Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Энэ өгүүллийг судалсны дараа та бүрэн квадрат тэгшитгэлийн үндсийг хэрхэн олохыг сурах болно гэж найдаж байна.

Дискриминантыг ашиглан бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд зөвхөн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийддэг бөгөөд үүнийг "Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" нийтлэлээс олох болно.

Ямар квадрат тэгшитгэлийг бүрэн гэж нэрлэдэг вэ? Энэ ax 2 + b x + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүд, a, b ба c коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Тиймээс бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид D дискриминантыг тооцоолох хэрэгтэй.

D = b 2 – 4ac.

Ялгаварлагчийн үнэ цэнээс хамааран бид хариултыг бичнэ.

Хэрэв ялгаварлагч нь сөрөг тоо бол (D< 0),то корней нет.

Дискриминант нь тэг бол x = (-b)/2a. Ялгаварлагч үед эерэг тоо(D > 0),

дараа нь x 1 = (-b - √D)/2a, мөн x 2 = (-b + √D)/2a.

Жишээ нь. Тэгшитгэлийг шийд x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Хариулт: 2.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Хариулт: үндэс байхгүй.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Хариулт: – 3.5; 1.

Тиймээс 1-р зураг дээрх диаграммыг ашиглан бүрэн квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг төсөөлцгөөе.

Эдгээр томъёог ашигласнаар та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна. Та зүгээр л болгоомжтой байх хэрэгтэй тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичсэн

А x 2 + bx + c,тэгэхгүй бол та алдаа гаргаж магадгүй. Жишээлбэл, x + 3 + 2x 2 = 0 тэгшитгэлийг бичихдээ та андуурч болно.

a = 1, b = 3 ба c = 2. Дараа нь

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ба тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. Мөн энэ нь үнэн биш юм. (Дээрх жишээ 2-ын шийдлийг үзнэ үү).

Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичээгүй бол эхлээд бүрэн квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт (моном гишүүн) болгон бичих ёстой. хамгийн өндөр үзүүлэлтградус, өөрөөр хэлбэл А x 2 , дараа нь бага – bxдараа нь үнэгүй гишүүн болно -тай.

Хоёр дахь гишүүнд бууруулсан квадрат тэгшитгэл ба тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бусад томъёог ашиглаж болно. Эдгээр томьёотой танилцацгаая. Хэрэв бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хоёр дахь гишүүн тэгш коэффициенттэй (b = 2k) байвал та 2-р зураг дээрх диаграммд үзүүлсэн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж болно.

Коэффицент нь -д байвал бүрэн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан гэж нэрлэдэг x 2 нэгтэй тэнцүүтэгшитгэл нь хэлбэрийг авна x 2 + px + q = 0. Ийм тэгшитгэлийг шийдэлд өгч болно, эсвэл тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг коэффициентэд хуваах замаар олж авч болно. А, зогсож байна x 2 .

Зураг 3-т багасгасан квадратыг шийдэх диаграммыг үзүүлэв
тэгшитгэл. Энэ нийтлэлд авч үзсэн томъёоны хэрэглээний жишээг авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Зураг 1-ийн диаграммд үзүүлсэн томьёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдье.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3

Энэ тэгшитгэлд x-ийн коэффициент байгааг та анзаарч болно тэгш тоо, өөрөөр хэлбэл b = 6 эсвэл b = 2k, үүнээс k = 3. Дараа нь D 1 = 3 2 – 3 (– 6) = 9 + 18 = зургийн диаграммд өгөгдсөн томьёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж үзье. 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3. Энэ квадрат тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд 3-т хуваагддаг болохыг анзаарч, хуваахдаа бид x 2 + 2x – 2 = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авна.
тэгшитгэл зураг 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3.

Бидний харж байгаагаар энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед янз бүрийн томъёоБид ижил хариултыг авсан. Тиймээс 1-р зурагт үзүүлсэн томьёог сайтар эзэмшсэнээр та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.

Ном зүйн тайлбар:Гасанов А.Р., Курамшин А.А., Элков А.А., Шилненков Н.В., Уланов Д.Д., Шмелева О.В. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд // Залуу эрдэмтэн. 2016. No 6.1. P. 17-20..2019.02).



Манай төсөл бол квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга замуудын тухай юм. Төслийн зорилго: Квадрат тэгшитгэлийг сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт тусгаагүй аргаар шийдэж сурах. Даалгавар: бүгдийг олох боломжит арга замуудквадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, тэдгээрийг хэрхэн ашиглах талаар суралцах, эдгээр аргуудыг ангийнхандаа танилцуулах.

"Квадрат тэгшитгэл" гэж юу вэ?

Квадрат тэгшитгэл - хэлбэрийн тэгшитгэл сүх2 + bx + c = 0, Хаана а, б, в- зарим тоо ( a ≠ 0), x- үл мэдэгдэх.

a, b, c тоонуудыг квадрат тэгшитгэлийн коэффициент гэж нэрлэдэг.

• a нь эхний коэффициент гэж нэрлэгддэг;
• b-ийг хоёр дахь коэффициент гэж нэрлэдэг;
• в - чөлөөт гишүүн.

Квадрат тэгшитгэлийг анх хэн зохион бүтээсэн бэ?

Шугаман ба квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарим алгебрийн аргуудыг 4000 жилийн өмнө мэддэг байсан. Эртний Вавилон. Эртний Вавилон олдсон шавар шахмалМЭӨ 1800-1600 оны хооронд үүсэлтэй нь квадрат тэгшитгэлийн судалгааны хамгийн эртний нотолгоо юм. Ижил шахмалууд нь тодорхой төрлийн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг агуулдаг.

Эрт дээр үед зөвхөн эхний төдийгүй хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэрэгцээ нь талбайг олохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байв. газарцэргийн шинж чанартай газар шорооны ажил, түүнчлэн одон орон, математикийн хөгжил.

Вавилоны бичвэрт дурдсан эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх дүрэм нь орчин үеийнхтэй үндсэндээ давхцаж байгаа боловч вавилончууд энэ дүрэмд хэрхэн хүрсэн нь тодорхойгүй байна. Өнөөг хүртэл олдсон бараг бүх дөрвөлжин бичвэрүүд нь зөвхөн жор хэлбэрээр гаргасан шийдлүүдийн талаархи асуудлуудыг өгдөг бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн олсон тухай ямар ч заалтгүй байдаг. Гэсэн хэдий ч өндөр түвшинВавилон дахь алгебрийн хөгжил, дөрвөлжин бичвэрт сөрөг тооны тухай ойлголт байхгүй ба ерөнхий аргуудквадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

МЭӨ 4-р зууны үеийн Вавилоны математикчид. эерэг язгууртай тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд квадратын нөхөх аргыг ашигласан. МЭӨ 300 орчим Евклид илүү ерөнхий зүйлийг гаргаж ирэв геометрийн аргашийдлүүд. Сөрөг язгууртай тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр нь олсон анхны математикч алгебрийн томъёо, Энэтхэгийн эрдэмтэн байсан Брахмагупта(Энэтхэг, МЭ 7-р зуун).

Брахмагупта нэгдмэл болтлоо бууруулсан квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий дүрмийг гаргасан. каноник хэлбэр:

ax2 + bx = c, a>0

Энэ тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь сөрөг байж болно. Брахмагуптагийн дүрэм үндсэндээ манайхтай адилхан.

Асуудлыг шийдвэрлэх олон нийтийн уралдаан Энэтхэгт түгээмэл байсан. хэцүү даалгавар. Хуучин Энэтхэгийн номнуудын нэгэнд ийм тэмцээнүүдийн талаар дараахь зүйлийг бичсэн байдаг: "Нар оддыг гялалзуулж хиртдэг шиг. сурсан хүнАлгебрийн асуудлуудыг санал болгож, шийдвэрлэснээр олон нийтийн чуулганд алдар нэрийг нь хиртэх болно." Асуудлыг ихэвчлэн яруу найргийн хэлбэрээр танилцуулдаг байв.

Алгебрийн зохиолд Аль-Хорезмишугаман ба квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг өгсөн болно. Зохиогч 6 төрлийн тэгшитгэлийг тоолж, дараах байдлаар илэрхийлэв.

1) "Квадратууд нь үндэстэй тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 = bx.

2) "Квадратууд нь тоонуудтай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 = c.

3) "Үндэс нь тоотой тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 = c.

4) "Квадрат ба тоонууд нь язгууртай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 + c = bx.

