Урн схемүүд

агуулсан урн (өөрөөр хэлбэл хайрцаг) байдаг nБид бөмбөг гэж нэрлэх дугаарлагдсан объектууд. Бид энэ савнаас сонгодог кбөмбөг. Бид хэр олон арга замыг сонгохыг сонирхож байна к-аас бөмбөг n, эсвэл хэчнээн өөр үр дүн(өөрөөр хэлбэл, бүрдсэн багц кбөмбөг) энэ нь ажиллах болно.

Бид шийдэхээс нааш энэ асуултад тодорхой хариулт өгөх боломжгүй юм

– сонголтыг хэрхэн зохион байгуулж байгаа талаар (бөмбөгийг саванд буцааж өгөх боломжтой эсэх) болон

- юу гэсэн үг вэ янз бүрийнсонгон шалгаруулалтын үр дүн.

Дараах боломжтой зүйлийг авч үзье сонгох схемүүд:

1. Сонголт дахин тавтай морил: сонгосон бөмбөг бүрийг сав руу буцаана, өөрөөр хэлбэл тус бүрийг кБөмбөгийг бүрэн савнаас сонгоно. Үүнээс бүрдсэн багцад кбөмбөгний тоо, ижил тоо гарч болно ( давталттай дээж авах).

2. Буцахгүйгээр сонгох: сонгосон бөмбөгийг саванд буцааж өгөхгүй бөгөөд үр дүнд нь ижил тоо гарч ирэх боломжгүй ( давталтгүйгээр дээж авах).

Аль ч тохиолдолд сонголтын үр дүн нь багц юм кбөмбөгний дугаар. Бөмбөгийг үргэлж дараалан, нэг нэгээр нь (буцах эсвэл буцаахгүйгээр) сонгодог гэж үзэх нь тохиромжтой.

Хоёр боломж бий:

1. Дарааллаар нь сонгох: Бөмбөгний хоёр багц дугаар нь найрлага, тоонуудын дарааллаар ялгаатай байвал ялгаатай гэж үзнэ. Тиймээс, 5 бөмбөг агуулсан савнаас гурван бөмбөг сонгохдоо багц (1,2,5), (2,5,1) (4,4,5) ялгаатай байна. захиалга дээр үндэслэн сонголт хийх.

2. Захиалга харгалзахгүйгээр сонгох: хоёр багц бөмбөгний дугаар нь найрлагад ялгаатай бол ялгаатай гэж үзнэ. Зөвхөн тоонуудын дарааллаар ялгаатай олонлогуудыг ижил гэж үзнэ. Тэгэхээр дээрх жишээн дээр эхний хоёр багц (1,2,5), (2,5,1) нь ижил сонголтын үр дүн, олонлог (4,4,5) нь өөр сонголтын үр дүн юм.

Одоо дөрвөн схем тус бүрд хичнээн өөр үр дүн гарч болохыг тоолж үзье (буцах, буцаахгүйгээр сонгох, эдгээр тохиолдол бүрт бид дарааллыг харгалзан үзэх эсэх).

Урнаа дизайн: захиалгаар буцаахгүйгээр сонгох

Урнаа дизайн: буцаах, дарааллыг харгалзан сонгох

Сонгон шалгаруулалтын схем дэх дээжийн нийт тоо к-аас элементүүд nбуцаах ба дарааллыг харгалзан элементүүдийн орлуулах тоогоор тодорхойлно.

Урнуудын загвар: захиалга харгалзахгүйгээр буцаах сонголттой

Хоёр бөмбөгтэй савыг авч үзээд буцах сонголттойгоор сонгохдоо энэ савнаас хоёр бөмбөг сонгосны үр дүнг жагсаана уу.

"Захиалгыг харгалзахгүйгээр" схемд 3 өөр үр дүн гарсан бол "захиалгыг харгалзан үзэх" схемд дөрвөөс ялгаатай. Дараа нь сонгон шалгаруулах схем дэх дээжийн нийт тоо к-аас элементүүд nБуцах, дарааллыг харгалзахгүйгээр давталттай хослолын тоогоор тодорхойлогддог

Дээжийн тоо бас ялгаатай болохыг анхаарна уу дарааллаар, В к! ялгаатай дээжийн тооноос дахин их байна зөвхөн найрлагаараа.

11. Урнаа нь 1-ээс 9 хүртэлх тоогоор дугаарласан бөмбөлгүүдийг агуулна. Бөмбөгийг солихгүйгээр нэг нэгээр нь авдаг. Дараахь үйл явдлуудыг харгалзан үзнэ.
А– ирэх дарааллаар бөмбөгнүүдийн тоо 1,2,...,М гэсэн дарааллыг бүрдүүлнэ.
IN
ХАМТ– бөмбөгний дугаар болон олборлох дараалал хоёрын хооронд нэг ч таарахгүй байна.
Үйл явдлын магадлалыг тодорхойлох A, B, C. магадлалын хязгаарлагдмал утгыг ол.
Шийдэл:
1) Үйл явдлын магадлалыг олцгооё А.
1-р тоотой бөмбөг түрүүлж сугалах магадлал тэнцүү байна (1-р тоотой ганц бөмбөг тохиромжтой бөгөөд нийт 9 бөмбөг байдаг).
2-р бөмбөгийн хоёр дахь бөмбөгийг татах магадлал нь тэнцүү, учир нь Зөвхөн 8 бөмбөг үлдсэн, гэхдээ зөвхөн 1 бөмбөг таарч байна.
гэх мэт.
Магадлалын үржүүлэх теоремыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

2) Үйл явдлын магадлалыг олцгооё IN.
IN- бөмбөгний дугаар ба олборлолтын серийн дугаар дор хаяж нэг удаа давхцаж байна.
- эсрэг үйл явдал, өөрөөр хэлбэл. бөмбөгний дугаар хэзээ ч давхцдаггүй серийн дугааролборлолт.
- эхний сугалсан бөмбөг нь №1-тэй бөмбөг биш байх магадлал, i.e. Нийт 9 бөмбөгтэй, 8 ширхэг багтана.

