Тэгш өнцөгт координатын систем
Цэгүүдийн координатын тухай ойлголтыг тодорхойлохын тулд бид координатыг нь тодорхойлох координатын системийг нэвтрүүлэх хэрэгтэй. Үүнтэй ижил цэг өөр өөр системүүдкоординатууд өөр өөр координаттай байж болно. Энд бид орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын системийг авч үзэх болно.
Сансарт $O$ цэг авч, түүний координатуудыг $(0,0,0)$ оруулъя. Үүнийг координатын системийн гарал үүсэл гэж нэрлэе. Зураг 1-ийн дагуу $Ox$, $Oy$, $Oz$ гэсэн гурван харилцан перпендикуляр тэнхлэгүүдийг түүгээр зуръя. Эдгээр тэнхлэгүүдийг тус тус абсцисса, ординат, хэрэглээний тэнхлэг гэж нэрлэнэ. Үлдсэн зүйл бол тэнхлэгүүд дээр (нэгж сегмент) масштабыг оруулах явдал юм - орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын систем бэлэн болсон (Зураг 1).
Зураг 1. Орон зайн тэгш өнцөгт координатын систем. Avtor24 - оюутны бүтээлийг онлайнаар солилцох
Цэгийн координат
Одоо ямар ч цэгийн координатууд ийм системд хэрхэн тодорхойлогддогийг харцгаая. Авцгаая дурын цэг$M$ (Зураг 2).
Үргэлжлүүлье координатын тэнхлэгүүдтэгш өнцөгт параллелепипед, ингэснээр $O$ ба $M$ цэгүүд нь түүний оройнуудын эсрэг байрлана (Зураг 3).
Зураг 3. Барилга байгууламж тэгш өнцөгт параллелепипед. Avtor24 - оюутны бүтээлийг онлайнаар солилцох
Дараа нь $M$ цэг нь $(X,Y,Z)$ координаттай байх ба $X$ нь дээрх утга юм. тооны тэнхлэг$Ox$, $Y$ нь $Oy$ тооны шулуун дээрх утга, $Z$ нь $Oz$ тооны шулуун дээрх утга юм.
Жишээ 1
Дараах асуудлын шийдлийг олох шаардлагатай: 4-р зурагт үзүүлсэн параллелепипедийн оройнуудын координатыг бич.
Шийдэл.
$O$ цэг нь координатын эх үүсвэр тул $O=(0,0,0)$.
$Q$, $N$ ба $R$ цэгүүд нь $Ox$, $Oz$, $Oy$ тэнхлэгүүд дээр тус тус байрлана.
$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1,5)$, $R=(0,2,5,0)$
$S$, $L$ ба $M$ цэгүүд нь $Oxz$, $Oxy$ болон $Oyz$ хавтгайд тус тус байрлана.
$S=(2,0,1.5)$, $L=(2,2.5,0)$, $R=(0,2.5,1.5)$
$P$ цэг нь $P=(2,2.5,1.5)$ координаттай
Хоёр цэг дээрх вектор координат ба олох томъёо
Хоёр цэгийн координатаас векторыг хэрхэн олохыг мэдэхийн тулд бидний өмнө нь оруулсан координатын системийг авч үзэх хэрэгтэй. Үүнд $Ox$ цэгээс $Ox$ тэнхлэгийн чиглэлд нэгж векторыг $\overline(i)$, $Oy$ тэнхлэгийн чиглэлд $\overline(j) нэгж векторыг зурна. $ ба нэгж вектор $\overline(k) $ $Oz$ тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн байх ёстой.
Векторын координатын тухай ойлголтыг нэвтрүүлэхийн тулд бид дараах теоремыг танилцуулж байна (түүний нотолгоог энд авч үзэхгүй).
Теорем 1
Орон зай дахь дурын векторыг нэг хавтгайд оршдоггүй дурын гурван вектор болгон өргөжүүлж болох бөгөөд ийм тэлэлтийн коэффициентийг онцгойлон тодорхойлно.