5) "Квадрат ба үндэс нь тоотой тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 + bx = c.

6) "Үндэс ба тоонууд нь квадратуудтай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл bx + c == ax2.

Сөрөг тоо хэрэглэхээс зайлсхийсэн Аль-Хорезмигийн хувьд эдгээр тэгшитгэл бүрийн нөхцөл нь хасах биш харин нэмэх юм. Энэ тохиолдолд эерэг шийдэлгүй тэгшитгэлийг тооцохгүй нь ойлгомжтой. Зохиогч аль-жабр ба аль-мукабалын техникийг ашиглан эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг тодорхойлсон. Мэдээжийн хэрэг, түүний шийдвэр бидний шийдвэртэй бүрэн нийцэхгүй байна. Энэ нь цэвэр риторик гэдгийг дурдахгүй, жишээлбэл, нэгдүгээр төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ Аль-Хорезми 17-р зууныг хүртэлх бүх математикчдын нэгэн адил тэг шийдийг харгалздаггүй болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй. тодорхой учраас тэр байх практик асуудлуудхамаагүй. Аль-Хорезмигийн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг хэсэгчлэн шийдвэрлэхдээ тоон жишээнүүдшийдлийн дүрмүүд, дараа нь тэдгээрийн геометрийн баталгааг гаргадаг.

Европ дахь Аль-Хорезмигийн загвараар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэлбэрийг анх 1202 онд бичсэн "Абакийн ном"-д тусгасан болно. Италийн математикч Леонард Фибоначчи. Зохиогч бие даан зарим шинэ зүйлийг боловсруулсан алгебрийн жишээнүүдасуудлыг шийдэж, Европт анх удаа сөрөг тоог нэвтрүүлсэн.

Энэ ном нь зөвхөн Италид төдийгүй Герман, Франц болон Европын бусад орнуудад алгебрийн мэдлэгийг түгээхэд хувь нэмэр оруулсан. Энэ номны олон асуудлыг 14-17-р зууны бараг бүх Европын сурах бичигт ашигласан. Ерөнхий дүрэмнэгдсэн болгон бууруулсан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх каноник хэлбэр x2 + bх = с шинж тэмдэг, коэффициентүүдийн бүх боломжит хослолын b, c, 1544 онд Европт томъёолсон. М.Штифель.

Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр шийдэх томъёоны гарал үүслийг Вьетнамаас авах боломжтой, гэхдээ Вьетнамд л хүлээн зөвшөөрөгдсөн. эерэг үндэс. Италийн математикчид Тарталиа, Кардано, Бомбелли 16-р зууны анхны хүмүүсийн нэг. эерэгээс гадна анхааралдаа авах, болон сөрөг үндэс. Зөвхөн 17-р зуунд. хүчин чармайлтын ачаар Жирард, Декарт, Ньютонболон бусад эрдэмтдийн үзэж байгаагаар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга нь орчин үеийн хэлбэрийг авдаг.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэд хэдэн аргыг авч үзье.

-аас квадрат тэгшитгэлийг шийдэх стандарт аргууд сургуулийн сургалтын хөтөлбөр:

1. Тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл.
2. Бүрэн квадратыг сонгох арга.
3. Томьёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
4. График шийдэлквадрат тэгшитгэл.
5. Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Виетийн теоремыг ашиглан багасгасан ба буураагүй квадрат тэгшитгэлийн шийдлийн талаар илүү дэлгэрэнгүй авч үзье.

Дээрх квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд үржвэр нь тэнцүү хоёр тоог олоход хангалттай гэдгийг санаарай. чөлөөт гишүүн, мөн нийлбэр - хоёр дахь коэффициент c эсрэг тэмдэг.

Жишээ.x 2 -5x+6=0

Үржвэр нь 6, нийлбэр нь 5 байх тоонуудыг олох хэрэгтэй. Эдгээр тоо нь 3 ба 2 болно.

Хариулт: x 1 =2, x 2 =3.

Гэхдээ та энэ аргыг эхний коэффициент нь нэгтэй тэнцүү биш тэгшитгэлд ашиглаж болно.

Жишээ.3x 2 +2х-5=0

Эхний коэффициентийг аваад чөлөөт гишүүнээр үржүүлнэ: x 2 +2x-15=0

Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь үржвэр нь - 15, нийлбэр нь - 2 байх тоонууд байх болно. Эдгээр тоо нь 5 ба 3. Үндэс олохын тулд анхны тэгшитгэл, үүссэн үндсийг эхний коэффициентээр хуваана.

Хариулт: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. "Шидэх" аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

a≠0 байх ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг авч үзье.

Хоёр талыг а-аар үржүүлснээр a 2 x 2 + abx + ac = 0 тэгшитгэлийг олж авна.

ax = y, эндээс x = y/a; дараа нь өгөгдсөнтэй тэнцэх y 2 + by + ac = 0 тэгшитгэлд хүрнэ. Бид 1 ба 2-ын үндсийг Виетийн теоремоор олно.

Эцэст нь бид x 1 = y 1 /a ба x 2 = y 2 / a-г авна.

Энэ аргын тусламжтайгаар a коэффициентийг "шидсэн" мэт чөлөөт нэр томъёогоор үржүүлдэг тул үүнийг "шидэх" арга гэж нэрлэдэг. Энэ аргыг Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг хялбархан олох, хамгийн чухал нь ялгаварлан гадуурхагч нь яг квадрат байх үед ашигладаг.

Жишээ.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Коэффицент 2-г чөлөөт гишүүн рүү “шидээд” орлуулалт хийгээд y 2 - 11y + 30 = 0 тэгшитгэлийг гаргацгаая.

дагуу теоремын эсрэгВьетнам

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5 y 2  = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3;

Хариулт: x 1 =2.5; X 2 = 3.

7. Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентийн шинж чанарууд.

ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг a ≠ 0 өгье.

1. Хэрэв a+ b + c = 0 (өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн нийлбэр тэг) бол x 1 = 1 байна.

2. Хэрэв a - b + c = 0, эсвэл b = a + c бол x 1 = - 1 болно.

Жишээ.345x 2 - 137x - 208 = 0.

a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0) тул x 1 = 1, x 2 = -208/345 болно.

Хариулт: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Жишээ.132x 2 + 247x + 115 = 0

Учир нь a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), тэгвэл x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Хариулт: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн бусад шинж чанарууд байдаг. гэхдээ тэдгээрийн хэрэглээ нь илүү төвөгтэй байдаг.

8. Номограмм ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Зураг 1. Номограмм

Энэ бол цуглуулгын 83-р хуудсанд байрлуулсан квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хуучин бөгөөд одоо мартагдсан арга юм: Bradis V.M. Дөрвөн оронтой математикийн хүснэгтүүд. - М., Боловсрол, 1990.

Хүснэгт XXII. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх номограмм z 2 + pz + q = 0. Энэхүү номограмм нь квадрат тэгшитгэлийг шийдэхгүйгээр тэгшитгэлийн язгуурыг коэффициентээс нь тодорхойлох боломжийг олгодог.

Номограммын муруйн хуваарийг томъёоны дагуу бүтээв (Зураг 1):

Итгэж байна OS = p, ED = q, OE = a(бүгд см-ээр), 1-р зурагт гурвалжны ижил төстэй байдал САНТэгээд CDFБид пропорцийг авдаг

Энэ нь орлуулалт болон хялбаршуулсаны дараа тэгшитгэлийг гаргана z 2 + pz + q = 0,болон захидал zмуруй хуваарийн аль ч цэгийн тэмдгийг хэлнэ.

Цагаан будаа. 2 Номограмм ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Жишээ.

1) тэгшитгэлийн хувьд z 2 - 9z + 8 = 0номограмм нь z 1 = 8.0 ба z 2 = 1.0 үндэсийг өгдөг

Хариулт: 8.0; 1.0.

2) Номограмм ашиглан бид тэгшитгэлийг шийддэг

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Энэ тэгшитгэлийн коэффициентийг 2-т хуваавал z 2 - 4.5z + 1 = 0 тэгшитгэлийг авна.

Номограмм нь z 1 = 4 ба z 2 = 0.5 үндэсийг өгдөг.

Хариулт: 4; 0.5.

9. Геометрийн аргаквадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Жишээ.X 2 + 10x = 39.

Эх хувилбарт энэ бодлогыг "Квадрат ба арван язгуур нь 39-тэй тэнцүү байна" гэж томъёолсон.

