Pretvarjanje numeričnih iracionalnih izrazov formule. Pretvarjanje iracionalnih izrazov

Trener št. 1

Tema: Preoblikovanje oblasti in ir racionalni izrazi

1. Program izbirnega predmeta matematika za učence 10. razreda

   Program

   Aplikacija. Uporaba osnovnih trigonometrične formule Za transformacija izrazi. Predmet 4. Trigonometrične funkcije in njihove urnike. Povzemite ... . 16.01-20.01 18 Pretvorba umirjeno in neracionalno izrazi. 23.01-27.01 19 ...

2. Koledarsko in tematsko načrtovanje učnega gradiva algebra in začetki analize, 11. razred

   Koledarsko in tematsko načrtovanje

   IN racionalni indikator. Pretvorba umirjeno in neracionalno izrazi. 2 2 2 september Lastnosti logaritmov. Pretvorba logaritemsko izrazi. 1 1 1 ... se upoštevajo v celoti od tisteštudenti, ki si želijo visoko...

3. Tema lekcije Vrsta lekcije (4)

   Lekcija

   ... transformacijaštevilčni in abecedni izrazi, ki vsebuje stopnje ... stopnje Vedi: koncept stopnja z iracionalnim indikatorjem; osnovne lastnosti stopnje. Znati: najti smisel stopnje z neracionalno... 3 do tema « stopnja pozitivno število...

4. Tema: Kulturni in zgodovinski temelji za razvoj psiholoških spoznanj o delu Tema: Delo kot socialno-psihološka realnost

   Dokument

   In itd.) predmet delo je tesno povezano s socialno-ekonom transformacije. Na primer, ... prestrukturiranje zavesti, instinktov, neracionalno trendi, tj. notranji konflikti... preverjanje razpoložljivosti in stopnje resnost oseba ima določene...

5. Pretvarjanje izrazov, ki vsebujejo kvadratne korene (1)

   Lekcija

   Uredil S.A. Teljakovski. Predmet lekcija: Pretvorba izrazi, ki vsebuje kvadrat ...) transformacija koreni produkta, ulomka in stopnje, množenje ... (oblikovanje spretnosti enakega transformacije neracionalno izrazi). št. 421. (pri tabli...

Članek razkriva pomen iracionalni izrazi in preobrazbe z njimi. Oglejmo si sam koncept iracionalnih izrazov, transformacije in značilnih izrazov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kaj so iracionalni izrazi?

Pri uvajanju korenov v šoli preučujemo koncept iracionalnih izrazov. Takšni izrazi so tesno povezani s koreninami.

Definicija 1

Iracionalni izrazi so izrazi, ki imajo koren. Se pravi, to so izrazi, ki imajo radikale.

Temelji na ta definicija, imamo, da so x - 1, 8 3 3 6 - 1 2 3, 7 - 4 3 (2 + 3) , 4 a 2 d 5: d 9 2 a 3 5 vsi izrazi iracionalnega tipa.

Pri obravnavanju izraza x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 ugotovimo, da je izraz racionalen. Racionalni izrazi vključujejo polinome in algebrski ulomki. Med iracionalne sodi delo z logaritemskih izrazov ali radikalnih izrazov.

Glavne vrste transformacij iracionalnih izrazov

Pri izračunu tovrstnih izrazov je treba biti pozoren na DZ. Pogosto zahtevajo dodatne transformacije v obliki odprtih oklepajev, litje podobni člani, skupine in tako naprej. Osnova takih transformacij so operacije s števili. Transformacije iracionalnih izrazov se držijo strogega reda.

Primer 1

Preoblikujte izraz 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 .

rešitev

Število 9 je treba zamenjati z izrazom, ki vsebuje koren. Potem to razumemo

81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3

Dobljeni izraz ima podobni pogoji, torej izvedimo kasting in združevanje. Dobimo

9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
odgovor: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3

Primer 2

Izraz x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 predstavite kot zmnožek dveh iracionalov s skrajšanimi formulami za množenje.

