Нэг саванд 10 цагаан, 5 улаан, 5 ногоон бөмбөг байдаг. Санамсаргүй байдлаар зурсан бөмбөг өнгөтэй (цагаан биш) байх магадлалыг ол.
Шийдэл:
Үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоо А,улаан ба ногоон бөмбөгний нийлбэртэй тэнцүү: t = 10. Адилхан боломжтой нийцэхгүй үр дүнгийн нийт тоо нь тэнцүү байна нийт тоосаванд байгаа бөмбөг: n = 20. Дараа нь:
Үйл явдлын магадлалыг тодорхойлохдоо түүний сонгодог тодорхойлолтын дагуу тодорхой нөхцөлийг хангасан байх ёстой. Эдгээр нөхцөлүүд нь багтсан үйл явдлын тэнцвэрт байдал, үл нийцэх байдлаас бүрддэг бүтэн бүлэгмагадлалыг тодорхойлох ёстой үйл явдлууд. Практикт бүх зүйлийг тодорхойлох нь үргэлж боломжгүй байдаг боломжит сонголтуудүр дүн, тэр ч байтугай тэдний тэгш боломжийг зөвтгөхийн тулд. Тиймээс магадлалын сонгодог тодорхойлолтын шаардлагыг хангах боломжгүй бол хэрэглэнэ статистик үнэлгээүйл явдлын магадлал. Энэ нь ойлголтыг танилцуулж байна харьцангуй давтамжүйл явдал тохиолдох А, харьцаатай тэнцүү байна , Хаана Т- үйл явдал болсон туршилтын тоо A; p -туршилтын нийт тоо.
Ж.Бернулли туршилтын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлснээр нотолсон харьцангуй давтамжүйл явдал Аүйл явдлын магадлалаас дур зоргоороо бага зэрэг ялгаатай байх болно Х: .
Туршилт хийх нөхцөл нь тогтмол хэвээр байвал энэ тэгш байдал хүчинтэй байна.
Бернуллигийн теоремын үнэн зөвийг сонгодог болон математикийн аргаар тооцсон магадлалыг харьцуулсан олон туршилтаар нотолсон. статистикийн аргууд. Тиймээс Пирсоны туршилтаар 12,000 шидэлт хийх үед "сүлд" унах магадлалыг тодорхойлохын тулд, статистик магадлал 0.5016-тай тэнцэж, 24000 шидэлттэй - 0.5005-тай тэнцүү байсан нь туршилтын тоо нэмэгдэх тусам 0.5-ын магадлалын утга руу ойртож байгааг харуулж байна. Магадлалын утгуудын ойролцоо байдлыг тодорхойлсон янз бүрийн аргаар, энэ үйл явдал тохиолдох боломжийн бодит байдлыг заана.
4. Магадлалыг нэмэх теорем
Зарим үйл явдлын магадлалыг мэдэж байгаа тул бусад үйл явдлын магадлалыг тэд хоорондоо холбоотой бол тооцоолж болно. Магадлалын нэмэх теорем нь хэд хэдэн санамсаргүй үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлалыг тодорхойлох боломжийг олгодог.
Теорем.Хоёрын нийлбэрийн магадлал үл нийцэх үйл явдлуудА ба В нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
P(A+B) = P(A) + P(B).(2)
Баталгаа.Болъё n- ижил боломжтой нийцэхгүй байгаа нийт тоо үндсэн үр дүн; м 1 -үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоо A; t 2 -үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоо IN.Учир нь АТэгээд INүл нийцэх үйл явдлууд, дараа нь үйл явдал A+Bтаатай байх болно м 1 + м 2үр дүн. Дараа нь магадлалын сонгодог тодорхойлолтын дагуу:
Энэ нотлох баримтыг сунгаж байна nүйл явдлуудад бид дараах теоремыг баталж чадна.
Теорем.Хэмжээний магадлал хязгаарлагдмал тоохосоор үл нийцэх үйл явдлууд A 1, A 2,..., A n нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.
P(A 1 + A 2 +…+A p) = P(A 1) + P(A 2) +…+P(A p) (3)
Энэ теоремоос хоёр дүгнэлт гаргаж болно:
Дүгнэлт 1.Хэрэв A 1, A 2,..., A n үйл явдлууд нь бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг бол тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. = P(A 1) + P(A 2) +…+P(A p) = 1.(4)
Дүгнэлт 2.Эсрэг үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү, i.e.
Баталгаа.Эсрэг үйл явдлууд нь хоорондоо нийцэхгүй бөгөөд бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг бөгөөд ийм үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.
Жишээ 3.
Үзүүр шидэх үед 2 эсвэл 3 оноо авах магадлалыг ол.
