Povprečna raven

Pravokotni trikotnik. Popolni ilustrirani vodnik (2019)

PRAVOKOTNI TRIKOTNIK. PRVA STOPNJA.

Pri težavah pravi kot sploh ni potreben - spodnji levi, zato se morate naučiti prepoznati pravokotni trikotnik v tej obliki,

in v tem

in v tem

Kaj je dobrega pri pravokotnem trikotniku? No ... najprej so posebni lepa imena za njegove strani.

Pozor na risbo!

Zapomnite si in ne zamenjujte: sta dva kraka in samo ena hipotenuza(ena in edina, edinstvena in najdaljša)!

No, razpravljali smo o imenih, zdaj pa najpomembnejša stvar: Pitagorov izrek.

Pitagorov izrek.

Ta izrek je ključ do rešitve mnogih problemov, ki vključujejo pravokotni trikotnik. Pitagora je to popolnoma dokazal od nekdaj, in od takrat je prinesla veliko koristi tistim, ki jo poznajo. In najboljše pri tem je, da je preprosto.

Torej, Pitagorov izrek:

Se spomnite šale: "Pitagorejske hlače so enake na vseh straneh!"?

Narišimo te iste Pitagorejske hlače in poglejmo jih.

Ali ne izgleda kot nekakšne kratke hlače? No, na katerih straneh in kje so enakopravni? Zakaj in od kod šala? In ta šala je povezana prav s Pitagorovim izrekom, natančneje z načinom, kako je Pitagora sam formuliral svoj izrek. In to je formuliral takole:

"Vsota površine kvadratov, zgrajen na nogah, je enak kvadratna površina, zgrajen na hipotenuzi."

Se res sliši malo drugače? In tako, ko je Pitagora narisal izjavo svojega izreka, je nastala natanko taka slika.

Na tej sliki je vsota ploščin majhnih kvadratov enaka ploščini velikega kvadrata. In da si bodo otroci bolje zapomnili, da je vsota kvadratov katet enaka kvadratu hipotenuze, se je nekdo duhovit domislil te šale o Pitagorovih hlačah.

Zakaj zdaj oblikujemo Pitagorov izrek?

Ali je Pitagora trpel in govoril o kvadratih?

Vidite, v starih časih ni bilo ... algebre! Nobenih znakov ni bilo in tako naprej. Napisov ni bilo. Si lahko predstavljate, kako grozno je bilo ubogim starodobnikom, da so se vsega spominjali z besedami??! In lahko smo veseli, da imamo preprosto besedilo Pitagorov izrek. Ponovimo še enkrat, da si bolje zapomnimo:

Zdaj bi moralo biti enostavno:

No, tukaj je, najbolj glavni izrek razpravljali o pravokotnem trikotniku. Če vas zanima, kako se dokazuje, si preberite naslednje nivoje teorije, zdaj pa gremo naprej ... na temen gozd... trigonometrija! Na strašne besede sinus, kosinus, tangens in kotangens.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku.

Pravzaprav vse sploh ni tako strašljivo. Seveda je treba v članku pogledati "pravo" definicijo sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Ampak res nočem, kajne? Lahko se veselimo: če želite rešiti probleme o pravokotnem trikotniku, lahko preprosto izpolnite naslednje preproste stvari:

Zakaj je vse tik pred vogalom? Kje je kotiček? Da bi to razumeli, morate vedeti, kako so izjave od 1 do 4 zapisane z besedami. Poglejte, razumejte in zapomnite si!

1.
Pravzaprav zveni takole:

Kaj pa kot? Ali obstaja krak, ki je nasproti kotu, torej nasprotni (za kot) krak? Seveda imajo! To je noga!

Kaj pa kot? Pazljivo poglejte. Kateri krak meji na kot? Seveda, noga. To pomeni, da je za kot krak sosednji in

Zdaj pa bodite pozorni! Poglejte, kaj imamo:

Poglejte, kako kul je:

Zdaj pa preidimo na tangento in kotangens.

Kako naj zdaj to zapišem z besedami? Kakšen je krak glede na kot? Nasproti, seveda - "leži" nasproti vogala. Kaj pa noga? V bližini vogala. Torej, kaj imamo?

Vidite, kako sta števec in imenovalec zamenjala mesti?

In zdaj spet vogali in naredili izmenjavo:

Povzetek

Na kratko zapišimo vse, kar smo se naučili.

