Трапецын хурц өнцгийн синустай тэнцүү. Хоёр талт трапецын өнцөг

"Трапецын өндрийг хэрхэн олох вэ?" Гэсэн энгийн асуултанд. Хэд хэдэн хариулт байдаг, учир нь өөр өөр эхлэлийн утгыг өгч болно. Тиймээс томъёо нь өөр өөр байх болно.

Эдгээр томъёог цээжлэх боломжтой боловч тэдгээрийг гаргахад хэцүү биш юм. Та өмнө нь сурсан теоремуудыг ашиглахад л хангалттай.

Томьёонд хэрэглэгддэг тэмдэглэгээ

Доорх бүх зүйлд математик тэмдэглэгээЭдгээр үсгийн уншилтууд нь зөв юм.

Эх сурвалжийн өгөгдөлд: бүх тал

Трапецын өндрийг олохын тулд ерөнхий тохиолдолта дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй болно.

n = √(c 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2)/(2(a - c))) 2).Дугаар 1.

Хамгийн богино биш, гэхдээ асуудалд маш ховор тохиолддог. Ихэвчлэн та бусад өгөгдлийг ашиглаж болно.

Өндөрийг хэрхэн олохыг танд хэлэх томъёо тэгш өнцөгт трапецижил нөхцөлд, хамаагүй богино:

n = √(c 2 - (a - c) 2 /4).Дугаар 2.

Асуудал нь: доод ёроолд хажуугийн талууд ба өнцөгийг өгдөг

α өнцөг нь "c" гэсэн тэмдэглэгээтэй хажуу талтай зэргэлдээ байна гэж үздэг, β өнцөг нь d талтай байна. Дараа нь трапецын өндрийг хэрхэн олох томъёо нь ерөнхий хэлбэртэй байна.

n = c * sin α = d * sin β.Дугаар 3.

Хэрэв зураг нь тэгш өнцөгт байвал та энэ сонголтыг ашиглаж болно.

n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan α.Дугаар 4.

Мэдэгдэж байгаа: диагональ ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг

Ихэвчлэн эдгээр өгөгдөл нь бусад мэдэгдэж буй хэмжигдэхүүнүүд дагалддаг. Жишээлбэл, суурь эсвэл дунд шугам. Хэрэв шалтгааныг өгсөн бол трапецын өндрийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултанд хариулахын тулд дараахь томъёог ашиглах нь зүйтэй.

n = (d 1 * d 2 * нүгэл γ) / (a ​​+ b) эсвэл n = (d 1 * d 2 * нүгэл δ) / (a ​​+ b).Дугаар 5.

Энэ нь зориулагдсан ерөнхий үзэлтоонууд. Хэрэв тэгш өнцөгт өгөгдсөн бол тэмдэглэгээ дараах байдлаар өөрчлөгдөнө.

n = (d 1 2 * sin γ) / (a ​​+ b) эсвэл n = (d 1 2 * нүгэл δ) / (a ​​+ b).Дугаар 6.

Ажил хийж байхдаа бид ярьж байнаО дунд шугамтрапец, дараа нь түүний өндрийг олох томъёо нь:

n = (d 1 * d 2 * нүгэл γ) / 2м эсвэл n = (d 1 * d 2 * нүгэл δ) / 2м.Дугаар 5а.

n = (d 1 2 * нүгэл γ) / 2м эсвэл n = (d 1 2 * нүгэл δ) / 2м.Дугаар 6a.

Мэдэгдэж буй хэмжигдэхүүнүүдийн дунд: суурь эсвэл дунд шугамтай талбай

Эдгээр нь магадгүй хамгийн богино бөгөөд энгийн томъёонуудтрапецын өндрийг хэрхэн олох вэ. Дурын зургийн хувьд энэ нь дараах байдалтай байна.

n = 2S / (a ​​+ b).Дугаар 7.

Энэ нь адилхан, гэхдээ мэдэгдэж буй дунд шугамтай:

n = S/m.Дугаар 7a.

Хачирхалтай нь, гэхдээ ижил өнцөгт трапецын хувьд томъёо нь адилхан харагдах болно.

Даалгаврууд

№1. Трапецын доод суурийн өнцгийг тодорхойлох.

Нөхцөл байдал.Хоёр талт трапецийг өгвөл, талЭнэ нь 5 см бөгөөд түүний суурь нь 6 ба 12 см юм хурц өнцөг.