Шийдэл:
Үйл явдал А - 2-ын тоо эргэлдэж, энэ үйл явдлын магадлал P(A)= . Үйл явдал IN- 3 дугаар эргэлдэж, энэ үйл явдлын магадлал P(B) = . Тиймээс үйл явдлууд хоорондоо нийцэхгүй байна
Жишээ 4.
Багц 40 хувцас ирсэн. Үүнээс 20 багц эрэгтэй хувцас, 6 - эмэгтэй, 14 - хүүхдийн. Санамсаргүй байдлаар авсан хувцас нь эмэгтэй хүнийх биш байх магадлалыг ол.
Шийдэл:
Үйл явдал А- эрэгтэй хувцас, магадлал 
Үйл явдал IN- эмэгтэйчүүдийн хувцас, 
Магадлалүйл явдлыг эерэг үр дүнгийн тооны харьцаа гэж нэрлэдэг энэ үйл явдал, энэ үйл явдал тохиолдож болох туршлагын адил боломжтой бүх үр дүнгийн тоогоор. А үйл явдлын магадлалыг P(A) гэж тэмдэглэв (энд P нь эхний үсэг юм Франц үг probabilite - магадлал). Тодорхойлолтын дагуу
(1.2.1)
А үйл явдалд таатай анхан шатны үр дүнгийн тоо хаана байна; - үйл явдлын иж бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг туршилтын адил боломжтой бүх энгийн үр дүнгийн тоо.
Магадлалын энэ тодорхойлолтыг сонгодог гэж нэрлэдэг. Энэ нь үүссэн эхний шатмагадлалын онолыг хөгжүүлэх.
Үйл явдлын магадлал нь дараахь шинж чанартай байдаг.
1. Магадлал найдвартай үйл явдалнэгтэй тэнцүү. Найдвартай үйл явдлыг үсгээр тэмдэглэе. Тиймээс тодорхой үйл явдлын хувьд
(1.2.2)
2. Боломжгүй үйл явдлын магадлал 0 байна. Боломжгүй үйл явдлыг үсгээр тэмдэглэе. Тиймээс боломжгүй үйл явдлын хувьд
(1.2.3)
3. Магадлал санамсаргүй үйл явдалилэрхийлэгддэг эерэг тоо, нэгээс бага. Санамсаргүй тохиолдлын хувьд , эсвэл , тэгш бус байдал хангагдсан тул
(1.2.4)
4. Аливаа үйл явдлын магадлал нь тэгш бус байдлыг хангадаг
(1.2.5)
Энэ нь (1.2.2) - (1.2.4) харилцаанаас үүсдэг.
Жишээ 1.Нэг саванд ижил хэмжээтэй, жинтэй 10 бөмбөг байх ба үүнээс 4 нь улаан, 6 нь цэнхэр өнгөтэй байна. Нэг бөмбөгийг савнаас гаргаж авдаг. Тассан бөмбөг цэнхэр өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл. Бид "зурсан бөмбөг цэнхэр болсон" үйл явдлыг А үсгээр тэмдэглэж байна. Энэ тест нь адил боломжтой 10 энгийн үр дүнтэй бөгөөд үүнээс 6 нь А үйл явдалд таатай байна. (1.2.1) томъёоны дагуу бид олж авна. 
Жишээ 2. 1-ээс 30 хүртэлх бүх натурал тоог ижил картууд дээр бичиж, саванд хийнэ. Картуудыг сайтар хольсны дараа нэг картыг савнаас гаргаж авдаг. Авсан карт дээрх тоо 5-ын үржвэр байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл.“Авсан карт дээрх тоо 5-ын үржвэр” гэсэн үйл явдлыг А-аар тэмдэглэе. Энэ тестэнд 30 ижил боломжтой энгийн үр дүн байгаа бөгөөд үүнээс 6 үр дүн (5, 10, 15, 20, 25, 30 тоо) А үйл явдлыг илүүд үздэг. Тиймээс, 
Жишээ 3.Хоёр шоо шидэж, нийт оноог тооцдог. дээд нүүрүүд. Шооны дээд тал нь нийт 9 оноотой байх В үйл явдлын магадлалыг ол.
Шийдэл.Энэ тестэнд зөвхөн 6 2 = 36 адил боломжтой энгийн үр дүн байдаг. (3;6), (4;5), (5;4), (6;3) гэсэн 4 үр дүн нь В үйл явдалд таатай байна. 