2 дугаартай бөмбөг хоёрдугаарт сугалах магадлалыг тооцоод үзье.
Тэдгээр. эхлээд арилгаж, дараа нь арилгаж болохгүй.
.
Дараа нь эсрэг үйл явдлын магадлалын тухай теоремын дагуу хоёрдугаарт зурсан бөмбөг №2 биш байх магадлал нь:
.
Гурав дахь бөмбөг 3 дугаартай бөмбөгийг татах магадлалыг олцгооё (жишээ нь, эхний болон хоёр дахь сугалааны үед үүнийг арилгаж болохгүй, гурав дахь бөмбөгийг хасах хэрэгтэй):

Гуравдугаарт 3 дугаартай бөмбөг сугалахгүй байх магадлал:

Бусад бөмбөгтэй адилхан. Хувь хүний ​​бөмбөгийг түүний тоотой тохирохгүй дарааллаар зурах магадлал нь: .
Дараа нь бөмбөгний тоо нь олборлолтын дарааллын дугаартай хэзээ ч давхцахгүй байх магадлал:

Энэ нь:
3)
С үйл явдлын магадлалыг олцгооё - бөмбөгний тоо болон олборлолтын дарааллын хооронд нэг ч давхцал байхгүй.
Үйл явдал С ба давхцах, өөрөөр хэлбэл.
4) Үнэ цэнийг олцгооё магадлалыг хязгаарлахцагт.

Жишээ 1. Эхний саванд: гурван улаан, нэг цагаан бөмбөгА. Хоёр дахь саванд: нэг улаан, гурван цагаан бөмбөлөг. Зоосыг санамсаргүй байдлаар шиддэг: хэрэв энэ нь төрийн сүлд бол түүнийг эхний савнаас, үгүй ​​бол хоёр дахь савнаас сонгоно.
Шийдэл:
a) улаан бөмбөг зурсан байх магадлал
А - улаан бөмбөг авсан
P 1 - төрийн сүлд унасан, P 2 - өөрөөр

б) Улаан бөмбөгийг сонгосон. Эхний савнаас хоёрдугаар савнаас авсан байх магадлалыг ол.
B 1 – эхний савнаас, В 2 – хоёрдугаар савнаас
,

Жишээ 2. Хайрцагт 4 бөмбөг байна. байж болно: зөвхөн цагаан, зөвхөн хар эсвэл цагаан, хар. (Бүтэц тодорхойгүй).
Шийдэл:
A - цагаан бөмбөг гарч ирэх магадлал
a) Бүх цагаан:
(цагаан сонголт байгаа гурван сонголтын аль нэгийг нь авсан байх магадлал)
(бүгд цагаан өнгөтэй байгаа газарт цагаан бөмбөг гарч ирэх магадлал)

б) Хүн бүр хар өнгөтэй байгаа газрыг татаж авав



в) хүн бүр цагаан ба/эсвэл хар өнгөтэй байх сонголтыг гаргасан

- ядаж нэг нь цагаан өнгөтэй

P a +P b +P c =

Жишээ 3. Нэг саванд 5 цагаан, 4 хар бөмбөг байна. Үүнээс 2 бөмбөгийг дараалан гаргаж авдаг. Хоёр бөмбөг хоёулаа цагаан байх магадлалыг ол.
Шийдэл:
5 цагаан, 4 хар бөмбөг
P(A 1) - цагаан бөмбөгийг гаргаж авсан

P(A 2) – хоёр дахь бөмбөг бас цагаан байх магадлал

P (A) - дараалан сонгосон цагаан бөмбөг

Жишээ 3a. Багцанд 2 хуурамч, 8 жинхэнэ мөнгөн дэвсгэрт багтсан. Боодолоос 2 дэвсгэрт дараалан гаргав. Аль аль нь хуурамч байх магадлалыг ол.
Шийдэл:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022

Жишээ 4. 10 хогийн сав байна. 2 хар, 2 цагаан бөмбөлөг бүхий 9 ширхэг савтай. 1 саванд 5 цагаан, 1 хар байна. Санамсаргүй байдлаар авсан савнаас бөмбөг зурсан.
Шийдэл:
P(A) -? цагаан бөмбөгийг 5 цагаан агуулсан савнаас авдаг
B – 5 цагаан өнгийн савнаас гаргаж авах магадлал
, - бусдаас гаргаж авсан
C 1 - 9-р түвшинд цагаан бөмбөг гарч ирэх магадлал.

C 2 - цагаан бөмбөг гарч ирэх магадлал, тэдгээрийн 5 нь байдаг

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Жишээ 5. Цилиндр хэлбэртэй 20 ширхэг, конус хэлбэртэй 15 ширхэг. Сонгогч нь 1 галзуу, дараа нь өөр нэг өнхрөлтийг авдаг.
Шийдэл:
a) бул хоёр нь цилиндр хэлбэртэй байна
P(C 1)=; P(Ts 2)=
C 1 - эхний цилиндр, C 2 - хоёр дахь цилиндр
P(A)=P(Ts 1)P(Ts 2) =
б) Дор хаяж нэг цилиндр
K 1 - анхны конус хэлбэртэй.
K 2 - хоёр дахь конус хэлбэртэй.
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;

в) эхний цилиндр, гэхдээ хоёр дахь нь биш
P(C)=P(C 1)P(K 2)

e) Ганц цилиндр биш.
P(D)=P(K 1)P(K 2)

e) Яг 1 цилиндр
P(E)=P(C 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)