Математикийн хувьд энэ нь иймэрхүү харагдаж байна:
$\overline(δ)=m\overline(α)+n\overline(β)+l\overline(γ)$
$\overline(i)$, $\overline(j)$ болон $\overline(k)$ векторууд координатын тэнхлэг дээр баригдсан тул тэгш өнцөгт системкоординатууд байвал тэдгээр нь нэг хавтгайд хамаарахгүй нь ойлгомжтой. Энэ нь теорем 1-ийн дагуу энэхүү координатын систем дэх $\overline(δ)$ дурын вектор дараах хэлбэрийг авч болно гэсэн үг юм.
$\overline(δ)=m\overline(i)+n\overline(j)+l\overline(k)$ (1)
$n,m,l∈R$.
Тодорхойлолт 1
$\overline(i)$, $\overline(j)$ ба $\overline(k)$ гэсэн гурван векторыг координатын вектор гэж нэрлэнэ.
Тодорхойлолт 2
Өргөтгөх (1) дэх $\overline(i)$, $\overline(j)$ болон $\overline(k)$ векторуудын өмнөх коэффициентүүдийг бидний өгсөн координатын систем дэх энэ векторын координат гэж нэрлэнэ. , тэр нь
$\overline(δ)=(m,n,l)$
Вектор дээрх шугаман үйлдлүүд
Теорем 2
Нийлбэр теорем: Дурын тооны векторын нийлбэрийн координатыг тэдгээрийн харгалзах координатын нийлбэрээр тодорхойлно.
Баталгаа.
Бид энэ теоремыг 2 векторын хувьд батлах болно. 3 ба түүнээс дээш векторын хувьд нотлох баримтыг ижил төстэй аргаар байгуулна. $\overline(α)=(α_1,α_2,α_3)$, $\overline(β)=(β_1,β_2 ,β_3)$ байг.
Эдгээр векторуудыг дараах байдлаар бичиж болно
$\overline(α)=α_1\overline(i)+ α_2\overline(j)+α_3\overline(k)$, $\overline(β)=β_1\overline(i)+ β_2\overline(j)+ β_3\overline(k)$
Абсцисса ба ординатын тэнхлэгийг дуудна координатууд вектор. Вектор координатыг ихэвчлэн маягт дээр зааж өгдөг (х, у), мөн вектор өөрөө: =(x, y).
Хоёр хэмжээст бодлогын вектор координатыг тодорхойлох томъёо.
Хоёр хэмжээст бодлогын хувьд мэдэгдэж байгаа вектор цэгүүдийн координат A(x 1;y 1)Тэгээд Б(x 2 ; y 2 ) тооцоолж болно:
= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).
Орон зайн асуудлын вектор координатыг тодорхойлох томъёо.
тохиолдолд орон зайн асуудалалдартай вектор цэгүүдийн координатА (x 1;y 1;z 1 ) болон Б (x 2 ; y 2 ; z 2 ) томъёог ашиглан тооцоолж болно:
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).
Координатуудыг өгсөн болно дэлгэрэнгүй тайлбарвектор, учир нь координатыг ашиглан векторыг өөрөө бүтээх боломжтой. Координатыг мэддэг тул тооцоолоход хялбар байдаг векторын урт. (Доорх үл хөдлөх хөрөнгө 3).
Вектор координатын шинж чанарууд.
1. Аливаа тэнцүү векторууднэг координатын системд байна тэнцүү координатууд.
2. Координат коллинеар векторууд пропорциональ. Векторуудын аль нь ч тэг биш байх нөхцөлд.
3. Аливаа векторын уртын квадрат нийлбэртэй тэнцүү байнаквадрат координатууд.
4. Мэс заслын үед вектор үржүүлэхдээр бодит тоокоординат бүрийг энэ тоогоор үржүүлнэ.
5. Векторуудыг нэмэхдээ бид харгалзах нийлбэрийг тооцдог вектор координат.
6. Цэгтэй бүтээгдэхүүнхоёр вектор нь тэдгээрийн харгалзах координатын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Тэгш өнцөгт координатын систем
Цэгүүдийн координатын тухай ойлголтыг тодорхойлохын тулд бид координатыг нь тодорхойлох координатын системийг нэвтрүүлэх хэрэгтэй. Өөр өөр координатын систем дэх ижил цэг нь өөр өөр координаттай байж болно. Энд бид орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын системийг авч үзэх болно.