Жишээ 4. Санамсаргүй байдлаар сонгосон натурал тоо, 10-аас ихгүй байна. Энэ тоо анхны байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл."Сонгосон тоо анхны" үйл явдлыг С үсгээр тэмдэглэе. IN энэ тохиолдолд n = 10, м = 4 ( анхны тоонууд 2, 3, 5, 7). Тиймээс шаардлагатай магадлал 
Жишээ 5.Хоёр тэгш хэмтэй зоос шиддэг. Хоёр зоосны дээд талд тоо байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл.“Зоос бүрийн дээд талд тоо байгаа” үйл явдлыг D үсгээр тэмдэглэе. Энэ тестэнд 4 адил боломжтой энгийн үр дүн байдаг: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Тэмдэглэгээ (G, C) нь эхний зоос нь төрийн сүлдтэй, хоёр дахь нь дугаартай гэсэн үг юм). D үйл явдлыг нэг үндсэн үр дүн (C, C) илүүд үздэг. m = 1, n = 4 тул 
Жишээ 6.Санамсаргүй байдлаар сонгосон хоёр оронтой тоо ижил цифртэй байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл. Хоёр оронтой тоо 10-аас 99 хүртэлх тоонууд; Нийт 90 ийм тоо байдаг 9 тоо нь ижил оронтой (эдгээр нь 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Энэ тохиолдолд m = 9, n = 90, тэгвэл 
,
Энд А нь "ижил оронтой тоо" үйл явдал юм.
Жишээ 7.Үгийн үсгүүдээс дифференциалНэг үсэг санамсаргүй байдлаар сонгогддог. Энэ үсэг нь: а) эгшиг, б) гийгүүлэгч, в) үсэг байх магадлал хэд вэ? h?
Шийдэл. Дифференциал гэдэг үг нь 12 үсэгтэй ба үүнээс 5 нь эгшиг, 7 нь гийгүүлэгч. Захидал hэнэ үгэнд байхгүй. Үйл явдлыг тэмдэглэе: A - "эгшиг үсэг", B - "гийгүүлэгч үсэг", C - "үсэг" h". Тааламжтай энгийн үр дүнгийн тоо: - А үйл явдлын хувьд, - В үйл явдлын хувьд, - С үйл явдлын хувьд. n = 12 тул
, Мөн .
Жишээ 8.Хоёр шоо шидэж, шоо бүрийн дээд талд байгаа онооны тоог тэмдэглэнэ. Хоёулаа шоо өнхрүүлэх магадлалыг ол ижил тоооноо.
Шийдэл.Энэ үйл явдлыг А үсгээр тэмдэглэе. А үйл явдал 6 үндсэн үр дүнгээр давуу тал болно: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6). ;6). Бүтэн үйл явдлын бүлгийг бүрдүүлдэг адил боломжтой энгийн үр дүнгийн нийт тоо, энэ тохиолдолд n=6 2 =36. Энэ нь шаардлагатай магадлал гэсэн үг юм 
Жишээ 9.Уг ном 300 хуудастай. Санамсаргүй байдлаар нээгдсэн хуудас байх магадлал хэд вэ серийн дугаар, 5-ын олон?
Шийдэл.Асуудлын нөхцлөөс харахад үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг ижил тэгш боломжтой бүх энгийн үр дүн нь n = 300 байх болно. Эдгээрээс m = 60 нь заасан үйл явдал тохиолдохыг дэмждэг. Үнэн хэрэгтээ 5-ын үржвэр тоо нь 5k хэлбэртэй байх ба энд k нь натурал тоо, эндээс . 
. Тиймээс, 
, энд A - "хуудас" үйл явдал нь 5"-ын үржвэрийн дарааллын дугаартай байна.
Жишээ 10. Хоёр шоо шидэж, дээд талын нүүрэн дээрх онооны нийлбэрийг тооцоолно. Нийт 7 эсвэл 8 авах магадлал юу вэ?
Шийдэл. Үйл явдлыг тэмдэглэе: A - "7 оноо өнхрүүлэв", B - "8 оноо өнхрүүлэв". (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), (6; 1) гэсэн 6 үндсэн үр дүн нь А үйл явдалд давуу тал болно. 5 үр дүнгээр: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Бүх адил боломжтой энгийн үр дүн нь n = 6 2 = 36. Энэ нь гэсэн үг Мөн .
Тэгэхээр P(A)>P(B), өөрөөр хэлбэл нийт 7 оноо авах нь нийт 8 оноо авахаас илүү магадлалтай үйл явдал юм.
Даалгаврууд
1. 30-аас ихгүй натурал тоог санамсаргүй байдлаар сонгосон бөгөөд энэ тоо 3-ын үржвэр байх магадлал хэд вэ?
2. Уурхайн саванд аулаан ба бхэмжээ, жин нь ижил цэнхэр бөмбөг. Энэ савнаас санамсаргүй байдлаар гаргасан бөмбөг цэнхэр өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?
3. 30-аас ихгүй тоог санамсаргүй байдлаар сонгосон.Энэ тоо 30-д хуваагч байх магадлал хэд вэ?
