлдээ өнцөг нь тэнцүү байна. Дараа нь синус болон косинусын тодорхойлолтууд дээр үндэслэн бид `sin\alpha=y`, `cos\alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos гэж бичиж болно. (\ frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` ба ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha` гэж хаана бичих вэ, энэ нь бууралтыг нотолж байна. синус ба косинусын өнцгийн томьёо `\frac (\pi)2 + \alpha`.Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууд
Бууруулах томъёо
Нэмэлт томъёо
Давхар, гурвалсан гэх мэт томьёо. өнцөг
Хагас өнцгийн томъёо
Зэрэг бууруулах томъёо
Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны томъёо
Синус, косинус ба синусын косинусын үржвэрийн томъёо
Зохиогчийн эрхийн хуулиар хамгаалагдсан. Зохиогчийн эрх эзэмшигчийн урьдчилан бичгээр зөвшөөрөл авалгүйгээр www.site-ын аль ч хэсгийг, түүний дотор дотоод материал, гадаад төрхийг ямар ч хэлбэрээр хуулбарлаж, ашиглахыг хориглоно.