Жишээ 6. Хайрцагт стандартын 10 эд анги, 5 гэмтэлтэй эд анги байна.
Гурван хэсгийг санамсаргүй байдлаар зурсан
a) Тэдний нэг нь гэмтэлтэй байна
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k ,
P - гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний магадлал

q – стандарт хэсгүүдийн магадлал

n=3, гурван хэсэг


б) гурван хэсгийн хоёр нь гэмтэлтэй P(2)
в) дор хаяж нэг стандарт
P(0) - гэмтэл байхгүй

P=P(0)+ P(1)+ P(2) - ядаж нэг хэсэг нь стандарт байх магадлал

Жишээ 7. 1-р саванд 3 цагаан, хар бөмбөлөг, 2-р саванд 3 цагаан, 4 хар бөмбөг байна. 2 бөмбөгийг 1-р савнаас 2-т хайхгүйгээр шилжүүлж, дараа нь 2-оос 2 бөмбөгийг сугалж авна. Тэдгээр нь өөр өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл:
Бөмбөгийг эхний савнаас хөдөлгөхдөө дараах сонголтуудыг хийж болно.
a) дараалан 2 цагаан бөмбөг гаргав
P BB 1 =
Эхний алхамд нэг бөмбөг аль хэдийн гарсан тул хоёр дахь алхамд үргэлж нэг бөмбөг дутуу байх болно.
б) нэг цагаан, нэг хар бөмбөг гаргав
Эхлээд цагаан бөмбөг, дараа нь хар өнгөтэй байх нөхцөл байдал
P байлдааны толгой =
Эхлээд хар бөмбөг, дараа нь цагаан бөмбөг татсан нөхцөл байдал
P BW =
Нийт: P байлдааны толгой 1 =
в) дараалан 2 хар бөмбөг гаргав
P HH 1 =
Эхний савнаас 2 бөмбөгийг хоёр дахь сав руу шилжүүлсэн тул дараа нь нийт тооХоёр дахь саванд 9 бөмбөг (7 + 2) байх болно. Үүний дагуу бид бүх боломжит хувилбаруудыг хайх болно:
а) хоёр дахь савнаас эхлээд цагаан, дараа нь хар бөмбөг авсан

P BB 2 P BB 1 - эхний савнаас 2 цагаан бөмбөг дараалан сугалсан тохиолдолд эхлээд цагаан бөмбөг, дараа нь хар бөмбөг зурах магадлалыг хэлнэ. Тийм ч учраас энэ тохиолдолд цагаан бөмбөгний тоо 5 (3+2) байна.
P BC 2 P BC 1 - эхний савнаас цагаан, хар бөмбөлөг зурсан тохиолдолд эхлээд цагаан бөмбөг, дараа нь хар бөмбөг зурах магадлалыг хэлнэ. Тийм ч учраас энэ тохиолдолд цагаан бөмбөгний тоо 4 (3+1), хар бөмбөгний тоо таван (4+1) байна.
P BC 2 P BC 1 - эхлээд цагаан бөмбөг, дараа нь хар бөмбөлөг зурсан байх магадлалыг илэрхийлнэ, хэрэв хар бөмбөлөг хоёуланг нь дараалан эхний савнаас татсан бол. Тийм ч учраас энэ тохиолдолд хар бөмбөгний тоо 6 (4+2) байна.

Зурсан 2 бөмбөг өөр өөр өнгөтэй байх магадлал нь дараахтай тэнцүү байна.

Хариулт: P = 0.54

Жишээ 7a. 5 цагаан, 3 хар бөмбөлөг бүхий 1-р савнаас санамсаргүй байдлаар 2 бөмбөгийг 2 цагаан, 6 хар бөмбөлөг бүхий 2-р саванд шилжүүлэв. Дараа нь 2-р савнаас санамсаргүй байдлаар 1 бөмбөг сугалав.
1) 2-р савнаас авсан бөмбөг цагаан өнгөтэй болох магадлал хэд вэ?
2) 2-р савнаас авсан бөмбөг цагаан өнгөтэй болсон. Бөмбөгийг 1-р савнаас 2-т шилжүүлэх магадлалыг тооцоол өөр өөр өнгө.
Шийдэл.
1) А үйл явдал - 2-р савнаас авсан бөмбөг цагаан өнгөтэй болсон. Энэ үйл явдал тохиолдох дараах хувилбаруудыг авч үзье.
a) Хоёр цагаан бөмбөлгийг эхний савнаас хоёр дахь саванд хийсэн: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
Хоёр дахь саванд нийт 4 цагаан бөмбөлөг байна. Дараа нь хоёр дахь савнаас цагаан бөмбөг зурах магадлал P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448 байна.
б) Цагаан ба хар бөмбөлгийг эхний савнаас хоёр дахь руу нь байрлуулсан: P1(bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Хоёр дахь саванд нийт 3 цагаан бөмбөлөг байна. Дараа нь хоёр дахь савнаас цагаан бөмбөг зурах магадлал P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448 байна.
в) Эхний савнаас хоёр дахь хар бөмбөгийг хоёр хар бөмбөг байрлуулсан: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
Хоёр дахь саванд нийт 2 цагаан бөмбөлөг байна. Дараа нь хоёр дахь савнаас цагаан бөмбөг зурах магадлал P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448 байна.
Дараа нь 2-р савнаас авсан бөмбөг цагаан өнгөтэй болох магадлал:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) 2-р савнаас авсан бөмбөг цагаан өнгөтэй болсон, өөрөөр хэлбэл. нийт магадлал нь P(A)=13/32.
Хоёрдахь саванд янз бүрийн өнгөтэй (хар цагаан) бөмбөг хийж, цагааныг сонгосон байх магадлал: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Жишээ 7b. Эхний саванд 8 цагаан, 3 хар бөмбөлөг, хоёр дахь саванд 5 цагаан, 3 хар бөмбөг байна. Нэг бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар эхнийхээс, хоёр дахь бөмбөгийг хоёр бөмбөгөөр сонгоно. Үүний дараа сонгосон гурван бөмбөгнөөс санамсаргүй байдлаар нэг бөмбөг авна. Энэ сүүлчийн бөмбөг хар өнгөтэй болсон. Эхний савнаас цагаан бөмбөг гарч ирэх магадлалыг ол.
Шийдэл.
А үйл явдлын бүх хувилбаруудыг авч үзье - гурван бөмбөгөөс зурсан бөмбөг хар өнгөтэй болно. Гурван бөмбөлөг дунд хар бөмбөг байсан нь яаж байж болох вэ?
a) Нэгдүгээр савнаас хар бөмбөг, хоёрдугаар савнаас хоёр цагаан бөмбөг авсан.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
б) Нэгдүгээр савнаас хар бөмбөг, хоёрдугаар савнаас хоёр хар бөмбөг авсан.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
в) Нэгдүгээр савнаас хар бөмбөг, хоёрдугаар савнаас нэг цагаан, нэг хар бөмбөг авсан.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
г) Нэгдүгээр савнаас цагаан бөмбөг, хоёрдугаар савнаас хоёр хар бөмбөг авсан.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
д) Нэгдүгээр савнаас цагаан бөмбөг, хоёрдугаар савнаас нэг цагаан, нэг хар бөмбөг авсан.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Нийт магадлал нь: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Цагаан савнаас цагаан бөмбөг гарах магадлал нь:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Гурван бөмбөгнөөс хар бөмбөг сонгогдсон тохиолдолд эхний савнаас цагаан бөмбөг сонгогдсон байх магадлал дараах байдалтай тэнцүү байна.
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57