Хажуу тал нь x талтай квадратыг авч үзье, тэгш өнцөгтүүд нь тэдгээрийн нөгөө тал нь 2.5 байхаар хийгдсэн тул тус бүрийн талбай нь 2.5x байна. Үүссэн зургийг дараа нь ABCD шинэ дөрвөлжин болгож, буланд дөрвөн квадрат нэмнэ. тэнцүү квадрат, тус бүрийн тал нь 2.5, талбай нь 6.25 байна

Цагаан будаа. 3 График арга x 2 + 10x = 39 тэгшитгэлийн шийдэл

ABCD квадратын S талбайг дараах талбайн нийлбэрээр илэрхийлж болно: анхны дөрвөлжин х 2, дөрвөн тэгш өнцөгт (4∙2.5x = 10x) ба дөрвөн нэмэлт квадрат (6.25∙4 = 25), өөрөөр хэлбэл. S = x 2 + 10x = 25. x 2 + 10x-ийг 39 тоогоор сольсноор бид S = 39 + 25 = 64 гэсэн утгатай бөгөөд энэ нь квадратын тал нь ABCD, өөрөөр хэлбэл. сегмент AB = 8. Анхны квадратын шаардлагатай х талын хувьд бид олж авна

10. Безоутын теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Безутын теорем. Олон гишүүнт P(x)-ийг x - α хоёр гишүүнд хуваахад үлдэгдэл нь P(α)-тай тэнцүү байна (өөрөөр хэлбэл, x = α үед P(x)-ийн утга).

Хэрэв α тоо нь P(x) олон гишүүнтийн үндэс бол энэ олон гишүүнт x -α-д үлдэгдэлгүй хуваагдана.

Жишээ.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. P(x)-ийг (x-1) хуваана: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, эсвэл x-3=0, x=3; Хариулт: x1 =2, x2 =3.

Дүгнэлт:Квадрат тэгшитгэлийг хурдан бөгөөд оновчтой шийдэх чадвар нь илүү ихийг шийдвэрлэхэд зайлшгүй шаардлагатай нарийн төвөгтэй тэгшитгэлүүд, Жишээ нь, бутархай рационал тэгшитгэл, тэгшитгэл илүү өндөр зэрэгтэй, биквадрат тэгшитгэл, болон дотор ахлах сургуультригонометрийн, экспоненциал ба логарифм тэгшитгэл. Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх бүх аргыг судалсны дараа бид ангийнхандаа зөвлөгөө өгөх боломжтой. стандарт аргууд, шилжүүлэх аргаар шийдвэрлэх (6) болон коэффициентүүдийн шинж чанарыг ашиглан тэгшитгэлийн шийдэл (7), учир нь тэдгээрийг ойлгоход илүү хялбар байдаг.

Уран зохиол:

1. Брэдис В.М. Дөрвөн оронтой математикийн хүснэгтүүд. - М., Боловсрол, 1990.
2. Алгебр 8-р анги: 8-р ангийн сурах бичиг. ерөнхий боловсрол байгууллагууд Makarychev Yu., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Суворова S. B. ed. С.А.Теляковский 15-р хэвлэл, шинэчилсэн найруулга. - М.: Боловсрол, 2015 он
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Глэйзер Г.И. Сургуулийн математикийн түүх. Багш нарт зориулсан гарын авлага. / Ред. В.Н. Бага. - М.: Боловсрол, 1964 он.

Зорилтууд:

• Жижигрүүлсэн квадрат тэгшитгэлийн тухай ойлголтыг танилцуулах;
• Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг “нээх”;
• Математик нь хобби байж болохыг Вьетнамын амьдралын жишээгээр харуулах, математикийн сонирхлыг хөгжүүлэх.

1. Гэрийн даалгавраа шалгах

Үгүй 309(г) x 1 =7, x 2 =

№311(г) x 1 =2, x 2 =-1

No 312 (г) үндэс байхгүй

Хүн бүрийн ширээн дээр ширээ байдаг. Хүснэгтийн зүүн ба баруун баганын хоорондох захидал харилцааг ол.

Зөв хариултуудыг хүснэгтэд оруулна уу.

1-Z; 2-E; 3-A; 4-К; 5-B; 6-I; 7-D; 8-B; 9-G; 10-л; 11-F.

Тэгшитгэлийг шийд:

a) -5х 2 + 8х -3=0;

Шийдэл:

D=64 – 4(-5)(-3) = 4,

x 1 = x 2 = = a + b + c = -5+8-3=0

b) 2 x 2 +6x – 8 = 0;

Шийдэл:

D=36 – 4 2 (-8)= 100,

x 1 = = x 2 = a + b + c = 2+6-8=0

в) 2009 x 2 +x – 2010 =0

Шийдэл:

a + b + c = 2009+1 + (-2010) =0, тэгвэл x 1 =1 x 2 =

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар авч үзье

a) 2х 2 + 5х +3 = 0

Шийдэл:

D = 25 -24 = 1 x 1 = x 2 = a – b + c = 2-5 + 3 = 0

б) -4х 2 -5х -1 =0

Шийдэл:

D = 25 – 16 = 9 x 1 = – 1 x 2 = a – b + c = -4-(-5) – 1 = 0

в)1150х 2 +1135х -15 = 0

Шийдэл:

a – b+c = 1150-1135 +(-15) = 0 x 1 = – 1 x 2 =

ax 2 +in+c=0, хэрэв a-b+c=0 бол x 1 = – 1 x 2 =

5. Шинэ сэдэв

Эхний даалгавраа биелүүлсэн эсэхийг шалгацгаая. Та ямар шинэ ойлголттой танилцсан бэ? 11 - f, i.e.

Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэл нь x 2 + px + q = 0 байна.

Бидний хичээлийн сэдэв.
Дараах хүснэгтийг бөглөцгөөе.
Зүүн багана нь дэвтэрт, нэг сурагч самбар дээр байна.
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх akh 2 +in+c=0
Баруун багана, самбар дээр илүү бэлтгэлтэй оюутан
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх x 2 + px + q = 0, a = 1, b = p, c = q-тай

Багш (шаардлагатай бол) тусалдаг, үлдсэн хэсэг нь дэвтэрт байдаг.

X 2 - 6 X + 8 = 0,	D = 9 – 8 = 1,	x 1 = 3 – 1 = 2	x 2 = 3 + 1 = 4
X 2 + 6 X + 8 = 0,	D = 9 – 8 = 0,	x 1 = -3 – 1 = -4	x 2 = -3 + 1 = -2
X 2 + 20 X + 51 = 0,	D = 100 – 51 = 49	x 1 = 10 – 7 = 3	x 2 = 10 + 7 = 17
X 2 - 20 X – 69 = 0,	D = 100 – 69 = 31

Бидний тооцооллын үр дүнд үндэслэн бид хүснэгтийг бөглөнө.

Тэгшитгэл дугаар.	r	x 1+ x 2	q	x 1 x 2
1	-6	6	8	8

Гарсан үр дүнг квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдтэй харьцуулж үзье.
Ямар дүгнэлт хийж болох вэ?

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг анх удаа Францын нэрт эрдэмтэн Франсуа Вьет (1540–1603) тогтоожээ.

Франсуа Вьет хуульч мэргэжилтэй бөгөөд хааны зөвлөхөөр олон жил ажилласан. Хэдийгээр математик нь түүний хобби, эсвэл тэдний хэлснээр хобби байсан ч шаргуу хөдөлмөрийнхөө ачаар тэрээр маш их үр дүнд хүрсэн. 1591 онд Вьетнам үл мэдэгдэх болон тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн үсгийн тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн. Энэ нь ерөнхий томъёог ашиглан тэгшитгэлийн үндэс болон бусад шинж чанарыг бичих боломжийг олгосон.

Вьетнамын алгебрийн сул тал нь зөвхөн эерэг тоонуудыг хүлээн зөвшөөрдөг байв. зайлсхийхийн тулд сөрөг шийдвэрүүд, тэр тэгшитгэлийг сольсон эсвэл зохиомол шийдлүүдийг хайж байсан нь маш их цаг зарцуулж, шийдлийг төвөгтэй болгож, ихэвчлэн алдаа гаргадаг.

Виет олон янзын нээлт хийсэн боловч тэрээр өөрөө квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг тогтоохыг хамгийн их үнэлдэг байсан, өөрөөр хэлбэл "Вьетийн теорем" гэж нэрлэдэг.

Бид дараагийн хичээл дээр энэ теоремыг авч үзэх болно.