Шийдэл.Тохиромжтой болгохын тулд та тэмдэглэгээг оруулах хэрэгтэй. Зүүн доод орой нь А, бусад нь цагийн зүүний дагуу: B, C, D. Тиймээс доод суурийг AD, дээд хэсгийг МЭӨ гэж нэрлэнэ.

В ба С оройноос өндрийг зурах шаардлагатай. Өндөрүүдийн төгсгөлийг харуулсан цэгүүдийг H 1 ба H 2 гэж тус тус тэмдэглэнэ. BCH 1 H 2 зураг дээрх бүх өнцөг нь тэгш өнцөгт тул тэгш өнцөгт юм. Энэ нь H 1 H 2 сегмент нь 6 см байна гэсэн үг юм.

Одоо бид хоёр гурвалжинг авч үзэх хэрэгтэй. Тэд ижил гипотенуз, босоо хөлтэй тэгш өнцөгт хэлбэртэй тул тэнцүү байна. Үүнээс үзэхэд тэдний жижиг хөл нь тэнцүү байна. Тиймээс тэдгээрийг ялгааны коэффициент гэж тодорхойлж болно. Сүүлийнх нь доод суурийн дээд хэсгийг хасах замаар олж авна. Энэ нь 2 хуваагдах болно. Өөрөөр хэлбэл, 12 - 6 нь 2-т хуваагдах ёстой. AN 1 = N 2 D = 3 (см).

Одоо Пифагорын теоремоос та трапецын өндрийг олох хэрэгтэй. Өнцгийн синусыг олох шаардлагатай. VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (см).

Тэгш өнцөгтэй гурвалжинд хурц өнцгийн синус хэрхэн олддог тухай мэдлэгийг ашиглан дараах илэрхийллийг бичиж болно: sin α = ВН 1 / AB = 0.8.

Хариулах.Шаардлагатай синус нь 0.8 байна.

№2. Мэдэгдэж буй шүргэгчийг ашиглан трапецын өндрийг олох.

Нөхцөл байдал.Хоёр талт трапецын хувьд та өндрийг тооцоолох хэрэгтэй. Түүний суурь нь 15 ба 28 см гэдгийг мэддэг бөгөөд хурц өнцгийн тангенс нь өгөгдсөн: 11/13.

Шийдэл.Оройнуудын тэмдэглэгээ нь дээрхтэй ижил байна өмнөх даалгавар. Та дахин хоёр өндрийг зурах хэрэгтэй дээд булангууд. Эхний асуудлын шийдэлтэй зүйрлэснээр та AN 1 = N 2 D-ийг олох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь 28 ба 15-ын зөрүүг хоёроор хуваасан байдлаар тодорхойлогддог. Тооцооллын дараа: 6.5 см.

Тангенс нь хоёр хөлийн харьцаа тул дараах тэгшитгэлийг бичиж болно: tan α = AN 1 / VN 1. Түүнээс гадна энэ харьцаа нь 11/13 (нөхцөлийн дагуу) тэнцүү байна. AN 1 нь мэдэгдэж байгаа тул өндрийг тооцоолж болно: BH 1 = (11 * 6.5) / 13. Энгийн тооцоолол нь 5.5 см-ийн үр дүнг өгдөг.

Хариулах.Шаардлагатай өндөр нь 5.5 см.

№3. Мэдэгдэж буй диагональуудыг ашиглан өндрийг тооцоолох.

Нөхцөл байдал.Трапецын тухайд түүний диагональ нь 13 ба 3 см байдаг нь суурийн нийлбэр нь 14 см бол та түүний өндрийг олох хэрэгтэй.

Шийдэл.Зургийн тэмдэглэгээ нь өмнөхтэй ижил байна. Хувьсах гүйдлийг хамгийн бага диагональ гэж үзье. С оройноос та хүссэн өндрийг зурж, CH гэж тэмдэглэх хэрэгтэй.

Одоо та хийх хэрэгтэй нэмэлт барилга. С өнцгөөс та параллель шулуун шугам зурах хэрэгтэй илүү том диагональба түүний AD талын үргэлжлэлтэй огтлолцох цэгийг ол. Энэ нь D 1 байх болно. Үр дүн нь шинэ трапец бөгөөд дотор нь ASD 1 гурвалжин зурсан байна. Энэ нь асуудлыг цаашид шийдвэрлэхэд шаардлагатай зүйл юм.

Хүссэн өндөр нь мөн гурвалжинд байх болно. Тиймээс та өөр сэдвээр судалсан томъёог ашиглаж болно. Гурвалжны өндрийг 2-ын тооны үржвэр ба түүнийг зурсан талдаа хуваасан талбайгаар тодорхойлогддог. Мөн тал нь анхны трапецын суурийн нийлбэртэй тэнцүү болж хувирав. Энэ нь нэмэлт барилгын ажлыг хийсэн дүрмээс үүдэлтэй юм.