Жишээ 7c. Эхний саванд 12 цагаан, 16 хар бөмбөлөг, хоёрдугаарт 8 цагаан, 10 хар бөмбөг байна. Үүний зэрэгцээ 1, 2-р савнаас бөмбөг сугалж, хольж, сав бүрт нэгийг буцаана. Дараа нь сав бүрээс бөмбөг сугалж авдаг. Тэд ижил өнгөтэй болсон. 1-р саванд эхэнд байсантай адил олон цагаан бөмбөлөг үлдэх магадлалыг тодорхойл.

Шийдэл.
А үйл явдал - 1, 2-р савнаас бөмбөгийг нэгэн зэрэг татна.
Эхний савнаас цагаан бөмбөг зурах магадлал: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Эхний савнаас хар бөмбөг зурах магадлал: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Хоёр дахь савнаас цагаан бөмбөг зурах магадлал: P2(B) = 8/18 = 4/9
Хоёр дахь савнаас хар бөмбөг зурах магадлал: P2(H) = 10/18 = 5/9

А үйл явдал болсон. Б үйл явдал - сав бүрээс бөмбөг сугалж байна. Холихын дараа цагаан эсвэл хар бөмбөг сав руу буцаж ирэх магадлал ½ байна.
B үйл явдлын сонголтуудыг авч үзье - тэд ижил өнгөтэй болсон.

Эхний савны хувьд
1) цагаан бөмбөгийг эхний саванд хийж, цагаан бөмбөгийг өмнө нь зурсан бол P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) цагаан бөмбөгийг эхний саванд хийж, өмнө нь хар бөмбөгийг гаргаж авсан тохиолдолд цагаан бөмбөгийг гаргаж авсан, P1(BB/A=H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) цагаан бөмбөгийг эхний саванд хийж, хар бөмбөгийг өмнө нь гаргаж авсан бол P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) цагаан бөмбөгийг эхний саванд хийж, хар бөмбөгийг өмнө нь гаргаж авсан бол P1(BC/A=H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) хар бөмбөгийг эхний саванд хийж, цагаан бөмбөгийг өмнө нь сугалж авсан бол P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/ 392
6) хар бөмбөгийг эхний саванд хийж, өмнө нь хар бөмбөгийг гаргаж авсан тохиолдолд цагаан бөмбөгийг гаргаж авсан, P1(BW/A=H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/ 49
7) хар бөмбөгийг эхний саванд хийж, өмнө нь цагаан бөмбөгийг гаргаж авсан тохиолдолд хар бөмбөгийг гаргаж авсан, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51 /392
8) хар бөмбөгийг эхний саванд хийж, хар бөмбөгийг өмнө нь зурсан тохиолдолд хар бөмбөгийг гаргаж авсан, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

Хоёр дахь савны хувьд
1) цагаан бөмбөгийг эхний саванд хийж, цагаан бөмбөгийг өмнө нь зурсан бол P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) цагаан бөмбөгийг эхний саванд хийж, өмнө нь хар бөмбөгийг гаргаж авсан тохиолдолд цагаан бөмбөгийг гаргаж авсан, P1(BB/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) цагаан бөмбөгийг эхний саванд хийж, хар бөмбөгийг өмнө нь гаргаж авсан бол P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) цагаан бөмбөгийг эхний саванд хийж, хар бөмбөгийг өмнө нь гаргаж авсан бол P1(BC/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) хар бөмбөгийг эхний саванд хийж, цагаан бөмбөгийг өмнө нь зурсан бол P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) хар бөмбөгийг эхний саванд хийж, өмнө нь хар бөмбөгийг гаргаж авсан тохиолдолд цагаан бөмбөгийг гаргаж авсан, P1(BW/A=H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) хар бөмбөгийг эхний саванд хийж, өмнө нь цагаан бөмбөг зурсан тохиолдолд хар бөмбөгийг зурсан, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) хар бөмбөгийг эхний саванд хийж, хар бөмбөгийг өмнө нь зурсан бол P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Бөмбөлгүүд ижил өнгөтэй болсон:
а) цагаан
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
б) хар
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252

P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Жишээ 7d. Эхний хайрцагт 5 цагаан, 4 цэнхэр бөмбөлөг, хоёр дахь хайрцагт 3 ба 1, гурав дахь хайрцагт 4 ба 5 тус тус байна. Санамсаргүй байдлаар хайрцгийг сонгосон бөгөөд тэндээс сугалж авсан бөмбөг цэнхэр өнгөтэй болжээ. Энэ бөмбөг хоёр дахь хайрцагнаас гарах магадлал хэд вэ?