Pitagorov izrek:

Glavni izrek o pravokotnem trikotniku je Pitagorov izrek.

Pitagorov izrek

Mimogrede, se dobro spomnite, kaj so noge in hipotenuza? Če ni zelo dobro, potem si oglejte sliko - osvežite svoje znanje

Povsem možno je, da ste že večkrat uporabili Pitagorov izrek, a ste se kdaj vprašali, zakaj takšen izrek drži? Kako lahko to dokažem? Naredimo kot stari Grki. Narišimo kvadrat s stranico.

Poglejte, kako spretno smo njegove stranice razdelili na dolžine in!

Sedaj povežimo označene točke

Tu pa smo opazili še nekaj, sami pa poglejte risbo in pomislite, zakaj je tako.

Kolikšna je površina večjega kvadrata? Prav, . Kaj pa manjša površina? Vsekakor,. Skupna površina štirih vogalov ostaja. Predstavljajte si, da ju vzamemo po dve naenkrat in ju s hipotenuzama prislonimo enega na drugega. Kaj se je zgodilo? Dva pravokotnika. To pomeni, da je površina "rezov" enaka.

Sestavimo vse skupaj.

Preobrazimo:

Tako smo obiskali Pitagoro – njegov izrek smo dokazali na starodaven način.

Pravokotni trikotnik in trigonometrija

Za pravokotni trikotnik veljajo razmerja:

Sinus ostrega kota enako razmerju nasprotna noga na hipotenuzo

Kosinus ostrega kota je enak razmerju med sosednjim krakom in hipotenuzo.

Tangens ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.

Kotangens ostrega kota je enak razmerju med sosednjo in nasprotno stranico.

In še enkrat vse to v obliki tablete:

Zelo je udobno!

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov

I. Na dveh straneh

II. Po nogi in hipotenuzi

III. S hipotenuzo in oster kot

IV. Ob kraku in ostrem kotu

a)

b)

Pozor! Pri tem je zelo pomembno, da so noge »primerne«. Na primer, če gre takole:

POTEM TRIKOTNIKI NISO ENAKI, kljub dejstvu, da imata enak oster kot.

Moram v obeh trikotnikih je bil krak sosednji ali pa v obeh nasproti.

Ali ste opazili, kako se znaki enakosti pravokotnih trikotnikov razlikujejo od običajnih znakov enakosti trikotnikov? Oglejte si temo “in bodite pozorni na dejstvo, da morajo biti za enakost “navadnih” trikotnikov enaki trije njihovi elementi: dve strani in kot med njima, dva kota in stranica med njima ali tri stranice. Toda za enakost pravokotnih trikotnikov sta dovolj le dva ustrezna elementa. Super, kajne?

Približno enako je z znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov.

Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov

I. Vzdolž ostrega kota

II. Na dveh straneh

III. Po nogi in hipotenuzi

Mediana v pravokotnem trikotniku

Zakaj je temu tako?

Namesto pravokotnega trikotnika razmislite o celem pravokotniku.

Narišimo diagonalo in upoštevajmo točko – presečišče diagonal. Kaj veš o diagonalah pravokotnika?

In kaj iz tega sledi?

Tako se je izkazalo, da

1. - mediana:

Zapomni si to dejstvo! Zelo pomaga!

Še bolj presenetljivo pa je, da velja tudi nasprotno.

Kaj lahko koristimo iz dejstva, da je mediana, potegnjena hipotenuzi, enaka polovici hipotenuze? Poglejmo sliko

Pazljivo poglejte. Imamo: , to je, da so se razdalje od točke do vseh treh oglišč trikotnika izkazale za enake. Toda v trikotniku je samo ena točka, od katere so oddaljenosti od vseh treh oglišč trikotnika enake, in to je SREDIŠČE KROGA. Torej kaj se je zgodilo?

Pa začnimo s tem “poleg ...”.

Poglejmo in.

Ampak podobni trikotniki vsi koti so enaki!

Enako lahko rečemo za in

Zdaj pa ga narišimo skupaj:

Kakšno korist lahko izvlečemo iz te »trojne« podobnosti?

No, na primer - dve formuli za višino pravokotnega trikotnika.

Zapišimo razmerja korespondentnih strank:

Da bi našli višino, rešimo delež in dobimo prva formula "Višina v pravokotnem trikotniku":

Torej, uporabimo podobnost: .