Асуултууд:

1. Аль тэгшитгэлийг багасгасан квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?
2. Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ямар томъёогоор олох вэ?
3. Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн язгуурын тоог юу тодорхойлох вэ?
4. Буурагдсан квадрат тэгшитгэлийн дискриминант нь юу вэ?
5. Дээрх квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба түүний коэффициентүүд ямар хамааралтай вэ?
6. Энэ холболтыг хэн хийсэн бэ?

зүйл 4.5, No321(b,f) No322(a,d,g,h)

Хүснэгтийг бөглөнө үү.

Тэгшитгэл	Үндэс	Үндэс нийлбэр	Үндэсний бүтээгдэхүүн
X 2 – 8x + 7 = 0	1 ба 7	8	7

Уран зохиол

CM. Никольскийболон бусад, "МУБИС-Сургууль" цувралын "Алгебр 8" сурах бичиг - М.: Просвещение, 2007.

Бид сэдвийг үргэлжлүүлэн судалж байна " тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" Бид шугаман тэгшитгэлтэй аль хэдийн танилцаж, танилцах гэж байна квадрат тэгшитгэл.

Эхлээд бид квадрат тэгшитгэл гэж юу болох, ерөнхий хэлбэрээр хэрхэн бичигдсэнийг судалж, өгөх болно холбогдох тодорхойлолтууд. Үүний дараа бид бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж байгааг жишээгээр нарийвчлан судлах болно. Дараа нь бүрэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, язгуур томъёог авах, квадрат тэгшитгэлийн дискриминанттай танилцаж, шийдлийг авч үзье. ердийн жишээнүүд. Эцэст нь язгуур болон коэффициентүүдийн хоорондын уялдаа холбоог авч үзье.

Хуудасны навигаци.

Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ? Тэдний төрлүүд

Эхлээд та квадрат тэгшитгэл гэж юу болохыг тодорхой ойлгох хэрэгтэй. Тиймээс квадрат тэгшитгэлийн тухай яриаг квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт, түүнчлэн холбогдох тодорхойлолтоор эхлүүлэх нь логик юм. Үүний дараа та квадрат тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүдийг авч үзэж болно: бууруулсан ба буураагүй, түүнчлэн бүрэн ба бүрэн бус тэгшитгэл.

Квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт ба жишээ

Тодорхойлолт.

Квадрат тэгшитгэлхэлбэрийн тэгшитгэл юм a x 2 +b x+c=0, энд x нь хувьсагч, a, b, c нь зарим тоо, а нь тэг биш юм.

Квадрат тэгшитгэлийг ихэвчлэн хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг гэдгийг шууд хэлье. Энэ нь квадрат тэгшитгэл нь байгаатай холбоотой юм алгебрийн тэгшитгэл хоёрдугаар зэрэг.

Энэхүү тодорхойлолт нь квадрат тэгшитгэлийн жишээг өгөх боломжийг бидэнд олгодог. Тэгэхээр 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 гэх мэт. Эдгээр нь квадрат тэгшитгэл юм.

Тодорхойлолт.

Тоонууд a, b, c гэж нэрлэдэг квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд a·x 2 +b·x+c=0, а коэффициентийг эхний буюу хамгийн өндөр буюу x 2-ын коэффициент, b нь хоёр дахь коэффициент буюу х-ийн коэффициент, в нь чөлөөт гишүүн юм. .

Жишээ нь: 5 x 2 −2 x −3=0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг авч үзье, энд тэргүүлэх коэффициент нь 5, хоёр дахь коэффициент нь −2, чөлөөт гишүүн нь −3-тай тэнцүү байна. Сая өгөгдсөн жишээн дээрх шиг b ба/эсвэл в коэффициентүүд сөрөг байвал анхаарна уу богино хэлбэр 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 биш харин 5 x 2 −2 x−3=0 хэлбэртэй квадрат тэгшитгэл бичих.

Хэрэв a ба/эсвэл b коэффициентүүд 1 эсвэл -1-тэй тэнцүү байвал квадрат тэгшитгэлд ихэвчлэн тодорхой байдаггүй бөгөөд энэ нь үүнийг бичих онцлогтой холбоотой юм. Жишээлбэл, y 2 −y+3=0 квадрат тэгшитгэлийн тэргүүлэх коэффициент нь нэг, у-ийн коэффициент нь −1-тэй тэнцүү байна.

Буурагдсан ба бууруулаагүй квадрат тэгшитгэл

Тэргүүлэх коэффициентийн утгаас хамааран бууруулсан ба буураагүй квадрат тэгшитгэлийг ялгадаг. Холбогдох тодорхойлолтуудыг өгье.

Тодорхойлолт.

Тэргүүлэх коэффициент нь 1 байх квадрат тэгшитгэлийг нэрлэнэ өгөгдсөн квадрат тэгшитгэл. Үгүй бол квадрат тэгшитгэл нь байна хөндөгдөөгүй.

дагуу энэ тодорхойлолт, квадрат тэгшитгэл x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 гэх мэт. – өгөгдсөн бол тус бүрт эхний коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байна. 5 x 2 −x−1=0 гэх мэт. - бууруулаагүй квадрат тэгшитгэлүүд, тэдгээрийн тэргүүлэх коэффициентүүд нь 1-ээс ялгаатай.

Аль ч буураагүй квадрат тэгшитгэлээс хоёр талыг тэргүүлэгч коэффициентээр хуваах замаар та багасгасан нэг рүү очиж болно. Энэ үйлдэл нь эквивалент хувиргалт бөгөөд өөрөөр хэлбэл ийм аргаар олж авсан бууруулсан квадрат тэгшитгэл нь анхны бууруулаагүй квадрат тэгшитгэлтэй ижил үндэстэй, эсвэл үүнтэй адил үндэсгүй байна.

Буураагүй квадрат тэгшитгэлээс бууруулсан тэгшитгэл рүү шилжих жишээг авч үзье.

Жишээ.

3 x 2 +12 x−7=0 тэгшитгэлээс харгалзах багасгасан квадрат тэгшитгэл рүү оч.

Шийдэл.

Бид зүгээр л анхны тэгшитгэлийн хоёр талыг тэргүүлэх коэффициент 3-т хуваах хэрэгтэй, энэ нь тэг биш тул бид энэ үйлдлийг гүйцэтгэж чадна. Бидэнд (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 байгаа нь ижил, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, дараа нь (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, хаанаас . Ингэж бид бууруулсан квадрат тэгшитгэлийг олж авсан бөгөөд энэ нь анхныхтай тэнцүү юм.

Хариулт:

Бүрэн ба бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт нь a≠0 нөхцөлийг агуулна. Энэ нөхцөл нь a x 2 + b x + c = 0 тэгшитгэл нь квадрат байх шаардлагатай, учир нь a = 0 үед энэ нь үнэндээ b x + c = 0 хэлбэрийн шугаман тэгшитгэл болдог.

b ба c коэффициентүүдийн хувьд тус тусад нь болон хамтдаа тэгтэй тэнцүү байж болно. Эдгээр тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийг бүрэн бус гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт.

a x 2 +b x+c=0 квадрат тэгшитгэлийг нэрлэнэ бүрэн бус, хэрэв b, c коэффициентүүдийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү бол.

Эргээд

Тодорхойлолт.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлбүх коэффициентүүд нь тэгээс ялгаатай тэгшитгэл юм.

Ийм нэрийг санамсаргүй байдлаар өгөөгүй. -аас дараах үндэслэлтодорхой болно.

Хэрэв b коэффициент тэг бол квадрат тэгшитгэл нь a·x 2 +0·x+c=0 хэлбэртэй байх ба a·x 2 +c=0 тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. Хэрэв c=0, өөрөөр хэлбэл квадрат тэгшитгэл нь a·x 2 +b·x+0=0 хэлбэртэй байвал a·x 2 +b·x=0 гэж дахин бичиж болно. Мөн b=0 ба c=0 байвал a·x 2 =0 квадрат тэгшитгэлийг авна. Гарсан тэгшитгэлүүд нь бүрэн квадрат тэгшитгэлээс ялгаатай бөгөөд тэдгээрийн зүүн талд x хувьсагчтай гишүүн, чөлөөт гишүүн эсвэл хоёуланг нь агуулаагүй болно. Тиймээс тэдний нэр - бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.

Тэгэхээр x 2 +x+1=0 ба −2 x 2 −5 x+0.2=0 тэгшитгэлүүд нь бүрэн квадрат тэгшитгэлийн жишээ бөгөөд x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 болно. , −x 2 −5 x=0 нь бүрэн бус квадрат тэгшитгэл юм.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Өмнөх догол мөр дэх мэдээллээс үзэхэд байна гурван төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл:

• a·x 2 =0, b=0 ба c=0 коэффициентүүд түүнд тохирно;
• b=0 үед a x 2 +c=0;
• ба c=0 үед a·x 2 +b·x=0 байна.