Шийдэл.
A - олж авах үйл явдал цэнхэр бөмбөг. Ийм үйл явдлын бүх боломжит үр дүнг авч үзье.
H1 - эхний хайрцагнаас авсан бөмбөг,
H2 - бөмбөгийг хоёр дахь хайрцагнаас гаргаж авсан,
H3 - гурав дахь хайрцагнаас авсан бөмбөг.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Асуудлын нөхцлийн дагуу А үйл явдлын нөхцөлт магадлал нь дараах байдалтай тэнцүү байна.
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Энэ бөмбөг хоёр дахь хайрцагнаас гарах магадлал нь:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2

Жишээ 8. Тус бүр нь 30 бөмбөгтэй таван хайрцагт 5 улаан бөмбөг (энэ нь Н1 найрлагатай хайрцаг), 20 бөмбөгтэй зургаан хайрцагт тус бүр 4 улаан бөмбөг (энэ нь Н2 найрлагатай хайрцаг) агуулдаг. Санамсаргүй байдлаар авсан улаан бөмбөг эхний таван хайрцагны аль нэгэнд байх магадлалыг ол.
Шийдэл: Томъёоны хэрэглээний асуудал бүрэн магадлал.

Жишээ 9. Уг саванд 2 цагаан, 3 хар, 4 улаан бөмбөлөг байдаг. Гурван бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар зурдаг. Хамгийн багадаа хоёр бөмбөг ижил өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл. Гурван боломжит үр дүн бий:
a) гурван зурсан бөмбөгний дунд дор хаяж хоёр цагаан бөмбөг байсан.
P b (2) = P 2b
Нийт боломжтой тоо үндсэн үр дүнЭдгээр туршилтуудын хувьд 9-өөс 3 бөмбөг гаргаж авах аргуудын тоотой тэнцүү байна.

Сонгосон 3 бөмбөгнөөс 2 нь цагаан байх магадлалыг олцгооё.

2 цагаан бөмбөгөөс сонгох сонголтуудын тоо:

Бусад 7 бөмбөг гурав дахь бөмбөгөөс сонгох сонголтуудын тоо:

б) гурван зурсан бөмбөгний дунд дор хаяж хоёр хар (жишээлбэл, 2 хар эсвэл 3 хар) байсан.
Сонгосон 3 бөмбөгнөөс 2 нь хар өнгөтэй байх магадлалыг олъё.

3 хар бөмбөгөөс сонгох сонголтуудын тоо:

Нэг бөмбөгний бусад 6 бөмбөгнөөс сонгох сонголтуудын тоо:


P 2h = 0.214
Сонгосон бүх бөмбөг хар өнгөтэй байх магадлалыг олъё.

P h (2) = 0.214+0.0119 = 0.2259

в) гурван зурсан бөмбөгний дунд дор хаяж хоёр улаан бөмбөг (жишээлбэл, 2 улаан эсвэл 3 улаан) байсан.
Сонгосон 3 бөмбөгнөөс 2 нь улаан байх магадлалыг олъё.

4 хар бөмбөгөөс сонгох сонголтуудын тоо:

Сонгох сонголтуудын тоо: 5 цагаан бөмбөлөг, үлдсэн 1 цагаан:


Сонгосон бүх бөмбөг улаан байх магадлалыг олцгооё.

P - (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Дараа нь дор хаяж хоёр бөмбөг ижил өнгөтэй байх магадлал нь тэнцүү байна: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138

Жишээ 10. Эхний саванд 10 бөмбөлөг байгаа бөгөөд тэдгээрийн 7 нь цагаан; Хоёрдахь саванд 20 бөмбөг байгаагийн 5 нь цагаан өнгөтэй байна. Урд бүрээс санамсаргүй байдлаар нэг бөмбөг, дараа нь эдгээр хоёр бөмбөгнөөс санамсаргүй байдлаар нэг бөмбөг сугалж авна. Цагаан бөмбөг татагдах магадлалыг ол.
Шийдэл. Эхний савнаас цагаан бөмбөг гарах магадлал P(b)1 = 7/10 байна. Үүний дагуу хар бөмбөг зурах магадлал P(h)1 = 3/10 байна.
Хоёр дахь савнаас цагаан бөмбөг гарах магадлал P(b)2 = 5/20 = 1/4 байна. Үүний дагуу хар бөмбөг зурах магадлал P(h)2 = 15/20 = 3/4 байна.
А үйл явдал - цагаан бөмбөгийг хоёр бөмбөгнөөс авдаг
А үйл явдлын боломжит үр дүнг авч үзье.