Kaj bo zdaj?

Spet rešimo delež in dobimo drugo formulo:

Obe formuli si morate dobro zapomniti in uporabiti tisto, ki je bolj priročna. Zapišimo jih še enkrat

Pitagorov izrek:

V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet: .

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov:

• na dveh straneh:
• po kateti in hipotenuzi: oz
• vzdolž kraka in prilegajočega ostrega kota: oz
• vzdolž kraka in nasprotnega ostrega kota: oz
• s hipotenuzo in ostrim kotom: oz.

Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov:

• en oster vogal: oz
• iz sorazmernosti dveh nog:
• iz sorazmernosti katete in hipotenuze: oz.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku

• Sinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo:
• Kosinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo:
• Tangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo:
• Kotangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjo in nasprotno stranico: .

Višina pravokotnega trikotnika: oz.

V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena iz oglišča pravi kot, je enako polovici hipotenuze: .

Območje pravokotnega trikotnika:

• preko nog:

(ABC) in njegove lastnosti, kar je prikazano na sliki. Pravokotni trikotnik ima hipotenuzo - stran, ki leži nasproti pravega kota.

Nasvet 1: Kako najti višino pravokotnega trikotnika

Stranice, ki tvorijo pravi kot, se imenujejo kraki. Slika prikazuje stranice AD, DC in BD, DC- noge in stranice AC in SV- hipotenuza.

Izrek 1. V pravokotnem trikotniku s kotom 30° bo krak, ki je nasproten temu kotu, prekinil polovico hipotenuze.

hC

AB- hipotenuza;

AD in DВ

Trikotnik
Obstaja izrek:
sistem komentarjev CACKLE

Rešitev: 1) Diagonali katerega koli pravokotnika sta enaki. 2) Če ima trikotnik en oster kot, potem je ta trikotnik oster. Ni res. Vrste trikotnikov. Trikotnik se imenuje oster, če so vsi trije njegovi koti ostri, to je manjši od 90° 3) Če točka leži na.

Ali pa v drugem vnosu

Po Pitagorovem izreku

Kakšna je formula za višino pravokotnega trikotnika?

Višina pravokotnega trikotnika

Višino pravokotnega trikotnika, narisano na hipotenuzo, lahko najdemo na tak ali drugačen način, odvisno od podatkov v nalogi naloge.

Ali pa v drugem vnosu

Kjer sta BK in KC projekciji krakov na hipotenuzo (odseki, na katere višina deli hipotenuzo).

Višino do hipotenuze je mogoče najti skozi območje pravokotnega trikotnika. Če uporabimo formulo za iskanje površine trikotnika

(polovica zmnožka stranice in na to stran narisane višine) na hipotenuzo in na hipotenuzo narisano višino dobimo:

Od tu lahko najdemo višino kot razmerje med dvakratno površino trikotnika in dolžino hipotenuze:

Ker je površina pravokotnega trikotnika enaka polovici produkta nog:

To pomeni, da je dolžina višine, potegnjena na hipotenuzo, enaka razmerju produkta nog in hipotenuze. Če dolžini katet označimo z a in b, dolžino hipotenuze s c, lahko formulo prepišemo kot

Ker je polmer kroga, opisanega okoli pravokotnega trikotnika enaka polovici hipotenuzo lahko dolžino višine izrazimo s katetami in polmerom opisanega kroga:

Ker višina, potegnjena na hipotenuzo, tvori še dva pravokotna trikotnika, lahko njeno dolžino najdemo preko relacij v pravokotnem trikotniku.

Iz pravokotnega trikotnika ABK

Iz pravokotnega trikotnika ACK

Dolžino višine pravokotnega trikotnika lahko izrazimo z dolžinami krakov. Ker

Po Pitagorovem izreku

Če kvadriramo obe strani enačbe:

Lahko dobite drugo formulo za povezavo višine pravokotnega trikotnika z njegovimi kraki:

Kakšna je formula za višino pravokotnega trikotnika?

Pravokotni trikotnik. Povprečna raven.

Ali želite preizkusiti svojo moč in ugotoviti, kako pripravljeni ste na enotni državni izpit ali enotni državni izpit?

Glavni izrek o pravokotnem trikotniku je Pitagorov izrek.