Эдгээр төрөл бүрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж байгааг дарааллаар нь авч үзье.

a x 2 = 0

b ба c коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү байх бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг өөрөөр хэлбэл a x 2 =0 хэлбэрийн тэгшитгэлээр шийдэж эхэлцгээе. a·x 2 =0 тэгшитгэл нь x 2 =0 тэгшитгэлтэй тэнцэх бөгөөд энэ нь хоёр хэсгийг тэг биш a тоонд хуваах замаар эх хувилбараас гаргаж авсан. 0 2 =0 учраас x 2 =0 тэгшитгэлийн язгуур нь тэг байх нь ойлгомжтой. Энэ тэгшитгэлд өөр язгуур байхгүй бөгөөд үүнийг ямар ч тэгээс бусад p тооны хувьд p 2 >0 тэгш бус байдал хангагдсанаар тайлбарлагддаг бөгөөд энэ нь p≠0-ийн хувьд p 2 =0 тэгшитгэл хэзээ ч хүрдэггүй гэсэн үг юм.

Тэгэхээр a·x 2 =0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь x=0 нэг язгууртай байна.

Жишээ болгон бид −4 x 2 =0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн шийдийг өгч байна. Энэ нь x 2 =0 тэгшитгэлтэй тэнцүү, түүний цорын ганц язгуур нь x=0 тул анхны тэгшитгэл нь нэг язгуур тэгтэй байна.

Энэ тохиолдолд богино шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.
−4 x 2 =0,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

Одоо b коэффициент нь тэг ба c≠0, өөрөөр хэлбэл a x 2 +c=0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүд хэрхэн шийдэгдэж байгааг харцгаая. Тэгшитгэлийн нэг талаас нөгөө тал руу эсрэг тэмдгээр гишүүнийг шилжүүлэх, мөн тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр тоонд хуваах нь тэнцүү тэгшитгэлийг өгдөг гэдгийг бид мэднэ. Тиймээс бид дараахь зүйлийг хийж болно эквивалент хувиргалтбүрэн бус квадрат тэгшитгэл a x 2 +c=0 :

• -аас руу шилжих баруун тал, энэ нь a x 2 =−c тэгшитгэлийг өгдөг,
• ба хоёр талыг а-д хуваахад бид .

Үүссэн тэгшитгэл нь түүний үндэсийн талаар дүгнэлт хийх боломжийг бидэнд олгодог. a ба c-ийн утгаас хамааран илэрхийллийн утга нь сөрөг (жишээлбэл, a=1 ба c=2 бол ) эсвэл эерэг (жишээлбэл, a=−2 ба c=6 бол) байж болно. дараа нь ), тэгтэй тэнцүү биш, учир нь нөхцөлөөр c≠0. Бид тохиолдлуудад тусад нь дүн шинжилгээ хийх болно.

Хэрэв бол тэгшитгэл нь үндэсгүй болно. Энэ мэдэгдэл нь дурын тооны квадрат нь сөрөг бус тоо байдгаас үүдэлтэй. Үүнээс үзэхэд , тэгвэл аль ч p тооны хувьд тэгш байдал үнэн байж болохгүй.

Хэрэв , тэгвэл тэгшитгэлийн язгуурын нөхцөл өөр байна. Энэ тохиолдолд, хэрэв бид тухай санаж байвал тэгшитгэлийн үндэс нь шууд тодорхой болно, учир нь . Энэ тоо нь тэгшитгэлийн үндэс мөн гэдгийг таахад хялбар байдаг. Энэ тэгшитгэлд өөр үндэс байхгүй бөгөөд үүнийг жишээ нь зөрчилдөөнөөр харуулж болно. Үүнийг хийцгээе.

Сая зарласан тэгшитгэлийн язгуурыг x 1 ба −x 1 гэж тэмдэглэе. Тэгшитгэл нь заасан x 1 ба −x 1 язгууруудаас өөр өөр нэг x 2 язгууртай гэж бодъё. Үүний үндэсийг x-ийн оронд тэгшитгэлд орлуулснаар тэгшитгэлийг зөв тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг нь мэдэгдэж байна. x 1 ба −x 1-ийн хувьд бид , харин x 2-ийн хувьд бид байна. Тоон тэгшитгэлийн шинж чанарууд нь зөв тоон тэгшитгэлийг гишүүнээр нь хасах боломжийг олгодог тул тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг хасвал x 1 2 −x 2 2 =0 болно. Тоотой үйлдлийн шинж чанарууд нь үүссэн тэгшитгэлийг (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 гэж дахин бичих боломжийг олгодог. Хоёр тооны үржвэр нь зөвхөн, ядаж нэг нь тэгтэй тэнцэх тохиолдолд л тэгтэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Иймээс үүссэн тэгшитгэлээс x 1 −x 2 =0 ба/эсвэл x 1 +x 2 =0, энэ нь ижил, x 2 =x 1 ба/эсвэл x 2 =−x 1 болно. Ингээд бид анхандаа x 2 тэгшитгэлийн язгуур нь x 1 ба −x 1-ээс өөр гэж хэлснээс хойш зөрчилд хүрсэн. Энэ нь тэгшитгэл нь ба -аас өөр үндэсгүй болохыг баталж байна.

Энэ догол мөр дэх мэдээллийг тоймлон хүргэе. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл a x 2 +c=0 нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

• үндэс байхгүй бол,
• хоёр үндэстэй ба хэрэв .

a·x 2 +c=0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээнүүдийг авч үзье.

9 x 2 +7=0 квадрат тэгшитгэлээс эхэлье. Чөлөөт гишүүнийг тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлсний дараа 9 x 2 =−7 хэлбэрийг авна. Үүссэн тэгшитгэлийн хоёр талыг 9-д хуваахад бид . Баруун тал нь сөрөг тоотой тул энэ тэгшитгэл нь үндэсгүй тул анхны бүрэн бус квадрат тэгшитгэл 9 x 2 +7 = 0 үндэсгүй болно.

Өөр −x 2 +9=0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдье. Бид есийг баруун тийш шилжүүлнэ: −x 2 =−9. Одоо бид хоёр талыг −1-д хуваавал x 2 =9 болно. Баруун талд эерэг тоо байгаа бөгөөд үүнээс бид үүнийг дүгнэж байна. Дараа нь бид эцсийн хариултыг бичнэ: −x 2 +9=0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь x=3 эсвэл x=−3 гэсэн хоёр үндэстэй.

a x 2 +b x=0

Сүүлийн төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг c=0 байхад л шийдэх хэрэгтэй. a x 2 + b x = 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүд нь шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно. хүчин зүйлчлэлийн арга. Мэдээжийн хэрэг, бид тэгшитгэлийн зүүн талд байрлах бөгөөд үүнийг хаалтнаас гаргахад хангалттай. нийтлэг үржүүлэгч x. Энэ нь анхны бүрэн бус квадрат тэгшитгэлээс x·(a·x+b)=0 хэлбэрийн эквивалент тэгшитгэл рүү шилжих боломжийг олгодог. Мөн энэ тэгшитгэл нь x=0 ба a·x+b=0 гэсэн хоёр тэгшитгэлийн багцтай тэнцэх бөгөөд сүүлийнх нь шугаман бөгөөд x=−b/a язгууртай.

Тэгэхээр бүрэн бус квадрат тэгшитгэл a·x 2 +b·x=0 нь x=0 ба x=−b/a гэсэн хоёр язгууртай.

Материалыг нэгтгэхийн тулд бид тодорхой жишээний шийдлийг шинжлэх болно.

Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Хаалтнаас x-г гаргаснаар тэгшитгэл гарч ирнэ. Энэ нь x=0 ба хоёр тэгшитгэлтэй тэнцэнэ. Бид үүссэн шугаман тэгшитгэлийг шийдэж: , хуваалтыг гүйцэтгэнэ холимог тоодээр энгийн бутархай, бид олдог. Иймд анхны тэгшитгэлийн үндэс нь x=0 ба .

Шаардлагатай практикийг олж авсны дараа ийм тэгшитгэлийн шийдлүүдийг товч бичиж болно.

Хариулт:

x=0, .