Сансарт $O$ цэг авч, түүний координатуудыг $(0,0,0)$ оруулъя. Үүнийг координатын системийн гарал үүсэл гэж нэрлэе. Зураг 1-ийн дагуу $Ox$, $Oy$, $Oz$ гэсэн гурван харилцан перпендикуляр тэнхлэгүүдийг түүгээр зуръя. Эдгээр тэнхлэгүүдийг тус тус абсцисса, ординат, хэрэглээний тэнхлэг гэж нэрлэнэ. Үлдсэн зүйл бол тэнхлэгүүд дээр (нэгж сегмент) масштабыг оруулах явдал юм - орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын систем бэлэн болсон (Зураг 1).
Зураг 1. Орон зайн тэгш өнцөгт координатын систем. Avtor24 - оюутны бүтээлийг онлайнаар солилцох
Цэгийн координат
Одоо ийм системд аливаа цэгийн координат хэрхэн тодорхойлогддогийг харцгаая. $M$ дурын цэгийг авъя (Зураг 2).
Координатын тэнхлэгүүд дээр $O$ ба $M$ цэгүүд нь түүний оройнуудын эсрэг байхаар тэгш өнцөгт параллелепипед байгуулъя (Зураг 3).
Зураг 3. Тэгш өнцөгт параллелепипед барих. Avtor24 - оюутны бүтээлийг онлайнаар солилцох
Дараа нь $M$ цэг нь $(X,Y,Z)$ координаттай байх бөгөөд $X$ нь тооны тэнхлэгийн утга $Ox$, $Y$ нь $Oy$ тооны тэнхлэг дээрх утга, $Z $ нь $Oz$ тооны тэнхлэг дээрх утга юм.
Жишээ 1
Дараах асуудлын шийдлийг олох шаардлагатай: 4-р зурагт үзүүлсэн параллелепипедийн оройнуудын координатыг бич.
Шийдэл.
$O$ цэг нь координатын эх үүсвэр тул $O=(0,0,0)$.
$Q$, $N$ ба $R$ цэгүүд нь $Ox$, $Oz$, $Oy$ тэнхлэгүүд дээр тус тус байрлана.
$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1,5)$, $R=(0,2,5,0)$
$S$, $L$ ба $M$ цэгүүд нь $Oxz$, $Oxy$ болон $Oyz$ хавтгайд тус тус байрлана.
$S=(2,0,1.5)$, $L=(2,2.5,0)$, $R=(0,2.5,1.5)$
$P$ цэг нь $P=(2,2.5,1.5)$ координаттай
Хоёр цэг дээрх вектор координат ба олох томъёо
Хоёр цэгийн координатаас векторыг хэрхэн олохыг мэдэхийн тулд бидний өмнө нь оруулсан координатын системийг авч үзэх хэрэгтэй. Үүнд $Ox$ цэгээс $Ox$ тэнхлэгийн чиглэлд нэгж векторыг $\overline(i)$, $Oy$ тэнхлэгийн чиглэлд $\overline(j) нэгж векторыг зурна. $ ба нэгж вектор $\overline(k) $ $Oz$ тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн байх ёстой.
Векторын координатын тухай ойлголтыг нэвтрүүлэхийн тулд бид дараах теоремыг танилцуулж байна (түүний нотолгоог энд авч үзэхгүй).
Теорем 1
Орон зай дахь дурын векторыг нэг хавтгайд оршдоггүй дурын гурван вектор болгон өргөжүүлж болох бөгөөд ийм тэлэлтийн коэффициентийг онцгойлон тодорхойлно.
Математикийн хувьд энэ нь иймэрхүү харагдаж байна:
$\overline(δ)=m\overline(α)+n\overline(β)+l\overline(γ)$
$\overline(i)$, $\overline(j)$ болон $\overline(k)$ векторууд тэгш өнцөгт координатын системийн координатын тэнхлэгүүд дээр бүтээгдсэн тул тэдгээр нь нэг хавтгайд хамаарахгүй нь ойлгомжтой. Энэ нь теорем 1-ийн дагуу энэхүү координатын систем дэх $\overline(δ)$ дурын вектор дараах хэлбэрийг авч болно гэсэн үг юм.
$\overline(δ)=m\overline(i)+n\overline(j)+l\overline(k)$ (1)
$n,m,l∈R$.
Тодорхойлолт 1
$\overline(i)$, $\overline(j)$ ба $\overline(k)$ гэсэн гурван векторыг координатын вектор гэж нэрлэнэ.