Pitagorov izrek

Mimogrede, se dobro spomnite, kaj so noge in hipotenuza? Če ni zelo dobro, potem si oglejte sliko - osvežite svoje znanje

Povsem možno je, da ste že večkrat uporabili Pitagorov izrek, a ste se kdaj vprašali, zakaj takšen izrek drži? Kako lahko to dokažem? Naredimo kot stari Grki. Narišimo kvadrat s stranico.

Poglejte, kako spretno smo njegove stranice razdelili na dolžine in!

Sedaj povežimo označene točke

Tu pa smo opazili še nekaj, sami pa poglejte risbo in pomislite, zakaj je tako.

Kolikšna je površina večjega kvadrata? Prav, . Kaj pa manjša površina? Vsekakor,. Skupna površina štirih vogalov ostaja. Predstavljajte si, da ju vzamemo po dve naenkrat in ju s hipotenuzama prislonimo enega na drugega. Kaj se je zgodilo? Dva pravokotnika. To pomeni, da je površina "rezov" enaka.

Sestavimo vse skupaj.

Tako smo obiskali Pitagoro – njegov izrek smo dokazali na starodaven način.

Pravokotni trikotnik in trigonometrija

Za pravokotni trikotnik veljajo razmerja:

Sinus ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranico in hipotenuzo

Kosinus ostrega kota je enak razmerju med sosednjim krakom in hipotenuzo.

Tangens ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.

Kotangens ostrega kota je enak razmerju med sosednjo in nasprotno stranico.

In še enkrat vse to v obliki tablete:

Ste opazili eno zelo priročno stvar? Pazljivo si oglejte znak.

Zelo je udobno!

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov

II. Po nogi in hipotenuzi

III. S hipotenuzo in ostrim kotom

IV. Ob kraku in ostrem kotu

Pozor! Pri tem je zelo pomembno, da so noge »primerne«. Na primer, če gre takole:

POTEM TRIKOTNIKI NISO ENAKI, kljub dejstvu, da imata enak oster kot.

Moram V obeh trikotnikih je bil krak sosednji ali pa v obeh nasproti.

Ste opazili, kako se znaki enakosti pravokotnih trikotnikov razlikujejo od običajnih znakov enakosti trikotnikov? Oglejte si temo "Trikotnik" in bodite pozorni na dejstvo, da morajo biti za enakost "navadnih" trikotnikov enaki trije njihovi elementi: dve stranici in kot med njima, dva kota in stranica med njima ali trije straneh. Toda za enakost pravokotnih trikotnikov sta dovolj le dva ustrezna elementa. Super, kajne?

Približno enako je z znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov.

Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov

III. Po nogi in hipotenuzi

Mediana v pravokotnem trikotniku

Namesto pravokotnega trikotnika razmislite o celem pravokotniku.

Narišimo diagonalo in razmislimo o točki, v kateri se diagonali sekata. Kaj veš o diagonalah pravokotnika?

Presečišče diagonal je razdeljeno na pol.

In kaj iz tega sledi?

Tako se je izkazalo, da

Zapomni si to dejstvo! Zelo pomaga!

Še bolj presenetljivo pa je, da velja tudi nasprotno.

Kaj lahko koristimo iz dejstva, da je mediana, potegnjena hipotenuzi, enaka polovici hipotenuze? Poglejmo sliko

Pazljivo poglejte. Imamo: , to je, da so se razdalje od točke do vseh treh oglišč trikotnika izkazale za enake. Toda v trikotniku je samo ena točka, od katere so oddaljenosti od vseh treh oglišč trikotnika enake, in to je SREDIŠČE KROGA. Torej kaj se je zgodilo?

Začnimo s tem "poleg". "

Toda vsi podobni trikotniki imajo enake kote!

Enako lahko rečemo za in

Zdaj pa ga narišimo skupaj:

Imajo enake ostre kote!

Kakšno korist lahko izvlečemo iz te »trojne« podobnosti?

No, na primer - Dve formuli za višino pravokotnega trikotnika.

Zapišimo razmerja korespondentnih strank:

Da bi našli višino, rešimo delež in dobimo Prva formula "Višina v pravokotnem trikotniku":

Kako do drugega?

Zdaj pa uporabimo podobnost trikotnikov in.

Torej, uporabimo podobnost: .

Kaj bo zdaj?

Spet rešimo delež in dobimo drugo formulo "Višina v pravokotnem trikotniku":

Obe formuli si morate dobro zapomniti in uporabiti tisto, ki je bolj priročna. Zapišimo jih še enkrat

No, zdaj pa boste z uporabo in združevanjem tega znanja z drugimi rešili vsako težavo s pravokotnim trikotnikom!