Rešitve

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9

9 predstavimo v obliki 3 2 in uporabimo formulo za razliko kvadratov:

x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Rezultat transformacije identitete privedlo do produkta dveh racionalnih izrazov, ki ju je bilo treba najti.

odgovor:

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Izvedete lahko številne druge transformacije, ki veljajo za iracionalne izraze.

Pretvarjanje radikalnega izraza

Pomembno je, da lahko izraz pod korenskim znakom nadomestimo z njim identično enakim. Ta izjava omogoča delo z radikalnim izrazom. Na primer, 1 + 6 lahko nadomestimo s 7 ali 2 · a 5 4 - 6 z 2 · a 4 · a 4 - 6 . Sta identično enaka, zato je zamenjava smiselna.

Kadar ni a 1, ki je različen od a, pri čemer velja neenakost oblike a n = a 1 n, potem je taka enakost mogoča samo za a = a 1. Vrednosti takih izrazov so enake poljubnim vrednostim spremenljivk.

Uporaba korenskih lastnosti

Lastnosti korenov se uporabljajo za poenostavitev izrazov. Če uporabimo lastnost a · b = a · b, kjer je a ≥ 0, b ≥ 0, potem lahko iz iracionalne oblike 1 + 3 · 12 postane identično enako 1 + 3 · 12. Lastnina. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · , . . . , · n k , kjer a ≥ 0 pomeni, da lahko x 2 + 4 4 3 zapišemo v obliki x 2 + 4 24 .

Pri pretvorbi radikalnih izrazov obstaja nekaj odtenkov. Če obstaja izraz, potem ga - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 ne moremo zapisati, saj formula a b n = a n b n služi samo za nenegativen a in pozitivni b. Če je lastnost uporabljena pravilno, bo rezultat izraz v obliki 7 4 81 4 .

Za pravilno transformacijo se uporabljajo transformacije iracionalnih izrazov z uporabo lastnosti korenov.

Vnos množitelja pod znak korena

Postavite pod znak korena– pomeni nadomestiti izraz B · C n, B in C pa sta nekatera števila ali izraza, kjer je n naravno število, ki je večji od 1, enak izraz, ki ima obliko B n · C n ali - B n · C n .

Če poenostavimo izraz obrazca 2 x 3, potem ko ga dodamo korenu, dobimo 2 3 x 3. Takšne transformacije so možne šele po podrobna študija pravila za vpisovanje množitelja pod znak korena.

Odstranjevanje množitelja izpod znaka korena

Če obstaja izraz v obliki B n · C n , potem se reducira na obliko B · C n , kjer so lihi n , ki imajo obliko B · C n s sodimi n , pri čemer sta B in C nekaj števil in izrazi.

To pomeni, da če vzamemo iracionalen izraz v obliki 2 3 x 3, odstranimo faktor izpod korena, potem dobimo izraz 2 x 3. Ali pa bo rezultat x + 1 2 · 7 izraz v obliki x + 1 · 7, ki ima drug zapis v obliki x + 1 · 7.

Odstranitev faktorja izpod korena je potrebna za poenostavitev izraza in njegovega hitro pretvorbo.

Pretvarjanje ulomkov, ki vsebujejo korene

Iracionalen izraz je lahko naravno število ali ulomek. Spreobrniti ulomki izrazi velika pozornost plačati na imenovalec. Če vzamemo ulomek v obliki (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3, bo števec dobil obliko 5 x 4 in z uporabo lastnosti korenin ugotovimo, da bo imenovalec postal x 2 + 5 6. Izvirni ulomek lahko zapišemo kot 5 x 4 x 2 + 5 6.

Treba je biti pozoren na dejstvo, da je treba spremeniti predznak samo števca ali samo imenovalca. To razumemo

X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4

Zmanjševanje ulomka se najpogosteje uporablja pri poenostavljanju. To razumemo

3 · x + 4 3 - 1 · x x + 4 3 - 1 3 zmanjšaj za x + 4 3 - 1 . Dobimo izraz 3 x x + 4 3 - 1 2.