Дискриминант, квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд язгуур томъёо байдаг. Үүнийг бичээд үзье квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо: , Хаана D=b 2 −4 a c- гэж нэрлэгддэг квадрат тэгшитгэлийн дискриминант. Оруулга нь үндсэндээ үүнийг илэрхийлдэг.

Үндэс томъёог хэрхэн гаргаж авсан, квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олоход хэрхэн ашигладаг талаар мэдэх нь ашигтай. Үүнийг олж мэдье.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гарган авах

a·x 2 +b·x+c=0 квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Зарим ижил төстэй хувиргалтуудыг хийцгээе:

• Бид энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг тэг биш a тоогоор хувааж болох бөгөөд үр дүнд нь дараах квадрат тэгшитгэл гарч ирнэ.
• Одоо онцолж хэлье төгс дөрвөлжин түүний зүүн талд: . Үүний дараа тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна.
• Энэ үе шатанд сүүлийн хоёр нэр томъёог эсрэг тэмдгээр баруун тал руу шилжүүлэх боломжтой, бид .
• Мөн баруун талд байгаа илэрхийллийг өөрчилье: .

Үүний үр дүнд бид анхны квадрат тэгшитгэл a·x 2 +b·x+c=0-тэй тэнцэх тэгшитгэлд хүрнэ.

Өмнөх догол мөрөнд бид ижил төстэй тэгшитгэлүүдийг судалж үзэхэд аль хэдийн шийдэгдсэн. Энэ нь танд хийх боломжийг олгодог дараах дүгнэлттэгшитгэлийн язгуурын талаар:

• Хэрэв бол тэгшитгэл байхгүй болно хүчинтэй шийдлүүд;
• хэрэв , тэгвэл тэгшитгэл нь түүний цорын ганц язгуур харагдахуйц , тиймийн тул, хэлбэртэй байна;
• хэрэв , тэгвэл эсвэл , эсвэл -тэй ижил, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.

Тиймээс тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэх, тиймээс анхны квадрат тэгшитгэл нь баруун талд байгаа илэрхийллийн тэмдгээс хамаарна. Хариуд нь 4·a 2 хуваагч нь үргэлж эерэг, өөрөөр хэлбэл b 2 −4·a·c илэрхийллийн тэмдгээр тодорхойлогддог тул энэ илэрхийллийн тэмдгийг тоологчийн тэмдгээр тодорхойлно. Энэ b 2 −4 a c илэрхийллийг дуудсан квадрат тэгшитгэлийн дискриминантмөн үсгээр тодорхойлсон Д. Эндээс ялгаварлагчийн мөн чанар тодорхой байна - түүний утга, тэмдэг дээр үндэслэн тэд квадрат тэгшитгэл бодит язгууртай эсэх, хэрэв тийм бол тэдгээрийн тоо хэд вэ - нэг эсвэл хоёр гэсэн дүгнэлтэд хүрдэг.

Тэгшитгэл рүү буцаж, ялгах тэмдэглэгээг ашиглан дахин бичье: . Тэгээд бид дүгнэлт хийж байна:

• хэрэв Д<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• хэрэв D=0 бол энэ тэгшитгэл нь нэг язгууртай;
• Эцэст нь, хэрэв D>0 бол тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй буюу эсвэл хэлбэрээр дахин бичиж болох ба бутархайг томруулж, нийтлэг хуваагч руу авсны дараа бид олж авна.

Тиймээс бид квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томьёог гаргаж авсан бөгөөд тэдгээр нь D=b 2 −4·a·c томьёогоор ялгаварлан гадуурхагч D-ийг тооцоолсон хэлбэртэй байна.

Тэдгээрийн тусламжтайгаар эерэг дискриминантын тусламжтайгаар квадрат тэгшитгэлийн бодит язгуурыг хоёуланг нь тооцоолж болно. Дискриминант нь тэгтэй тэнцүү байх үед хоёр томьёо нь язгуурын ижил утгыг өгдөг цорын ганц шийдэлквадрат тэгшитгэл. Тэгээд хэзээ сөрөг ялгаварлагчБид квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглах гэж оролдох үед сөрөг тооны квадрат язгуурыг гаргаж авах асуудал тулгардаг бөгөөд энэ нь биднийг сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс хэтрүүлдэг. Сөрөг дискриминанттай бол квадрат тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй, харин хостой байна нарийн төвөгтэй коньюгатүндэс, бидний олж авсан ижил үндэс томъёог ашиглан олж болно.

Үндэс томьёо ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм

Практикт квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийн утгыг тооцоолохын тулд язгуур томъёог шууд ашиглаж болно. Гэхдээ энэ нь нарийн төвөгтэй үндэс олохтой илүү холбоотой юм.

Гэсэн хэдий ч, онд сургуулийн курсихэвчлэн алгебр бид ярьж байнацогцолборын тухай биш, харин квадрат тэгшитгэлийн бодит язгууруудын тухай. Энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглахын өмнө эхлээд ялгаварлагчийг олж, сөрөг биш эсэхийг шалгахыг зөвлөж байна (өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь бодит язгуургүй гэж дүгнэж болно), Зөвхөн дараа нь үндэсийн утгыг тооцоолно.

Дээрх үндэслэл нь бидэнд бичих боломжийг олгодог квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм. a x 2 +b x+c=0 квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

• D=b 2 −4·a·c ялгах томьёог ашиглан түүний утгыг тооцоол;
• ялгаварлагч сөрөг байвал квадрат тэгшитгэл бодит үндэсгүй гэж дүгнэх;
• D=0 бол томьёог ашиглан тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг тооцоолох;
• Квадрат тэгшитгэлийн хоёр бодит язгуурыг ялгах нь эерэг бол язгуур томъёог ашиглан ол.

Дириминант нь 0-тэй тэнцүү бол энэ нь ижил утгыг өгөх болно гэдгийг энд тэмдэглэж байна.

Та квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг ашиглах жишээнүүд рүү шилжиж болно.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Эерэг, сөрөг ба гурван квадрат тэгшитгэлийн шийдлүүдийг авч үзье тэгтэй тэнцүүялгаварлагч. Тэдгээрийн шийдлийг авч үзсэний дараа ижил төстэй байдлаар бусад квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно. Эхэлцгээе.

Жишээ.

x 2 +2·x−6=0 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Шийдэл.

Энэ тохиолдолд бид квадрат тэгшитгэлийн дараах коэффициентүүдтэй байна: a=1, b=2 ба c=−6. Алгоритмын дагуу та эхлээд ялгаварлагчийг тооцоолох хэрэгтэй, бид ялгах томъёонд заасан a, b ба c-ийг орлуулна; D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0-ээс хойш, өөрөөр хэлбэл дискриминант тэгээс их, тэгвэл квадрат тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай болно. Үндэс томъёог ашиглан тэдгээрийг олцгооё, бид эндээс гарч ирсэн илэрхийлэлүүдийг хийх замаар хялбарчилж болно үржүүлэгчийг үндсэн тэмдгээс цааш хөдөлгөхдараа нь фракцыг багасгах:

Хариулт:

Дараагийн ердийн жишээ рүү шилжье.

Жишээ.

−4 x 2 +28 x−49=0 квадрат тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Бид ялгагчийг хайж эхэлдэг: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Иймд энэ квадрат тэгшитгэл нь нэг язгууртай бөгөөд бид үүнийг , өөрөөр хэлбэл

Хариулт:

x=3.5.

Сөрөг дискриминант бүхий квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар авч үзэх хэвээр байна.

Жишээ.

5·y 2 +6·y+2=0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд: a=5, b=6 ба c=2. Бид эдгээр утгыг ялгах томъёонд орлуулж байна D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Дискриминант нь сөрөг тул энэ квадрат тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй.

Хэрэв та зааж өгөх шаардлагатай бол нарийн төвөгтэй үндэс, дараа нь бид өргөдөл гаргана алдартай томъёоквадрат тэгшитгэлийн үндэс, гүйцэтгэнэ бүхий үйлдлүүд нийлмэл тоо :

Хариулт:

жинхэнэ үндэс байхгүй, нийлмэл үндэс нь: .

Хэрэв квадрат тэгшитгэлийн дискриминант сөрөг байвал сургуульд тэд ихэвчлэн бодит үндэс байхгүй, нарийн төвөгтэй язгуур олдохгүй гэсэн хариултыг шууд бичдэг гэдгийг дахин тэмдэглэе.