Komentarji

Razširjanje materialov brez odobritve je dovoljeno, če obstaja povezava dofollow do izvorne strani.

Politika zasebnosti

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

Ko na spletnem mestu oddate zahtevo, lahko zbiramo razne informacije, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

Zbrano pri nas osebne informacije omogoča, da vas kontaktiramo in vas obveščamo o edinstvenih ponudbah, akcijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih. Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil. Osebne podatke lahko uporabimo tudi za interne namene, kot so revizija, analiza podatkov in razne študije da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.

Lastnost višine pravokotnega trikotnika, padle na hipotenuzo

Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene. V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Hvala za sporočilo!

Vaš komentar je bil sprejet in po moderiranju bo objavljen na tej strani.

Ali želite izvedeti, kaj se skriva pod rezom, in prejeti ekskluzivna gradiva o pripravi na enotni državni izpit in enotni državni izpit? Pusti svoj email

Lastnosti pravokotnega trikotnika

Razmislite o pravokotnem trikotniku (ABC) in njegove lastnosti, kar je prikazano na sliki. Pravokotni trikotnik ima hipotenuzo - stran, ki leži nasproti pravega kota. Stranice, ki tvorijo pravi kot, se imenujejo kraki. Slika prikazuje stranice AD, DC in BD, DC- noge in stranice AC in SV- hipotenuza.

Znaki enakosti pravokotnega trikotnika:

Izrek 1. Če sta hipotenuza in krak pravokotnega trikotnika podobna hipotenuzi in kraku drugega trikotnika, sta takšna trikotnika skladna.

Izrek 2. Če sta dva kraka pravokotnega trikotnika enaka dvema krakoma drugega trikotnika, sta takšna trikotnika skladna.

Izrek 3. Če sta hipotenuza in ostri kot pravokotnega trikotnika podobna hipotenuzi in ostremu kotu drugega trikotnika, sta takšna trikotnika skladna.

Izrek 4. Če sta krak in sosednji (nasprotni) ostri kot pravokotnega trikotnika enaka kraku in sosednjem (nasprotnem) ostrem kotu drugega trikotnika, sta takšna trikotnika skladna.

Lastnosti kraka nasproti kota 30°:

1. izrek.

Višina v pravokotnem trikotniku

V pravokotnem trikotniku s kotom 30° bo krak nasproti tega kota prekinil polovico hipotenuze.

Izrek 2. Če je v pravokotnem trikotniku krak enak polovici hipotenuze, potem je nasprotni kot 30°.

Če iz oglišča pravega kota na hipotenuzo potegnemo višino, potem tak trikotnik razdelimo na dva manjša, podobna izhodnemu in podobna drug drugemu. Iz tega sledijo naslednji sklepi:

1. Višina je geometrična sredina (proporcionalna sredina) dveh segmentov hipotenuze.
2. Vsak krak trikotnika je povprečje, sorazmerno s hipotenuzo in sosednjimi segmenti.

V pravokotnem trikotniku kraki delujejo kot nadmorske višine. Ortocenter je točka, v kateri je presečišče višin trikotnika. Sovpada z vrhom pravega kota figure.

hC- višina, ki izhaja iz pravega kota trikotnika;

AB- hipotenuza;

AD in DВ- segmenti, ki nastanejo pri delitvi hipotenuze po višini.

Nazaj na ogled informacij o disciplini "Geometrija"

Trikotnik- To geometrijski lik, sestavljen iz treh točk (oglišč), ki niso na isti ravni črti, in treh segmentov, ki povezujejo te točke. Pravokotni trikotnik je trikotnik, ki ima enega od kotov 90° (pravi kot).
Obstaja izrek: vsota ostrih kotov pravokotnega trikotnika je 90°.
sistem komentarjev CACKLE

Ključne besede: trikotnik, pravi kot, krak, hipotenuza, Pitagorov izrek, krog

Trikotnik se imenuje pravokotneče ima pravi kot.
Pravokotni trikotnik ima dve medsebojni pravokotne stranice, poklical noge; njena tretja stran se imenuje hipotenuza.