Харж байгаа гурвалжинд бүх талууд мэдэгдэж байна. Тохиромжтой болгох үүднээс бид x = 3 см, y = 13 см, z = 14 см гэсэн тэмдэглэгээг танилцуулж байна.

Одоо та Хэроны теоремыг ашиглан талбайг тооцоолж болно. Хагас периметр нь p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (см) -тэй тэнцүү байх болно. Дараа нь утгуудыг орлуулсны дараа талбайн томъёо дараах байдлаар харагдах болно: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (см 2).

Хариулах.Өндөр нь 6√10/7 см.

№4. Хажуу талын өндрийг олохын тулд.

Нөхцөл байдал.Гурван тал нь 10 см, дөрөв дэх нь 24 см хэмжээтэй трапецын өндрийг олж мэдэх хэрэгтэй.

Шийдэл.Зураг нь ижил өнцөгт тул 2-р томьёо хэрэгтэй болно. Та бүх утгыг түүнд орлуулж тоолоход л хангалттай. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

n = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (см).

Хариулах. n = √51 см.

Заавар

Хэрэв суурийн (b ба c) хоёулангийнх нь урт ба ижил хажуугийн хажуу талууд (a) нь тодорхой бол тэгш өнцөгт гурвалжинг ашиглан түүний хурц өнцгийн (γ) аль нэгний утгыг тооцоолж болно. Үүнийг хийхийн тулд богино суурийн зэргэлдээх аль ч булангаас өндрийг буулгана. Тэгш өнцөгт гурвалжин нь өндөр (), хажуу (гипотенуз) ба өндөр ба ойролцоо талын (хоёр дахь хөл) хоорондох урт суурийн сегментээр үүсгэгдэнэ. Энэ сегментийн уртыг том суурийн уртаас жижиг хэсгийн уртыг хасч, үр дүнг хагас болгон хуваах замаар олж болно: (c-b)/2.

Хоёр уртыг хүлээн авлаа зэргэлдээ талуудзөв гурвалжин, тэдгээрийн хоорондох өнцгийг тооцоолно. Гипотенузын урт (a) ба хөлний урттай ((c-b)/2) харьцаа нь энэ өнцгийн косинусын утгыг (cos(γ)) өгдөг бөгөөд арккосинус функц нь үүнийг хөрвүүлэхэд тусална. градусын өнцөг: γ=arccos(2*a/(c-b )). Ингэснээр та хурц өнцгүүдийн аль нэгнийх нь утгыг олж авах бөгөөд энэ нь тэгш өнцөгт тул хоёр дахь хурц өнцөг нь ижил утгатай болно. Бүх өнцгийн нийлбэр нь 360 ° байх ёстой бөгөөд энэ нь хоёр өнцгийн нийлбэр нь энэ ба хурц өнцгийн хоёр дахин зөрүүтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм. Мохоо өнцөг хоёулаа адилхан байх тул тус бүрийн утгыг (α) олохын тулд энэ ялгааг хоёр хэсэгт хуваах шаардлагатай: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2*) a/(c-b)) . Одоо та ижил өнцөгт трапецын бүх өнцгийг түүний талуудын мэдэгдэж буй уртыг харгалзан тооцоолсон болно.

Хэрэв зургийн талуудын урт нь тодорхойгүй боловч түүний өндөр (h) өгөгдсөн бол та ижил схемийн дагуу үргэлжлүүлэх хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд урт суурийн хажуу ба богино сегментээс бүрдэх тэгш өнцөгт гурвалжинд та хоёр хөлний уртыг мэдэх болно. Тэдний харьцаа нь танд хэрэгтэй өнцгийн тангенсыг тодорхойлдог бөгөөд энэ нь тригонометрийн функцМөн шүргэгч утгыг өнцгийн утга - артангенс болгон хувиргадаг өөрийн гэсэн антиподтой. Хурц ба мохоо өнцөгдагуу хувиргана: γ=arctg(2*h/(c-b)) ба α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).

аргуудыг ашиглан энэ асуудлыг шийдвэрлэх вектор алгебр, та дараах ойлголтуудыг мэдэх хэрэгтэй: геометрийн векторын нийлбэр ба векторуудын цэгийн үржвэр, мөн нийлбэрийн шинж чанарыг санах хэрэгтэй. дотоод булангууддөрвөлжин.