Тодорхойлолт 2
Өргөтгөх (1) дэх $\overline(i)$, $\overline(j)$ болон $\overline(k)$ векторуудын өмнөх коэффициентүүдийг бидний өгсөн координатын систем дэх энэ векторын координат гэж нэрлэнэ. , тэр нь
$\overline(δ)=(m,n,l)$
Вектор дээрх шугаман үйлдлүүд
Теорем 2
Нийлбэр теорем: Дурын тооны векторын нийлбэрийн координатыг тэдгээрийн харгалзах координатын нийлбэрээр тодорхойлно.
Баталгаа.
Бид энэ теоремыг 2 векторын хувьд батлах болно. 3 ба түүнээс дээш векторын хувьд нотлох баримтыг ижил төстэй аргаар байгуулна. $\overline(α)=(α_1,α_2,α_3)$, $\overline(β)=(β_1,β_2 ,β_3)$ байг.
Эдгээр векторуудыг дараах байдлаар бичиж болно
$\overline(α)=α_1\overline(i)+ α_2\overline(j)+α_3\overline(k)$, $\overline(β)=β_1\overline(i)+ β_2\overline(j)+ β_3\overline(k)$
Үүнийг гарал үүслээс нь салгая нэгж векторууд, өөрөөр хэлбэл урт нь нэгтэй тэнцүү векторууд. i → векторын чиглэл нь O x тэнхлэгтэй, j → векторын чиглэл нь O y тэнхлэгтэй давхцах ёстой.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Тодорхойлолт 1
i → ба j → векторуудыг дуудна координатын векторууд.
Координатын векторууд нь коллинеар бус байдаг. Иймд дурын p → векторыг p → = x i → + y j → вектор болгон өргөжүүлж болно. x ба y коэффициентүүдийг өвөрмөц аргаар тодорхойлно. векторын тэлэлтийн коэффициентүүд p → by координатын векторуудөгөгдсөн координатын систем дэх p → векторын координат гэж нэрлэдэг.
Вектор координатуудыг бичнэ буржгар хаалт p → x ; y. Зураг дээр O A → вектор нь 2 координаттай; 1, вектор b → координат 3; - 2. Тэг вектор 0 → 0 хэлбэрээр илэрхийлэгдэх; 0 .
Хэрэв a → ба b → векторууд тэнцүү бол у 1 = у 2 байна. Үүнийг ингэж бичье: a → = x 1 i → + y 1 j → = b → = x 2 i → + y 2 j →, энэ нь x 1 = x 2, y 1 = y 2 гэсэн үг юм.
Тиймээс координатууд тэнцүү векторуудтус тус тэнцүү байна.
Хэрэв координатын цэг нь координатын системийн гарал үүсэлтэй давхцахгүй бол асуудлыг авч үзье. Оруул Декарт систем O x y дээрх координатуудад A B → эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүдийн координатууд өгөгдсөн: A x a, y a, B x b, y b. Өгөгдсөн векторын координатыг ол.
Координатын тэнхлэгийг дүрсэлцгээе.
Вектор нэмэх томъёоноос бид O A → + A B → = O B → , O нь эх үүсвэр юм. Үүнээс үзэхэд A B → = O B → - O A → .
O A → ба O B → нь өгөгдсөн А ба В цэгүүдийн радиус векторууд бөгөөд энэ нь цэгүүдийн координатууд нь O A → = x a, y a, O B → = x b, y b гэсэн утгатай байна.
Вектор дээрх үйлдлийн дүрмийг ашиглан бид A B → = O B → - O A → = x b - x a, y b - y a-г олно.
Гурван хэмжээст орон зайд байх нь зөвхөн гурван цэгийн хувьд ижил зарчмыг баримталдаг.
Векторын координатыг олохын тулд түүний төгсгөл ба эхлэл цэгүүдийн ялгааг олох шаардлагатай.
Жишээ 1
A (2, - 3), B (- 4, - 1) цэгүүдийн координатын O A → ба A B → координатыг ол.
Шийдэл
Эхлээд А цэгийн радиус векторыг тодорхойлно. O A → = (2 , - 3) . A B →-г олохын тулд төгсгөлийн цэгүүдийн координатаас эхлэлийн цэгүүдийн координатын утгыг хасах хэрэгтэй.