• Glede na lastnosti navpičnice in poševnice je hipotenuza daljša od vsakega od krakov (vendar manjša od njune vsote).
• Vsota dveh ostrih kotov pravokotnega trikotnika je enaka pravemu kotu.
• Dve višini pravokotnega trikotnika sovpadata z njegovimi kraki. Torej eden od štirih čudovite točke zadene oglišča pravega kota trikotnika.
• Središče kroga pravokotnega trikotnika leži na sredini hipotenuze.
• Mediana pravokotnega trikotnika, ki je potegnjena iz oglišča pravega kota na hipotenuzo, je polmer krožnice, ki je opisana okoli tega trikotnika.

Razmislite o poljubnem pravokotniku trikotnik ABC in iz oglišča C njegovega pravega kota nariši višino CD = hc.

Dani trikotnik bo razdelil na dva pravokotna trikotnika ACD in BCD; vsak od teh trikotnikov ima s trikotnikom ABC skupni ostri kot in je torej podoben trikotniku ABC.

Vsi trije trikotniki ABC, ACD in BCD so si med seboj podobni.

Iz podobnosti trikotnikov so določene naslednje relacije:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Pitagorov izrek eden temeljnih izrekov evklidske geometrije, ki določa razmerje med stranicami pravokotnega trikotnika.

Geometrijska formulacija. V pravokotnem trikotniku je površina kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi, enaka vsoti površin kvadratov, zgrajenih na nogah.

Algebraična formulacija. V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet.
To pomeni, da dolžino hipotenuze trikotnika označimo s c, dolžine katet pa z a in b:
a2 + b2 = c2

Obratni Pitagorov izrek.

Višina pravokotnega trikotnika

Za vsake tri pozitivna števila a, b in c, tako da
a2 + b2 = c2,
Obstaja pravokotni trikotnik s katetama a in b ter hipotenuzo c.

Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov:

• vzdolž noge in hipotenuze;
• na dveh nogah;
• vzdolž noge in ostrega kota;
• vzdolž hipotenuze in ostrega kota.

Poglej tudi:
Območje trikotnika, Enakokraki trikotnik, Enakostranični trikotnik

Geometrija. 8 Razred. Test 4. Možnost 1 .

AD : CD = CD : B.D. Zato je CD2 = AD ∙ B.D. Pravijo:

AD : AC = AC : AB. Zato je AC2 = AB ∙ A.D. Pravijo:

BD : BC = BC : AB. Zato je BC2 = AB ∙ B.D.

Reši probleme:

1.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Višina pravokotnega trikotnika, narisana na hipotenuzo, deli hipotenuzo na segmenta 9 in 36.

Določite dolžino te višine.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7.

8. Krat pravokotnega trikotnika je 30.

Kako najti višino v pravokotnem trikotniku?

Poiščite razdaljo od vrha pravega kota do hipotenuze, če je polmer krožnice, ki je opisana okoli tega trikotnika, 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Preverite odgovore!

G8.04.1. Proporcionalni odseki v pravokotnem trikotniku

Geometrija. 8 Razred. Test 4. Možnost 1 .

V Δ ABC ∠ACV = 90°. Kateta AC in BC, hipotenuza AB.

CD je višina trikotnika na hipotenuzo.

AD projekcija kraka AC na hipotenuzo,

BD projekcija kraka BC na hipotenuzo.

Nadmorska višina CD razdeli trikotnik ABC na dva njemu podobna (in drug drugemu) trikotnika: Δ ADC in Δ CDB.

Iz sorazmernosti strani podobnih Δ ADC in Δ CDB sledi:

AD : CD = CD : B.D.

Lastnost višine pravokotnega trikotnika, padle na hipotenuzo.

Zato je CD2 = AD ∙ B.D. Pravijo: višina pravokotnega trikotnika na hipotenuzo,obstaja povprečje proporcionalna vrednost med projekcijama katet na hipotenuzo.

Iz podobnosti Δ ADC in Δ ACB sledi:

AD : AC = AC : AB. Zato je AC2 = AB ∙ A.D. Pravijo: vsak krak je povprečna sorazmerna vrednost med celotno hipotenuzo in projekcijo tega kraka na hipotenuzo.

Podobno iz podobnosti Δ CDB in Δ ACB sledi:

BD : BC = BC : AB. Zato je BC2 = AB ∙ B.D.