Танд хэрэгтэй болно

• - цаас;
• - үзэг;
• - захирагч.

Заавар

Вектор нь чиглүүлсэн сегмент, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн тэнхлэгт түүний урт, чиглэл (өнцөг) өгөгдсөн тохиолдолд бүрэн тодорхойлогдсон хэмжигдэхүүн юм. Векторын байрлал юугаар ч хязгаарлагдахаа больсон. Урт, ижил чиглэлтэй хоёр векторыг тэнцүү гэж үзнэ. Тиймээс координатыг ашиглах үед векторуудыг түүний төгсгөлийн цэгүүдийн радиус векторуудаар төлөөлдөг (гарал үүсэл нь координатын эхлэл дээр байдаг).

Тодорхойлолтоор: үүссэн вектор геометрийн нийлбэрвекторууд нь эхнийх нь эхнээс эхэлж, хоёр дахь нь төгсгөлтэй вектор бөгөөд эхнийх нь төгсгөл нь хоёр дахьын эхлэлтэй нийлдэг. Үүнийг цааш үргэлжлүүлж, ижил байрлалтай векторуудын гинжийг байгуулж болно.
Өгөгдсөн ABCD-г a, b, c, d векторуудтай Зураг дээр зур. 1. Мэдээжийн хэрэг, энэ зохицуулалтаар үүссэн вектор нь d=a+ b+c болно.

Цэгтэй бүтээгдэхүүнВ энэ тохиолдолд a ба d векторууд дээр үндэслэн илүү тохиромжтой. (a, d)= |a||d|cosф1 гэж тэмдэглэсэн цэгийн үржвэр. Энд φ1 нь a ба d векторуудын хоорондох өнцөг юм.
Векторуудын цэгийн үржвэр, координатаар өгөгдсөн, дараах байдлаар тодорхойлогдоно.
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, дараа нь
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

Хоёр талт трапецын өнцөг. Сайн байна уу! Энэ нийтлэл нь трапецын асуудлыг шийдвэрлэхэд чиглэнэ. Энэ бүлэгдаалгавар бол шалгалтын нэг хэсэг, асуудал нь энгийн. Бид трапецын өнцөг, суурь, өндрийг тооцоолох болно. Хэд хэдэн асуудлыг шийдэх нь тэдний хэлснээр: Пифагорын теоремгүйгээр бид хаана байна вэ?

Бид ижил өнцөгт трапецтай ажиллах болно. Суурийн талдаа тэгш өнцөгтэй, тэгш өнцөгтэй. Блогт трапецын тухай нийтлэл байна.

жижиг болон анхаарна уу чухал нюанс, бид даалгавруудыг өөрсдөө шийдвэрлэх явцад нарийвчлан тайлбарлахгүй. Хараач, хэрэв бидэнд хоёр шалтгаан өгвөл илүү том суурьдоош буулгасан өндрийг гурван сегментэд хуваадаг - нэг нь тэнцүү байна жижиг суурь(эдгээр нь тэгш өнцөгтийн эсрэг талууд), нөгөө хоёр нь хоорондоо тэнцүү (эдгээр нь тэгш өнцөгт гурвалжны хөл юм):

Энгийн жишээ: 25 ба 65-р адил тэгш өнцөгт трапецын хоёр суурийг өгөв. Том суурийг дараах байдлаар сегмент болгон хуваана.

*Бас илүү олон! Даалгавруудад ороогүй болно үсгийн тэмдэглэгээ. Алгебрийн сайжруулалтаар шийдлийг хэт ачаалахгүйн тулд үүнийг зориудаар хийсэн. Энэ нь математикийн хувьд бичиг үсэг тайлагдаагүй гэдэгтэй би санал нийлж байна, гэхдээ зорилго нь гол санааг ойлгох явдал юм. Мөн та орой болон бусад элементүүдийн тэмдэглэгээг өөрөө хийж, математикийн зөв шийдлийг бичиж болно.

Даалгавруудыг авч үзье:

27439. Хоёр талт трапецын суурь нь 51 ба 65. Талууд нь 25. Трапецын хурц өнцгийн синусыг ол.

Өнцгийг олохын тулд та өндрийг барих хэрэгтэй. Ноорог дээр бид тоо хэмжээний нөхцөл дэх өгөгдлийг тэмдэглэнэ. Доод суурь нь 65, өндөр нь 7, 51, 7-р сегментүүдэд хуваагдана.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд бид гипотенуз ба хөлийг мэддэг, бид хоёр дахь хөлийг (трапецын өндөр) олж, дараа нь өнцгийн синусыг тооцоолж болно.