4. Уурхайн саванд Ацэнхэр ба бхэмжээ, жингийн хувьд ижил улаан бөмбөг. Энэ савнаас нэг бөмбөгийг аваад хажуу тийш нь тавина. Энэ бөмбөг улаан өнгөтэй болсон. Үүний дараа савнаас өөр бөмбөг гаргана. Хоёр дахь бөмбөг бас улаан байх магадлалыг ол.
5. 50-аас хэтрэхгүй улсын тоог санамсаргүй байдлаар сонгосон.Энэ тоо анхны байх магадлал хэд вэ?
6. Гурван шоо шидэж, дээд талын нүүрэн дээрх онооны нийлбэрийг тооцоолно. Нийт 9 эсвэл 10 оноо авах магадлал илүү юу вэ?
7. Гурван шоо шидэж, өнхрүүлсэн онооны нийлбэрийг гаргана. Нийт 11 (А үйл явдал) эсвэл 12 оноо (B үйл явдал) авах магадлал нь юу вэ?
Хариултууд
1. 1/3. 2 . б/(а+б). 3 . 0,2. 4 . (б-1)/(а+б-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - нийт 9 оноо авах магадлал; p 2 = 27/216 - нийт 10 оноо авах магадлал; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Асуултууд
1. Үйл явдлын магадлалыг юу гэж нэрлэдэг вэ?
2. Найдвартай үйл явдлын магадлал хэд вэ?
3. Боломжгүй үйл явдлын магадлал хэд вэ?
4. Санамсаргүй тохиолдлын магадлалын хязгаар нь юу вэ?
5. Аливаа үйл явдлын магадлалын хязгаар нь юу вэ?
6. Магадлалын ямар тодорхойлолтыг сонгодог гэж нэрлэдэг вэ?
Нарийн төвөгтэй үйл явдлын магадлалыг тооцоолох
6 нь цагаан, 4 нь хар гэсэн арван бөмбөлөгтэй сав байг. Дараа нь дараах үйл явдлууд боломжтой.
А - гаргах цагаан бөмбөгсавнаас
Б – савнаас хар бөмбөгийг гарга
А үйл явдал нь А 1, А 2, А 3, А 4, А 5, А 6 үйл явдлуудаас бүрдэнэ. В үйл явдал нь B 1, B 2, B 3, B 4 үйл явдлуудаас бүрдэнэ. Дараа нь саванд байгаа цагаан бөмбөлөгний эзлэх хувь нь харьцаагаар тодорхойлогддог бөгөөд хар бөмбөгний хувь нь .
Тодорхойлолт: А үйл явдлын магадлалыг нэрлэнэ. тоо, харьцаатай тэнцүү байнаА үйл явдал тохиолдоход таатай үр дүнгийн тоо m бүх үндсэн үр дүнгийн нийт тоо n.
- томъёо сонгодог аргамагадлалыг тооцоолох
Санамсаргүй тохиолдлын магадлал нь тэгээс нэг хүртэлх тоо юм
Тодорхойлолт: Пермутаци нь бүгдээс бүрдсэн хослолууд юм nөгөгдсөн олонлогийн элементүүд бөгөөд зөвхөн тэдгээрийн зохион байгуулалтын дарааллаар ялгаатай. Бүх боломжит сэлгэлтийн тоо
R p = p!
Тодорхойлолт: Байршлуулалт - хослолууд Т n янз бүрийн элементүүд, элементүүдийн найрлага эсвэл тэдгээрийн дарааллаар ялгаатай. Бүх тоо боломжит байршуулалт
Тодорхойлолт: Хослолууд нь дараалалгүй олонлогууд юм Тагуулсан олонлогийн элементүүд nөөр өөр элементүүд (өөрөөр хэлбэл зөвхөн элементүүдийн найрлагад ялгаатай багцууд). Хослолын тоо
Жишээ 1.Сонгон шалгаруулалтад 10 хүн оролцож байгаагаас гурав нь финалд шалгарсан. Хэдэн өөр гурван эцсийн оролцогч байж болох вэ?
Шийдэл. Өмнөх жишээнээс ялгаатай нь финалд шалгарсан хүмүүсийн дараалал энд чухал биш тул бид 10-аас 3 хүртэлх хослолын тоог хайж байна.
Жишээ 2.Нэг саванд 10 бөмбөг байна: 6 цагаан, 4 хар. Үүнээс хоёр бөмбөг гаргаж авдаг. Магадлал хэд вэ: a) 2 цагаан; б) 2 хар; в) 1 цагаан, 1 хар
Шийдэл:
A)А – 2 цагаан бөмбөлөг зураасай. Бүх энгийн үр дүнгийн нийт тоог олъё n.
б) B – 2 хар бөмбөлөг зурсан байна
V) C – 1 цагаан, 1 хар бөмбөлөг зураасай
-> Магадлалын онол. Санамсаргүй үйл явдал, түүний давтамж, магадлал
Санамсаргүй үйл явдал, түүний давтамж, магадлал