Reši probleme:

1. Poiščite višino pravokotnega trikotnika, narisanega na hipotenuzo, če ta deli hipotenuzo na odseka 25 cm in 81 cm.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Višina pravokotnega trikotnika, narisana na hipotenuzo, deli hipotenuzo na segmenta 9 in 36. Določite dolžino te višine.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Višina pravokotnega trikotnika, potegnjena na hipotenuzo, je 22, projekcija enega od krakov je 16. Poiščite projekcijo drugega kraka.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Krak pravokotnega trikotnika je 18, njegova projekcija na hipotenuzo pa 12. Poiščite hipotenuzo.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Hipotenuza je enaka 32. Poiščite stranico, katere projekcija na hipotenuzo je enaka 2.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Hipotenuza pravokotnega trikotnika je 45. Poiščite stranico, katere projekcija na hipotenuzo je 9.

8. Krak pravokotnega trikotnika je 30. Poiščite razdaljo od vrha pravega kota do hipotenuze, če je polmer krožnice, ki je opisana okoli tega trikotnika, enak 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Hipotenuza pravokotnega trikotnika je 41, projekcija enega od krakov pa 16. Poiščite dolžino višine, narisane iz oglišča pravega kota na hipotenuzo.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Razlika projekcij krakov na hipotenuzo je 15, razdalja od vrha pravega kota do hipotenuze pa 4. Poiščite polmer opisane krožnice.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Pravokotni trikotnik- to je trikotnik, v katerem je eden od kotov raven, to je enak 90 stopinj.

• Stran nasproti pravega kota se imenuje hipotenuza (na sliki označena kot c ali AB)
• Stran, ki meji na pravi kot, se imenuje krak. Vsak pravokotni trikotnik ima dva kraka (na sliki sta označena kot a in b ali AC in BC)

Formule in lastnosti pravokotnega trikotnika

(glej sliko zgoraj)

a, b- noge pravokotnega trikotnika

c- hipotenuza

α, β - ostri koti trikotnika

S- kvadrat

h- višina, spuščena od vrha pravega kota do hipotenuze

m a a iz nasprotnega kota ( α )

m b- mediana potegnjena vstran b iz nasprotnega kota ( β )

m c- mediana potegnjena vstran c iz nasprotnega kota ( γ )

IN pravokotni trikotnik katera koli kateta je manjša od hipotenuze(Formuli 1 in 2). Ta lastnost je posledica Pitagorovega izreka.

Kosinus katerega koli ostrega kota manj kot ena (formuli 3 in 4). Ta lastnost izhaja iz prejšnje. Ker je kateri koli od krakov manjši od hipotenuze, je razmerje med krakom in hipotenuzo vedno manjše od ena.

Kvadrat hipotenuze je enak vsoti kvadratov katet (Pitagorov izrek). (Formula 5). Ta lastnost se nenehno uporablja pri reševanju problemov.

Območje pravokotnega trikotnika enako polovici produkta nog (formula 6)

Vsota kvadratnih median na noge je enako petim kvadratom mediane hipotenuze in petim kvadratom hipotenuze deljeno s štiri (formula 7). Poleg naštetega obstaja Še 5 formul, zato je priporočljivo, da preberete tudi lekcijo »Mediana pravokotnega trikotnika«, ki podrobneje opisuje lastnosti mediane.

Višina pravokotnega trikotnika je enak zmnožku katet, deljenih s hipotenuzo (formula 8)

Kvadrati nog so obratno sorazmerni s kvadratom višine, spuščene na hipotenuzo (formula 9). Ta istovetnost je tudi ena od posledic Pitagorovega izreka.

Dolžina hipotenuze enak premeru (dva polmera) opisanega kroga (formula 10). Hipotenuza pravokotnega trikotnika je premer opisanega kroga. Ta lastnost se pogosto uporablja pri reševanju problemov.

Včrtani polmer V pravokotni trikotnik krog lahko najdemo kot polovico izraza, vključno z vsoto krakov tega trikotnika minus dolžina hipotenuze. Ali kot zmnožek krakov, deljen z vsoto vseh strani (obseg) dani trikotnik. (Formula 11)
Sinus kota odnos do nasprotja ta kot krak na hipotenuzo(po definiciji sinusa). (Formula 12). Ta lastnost se uporablja pri reševanju problemov. Če poznate velikosti strani, lahko ugotovite kot, ki ga tvorijo.

Kosinus kota A (α, alfa) v pravokotnem trikotniku bo enak odnos sosednji ta kot krak na hipotenuzo(po definiciji sinusa). (Formula 13)