Бид авна: A B → = (- 4 - 2, - 1 - (- 3)) = (- 6, 2) .
Хариулт: O A → = (2 , - 3) , A B → = (- 6 , - 2) .
Жишээ 2
Тохируулах гурван хэмжээст орон зайцэгтэй A = (3 , 5 , 7) , A B → = (2 , 0 , - 2) . A B → төгсгөлийн координатыг ол.
Шийдэл
А цэгийн координатыг орлуулна: A B → = (x b - 3, y b - 5, z b - 7) .
Нөхцөлөөр A B → = (2, 0, - 2) гэдгийг мэддэг.
Координатууд нь тэнцүү байх үед векторуудын тэгш байдал үнэн байдаг нь мэдэгдэж байна. Тэгшитгэлийн системийг байгуулъя: x b - 3 = 2 y b - 5 = 0 z b - 7 = - 2
Үүнээс үзэхэд B A B → цэгийн координатууд тэнцүү байна: x b = 5 y b = 5 z b = 5
Хариулт: B (5, 5, 5) .
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Координатын аргыг ашиглахын тулд томьёог сайн мэдэх хэрэгтэй. Тэдгээрийн гурав нь:
Эхлээд харахад энэ нь аюул заналхийлж байгаа мэт боловч бага зэрэг дасгал хийвэл бүх зүйл сайхан болно.
Даалгавар. a = (4; 3; 0) ба b = (0; 12; 5) векторуудын хоорондох өнцгийн косинусыг ол.
Шийдэл. Векторуудын координатууд бидэнд өгөгдсөн тул бид тэдгээрийг эхний томъёонд орлуулна.
Даалгавар. M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) ба K = (2; 1; 0) цэгүүдийг дайрч өнгөрөхгүй нь мэдэгдэж байгаа бол хавтгайн тэгшитгэлийг бич. гарал үүсэл.
Шийдэл. Ерөнхий тэгшитгэлхавтгай: Ax + By + Cz + D = 0, гэхдээ хүссэн хавтгай нь координатын эхийг дайран өнгөрдөггүй тул - цэг (0; 0; 0) - дараа нь бид D = 1-ийг тавьдаг. Энэ онгоц цэгүүдийг дайран өнгөрдөг тул M, N ба K, дараа нь эдгээр цэгүүдийн координатууд нь тэгшитгэлийг зөв тоон тэгшитгэл болгон хувиргах ёстой.
M = (2; 0; 1) цэгийн координатыг х, у, z-ийн оронд орлуулъя. Бидэнд:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;
Үүний нэгэн адил N = (0; 1; 1) ба K = (2; 1; 0) цэгүүдийн хувьд бид дараах тэгшитгэлийг олж авна.
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;
Тэгэхээр бидэнд гурван тэгшитгэл, гурван үл мэдэгдэх зүйл байна. Тэгшитгэлийн системийг үүсгэж шийдье:
Хавтгайн тэгшитгэл нь − 0.25x − 0.5y − 0.5z + 1 = 0 хэлбэртэй болохыг олж мэдсэн.
Даалгавар. Хавтгай нь 7x − 2y + 4z + 1 = 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Энэ хавтгайд перпендикуляр векторын координатыг ол.
Шийдэл. Гурав дахь томьёог ашиглан бид n = (7; − 2; 4) авна - энэ бол бүх зүйл!
Векторын координатыг тооцоолох
Хэрэв асуудалд вектор байхгүй бол зөвхөн шулуун шугамууд дээр байрлах цэгүүд байгаа бөгөөд эдгээр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тооцоолох шаардлагатай бол яах вэ? Энэ нь маш энгийн: цэгүүдийн координатыг мэддэг - векторын эхлэл ба төгсгөл - та векторын координатыг өөрөө тооцоолж болно.
Векторын координатыг олохын тулд түүний төгсгөлийн координатаас эхлэлийн координатыг хасах хэрэгтэй.
Энэ теорем нь хавтгайд ч, орон зайд ч адилхан сайн ажилладаг. "Координатыг хасах" гэсэн илэрхийлэл нь өөр цэгийн х координатыг нэг цэгийн х координатаас хасвал y ба z координатуудтай ижил зүйлийг хийх ёстой гэсэн үг юм. Энд зарим жишээ байна:
Даалгавар. Орон зайд гурван цэг байдаг бөгөөд тэдгээрийн координатаар тодорхойлогддог: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) ба C = (− 4; 3; − 2). AB, AC, BC векторуудын координатыг ол.