Тэгш хоёр дахь коэффициентийн үндэс томъёо

D=b 2 −4·a·c нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томьёо нь илүү авсаархан хэлбэрийн томьёог олж авах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь x-ийн тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг (эсвэл зүгээр л a-аар) шийдвэрлэх боломжийг олгодог. 2·n хэлбэрийн коэффициент, жишээ нь, эсвэл 14· ln5=2·7·ln5 ). Түүнийг гаргацгаая.

a x 2 +2 n x+c=0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж үзье. Бидний мэддэг томьёо ашиглан түүний үндсийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид ялгаварлагчийг тооцоолно D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), дараа нь бид үндсэн томъёог ашиглана:

n 2 −a c илэрхийллийг D 1 (заримдаа D " гэж тэмдэглэдэг) гэж тэмдэглэе. Дараа нь авч үзэж буй квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын томъёо 2 n хоёр дахь коэффициенттэй болно. , энд D 1 =n 2 −a·c.

D=4·D 1, эсвэл D 1 =D/4 гэдгийг харахад амархан. Өөрөөр хэлбэл D 1 нь дискриминантийн дөрөв дэх хэсэг юм. D 1-ийн тэмдэг нь D-ийн тэмдэгтэй ижил байх нь тодорхой байна. Өөрөөр хэлбэл, D 1 тэмдэг нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсвэл байхгүй байгаагийн үзүүлэлт юм.

Тэгэхээр хоёр дахь коэффициент 2·n квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй

• Тооцоолох D 1 =n 2 −a·c ;
• Хэрэв D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Хэрэв D 1 =0 бол томъёог ашиглан тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг тооцоол;
• Хэрэв D 1 >0 бол томьёог ашиглан хоёр жинхэнэ язгуурыг ол.

Энэ догол мөрөнд олж авсан язгуур томъёог ашиглан жишээг шийдвэрлэх талаар авч үзье.

Жишээ.

5 x 2 −6 x −32=0 квадрат тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Энэ тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициентийг 2·(−3) гэж илэрхийлж болно. Өөрөөр хэлбэл, та анхны квадрат тэгшитгэлийг 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, энд a=5, n=−3 ба c=−32 хэлбэрээр дахин бичиж, дөрөв дэх хэсгийг тооцоолж болно. ялгаварлагч: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Түүний утга эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай. Тэдгээрийг ашиглан хайцгаая тохирох томъёоүндэс:

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын хувьд ердийн томъёог ашиглах боломжтой байсан ч энэ тохиолдолд илүү их тооцооллын ажил хийх шаардлагатай болно гэдгийг анхаарна уу.

Хариулт:

Квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах

Заримдаа квадрат тэгшитгэлийн үндсийг томъёогоор тооцоолж эхлэхээсээ өмнө "Энэ тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах боломжтой юу?" Гэсэн асуултыг асуухад гэмгүй. Тооцооллын хувьд 1100 x 2 −400 x−600=0-ээс илүү 11 x 2 −4 x−6=0 квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хялбар байх болно гэдгийг хүлээн зөвшөөр.

Ихэвчлэн квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах нь хоёр талыг тодорхой тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваах замаар хийгддэг. Жишээлбэл, өмнөх догол мөрөнд хоёр талыг 100-д ​​хуваах замаар 1100 x 2 −400 x −600=0 тэгшитгэлийг хялбарчлах боломжтой байсан.

Үүнтэй төстэй хувиргалтыг коэффициентүүд нь биш квадрат тэгшитгэлээр гүйцэтгэдэг. Энэ тохиолдолд бид ихэвчлэн тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваадаг үнэмлэхүй утгуудтүүний коэффициентүүд. Жишээ нь 12 x 2 −42 x+48=0 квадрат тэгшитгэлийг авч үзье. түүний коэффициентүүдийн үнэмлэхүй утгууд: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Анхны квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг 6-д хуваахад бид 2 x 2 −7 x+8=0 квадрат тэгшитгэлд хүрнэ.

Квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлэх нь ихэвчлэн үүнийг арилгахын тулд хийгддэг бутархай магадлал. Энэ тохиолдолд үржүүлгийг түүний коэффициентүүдийн хуваагчаар гүйцэтгэдэг. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг LCM(6, 3, 1)=6-аар үржүүлбэл илүү хялбар х 2 +4·x−18=0 хэлбэрийг авна.

Энэ зүйлийн төгсгөлд бид квадрат тэгшитгэлийн хамгийн өндөр коэффициент дэх хасах утгыг бүх гишүүний тэмдгийг өөрчилснөөр бараг үргэлж салдаг болохыг тэмдэглэж байгаа бөгөөд энэ нь хоёр талыг −1-ээр үржүүлэх (эсвэл хуваах) юм. Жишээлбэл, ихэвчлэн −2 x 2 −3 x+7=0 квадрат тэгшитгэлээс 2 x 2 +3 x−7=0 шийдэл рүү шилждэг.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хамаарал

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо нь тэгшитгэлийн язгуурыг коэффициентээр нь илэрхийлдэг. Үндэс томъёонд үндэслэн та үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын бусад хамаарлыг олж авах боломжтой.

Вьетагийн теоремоос хамгийн алдартай бөгөөд хэрэглэх боломжтой томьёо нь ба хэлбэртэй байна. Тодруулбал, өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн хувьд язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициенттэй, язгууруудын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 3 x 2 −7 x + 22 = 0 квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрээр бид язгууруудын нийлбэр нь 7/3, язгуурын үржвэр нь 22/3-тай тэнцүү гэж шууд хэлж болно.

Аль хэдийн бичигдсэн томьёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондох бусад хэд хэдэн холболтыг олж авах боломжтой. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын квадратуудын нийлбэрийг коэффициентээр нь илэрхийлж болно: .

Лавлагаа.

• Алгебр:сурах бичиг 8-р ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович A.G.Алгебр. 8-р анги. 14 цагаас 1-р хэсэг. Сурагчдад зориулсан сурах бичиг боловсролын байгууллагууд/ A. G. Мордкович. - 11-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2009. - 215 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01155-2.

Олон хүмүүс тийм биш учраас энэ сэдэв эхэндээ хэцүү мэт санагдаж магадгүй юм энгийн томъёонууд. Квадрат тэгшитгэлүүд өөрөө урт тэмдэглэгээтэй байхаас гадна язгуурууд нь ялгаварлагчаар дамжин олддог. Нийтдээ гурван шинэ томьёог олж авлаа. Санахад тийм ч амар биш. Энэ нь зөвхөн дараа л ажиллана нийтлэг шийдэлийм тэгшитгэлүүд. Дараа нь бүх томъёог өөрөө санах болно.

Квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий ойлголт

Энд бид тэдний ил тод бичлэгийг санал болгож байна, хамгийн их үед өндөр зэрэгтэйэхлээд, дараа нь буурах дарааллаар бичнэ. Нөхцөл байдал нь хоорондоо нийцэхгүй байх тохиолдол их байдаг. Дараа нь хувьсагчийн зэрэг буурах дарааллаар тэгшитгэлийг дахин бичих нь дээр.

Зарим тэмдэглэгээг танилцуулъя. Тэдгээрийг доорх хүснэгтэд үзүүлэв.

Хэрэв бид эдгээр тэмдэглэгээг хүлээн авбал бүх квадрат тэгшитгэлийг дараах тэмдэглэгээ болгон бууруулна.

Үүнээс гадна коэффициент нь a ≠ 0. Энэ томьёог нэгдүгээрт тэмдэглэе.

Тэгшитгэл өгөхөд хариултанд хэдэн үндэс байх нь тодорхойгүй. Учир нь гурван сонголтын аль нэг нь үргэлж боломжтой байдаг:

• шийдэл нь хоёр үндэстэй байх болно;
• хариулт нь нэг тоо байх болно;
• тэгшитгэл нь огт үндэсгүй болно.

Шийдвэр эцэслэн гарах хүртэл тодорхой тохиолдолд аль хувилбар гарч ирэхийг ойлгоход хэцүү байдаг.

Квадрат тэгшитгэлийн бичлэгийн төрлүүд

Даалгавруудад өөр өөр оруулгууд байж болно. Тэд үргэлж ийм харагдахгүй ерөнхий томъёоквадрат тэгшитгэл. Заримдаа энэ нь зарим нэр томъёог орхигдуулдаг. Дээр бичсэн зүйл бүрэн тэгшитгэл. Хэрэв та хоёр, гурав дахь нэр томъёог хасвал өөр зүйл гарч ирнэ. Эдгээр бүртгэлийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бөгөөд зөвхөн бүрэн бус байна.