1. Нэгдүгээр савнаас цагаан бөмбөг, хоёрдугаар савнаас цагаан бөмбөг сугалав. Дараа нь энэ хоёр бөмбөгнөөс цагаан бөмбөг сугалж авсан. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
2. Эхний савнаас цагаан бөмбөг, хоёрдугаар савнаас хар бөмбөг сугалав. Дараа нь энэ хоёр бөмбөгнөөс цагаан бөмбөг сугалж авсан. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
3. Нэгдүгээр савнаас хар бөмбөг, хоёрдугаар савнаас цагаан бөмбөг сугалав. Дараа нь энэ хоёр бөмбөгнөөс цагаан бөмбөг сугалж авсан. P3 = 3/10*1/4 = 3/40

Жишээ 11. Хайрцагт теннисний n бөмбөг байна. Эдгээрээс m тоглосон. Эхний тоглолтонд санамсаргүй байдлаар хоёр бөмбөг авч, тоглолтын дараа буцааж тавьсан. Хоёр дахь тоглолтонд бид санамсаргүй байдлаар хоёр бөмбөг авсан. Хоёр дахь тоглолтыг шинэ бөмбөгөөр тоглох магадлал хэд вэ?
Шийдэл. А үйл явдлыг авч үзье - тоглоомыг хоёр дахь удаагаа шинэ бөмбөгөөр тоглов. Ямар үйл явдал үүнд хүргэж болохыг харцгаая.
Сулагдахаас өмнөх шинэ бөмбөгийн тоог g = n-m гэж тэмдэглэе.
a) эхний тоглолтонд хоёр шинэ бөмбөг сугалж авав.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
б) эхний тоглолтонд тэд нэг шинэ бөмбөг гаргаж, нэг бөмбөгийг аль хэдийн тоглосон.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2мг/(n(n-1))
в) эхний тоглолтонд хоёр тоглосон бөмбөгийг гаргаж авсан.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Хоёр дахь тоглолтын үйл явдлуудыг харцгаая.
a) P1 нөхцлийн дагуу хоёр шинэ бөмбөг сугалав: эхний тоглолтонд шинэ бөмбөг аль хэдийн сугалагдсан байсан тул хоёр дахь тоглолтын хувьд тэдний тоо 2, g-2-оор буурсан.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Хоёр шинэ бөмбөгийг P2 нөхцөлөөр сугалав: эхний тоглолтонд нэг шинэ бөмбөг аль хэдийн сугалагдсан байсан тул хоёр дахь тоглолтын хувьд тэдний тоо 1, g-1-ээр буурсан.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2мг /(n(n-1))
в) P3 нөхцлийн дагуу хоёр шинэ бөмбөг сугалсан: өмнө нь эхний тоглолтонд шинэ бөмбөг ашиглаагүй тул хоёр дахь тоглолтонд тэдгээрийн тоо өөрчлөгдөөгүй g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n) (n-1))

Нийт магадлал P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2мг/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Хариулт: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Жишээ 12. Нэг, хоёр, гурав дахь хайрцагт 2 цагаан, 3 хар бөмбөг, дөрөв, тавдугаар хайрцагт 1 цагаан, 1 хар бөмбөг байна. Нэг хайрцгийг санамсаргүй байдлаар сонгож, түүнээс бөмбөгийг гаргаж авдаг. Юу вэ нөхцөлт магадлалХэрэв зурсан бөмбөг цагаан бол дөрөв, тав дахь хайрцгийг сонгох вэ?
Шийдэл.
Хайрцаг бүрийг сонгох магадлал P(H) = 1/5 байна.
Цагаан бөмбөг зурах А үйл явдлын нөхцөлт магадлалыг авч үзье.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Цагаан бөмбөг зурах нийт магадлал:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
Дөрөв дэх хайрцгийг сонгосон нөхцөлт магадлал
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Тав дахь хайрцгийг сонгосон нөхцөлт магадлал
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Нийтдээ дөрөв эсвэл тав дахь хайрцгийг сонгосон байх нөхцөлт магадлал байна
P(H=4, H=5|A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546

Жишээ 13. Уг саванд 7 цагаан, 4 улаан бөмбөлөг байв. Дараа нь цагаан эсвэл улаан эсвэл хар өнгийн өөр нэг бөмбөгийг саванд хийж, холилдсоны дараа нэг бөмбөгийг гаргаж авав. Энэ нь улаан өнгөтэй болсон. а) улаан бөмбөг тавьсан байх магадлал хэд вэ? б) хар бөмбөг?
Шийдэл.
а) улаан бөмбөг
А үйл явдал - улаан бөмбөгийг зурсан. H үйл явдал - улаан бөмбөгийг байрлуулсан. Улаан бөмбөгийг саванд хийсэн байх магадлал P(H=K) = 1/3
Дараа нь P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0.139
б) хар бөмбөг
А үйл явдал - улаан бөмбөгийг зурсан. H үйл явдал - хар бөмбөг байрлуулсан.
Хар бөмбөгийг саванд хийсэн байх магадлал P(H=H) = 1/3
Дараа нь P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0.111

Жишээ 14. Бөмбөлөгтэй хоёр сав байна. Нэг нь 10 улаан, 5 цэнхэр, хоёр дахь нь 5 улаан, 7 цэнхэр бөмбөгтэй. Эхний савнаас санамсаргүй байдлаар улаан бөмбөг, хоёрдугаарт цэнхэр бөмбөг сугалах магадлал хэд вэ?
Шийдэл.А1 үйл явдлыг эхний савнаас зурсан улаан бөмбөг гэж үзье; A2 - хоёр дахь савнаас цэнхэр бөмбөг зурсан:
,
А1 ба А2 үйл явдлууд бие даасан байна. А1 ба А2 үйл явдлын хамтдаа тохиолдох магадлал нь тэнцүү байна

Жишээ 15. Картын тавцан байдаг (36 ширхэг). Хоёр картыг дараалан санамсаргүй байдлаар зурдаг. Хоёр карт улаан өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл.А 1 үйл явдлыг хамгийн анхны улаан хуудас гэж үзье. Үйл явдал А 2 - хоёр дахь улаан картыг авсан. B - авсан хоёр карт хоёулаа улаан байна. А 1 болон А 2 үйл явдал хоёулаа тохиолдох ёстой тул B = A 1 · A 2 болно. А 1 ба А 2 үйл явдлууд нь хамааралтай тул P(B):
,
Эндээс