AB векторыг авч үзье: түүний эхлэл нь А цэгт, төгсгөл нь В цэгт байна. Тиймээс координатыг нь олохын тулд В цэгийн координатаас А цэгийн координатыг хасах хэрэгтэй:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).
Үүний нэгэн адил АС векторын эхлэл нь А цэгтэй ижил, харин төгсгөл нь С цэг юм. Тиймээс бидэнд:
АС = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).
Эцэст нь BC векторын координатыг олохын тулд В цэгийн координатыг С цэгийн координатаас хасах хэрэгтэй.
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).
Хариулт: AB = (2; − 7; 4); АС = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)
Сүүлчийн BC векторын координатыг тооцоолоход анхаарлаа хандуулаарай: олон хүмүүс ажиллахдаа алдаа гаргадаг. сөрөг тоонууд. Энэ нь y хувьсагчтай холбоотой: В цэг нь y = − 1 координаттай, С цэг нь y = 3 координаттай. Бид олон хүний бодож байгаа шиг 3 − 1 биш харин яг 3 − (− 1) = 4-ийг авдаг. Битгий ийм тэнэг алдаа гарга!
Шулуун шугамын чиглэлийн векторын тооцоо
Хэрэв та C2 бодлогыг анхааралтай уншвал тэнд вектор байхгүй байгааг олж мэдээд та гайхах болно. Зөвхөн шулуун ба хавтгайнууд л байдаг.
Эхлээд шулуун шугамуудыг харцгаая. Энд бүх зүйл энгийн: аль ч шулуун дээр дор хаяж хоёр ялгаатай цэг байдаг бөгөөд эсрэгээр хоёр ялгаатай цэг нь өвөрмөц шугамыг тодорхойлдог ...
Өмнөх догол мөрөнд юу бичсэнийг хэн нэгэн ойлгосон уу? Би өөрөө үүнийг ойлгоогүй тул илүү энгийнээр тайлбарлах болно: C2 асуудалд шулуун шугамууд үргэлж хос цэгээр тодорхойлогддог. Хэрэв бид координатын системийг нэвтрүүлж, эдгээр цэгүүдэд эхлэл ба төгсгөлтэй векторыг авч үзвэл шугамын чиглэлийн векторыг олж авна.
Энэ вектор яагаад хэрэгтэй вэ? Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг юм. Тиймээс бид ойлгомжгүй шулуун шугамаас координатыг тооцоолоход хялбар тодорхой вектор руу шилждэг. Хэр амархан юм бэ? Жишээнүүдийг харна уу:
Даалгавар. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 куб дээр AC ба BD 1 шулуунууд татагдсан. Эдгээр шулуунуудын чиглэлийн векторуудын координатыг ол.
Нөхцөлд шоогийн ирмэгийн уртыг заагаагүй тул бид AB = 1-ийг тогтооно. Бид A цэг дээрх эх, AB, AD ба шулуун шугамын дагуу чиглэсэн x, y, z тэнхлэгүүдтэй координатын системийг нэвтрүүлнэ. AA 1 тус тус. Нэгж сегмент AB = 1-тэй тэнцүү байна.
Одоо АС шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг олъё. Бидэнд хоёр цэг хэрэгтэй: A = (0; 0; 0) ба C = (1; 1; 0). Эндээс бид AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) векторын координатуудыг авдаг - энэ бол чиглэлийн вектор юм.
Одоо BD 1 шулуун шугамыг харцгаая. Мөн B = (1; 0; 0) ба D 1 = (0; 1; 1) гэсэн хоёр цэгтэй. Бид BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1) чиглэлийн векторыг олж авна.
Хариулт: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)
Даалгавар. Баруун талд гурвалжин призм ABCA 1 B 1 C 1, бүх ирмэгүүд нь 1-тэй тэнцүү, AB 1 ба AC 1 шулуун шугамууд татагдана. Эдгээр шулуунуудын чиглэлийн векторуудын координатыг ол.