Түүнээс гадна зөвхөн "b" ба "c" коэффициент бүхий нэр томъёо алга болно. "a" тоо ямар ч тохиолдолд тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Учир нь энэ тохиолдолд томъёо нь шугаман тэгшитгэл болж хувирдаг. Бүрэн бус хэлбэрийн тэгшитгэлийн томъёо нь дараах байдалтай байна.

Тиймээс, зөвхөн хоёр төрөл байдаг бөгөөд бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүд байдаг. Эхний томьёо нь хоёр, хоёр дахь нь гурав байна.

Үндэсийн тоог ялгаварлан гадуурхах, түүний үнэ цэнээс хамаарал

Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолохын тулд та энэ тоог мэдэх хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийн томьёо нь ямар ч байсан үүнийг үргэлж тооцоолж болно. Ялгаварлан гадуурхагчийг тооцоолохын тулд доор бичсэн тэгш байдлыг ашиглах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь дөрөв байх болно.

Энэ томъёонд коэффициентийн утгыг орлуулсны дараа та тоонуудыг авч болно өөр өөр шинж тэмдэг. Хэрэв хариулт нь тийм бол тэгшитгэлийн хариулт нь хоёр өөр үндэс болно. Хэрэв тоо сөрөг байвал квадрат тэгшитгэлийн үндэс байхгүй болно. Хэрэв тэгтэй тэнцүү бол зөвхөн нэг хариулт байх болно.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Уг нь энэ асуудлыг хэлэлцэж эхэлсэн. Учир нь эхлээд ялгагчийг олох хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа бөгөөд тэдгээрийн тоо тодорхой болсны дараа та хувьсагчийн томъёог ашиглах хэрэгтэй. Хэрэв хоёр үндэс байгаа бол та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.

Энэ нь "±" тэмдэг агуулсан тул хоёр утга байх болно. Квадрат язгуур тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь ялгаварлагч юм. Тиймээс томъёог өөрөөр дахин бичиж болно.

Тавдугаар томъёо. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгтэй тэнцүү бол хоёр үндэс нь ижил утгыг авах нь ижил бүртгэлээс тодорхой байна.

Хэрэв квадрат тэгшитгэлийг шийдэж амжаагүй бол ялгах болон хувьсах томъёог хэрэглэхээсээ өмнө бүх коэффициентүүдийн утгыг бичих нь дээр. Хожим нь энэ мөч нь хүндрэл учруулахгүй. Гэхдээ эхэндээ будлиантай байдаг.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Энд бүх зүйл илүү хялбар болсон. Нэмэлт томъёолол ч хэрэггүй. Мөн ялгаварлагч болон үл мэдэгдэх хүмүүст аль хэдийн бичигдсэн зүйлүүд хэрэггүй болно.

Эхлээд авч үзье бүрэн бус тэгшитгэлхоёрдугаарт. Энэ тэгшитгэлд хаалтанд үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг гаргаж, шугаман тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай бөгөөд энэ нь хаалтанд үлдэх болно. Хариулт нь хоёр үндэстэй байх болно. Эхнийх нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой, учир нь хувьсагчаас бүрдэх үржүүлэгч байдаг. Хоёр дахь нь шугаман тэгшитгэлийг шийдэх замаар олж авна.

Гурав дахь бүрэн бус тэгшитгэлийг тэгшитгэлийн зүүн талаас баруун тийш шилжүүлснээр шийднэ. Дараа нь үл мэдэгдэх рүү чиглэсэн коэффициентээр хуваах хэрэгтэй. Үлдсэн зүйл бол квадрат язгуурыг гаргаж аваад эсрэг тэмдгээр хоёр удаа бичихээ мартуузай.

Доорх нь квадрат тэгшитгэл болж хувирах бүх төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахад туслах зарим алхмуудыг доор харуулав. Тэд сурагчийг анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж алдаа гаргахаас зайлсхийхэд тусална. Үүний шалтгаан нь эдгээр дутагдалтай талууд юм муу дүн"Квадрат тэгшитгэл (8-р анги)" гэсэн өргөн сэдвийг судалж байхдаа. Дараа нь эдгээр үйлдлүүдийг байнга хийх шаардлагагүй болно. Учир нь тогтвортой ур чадвар гарч ирнэ.

• Эхлээд та тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр бичих хэрэгтэй. Энэ нь эхлээд хамгийн ихтэй нэр томъёо юм их хэмжээгээрхувьсагч, дараа нь - зэрэггүй, эцэст нь - зүгээр л тоо.

• Хэрэв "a" коэффициентийн өмнө хасах тэмдэг гарч ирвэл энэ нь квадрат тэгшитгэлийг судалж эхэлж буй хүмүүсийн ажлыг хүндрүүлнэ. Түүнээс салсан нь дээр. Үүний тулд бүх тэгш байдлыг "-1" -ээр үржүүлэх ёстой. Энэ нь бүх нэр томьёо эсрэгээрээ тэмдгийг өөрчилнө гэсэн үг юм.

• Үүнтэй адилаар фракцаас салах нь зүйтэй. Тэгшитгэлийг тохирох хүчин зүйлээр үржүүлснээр хуваагч хүчингүй болно.

Жишээ

Дараах квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай.

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Эхний тэгшитгэл: x 2 − 7x = 0. Энэ нь бүрэн бус тул хоёр дахь томьёоны дагуу шийдэгдэнэ.

Үүнийг хаалтнаас гаргасны дараа: x (x - 7) = 0 болно.

Эхний үндэс нь утгыг авна: x 1 = 0. Хоёр дахь нь дараахаас олно шугаман тэгшитгэл: x - 7 = 0. x 2 = 7 гэдгийг харахад амархан.

Хоёр дахь тэгшитгэл: 5х 2 + 30 = 0. Дахин бүрэн бус. Гурав дахь томъёонд тайлбарласны дагуу зөвхөн үүнийг шийднэ.

30-ыг тэгшитгэлийн баруун тал руу шилжүүлсний дараа: 5х 2 = 30. Одоо та 5-д хуваах хэрэгтэй. Энэ нь: x 2 = 6. Хариултууд нь тоонууд байх болно: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Гурав дахь тэгшитгэл: 15 − 2х − x 2 = 0. Энд ба цаашлаад квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь тэдгээрийг дахин бичихээс эхэлнэ. стандарт харагдах байдал: − x 2 − 2x + 15 = 0. Одоо хоёр дахьийг ашиглах цаг болжээ. хэрэгтэй зөвлөгөөтэгээд бүгдийг хасах нэгээр үржүүлнэ. Энэ нь болж байна x 2 + 2x - 15 = 0. Дөрөв дэх томьёог ашиглан та ялгаварлагчийг тооцоолох хэрэгтэй: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Энэ нь эерэг тоо юм. Дээр дурдсанаас харахад тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болох нь харагдаж байна. Тэдгээрийг тав дахь томьёог ашиглан тооцоолох шаардлагатай. Эндээс харахад x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Дараа нь x 1 = 3, x 2 = - 5 болно.

Дөрөв дэх тэгшитгэл x 2 + 8 + 3x = 0 нь дараах байдлаар хувирав: x 2 + 3x + 8 = 0. Түүний ялгах утга нь энэ утгатай тэнцүү байна: -23. Энэ тоо сөрөг байгаа тул энэ даалгаврын хариулт нь "Ямар ч үндэс байхгүй" гэсэн оруулга байх болно.

Тав дахь тэгшитгэл 12x + x 2 + 36 = 0-ийг дараах байдлаар дахин бичих хэрэгтэй: x 2 + 12x + 36 = 0. Дискриминантийн томъёог хэрэглэсний дараа тэг тоо гарна. Энэ нь нэг үндэстэй болно гэсэн үг, тухайлбал: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Зургаа дахь тэгшитгэл (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) нь хувиргалтыг шаарддаг бөгөөд эдгээр нь ижил төстэй нэр томъёо, хаалтыг нээхээс өмнө. Эхнийх нь оронд дараах илэрхийлэл байх болно: x 2 + 2x + 1. Тэгш байдлын дараа энэ оруулга гарч ирнэ: x 2 + 3x + 2. Ижил нэр томъёог тоолсны дараа тэгшитгэл нь: x 2 хэлбэртэй болно. - x = 0. Энэ нь бүрэн бус болсон. Үүнтэй төстэй зүйлийг аль хэдийн арай дээр хэлэлцсэн. Үүний үндэс нь 0 ба 1 тоонууд байх болно.