Жишээ 16. Хоёр саванд зөвхөн өнгөөрөө ялгаатай бөмбөг байдаг бөгөөд эхний саванд 5 цагаан, 11 хар, 8 улаан, хоёрдугаарт 10, 8, 6 бөмбөг байна. Хоёр савнаас санамсаргүй байдлаар нэг бөмбөг сугалж авдаг. Хоёр бөмбөг ижил өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл.Индекс 1 гэсэн утгатай байг цагаан, индекс 2 - хар; 3 - улаан өнгө. Эхний савнаас i-р өнгийн бөмбөлөг зурсан А i үйл явдал байг; B j үйл явдал - хоёр дахь савнаас j өнгийн бөмбөгийг зурсан; А үйл явдал - хоёр бөмбөг ижил өнгөтэй байна.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3. A i ба B j үйл явдлууд нь бие даасан, A i · B i ба A j · B j нь i ≠ j-д үл нийцдэг. Тиймээс,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =

Жишээ 17. 3 цагаан, 2 хар бөмбөлөг бүхий савнаас хар өнгөтэй болтол бөмбөгийг нэг нэгээр нь зурдаг. Урдаас 3 бөмбөг сугалах магадлалыг олоорой? 5 бөмбөг?
Шийдэл.
1) савнаас 3 бөмбөг гарах магадлал (өөрөөр хэлбэл гурав дахь бөмбөг хар, эхний хоёр нь цагаан өнгөтэй байх болно).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) савнаас 5 бөмбөг сугалах магадлал
Энэ нөхцөл байдал боломжгүй, учир нь зөвхөн 3 цагаан бөмбөг.
P=0

5 цагаан, 3 хар бөмбөлөг бүхий 1-р савнаас санамсаргүй байдлаар 2 бөмбөгийг 2 цагаан, 6 хар бөмбөлөг бүхий 2-р саванд шилжүүлэв. Дараа нь 2-р савнаас санамсаргүй байдлаар 1 бөмбөг сугалав.
1) 2-р савнаас авсан бөмбөг цагаан өнгөтэй болох магадлал хэд вэ?
2) 2-р савнаас авсан бөмбөг цагаан өнгөтэй болсон. Янз бүрийн өнгөт бөмбөгийг 1-р савнаас 2-т шилжүүлэх магадлалыг тооцоол.

Хариултууд:

Шийдэл.1) А үйл явдал - 2-р савнаас авсан бөмбөг цагаан өнгөтэй болсон. Энэ үйл явдал тохиолдох дараах хувилбаруудыг авч үзье a) Хоёр цагаан бөмбөгийг эхний савнаас хоёр дахь хэсэгт байрлуулсан: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56 хоёр дахь саванд цагаан бөмбөг. Дараа нь 2-р савнаас цагаан бөмбөг зурах магадлал P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448б) Эхний савнаас цагаан, хар бөмбөгийг тавьсан. хоёрдугаарт: P1(bh) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56 Хоёр дахь саванд 3 цагаан бөмбөг байна. Дараа нь хоёр дахь савнаас цагаан бөмбөг зурах магадлал P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448c) Эхний савнаас хоёр хар бөмбөгийг тавьсан. хоёр дахь нь: P1(hh) = 3 /8*2/7 = 6/56 Хоёр дахь саванд 2 цагаан бөмбөг байна. Тэгвэл 2-р савнаас цагаан бөмбөг зурах магадлал P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448 Дараа нь 2-р савнаас сугалсан бөмбөг цагаан байх магадлал: P( A) = 80 /448 + 90/448 + 12/448 = 13/322) 2-р савнаас авсан бөмбөг цагаан өнгөтэй болсон, өөрөөр хэлбэл. Нийт магадлал нь P(A) = 13/32, өөр өөр өнгийн (хар цагаан) бөмбөгийг хоёр дахь саванд хийж, цагааныг сонгох магадлал: P2(3) = 30/56*(2+1) /( 6+2) = 90/448P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Үржүүлэх теорем

гэж нэрлэдэг үржүүлэх теоремууд.

Энэ теорем нь тухайн хэргийг ерөнхийд нь илэрхийлдэг nүйл явдал:

Даалгавар 1. 5 цагаан, 3 хар бөмбөлөг агуулсан савнаас хар бөмбөг гарч иртэл нэг бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар, дарааллаар нь зурна. Сонголтыг буцаахгүйгээр хийвэл дөрөв дэх олборлолт хийх магадлалыг ол.

Шийдэл.Дараах үйл явдлуудыг танилцуулъя. А 1 = (цагаан бөмбөгийг эхлээд зурсан), А 2 = (цагаан бөмбөгийг хоёр дахь удаагаа сугалж авсан), А 3 = (цагаан бөмбөг гуравдугаарт татагдсан). Дараа нь бидний сонирхож буй үйл явдал А = (дөрөв дэх сугалаа хийх шаардлагатай болно) = (эхний гурван бөмбөг цагаан өнгөтэй байна) =
. Магадлалын үржүүлэх теоремоор

П(А 1) = 5/8;
, нэг цагаан бөмбөг аль хэдийн зурсан тул хоёр дахь зурахаас өмнө саванд 7 бөмбөг үлдсэн бөгөөд тэдгээрийн 4 нь цагаан; , хоёр цагаан бөмбөлгийг аль хэдийн гаргаж авсан бөгөөд гурав дахь олборлолтоос өмнө саванд 6 бөмбөг үлдсэн бөгөөд үүнээс 3 нь цагаан байна. Тиймээс,

Хариулах. 5/28.
Магадлалын аксиомуудаас дурьдсанчлан дурын хоёр үйл явдлын хувьд ийм байна АТэгээд INмагадлал

Энэ тэгш байдлыг гэж нэрлэдэг нэмэх теоремууд.

хэмжээ нь бүх зүйлд хамаатай боломжит хослолууд 1, 2, 3 гэх мэтээр авсан янз бүрийн индексүүд. тус тус.