Координатын системийг танилцуулъя: гарал үүсэл нь А цэг дээр, x тэнхлэг нь AB-тай, z тэнхлэг нь AA 1-тэй давхцаж, y тэнхлэг нь x тэнхлэгтэй OXY хавтгайг үүсгэдэг бөгөөд энэ нь ABC хавтгайтай давхцдаг.
Эхлээд AB 1 шулуун шугамыг харцгаая. Энд бүх зүйл энгийн: бидэнд A = (0; 0; 0) ба B 1 = (1; 0; 1) цэгүүд байна. Бид AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1) чиглэлийн векторыг олж авна.
Одоо AC 1-ийн чиглэлийн векторыг олъё. Бүх зүйл адилхан - цорын ганц ялгаа нь C 1 цэг нь иррационал координаттай байдаг. Тэгэхээр A = (0; 0; 0), тэгэхээр бидэнд байна:
Хариулт: AB 1 = (1; 0; 1);
Жижиг боловч маш чухал тэмдэглэлтухай сүүлчийн жишээ. Хэрэв векторын эхлэл нь координатын гарал үүсэлтэй давхцаж байвал тооцооллыг маш хялбаршуулсан болно: векторын координат нь төгсгөлийн координаттай тэнцүү байна. Харамсалтай нь энэ нь зөвхөн векторуудын хувьд үнэн юм. Жишээлбэл, онгоцтой ажиллахдаа тэдгээрийн координатын гарал үүсэл байгаа нь тооцооллыг улам хүндрүүлдэг.
Онгоцны хэвийн векторуудын тооцоо
Хэвийн векторууд нь сайн эсвэл сайн мэдэрдэг векторууд биш юм. Тодорхойлолтоор бол хавтгайн хэвийн вектор (хэвийн) нь өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр вектор юм.
Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн хавтгай дээрх дурын вектортой перпендикуляр векторыг нормаль гэнэ. Та энэ тодорхойлолттой таарч байсан байх - гэхдээ векторуудын оронд бид шулуун шугамын тухай ярьж байсан. Гэсэн хэдий ч C2 асуудалд шулуун шугам эсвэл вектор гэх мэт ямар ч тохиромжтой объекттой ажиллах боломжтой гэдгийг дээр дурдсан.
Хавтгай бүр орон зайд Ax + By + Cz + D = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлогддог гэдгийг дахин сануулъя, энд A, B, C, D нь зарим коэффициент юм. Шийдлийн ерөнхий байдлыг алдагдуулахгүйгээр хэрэв онгоц эхийг дайран өнгөрөхгүй бол D = 1, хэрэв өнгөрвөл D = 0 гэж үзэж болно. Ямар ч тохиолдолд энэ хавтгайд хэвийн векторын координат нь n = (A; B; C) байна.
Тиймээс, онгоцыг вектороор амжилттай сольж болно - ижил хэвийн. Хавтгай бүр огторгуйд гурван цэгээр тодорхойлогддог. Хавтгайн тэгшитгэлийг (тиймээс хэвийн) хэрхэн олох талаар бид өгүүллийн эхэнд аль хэдийн ярилцсан. Гэсэн хэдий ч энэ үйл явц нь олон хүнд асуудал үүсгэдэг тул би өөр хэдэн жишээ хэлье:
Даалгавар. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 шоо д А 1 BC 1 хэсгийг зурсан. Хэрэв координатын эхлэл нь А цэгт байх ба x, y, z тэнхлэгүүд нь AB, AD, AA 1 ирмэгүүдтэй тус тус давхцаж байвал энэ хэсгийн хавтгайн хэвийн векторыг ол.
Онгоц нь эх үүсвэрээр дамждаггүй тул тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна: Ax + By + Cz + 1 = 0, i.e. коэффициент D = 1. Энэ хавтгай A 1, B, C 1 цэгүүдийг дайран өнгөрдөг тул эдгээр цэгүүдийн координатууд нь хавтгайн тэгшитгэлийг зөв тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг.
A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;
Үүний нэгэн адил B = (1; 0; 0) ба C 1 = (1; 1; 1) цэгүүдийн хувьд бид дараах тэгшитгэлийг олж авна.
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;
Гэхдээ бид A = − 1 ба C = − 1 коэффициентүүдийг аль хэдийн мэдэж байгаа тул B коэффициентийг олоход л үлдлээ.
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.