Пифагорын теоремын дагуу заасан хөл нь дараахтай тэнцүү байна.

Тиймээс:

Хариулт: 0.96

27440. Хоёр талт трапецын суурь нь 43 ба 73. Трапецын хурц өнцгийн косинус 5/7. Хажуу талыг нь ол.

Өндөрийг байгуулж, доод суурь нь 15, 43, 15-р сегментүүдэд хуваагдана.

27441. Адил өнцөгт трапецын том суурь нь 34. Тал нь 14. Хурц өнцгийн синус (2√10)/7. Жижиг суурийг ол.

Өндөрийг босгоцгооё. Жижиг суурийг олохын тулд бид юу болохыг олох хэрэгтэй сегменттэй тэнцүүтэгш өнцөгт гурвалжинд хөл байх (цэнхэрээр тэмдэглэсэн):

Бид трапецын өндрийг тооцоолж, дараа нь хөлийг олох боломжтой.

Пифагорын теоремыг ашиглан бид хөлийг тооцоолно.

Тиймээс жижиг суурь нь:

27442. Хоёр талт трапецын суурь нь 7 ба 51. Хурц өнцгийн тангенс 5/11. Трапецын өндрийг ол.

Өндөрийг байгуулж, өгөгдлийг магнитудын нөхцөлд тэмдэглэе. Доод суурь нь сегментүүдэд хуваагдана:

Юу хийх вэ? Бид суурь дээр мэддэг өнцгийн тангенсыг тэгш өнцөгт гурвалжинд илэрхийлнэ.

27443. Адил өнцөгт трапецын бага суурь 23. Трапецын өндөр 39. Хурц өнцгийн шүргэгч 13/8. Илүү том суурийг олоорой.

Бид өндрийг барьж, хөл нь юутай тэнцүү болохыг тооцоолно.

Тиймээс том суурь нь дараахтай тэнцүү байх болно.

27444. Трапецын суурь нь 17 ба 87. Трапецын өндөр 14. Хурц өнцгийн шүргэгчийг ол.

Бид өндрийг барьж, ноорог дээр мэдэгдэж буй утгыг тэмдэглэдэг. Доод суурь нь 35, 17, 35-р сегментүүдэд хуваагдана.

Тангенсийн тодорхойлолтоор:

77152. Хоёр талт трапецын суурь нь 6 ба 12. Трапецын хурц өнцгийн синус 0.8. Хажуу талыг нь ол.

Ноорог зурж, өндрийг барьж, мэдэгдэж буй утгыг тэмдэглэе, том суурь нь 3, 6, 3-р сегментүүдэд хуваагдана:

X гэж тодорхойлсон гипотенузыг косинусаар илэрхийлье.

Үндсэн хэсгээс тригонометрийн ижилсэл cosα-г олъё

Тиймээс:

27818. Юутай тэнцүү вэ илүү том өнцөгХэрэв эсрэг талын өнцгүүдийн ялгаа 50 0 гэдгийг мэддэг бол ижил өнцөгт трапец? Хариултаа градусаар өгнө үү.

Геометрийн хичээлээс бид хоёр зэрэгцээ шугам ба хөндлөн шугамтай бол дотоод нэг талт өнцгийн нийлбэр нь 180 0-тэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Манай тохиолдолд ийм байна

Нөхцөл нь эсрэг талын өнцгийн ялгаа нь 50 0, өөрөөр хэлбэл

Тэгш өнцөгт трапецын шинж чанарууд

• У тэгш өнцөгт трапецба хоёр өнцөг нь зөв байх ёстой
• Аль аль нь зөв өнцөг тэгш өнцөгт трапецзаавал зэргэлдээх оройнуудад хамаарна
• Аль аль нь зөв өнцөгтэгш өнцөгт трапецын хувьд тэдгээр нь заавал нэг талтай зэргэлдээ байх ёстой
• Тэгш өнцөгт трапецын диагональуудаль нэг талд нь хэлбэржүүлнэ зөв гурвалжин
• Хажуугийн уртСуурийн перпендикуляр трапецын хэмжээ нь түүний өндөртэй тэнцүү байна
• Тэгш өнцөгт трапец дээр суурь нь зэрэгцээ байна, нэг тал нь сууринд перпендикуляр, хоёр дахь тал нь суурийн налуу байна
• Тэгш өнцөгт трапец дээр хоёр өнцөг нь зөв, нөгөө хоёр нь хурц ба мохоо байна

Даалгавар