Нийт магадлалын томъёо

Таамаглалын тодорхойлолтоор
ба , мөн магадлалын хоёр дахь аксиомын дагуу
, Тийм учраас:

өөрөөр хэлбэл, үйл явдлын бүрэн бүлэгт тэгш байдал үнэн байна:

Аливаа үйл явдлын хувьд Аболон үйл явдлын бүрэн бүлэг Х 1 , Х 2 ,..., Х nшударга нийт магадлалын томъёо:

Боломжийн хоёр элемент, хоёр дахь үр дүн байгаа тохиолдолд нийт магадлалын томъёог ашиглах нь үндэслэлтэй юм. санамсаргүй үйл явдалЭхний санамсаргүй үйл явдлын хэрэгжилтээс хамаарна.

Шийдэл.Үйл явдлыг авч үзье:

А = (санамсаргүй шалгалтаар авсан бүтээгдэхүүн);

Н 1 = (стандарт бүтээгдэхүүн хүлээн авсан), Р(Н 1)=0,99;

Н 2 = (авсан бүтээгдэхүүн нь стандарт бус), Р(Н 2)=0,01;

А|Н 1 = (стандарт байгаа тохиолдолд санамсаргүй шалгалтаар авсан бүтээгдэхүүн), Р(А|Н 1) = 0,995;

А|Н 2 = (стандарт бус байвал санамсаргүй шалгалтаар авсан бүтээгдэхүүн), Р(А|Н 2) = 0,001;

Даалгавар. 3.Хоёр саванд цагаан, хар бөмбөлөг байдаг: эхний саванд 8 цагаан, 2 хар, хоёрдугаарт 6 цагаан, 2 хар байна. Эхний савнаас санамсаргүй байдлаар авсан бөмбөгийг хоёр дахь руу шилжүүлж, дараа нь хоёр дахь савнаас санамсаргүй байдлаар бөмбөгийг сонгоно. Хоёр дахь савнаас хар бөмбөг зурах магадлалыг ол.

Шийдэл.гэж тэмдэглэе: А= (хоёр дахь савнаас хар бөмбөг зурсан). олох хэрэгтэй П(А)

Үйл явдлыг хөгжүүлэх дараахь арга замууд боломжтой.

эсвэл 2/10-ийн магадлалаар эхний савнаас хар бөмбөг сугалж, хоёр дахь саванд шилжүүлсний дараа хоёр дахь саванд 9 бөмбөг (үүний 3 нь хар), хар бөмбөг авах магадлал байна. үүнээс 3/9;

эсвэл 8/10-ийн магадлалтайгаар эхний савнаас цагаан бөмбөг сугалж, хоёр дахь сав руу шилжсэний дараа хоёр дахь багцад 9 бөмбөг (үүний 2 нь хар), түүнээс хар бөмбөг авах магадлал байна. 2/9 байна.

Таамаглалуудыг танилцуулъя:

Х 1 = (эхний савнаас хар бөмбөг зурсан), П(Х 1) = 2/10 = 0,2;

Х 2 = (эхний савнаас цагаан бөмбөг зурсан), П(Х 2) = 8/10 = 0,8;

П(Х 1) + П(Х 2) = 1.

Дараа нь Р(А|Н 1) = (эхний савнаас хар бөмбөг сугалж авсан тохиолдолд хоёр дахь савнаас хар бөмбөг татна), П(А|Х 1) = 3/9 = 1/3. Үүний нэгэн адил, П(А|Х 2) = 2/9.

Нийт магадлалын томъёоны дагуу:

Хариулах. 11/45.

Бэйсийн томъёо

.

Сүүлчийн томъёог гэж нэрлэдэг Бэйсийн томъёо.

.
Даалгавар 4.Бодлого 3-ын нөхцөлд хоёр дахь савнаас хар бөмбөг мөн сугалсан бол эхний савнаас хар бөмбөг гарсан байх магадлалыг ол.

Шийдэл.Бодлого 3. шийдвэрлэх үед нэвтрүүлсэн тэмдэглэгээнд олох шаардлагатай П(Х 1 |А). Бэйсийн томъёоны дагуу

Хариулах. 3/11.
Даалгавар 5.Зурвас нь "1" ба "0" дохионоос бүрдэнэ. Интерференцийн шинж чанарууд нь дунджаар "0" дохионы 5%, "1" дохионы 3% нь гажуудалтай байдаг. Гажуудсан тохиолдолд "0" дохионы оронд "1" дохио хүлээн авдаг ба эсрэгээр. Дамжуулсан дохионуудын дунд "0" ба "1" нь 3: 2 харьцаатай байдаг нь мэдэгдэж байна. “1” дохиог хүлээн авбал “0” дохио илгээх магадлалыг ол.

Шийдэл.Туршилтыг хийж, үйл явдал болсон А =("1" дохиог хүлээн авсан).

Таамаглал: Х 1 = ("0" дохио илгээсэн), Х 2 = ("1" дохио илгээсэн).

Нөхцөл байдлын дагуу: П(Х 1) = 3/5 = 0,6, П(Х 2) = 2/5 = 0.4, өөрөөр хэлбэл П(Х 1) + П(Х 2) = 1.

Үйл явдлыг авч үзье:

А|Х 1 = ("0" дохиог илгээсэн тохиолдолд "1" дохио хүлээн авна) = ("0" дохио гажиж байна), нөхцөлөөр П(А|Х 1)=0,05;

А|Х 2 = ("1" дохиог илгээсэн тохиолдолд "1" дохиог хүлээн авна) = ("1" дохио гажилтгүй), нөхцөлөөр П(А|Х 2)=1–0,03=0,97;

Х 1 | А = ("1" дохио хүлээн авбал "0" дохио илгээгдэнэ).

Бэйсийн томъёоны дагуу