Хавтгайн тэгшитгэлийг олж авна: − A + B − C + 1 = 0. Тиймээс хэвийн векторын координатууд n = (− 1; 1; − 1) -тэй тэнцүү байна.
Даалгавар. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 шоо дөрвөлжин хэсэгт AA 1 C 1 C хэсэг байна. Хэрэв координатын эхлэл нь А цэгт, x, y, z тэнхлэгүүд нь давхцаж байвал энэ хэсгийн хавтгайн хэвийн векторыг ол. AB, AD ба AA ирмэгүүд тус тус 1.
IN энэ тохиолдолдонгоц эхийг дайран өнгөрдөг тул коэффициент D = 0, хавтгайн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна: Ax + By + Cz = 0. Хавтгай A 1 ба C цэгийг дайран өнгөрдөг тул эдгээр цэгүүдийн координатууд нь хавтгайн тэгшитгэл зөв тоон тэгшитгэл.
А цэгийн координатыг x, y, z-ийн оронд 1 = (0; 0; 1) орлуулъя. Бидэнд:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;
Үүний нэгэн адил, C = (1; 1; 0) цэгийн хувьд бид тэгшитгэлийг олж авна.
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;
B = 1 гэж тохируулъя. Дараа нь A = − B = − 1, бүх хавтгайн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: − A + B = 0. Иймд хэвийн векторын координатууд n = (− 1) -тэй тэнцүү байна. 1; 0).
Ерөнхийдөө дээрх асуудлуудад тэгшитгэлийн системийг бий болгож, түүнийг шийдвэрлэх хэрэгтэй. Та гурван тэгшитгэл, гурван хувьсагчийг авах болно, гэхдээ хоёр дахь тохиолдолд тэдгээрийн нэг нь үнэ төлбөргүй байх болно, өөрөөр хэлбэл. дурын утгыг авах. Тийм ч учраас бид шийдлийн ерөнхий байдал, хариултын зөв байдалд харшлахгүйгээр B = 1-ийг тогтоох эрхтэй.
С2 асуудалд та сегментийг хоёр хуваасан цэгүүдтэй ажиллах хэрэгтэй болдог. Хэрэв сегментийн төгсгөлийн координатыг мэддэг бол ийм цэгүүдийн координатыг хялбархан тооцоолох боломжтой.
Тиймээс, сегментийг төгсгөлүүдээр нь тодорхойлъё - A = (x a; y a; z a) ба B = (x b; y b; z b) цэгүүд. Дараа нь сегментийн дунд хэсгийн координатыг H цэгээр тэмдэглэе - томъёог ашиглан олж болно.
Өөрөөр хэлбэл сегментийн дунд хэсгийн координатууд нь түүний төгсгөлүүдийн координатын арифметик дундаж юм.
Даалгавар. Нэгж шоо ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 нь координатын системд байрлуулсан бөгөөд ингэснээр x, y, z тэнхлэгүүд нь AB, AD, AA 1 ирмэгийн дагуу тус тус чиглэгдэх ба эх нь А цэгтэй давхцах болно. K цэг нь ирмэгийн дунд хэсэг A 1 B 1. Энэ цэгийн координатыг ол.
K цэг нь A 1 B 1 сегментийн дунд байдаг тул координатууд нь төгсгөлүүдийн координатын арифметик дундажтай тэнцүү байна. Төгсгөлийн координатыг бичье: A 1 = (0; 0; 1) ба B 1 = (1; 0; 1). Одоо K цэгийн координатыг олъё:
Даалгавар. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 нэгж кубыг координатын системд x, y, z тэнхлэгүүд нь AB, AD, AA 1 ирмэгийн дагуу тус тус чиглүүлж, эхлэл нь А цэгтэй давхцаж байхаар байрлуулсан. A 1 B 1 C 1 D 1 квадратын диагональуудтай огтлолцох L цэгийн координатууд.
Планиметрийн хичээлээс бид квадратын диагональуудын огтлолцлын цэг нь түүний бүх оройноос ижил зайд байгааг мэдэж байна. Ялангуяа A 1 L = C 1 L, i.e. L цэг нь A 1 C 1 сегментийн дунд хэсэг юм. Гэхдээ A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), тэгэхээр бидэнд:
Хариулт: L = (0.5; 0.5; 1)