Pred redukcijo je potrebno izvesti transformacije, ki poenostavijo izraz in omogočijo faktorizacijo kompleksen izraz. Najpogosteje se uporabljajo formule za skrajšano množenje.

Če vzamemo ulomek oblike 2 · x - y x + y, potem je treba uvesti novi spremenljivki u = x in v = x, potem bo podani izraz spremenil obliko in postal 2 · u 2 - v 2 u + v. Števec je treba razstaviti na polinome po formuli, potem to dobimo

2 · u 2 - v 2 u + v = 2 · (u - v) · u + v u + v = 2 · u - v . Po obratni zamenjavi pridemo do oblike 2 x - y, ki je enaka prvotni.

Zmanjšanje na nov imenovalec je dovoljeno, potem je treba števec pomnožiti z dodatnim faktorjem. Če vzamemo ulomek oblike x 3 - 1 0, 5 · x, ga zmanjšamo na imenovalec x. če želite to narediti, morate števec in imenovalec pomnožiti z izrazom 2 x, potem dobimo izraz x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x .

Zmanjšanje frakcij ali prinašanje podobnih je potrebno samo na ODZ navedene frakcije. Ko števec in imenovalec pomnožimo z iracionalnim izrazom, ugotovimo, da se znebimo iracionalnosti v imenovalcu.

Znebiti se iracionalnosti v imenovalcu

Ko se izraz s transformacijo znebi korena v imenovalcu, se temu reče znebitev iracionalnosti. Oglejmo si primer ulomka oblike x 3 3. Ko se znebimo iracionalnosti, dobimo nov ulomek oblike 9 3 x 3.

Prehod od korenin k moči

Prehodi od korenin do moči so potrebni za hitro preoblikovanje iracionalnih izrazov. Če upoštevamo enakost a m n = a m n , vidimo, da je njena uporaba možna, kadar je a pozitivno število, m celo število in n naravno število. Če upoštevamo izraz 5 - 2 3, ga sicer imamo pravico zapisati kot 5 - 2 3. Ti izrazi so enakovredni.

Ko je koren negativno število ali število s spremenljivkami, potem formula a m n = a m n ni vedno uporabna. Če morate take korene (- 8) 3 5 in (- 16) 2 4 nadomestiti s potencami, potem dobimo, da - 8 3 5 in - 16 2 4 s formulo a m n = a m n ne delamo z negativnim a. Da bi podrobneje analizirali temo radikalnih izrazov in njihovih poenostavitev, je treba preučiti članek o prehodu od korenin do moči in nazaj. Ne smemo pozabiti, da formula a m n = a m n ni uporabna za vse izraze te vrste. Osvoboditev od iracionalnosti prispeva k nadaljnji poenostavitvi izraza, njegovi transformaciji in rešitvi.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Lastnosti korenin so podlaga za naslednji dve transformaciji, ki ju imenujemo spraviti pod korenski znak in odstraniti izpod korenskega znaka, na kateri se zdaj obrnemo.

Vnos množitelja pod znak korena

Uvedba faktorja pod znakom pomeni zamenjavo izraza , kjer sta B in C nekaj števil ali izrazov, n pa naravno število, večje od ena, z identično enakim izrazom oblike ali .

Na primer, po vnosu faktorja 2 pod znak korena dobi iracionalen izraz obliko .

Teoretične osnove to preoblikovanje, pravila za njegovo izvajanje, pa tudi rešitve za različne tipični primeri podan v članku z uvedbo množitelja pod znakom korena.

Odstranjevanje množitelja izpod znaka korena

Preoblikovanje v v določenem smislu Obratno od dodajanja množitelja pod znak korena je odvzem množitelja izpod znaka korena. Sestavljen je iz predstavitve korena kot produkta za liho n ali kot produkta za sodo n, kjer sta B in C nekaj števil ali izrazov.

Za primer se vrnimo k prejšnjemu odstavku: iracionalni izraz po odstranitvi faktorja izpod znaka korena dobi obliko . Še en primer: odstranitev faktorja izpod znaka korena v izrazu da produkt, ki ga lahko prepišemo kot .

Na čem temelji ta transformacija in po kakšnih pravilih se izvaja, bomo v ločenem članku preučili odstranitev množitelja izpod znaka korena. Tam bomo podali tudi rešitve primerov in našteli načine redukcije radikalnega izraza v obliko, primerno za množenje.

Pretvarjanje ulomkov, ki vsebujejo korene

Iracionalni izrazi lahko vsebujejo ulomke, ki imajo korena v števcu in imenovalcu. S takimi frakcijami lahko izvedete katero koli osnovno identitetne transformacije ulomkov.

Prvič, nič vam ne preprečuje dela z izrazi v števcu in imenovalcu. Kot primer razmislite o ulomku. Iracionalni izraz v števcu je očitno identično enak , in če se obrnemo na lastnosti korenin, lahko izraz v imenovalcu nadomestimo s korenom . Posledično se prvotni ulomek pretvori v obliko .

Drugič, predznak pred ulomkom lahko spremenite tako, da spremenite predznak števca ali imenovalca. Na primer, pride do naslednjih transformacij iracionalnega izraza: .

Tretjič, včasih je mogoče in priporočljivo zmanjšati delček. Na primer, kako si odreči užitek zmanjševanja ulomka do iracionalnega izraza, kot rezultat dobimo .

Jasno je, da je treba v mnogih primerih pred zmanjševanjem ulomka izraze v njegovem števcu in imenovalcu faktorizirati, kar v enostavni primeri vam omogočajo, da dosežete skrajšano formulo množenja. In včasih zamenjava spremenljivke pomaga zmanjšati ulomek, kar vam omogoča, da se premaknete iz prvotnega ulomka z iracionalnostjo v racionalni ulomek, ki je bolj udoben in domač za delo.

Za primer vzemimo izraz. Vstavimo nove spremenljivke in , v teh spremenljivkah ima prvotni izraz obliko . Ob nastopu v števcu

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate zahtevo, lahko zbiramo razne informacije, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Zbrano pri nas osebne informacije omogoča, da vas kontaktiramo in vas obveščamo o edinstvenih ponudbah, akcijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabimo tudi za interne namene, kot so revizija, analiza podatkov in razne študije da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Pri pretvarjanju aritmetični koreni njihove lastnosti so uporabljene (glej odstavek 35).

Oglejmo si nekaj primerov uporabe lastnosti aritmetičnih korenov za najpreprostejše transformacije radikalov. V tem primeru bomo upoštevali, da vse spremenljivke zavzemajo le nenegativne vrednosti.

Primer 1. Ekstrahirajte koren izdelka Rešitev. Z uporabo lastnosti 1° dobimo:

Primer 2. Odstranite množitelj izpod znaka korena

rešitev.

To transformacijo imenujemo odstranitev faktorja izpod znaka korena. Namen transformacije je poenostaviti radikalni izraz.

Primer 3: Poenostavite

rešitev. Z lastnostjo 3° imamo običajno poenostavitev radikalnega izraza, za katerega vzamejo faktorje iz predznaka korena. Imamo

Primer 4: Poenostavite

rešitev. Transformirajmo izraz tako, da vnesemo faktor pod predznak korena: Po lastnosti 4° imamo

Primer 5: Poenostavite

rešitev. Z lastnostjo 5° imamo pravico deliti eksponent korena in eksponent radikalnega izraza z istim naravnim številom. Če v obravnavanem primeru navedene kazalnike delimo s 3, dobimo

Primer 6. Poenostavite izraze: a)

Rešitev, a) Z lastnostjo 1° ugotovimo, da je za množenje korenov iste stopnje dovolj, da pomnožimo radikalne izraze in iz dobljenega rezultata izluščimo koren iste stopnje. pomeni,

b) Najprej moramo radikale reducirati na en indikator. Glede na lastnost 5° lahko pomnožimo eksponent korena in eksponent radikalnega izraza z istim naravnim številom. Torej, Naprej imamo In zdaj v dobljenem rezultatu, če indikatorje korena in stopnjo izraza radikala delimo s 3, dobimo